AULA 1: PRÉ CÁLCULO E FUNÇÕES€¦ · Parte 1 •Conjuntos numéricos •A reta real...

MATEMÁTICA I

AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES

Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

Parte 1

• Conjuntos numéricos

• A reta real

• Intervalos Numéricos

• Valor absoluto de um número

• Potências

• Produtos notáveis e binômio de Newton

Parte 2

• Função

• Variáveis

• Traçando Gráficos

• Domínio e Imagem

• Família de Funções

• Funções Polinomiais

• Funções Exponenciais e Logarítmicas

• Funções Trigonométricas

CONJUNTOS NUMÉRICOS

São, em geral, subconjuntos de ℝ, o conjunto dos números reais.

Números naturais ℕ: São os números empregados em processos de contagem.

Exemplos: 0,1, 2, 3, 4,...

Números Inteiros ℤ : São os números empregados em processos de contagem,

acrescidos de seus opostos.

Exemplos: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

Números racionais ℚ : É o conjunto de todos os números que podem ser

escritos como quocientes 𝑎

𝑏, 𝒃 ≠ 𝟎.

Exemplos:−1

4, −

1

18,1

2,

7

10, 10

50, 20

20, ...

Números irracionais ℚ′ ou I : Todos os números reais que não são racionais

Exemplos: 𝜋 = 3,141592653589793…, 2 = 1,414213562373095… ,

Exemplo 1.1 Verifique a qual ou quais conjuntos numéricos os

números abaixo pertencem

a) −7 b) 0,7 c) 7 d) 𝟕

𝟎 e) −7 f)

0

7

OBS.: 7 = 2,645751311064591

ℂ

ℝ ℚ

I

ℤ ℕ

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números reais podem ser representados por pontos em

uma reta 𝑟, tal que

a cada número real 𝑎 corresponda exatamente a um ponto

sobre a reta 𝑟, e reciprocamente.

Exemplo. Represente o conjunto 3; −5;

2

3 ; 5; −1,5; −𝜋 sobre uma reta

real.

ℝ

A RETA REAL

O intervalo fechado 𝑎, 𝑏 é o conjunto de todos números

reais 𝑥 tais que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Costumamos simplificar a notação acima como {x : a ≤ x ≤ b},

𝑎, 𝑏 = 𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

ficando entendido que 𝑥 ∈ ℝ.

INTERVALOS NUMÉRICOS

O intervalo aberto e os intervalos semi-abertos são os conjuntos:

O intervalo infinito −∞,∞ é toda a reta real ℝ.

Um intervalo semi-infinito pode ser aberto ou fechado.

INTERVALOS NUMÉRICOS

Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades.

Representação:

Generalizando, para todo 𝑐 ∈ ℝ,

Representação:

Nesse caso o intervalo 𝑎, 𝑏 = 𝑐 − 𝑟, 𝑐 + 𝑟 , onde 𝑐 =𝑎+𝑏

2 e 𝑟 =

𝑏−𝑎

2

INTERVALOS NUMÉRICOS

Exemplo 2.2 (Descrevendo desigualdade com intervalo)

Descreva o conjunto 𝑆 = 𝑥:1

2𝑥 − 3 > 4 em termos de intervalos.

Solução. É mais fácil considerar primeiro a desigualdade oposta

1

2𝑥 − 3 ≤ 4, assim

1

2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 ≤

1

2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 + 3 ≤

1

2𝑥 − 3 + 3 ≤ 4 + 3

−1 ≤1

2𝑥 ≤ 7 ⇒ −1 ∙ 2 ≤

1

2𝑥 ∙ 2 ≤ 7 ∙ 2 ⇒ −2 ≤ 𝑥 ≤ 14

Note que 1

2𝑥 − 3 ≤ 4 está satisfeito quando 𝑥 ∈ −2, 14 .

O conjunto S é o complementar, consistindo em todos números x que não

estão em −2, 14 , ou seja, 𝑺 = −∞,−𝟐 ∪ 𝟏𝟒,∞

Representação.

INTERVALOS NUMÉRICOS

O valor absoluto de um número real 𝑥, denotado por 𝑥 ,

é definido por:

𝒙 = 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐞𝐦 = 𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 ≥ 𝟎−𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 < 𝟎

Representação

Distância entre dois números reais

A distância entre dois números reais 𝑎 e b é |b − 𝑎 |, que é o

comprimento do segmento de reta que liga 𝑎 a b

|𝑥|

𝑥

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO

Observação. 𝑎 + 𝑏 não é igual a 𝑎 + 𝑏

A menos que 𝑎 e 𝑏 tenham o mesmo sinal ou pelo menos

um dos dois for zero.

Se a e b tiverem sinais opostos, então

𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏

• Por exemplo,

|2 + 5| = |2| + |5|

|−2 + 5| = 3 < 7 =|−2| + |5| .

