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TeoriaTeoria
DaDa
AmostragemAmostragem
Professor Lorí Viali, Dr.
Prof. Titular do Dpto de Estatística e permanente do Educem. viali@pucrs.br - http://www.pucrs.br/famat/viali/
Prof. Lorí Viali , Dr. – PUCRS – EDUCEM – Pós Graduação em Educação em Ciências e Matemática
Uma coleção de todos os
possíveis elementos, objetos
ou medidas de interesse.
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Um levantamento efetuadosobre toda uma população édenominado de levantamentocensitário ou simplesmentecenso.
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Um subconjunto finitode uma população deinteresse.
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O processo de escolha de
uma amostra da população é
denominado de amostragem.
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Método de se inferir sobre
uma população a partir do
conhecimento de pelo menos
uma amostra dessa população.
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Estudo das relações teóricas
existentes entre uma população e
as amostras dela extraídas.
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POPULAÇÃO(Censo)
AMOSTRA(Amostragem)
InferênciaErro
PROBABILIDADE
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AT m i op so ts r
ad g e e
m
Probabilística
Não Probabilística
Todos os elementos da
população têm probabilidade
conhecida (e diferente de zero)
de fazer parte da amostra.
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Aleatória Simples
Sistemática
Estratificada
Por Conglomerados
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Uma amostra é dita “aleatória
simples” ou “ao acaso” se todos os
elementos da população tiverem a
mesma probabilidade de pertencer a
amostra
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A
A
S
====
n
Nk
AnNk =
ComReposição
SemReposição
Total de Amostras
Nnk =
Não Ordenadas
Ordenadas
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Uma característica da populaçãoé denominada de parâmetro.
Um estimador é umacaracterística da amostra.
Uma estimativa é um valorparticular de um estimador.
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A MÉDIAµ
A VARIÂNCIAσ2
O DESVIO PADRÃOσ
A PROPORÇÃOπ
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A VARIÂNCIAS2
O DESVIO PADRÃOS
A PROPORÇÃOP
A MÉDIAX
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POPULAÇÃOPOPULAÇÃO
θθθθ
θ̂1
θ̂2
θ̂k
..... ....................... ..................
Amostra 1
Amostra 2
Amostra k
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A distribuição de
probabilidade de um
estimador (variável aleatória)
é denominada de distribuição
amostral desse estimador.
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População P = {1, 2, 3, 4}
%504
2
4
1010==
+++=π
2514
30502 22
22 ,
n,X =−=−= µ
∑σ
5024
10
4
4321,==
+++=µ
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0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1 2 3 4
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Plano Amostral
aa = ao acaso
Método
s/r = sem reposição
Tamanho das Amostras
n = 2
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Tem-se:
N = 4; n = 2.
Então:
6242
4
2
4=
−=
=
=
)!(!
!
