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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO II
Lista 18 1. Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
1.1.
€
dydx
= sen 5x 1.2.
€
dydx
= (x +1)2 1.3.
€
dx + e3xdy = 0
1.4.
€
dx − x 2dy = 0 1.5.
€
(x +1) dydx
= x + 6 1.6.
€
ex dydx
= 2x
1.7.
€
xy'= 4 y 1.8.
€
dydx
+ 2xy = 0 1.9.
€
dydx
=y 3
x 2
1.10.
€
dydx
=y +1x
1.11.
€
dydx
=x 2y 2
1+ x 1.12.
€
dydx
=1+ 2y 2
y.sen x
1.13.
€
dydx
= e3x+2y 1.14.
€
ex y dydx
= e−y + e−2x−y 1.15.
€
(4y + yx 2)dy − (2x + xy2)dx = 0
1.16.
€
(1+ x 2 + y 2 + x 2y 2)dy = y 2dx 1.17.
€
2y(x +1)dy = xdx 1.18.
€
x 2y 2dy = (y +1)dx
1.19.
€
y ln x dxdy
=y +1x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 2
1.20.
€
dydx
=2y + 34x + 5⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 2
1.21.
€
dSdr
= kS
1.22.
€
dQdt
= k(Q − 70) 1.23.
€
dPdt
= P − P2 1.24.
€
dNdt
+ N = Ntet+2
1.25.
€
sec2 xdy + cosec ydx = 0 1.26.
€
sen 3xdx + 2y cos3 3xdy = 0 1.27.
€
eysen 2xdx + cos x(e2y − y)dy = 0
1.28.
€
sec xdy = xcotg ydx 1.29.
€
(ey +1)2e−ydx + (ex +1)3e−xdy = 0 1.30.
€
yxdydx
= (1+ x 2)−1/ 2 (1+ y 2)1/ 2
1.31.
€
(y − yx2) dydx
= (y +1)2 1.32.
€
2 dydx
−1y
=2xy
1.33.
€
dydx
=xy + 3x − y − 3xy − 2x + 4 y − 8
1.34.
€
dydx
=xy + 2y − x − 2xy − 3y + x − 3
1.35.
€
dydx
= sen x(cos 2y − cos2 y) 1.36.
€
sec y dydx
+ sen(x − y) = sen(x + y)
1.37.
€
x 1− y 2dx = dy 1.38.
€
y(4 − x 2)1/ 2dy = (4 + y 2)1/ 2dx 1.39.
€
(ex + e−x ) dydx
= y 2
1.40.
€
(x + x ) dydx
= y + y
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada: 2.1.
€
(e−y +1)sen xdx = (1+ cos x)dy; y(0) = 0 2.2.
€
(1+ x 4 )dy + x(1+ 4y 2)dx = 0; y(1) = 0
2.3.
€
ydy = 4x(y 2 +1)1/ 2dx, y(0) = 1 2.4.
€
dydt
+ ty = y, y(1) = 3
2.5.
€
dxdy
= 4(x 2 +1); x π4⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = 1 2.6.
€
dydx
=y 2 −1x 2 −1
, y(2) = 2
2.7.
€
x 2y'= y − xy, y(−1) = −1 2.8.
€
y'+2y = 1, y(0) = 5/2
2.9.
€
dydx
=2x3y
; y(5) = 6
RESULTADOS LISTA 18 1.
1.1.
€
y = −15cos 5x +C
1.2.
€
y =13(x +1)3 +C
1.3.
€
y =13e−3x +C
1.4.
€
y = −1x
+C
1.5.
€
y = x + 5ln x +1 +C 1.6.
€
y = −2xe−x − 2e−x +C
1.19.
€
12y 2 + 2y + ln y =
13x 3 ln x − 1
9x 3 +C
1.20.
€
2(2y + 3)−1 =1
4x + 5+C
1.21.
€
S = Cekr 1.22.
€
Q = Cekt + 70
1.23.
€
P =Cet
1+Cet
1.24.
€
lnN = tet+2 − et+2 − t +C 1.25.
€
− cos y + sen 2x + 2x = C
1.37.
€
y = sen x 2
2+C
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1.38.
€
(4 + y 2)1/ 2 = C + arcsen x2⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1.39.
€
y = −1
tg−1(ex ) +C
1.40.
€
y = C ( x +1) −1 2.
2.1.
€
ey =4
1+ cos x−1
1.7.
€
y = Cx4 1.8.
€
y = e−x2 +C
1.9.
€
y−2 = 2x−1 +C 1.10.
€
y = Cx −1
1.11.
€
−y−1 − x2
2+ x − ln x +1 = C
1.12.
€
2y 2 = C (cosec x − cotg x)4 1.13.
€
−3e−2y = 2e3x +C 1.14.
€
ey (1− y) = −e−x − 13e−3x +C
1.15.
€
y 2 + 2 = C (4 + x 2) 1.16.
€
2 ln y + y − y−1 − tg−1x = C 1.17.
€
y 2 = x − ln x +1 +C
1.18.
€
12y 2 − y + ln y +1 = −
1x
+C
1.26.
€
y 2 = −16sec2 (3x) +C
1.27.
€
ey + e−y + ye−y = 2 cos x +C 1.28.
€
y = arcsec(Cecosx+xsen x ) 1.29.
€
(ex +1)−2 + 2(ey +1)−1 = C 1.30.
€
(1+ y 2)1/ 2 − (1+ x 2)1/ 2 = C
1.31.
€
ln y +1 + (y +1)−1 =12ln 1+ x1− x
+C
1.32.
€
y 2 = x 2 + x +C 1.33.
€
y − 5ln y + 3 = x − 5ln x + 4 +C 1.34.
€
y + 2 ln y −1 = x + 5ln x − 3 +C 1.35.
€
−cotg y = cos x +C 1.36.
€
ln cosec 2y − cotg 2y = 2sen x +C
2.2.
€
arc tg 2y + arc tg x 2 =π4
2.3.
€
y 2 +1 = 2x 2 + 2
2.4.
€
y 2 = 9e−t2 +2t−1
2.5.
€
x = tg 4y − 3π4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2.6.
€
y +1y −1
=x +1x −1
2.7.
€
y =e−(1+1/ x)
x
2.8.
€
y = 2e−2x +12
2.9.
€
3y ��� 2 = 2x 2 + 58
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