Cálculo Diferencial e Integral 1 Limite e Continuidade de

Cálculo Diferencial e Integral ILimite e Continuidade de Funções

Prof. Angelo Aliano Filho

Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR

1º semestre de 2022

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 1 / 63

Sumário

1 Limite de uma função real

2 Continuidade de funções

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 2 / 63

Limite de uma função real

Sumário

1 Limite de uma função real

2 Continuidade de funções

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 3 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função realNotas de aula a partir dos livros: [1, 2, 3, 4].

Utilizando a ideia intui-tiva de limite, calculelimx→1

x2−1x−1 .

Claro que f não está defi-nida em x = 1; no entantopodemos nos aproximar de1 quanto quisermos.Fazendo as contas, obte-mos a tabela ao lado.

x f (x) x f (x)

0.9 1.9 1.1 2.10.91 1.91 1.09 2.090.92 1.92 1.08 2.080.93 1.93 1.07 2.070.94 1.94 1.06 2.060.95 1.95 1.05 2.050.96 1.96 1.04 2.040.97 1.97 1.03 2.030.98 1.98 1.02 2.020.99 1.99 1.01 2.01

Parece que x → 1, f (x)→ 2.Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 4 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

De fato, x → 1 não significa x = 1;

Logo, podemos simplificar f já que x 6= 1:

f (x) =x2 − 1x − 1

= ����(x − 1)(x + 1)���x − 1

= x + 1

Portanto, f (x) = x + 1 para todo x 6= 1.

Assim, esperamos aproximarmos de y = 2quando x se aproxima de 1, como espe-rado.

x

f (x)

−1 0 1 2 3

−1

0

1

2

3

4

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 5 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Considere outro exemplo:

Parece que x → 1, f (x)→ 1/2. Seria verdadeira nossa intuição?

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 6 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Utilizando a ideia intui-tiva de limite, calculelimx→0 sin

1x .

Claro que f não está defi-nida em x = 0; no entantopodemos nos aproximar de0 quanto quisermos.Fazendo as contas, obte-mos a tabela ao lado.

x f (x) x f (x)

0.2 −0.9589 0.1 −0.5440.19 −0.8521 0.09 −0.99330.18 −0.6651 0.08 −0.06630.17 −0.3902 0.07 0.9890.16 −0.0332 0.06 −0.81840.15 0.3742 0.05 0.91290.14 0.7576 0.04 −0.13240.13 0.987 0.03 0.94050.12 0.8873 0.02 −0.26240.11 0.3277 0.01 −0.5064

Para onde f tende quando x → 0? Há casos onde uma tabelanão funciona!

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 7 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Situação 1:

x

y

f

f (p)

p

Quando x → p, f (x)→ f (p); f écontínua em x = p

Situação 2:

x

y

f

L

p

Quando x → p, f (x)→ L; mas fnão é contínua em x = p

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 8 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Situação 3:

x

y

f (p)

f

L

p

Quando x → p, f (x)→ L 6= f (p);f não é contínua em x = p

Situação 4:

x

y

f (p)

f

p

Quando x → p, f (x) não tendea nenhum valor; f também não

é contínua em x = p

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 9 / 63

Limite de uma função real

Continuidade de funções

Nas situações 1, 2 e 3 o limite de f quando x → p existe. Issopode ser sistematizado por meio da seguinte definição.

Definição de limite

Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio ou extremi-dade de um dos invervalos que compõem o domínio de f . Dize-mos que f tem limite L em p se, para todo ε > 0 dado, existir umδ > 0 tal que, para todo x ∈ D(f ):

0 < |x − p| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

Tal número L deve ser único, finito e real e será indicado por L =lim

x→pf (x)

Já na situação 4 o limite não existe.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 10 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Propriedades

Sejam f ,g : D → R e p ∈ R tal que todo intervalo aberto con-tendo p intersecte D \ {p}. Se lim

x→pf (x) = L1 e lim

x→pg(x) = L2 então:

limx→p

(f (x)± g(x)) = L1 ± L2

limx→p

(f (x) · g(x)) = L1 · L2

Se g(x) 6= 0 para todo x ∈ D e L2 6= 0 então limx→p

f (x)g(x)

=L1

L2.

