Aula 1 - Probabilidade

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Observação: qualquer informação, seja ela categórica ou numérica, registrada.

Exemplos:

Situação de um área avaliada quando a degradação (assume-se como sendo degradada ou não-degradada).

Concentração de um poluente numa porção de água extraída de um rio que corta uma cidade.

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Experimento: qualquer processo que gere um conjunto de dados.

Exemplos:

Avaliar a situação de uma determinada área quanto a degradação

Medir a concentração p de um poluente numa porção de água extraída de um rio que corta uma cidade.

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Espaço amostral (S ou ): é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento estatístico.

Exemplos:

Todas as situações possíveis de uma determinada área quanto a degradação.

S = = {degradada, não-degradada}

Todas as concentrações p possíveis de um poluente numa porção de água extraída de um rio que corta uma cidade

S = = {p 0} 4

Evento: é um subconjunto de um espaço amostral.

Exemplos:

Dada um espaço amostral S = = {p 0} de todas as concentrações p possíveis de um poluente numa porção de água extraída de um rio que corta uma cidade. O evento A, cuja concentração p é de até 5 é dado por:

A = {p|0 ≤ p ≤ 5} S = = {p 0}

5

Evento:

Observações:

O evento A = S = é dito o EVENTO CERTO e o evento A = = { } é dito o EVENTO IMPOSSÍVEL.

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Complemento: O complemento de um evento A relacionado a S = é o subconjunto de todos os elementos de S = que não estão em A. Representamos o complemento de A pelo símbolo, A’ = Ac. (Lê-se: A complementar).

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Complemento:

Exemplos:

Dada um espaço amostral S = = {p 0} de todas as concentrações p possíveis de um poluente numa porção de água extraída de um rio que corta uma cidade. Se o evento A são as concentrações onde p vale até 5, então A’ = Ac é dado por:

A’ = Ac = {p|p > 5}

8

Complemento:

Observação:

A’ = Ac A = S =

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Intersecção de dois eventos: A intersecção de dois eventos A e B, denotada pelo símbolo A B, é o evento que contém todos os elementos comuns a A e a B.

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Intersecção de dois eventos:

Exemplo: Seja C um evento no qual uma pessoa selecionada aleatoriamente em um ciber-café é um estudante universitário e M o evento no qual essa pessoa é do sexo masculino. Então C M é o evento formado por todos os estudantes universitários do sexo masculino no ciber-café.

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Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos: Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se AB = , ou seja, se A e B não tiverem elementos em comum.

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Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos

Exemplo: Seja o experimento de lançar um dado e observar sua face. Considere também o evento A como sendo face par e B, o evento face impar, ou seja, A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}. Então, como A B = os eventos A (face par) e B (face impar) são ditos mutuamente exclusivos ou disjuntos.

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União de dois eventos: A união de dois eventos A e B, denotada pelo símbolo A B, é o evento que contém todos os elementos que pertencem a A ou B, ou a ambos.

Exemplo: Seja o experimento de lançar um dado e observar sua face. Considere também o evento A como sendo face menor ou igual a 4 e B, o evento face igual a 6, ou seja, A = {1, 2, 3, 4} e B = {6}. Então,

A B = {1, 2, 3, 4, 6}

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O princípio da teoria da probabilidade talvez tenha surgido da sede insaciável da humanidade pelos jogos de azar.

Num esforço de aumentar seus ganhos, os jogadores recorreram aos matemáticos (e estatísticos) para que estes lhes fornecessem estratégias para os mais diversos jogos de azar. Entre alguns desses matemáticos estavam Pascal, Leibniz, Fermat e James Bernoulli.

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Como resultado desse desenvolvimento da teoria da probabilidade, a inferência estatística, com todas as suas previsões e generalizações, foi muito além dos jogos de azar, abrangendo muitos outros campos associados á ocorrência de probabilidades, tais como política, negócios, previsão do tempo e pesquisas científicas.

