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Movimento Circular Uniforme
Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. E-mail: walter@azevedolab.net ©2
01
8 D
r. W
alter
F.
de
Aze
ve
do
Jr.
Considere um disco rígido de densidade constante e raio R mostrado na figura abaixo.
O disco tem rotação em torno de um eixo que passa pelo seu centro. No disco temos
uma partícula infinitesimal Pi de massa dmi que gira no sentido anti-horário com
deslocamento dsi.
2
Movimento Circular Uniforme (Rotação)
Pi
dsi
dθ
riθi
R
Num intervalo de tempo dt, a partícula Pi descoloca-se dsi, que é dado por:
onde vi é a velocidade da partícula Pi
3
Pi
dsi
dθ
riθi
𝑑𝑠𝑖 = 𝑣𝑖𝑑𝑡
R
Movimento Circular Uniforme (Rotação)
A partícula Pi varre um ângulo dθ no intervalo de tempo dt. Em radianos (rad) temos
que dθ é dado pela seguinte expressão:
onde ri é o raio da partícula. O ângulo θ é
chamado de deslocamento angular.
4
Pi
dsi
dθ
riθi
𝑑𝜃 =𝑑𝑠𝑖𝑟𝑖
R
Movimento Circular Uniforme (Deslocamento Angular)
Considerando-se uma volta completa do disco, temos que a partícula Pi sofre um
deslocamento si de 2πri, sendo 2π o deslocamento angular (θ), assim temos:
onde 1 rev é uma revolução.
5
Pi
dsi
dθ
riθi
∆𝜃 =∆𝑠𝑖𝑟𝑖=2𝜋𝑟𝑖𝑟𝑖= 2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 360𝑜 = 1 𝑟𝑒𝑣
R
Movimento Circular Uniforme (Deslocamento Angular)
Definimos a velocidade angular (ω) como a taxa de variação do deslocamento
angular (θ) com relação ao tempo, conforme indicado abaixo.
a velocidade angular tem unidade de
rad/s e dimensões de T-1.
A velocidade angular é positiva para uma rotação anti-horária, onde o deslocamento
angular (θ) aumenta, e negativa para uma rotação horária, onde θ diminui.6
Pi
dsi
dθ
riθi
𝜔 =𝑑𝜃
𝑑𝑡
R
Movimento Circular Uniforme (Velocidade Angular)
Definimos a aceleração angular (α) como a taxa de variação da velocidade angular
(ω) com relação ao tempo, conforme indicado abaixo.
a aceleração angular tem unidade de
rad/s2 e dimensões de T-2.
A aceleração angular é positiva quando a velocidade angular estiver crescendo e
negativa para uma diminuição da velocidade angular.7
Pi
dsi
dθ
riθi
𝛼 =𝑑𝜔
𝑑𝑡=𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
R
Movimento Circular Uniforme (Aceleração Angular)
A partir das equações (1) e (2) abaixo, podemos relacionar a velocidade tangencial (vit)
da partícula Pi sobre o disco à velocidade angular (ω), como segue:
8
Pi
dsi
dθ
riθi
𝑣𝑖𝑡 =𝑑𝑠𝑖𝑑𝑡=𝑑(𝑟𝑖𝜃)
𝑑𝑡= 𝑟𝑖
𝑑𝜃
𝑑𝑡= 𝑟𝑖𝜔
R
𝑑𝜃 =𝑑𝑠𝑖𝑟𝑖
𝜔 =𝑑𝜃
𝑑𝑡
(Equação 1)
(Equação 2)
Movimento Circular Uniforme (Velocidade Tangencial)
𝑣𝑖𝑡 = 𝑟𝑖𝜔
Podemos relacionar a aceleração tangencial (ait) com a aceleração angular (α), como
indicado abaixo:
9
Pi
dsi
dθ
riθi
𝑎𝑖𝑡 =𝑑𝑣𝑖𝑡𝑑𝑡
=𝑑(𝑟𝑖𝜔)
𝑑𝑡= 𝑟𝑖
𝑑𝜔
𝑑𝑡= 𝑟𝑖𝛼
R
Movimento Circular Uniforme (Aceleração Tangencial)
𝑎𝑖𝑡 = 𝑟𝑖𝛼
Para uma aceleração angular (α) constante, podemos obter as equações do
movimento circular uniforme, a partir da integração, como indicado abaixo.
