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Prof. Lor Viali, Dr.viali@pucrs.br;viali@mat.ufrgs.br;
http://www.pucrs.br/famat/viali;http://www.mat.ufrgs.br/~viali/
Prof. Lor Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatstica
A teoria dos mtodos estatsticos multivariados pode ser explicada razoavelmente bem somente com uso de alguma lgebra matricial. Por essa razo til, seno essencial ter pelo menos algum conhecimento nessa rea (Bryan F. J. Manly).
Estatstico Ecologista com mais de 30 anos de experincia como pesquisador, consultor e professor de Estatstica.
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Estatstica Multivariada
Pr-Requisitos
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Muitos dos procedimentos
multivariados so maximizaes ou
otimizaes. As noes de maximizao
e de combinaes lineares so
combinadas em muitos procedimentos
multivariados.
Otimizao (Maximizao)
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Na regresso mltipla uma
combinao linear dos previsores que maximiza a correlao com a varivel dependente procurado e na Anlise de Componentes Principais a Combinao Linear das variveis responsvel pela maior poro da varincia considerada.
Exemplos:
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A idia de Combinao Linear de
variveis bsica para quase todos os
tipos de Anlise Multivariada. Uma
Combinao Linear de p variveis dada
por: Y = a1x1 + a2x2 + ... + apxp, onde a1, a2,
..., ap so os coeficientes das variveis.
Combinao Linear
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Suponha que tenhamos um grupo tratamento e controle ou um pr e um
ps teste. Se representarmos as variveis por x1 (pr-teste) e x2 (ps-teste) ento a varivel diferena pode ser escrita como Y = x2 - x1, onde a1 = -1 e a2 = 1.
Exemplo:
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Distncias
Considere dois pontos (x1, y1) e
(x2, y2) no plano. Ento a distncia
usual (Euclidiana) entre os dois
pontos obtida pela aplicao do
teorema de Pitgoras.
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Assim:
d2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2
Ou, tambm:
)yy()xx( 1212d22 +=
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Se os dois pontos forem (2, 3) e (4, 6), ento a distncia entre eles :
Exemplo:
61,313 1212d )36()24()yy()xx(
2222
==
=+=+=
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As distncias entre dois pontos P =
(x1, x2, ..., xp) e Q = (y1, y2, ..., yp) no
espao p-dimensional dado por:
)yx()yx()yx( pp...2211)Q,P(d222 +++=
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Johnson e Wichern (1982) colocam
que: linhas retas e distncias euclidianas no so adequadas para muitos procedimentos estatsticos. Isso
de deve ao fato de que cada coordenada tem a mesma contribuio para o clculo da distncia.
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Quando as coordenadas
representam medidas que esto sujeitas
a flutuaes aleatrias de diferentes magnitudes, desejvel ponderar as coordenadas sujeitas a grande variabilidade com pesos menores do que
as com menor variabilidade (p. 20).Prof. Lor Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatstica
Levar em conta:
(i) A variabilidade pode ser
diferente porque as escalas no
so as mesmas;
(ii) A correlao entre as variveis.
Fatores:
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A distncia ao quadrado, padronizada
que se ajusta a diferentes variabilidades
dada por:
Um critrio
s)x(
s)x(
d 22
2
21
22 x22ix11i +=
Onde xi1 e xi2 representam os valores para o sujeito i na variveis 1 e 2 e ,
so as mdias das duas variveis.
x1x2
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Suponha que temos duas
variveis x1 e x2 com varincias 36 e 100 e com mdias 4 e 6. Vamos admitir que elas no esto correlacionadas. Para determinar a distncia de um
sujeito com escores (2, 3) at o vetor das mdias, isto , at (4, 6) fazemos:
Exemplo:
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Esses so os mesmos dois pontos que
foram considerados anteriormente. Note
que a maior parte da distncia devida a
varivel x2 (9). Depois de padronizada a
maior poro devida a x1 (0,11 em 0,20).
.20,009,011,010036
)63()42(d
222 =+=+=
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Suponha agora que as variveis tem uma correlao moderada, isto ,
rx1,x2 = 0,50. A distncia de Mahalanobis, que leva em conta a correlao dada por:
Correlao
+
=
ssx(x(
s)x(
s)x(
rD
21
2i1i22
2
21
2
22
)x)xr2x22ix11i1
1 21
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Prasanta ChandraMahalanobis (1893 - 1972). Fundou do ISI (Instituto de Estatstica Indiano). Lanou o peridico Sankhiana rea de Estatstica. Criou o conceito de amostra piloto.
Mahalanobis
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Note que se a correlao positiva
ento a distncia reduzida de uma
quantidade equivalente ao terceiro termo nos
colchetes. Isso ocorre porque as distncias ao
longo da segunda dimenso (da segunda
varivel) podem ser previstas pela correlao
com a outra varivel.
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Nesse caso, a distncia do ponto(2, 3) para (4, 6) supondo uma
correlao de 0,50 :
Exemplo:
13,010.6
)63)(42(5,0.2100361
1 )63()42(5,0
D22
22 =
+
=
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Se a correlao forte (por exemplo: 0,71, ento a distncia de
Mahalanobis ainda menor:
12,010.6
)63)(42(71,0.2100361
1 )63()42(71,0
D22
22 =
+
=
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Por outro lado se a correlao negativa, ento a distncia ser maior do que quando as variveis no forem
correlacionadas. Suponha que a correlao seja -0,5, ento:
40,010.6
)63)(42)(5,0.(2100361
1 )63()42(5,0
D22
22 =
+
=
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Qualquer distncia entre os pontos P e Q ser vlida desde que satisfaa as seguintes propriedades: d(P, Q) = d (Q , P)
d(P, Q) > 0 se P Q
d(P, Q) = 0 se P = Q
d(P, Q) d(P, R) + d(R, Q)
(Desigualdade triangular)
Propriedades
Prof. Lor Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatstica
o conjunto dos reais;
n o conjunto dos vetoresn-dimensionais reais;
Os vetores em n so colunas ao menos que seja estabelecido o contrrio;
Para qualquer x n, x o vetor transposto de x, isto o vetor linha n-dimensional;
Vetores
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O produto interno (inner product) de dois
vetores x, y n definido por: .
Quaisquer dois vetores x, y n
satisfazendo xy = 0 so ditos ortogonais.
Mdulo de um vetor
yxx in
iiy
==
1
'
. '. || xxx =
x...xx 2n2221 +++=
Mdulo e Produto Interno
|x|
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Clculo do ngulo entre dois vetores x e y.
x = [x1, x2]
y = [y1, y2]y2
y1 x1
x2x
y
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ngulo entre dois Vetores
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Pela figura pode-se ver que o ngulo pode ser representado pela diferena entre os ngulos 1 e 2 formados pelos dois vetores e o primeiro eixo coordenado. Assim:
||)(
||)(
||)(
||)cos(
22
21
12
11
ysen e
xsen
yosc e
xyx
yx
==
==
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Ento:)(sen)(sen)cos()cos()cos()cos( 121212 +==
Substituindo vem:
|y||x|y'x
|y||x|
|y||y||x||y|)cos()cos(
yxyx
xyxy
2211
221112
=+
=
=
+
==
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Seja V = {v1, v2, ..., vn} um conjunto de
vetores com a mesma dimenso.
Uma Combinao Linear (CL) dos vetores
em V qualquer vetor v da forma:
v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn
onde c1, c2, ..., cn so escalares arbitrrios.
Dependncia e Independncia Linear
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Um conjunto V de n vetores m-
dimensionais linearmente
independente se a nica CL de vetores
em V que iguala a zero a combinao
trivial, isto