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Definição: A probabilidade de um evento A é a soma das probabilidades de todos os pontos amostrais em A. Por isso,

0 ≤ P(A) ≤ 1

P()=0, e

P(S) = P() = 1.

Além disso, se A1, A2, A3, ... é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos, então

P(A1A2A3... ) = P(A1) +P(A2)+P(A3)+ ...

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Exemplo: Uma moeda é jogada três vezes. Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara?

Solução: Fazendo H = cara e T = coroa, o espaço amostral para esse experimento é:

S = = {HHH, HTH, THH, TTH, HHT, HTT, THT, TTT}.

Se a moeda for balanceada (honesta), cada um desses resultados poderá igualmente ocorrer. Assim, atribuímos uma probabilidade para cada ponto amostral. Então 8=1 =1/8.

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Exemplo: Uma moeda é jogada três vezes. Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara?

Solução: (continuação)

Se A representa o evento da ocorrência de pelo menos uma cara, então:

A = {HHH, HTH, THH, TTH, HHT, HTT, THT}.

e

P(A)=1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8+1/8=7/8

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Teorema: Se um experimento pode resultar em qualquer um de N diferentes resultados equiprováveis, e se exatamente n desses resultados correspondem ao evento A, então a probabilidade do evento A é:

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# #( )

# #

A A nP A

S N

Exemplo: Uma sala de aula de engenharia consiste de 25 estudantes de engenharia industrial, 10 de mecânica, 10 de elétrica e 8 de engenharia civil. Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente pelo instrutor para responder a uma pergunta, determine a probabilidade de que o estudante escolhido seja

a) Um estudante de engenharia industrial

b) Um estudante de engenharia civil ou elétrica.

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Teorema: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:

22

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

Corolário 1: Se A e B são mutuamente exclusivos

(ou disjuntos), então:

( ) ( ) ( )P A B P A P B

Corolário 2: Se A1, A2, A3, ..., An são mutuamente

exclusivos, então:

1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )n nP A A A P A P A P A

Teorema: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:

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( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

Corolário 3: Se A1, A2, A3, ..., An são mutuamente

exclusivos A1A2A3... An = (ou seja, formam

uma partição do espaço amostral , então:

1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1n nP A A A P A P A P A P

Teorema: Para três eventos A, B e C quaisquer, temos:

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( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P A B C

P A P B P C P A B P A C P B C P A B C

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Exemplo: João vai se formar em engenharia

ambiental no final do semestre. Depois de ser

entrevistado por duas empresas, ele avalia que a

probabilidade de conseguir uma oferta da empresa

A é de 0,8 e da empresa B é de 0,6. Se, por outro

lado, ele crê que a probabilidade de conseguir uma

oferta das duas empresas é de 0,5, qual é a

probabilidade de que ele consiga uma oferta de

pelo menos uma das empresas?

Teorema: Se A e A’ = Ac são eventos

complementares, então

P(A) + P(A’) = 1 P(A) = 1 – P(A’)

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A probabilidade de um evento B ocorrer quando sabemos que algum evento A ocorreu é chamada de probabilidade condicional e é denotada por P(B|A) “Lê-se: probabilidade de B dado A”

Teorema: A probabilidade condicional de B dado A, denotada por P(B|A), é definida por:

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( ) ( )( | ) , ( ) 0

( ) ( )

P B A P A BP B A P A

P A P A

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Exemplo: a probabilidade de que um voo regular parta na hora é P(D) = 0,83; a probabilidade de que chegue na hora é P(A) = 0,82; e a probabilidade de que o voo parta e chegue na hora é P(DA) = 0,78. Determine a probabilidade de que

a) O avião chegue na hora, dado que partiu na hora.

b) O avião partir na hora, dado que chegou na hora.

Definição (Eventos Independentes): Dois eventos A e B são independentes se somente se

P(B|A) = P(B) ou P(A|B) = P(A)

Desde que as probabilidades condicionais existam. Caso contrário, A e B serão dependentes.

