View
4
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Aula 23Séries de Fourier.
MA311 - Cálculo III
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática AplicadaInstituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Introdução
Nas aulas anteriores, vimos como resolver uma equaçãodiferencial ordinária usando uma série de potências.
No estudo de equações diferenciais parciais, como a equaçãodo calor, surgem naturalmente um tipo diferente de séries,chamadas séries de Fourier.
Além das aplicações na resolução de equações diferenciais, asséries de Fourier possuem aplicações em engenharia elétrica,análise de vibrações, processamento de imagens e sinais,física quântica, econometria, entre outras.
Série de FourierDefinição 1 (Série de Fourier)
Uma série de Fourier é uma série da forma
a0
2`
8ÿ
m“1
”
am cos´mπx
L
¯
` bm sen´mπx
L
¯ı
,
em que L ą 0 é um parâmetro e a0, am e bm, para m “ 1,2, . . .,são os coeficientes.
Série de Fourier de fNos pontos em que a série de Fourier converge, ela defineuma função f que satisfaz
f pxq “a0
2`
8ÿ
m“1
”
am cos´mπx
L
¯
` bm sen´mπx
L
¯ı
,
chamada série de Fourier de f .
Funções Periódicas
Definição 2
Uma função f : D Ñ R é periódica com período T ą 0 se
f px ` T q “ f pxq, @x P D. (1)
O menor valor de T para o qual (1) é válida é chamadoperíodo fundamental de f .
Exemplo 3
As funções
cos´mπx
L
¯
e sen´mπx
L
¯
, m “ 1,2, . . . ,
são funções periódicas com período T “ 2L{m.
Teorema 4Se f1, f2, f3, . . . , fn são funções periódicas com período T , então
spxq “ c1f1pxq ` c2f2pxq ` . . .` cnfnpxq,
também é periódica com período T .
O resultado acima também vale para a soma de uma sérieinfinita convergente.
Teorema 5A função
f pxq “a0
2`
8ÿ
m“1
”
am cos´mπx
L
¯
` bm cos´mπx
L
¯ı
,
é periódica com período T “ 2L
Produto Interno e Funções Ortogonais
Definição 6 (Produto Interno)
O produto interno usual de duas funções f e g no intervaloa ď x ď b é definido pela equação
xf ,gy “ż b
af pxqgpxqdx .
Definição 7 (Funções Ortogonais)
As funções f e g são ortogonais em a ď x ď b se
xf ,gy “ż b
af pxqgpxqdx “ 0.
Um conjunto de funções tf1, f2, . . . , fnu é um conjunto ortogonalse
@
fi , fjD
“ 0 sempre que i ‰ j .
Ortogonalidade de Seno e Cosseno
Teorema 8As funções sen
`mπxL
˘
e cos`mπx
L
˘
, para m “ 1,2, . . ., foram umconjunto ortogonal no intervalo ´L ď x ď L. Com efeito, tem-se
xCm, Cny “
ż L
´Lcos
´mπxL
¯
cos´nπx
L
¯
dx “
#
0, m ‰ n,L, m “ n,
xCm,Sny “
ż L
´Lcos
´mπxL
¯
sen´nπx
L
¯
dx “ 0, @m,n,
xSm,Sny “
ż L
´Lsen
´mπxL
¯
sen´nπx
L
¯
dx “
#
0, m ‰ n,L, m “ n,
em que
Cmpxq “ cos´mπx
L
¯
e Smpxq “ sen´mπx
L
¯
,@m “ 1,2, . . . .
Fórmulas de Euler-Fourier
Teorema 9 (Fórmulas de Euler-Fourier)
Se
f pxq “a0
2`
8ÿ
m“1
”
am cos´mπx
L
¯
` bm cos´mπx
L
¯ı
,
está bem definida e pode ser integrada termo a termo, então
am “xf , Cmy
xCm, Cmy“
1L
ż L
´Lf pxq cos
´mπxL
¯
dx , @m “ 0,1,2, . . . ,
bm “xf ,Smy
xSm,Smy“
1L
ż L
´Lf pxq sen
´mπxL
¯
dx , @m “ 1,2, . . . .