• Em todo caso, |a + b| nunca é maior do que |a| + |b|

e assim temos a importante desigualdade triangular:

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO

Definição. Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então a expressão 𝑎𝑛 é

chamada de potência na base 𝑎 e expoente 𝑛.

Note que: 𝒂𝟎 = 𝟏

𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂 ∙ 𝒂𝒏

Exemplo:

100 = 1

101 = 10 ∙ 100 = 10

102 = 10 ∙ 101 = 100

103 = 10 ∙ 102 = 1.000

104 = 10 ∙ 103 = 10.000

POTÊNCIAS

Propriedades: Se 𝑎 ≠ 0

e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ então:

i) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

ii)𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

iii) 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛

iv) 𝑎 ∙ 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛

POTÊNCIAS

Potência com expoente negativo

Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

Exemplo: 10−1 =1

10= 0,1; 10−2 =

1

10∙101 =1

100= 0,01

10−3 =1

10∙102 =1

1.000= 0,001; ...

Potência fracionária

Se 𝑎 > 0 e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎𝑛

𝑚 = 𝑎𝑛𝑚

Exemplo: 103 2 = 1023

𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2

𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2

𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3

𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3

𝑥 + 𝑎 𝑛 = 𝑥𝑛 +𝑛

1!𝑎𝑥𝑛−1 +

𝑛 𝑛 − 1

2!𝑎2𝑥𝑛−2 +

𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2

3!𝑎3𝑥𝑛−3 + ⋯

+𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …2

𝑛 − 1 !𝑎 𝑛−1 𝑥1 + 𝑎𝑛, 𝑛 > 1 inteiro.

PRODUTOS NOTÁVEIS

BINÔMIO DE NEWTON

Parte 1

• Conjuntos numéricos

• A reta real

• Intervalos Numéricos

• Valor absoluto de um número

• Potências

• Produtos notáveis e binômio de Newton

Parte 2

• Função

• Variáveis

• Traçando Gráficos

• Domínio e Imagem

• Família de Funções

• Funções Polinomiais

• Funções Exponenciais e Logarítmicas

• Funções Trigonométricas

Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem

como uma quantidade depende de outra.

• Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o

termo função para indicar a dependência de uma quantidade em

relação a uma outra, conforme a definição a seguir.

DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x

de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor

de y, então dizemos que y é uma função de x.

• Três maneiras usuais de representar funções são:

• Numericamente com tabelas

• Geometricamente com gráficos

• Algebricamente com fórmulas

FUNÇÕES

Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a

ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse modo,

trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos ou tabelas.

• Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que

estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com a

matéria seca

Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 (adição de nitrogênio na ração)

Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 (adição de nitrogênio no solo)

Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para o animal ou planta que

atua no processo do substrato

DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única

saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é

denotada por ƒ(x) (leia-se “ƒ de x”).

FUNÇÕES

• Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada

valor de f em x, ou imagem de x por f.

• Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra,

digamos y, e escrevemos

y = f(x)

• A variável x é denominada variável independente ou

argumento de f

• A variável y é denominada variável dependente de f.

• Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre

para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o

valor correspondente de y está determinado.

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

Se ƒ for uma função de uma variável real a valores reais,

então o gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o

gráfico da equação y = ƒ(x).

• Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da

equação y = x

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre uma

função.

• Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o

gráfico da equação y = f(x), os pontos do gráfico são da forma

(x, f(x))

• ou seja, a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o

valor de f na coordenada x correspondente

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

Os valores de x para os quais 𝑓(𝑥) = 0 são as

coordenadas x dos pontos nos quais o gráfico de f

intercepta o eixo x.

• Esses valores são denominados

• zeros de f

• raízes de f(x) = 0

• pontos de corte de y = f(x) com o eixo x.

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no

Cálculo, assim como na Álgebra e na Trigonometria.

• As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são

definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo x e o

eixo y.

𝒙

𝒚

FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS

A um par (a, b) de números associamos o ponto P localizado na interseção

da reta perpendicular ao eixo x em a e a reta perpendicular ao eixo y em b.

• Os números a e b são as coordenadas x e y de P.

• A origem é o ponto de coordenadas (0, 0).

FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS

Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados de I a

IV, determinados pelos sinais das coordenadas.

• Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (x, y) tais que

x < 0 e y < 0.

FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS

Se x e y estão relacionados pela equação y = f(x), então

• o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de x)

é denominado domínio de f.

• o conjunto de todas as saídas (os valores de y) que resultam

quando x varia sobre o domínio é denominado imagem de f.

Exemplo. Se f é a função definida pela tabela ao lado abaixo,

então:

• o domínio é o conjunto 𝐷𝑓 ={0, 1, 2, 3}

• a imagem é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 ={3, 4, −1, 6}.

FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM

Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem

restrições sobre as entradas permissíveis de uma função.

• Por exemplo, se y denota a área de um quadrado de lado

x, então essas variáveis estão relacionadas pela equação

𝑦 = 𝑥2.

• Embora essa equação produza um único valor de y para

cada número real x, o fato de que os comprimentos devem

ser números não-negativos impõe a exigência que x ≥ 0.

𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0

FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM

Quando uma função está definida por uma fórmula

matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre as

entradas permissíveis.

• Por exemplo:

• se 𝑦 =1

𝑥, então x = 0 não é uma entrada válida

• pois divisão por zero não está definida.

𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≠ 0

• se 𝑦 = 𝑥, então valores negativos de x não são entradas

válidas, pois produzem valores imaginários de y.

𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0

FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM

O domínio e a imagem de uma função f podem ser

identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os

eixos coordenados

FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM

Em alguns casos explicitamos o domínio ao definir uma função.

• Por exemplo, se 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é a área de um quadrado de lado x,

então podemos escrever

𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝑥 ≥ 0

para indicar que tomamos o domínio de f como sendo o

conjunto dos números reais não-negativos

FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM

FAMÍLIA DE FUNÇÕES

As funções são, frequentemente, agrupadas em famílias

de acordo com a forma das fórmulas que as definem ou

outras características comuns.

O gráfico de uma função constante

ƒ(x) = c

é o gráfico da equação y = c, que é a

reta horizontal.

Se variarmos c, obteremos um

conjunto ou uma família de retas

horizontais.

FUNÇÕES – FAMÍLIA DE CURVAS

Uma função linear é uma função do tipo

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sendo 𝑚 e 𝑏 constantes reais

O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma reta de inclinação 𝑚 e, como 𝑓 0 = 𝑏, o gráfico

intersecta o eixo y no ponto (0, b).

Usamos os símbolos Δ𝑥 e Δ𝑦

para denotar a variação (ou

incremento) em 𝑥 e 𝑦 = 𝑓 𝑥

ao longo do intervalo 𝑥1, 𝑥2 .

FUNÇÃO LINEAR

FUNÇÃO LINEAR

Uma função linear se caracteriza por representar um

crescimento ou decrescimento constantes.

• Qualquer mudança na variável independente causa

uma mudança proporcional na variável dependente.

FUNÇÃO LINEAR

Dada uma função linear 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏,

• se 𝑚 > 0, o gráfico será inclinado para a direita,

ou seja, será uma função crescente;

• se 𝑚 < 0, o gráfico será inclinado para a

esquerda, ou seja, será uma função decrescente;

• se 𝑚 = 0, o gráfico não terá inclinação, ou seja,

será uma função constante;

𝑓 𝑥

𝑥

𝑦

𝑓 𝑥

𝑓 𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

FUNÇÃO LINEAR

Observações

• Se mantivermos b fixo e tratarmos m

como um parâmetro, obteremos uma

família de retas cujos membros têm,

todos, o mesmo corte em b com o eixo y.

• Se mantivermos m fixo e tratarmos b

como um parâmetro, obteremos uma

família de retas paralelas cujos

membros têm, todos, a mesma

declividade m.

FUNÇÃO LINEAR

FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Uma função quadrática é uma função definida por um polinômio

quadrático

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes, com 𝑎 ≠ 0.

O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma parábola

A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante 𝑎 for

positivo 𝑎 > 0 .

A parábola tem concavidade para baixo se 𝑎 for negativo 𝑎 < 0 .

O discriminante de 𝑓 𝑥 é a quantidade Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , as raízes de 𝑓 𝑥 são dadas pela fórmula

quadrática ou de Bhaskara.

O sinal de Δ determina se 𝑓 𝑥 tem ou não tem raízes reais

Quando 𝑓 𝑥 tem duas raízes reais e 𝑟1 e 𝑟2 , então 𝑓 𝑥 pode ser fatorado

como

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2

𝑎 > 0 e Δ > 0 𝑎 > 0 e Δ = 0 𝑎 > 0 e Δ < 0 𝑎 < 0 e Δ > 0

−𝑏 ± Δ

2𝑎

FUNÇÃO QUADRÁTICA

FUNÇÕES POLINOMIAIS

Para todo número real 𝑛, a função

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛

é denominada função potência de expoente 𝑛.

Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência

de expoentes naturais.

Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥

OBS.: A função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥−1 não é um polinômio,

pois inclui uma função potência 𝑥−1 de expoente

negativo.

Gráfico da função

𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥

FUNÇÕES POLINOMIAIS

O polinômio geral na variável 𝑥 pode ser escrito

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + ⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

e é denominado função polinomial de grau 𝑛.

