Aula 2 - RAC. LÓGICO

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AULA 2

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ESTRUTURA LÓGICA

É O ESTUDO DO PENSAMENTO E SUAS OPERAÇÕES, DO RACIOCÍNIO E DA

DEMONSTRAÇÃO.

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TIPOS DE ESTRUTURA LÓGICA

• ENTRE PESSOAS;• ENTRE LUGARES;• ENTRE OBJETOS;

• ENTRE EVENTOS FICTÍCIOS;• DE ARGUMENTAÇÃO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ESTRUTURA LÓGICA SÃO DIVIDIDAS EM:

• PROPOSIÇÕES

• CONECTIVOS

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PROPOSIÇÃO

DENOMINAMOS PROPOSIÇÃO A TODO CONJUNTO DE PALAVRAS OU SÍMBOLOS QUE EXPRIMEM UM

PENSAMENTO DE SENTIDO COMPLETO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPOSIÇÕES SÃO DIVIDIDAS EM:

• SIMPLES

• COMPOSTAS

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EXEMPLOS

O AR-CONDICIONADO ESTA LIGADO.

7 < 9

A SALA ESTÁ VAZIA.

PELÉ É O NOME DE UM PLANETA DO SISTEMA SOLAR.

GOSTO DE MAÇA.

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OBSERVAÇÃO

NEM TODA SENTENÇA É UMA PROPOSIÇÃO, OU SEJA, NÃO PODE RECEBER O VALOR LÓGICO

VERDADEIRO OU FALSO.

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EXEMPLOS

SENTENÇA EXCLAMATIVA:

“CARÁCOLES!”

“EITA!”

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EXEMPLOS

SENTENÇA INTERROGATIVA:

“VOCÊ CONHECE A CLAUDIA?”

“AMANHÃ CHOVERÁ?”

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EXEMPLOS

SENTENÇA IMPERATIVA:

“NÃO ME PERTURBE.”

“FALE COM A MINHA MÃO.”

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EXEMPLOS

SENTENÇA SEM VERBO:

“UM DIA QUENTE DE VERÃO.”

“HOJE MESMO.”

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OBSERVAÇÃO

AS SENTENÇAS EXCLAMATIVAS, INTERROGATIVAS, IMPERATIVAS E SEM VERBO ESTÃO FORA DO

ESCOPO DA LÓGICA E NÃO SERÃO ABORDADAS.

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OBSERVAÇÃO

AS PROPOSIÇÕES SÃO SENTENÇAS FECHADAS E QUE PODEM SER CLASSIFICADAS COMO

VERDADEIRAS OU FALSAS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

UMA SENTENÇA DO TIPO X > 2 NÃO PODE SER CONSIDERADA UMA PROPOSIÇÃO, POIS O

JULGAMENTO DE SUA VERACIDADE VAI DEPENDER DO VALOR ATRIBUÍDO À

VARIÁVEL X.

SENTENÇAS DESTE TIPO SÃO DENOMINADAS ABERTAS.

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EXEMPLOS

“FULANO” É JOGADOR DE FUTEBOL.

3x + 2 = 11

“ELA” É EFICIENTE.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

DENOMINA-SE CONJUNTO UNIVERSO DE UMA SENTENÇA ABERTA AO CONJUNTO FORMADO POR TODOS OS

VALORES QUE A VARIÁVEL PODE ASSUMIR.AO SUBCONJUNTO FORMADO PELOS VALORES DA VARIÁVEL QUE TORNAM A SENTENÇA VERDADEIRA

DENOMINAMOS CONJUNTO VERDADE OU CONJUNTO SOLUÇÃO DA SENTENÇA ABERTA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

OBSERVAÇÃO

SIMBOLIZAREMOS POR “V” OU “F” OS VALORES LÓGICOS DE UMA PROPOSIÇÃO, REPRESENTANDO,

RESPECTIVAMENTE UMA VERDADE E UMA FALSIDADE .