Teorema (Eventos Independentes): Dois eventos A e B são independentes se somente se

P(AB) = P(A)P(B) 29

30

Exemplo: Uma pequena cidade tem um caminhão

de bombeiros e uma ambulância de emergências.

A probabilidade de que um caminhão de bombeiros

esteja disponível quando necessário é de 0,98 e da

ambulância é de 0,92. No caso de um ferimento

causado por um incêndio em um prédio, determine

a probabilidade de que a ambulância e o caminhão

de bombeiros estejam disponíveis.

Teorema: Se em um experimentos ambos os eventos A e B podem ocorrer, então

P(AB) = P(A)P(B|A), desde que P(A) > 0.

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32

Exemplo: Suponha que temos uma caixa com 20

fusíveis, dentre os quais cinco apresentam defeito.

Se dois fusíveis são selecionados aleatoriamente e

removidos da caixa, sucessivamente, sem

reposição do primeiro, qual é a probabilidade de

que ambos apresentem defeito?

Teorema (INDEPENDÊNCIA): Dois eventos A e B são independentes se e somente se

P(AB) = P(A)P(B)

Portanto, para obter a probabilidade de que ambos os eventos ocorrerão, simplesmente determinamos o produto de suas probabilidades individuais.

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Exemplo: Uma pequena cidade tem um caminhão

de bombeiros e uma ambulância para as

emergências. A probabilidade de que o caminhão

de bombeiros esteja disponível quando necessário

é de 0,98 e a ambulância é de 0,92. No caso de

um ferimento causado por um incêndio em um

prédio, determine a probabilidade de a

ambulância e o caminhão de bombeiros estarem

disponíveis.

Teorema: Se, em um experimento, os eventos A1, A2, A3, ...., An podem ocorrer, então

P(A1A2 A3... An) =

=P(A1)P(A2|A1) P(A3|A1A2)... P(An|A1... An-1)

Se, os eventos A1, ..., An forem independentes, então

P(A1A2 A3... An) =P(A1)P(A2) P(A3)... P(An)

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Exemplo: Três cartas são escolhidas em sucessão,

sem reposição, de um baralho comum. Determine

a probabilidade de que o evento A1A2A3 ocorra,

onde A1 é o evento no qual a primeira carta é um

ás vermelho, A2, o evento no qual a segunda carta

é um 10 ou um valete e A3, o evento no qual a

terceira carta é maior que 3, mas menor que 7.

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Exemplo: Uma moeda é adulterada para que a

cara tenha duas vezes mais chance de ocorrer do

que a coroa. Se a moeda for jogada três vezes,

qual é a probabilidade de obter duas coroas e

uma cara?

Teorema (Teorema da Probabilidade Total): Se os eventos B1, B2, ..., Bn constituem uma partição do espaço amostral S = , de modo que P(Bi)0 para i=1, 2,...,n, então para qualquer evento A de S = ,

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1 1

|n n

i i i

i i

P A P B A P B P A B

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Exemplo: Em certa linha de montagem, três

máquinas B1, B2 e B3 produzem 30%, 45% e 25%

dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de

experiências anteriores, que 2%, 3% e 2% dos

produtos feitos por cada máquina são,

respectivamente, defeituosos. Agora, suponha que

um produto, já acabado (pronto), seja selecionado

aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que tal

produto apresente algum defeito?

Teorema (Teorema de Bayes): Se os eventos B1, B1, ..., Bn constituem uma partição do espaço amostral S = , de modo que P(Bi)0 para i=1, 2,...,n, então para qualquer evento A de S = , temos que

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1

1

|

|1, 2,...,

|

r r

r n

i

i

r r

n

i i

i

P B A P B AP B A

P AP B A

P B P A Br n

P B P A B

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Exemplo: Com referência ao exemplo anterior

(slide 39), se um produto for selecionado

aleatoriamente e descobrir-se que apresenta

defeitos, qual é a probabilidade de que o produto

tenha sido fabricado pela máquina B3?