Exemplo 10
Determine, admitindo sua existência, a série de Fourier dafunção f definida por
f pxq “
#
´x , ´2 ď x ă 0,x , 0 ď x ă 2,
e f px ` 4q “ f pxq.
Exemplo 10
Determine, admitindo sua existência, a série de Fourier dafunção f definida por
f pxq “
#
´x , ´2 ď x ă 0,x , 0 ď x ă 2,
e f px ` 4q “ f pxq.
Resposta: A série de Fourier de f é
f pxq “ 1´8π2
8ÿ
n“1
cos´
p2n´1qπx2
¯
p2n ´ 1q2.
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
f
s1
snpxq “ 1´8π2
nÿ
m“1
cos´
p2m´1qπx2
¯
p2m ´ 1q2.
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
f
s2
snpxq “ 1´8π2
nÿ
m“1
cos´
p2m´1qπx2
¯
p2m ´ 1q2.
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
f
s3
snpxq “ 1´8π2
nÿ
m“1
cos´
p2m´1qπx2
¯
p2m ´ 1q2.
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
f
s4
snpxq “ 1´8π2
nÿ
m“1
cos´
p2m´1qπx2
¯
p2m ´ 1q2.
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
f
s5
snpxq “ 1´8π2
nÿ
m“1
cos´
p2m´1qπx2
¯
p2m ´ 1q2.
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
f
s6
snpxq “ 1´8π2
nÿ
m“1
cos´
p2m´1qπx2
¯
p2m ´ 1q2.
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
f
s7
snpxq “ 1´8π2
nÿ
m“1
cos´
p2m´1qπx2
¯
p2m ´ 1q2.
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
f
s8
snpxq “ 1´8π2
nÿ
m“1
cos´
p2m´1qπx2
¯
p2m ´ 1q2.
Exemplo 11
Determine, admitindo sua existência, a série de Fourier dafunção f definida por
f px ` 6q “ f pxq e f pxq “
$
’
&
’
%
0, ´3 ď x ă ´1,1, ´1 ď x ă `1,0, `1 ď x ă 3,
Exemplo 11
Determine, admitindo sua existência, a série de Fourier dafunção f definida por
f px ` 6q “ f pxq e f pxq “
$
’
&
’
%
0, ´3 ď x ă ´1,1, ´1 ď x ă `1,0, `1 ď x ă 3,
Resposta: A série de Fourier de f é
f pxq “13`
8ÿ
m“1
2mπ
sen´mπ
3
¯
cos´mπx
3
¯
.
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
f
s1
snpxq “13`
nÿ
m“1
2mπ
sen´mπ
3
¯
cos´mπx
3
¯
.
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
f
s2
snpxq “13`
nÿ
m“1
2mπ
sen´mπ
3
¯
cos´mπx
3
¯
.
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
f
s3
snpxq “13`
nÿ
m“1
2mπ
sen´mπ
3
¯
cos´mπx
3
¯
.
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
f
s4
snpxq “13`
nÿ
m“1
2mπ
sen´mπ
3
¯
cos´mπx
3
¯
.
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
f
s5
snpxq “13`
nÿ
m“1
2mπ
sen´mπ
3
¯
cos´mπx
3
¯
.
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
f
s6
snpxq “13`
nÿ
m“1
2mπ
sen´mπ
3
¯
cos´mπx
3
¯
.
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
f
s7
snpxq “13`
nÿ
m“1
2mπ
sen´mπ
3
¯
cos´mπx
3
¯
.
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
f
s8
snpxq “13`
nÿ
m“1
2mπ
sen´mπ
3
¯
cos´mπx
3
¯
.
Recommended