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PRINCÍPIOS DAS PROPOSIÇÕES

• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE;

• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO;

• PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO.

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PRINCÍPIO DA IDENTIDADE

UMA PROPOSIÇÃO VERDADEIRA É VERDADEIRA EUMA PROPOSIÇÃO FALSA É FALSA.

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PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO

UMA PROPOSIÇÃO E VERDADEIRA OU FALSA, NÃO HAVENDO UM TERCEIRO VALOR LÓGICO.

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PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO

NENHUMA PROPOSIÇÃO É VERDADEIRA E FALSA AOMESMO TEMPO.

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SIMBOLOGIA

PROPOSIÇÕES SÃO SIMBOLIZADAS POR LETRAS MINÚSCULAS.

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EXEMPLOS

p = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO.”

q = “FAZ FRIO HOJE.”

r = “A SALA ESTÁ VAZIA.”

s = “CHOVE LÁ FORA.”

t = “SOU FLAMENGUISTA.”

u = “JÚLIO LAVOU O CARRO.”

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPOSIÇÃO SIMPLES

UMA PROPOSIÇÃO PODERÁ SER SIMPLES OU ATÔMICA, SE NÃO CONTÉM NENHUMA OUTRA PROPOSIÇÃO COMO

PARTE INTEGRANTE DE SI MESMA .

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EXEMPLOS

p: CARLOS É INTELIGENTE.

q: 7 É UM NÚMERO PAR.

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PROPOSIÇÃO COMPOSTA

UMA PROPOSIÇÃO SERÁ DENOMINADA COMPOSTA OU MOLÉCULA, SE FOR FORMADA PELA COMBINAÇÃO DE

DUAS OU MAIS PROPOSIÇÕES SIMPLES.

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EXEMPLOS

“O PROFESSOR É ALTO OU O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO.”

ONDE

p = “O PROFESSOR É ALTO.”

q = “O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO.”

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EXEMPLOS

“SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO ENTÃO SOU FLAMENGUISTA.”

ONDE

r = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO.”

s = “SOU FLAMENGUISTA.”

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EXEMPLOS

“FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA.”

ONDE

t = “FAZ FRIO HOJE.”

u = “CHOVE LÁ FORA.”

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CONECTIVOS

SÃO UTILIZADOS PARA UNIR AS PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMOS) E ASSIM CRIAR AS

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS (MOLÉCULAS).

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CONECTIVOS

É USUAL REPRESENTARMOS AS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU SIMPLES ATRAVÉS DE TABELAS

DAS POSSIBILIDADES DE SEUS VALORES LÓGICOS (V ou F), QUE DENOMINAREMOS TABELAS-VERDADE.

APÓS O ESTUDO DOS CONECTIVOS IREMOS DESENVOLVER UM ESTUDO MAIS DETALHADO

SOBRE AS TABELAS-VERDADE.

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OS PRINCIPAIS CONECTIVOS

• CONJUNÇÃO

• DISJUNÇÃO

• NEGAÇÃO

• CONDICIONAL

• BICONDICIONAL

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CONJUNÇÃO

CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA.”, PODEMOS

ANALISAR O CONECTIVO CONJUNÇÃO, REPRESENTADO PELA LETRA “E” OU PELO

SÍMBOLO “^”.

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CONJUNÇÃO

PROPOSIÇÃO COMPOSTA “FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA”

p = “FAZ FRIO HOJE”q = “CHOVE LÁ FORA”

CONECTIVO : E = ^

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p ^ q”

LÊ-SE = p e q

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

É verdade que:“Faz frio hoje?”

É verdade que:“Chove lá fora?”