Se c ∈ R então limx→p

(c · f (x)) = c · L1

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 11 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Exemplo

Avalie os limites:

limx→2

x3 − 2x + 1x2 − 1

limx→1

x3 − 2x + 1x2 − 1

limx→1

(1

1− x− 3

1− x3

)limx→1

√x − 1

x − 1

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 12 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Limite lateral esquerdo

Sejam f : D → R e p ∈ R tais que para todo r > 0, o intervalo(p − r ,p) intersecte D. Dizemos que o limite f (x) quando x tendea p pela esquerda é igual a L, escrevendo lim

x→p−f (x) = L se para

todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

p − δ < x < p =⇒ |f (x)− L| < ε.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 13 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Limite lateral direitoSejam f : D → R e p ∈ R tais que para todo r > 0, o intervalo(p,p + r) intersecte D. Dizemos que o limite f (x) quando x tendea p pela direita é igual a L, escrevendo lim

x→p+f (x) = L se para todo

ε > 0 existe δ > 0 tal que:

p < x < p + δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 14 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

TeoremaSejam f : D → R e a ∈ R tais que para todo r > 0, os intervalos(p − r ,p) e (p,p + r) intersectam D. Então, lim

x→pf (x) = L se, e

somente se, limx→p−

f (x) = limx→p+

f (x) = L.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 15 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

x

y

f (p)

f

px

Limite lateral esquerdo limx→p−

f (x)

x

y

f (p)

f

p x

Limite lateral direito limx→p+

f (x)

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 16 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Nosso objetivo é estudar limx→p

f (g(x)). Suponhamos que limx→p

g(x) =

a. É razoável esperar que

limx→p

f (g(x)) = f(lim

x→pg(x)

)= f (a).

Teorema – limite da função composta

Se f é contínua em a e limx→p

g(x) = a então

limx→p

f (g(x)) = f(lim

x→pg(x)

)= f (a).

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 17 / 63

Limite de uma função real

Limite de uma função real

Exemplo

Sejam f e g definidas em R de dadas por g(x) = x2 e

f (x) ={

x + 1, se x 6= 13, se x = 1

Verifique se

limx→1

f (g(x)) = f(limx→1

g(x)).

O que você conclui?

Exemplo

Calcule

limx→2

3√

x − 3√

2x − 2

.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 18 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Teorema do confrontoSejam f , g e h funções definidas em R não necessariamente emx = p, satisfazendo f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x 6= p. Se

limx→p

f (x) = limx→p

h(x) = L

entãolim

x→pg(x) = L.

Exemplo

Calcule o limite limx→0

x cos1x.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 19 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Teorema do anulamentoSe f ,g : D → R são funções tais que f é limitada (na vizinhançade p) e lim

x→pg(x) = 0 então lim

x→p(fg)(x) = 0.

Exemplo

Calcule o limite limx→0

sin(x) · x2 + 1x2 + 2

.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 20 / 63

Limite de uma função real

Limites fundamentais

Seja f : R \ {0} → R definida por f (x) = sin xx . Queremos calcular

limx→0

sin xx

. Note que a regra do limite do quociente não poderá

ser aplicada.

Teorema – limite fundamental 1Limite trigonométrico fundamental é:

limx→0

sin xx

= 1

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 21 / 63

Limite de uma função real

Limites fundamentais

Da figura vemos que sin θ < θ < tan θ...

x

y

·

C

B D

E

O

θ

Figura: Limite fundamental trigonométrico

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 22 / 63

Limite de uma função real

Limites fundamentais

Exemplos

Usando o limite trigonométrico fundamental, calcule os limites:

limx→0

tan 2xx

limx→0

sin 3xsin 5x

limx→0

1− cos xx

limx→0

1− cos xx2

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 23 / 63

Limite de uma função real

Limites fundamentais

Seja f : R \ {0} → R definida por f (x) = ax−1x com 1 6= x > 0. Que-

remos calcular limx→0

f (x). Note que o valor deste limite depende

de a.Para a = 2 o valor deste é ≈0.6912Para a = 3 o valor deste é ≈1.104

Definição – número de Euler

O número 2 < e < 3 chamado de número de Euler é tal que

limx→0

ex − 1x

= 1.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 24 / 63

Limite de uma função real

Limites fundamentais

x

f (x)

−2 −1 0 1 2−1

0

1

2

3

4

5

a = 1.5

a = 2

a = 3

a = 3.5

Figura: Função f (x) = ax−1x para vários valores de a

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 25 / 63

Limite de uma função real

Limites fundamentais

Teorema – limite fundamental 2O segundo limite fundamental é:

limx→0

(1 + x)1/x = limx→∞

(1 +

1x

)x

= e

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 26 / 63

Limite de uma função real

Limites fundamentais

Teorema – limite fundamental 3O terceiro limite fundamental é:

limx→0

ax − 1x

= lna,

onde 1 6= a > 0.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 27 / 63

Limite de uma função real

Limites fundamentais

Exemplos

Calcule os limites a seguir:

limx→0

ax − bx

x

limx→∞

(x + 1x + 3

)x

limx→0

(1 + ax)bx

limx→0

e√

x − 13√

x

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 28 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Algumas propriedades úteis para limites infinitos

Suponha que f (x) = h(x)g(x) onde lim

x→a−= L 6= 0 e lim

x→a−g(x) = 0.

