Processo dos Esforços pórticos - UNIP.br

PROCESSO DOS ESFORÇOS

Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira

2015

Processo dos EsforçosAplicado à pórticos...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira2

Processo dos esforços

Quando se tem um pórtico uma vez hiperestático...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira3

Processo dos esforços

Para uma estrutura uma vez hiperestática retirar apenas um vínculo incógnito:

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira4

Estruturas isostáticas fundamentais possíveis...

Processo dos esforços

Escolheu-se retirar o momento fletor do apoio engastado que passa a ser chamada

de incógnita hiperestática X1...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira5

≡

Processo dos esforços

Princípio de Superposição de Efeitos:

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira6

(r) = ( r’) = (0) + X1(1)

Processo dos esforços

(r) = ( r’) = (0) + X1(1)

Obs → O problema (0) fica com todo carregamento

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira7

Obs → O problema (0) fica com todo carregamento externo...

→ O problema (1) fica com o carregamento unitário...

Processo dos esforçosSistema de equação de

compatibilidade de deslocamento:

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira8

∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0

X1 = - ∆10

δ11

dos

esfo

rços

Diagrama de momento fletor para problema(0)

Pro

cess

odo

s

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira9

dos

esfo

rços

Diagrama de momento fletor para problema(1)

Pro

cess

odo

s

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira10

Processo dos esforços

Os deslocamentos são calculados através do PTV aplicado aos corpos deformáveis

pelo processo da carga unitária...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira11

∆10 e δ11

Processo dos esforços

∆10 = 1EI∙� M1 ∙ M0 dx

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira12

Processo dos esforços

Linha 1 * Coluna IVG F

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira13

G F

Processo dos esforços

δ11 = 1EI∙� M1 ∙ M1 dx

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira14

δ11 = EI∙� M1 ∙ M1 dx

Processo dos esforçosδ11 =

1EI∙� M1

4

0∙ M1 dx

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira15

Linha 0*Coluna II + Linha 0*Coluna I F F F F

Processo dos esforços

Equação de compatibilidade de deslocamento:

X = - ∆10

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X1 = - ∆10

δ11

Processo dos esforços

Para obter os esforços finais do pórtico utiliza-se o momento fletor(incógnita

hiperestática) encontrada...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira17

Processo dos esforços

Quando se tem um pórtico duas vezes hiperestático...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira18

Processo dos esforços

Para uma estrutura duas vezes hiperestática retirar dois vínculos incógnitos:

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira19

Estruturas isostáticas fundamentais possíveis...

Processo dos esforçosEscolheu-se retirar o momento fletor do

apoio engastado que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X1 e a força

horizontal no apoio fixo que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X2...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira20

≡

Processo dos esforços

Princípio de Superposição de Efeitos:

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira21

Processo dos esforços

Princípio de Superposição de Efeitos:

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira22

(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2)

Processo dos esforços

(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2)

Obs → O problema (0) fica com todo carregamento

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira23

Obs → O problema (0) fica com todo carregamento externo...

→ O problema (1) e (2) fica com o carregamento unitário...

Processo dos esforços

Sistema de equação de compatibilidade de deslocamento:

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira24

δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20

dos

esfo

rços

Diagrama de momento fletor para problema(0)

Pro

cess

odo

s

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira25

dos

esfo

rços

Diagrama de momento fletor para problema(1)

Pro

cess

odo

s

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira26

dos

esfo

rços

Diagrama de momento fletor para problema(2)

Pro

cess

odo

s

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira27

Processo dos esforços

Os deslocamentos são calculados através do PTV aplicado aos corpos deformáveis

pelo processo da carga unitária...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira28

∆10, ∆20, δ11, δ12, δ21 e δ22

Processo dos esforços

∆10 = 1EI∙� M1 ∙ M0 dx

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira29

Processo dos esforços

Linha 1 * Coluna II + Linha 1 * Coluna IV G F G F

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G F G F

Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (0):

Processo dos esforços

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira31

Processo dos esforços

Linha 1 * Coluna I + Linha 8 * Coluna I G F G F

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira32

G F G F

Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (0):

Processo dos esforços

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira33

Processo dos esforços

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira34

Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna I F F F F

Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (1) + Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (1):

Processo dos esforços

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira35

Processo dos esforços

Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira36

Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I G F G F

Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (2) + Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (2):

δ12 = δ21 = 1EI∙ �L 1

2∙F∙G� + 1

2EI∙ �L 1

2∙F∙G�

Processo dos esforços

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira37

Processo dos esforços

Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna II

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira38

Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna IIF F F F F F

Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (2) + Multiplicação da Barra AC do problema (2) com a Barra AC do problema (2) + Multiplicação da Barra DE do problema (2) com a Barra DE do problema (2):

Processo dos esforços

Equação de compatibilidade de deslocamento:

δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira39

δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20

Processo dos esforçosPara obter os esforços finais do pórtico utiliza-se o momento fletor (incógnita hiperestática X1) e

força horizontal (incógnita hiperestática X2) encontradas...

Ou pode-se utilizar o Princípio de Superposição de Efeitos...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

de Efeitos...

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Processo dos esforços

Generalizando...

Caso se tenha uma estruturas “n” vezes hiperestática, adota-se “n” incógnitas

hiperestáticas X1, X2, ..., Xn definindo uma Estrutura Isostática Fundamental...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira41

Estrutura Isostática Fundamental... A aplicação conveniente do Princípio de

Superposição de Efeitos conduz à equação de superposição:

(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) +...+ Xn(n)

Processo dos esforços

Sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos...

∆1,real = ∆10 + δ11 X1 + δ12 X2 +...+ δ1n Xn∆ = ∆ + δ X + δ X +...+ δ X

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira42

∆2,real = ∆20 + δ21 X1 + δ22 X2 +...+ δ2n Xn⋅⋅⋅

∆n,real = ∆n0 + δn1 X1 + δn2 X2 +...+ δnn Xn

Processo dos esforçosO sistema de equações de compatibilidade

de deslocamentos usando a notação matricial pode ser escrito:

�δij�∙Xi=�∆i,real-∆i0�

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� � � �Obs → i indica a incógnita hiperestática

j indica qual o problema

Processo dos esforçosExemplo GH=2

δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20

� δ11 δ12δ21 δ22

� �X1X2

� = ∆1,real-∆10

∆2,real-∆20�

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira44

�δ21 δ22

� �X2

� ∆2,real-∆20

�Obs 1 → Os deslocamentos δij são denominados coeficientes de flexibilidade e [δij] é a matriz de

flexibilidade.Obs 2 → A matriz é simétrica δij = δji, portanto δ12 = δ21