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Princípios de Comunicação ====================== Parte 1 - Introdução. - Série e Transformada de Fourier – teoria. - Série de Fourier – exercícios. - Transformada de Fourier – exercícios. - Transformada Discreta de Fourier Parte 2 - Sistemas LTI e Convolução. - Sinais aleatórios. - Tz. Bibliografia ========= Hwei Hsu – Signal and Systems – Mc Graw Hill – 1995 Lathi – Modern Digital and Analog Communications – Oxford University Press – 1998 Girod, Rabenstein, Stenger – Sinais e Sistemas – LTC - 2003
MAGarms 2019 1
Sistemas Lineares e Invariantes Temporais
MAGarms 2019 2
LTI (linear time invariant system)
MAGarms 2019 3
LTI - exercício ∫∞
∞−−= τττ dtyxtytx )()()()( *
MAGarms 2019 4
LTI - exercício
MAGarms 2019 5
|t| ≥ a+b
LTI - exercício ∫∞
∞−−= τττ dtyxtytx )()()()( *
MAGarms 2019 6
LTI - exercício ∫∞
∞−−= τττ dtyxtytx )()()()( *
MAGarms 2019 7
Sinais Aleatórios
MAGarms 2019 8
Ideias Básicas
MAGarms 2019 9
Espectro de Potencia
MAGarms 2019 10
Função de Autocorrelação
MAGarms 2019 11
Filtro de Wiener
estimador linear
MAGarms 2019 12
Filtro de Wiener
MAGarms 2019 13
Filtro de Wiener
MAGarms 2019 14
Filtro de Wiener
MAGarms 2019 15
Filtro de Wiener
MAGarms 2019 16
Filtro de Wiener
MAGarms 2019 17
Smooth
Restauração de Imagens utilizando Filtro de Wiener em coordenadas canônicas com posto extremamente reduzido – Rogerio Caetano e Marcelo L. R. de Campos – PEE-COPPE/DEL-EE Universidade Federal RJ.
MAGarms 2019 18
Transformada z
MAGarms 2019 19
Discretização do tempo
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA NO DOMÍNIO s
( )∑
∑
=
== m
j
j
n
i
i
sjb
siasF
0
0
)(
)(
Simulações -> discretizar tempo: variável T (intervalo de tempo entre amostragens) = resolução (passo de tempo em que são entrada, saída, variáveis internas etc.).
A Transformada de Laplace será “modificada” levando a Transformada z.
(1)
MAGarms 2019 20
Propriedades usadas da T Laplace
{ }L f t t F s e t s( ) ( )− = −0
0
{ }L tδ ( ) = 1
{ }L af t bg t aF s bG s( ) ( ) ( ) ( )+ = +
Deslocamento no tempo:
Função delta de Dirac:
Linearidade:
(i)
(ii)
(iii)
MAGarms 2019 21
Função discretizada (em t) Sinal x(t) contínuo -> função discretizada (frequência de amostragem fa = 1/T):
Definição de xd(t) (função discretizada):
x t x nT t nTdn
( ) ( ) ( )= −=
∞
∑ δ0
(2)
MAGarms 2019 22
Função discretizada (em s)
{ }
−== ∑∞
=0
)2( )()()()(n
dd nTtnTxLtxLsX δ
( ) ( ){ } ( )= − ==
∞
=
∞−∑ ∑( ) ( ),( )iii
n
ii i
n
nTsx nT L t nT x nT e0 0
δ
X s x nT ednTs
n( ) ( )= −
=
∞
∑0
Logo:
Resulta:
(3)
MAGarms 2019 23
X(z) = Tz de sequência discreta de xn
e )()( nxxnTx n =→ z eTs= (4)
Fazendo-se:
Resulta:
{ } ⇒= )(zXxZ n X sd ( ) ( ),( )→ 3 4 X z x znn( ) = −∑
Tsezd zXsX=
= )()(
(5)
e
MAGarms 2019 24
Propriedades usadas da Tz
{ }Z af n bg n aF z bG z( ) ( ) ( ) ( )+ = +
{ } ( )Z x n n z X zn( )− = −0
0
Deslocamento (no tempo):
Linearidade:
(a)
(b)
MAGarms 2019 25
Tz de y = dx/dt
∆≈⇒
−−≈≈−
TxZzY
Tkxkxkyky )( )1()()()1(
[ ]y k y kT
x k x k( ) ( ) ( ) ( )+ − ≈ − −12
1