É verdade que:“Faz frio hoje e chove lá

fora?”Sim Sim Sim

Sim Não Não

Não Sim Não

Não Não Não

TABELA-VERDADE COM PALAVRAS

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p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS

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EXPRESSÕES EQUIVALENTES A PROPOSIÇÃO CONJUNTIVA

COM SÍMBOLOS COM PALAVRAS

p mas q Faz frio hoje mas chove lá fora.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

LEI

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CONJUNTIVA SÓ SERÁ VERDADEIRA SE TODAS AS SUAS PROPOSIÇÕES

SIMPLES (ÁTOMOS) FOREM VERDADEIRAS. SE PELO MENOS UMA DE SUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMO)

FOR FALSA, A PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CONJUNTIVA SERÁ FALSA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

DISJUNÇÃO

CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “O PROFESSOR E ALTO OU O FLAMENGO VENCEU

O ÚLTIMO JOGO.”, PODEMOS ANALISAR O CONECTIVO DISJUNÇÃO,

REPRESENTADO PELA PALAVRA “OU” OU PELO SÍMBOLO “v”.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

DISJUNÇÃO

PROPOSIÇÃO COMPOSTA “O PROFESSOR E ALTO OU O FLAMENGO VENCEU

O ÚLTIMO JOGO”

p = “O PROFESSOR E ALTO”q = “O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO”

CONECTIVO : OU = v

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p v q”

LÊ-SE = p OU q

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

É verdade que:“O professor é

alto?”

É verdade que:“O Flamengo

venceu o último jogo?”

É verdade que:“O professor é alto ou o

Flamengo venceu o último jogo?”

Sim Sim Sim

Sim Não Sim

Não Sim Sim

Não Não Não

TABELA-VERDADE COM PALAVRAS

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p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

LEI

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) DISJUNTIVA SERÁ VERDADEIRA SE PELO MENOS UMA DAS SUAS

PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMOS) FOREM VERDADEIRAS.SE TODAS AS PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMO)

FOREM FALSAS, A PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) DISJUNTIVA SERÁ FALSA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

NEGAÇÃO

A NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO, SIMPLES OU COMPOSTA, É FEITA ATRAVÉS DO MODIFICADOR

~ OU ¬ (negação lógica). CONSIDEREMOS AS SEGUINTES PROPOSIÇÕES SIMPLES:

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NEGAÇÃO

PROPOSIÇÃO SIMPLES:

p = “O PROFESSOR É ALTO”

NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÃO SIMPLES:

¬ p = “O PROFESSOR NÃO É ALTO”

NEGAÇÃO ALTERNATIVA

¬ p = “O PROFESSOR É BAIXO”

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NEGAÇÃO

PROPOSIÇÃO SIMPLES:

p = “FAZ FRIO HOJE”

NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÃO SIMPLES:

¬ p = “NÃO FAZ FRIO HOJE”

NEGAÇÃO ALTERNATIVA

¬ p = “FAZ CALOR HOJE”

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

NEGAÇÃO

CONECTIVO : NÃO = ~ ou ¬ (negação lógica)

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “¬ p”, “¬ q”, “~p” e “~q”

LÊ-SE = NÃO p OU NÃO q

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

É verdade que:“O professor é

alto?”

É verdade que:“O professor não é

alto?”

Sim Não

Não Sim

TABELA-VERDADE COM PALAVRAS

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É verdade que:“Faz frio hoje?”

É verdade que:“Não faz frio hoje?”

Sim Não

Não Sim

TABELA-VERDADE COM PALAVRAS

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p ¬p ~p

V F F

F V V

TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS

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Com Símbolos Com Palavras

Não é verdade que p. Não é verdade que o professor é alto.

É falso que p. É falso que o professor é alto.

Não é verdade que p. Não é verdade que faz frio hoje.

É falso que p. É falso que faz frio hoje.

EXPRESSÕES EQUIVALENTES A NEGAÇÃO DE UMAPROPOSIÇÃO SIMPLES

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ATENÇÃO COM A DUPLA NEGAÇÃO

¬(¬p) = p OU ~(~p) = p

“O PROFESSOR NÃO É NÃO ALTO” = “O PROFESSOR É BAIXO”

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CONDICIONAL

CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO ENTÃO

SOU CARIOCA.”, PODEMOS ANALISAR O CONECTIVO CONDICIONAL,

REPRESENTADO PELAS PALAVRAS “SE ..... ENTÃO” OU PELO SÍMBOLO “→”.

