Operações com intervalos

Intervalos Reais

Profº Ildálio Aguiar de Souza Santos

Intervalos

No conjunto dos números reais destacaremos alguns subconjuntos importantes, determinados por desigualdades, na qual determinamos de intervalos

IntervalosDados dois números reais a e b, com a < b, tem-se:

Intervalos

Intervalos

Intervalos

Intervalos

Na reta real os números compreendidos entre 5 e 8, incluindo o 5 e o 8, constituem o intervalo fechado:

Por exemplo, pense nos números 5 e 8.

Se excluirmos o 5 e 8, chamados extremos do intervalo, teremos um intervalo aberto:

Considerando ainda os intervalos mistos:

IntervalosOutros exemplos:

]5, +∞[

] - ∞, 8[

Operações com intervalos

Intersecção de Intervalos

Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos, fazer a sua intersecção.

A intersecção de dois intervalos, A e B, é por definição, um conjunto constituído pelos elementos comuns a A e a B.

Para melhor perceber a intersecção de intervalos estudemos alguns exemplos:

Intersecção de Intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Exemplo 1

Consideremos os intervalos 3, 2A 1, 4B

Vamos determinar A B

e

começando por fazer a sua representação gráfica

A partir desta representação é possível observar que os elementos comuns estão entre . 1 2e

E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à intersecção?

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Intersecção de Intervalos

Neste caso, podemos ver que nem o nem o pertencem, já que

1 B 2 AEntão, 1, 2A B

e

21

Intersecção de Intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

- 2

Não existem elementos comuns aos dois intervalos.

A intersecção é assim um conjunto vazio C D ou

Sejam

Exemplo 2

Façamos a sua representação gráfica afim de determinar

4, 2C 1,D

C D

e

Intersecção de Intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

1

2

Exemplo 3

Dados os intervalos 1,

2E

1, 3

2F e

encontremos a sua intersecção.A representação gráfica é

Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o

1 1 1,

2 2 2E F

1

2

Logo,

Exemplo 4

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 50, 5

Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.

 A representação gráfica é

; 0, 5G 0, 5; 3H

Intersecção de Intervalos

Agora não existem elementos que pertençam simultaneamente aos dois intervalos já que o pertence a mas não pertence a .

Assim,

0, 5 GH

0, 5; 0, 5G H ou

Exemplo 5

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 50, 5

Neste caso temos ,

Logo,

Assim,

H B

Intersecção de Intervalos

Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.

 A representação gráfica é

0, 5; 3H 1, 4B

B H H

0,5;3B H

Reunião de Intervalos

A reunião de intervalos, A e B, é por definição um conjunto constituído pelos elementos que pertencem a A ou a B.

Isto significa que para que um dado elemento pertença ao conjunto reunião basta que pertença a um dos conjuntos.Na prática, para obter a reunião de dois ou mais conjuntos o que fazemos é “juntar” os elementos dos conjuntos dados.

Mais uma vez a observação de alguns exemplos pode ajudar-nos a compreender melhor a reunião de intervalos:

Reunião de IntervalosExemplo 1

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Consideremos os intervalos

Comecemos por fazer a representação gráfica de e .

2 1, 4, BA

A

e

B

, 4A B Assim,

Reunião de IntervalosExemplo 2

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

AC

,A C

Neste caso verificamos que, unindo os elementos de com os de obtemos todos os elementos de R .

Portanto:

Consideremos os intervalos

Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação gráfica, de e .

, 2,2 CA

A C

e

Reunião de IntervalosExemplo 3

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

2, 3, 0C D

A intersecção dos intervalos e é o conjunto vazio.

Não nos é possível representar esta reunião sob a forma de um único intervalo.

C D

Consideremos os intervalos

A representação gráfica destes dois intervalos é.

3 02, ,DC e

Reunião de IntervalosExemplo 4

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Atendendo a que temos que a reunião éD A

, 2A D

Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio conjunto . A

Consideremos os intervalos

No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de com .

2 3, 0, DA

AD

e

Diferença de Intervalos

Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos, fazer a sua diferença.

A diferença de dois intervalos, A e B, é por definição, um conjunto constituído pelos elementos de A que não estão em B.

Para melhor perceber a diferença de intervalos estudemos alguns exemplos:

Diferença de Intervalos

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Exemplo 1

A partir desta representação é possível observar que os elementos que sobraram estão entre -3 e -1 .

Consideremos os intervalos 3, 2A 1, 4B

Vamos determinar A B

e

começando por fazer a sua representação gráfica

A - B

E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à diferença?

Diferença de Intervalos

Neste caso, podemos ver que o -1 pertence e o -3 não pertence, já que

1 B e