1. Se g(x) > 0 então:

limx→a−

f (x) = limx→a−

h(x)g(x)

=

{+∞, se L > 0−∞, se L < 0.

2. Se g(x) < 0 então:

limx→a−

f (x) = limx→a−

h(x)g(x)

=

{+∞, se L < 0−∞, se L > 0.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 29 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Algumas propriedades úteis para limites infinitos

Suponha que f (x) = h(x)g(x) onde lim

x→a+= L 6= 0 e lim

x→a+g(x) = 0.

1. Se g(x) > 0 então:

limx→a+

f (x) = limx→a+

h(x)g(x)

=

{+∞, se L > 0−∞, se L < 0.

2. Se g(x) < 0 então:

limx→a+

f (x) = limx→a+

h(x)g(x)

=

{+∞, se L < 0−∞, se L > 0.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 30 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Exemplo

Calcule os limites laterais em torno de ±1 da função f (x) = xx2−1

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 31 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Definição: limite +∞Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que [a,+∞) ⊂D(f ). Definimos

limx→+∞

f (x) = L

se para qualquer ε > 0, existir um δ > 0 com δ > a tal que sex > δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 32 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

x

f (x)f

L − εL

L + ε

δ

Figura: Ilustração geométrica da definição do limite no infinito

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 33 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Definição: limite −∞Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que (i∞,a] ⊂D(f ). Definimos

limx→−∞

f (x) = L

se para qualquer ε > 0, existir um δ > 0 com −δ < a tal que sex < −δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 34 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Definição: assíntota vertical

Diremos que a reta vertical x = a é uma assíntota vertical aográfico de uma função f se for satisfeita uma qualquer das con-dições abaixo:

limx→a−

f (x) = −∞, limx→a−

f (x) = +∞

oulim

x→a+f (x) = −∞, lim

x→a+f (x) = +∞.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 35 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

x

y

f

a

Figura: Função com assíntotavertical em x = a

x

y f

a

Figura: Função com assíntotavertical em x = a

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 36 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Definição: assíntota horizontal

Diremos que a reta horizontal y = L é uma assíntota vertical aográfico de uma função f se for satisfeita uma qualquer das con-dições abaixo:

limx→+∞

f (x) = L <∞

oulim

x→−∞f (x) = L <∞

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 37 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

x

yπ2

−π2

Figura: Função f (x) = arctan x

x

y

1

Figura: Função f (x) = e−1/x2

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 38 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Exemplo

Considere a função f (x) = 2x2−x−1x2−1 definida em R \ {−1, 1}. Verifi-

que a presença de assíntotas verticais e horizontais para ela.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 39 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Função tendendo a +∞Suponhamos que exista a tal que ]a,+∞[⊂ D(f ). Definimos

limx→+∞

f (x) = +∞,

se para qualquer ε > 0, existe δ > 0 com δ > a tal que x > δ =⇒f (x) > ε.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 40 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Função tendendo a −∞Suponhamos que exista a tal que ]a,+∞[⊂ D(f ). Definimos

limx→+∞

f (x) = −∞,

se para qualquer ε > 0, existe δ > 0 com δ > a tal que x > δ =⇒f (x) < −ε.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 41 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Proposição

Monômios no +∞:

limx→+∞

cxk = +∞ se c > 0 e limx→+∞

cxk = −∞ se c < 0

onde c ∈ R e k ∈ Z

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 42 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Proposição

Monômios no −∞:

limx→−∞

cxk = +∞ se c > 0 e limx→−∞

cxk = −∞ se c < 0

onde c ∈ R e k ∈ Z par

limx→−∞

cxk = −∞ se c > 0 e limx→−∞

cxk = +∞ se c < 0

onde c ∈ R e k ∈ Z ímpar

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 43 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

x

y

n = 1

n = 3

n = 5

Figura: Função f (x) = cxn, c > 0 en ímpar

x

y

n = 1

n = 3

n = 5

Figura: Função f (x) = cxn, c < 0 en ímpar

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 44 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

x

y

n = 2

n = 4

n = 6

Figura: Gráfico da funçãof (x) = cxn, c > 0 e n par

x

y

n = 2

n = 4

n = 6

Figura: Gráfico da funçãof (x) = cxn, c > 0 e n par

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 45 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Algumas propriedades úteis para limites no infinito

Suponha que limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞ então:

1. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = +∞

2. limx→+∞

f (x)g(x) = +∞

Suponha que limx→+∞

f (x) = L <∞ e limx→+∞

g(x) = +∞ então:

3. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = +∞

4. limx→+∞

f (x)g(x) ={

+∞, se L >0−∞, se L >0

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 46 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Algumas propriedades úteis para limites no infinito