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CONDICIONAL

PROPOSIÇÃO COMPOSTA “SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

ENTÃO SOU CARIOCA”

p = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO”q = “SOU CARIOCA”

CONECTIVO : SE ..... ENTÃO = →

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p → q”

LÊ-SE = p ENTÃO q

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

É verdade que:“Nasci na

cidade do Rio de Janeiro?”

É verdade que:“Sou carioca?”

É verdade que:“Se nasci na cidade do

Rio de Janeiro então sou carioca?”

Sim Sim Sim

Sim Não Não

Não Sim Sim

Não Não Sim

TABELA-VERDADE COM PALAVRAS

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

LEI

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA QUANDO A PROPOSIÇÃO ANTECEDENTE

(À ESQUERDA) DO CONECTIVO FOR VERDADEIRA E A PROPOSIÇÃO CONSEQÜENTE (À DIREITA) DO CONECTIVO

FOR FALSA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

BI-CONDICIONAL

CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “CHOVE SE E SOMENTE SE FAZ FRIO.”, PODEMOS

ANALISAR O CONECTIVO BI-CONDICIONAL, REPRESENTADO PELAS PALAVRAS “SE E SOMENTE SE”

OU PELO SÍMBOLO “↔”.

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BI-CONDICIONAL

PROPOSIÇÃO COMPOSTA “CHOVE SE E SOMENTE SE FAZ FRIO”

p = “CHOVE”q = “FAZ FRIO”

CONECTIVO : SE E SOMENTE SE = ↔

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p ↔ q”

LÊ-SE = p SE E SOMENTE SE q

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

É verdade que:“Chove?”

É verdade que:“Faz frio?”

É verdade que:“Chove se e somente se

faz frio?”

Sim Sim Sim

Sim Não Não

Não Sim Não

Não Não Sim

TABELA-VERDADE COM PALAVRAS

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

LEI

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) BI-CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA QUANDO A

PROPOSIÇÃO ANTECEDENTE (À ESQUERDA) DO CONECTIVO FOR DIFERENTE DA

PROPOSIÇÃO CONSEQÜENTE (À DIREITA) DO CONECTIVO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

p q ¬p p ^ q p v q p → q p ↔ q

V V F V V V V

V F F F V F F

F V V F V V F

F F V F F V V

TABELA-VERDADE

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TAUTOLOGIA

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CUJO VALORLÓGICO É SEMPRE VERDADEIRO, INDEPENDENTEMENTE

DOS VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES(ÁTOMOS) QUE A COMPÕEM, É DENOMINADA

TAUTOLOGIA.

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p ¬p p v ¬ p

V F V

F V V

EXEMPLOS

p v ¬p É UMA TAUTOLOGIA

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

p q p ^ q (p ^ q) → p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

EXEMPLOS

(p ^ q ) → p É UMA TAUTOLOGIA

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

p q p v q p → (p v q)

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

EXEMPLOS

p → (p v q ) É UMA TAUTOLOGIA

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

CONTRADIÇÃO OU CONTRA-VÁLIDA

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CUJO VALORLÓGICO É SEMPRE FALSO, INDEPENDENTEMENTE

DOS VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES(ÁTOMOS) QUE A COMPÕEM, É DENOMINADA

CONTRADIÇÃO OU CONTRA-VÁLIDA. A NEGAÇÃO DEUMA TAUTOLOGIA É UMA CONTRADIÇÃO.