10
Pi
dsi
dθ
riθi
R
𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝛼 =𝑑𝜔
𝑑𝑡→ 𝑑𝜔 = 𝛼𝑑𝑡 →
𝜔0
𝜔
𝑑𝜔 = 𝛼 0
𝑡
𝑑𝑡 → 𝜔 − 𝜔0 = 𝛼𝑡 → 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡
Movimento Circular Uniforme (Equação de Movimento)
A partir da definição de velocidade angular, chegamos a uma equação para o
deslocamento angular:
11
Pi
dsi
dθ
riθi
R
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 →𝑑𝜃
𝑑𝑡= 𝜔0 + 𝛼𝑡 → 𝑑𝜃 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 𝑑𝑡 →
𝜃0
𝜃
𝑑𝜃 = 𝜔0 0
𝑡
𝑑𝑡 + 𝛼 0
𝑡
𝑡𝑑𝑡
𝜃 − 𝜃0 = 𝜔0𝑡 +𝛼
2𝑡2 → 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +
𝛼
2𝑡2
Movimento Circular Uniforme (Equação de Movimento)
Se isolarmos o tempo da equação da velocidade angular e substituirmos na equação
do deslocamento angular, temos uma expressão equivalente à equação de Torricelli.
12
Pi
dsi
dθ
riθi
R
𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼∆𝜃
Movimento Circular Uniforme (Equação de Torricelli)
Temos o equivalente para cada aspecto do movimento unidimensional no movimento
circular uniforme, como indicado abaixo.
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deslocamento angular (θ) posição (s)
velocidade angular (ω) velocidade (v)
aceleração angular (α) aceleração (a)
equação para equação para posição
deslocamento angular
equação para equação para velocidade
velocidade angular
equação para equação para velocidade
velocidade angular
𝜔 =𝑑𝜃
𝑑𝑡 v=𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝛼 =𝑑𝜔
𝑑𝑡 a=𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +𝛼
2𝑡2 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎
2𝑡2
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼∆𝜃
𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑠
Movimento Circular Uniforme (Equações)
Movimento Circular Uniforme Movimento Unidimensional
Sobre a aceleração centrípeta, podemos obter sua expressão a partir da análise
vetorial do movimento circular uniforme, como mostrado no desenho abaixo. No
sistema abaixo, temos uma partícula em movimento circular, onde esta desloca-se da
posição inicial (ri) para final (rf), com deslocamento angular θ.
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ri
rf
vi
vf
θ
Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta)
Analisando-se variação da velocidade tangencial entre os instantes inicial e final, temos
a variação da velocidade (v = vf - vi) indicada na figura abaixo à direita.
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ri
rf
vi
vf
θ
vi
vf
vi
vf
θv
Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta)
Considerando-se a variação da posição (r) entre os instantes finais e iniciais, temos o
vetor resultante (r = rf - ri), como indicado abaixo.
16
ri
rf
vi
vf
θr
Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta)
vi
vf
vi
vf
θv
Analisando-se a geometria do sistema, vemos que os triângulos da esquerda e direita
são semelhantes. Assim, considerando-se que ri = rf = r e que vi = vf = v temos:
∆ 𝑣
𝑣=∆ 𝑟
𝑟→ ∆ 𝑣 = v
∆ 𝑟
𝑟
Sabemos que a
aceleração é dada por:
Substituindo-se (1) em (2) temos:
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ri
rf
vi
vf
θr
𝑎 =∆𝑣
∆𝑡
(1)
(2)
𝑎 =𝑣
𝑟
∆ 𝑟
∆𝑡=𝑣
𝑟𝑣 =
𝑣2
𝑟→ 𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta)
vi
vf
vi
vf
θv
O tempo que uma partícula em movimento circular uniforme demora para realizar uma
volta completa (360º) é chamado de período (T) e é dado pela expressão abaixo:
Considerando-se que v = ωr, temos:
18
ri
rf
vi
vf
θr
𝑇 =2𝜋𝑟
𝑣
𝑇 =2𝜋𝑟
𝑣→ 𝑇 =
2𝜋𝑟
𝜔𝑟→ 𝑇 =
2𝜋
𝜔→ 𝜔 =
2𝜋
𝑇
Movimento Circular Uniforme
vi
vf
vi
vf
θv
TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed.
Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 2012., 759 pp.
Última atualização em: 6 de setembro de 2018.
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Referências Bibliográficas
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