n
Nk
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Amostras Médias Variâncias Proporções1 (1, 2) 1,5 0,5 0,52 (1, 3) 2,0 2,0 0,03 (1, 4) 2,5 4,5 0,54 (2, 3) 2,5 0,5 0,5
5 (2, 4) 3,0 2,0 1,06 (3, 4) 3,5 0,5 0,5
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1,5 1/62,0 1/62,5 2/63,0 1/6
3,5 1/6Total 1,0
x )xX(P)x(f ==
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0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
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1,5 1/6 1,5/6 2,25/62,0 1/6 2,0/6 4,00/62,5 2/6 5,0/6 12,50/63,0 1/6 3,0/6 9,00/6
3,5 1/6 3,5/6 12,25/6Total 1,0 15/6 40/6
x )x(f )x(f.x )x(f.x2
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502615 ,/
)x(f.x)X(EX
==
=== ∑µ
3
251
6
40502 2
222
,
)(E)X(V
,
)X(EXX
=−=
=−==σ
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Média
Erro padrão
COMReposição
SEMReposição
Características
nX
σ=σ
1−
−σ=σ
NnN
nX
µ==µ )X(EX
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Para este exemplo, tem-se:
3
25,1
3
2
2
25,1
14
24
2
25,1
1N
nN
n
22X
=
=
=
−
−=
−
−=
σσ
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Se uma amostra aleatória de
tamanho “n” for retirada de uma
população X com uma distribuição
N(µ; σ), então a distribuição de ,
média da amostra, tem uma
distribuição N(µ, )
X
n
σ
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14
2
nX ==
σ=σ
2=σ
µ=µX
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Uma amostra de n = 16
elementos é retirada de uma
população N(80; 8). Determine:
)77X(P )a( <
)85X76(P )b( <<
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
48 56 64 72 80 88 96 104 112
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Tem-se: µ = 80, σ = 8
Sabe-se que:
216
8
n
e 80
X
X
==σ
=
=
σ
µ
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Então:
%68,6 0,0668
)50,1(-1,50)P(Z
)2
8077X(P
)77X(P )a(
X
X
==
=−Φ=<=
=−
<−
=
=<
σ
µ
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%10,97%28,2%38,99
)00,2()50,2(
)5,2Z2(P
)2
8085X
2
8076(P
)85X76(P )b(
X
X
=−=
=Φ−Φ=
=<<−=
=−
<−
<−
=
=<<
σ
µ
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Se uma amostra aleatória de
tamanho “n > 30” for retirada de uma
população com qualquer distribuição
de média µ e desvio padrão σ, então a
distribuição de , média da amostra,
tem uma distribuição aproximadamente
N(µ, )
X
n
σ
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0 2 4 6 8
5016
2,
nX ==
σ=σ
2=σ
2=µ=µX
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Uma amostra de “n” elementos é
retirada de uma população N(80; 4).
Determine “n” de forma que:
%,)X(P 50179 =<
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Tem-se: µ = 80, σ = 4
Sabe-se que:
nn
e
X
X
4
80
=σ
=
=
σ
µ
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Então:
%,)4
n()
4
n-P(Z
)
n
X(P
)X(P
X
X
501
48079
79
=−Φ=<=
=−
<−
=
=<
σ
µ
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76
6884172
1724
688 2≅≥
==
−=−
),(n
,.,n
,n
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p f(p)0,0 1/60,5 3/61,0 1/6
Total 1,0
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0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0 0,5 1
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p f(p) p.f(p) p2.f(p)0,0 1/6 0/6 0/60,5 4/6 2/6 1/61,0 1/6 1/6 1/6
Total 1,0 3/6 2/6
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%5050,06/3
)p(f.p)P(EP
===
=== ∑µ
12
1
6
2
)(E)P(V
63
)P(EP2
222P
=−=
=−==
σ
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COM
Reposição
SEMReposição
Média
Erro padrão
π==µ )P(EP
1N
nN
n
)1(P
−
−π−π=σ
n
)1(P
π−π=σ
Características
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Para este exemplo, tem-se:
12
1
3
25,0
3
2
2
25,0
14
24
2
5,0.5,0
1N
nN
n
)1(2P
==
=
=
−
−=
−
−π−π=σ
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0
10
20
30
40
50
0,0 25,0 50,0 75,0 100,0
%50
0,5.0,5
)1(P
=
==
=π−π=σ
%81,1510
)50,01(5,0n
)1(P ====
−−−−====
ππππ−−−−ππππ====σσσσ
%50P
=π=µ