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p ¬p p ^ ¬ p

V F F

F V F

EXEMPLOS

p ^ ¬p É UMA CONTRADIÇÃO

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

CONTINGÊNCIA

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CUJO VALORLÓGICO PODE SER VERDADEIRO OU FALSO, DEPENDENDO

DOS VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES(ÁTOMOS) QUE A COMPÕEM, É DENOMINADA CONTINGÊNCIA. EM OUTRAS PALAVRAS, UMA

PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) QUE NÃO É NEMTAUTOLOGIA, NEM CONTRADIÇÃO, É, PORTANTO,

UMA CONTINGÊNCIA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

p q r p v q p ^ r (p v q) ^ (p ^ r)V V V V V VV V F V F FV F V V V VV F F V F FF V V V F FF V F V F FF F V F F FF F F F F F

EXEMPLOS(p v q) ^ (p ^ r) É UMA CONTINGÊNCIA

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

SEJAM AS PROPOSIÇÕES p E q, TAL QUE:

p = “ESTÁ CALOR”q = “ESTÁ CHOVENDO”

DESCREVER AS SEGUINTES PROPOSIÇÕES ABAIXO:

a) ¬ pb) p v qc) p ^ qd) p → qe) P ↔ q

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO

a) ¬ p = “NÃO ESTÁ CALOR”b) p v q = “ESTÁ CALOR OU ESTÁ CHOVENDO”c) p ^ q = “ESTÁ CALOR E ESTÁ CHOVENDO”d) p → q = “SE ESTÁ CALOR, ENTÃO ESTÁ CHOVENDO”e) P ↔ q = “ESTÁ CALOR SE E SOMENTE SE ESTÁ CHOVENDO”

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EXERCÍCIO

SEJA p = “CARLOS É MAGRO” E q = “CARLOS É BONITO”. REPRESENTE CADA UMA

DAS SEGUINTES AFIRMAÇÕES EM FUNÇÃO DE p E q:

a) “CARLOS É MAGRO OU BONITO”b) “CARLOS É MAGRO E BONITO”

c) “SE CARLOS É MAGRO, ENTÃO É BONITO”d) “CARLOS NÃO É MAGRO, NEM BONITO”

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO

a) “CARLOS É MAGRO OU BONITO” = p v qb) “CARLOS É MAGRO E BONITO” = p ^ qc) “SE CARLOS É MAGRO, ENTÃO É BONITO” = p → qd) “CARLOS NÃO É MAGRO, NEM BONITO” = ¬ p ^ ¬ q

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

SEJAM p E q PROPOSIÇÕES, COMPLETE A TABELAVERDADE ABAIXO:

p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q

V V V

V F F F

F V F

F F V

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SOLUÇÃO

P q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q

V V F F V V V

V F F V F V F

F V V F V F F

F F V V V V V

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

SEJAM p E q PROPOSIÇÕES, COMPLETE A TABELAVERDADE ABAIXO:

p q ¬p ¬q p v q p ^ q ¬p ^ ¬q ¬p v ¬q

V V F V V F

V F F

F V V V F

F F V V V

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SOLUÇÃO

p q ¬p ¬q p v q p ^ q ¬p ^ ¬q ¬p v ¬q

V V F F V V F F

V F F V V F F V

F V V F V F F V

F F V V F F V V

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EXERCÍCIO

DETERMINAR O VALOR VERDADE DA PROPOSIÇÃO (p ^ q) → r, SABENDO-SE QUE VAL (p) = V, VAL (q) = v E VAL (r) = F.

P q r p ^ q (p ^ q) → r

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO

P q r p ^ q (p ^ q) → r

V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V F VF V F F VF F V F VF F F F V

LOGO O VAL(p ^ q) → r = F

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EXERCÍCIO

SENDO p UMA PROPOSIÇÃO VERDADEIRA E q UMA PROPOSIÇÃO FALSA, QUAL O VALOR LÓGICO DA

PROPOSIÇÃO COMPOSTA r: (p ^ ¬ q) → q ?

SOLUÇÃO:

p q ¬ q p ^ ¬ q (p ^ ¬ q) → q

V F V V F