¦Lgebra linear 02 aula 01-02-produto vetorial

PRODUTO VETORIAL PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )( OU EXTERNO )

Para definirmos um vetor é preciso designarmos Para definirmos um vetor é preciso designarmos seu seu módulomódulo, , direçãodireção e e sentidosentido..

Definiremos agora um novo vetor, denominado Definiremos agora um novo vetor, denominado produto vetorialproduto vetorial dos vetores e : dos vetores e :u

v

DIREÇÃO :DIREÇÃO : Perpendicular ao plano que Perpendicular ao plano que contém os vetores e .contém os vetores e .u

v

SENTIDO :SENTIDO : Dado pela Dado pela Regra da Mão Regra da Mão Direita Direita ..

v x

uMÓDULO :MÓDULO : Posteriormente Posteriormente falaremos. falaremos.

REGRA DA MÃO REGRA DA MÃO DIREITADIREITA

v x

u u

vθ

Suponhamos que Suponhamos que se queira obterse queira obter

Coloque o Coloque o dedodedo indicadorindicador apontado para o apontado para o vetor e o vetor e o dedo médiodedo médio apontado para o apontado para o vetor . vetor . O O polegarpolegar dará o dará o sentido de sentido de

: v xu

u

v

v xu

REGRA DA MÃO REGRA DA MÃO DIREITADIREITA

Suponhamos que Suponhamos que se queira obterse queira obter

Coloque o Coloque o dedodedo indicadorindicador apontado para o apontado para o vetor e o vetor e o dedo médiodedo médio apontado para o apontado para o vetor . vetor . O O polegarpolegar dará o dará o sentido de sentido de

: u x v

u

v

u x v

u x v

θ

v

u

j

ik

yy

zz

xx

)0 , 0 , 1(=i

)0 , 1 , 0(=j

)1 , 0 , 0(=k

VETORES UNITÁRIOS VETORES UNITÁRIOS NOS EIXOS NOS EIXOS

COORDENADOSCOORDENADOS

j

ik

yy

zz

xx

)0 , 0 , 1(=i

)0 , 1 , 0(=j

)1 , 0 , 0(=k

PRODUTOS PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORIAIS DOS

VETORES UNITÁRIOSVETORES UNITÁRIOS

===

ji x

ik x

kj x

k

j

i

−=−=−=

jk x

ij x

ki x

i

k

j

j

ik

yyzz

xx

)0 , 0 , 1(=i

)0 , 1 , 0(=j

)1 , 0 , 0(=k

PRODUTOS PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORIAIS DOS

VETORES UNITÁRIOS VETORES UNITÁRIOS por ELES MESMOSpor ELES MESMOS

PRODUTOS PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORIAIS DOS

VETORES UNITÁRIOS VETORES UNITÁRIOS por ELES MESMOSpor ELES MESMOS

===

0k x

0j x

0i x

k

j

i

++==++==

kfjeidfedv

kcjbiacbau

...),,(

...),,(

)kf.je.i)x(d.kc.jb.i(a.v x ++++=u

PRODUTO VETORIAL PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )( OU EXTERNO )

kxia.f.jxia.e.ixia.d.v x ++=ukxjb.f.jxjb.e.ixjb.d.

+++kxkc.f.jxkc.e.ixkc.d.

+++kb.d.-ja.f.-ic.e.-ka.e.jd..i..bv x ++= cfu

Dados :Dados :

PRODUTO VETORIAL PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )( OU EXTERNO )

fed

cba

kji

v

=xu

ked

baj

fd

cai

fe

cbxu

...v +−=

vuxu

^v =kb.d.-ja.f.-ic.e.-ka.e.jd..i..bv x ++= cfu

Embora o produto vetorial Embora o produto vetorial não seja um não seja um determinante, é conveniente determinante, é conveniente e prático assim considerá-lo.e prático assim considerá-lo.

Demonstra-se que :Demonstra-se que :

fed

cba

kji

v

=xu

Pela Pela Regra da Mão DireitaRegra da Mão Direita ou pela ou pela troca da troca da segunda com a terceira linhasegunda com a terceira linha do determinante do determinante acima, concluímos facilmente que :acima, concluímos facilmente que :

u x v-v x =u

θsen.. vuvxu =

O Produto O Produto Vetorial não Vetorial não é é comutativo.comutativo.

fed

cba

kji

v

=xu

PRODUTO VETORIAL DE UM PRODUTO VETORIAL DE UM VETOR POR ELE MESMOVETOR POR ELE MESMO

Sabemos que :Sabemos que : Para dois vetores Para dois vetores EQUIPOLENTES, EQUIPOLENTES, teríamos, por teríamos, por hipótese, que :hipótese, que :

uv =

0

cba

cba

kji

==uxu

Determinantes Determinantes com com filas filas paralelas iguaisparalelas iguais, , são sempre são sempre iguais a iguais a zerozero..