Suponha que limx→+∞

f (x) = −∞ e limx→+∞

g(x) = +∞ então:

5. limx→+∞

f (x)g(x) = −∞

Suponha que limx→+∞

f (x) = L <∞ e limx→+∞

g(x) = +∞ então:

6. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = +∞

Suponha que limx→+∞

f (x) = L <∞ e limx→+∞

g(x) = −∞ então:

7. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = −∞

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 47 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Algumas propriedades úteis para limites no infinito

Suponha que limx→+∞

f (x) = −∞ e limx→+∞

g(x) = −∞ então:

8. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = −∞

9. limx→+∞

f (x)g(x) = +∞

Suponha que limx→+∞

f (x) = L <∞ e limx→+∞

g(x) = −∞ então:

10. limx→+∞

f (x)g(x) ={−∞, se L >0+∞, se L >0

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 48 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Exemplo

Estude o comportamento assintótico da função p(x) = −3x3 −25x2 + 4x − 7

Exemplo

Estude o comportamento assintótico da função

f (x) =amxm + am−1xm−1 + · · ·+ a1x + a0

bnxn + bn−1xn−1 + · · ·+ b1x + b0

onde am,bn 6= 0

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 49 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Exemplo

Calcule os limites:

limx→∞

x2 − 12x2 + 1

limx→−∞

√x2 + 2

2x + 1

limx→∞

(x −√

x + 1)

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 50 / 63

Limite de uma função real

Limites infinitos e no infinito

Formas indeterminadasEstas expressões necessitam ser calculadas cuidadosamente(são indeterminações):

00, 00, 1∞, ∞−∞, ∞

∞, 0 · ∞, ∞0,

portanto, muito cuidado ao deparar-se com elas!

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 51 / 63

Continuidade de funções

Sumário

1 Limite de uma função real

2 Continuidade de funções

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 52 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

x

y

f

f (p)

px

y

f (p)

f

p

Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seudomínio é uma função cujo gráfico não apresenta “salto” emx = p.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 53 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

Definição de continuidade

Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. Dizemos quef é contínua em p se, e somente se, para todo ε > 0, existir umδ > 0 tal que, para todo x ∈ D(f ):

0 < |x − p| < δ =⇒ |f (x)− f (p)| < ε

Exemplo

Prove que f (x) = 2x + 1 é contínua em x = 1, via definição.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 54 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

Definição alternativa de continuidade

Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. Dizemos quef é contínua em p se, e somente se, a seguinte condição forverdadeira:

limx→p

f (x) = f (p),

isto é, “pequenas variações no domínio promovem pequenasvariações na imagem”.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 55 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

Definição alternativa de continuidade

A condição anterior leva a três condição para que f seja contí-nua em x = p:

1 f (p) existir;2 lim

x→pf (x) existir (implica os limites laterais x → p+ e x → p−

existirem e serem iguais)3 lim

x→pf (x) = f (p)

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 56 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

x

y

f

L

p

Note que, para f (p) está indefinida, logo f é descontínua emx = p

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 57 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

x

y

f (p)

f

L

p

Note que, embora f (p) exista, limx→p

f (x) = L 6= f (p), logo f é des-

contínua em x = p

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 58 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

x

y

f (p)

f

pp − δ p − δ

f (p)− ε

f (p) + ε

Note que, para p−δ < x < p+δ não implica que f (p)−ε < f (x) <f (p) + ε porque f é descontínua em x = p

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 59 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

Proposição

Se p é um polinômio qualquer, então, para todo a ∈ R,

limx→a

p(x) = p(a).

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 60 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

Proposição

Sejam f ,g : D → R funções tal que D ⊂ R tal que qualquer inter-valo aberto contendo p intersecte D\{p}. Se f e g são contínuas,então:

f + g : D → R é contínuaf · g : D → R é contínuafg : D∗ → R em que D∗ = {x ∈ D|g(x) 6= 0} é contínua.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 61 / 63

Continuidade de funções

Continuidade de funções

Exemplo

Considere

f (x) ={

2, se x ≥ 11, se x < 1

Prove que f é descontínua em x = 1.

Exemplo

Determine todos os valores de x para os quais a função

f (x) =2− x

(3 + x2)(5− x)+

4 + x2

(3 + x)(2− 4x)

é contínua.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 62 / 63

Continuidade de funções

Referências I

A. C. Muniz Neto, “Fundamentos de cálculo (coleçãoprofmat),” Rio de Janeiro: SBM, 2015.

H. L. Guidorizzi, “Curso de calculo,” 1987.

G. F. Simmons, J. J. Martínez Fernández, et al., “Cálculo ygeometría analítica,” 2002.

J. Stewart and J. H. Romo, cálculo.Pioneira Thomson Learning, 2006.

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 63 / 63