Os números 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 são denominados coeficientes.

O grau de 𝑃 𝑥 é 𝑛 (supondo que 𝑎𝑛 ≠ 0).

O coeficiente 𝑎𝑛 é denominado coeficiente dominante.

O domínio de 𝑃 𝑥 é ℝ.

FUNÇÕES POLINOMIAIS

Note que:

A função

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏

é uma função polinomial de grau 1, sendo:

𝑎1 = 𝑚 ≠ 0 e 𝑎0 = 𝑏, com 𝑚 e 𝑏 constantes.

A função

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

é uma função polinomial de grau 2, sendo:

𝑎2 = 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑏 e 𝑎0 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes.

FUNÇÕES POLINOMIAIS

OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS

FUNÇÕES LINEARES

Não confunda 𝒎 com 𝜽:

Considere o gráfico abaixo:

𝜃

𝑀

O ângulo 𝜃 é formado pela reta 𝑦 e pelo ponto 𝑃.

• Esse ângulo 𝜃 é a inclinação da reta

tangente e é o valor do seu coeficiente

angular. Assim,

𝑚 = tg 𝜃

• Exemplo. Se 𝜃 = 60° então o coeficiente

angular da reta é:

𝑚 = tg 60° = 3

𝑃

𝑦

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

A função

𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥

onde 𝑏 > 0, é denominada função exponencial de base 𝑏.

Alguns exemplos são

A função 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 é crescente se 𝑏 > 1 e decrescente se 𝑏 < 1.

1 1

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Considere 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, assim a função logarítmica com base

𝑎 é:

denotada por 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ou 𝑦 = log𝑎 𝑥

a relação inversa da função exponencial 𝑎𝑦 = 𝑥

Os gráficos de 𝑦 = log𝑎 𝑥 quando variamos os valores da base

𝑎 > 1 são:

Note que sempre que 𝑥 = 1 log𝑎 𝑥 = 0, assim o gráfico de todas as

funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0 .

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Propriedades. Se 𝑥 e 𝑦 forem números positivos, então:

Exemplo:

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases 𝑎 para os

logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é 𝑒.

O logaritmo na base 𝑒 é chamado logaritmo

natural e tem uma notação especial:

𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙

Propriedades

1) ln 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑒𝑦 = 𝑥

2) ln 𝑒𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ

3) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 > 0

4) ln 𝑒 = 1

5) Para todo número positivo a ≠ 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑎

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

CONTEÚDO

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois

sistemas de medição de ângulos: radianos e graus.

Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre

ângulos e rotação.

Utilizamos a letra grega minúscula teta (𝜃), para denotar ângulos

e rotação.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

• Cada ângulo tem uma medida em

radianos única satisfazendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.

• Com essa escolha, o ângulo 𝜃 subentende

um arco de comprimento 𝜃 ∙ 𝑟 num

círculo de raio r.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

• Para converter:

• Radianos em graus: multiplique por 180

𝜋

• Graus em radianos: multiplique por 𝜋

180

• Exemplo 1. Converta:

(a) 55𝑜 em radianos.

Solução: 55o ×𝜋

180≅ 0,9599 rad

(b) 0,5 rad em graus.

Solução: 0,5 rad ×180

𝜋≅ 28,648o

Radianos Graus

0 0o

𝜋

6 30o

𝜋

4 45o

𝜋

3 60o

𝜋

2 90o

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

As funções trigonométricas sen 𝜃 e cos 𝜃 são definidas em termos de

triângulos retângulos.

Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e denotemos os

lados

então

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao ângulo 𝜃

então

cos 𝜃 = coordenada x de P

sen 𝜃 = coordenada y de P

Note que:

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos 𝜃 e

sen 𝜃.

Tabulando esses dados, temos que:

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Função Seno: 𝑓 𝜃 = sen 𝜃

O gráfico de 𝑦 = sen𝜃 é gerado quando o ponto percorre o círculo

unitário.

O gráfico de 𝑦 = sen𝜃 é a conhecida “onda senoidal”

ou, simplesmente, “senóide”

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Função Cosseno: 𝑓 𝜃 = cos 𝜃

O gráfico de 𝑦 = cos 𝜃 tem o mesmo formato do gráfico da seno,

mas é transladado 𝜋

2 unidades para a esquerda.

Os sinais de sen 𝜃 e cos 𝜃 variam quando o ponto

P = (cos 𝜃 , sen 𝜃 )

do círculo unitário muda de quadrante

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Função Periódica

Uma função 𝑓 𝑥 é dita periódica de período T se 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥

(para cada 𝑥 ) e 𝑇 é o menor número positivo com essa

propriedade.

As funções seno e cosseno são periódicas com período 𝑇 = 2𝜋

Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de 2𝜋𝑘

correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades Trigonométricas

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS