Prof. Lor Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemtica ... viali/pg/material/laminaspime/CRS_6.pdfM1 IPC Prof. Lor Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemtica - Departamento

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    Prof. Lor Viali, Dr.Prof. Lor Viali, Dr.Prof. Lor Viali, Dr.Prof. Lor Viali, Dr.viali@mat.ufrgs.brviali@mat.ufrgs.brviali@mat.ufrgs.brviali@mat.ufrgs.br

    http://www.mat.ufrgs.br/~viali/http://www.mat.ufrgs.br/~viali/http://www.mat.ufrgs.br/~viali/http://www.mat.ufrgs.br/~viali/Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    o grau de associao entre duas ou mais variveis. Pode ser:

    correlacionalcorrelacionalcorrelacionalcorrelacional

    ou

    experimentalexperimentalexperimentalexperimental.

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    Numa relao experimental os valores de uma das variveis so controlados.

    No relacionamento correlacional, por outro lado, no se tem nenhum controle sobre as variveis sendo estudadas.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    O Estoque de Moeda (M1)

    est relacionado com a variao dos preos. Verifique se existe correlao

    entre o IPC americano com a oferta

    monetria, considerando dados do perodo de 1960 a 2003.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    200320032002200220002000

    ......196519651964196419631963196219621961196119601960Ano

    179,9179,91210,41210,4184,0184,01287,11287,1

    177,1177,11172,91172,9............

    32,432,4167,8167,831,531,5160,3160,330,630,6153,3153,330,230,2147,8147,829,929,9145,2145,229,629,6140,7140,7

    X = IPCY = M1

  • 22

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    O primeiro passo para

    determinar se existe relacionamento entre as duas variveis obter o

    diagrama de dispersodiagrama de dispersodiagrama de dispersodiagrama de disperso (scatter

    diagram).

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    20

    60

    100

    140

    180

    100 300 500 700 900 1100 1300

    M1

    IPC

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    O diagrama de disperso

    fornece uma idia do tipo de relacionamento entre as duas

    variveis. Neste caso, percebe-se que

    existe um relacionamento linearrelacionamento linearrelacionamento linearrelacionamento linear.

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    Quando o relacionamento

    entre duas variveis

    quantitativas for do tipo linearlinearlinearlinear,

    ele pode ser medido atravs do:

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Observado um relacionamento relacionamento relacionamento relacionamento

    linearlinearlinearlinear entre as duas variveis possvel

    determinar a intensidade deste

    relacionamento. O coeficiente que mede

    este relacionamento denominado de

    Coeficiente de Correlao (linear).

  • 33

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    Quando se est trabalhando com

    amostras o coeficiente de correlao indicado pela letra rrrr e uma

    estimativa do coeficiente de correlao

    populacional que representado por

    (rho). Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

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    Para determinar o coeficiente de

    correlao (grau de relacionamento linear entre duas variveis) vamos

    determinar inicialmente a variao

    conjunta entre elas, isto , a covarincia.

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    A covarincia entre duas

    variveis X e Y, representada

    por CovCovCovCov(X; Y)(X; Y)(X; Y)(X; Y) e calculada por:

    1n)YY)(XX()Y,X(Cov ii

    =

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    Mas

    =

    =+ =

    =+ =

    =+ =

    =+ =

    =

    YXnYX

    YXnYXnYXnYX

    YXXYYXYX

    YXYXYXYX

    ]YXYXYXYX[

    )YY)(XX(

    ii

    ii

    iiii

    iiii

    iiii

    ii

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    Ento:

    1nYXnYX

    1n)YY)(XX()Y,X(Cov

    ii

    ii

    =

    =

    =

  • 44

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    A covarincia poderia ser utilizada

    para medir o graugraugraugrau e o sinalsinalsinalsinal do

    relacionamento entre as duas variveis,

    mas ela difcil de interpretar por variar

    de - a +. Assim mais conveniente utilizar o coeficiente de correlao linear coeficiente de correlao linear coeficiente de correlao linear coeficiente de correlao linear

    de Pearson (momento produto)de Pearson (momento produto)de Pearson (momento produto)de Pearson (momento produto).Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    O coeficiente de correlao

    linear (de Pearson) definido por:

    SS YX)Y,X(Cov

    r =

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    Onde:

    1nYnY S

    1nXnX S

    1nYXnYX )Y,X(Cov

    22i

    Y

    22i

    X

    ii

    =

    =

    =

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    Esta expresso no muito prtica para calcular o coeficiente de

    correlao. Pode-se obter uma

    expresso mais conveniente para o clculo manual e o clculo de outras

    medidas necessrias mais tarde.

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    Tem-se:

    ( )( ) =

    =

    =

    ==

    YnYXnX

    YXnYX

    1nYnY

    1nXnX

    1nYXnYX

    SS)Y,X(Cov

    r

    22i

    22i

    ii

    22i

    22i

    ii

    YX

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Fazendo:

    S.SS

    r :seTem

    YnYS

    XnXS

    YXnYXS

    YYXX

    XY

    22iYY

    22iXX

    iiXY

    =

    =

    =

    =FFFFFFFFaaaaaaaazzzzzzzzeeeeeeeennnnnnnnddddddddoooooooo

  • 55

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    A vantagem do coeficiente de

    correlao (de Pearson) ser adimensional e variar de 1 a + 1,

    que o torna de fcil interpretao.

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    Assim se r = -1, temos uma relacionamento linear negativo

    perfeito, isto , os pontos esto todos

    alinhados e quando X aumenta Y decresce e vice-versa.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    10 15 20 25 30

    1r =

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    Se r = +1, temos uma

    relacionamento linear positivo perfeito, isto , os pontos esto todos

    alinhados e quando X aumenta Y tambm aumenta.

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    0

    10

    20

    30

    40

    50

    10 15 20 25 30

    1r +=

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    Assim se r = 0, temos uma

    ausncia de relacionamento linear, isto , os pontos no mostram

    alinhamento.

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    0r =

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    10 15 20 25 30

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    Assim se 1 < r < 0, temos uma

    relacionamento linear negativo, isto ,

    os pontos esto mais ou menos alinhados e quando X aumenta Y

    decresce e vice-versa.

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    0r1

  • 77

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    Observada uma amostra de seis pares, pode-se perceber que a correlao quase um, isto , r r r r 1111. No entanto, observe o que ocorre quando mais pontos so acrescentados, isto , quando se observa a populao!

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    0

    10

    20

    30

    40

    50

    10 15 20 25 30

    r r r r 1111

    0000

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Determinar o grau de relacionamento linear entre as

    variveis X = ndice de Preos ao

    Consumidor versus Y = Estoque de Moeda, para os valores da Economia

    Americana de 1960 a 2003.

    3295760,693295760,69

    XY

    21856837,2121856837,21

    X2

    4102,94102,9184,0184,0179,9179,9177,1177,1

    ......32,432,431,531,530,630,630,230,229,929,929,629,6Y

    1287,11287,120032003TotalTotal

    2002200220002000

    ......196519651964196419631963196219621961196119601960Ano

    1210,41210,4

    503187,97503187,9725894,525894,5

    1172,91172,9......

    167,8167,8160,3160,3153,3153,3147,8147,8145,2145,2140,7140,7

    Y2X

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    Vamos calcular r

    utilizando a express