Então:
ou (6)
MAGarms 2019 26
Obtenção de G(z) a partir de G(s)
{ } [ ]
[ ])()(2)()(
)1()(2)1()(
11)(),( zXzzXT
zYzzY
kxkxT
ZkykyZ
ba −− −=+⇒
−−=−+
Aplicando Tz na expressão (6):
1
1
112
)()()()( −
−
+−
=
∆
==∴zz
TzXTxZ
zXzYzG
Logo (7)
Mas G s
Y sX s
Ldxdt
X ss( )
( )( ) ( )
= =
= (8)
MAGarms 2019 27
Transformada z
(7) e (8) sugerem trocar s em G(s) pela expressão (9):
sT
zz
→−+
−
−
2 11
1
1 (9)
)9(
)()()( →=
sXsYsG
Resulta assim G(z):
∑ ∑= =
−− =+m
j
n
k
kj zkczXzjdzYdzY1 0
)()()()()0()(
Eliminando-se os denominadores
∑
∑
=
−
=
−
== m
j
j
n
k
k
zjd
zkc
zXzYzG
0
0
)(
)(
)()()(
MAGarms 2019 28
Transformada z
=
+ ∑∑=
−−
=
−−n
k
km
j
j zkczXZzjdzYdzYZ0
1
1
1 )()()()()0()(
{ } { } { }∑∑=
−−
=
−−− =+⇒n
k
km
j
jelinearidad zzXZkczzYZjdzYZd0
1
1
11 )()()()()()0(
∑ ∑= =
−=−+⇒m
j
n
ok
todeslocamen knxkcjnyjdnyd1
)()()()()()0(
Antitransformando:
Dividindo-se por d(0) e fazendo-se d(j)/d(0)= β(j) e c(k)/d(0)= α(k), finalmente obtém-se y(n):
∑ ∑= =
−+−−=m
j
n
kknxkjnyjny
1 0)()()()()( αβ
Note que y(n) para n∈ [0,∞) é a antitranformada de Y(z), isto é:
{ })()( 1 zYZny −=
(10)
MAGarms 2019 29
EDF de G(z) ≡ G(s).
Equação de Diferenças Finitas (EDF) de G(z) ≡ G(s):
∑
× × ×
× × ×
α0 α1 αn
-β1 -β2 -βm
z-1 z-1 z-1
z-1 z-1 z-1≡ atraso T
yn
xn xn-1
yn-1 yn-2
∑ ∑= =
−+−−=m
j
n
kknxkjnyjny
1 0)()()()()( αβ
MAGarms 2019 30
Exemplo
1/sC
R
0
1
X(s) Y(s)
Simular o circuito da Figura 5 com T = 0,5 e τ = RC = 1:
RCssRCsCR
sCsXsYsG =
+=
+=
+== τ
τ;
11
11
1
1
)()()(
1) Obter G(s)
2) Aplicar (9) para obter G(z)
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1
1
11
1
1
1 21211
1121
1112
1)(−
−
−−
−
−
− −++
+=
++−
+=
++−
=zTT
zzzT
z
zz
T
zGτττ
τ
ou 1
10
110
)()()(
−
−
++
==zbbzaa
zXzYzG
TbTbaa ττ 21 21 ;1 0010 −=+===sendo
(11)
(12) MAGarms 2019 31
Exemplo
3) Aplicar (11) e (12) para obter yn:
110110{}1
101
10
1
)()()()( −−−− +=+⇒+=+
−
nnnnZ ybybxaxazYzbzYbzXzazXa
( ) 1110
11
0
1
0
0
21
21211
−−−−+
−++
+=−+= nnnnnnn y
T
TxxT
ybbx
bax
bay τ
τ
τ
Finalmente usando T = 0,5 e τ = RC = 1 na expressão (13) resulta:
( ) 11 6.02.0 −− ++= nnnn yxxy
(13)
(14)
MAGarms 2019 32
Exemplo
t xn xn-1 yn-1 yn= 0.2(xn+ xn-1)+0,6 yn-1
-0,5 0 0 0 0,2×0+0,6×0= 0
0,0 1 0 0 0,2×1+0,6×0= 0
0,5 1 1 0,2 0,2×2+0,6×0,20= 0,52
1,0 1 1 0,52 0,2×2+0,6×0,52= 0,71
1,5 1 1 0,71 0,2×2+0,6×0,71= 0,83
2,0 1 1 0,83 0,2×2+0,6×0,83= 0,90
2,5 1 1 0,90 0,2×2+0,6×0,90= 0,94
3,0 1 1 0,94 ---
A expressão (14) é utilizada para o calculo numérico do sinal de saída:
MAGarms 2019 33
Exemplo
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1 0 1 2 3 4
t=nT
ynyx
Sinal de saída obtido:
MAGarms 2019 34
Conclusões
Embora tenha se realizado este cálculo com o passo da variável tempo relativamente grande (T= 0,5) nota-se que o resultado da simulação yn acompanha razoavelmente o sinal real y(t).
Assim, com T assumindo um valor pequeno, por exemplo, 10-2, espera-se que o resultado y(t) da simulação torne-se bem próximo do seu valor real (veja planilha Excel correspondente).
MAGarms 2019 35
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