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Prof. Lor Viali, Dr.

viali@mat.ufrgs.br

http://www.mat.ufrgs.br/~viali/

Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

Na prtica, no existe muito interesse

na comparao de preos e quantidades de

um nico artigo, como o caso dos

relativos, mas sim na comparao de

conjuntos de preos de artigos entre

diferentes pontos no tempo.

MotivaMotivaMotivaMotivaMotivaMotivaMotivaMotivaoooooooo

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Por exemplo, para se ter uma idia do custo

de vida no suficiente saber a variao do

preo da carne, mas necessrio tambm o do

arroz, do leite, da batata, etc. claro que todos

estes preos poderiam ser fornecidos em formas

de tabelas. Mas esta soluo seria bastante

falha em termos informativos.

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O que se quer um nico nmero que

represente a variao de preos de todo um

conjunto de bens e servios, bem como as

quantidades consumidas ou utilizadas. Um

nmero com estas caractersticas

denominado de nmero ndice.

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A escolha da expresso matemtica do

ndice, isto , da frmula depende, em parte,

dos objetivos do ndice, mas desejvel do

ponto de vista terico, que os nmeros ndices

satisfaam as mesmas propriedades dos

relativos.

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Nenhum ndice proposto, at hoje, satisfaz

a todas as propriedades. Por isso, na prtica, a

frmula adotada, depende mais das

facilidades que ela proporciona (em termos de

clculo) do que das propriedades matemticas

que ela satisfaz.

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p0 = preo do artigo na poca base -0.

q0 = quantidade do na poca base - 0.

pt = preo do artigo na poca t.

qt = quantidade do artigo na poca t.

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaoooooooo

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As notaes foram simplificadas, pois,

por exemplo, na poca t onde se escreve p0se deveria escrever , isto , preo do artigo

i na poca base com i = 1, 2, ... , n. Mas

comum se eliminar certos sub-ndices, bem

como, os indicativos dos somatrios de forma

a tornar a representao menos confusa.

p i0

ObservaObservaObservaObservaObservaObservaObservaObservao:o:o:o:o:o:o:o:

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Os ndices simples so caracterizados por

envolverem apenas os preos e no as

quantidades consumidas de cada produto

levado em considerao.

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a mdia aritmtica dos relativos, de

cada produto, calculados em relao

poca base.

ndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmticoticoticoticoticoticoticotico

)p/(pn

1 = )t p(0,

nI 0tA =

1

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um ndice fcil de ser calculado, mas que

apresenta a desvantagem da mdia aritmtica,

que a de sofrer a influncia de valores

extremos, isto , grandes variaes nos preos

de um nico produto. um ndice que no

reversvel e nem transitivo.

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a mdia geomtrica dos relativos, de

cada produto, calculados em relao

poca base.

ndice Geomndice Geomndice Geomndice Geomndice Geomndice Geomndice Geomndice Geomtricotricotricotricotricotricotricotrico

)p/p( n )t,(pI n tG == 00

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O ndice geomtrico simples costuma

tambm ser definido atravs da mdia

aritmtica dos logaritmos dos relativos, i., o

ndice geomtrico um ndice aritmtico, s que

dos logaritmos dos relativos ao invs dos

relativos. Este ndice reversvel e transitivo

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a mdia harmnica dos relativos, de

cada produto, calculados em relao

poca base.

ndice Harmnicondice Harmnicondice Harmnicondice Harmnicondice Harmnicondice Harmnicondice Harmnicondice Harmnico

=

0) p(t,

n =

)p/p(

n =

)p/p(n

11

It t

H0

0

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O ndice harmnico da mesma forma que o

aritmtico no reversvel e nem transitivo.

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a mediana dos relativos, de cada

produto, calculados em relao poca

base.

ndice Medianondice Medianondice Medianondice Medianondice Medianondice Medianondice Medianondice Mediano

IM = me{ pt /p0 } = me{ p(0, t) }

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A vantagem deste ndice a de no ser

influenciado por variaes extremas de preos

de um nico produto. Uma desvantagem que

necessrio ordenar os relativos para obt-lo.

Este ndice no reversvel e nem transitivo.

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o mais antigo dos nmeros ndices e

obtido pela proporo entre a variao

na poca atual e a poca base.

ndice Agregativo Simples ou de Bradstreet ndice Agregativo Simples ou de Bradstreet ndice Agregativo Simples ou de Bradstreet ndice Agregativo Simples ou de Bradstreet ndice Agregativo Simples ou de Bradstreet ndice Agregativo Simples ou de Bradstreet ndice Agregativo Simples ou de Bradstreet ndice Agregativo Simples ou de Bradstreet

p

p I

0

tAG

=

um ndice que reversvel e

transitivo.

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ExemploExemplo

0,570,57

1,191,19

2,242,24

2,232,23

1,191,19

22

PrePreosos

0,570,57

1,261,26

2,302,30

2,212,21

1,381,38

11

0,600,60AlfaceAlface

1,151,15Cebola Cebola

2,202,20PimentoPimento

2,302,30CouveCouve--florflor

1,271,27BatataBatata

33ProdutosProdutos

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Calcular os diversos ndices de preos

do perodo 2 com base no perodo 1, do

perodo 3 com base no perodo 2 e do

perodo 3 com base no perodo 1.

Verificar se os ndices so transitivos e

reversveis.

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A principal desvantagem dos ndices anteriores

a de considerar todos os artigos com a mesma

importncia. Para que o ndice se torne mais

realista, uma vez que se sabe que os produtos no

consumidos em igual quantidade, necessrio

ponderar cada artigo.

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Essa ponderao, normalmente, realizada

pelas quantidades consumidas, obtidas atravs de

uma amostragem probabilstica. Estas quantidades

podem ser utilizadas de forma absoluta ou ento,

como mais comum, pela sua importncia relativa

no conjunto de quantidades.

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Assim se qi a quantidade consumida,

produzida, vendida, etc. de determinado

artigo, pode-se utilizar no ndice, o valor

absoluto qi ou ento seu valor relativo

i = qi / qi, de tal modo que,

i = 1 = 100%.

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Na prtica o que utilizado uma

ponderao atravs do valor total gasto (na

poca base ou atual) Assim se q a

quantidade consumida,, e p0 o preo na poca

base, ento:

=

qp

qp

0

0

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Esta opo a preferida pois d condies

de verificar a contribuio do artigo cuja

ponderao i na variao final do ndice.

Sejam as ponderaes associadas aos

artigos cujos preos so p0 e pt nas pocas 0 e

t respectivamente. Ento os ndices

anteriores ficam:

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a mdia aritmtica dos relativos, de

cada produto, ponderados pelas

quantidades i.

ndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmndice Aritmtico Ponderadotico Ponderadotico Ponderadotico Ponderadotico Ponderadotico Ponderadotico Ponderadotico Ponderado

p

p

n

1 = )t