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Se uma amostra aleatória de
tamanho “n > 100” for retirada de uma
população com proporção ππππ, então a
distribuição de P, proporção na
amostra, tem uma distribuição
aproximadamente N(π, )n
( π−π 1
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
40,00 42,50 45,00 47,50 50,00 52,50 55,00 57,50 60,00
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Uma amostra de n = 400 eleitores
é retirada da população que prefere o
candidato Zigoto com π = 50%
Determine:
%)56P(P )b( >
%)54P%47(P )a( <<
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Tem-se: π = 50%
Sabe-se que: µP = π = 50%
%50,2025,0
400
)45,01(45,0
n
)1(P
==
=−
=
=π−π
=σ
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Então:
%01,83
%51,11%52,94)20,1( - )60,1(
1,60) Z P(-1,20
)%5,2
%50%54P
%5,2
%50%47(P
)54P47(P )a(
P
P
=
=−=−ΦΦ=
=<<=
=−
<−
<−
=
=<<
σ
µ
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%82,0)40,2(
)40,2(1)40,2Z(P
)%50,2
%50%56P(P
%)56P(P )b(
P
P
=−Φ=
=Φ−=>=
−>
−=
=>
σ
µ
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s2 f(s2)0,5 3/62,0 2/64,5 1/6
Total 1,0
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0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,5 2,0 4,5
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s2 f(s2) s2.f(s2) (s2) 2.f(s2)0,5 3/6 1,5/6 0,75/62,0 2/6 4,0/6 8,00/64,5 1/6 4,5/6 20,25/6
Total 1,0 10/6 29/6
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67,13
5
)(f)(E ssS 222S2
==
=== ∑µ
06,218
37
18
5087
6
29
][E)(V
3
5
)S(E)S(S
2
2 22 222
S2
==−
=−=
=−==
σ
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Média
Erro padrão
CaracterísticasAmostragem com reposição
)(E 22S2 S σµ ==
1n
2
1n
2 24
S2−
=−
= σσ
σ
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Se uma amostra aleatória de
tamanho “n” (grande) for retirada de
uma população com variância σσσσ2222, então
a distribuição de S2, variância daamostra, tem uma distribuição
aproximadamente χ2 com “n-1” g.l., a
menos de uma constante.
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Isto é:
χσ−
=2
1-nnS
1
22
Este resultado é conhecido
como Teorema de Fisher
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Uma amostra de n = 81
elementos é retirada de uma
população com variância σσσσ2 = 10.
Determine a probabilidade de que
P(S2 > 15).
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Tem-se:
n = 81
σ2 = 10
Sabe-se que:
χσ−
=2
1-nnS
1
22
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%,)
)).
)).
])n.(
])n(
[P)(P
(P
(P(P
[P
S
n
n
250120
10
8015
10
8015
115
151
15
280
280
280
22
1
21
22
=>
=>=>=
=−
>=
=>−
=>
χ
χχ
σχ
χσ
−
−
Então:
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Prof. Lorí Viali , Dr. – PUCRS – EDUCEM – Pós Graduação em Educação em Ciências e Matemática
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
35 38 40 43 45 48 50 53 55 58 60 63 65
)5 ; 50(N
0%
10%
20%
30%
40%
50%
10 19 29 39 49 58 68 78 87 97 107 117 126 136 146
25)(E 22S == σ
35,351n
2 = 2
S2 =−
σσ
Mínimo Máximo Média Desvio (Erro) Padrão
0,0085 110,2515 22,0809 25,76778
n = 2
0%
5%
10%
15%
20%
6 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91
252S2 == σµ
68,174
2.25
1n
2 = 2
S2 ==−
σσn = 5
Mínimo Máximo Média Desvio (Erro) Padrão
3,54 113,22 26,80 20,37
0%
5%
10%
15%
20%
12 14 17 19 22 24 27 29 32 34 37 39 41 44 46
252S2 == σµ
07,725
2.25
1n
2 = 2
S2
==
=−
σσn = 25
Mínimo Máximo Média Desvio (Erro) Padrão
12,94 39,90 25,66 6,28
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385n
9,0.1,0n
)P1(Pn
03,0
96,1
z
2
c2
≥
≥
−≥
ε
(b)
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1068n
5,0.50,0n
)P1(Pn
03,0
96,1
z
2
c2
≥
≥
−≥
ε
(a)
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Qual o tamanho mínimo de umaamostra para estimarmos a proporçãode defeituosos de uma máquina comuma precisão de 3% e umaconfiabilidade de 95%. Se (a) nadase sabe sobre esta proporção (b) elanão é superior a 10%.
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A estimação tem por objetivo
fornecer informações sobre
parâmetros populacionais, tendo
como base uma amostra aleatória
extraída da população de interesse.
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ESTIMAÇÃOESTIMAÇÃO
POPULAÇÃO
AMOSTRAθ
θ̂
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Por Ponto
Por intervalo
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ESTIMAÇÃO POR PONTO
ESTIMAÇÃO POR INTERVALO
A estimativa por ponto é feita
através de um único valor.
A estimativa por intervalo,
fornece um conjunto de valores.
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A estimação tem por objetivo
fornecer informações sobre
parâmetros populacionais, tendo
como base uma amostra aleatória
extraída da população de interesse.
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A estimação tem por objetivo
fornecer informações sobre
parâmetros populacionais, tendo
como base uma amostra aleatória
extraída da população de interesse.
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ESTIMAÇÃOESTIMAÇÃO
POPULAÇÃO
AMOSTRAθ
θ̂
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Por Ponto
Por intervalo
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ESTIMAÇÃO POR PONTO
ESTIMAÇÃO POR INTERVALO
A estimativa por ponto é feita
através de um único valor.
A estimativa por intervalo,
fornece um conjunto de valores.
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As características básicasde um estimador são:
A média:
A Variância:
)ˆ(Eˆ θ=µθ
)ˆ(Eˆ
)]ˆ(Eˆ[E
)E(
)ˆ(V
2
ˆ
θθ
θ−θ
σ
−=
==
=θ=θ
2
2
2
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Através da média, pode-se
saber em torno de que valor o
estimador está variando. O ideal é
que ele varie em torno do
parâmetro θ.
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Pela raiz quadrada da variância
tem-se uma idéia do erro cometido na
estimação, isto é, o valor
σ θ=θ )ˆ(V ˆ
é denominado de erro padrão de θ.
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A terceira informação
necessária é a distribuição do
estimador, isto é, qual o modelo
teórico (probabilístico) do
estimador.
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Erro amostral: θ−θ=ε ˆ
OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES
Viés:
EQM: )ˆ(E)ˆ(EQM θ−θ=θ2
θ−θ=θ )ˆ(E)ˆ(B
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Relação entre EQM e Variância
])ˆ(E)][ˆ(Eˆ[E
)ˆ(EQM
])ˆ(E[)]ˆ(Eˆ[E
]})ˆ(E[)]ˆ(Eˆ{[E
])ˆ(E)ˆ(Eˆ[E
)ˆ(E
θ−θθ−θ+
++=
==
==
==θ
θ−θθ−θ
θ−θ+θ−θ
θ−θ+θ−θ
θ−θ
2
22
2
2
2
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Como:
0=θ−θθ−θ ])ˆ(E)][ˆ(Eˆ[E
Segue:
)ˆ(B
])ˆ(E)]ˆ(Eˆ[E
)ˆ(E
)ˆ(V
)ˆ(EQM
θ
θ−θθ−θ
θ−θ
+θ=
=+=
==θ
2
22
2
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Isto é, o Erro Quadrado Médio
de um estimador é a sua Variância
somada com o quadrado do Viés.
)ˆ(B)ˆ(V)ˆ(EQM θ+θ=θ2
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Erro Quadrado Médio
οοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
θθθθ
)ˆ(E θθθθ
)ˆ(Viés θθθθ
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Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra
aleatória de uma variável
(população) X, com um parâmetro
de interesse θ. Seja uma função
da amostra (estimativa de θ).
θ̂
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Um estimador é dito não-
tendencioso, não-viciado, sem
viés ou imparcial se:
θ=θ=µθ)ˆ(Eˆ
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TendenciosoTendencioso Não tendenciosoNão tendencioso
οοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
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Momentos
Mínimos Quadrados
Máxima Verossimilhança
MELNT (Melhor Estimativa
Linear Não Tendenciosa)
Bayes
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É o mais antigo dos métodos para
determinar estimadores (Pearson,
1894). Baseia-se no princípio de que se
deve estimar o momento de uma
distribuição populacional pelo
momento correspondente da amostra.
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Desta forma a média populacionaldeve ser estimada pela média amostral,a variância populacional pelavariância amostral e assim por diante.
Este método produz estimadoresque são consistentes e assintoticamentenormais.
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A média da amostra éum estimador não-viciado deµ , isto é:
X
µ==µ )X(EX
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A proporção amostral
“P” é um estimador não-
viciado de π, isto é:
ππππ========µµµµ )P(EP
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A variância da amostra
“S2” é um estimador viciado
de σ2, isto é:
σµ ≠= 222 )(E
S S
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A variância da amostra“S2”, calculada com “n-1”
no denominador é umestimador não viciado de σ2,isto é:
σσσσµµµµ ========22
2 )(ES S
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0=θ∞→
)ˆ(Vlimn
Um estimador não
viciado é dito consistente
se:
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A média da amostra éum estimador consistente deµ, isto é:
X
02
== σ
∞→∞→ n)X(V limlim
nn
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A proporção amostral
“P” é um estimador
consistente de π, isto é:
01
=π−π
=∞→∞→ n
)()P(V limlim
nn
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A variância da amostra
“S2” é um estimador
consistente de σ2, isto é:
01
2 42 =
−= σ
∞→∞→ n)(V limSlim
nn
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Dados dois estimadores
não-tendenciosos de um
mesmo parâmetro, o mais
eficiente é o que apresenta
menor variância.
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O estimador “1” é maiseficiente que o “2”
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοο
οοοο
1οοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο
οοοοοοοο
οοοο οοοο
οοοο
οοοο οοοο
2
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A média (simples) da
amostra é um estimador
mais eficiente de µµµµ, do que
qualquer média ponderada.
X
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Considere o seguinteconjunto de valores:
-3 -1,2 -0,5 0,9 1,1 2,2 2,8 4,5
Determine estimativas da:
(a) Média
(b) Variabilidade
(c) Da proporção de positivos
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A médiaA melhor estimativa da média é
dada pela média da amostra. Assim:
8508
86
8
548222119050213
,,
,,,,,,,
nx xi
==
=+++++−−−
=
==∑
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A variânciaA melhor estimativa da
variância (σ2) é dada pela
variância amostral (s2). Assim:
6957
8639
18
7856445
18
86445
1
850 2222
,,,,
.,
n
n ),(xxs i
≅=−
−=
=−
−==
−
−=∑
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O desvio padrãoExtraindo a raiz quadrada da
variância, tem-se uma estimativa
do desvio padrão:
392694357
8639
18
7856445
18
86445
1
850 222
,,,,,
.,
n
ns
),(xxi
≅==−
−=
=−
−=
−
−=
∑
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A proporção
A melhor estimativa de ππππ é
dada pela proporção amostral (p):
%,,n
fp 50626250
8
5====
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Com base na distribuição davelocidades de uma amostra de 120carros andando na estrada POA/Osório,determine estimativas da:
(a) velocidade média
(b) variabilidade da velocidade
(c) da proporção de carros acima dos100 km/h
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Velocidades Freqüência80 | 85 885 | 90 1390 | 95 2495 | 100 33
100 | 105 29105 | 110 13
Total 120
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Velocidades Freqüência xi fixi
80 | 85 8 82,5 660,085 | 90 13 87,5 1137,590 | 95 24 92,5 2220,095 | 100 33 97,5 3217,5
100 | 105 29 102,5 2972,5105 | 110 13 107,5 13,97,5
Total 120 11605
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A média
A melhor estimativa da média é
dada pela média da amostra. Assim:
h/km ,nixxf i 7196
120
11605===
∑
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Velocidades Freqüência xi
80 | 85 8 82,5 54450,0085 | 90 13 87,5 99531,2590 | 95 24 92,5 205350,0095 | 100 33 97,5 313706,25
100 | 105 29 102,5 304681,25105 | 110 13 107,5 150231,25
Total 120 1127950
xf ii2
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O desvio padrão
km/h ,,,
.
