Exercícios de Calculo III

Exercícios de Cálculo III Caps. 2 e 3 – Lista 2 Prof. Ronaldo R. Rossi

1) Verifique se a função é solução da EDO correspondente

a) xCey 2−= 02 =+′ yy b) cbxaxy ++= 2 0=′′′y c) ( ) ( )kxcosBkxsenAy += 02 =+′′ yky (A, B e k constantes ℜ∈ ) d) xeCeCy xx −+= −

21 xyy =′−′′ 2) Resolver a EDO Separável

a) ( ) 02 =+′ xtanhyy R.: ( )xhsecCy ⋅= b) 022 =+′ xyy R.: Cyx =+ 33

c) ( )xcosyy ω2=′ R.: ( ) Cxsenxy ++=ωω

222

d) 12 −=′ yyx R.: ( ) Cxlny +=−1

e) ( ) ( ) 022 =−′ xcosyxseny R.: ( )xsenCy 2⋅= f) PVI: ( ) 0=−′ xtanhyy ( ) 10 =y R.: ( )xcoshy =

g) PVI: 0=+′ yyx ( ) 11 =y R.: x

y 1=

h) PVI: ( ) 01 =+′+ yyx ( ) 12 −=−y R.: 1

1+

=x

y

3) Verifique se a EDO possui função homogênea de grau zero e resolva-a reduzindo à forma separável

a) yxyx +=′ R.: ( ) Cxxlnxy +⋅=

b) 02 =++′ xyyx R.: xxCy −=

4) Verifique se a EDO é exata e resolva-a. Se não for exata, determine um fator integrante e resolva-a

a) 04 =+ xdxydy R.: Cyx =+ 22 4

c) 02 2 =+ dxyxdy R.: Cex y =⋅−

21

2 c) ( ) ( ) 0=+ dyycosxdxysen R.: ( ) Cysenx =⋅ d) ( ) 02 =++ dyyxedxye yxyx R.: Cye yx =+ 2 e) ( ) 0=+ dyxlnxydx R.: ( ) Cxlny =⋅

f) ( )[ ] ( ) 0=− dxysendyycosx R.: ( ) Cx

ysen=

g) ( ) ( ) 011 =+++ dyxdxy R.: Cyxxy =++

5) Resolva a EDO linear de 1ª ordem

a) 13 2 +=+′ xxyy R.:

xCxxy ++=

243 3

b) xeyy 33 =+′ R.: xx

Ceey 33

6−+=

c) xeyy 33 =−′ R.: ( ) xeCxy 3+=

d) ( ) 11=+′ y

xlnxy R.: ( )xln

Cxxy +−=

(sugestões: ao determinar o fator integrante ( )∫=

dxxpeI , re-arrume a fração e verifique se a derivada

do denominador é igual ao numerador e relembre o conceito de integral por partes).

e) PVI: xyyx 2=+′ ( ) 21 =y R.: x

xy 1+=

f) PVI: 1=−′ yyx ( ) 11 =y R.: 12 −= xy

g) PVI: ( )xcosyyx =+′ ( )π

π 1=y R.: ( )

xxseny 1+

=

6) Resolva os problemas a) Em uma caixa d’água com capacidade de 500 l, existem 50 l de água. Neste instante, a bomba começa a abastecê-la a uma taxa constante de 20 l/min e ao mesmo tempo 5 l/min são gastos para regar o jardim. Determinar o instante em que a caixa d’água transborda. (Lembre-se que a variação de volume da caixa d’água com o tempo é igual a vazão que entra menos a vazão que sai). R.: 30 min b) Um tanque contém 60 l de salmoura onde estão dissolvidos 3 kg de sal. O tanque recebe 1 l/min de água pura e a mistura, mantida com a concentração uniforme de sal por agitação, escoa a uma mesma taxa. Qual é a massa e a concentração de sal após 1 hora e 6 minutos? (Considere e1,1 = 3). Responda para qual valor a concentração converge se o tempo tender ao ∞. (Lembre-se que a variação da massa de sal no tanque é igual a vazão mássica de sal – massa/tempo – que entra menos a vazão mássica de sal que sai. Lembre-se, também, que a massa de sal é igual à concentração de sal multiplicada pelo volume de água). R.: Massa de sal = 1 kg e concentração de sal = 1/60 kg/l ≅ 0,0167 kg/l c) Um conhecido seu afirma possuir um tabuleiro de jogo em madeira que pertenceu a Tutancâmon. Você, que tem uma base em Cálculo III e de posse de um contador Geiger (aparelho para medição de radioatividade), constata que o tabuleiro tem um decaimento radioativo de 14 desintegrações por minuto. Sabendo que a madeira viva tem um decaimento radioativo de 15,3 desintegrações por minuto, que a meia vida do C-14 (Carbono 14) é de 5600 anos e que Tutancâmon viveu há, aproximadamente, 3300 anos atrás, você concluiria que ele está falando a verdade ou está mentindo? (Lembre-se que a massa da substância radioativa é proporcional à taxa de desintegração da substância). R.: Ele está mentindo. O tabuleiro tem aproximadamente 717 anos d) Considere o mesmo tanque do problema b) e a mesma taxa de escoamento, porém ele é abastecido a uma taxa de 1 l/min com salmoura cuja concentração é de 100 g de sal/l. Qual é a massa e a concentração de sal após 1 hora e 6 minutos? Responda para qual valor a concentração converge se o tempo tender ao ∞. R.: Massa de sal = 5 kg e concentração de sal = 1/12 kg/l ≅ 0,0833 kg/l e) Considere o mesmo tanque do exercício anterior, porém ele é abastecido a uma taxa de 2 l/min com salmoura cuja concentração é de 100 g de sal/l. Qual é a massa e a concentração de sal após 1 hora e 6 minutos? Responda para qual valor a concentração converge se o tempo tender ao ∞. R.: Massa de sal ≅ 11,17 kg e concentração de sal ≅ 0,0887 kg/l

f) A roldana abaixo possui massa desprezível e faz parte de um sistema de içamento de cargas. Em determinado instante, ela pára de girar e o cabo passa a escorregar com atrito por ela. Sabe-se que as trações nas extremidades (T1 e T2) do cabo que passa pela polia não são as mesmas (T2 > T1) devido ao atrito existente entre o cabo e a polia. Sabe-se, também, que a variação da tração T ao longo do cabo que está em contato com a polia em relação à variação do ângulo θ é proporcional à tração T no cabo. Determine a equação diferencial que rege o problema da variação da tração com o ângulo θ e a solução da equação diferencial. Obs.: considere que quando o ângulo θ = 0, a tração no cabo é T = T1.

T1

T2

θ