O é conhecido O é conhecido como como vetor nulovetor nulo..

0 vetor

Com efeito, Com efeito, temos também temos também que : que :

0) x( =− uu

Por outro ponto de vista, Por outro ponto de vista, temos que : temos que :

θsen.. vuvxu =

Quando :Quando :

−=−⇒=⇒−

=⇒=⇒

º180sen..)( x º180 )( x

º0sen.. x º0 x

uuuuuu

ou

uuuuuu

θ

θ

Em ambos os casos, temos o módulo do Em ambos os casos, temos o módulo do produto vetorial igual a zero.produto vetorial igual a zero.

Logo, em ambos os casos, temos o produto Logo, em ambos os casos, temos o produto vetorial igual ao vetor nulo. vetorial igual ao vetor nulo.

Vetores de Vetores de mesma mesma direçãodireção terão para terão para produto vetorial, um produto vetorial, um vetor nulovetor nulo..

Vetores de Vetores de mesma mesma direçãodireção terão para terão para produto vetorial, um produto vetorial, um vetor nulovetor nulo..

IDENTIDADE DE LAGRANGE IDENTIDADE DE LAGRANGE IDENTIDADE DE LAGRANGE IDENTIDADE DE LAGRANGE

Sobre os Sobre os PRODUTOS PRODUTOS Escalar e Escalar e Vetorial, Vetorial, aprendemos que :aprendemos que : θsen.. vuvxu

=

θcos... vuvu =

Das Relações Das Relações Fundamentais da Fundamentais da Trigonometria, Trigonometria, temos que :temos que :

1cossen 22 =+ θθ

Logo :Logo : ( ) 2222 .v x . vuuvu =+

APLICAÇÕES do PRODUTO APLICAÇÕES do PRODUTO VETORIAL VETORIAL

u

v

hNo cálculo da área No cálculo da área de de paralelogramosparalelogramos, , temos :temos :

h.uSP

=Temos também que :Temos também que : θ= sen.vh

θθ

Logo :Logo : θ= sen.v.uSP

Então:Então: vx uSP

=

APLICAÇÕES do PRODUTO APLICAÇÕES do PRODUTO VETORIAL VETORIAL

u

v

hNo cálculo da No cálculo da área área de triângulosde triângulos, basta , basta dividir a área do dividir a área do paralelogramo por 2. paralelogramo por 2. Temos então que:Temos então que:

2

|v u|S

2

SS P

×=⇒= ∆∆

θθ

Uma barra homogênea Uma barra homogênea de seção reta uniforme de seção reta uniforme está articulada em A e está articulada em A e é mantida na horizontal é mantida na horizontal pelo fio ideal . A pelo fio ideal . A barra tem peso 100 N e barra tem peso 100 N e o corpo D pesa 250 N. o corpo D pesa 250 N. Qual a tração no fio Qual a tração no fio e as componentes e as componentes vertical e horizontal da vertical e horizontal da reação da articulação A?reação da articulação A?

AB

BC AA

BB

DD

CC

θθ

Dados :Dados :

==

m 6

m 8

AC

AB

AA

BB

DD

CC

θθ

O diagrama abaixo mostra O diagrama abaixo mostra esquematicamente as forças esquematicamente as forças presentes no sistema.presentes no sistema.

BBT

θθMM

4 m4 m

4 m4 m

AAxR

yR

100100250250

1010

θθ88

66

Da Da Trigonometria Trigonometria no triângulo no triângulo retângulo, temos:retângulo, temos:

==

==

5/410

8cos

5/310

6sen

θ

θ

Estabelecendo as Estabelecendo as condições de condições de equilíbrio, temos :equilíbrio, temos :

Estabelecendo as Estabelecendo as condições de condições de equilíbrio, temos :equilíbrio, temos :

===

∑∑∑

0

0

0

A

y

x

M

F

F

BBT

θθMM

4 m4 m

4 m4 m

AA

y R

100100 250250

===

∑∑∑

0

0

0

A

y

x

M

F

F

=+−−=−

=−−+

08.sen.82504100

0cos.

0250100sen.

θθ

θ

Txx

TR

TR

x

y

BBMM

4 m4 m

4 m4 m

AAxR

yR θsen.T

θcos.T

100100 250250xx

Vetor Vetor entrando no entrando no planoplano

Vetor saindo Vetor saindo do planodo plano

x

Resolvendo o Resolvendo o sistema, temos :sistema, temos :

N 500=TN 40=xRN 50=yR

A reação no A reação no ponto A é ponto A é obtida por :obtida por :

22yx RRR +=

N 645040 22 ≅+=R