n
nis
),(
xxf i
896477247119
79175649
1120
1201127950
1
708396 2
22
≅==
=−
−
=−
−=
∑
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A proporçãoA melhor estimativa de π é
dada pela proporção amostral (p):
%,
)(
n
fp
35350120
42
120
1329
===
=+
==
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Z
Supondo σσσσ conhecido
α−=<<− 1)Z(P zz cc
czcz−
α−12
α
2
α
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α−=<<− 1)Z(P zz ccDe
Tem-se:
α−=<µ−<−−
α−=<µ−<−
α−=<−
<−
σ+−σ
σσ
σ
µ
1
1
1
)..X(P
).X.(P
)X
(P
XcXc
XcXc
cX
Xc
zXz
zz
zz
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Assim:
α−=<µ<−
α−=<µ−<−−
σ+σ
σ+−σ
1
1
)..X(P
)..X(P
XcXc
XcXc
zXz
zXz
Então, o IC de “1 – α” para µµµµ é
calculado por:
±X Xε =εX xcz σ
nx
σ=σ
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Com base na distribuição dasvelocidades de uma amostra de 120carros andando na estrada POA/Osório,e supondo que o desvio padrãopopulacional é igual a sete km/hdetermine uma estimativa para avelocidade média, com umaconfiabilidade de 95%.
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Tem-se:
±X Xε =εX xcz σ
nx
σ=σ
Mas:
25,16390,0.96,1X ==ε
96,1zc =
6390,0120
7
nx ==
σ=σ
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O IC de “1 – α” para µµµµ é
calculado por:
[ ][ ]
[ ]96,97 ;46,95
25,171,96 ;25,171,96
X ;X XX
+−
ε+ε−
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0,00
0,20
0,40
ns
Xtn
µ−=−1 tt1, n = 21, n = 2
tt2, n = 32, n = 3
N(0; 1)N(0; 1)
σσσσ desconhecido
ctct−
α−1 2
α
2
α
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α−=<<− 1)t(P tt ccDeTem-se:
α−=<µ−<−−
α−=<µ−<−
α−=<−
<−
σ+−σ
σσ
σ
µ
1
1
1
)..X(P
).X.(P
)X
(P
ˆzXˆt
ˆtˆt
tˆ
t
XtXc
XcXc
cX
Xc
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Assim:
α−=<µ<−
α−=<µ−<−−
σ+σ
σ+−σ
1
1
)..X(P
)..X(P
ˆtXˆt
ˆtXˆt
XcXc
XcXc
XˆX ε± xcX ˆtˆ σ=εn
sˆ x =σ
Então, o IC de “1 – α” para µ,µ,µ,µ, se
σ for desconhecido é calculado por:
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Com base na distribuição dasvelocidades de uma amostra de 120carros andando na estradaPOA/Osório, determine umaestimativa para a velocidademédia, com uma confiabilidade de95%.
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Tem-se:
Mas:
25,16290,0.98,1ˆ X ==ε
98,1tc =
2906,0120
4772,47
n
sˆ x ===σ
XˆX ε± xcX ˆtˆ σ=εn
sˆ x =σ
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O IC de “1 – α” para µµµµ é
calculado por:
[ ][ ]
[ ]96,97 ;46,95
25,171,96 ;25,171,96
ˆX ;ˆX XX
+−
ε+ε−
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α−=<<− 1)Z(P zz cc
czcz−
α−1 2
α
2
α
n
)1(P
π−π=σ n
)P1(Pˆ P
−=σ
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α−=<<− 1)Z(P zz ccDe
Tem-se:
α−=<µ−<−−
α−=<µ−<−
α−=<−
<−
σ+−σ
σσ
σ
µ
1)..P(P
1).P.(P
1)X
(P
PcPc
PcPc
cP
Pc
zPz
zz
zz
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Assim:
α−=<µ<−
α−=<µ−<−−
σ+σ
σ+−σ
1
1
)..P(P
)..P(P
PcPc
PcPc
zPz
zPz
Então, o IC de “1 – α” para ππππ é
calculado por:
ε± ˆPP σ=ε ˆ PcP zˆn
)P1(Pˆ P
−=σ
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Com base na distribuição das
velocidades de uma amostra de 120carros andando na estrada POA/Osório,
determine uma estimativa para a
proporção de carros com velocidadeacima de 100 km/h, com uma
confiabilidade de 95%.
