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CONJUNTOS e
CONJUNTOS NUMÉRICOS
PARTE - 03/04
Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ][I
Um novo tipo de número: os IrracionaisConsidere um triângulo retângulo cujos catetos sejam iguais a 1 (Figura abaixo). O Teorema de Pitágoras nos diz que:
h portanto, podemos expressar que:
222 11 h 22 h
2hOu seja: h é aproximadamente igual a:
4,1h ou 41,1h 414,1h ou 4142,1hou
41421,1h ou 414213,1hou 4142135,1h ou 41421356,1hou
Ou seja, são números que não podem ser escritos na forma de razões ou decimais exatos ou, ainda, de dízimas periódicas.
Isto é, a medida h da figura acima ‘deve’ ser escrito assim: 2h
se tivermos uma calculadora com 35 digitos:2h ...097168872422073095048804142135623,1
Prof. Mário Hanada
...203040,0
...203040,1
...414213,12
...7320508,13
...141592,3
Lembrando: Um número irracional não pode ser escrito como razão entre dois inteiros.
Uma forma de representar TODOS os números irracionais é:
xxI / é dízima periódicanão
Prof. Mário Hanada
Quantidade de números IRRACIONAIS na reta
2 1 0 1 2 3
...203040,0
2
10
2
...1414213,0
32
5
...236067,2
...7320508,1
...141592,3
Quantos números IRRACIONAIS podemos imaginar na reta?
Onde está localizado o número ?2
2
2
2
...414213,1
...7071067,0
E o número ?3
2
3
2
...4714,0
E o número ?4
2 E o número ?100
2 E o número ?000.000.1
2
...3535,0 ...014142,0 ...0000014142,0
...203040,0 2
Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IR
O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.
Todo número natural é número real.
Todo número inteiro é número real.
Todo número racional é número real.
Todo número irracional é número real.
Ou seja:
Prof. Mário Hanada
Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real.
IRQZIN
IQIR
IQ
QIRI
Vamos localizar alguns números reais na reta real.
Prof. Mário Hanada
Números Naturais também são números reais…
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
Veja onde estão estes números reais na reta real
0 1 2 3 4 5 6 7
Então concluímos que: IRIN INIR
IN4IR4
IN7 IN2009
IR7 IR2009Prof. Mário Hanada
Números INTEIROS também são números reais…
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7123
Veja onde estão estes números reais na reta real
Então concluímos que: IRZ ZIR
IR4
Z 3 Z 16 Z198Z4
IR 3 IR 16 IR198
Prof. Mário Hanada
Veja onde estão “ALGUNS” destes números na reta real
2 1 0 1 2 34
3
2
1
4
12
3 2 10
2910
9
5,1
5,19,0
25,0 5,0 75,0
2
3 00,2 9,2
Então os Números RACIONAIS também são números reais…
2
0,2
2
5
5,2
Temos aqui números NATURAIS que são números reais…Temos aqui números INTEIROS que são números reais…Temos aqui números RACIONAIS que são números reais…
Então concluímos que: IRQ QIR
IR 2
Q 2 Q2
1
IR2
1
Q2
3
IR2
3
Q2
3
IR2
3
Q3
1
IR3,0 Para completar o conjunto dos REAIS falta o
conjunto dos IRRACIONAIS.Prof. Mário Hanada
Veja onde estão “ALGUNS” destes números vistos entre os racionais na reta real
2 1 0 1 2 34
32
1
4
12
3 2 10
2910
9
5,1
5,1 9,025,0 5,0
75,0
2
3 0,2
9,2
Assim, finalmente, os Números IRRACIONAIS também são números reais…
2
0,2
2
5
5,2
2
3
...414213,1 ...7320508,1
...141592,3
2
5
...236067,2
2
3
...866025,0
7
2
...2020305,0
Todos os números, em destaque, acima são números REAIS. Prof. Mário Hanada
2 1 0 1 2 3
Observe melhor alguns dos números REAIS, na reta real.Observe melhor alguns dos números REAIS, na reta real.
Dentre estes números REAIS, estão incluídos: NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS.
Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRDesigualdade entre números reais
Dados dois números reais a e b, ocorre uma, e somente uma, das seguintes possibildades:
ba ba ba ou
ou
Geometricamente, a desigualdade a < b significa que a está a esquerda de b na reta real:
a
b
Geometricamente, a desigualdade a > b significa que a está a direita de b na reta real:
b a
ba
ba Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IR
Exemplos: ...189,3...195,2
22
05,005,0
,
6,006,0
42
Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IR
Algebricamente, a < b, se, e somente se, a diferença b – a é um número positivo.
53Exemplos: então 35 é positivo.
53Isto é: 035
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IR
Então, sempre que tivermos a e b, pertencente aos reais com ba podemos colocá-los ordenadamente na reta real.
Usamos também as seguintes notações:
ba
ab
Lê-se: “a é menor do que ou igual a b”
Lê-se: “b é maior do que ou igual a a”
ou: “a é menor ou igual a b”
ou: “b é maior ou igual a a”
Exemplo: 3x Lê-se: “x é maior do que ou igual a 3”
ou: “x é maior ou igual a 3”
CONJUNTOS e
CONJUNTOS NUMÉRICOSPARTE - 03/04
Prof. Mário Hanada
FIM da PARTE 03/04
VEJA a PARTE 04/04
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