Prof. LoríViali, Dr. viali@mat.ufgrs.br viali/ viali/sociais/mat02214/material/laminas/  · Prof

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Prof. Lor Viali, Dr.

viali@mat.ufgrs.br

http://www.mat.ufrgsbr/~viali/

Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

Em muitas situaes precisamos lidar

com duas ou mais variveis aleatrias ao

mesmo tempo. Por exemplo o

comprimento e a largura de uma

determinada pea.

Motivao

Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

Uma distribuio de probabilidade

pode ser unidimensional ou n-dimensional.

Distribuies n-dimensionais (n 2) so

denominadas de distribuies

multivariadas.

Distribuies Multivariadas

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Se X1, X2, ..., Xn forem "n" funes,

cada uma associando um nmero real a

cada resultado s S, denominaremos

(X1, X2, ..., Xn) de varivel aleatria n-

dimensional.

VA n-dimensional

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Um caso especial de distribuio

multivariada envolve uma varivel

aleatria bidimensional que

denominada de distribuio bivariada.

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A varivel (X, Y) ser uma varivel

aleatria discreta bidimensional se os

valores possveis de (X, Y) forem finitos

ou infinitos numerveis, isto , os valores

possveis so (xi, yj) com i = 1, 2, 3, ...

e j = 1, 2, 3, ...

VADB

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A funo de probabilidade

A cada varivel aleatria discreta

bidimensional est associada uma funo

de probabilidade que satisfaz as seguintes

condies:

(i) p(xi, yj) 0 para i, j = 1, 2, 3, ...

1)y,x(p )ii( j1i 1j

i =

=

=

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A funo "p" definida para todo

(xi, yi) no contradomnio de

(X, Y) denominada de funo de

probabilidade de (X, Y).

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A coleo dos pares:

[(xi, yj), p(xi, yj)], i, j = 1, 2, 3, ...

, denominada de distribuio de

probabilidade conjunta da varivel aleatria

discreta bidimensional (X, Y).

A distribuio conjunta

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Uma pequena fbrica opera com dois

turnos dirios. Em um estudo sobre o

padro de ausncias ao trabalho as duas

variveis aleatrias de interesse so:

X = nmero de faltas no turno da manh

e Y = nmero de ausncias no turno da

tarde do mesmo dia.

Exemplo:

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Baseado numa longa srie de

registros, de funcionrios, o diretor de

pessoal, determinou a distribuio

conjunta de X e Y mostrada na tabela

(prxima lmina).

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YX 0 1 2 3

0 0,05 0,05 0,10 0,00 0,20

1 0,05 0,10 0,25 0,10 0,50

2 0,00 0,15 0,10 0,05 0,30

0,10 0,30 0,45 0,15 1,00

Distribuio Conjunta

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Na tabela o valor 0,25 da clula

(X = 1, Y = 2) significa que em 25% dos dias

um trabalhador faltou no turno da manh e dois

faltaram no turno da tarde. O valor de 20% da

soma da primeira linha, indica que em 20% dos

dias ningum faltou no turno da manh.

Interpretao

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Da mesma forma, o valor de 45% na

quarta coluna, indica que em 45% dos

dias, dois trabalhadores no

compareceram no turno da tarde.

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Exerccio:

Suponha que uma palavra da frase:

O Grmio e sempre ser o melhor

time gacho selecionada ao acaso.

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Sejam:

X = tamanho da palavra e

Y = nmero de vogais da palavra, duas

variveis aleatrias.

Determinar a distribuio conjunta de

(X, Y).

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YX 1 2 3

1 0,4 0,0 0,0

4 0,0 0,2 0,0

6 0,0 0,2 0,2

Distribuio Conjunta

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A cada varivel bidimensional

(X, Y) esto associados duas variveis

aleatrias X e Y.

Distribuies Marginais

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Os valores de X considerados em

conjunto com as probabilidades que

aparecem na ltima coluna direita

formam a distribuio marginal de X e os

valores de Y considerados com as

probabilidades da ltima linha da tabela

formam a distribuio marginal de Y.

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No caso discreto a obteno da

distribuio marginal de X dado por:

p(xi) = P(X = xi)

= P(X = xi, Y = y1 ou Y = y2 ou ....)

= )y ,x(p j1j

i

=

Distribuies Marginais

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Definio:

Se (X, Y) uma VA discreta

bidimensional, ento as colees de pares:

[x, p(x) = P(X = x)] e

[y, p(y) = P(Y = y)]

so denominadas de Distribuies

Marginais.

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Exemplo:

Considerando a distribuio conjunta

(X, Y) onde X = faltas no turno da manh

e Y = faltas no turno da tarde, tem-se, as

seguintes distribuies marginais.

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x p(x)

0 0,20

1 0,50

2 0,30

1,00

y p(y)

0 0,10

1 0,30

2 0,45

3 0,15

1,00

Distribuies Marginais

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Exerccio:

Considerando a distribuio

conjunta (X, Y) onde X = tamanho da

palavra e Y = nmero de vogais,

determine as distribuies marginais.

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YX 1 2 3

1 0,4 0,0 0,0 0,4

4 0,0 0,2 0,0 0,2

6 0,0 0,2 0,2 0,4

0,4 0,4 0,2 1,0

Soluo

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Distribuies Condicionais

No estudo descritivo com distribuies

conjuntas foram calculados os percentuais

em relao as linhas e as colunas. Na

probabilidade este clculo denominado de

Distribuies Condicionais.

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Seja xi um valor da VAD X tal que

p(xi) > 0. A probabilidade:

P(Y = yj | X = xi) =

P(X = xi, Y = yj) / P(X = xi) =

P(yj | X = xi) para j = 1, 2, , n

denominada probabilidade

condicional de Y = yj, dado que X = xi.

Definio:

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Exemplo:

Com base na tabela do nmero de

ausncias ao trabalho nos turnos da

manh e da tarde, determine a

distribuio condicional de P(Y | x = 0).

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P(Y = y | x = 0) =

= P(Y = y; x = 0)/P(x = 0) =

= P(Y | x = 0).

Assim para y = 0, 1, 2 e 3, tem-se:

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p(0 | x = 0) = P(y = 0; x = 0)/P(x = 0) =

= 0,05/0,20 = 0,25.

p(1 | x = 0) = P(y = 1; x = 0)/P(x = 0) =

= 0,05/0,20 = 0,25.

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p(2 | x = 0) = P(y = 2; x = 0)/P(x = 0) =

= 0,10/0,20 = 0,50.

p(3 | x = 0) = P(y = 3; x = 0)/P(x = 0) =

= 0/0,20 = 0.

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y p(y | x = 0)

0 0,25

1 0,25

2 0,50

1,00

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Qual a distribuio do nmero

de vogais se o tamanho da palavra

seis.

Exerccio:

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YX 1 2 3

1 0,4 0,0 0,0 0,4

4 0,0 0,2 0,0 0,2

6 0,0 0,2 0,2 0,4

0,4 0,4 0,2 1,0

Soluo

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p(2 | x = 6) = P(y = 2; x = 6)/P(x = 6) =

= 0,2/0,4 = 0,5.

p(3 | x = 6) = P(y = 3; x = 6)/P(x = 6) =

= 0,2/0,40 = 0,5.

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y P(y | x = 6)

2 0,5

3 0,5

1,0

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Representao grfi