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Tem-se:
Mas:
%53,83541,4.96,1ˆ X ==ε
96,1zc =
% 3541,4120
)35,01.(35,0
n
)p1(pˆ P =
−=
−=σ
ε± ˆPP σ=ε ˆ PcP zˆn
)P1(Pˆ P
−=σ
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O IC de “1 – α” para ππππ é
calculado por:
[ ]
[ ]
[ ]%53,43 %;47,26
8,53%35% %;53,8%35
ˆP ;ˆP PP
+−
ε+ε−
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σχ
−=
− 2
22
1nS)1n(
χ2s
α−12α
2
α
χ2i
α−=<< χχχ −1)(P 2
s2
1n2i
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DeTem-se:
α−=<< χχχ −1)(P 2
s2
1n2i
α−=−
<<−
α−=<−
<
α−=<−
<
χσ
χ
χ
σ
χ
χσ
χ
1))1n()1n(
(P
1)1
)1n(
1(P
1))1n(
(P
21
22
2s
2
21
2
2
2s
2s2
22i
SS
S
S
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Então o IC de “1 – α” para σσσσ2222 é
calculado por:
−−
χχ21
2
2s
2 SS )1n(;
)1n(
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Então o IC de “1 – α” para σσσσ é
calculado por:
−−
χχ21
2
2s
2 SS )1n( ;
)1n(
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Com base na distribuição dasvelocidades de uma amostra de 120carros andando na estradaPOA/Osório, determine umaestimativa para a variabilidade davelocidade, com umaconfiabilidade de 95%.
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Tem-se:
Mas:
−−
χχ21
2
2s
2 SS )1n( ;
)1n(
46,145
81,94
2s
2i
=
=
χ
χ
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O IC de “1 – α” para σσσσ é
calculado por:
[ ]7,72 ;23,6
81,94
4772,47.119 ;
46,145
4772,47.119
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É desejável um IC com alta
confiabilidade (1 - α) e pequena
amplitude (ε) . Isto requer uma
amostra suficientemente grande,
pois, para “n” fixo, confiança e
precisão varia inversamente.
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A seguir os tamanhos
mínimos necessários de
amostras para estimar os
principais parâmetros dentro de
uma confiabilidade (1 – α) e
uma precisão (ε) especificados.
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Para estimar a média de umapopulação, supondo σ conhecido
ε
σ≥
ε
σ=
σ=σ=ε
c2
c
cxc
z.n
z.n
nzz
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Para estimar a média de umapopulação, com σ conhecido
ε≥
ε=
==ε
c2
c
cxc
t.sn
t.sn
n
stst
tc será obtidoatravés de umaamostra piloto n’
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Para estimar a proporçãopopulacional.
)P1(Pn
)P1(Pz
n
n
)P1(Pzz
c2
c
cxc
z−≥
−ε
=
−=σ=ε
ε
“p” seráestimadoatravés deuma amostrapiloto n’
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Qual o tamanho mínimo de umaamostra para estimarmos a proporçãode defeituosos de uma máquina comuma precisão de 3% e umaconfiabilidade de 95%. Se (a) nadase sabe sobre esta proporção (b) elanão é superior a 10%.
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1068n
5,0.50,0n
)P1(Pn
03,0
96,1
z
2
c2
≥
≥
−≥
ε
(a)
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385n
9,0.1,0n
)P1(Pn
03,0
96,1
z
2
c2
≥
≥
−≥
ε
(b)
Recommended