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Prof. Lor Viali, Dr.Prof. Lor Viali, Dr.Prof. Lor Viali, Dr.Prof. Lor Viali, Dr.viali@mat.ufrgs.brviali@mat.ufrgs.brviali@mat.ufrgs.brviali@mat.ufrgs.br

http://www.mat.ufrgs.br/~viali/http://www.mat.ufrgs.br/~viali/http://www.mat.ufrgs.br/~viali/http://www.mat.ufrgs.br/~viali/

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o grau de associao entre

duas ou mais variveis. Pode ser:

correlacionalcorrelacionalcorrelacionalcorrelacional

ou

experimentalexperimentalexperimentalexperimental.

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Numa relao experimental os

valores de uma das variveis so

controlados.

No relacionamento correlacional,por outro lado, no se tem nenhumcontrole sobre as variveis sendoestudadas.

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Um engenheiro qumico est

investigando o efeito da temperatura

de operao do processo no

rendimento do produto. O estudo

resultou nos dados da tabela

seguinte:

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Temperatura, C0 (X) Rendimento (Y)100 45110 51120 54130 61140 66150 70160 74170 78180 85190 89

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O primeiro passo para

determinar se existe relacionamento

entre as duas variveis obter o

diagramadiagramadiagramadiagrama dededede dispersodispersodispersodisperso (scatter

diagram).

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0

25

50

75

100

100 120 140 160 180 200

Temperatura (X)

Rendimento

(Y)

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O diagrama de disperso

fornece uma idia do tipo de

relacionamento entre as duas

variveis. Neste caso, percebe-se que

existe um relacionamentorelacionamentorelacionamentorelacionamento linearlinearlinearlinear.

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Quando o relacionamento

entre duas variveis

quantitativas for do tipo linearlinearlinearlinear,

ele pode ser medido atravs do:

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Observado um relacionamentorelacionamentorelacionamentorelacionamento

linearlinearlinearlinear entre as duas variveis possvel

determinar a intensidade deste

relacionamento. O coeficiente que mede

este relacionamento denominado de

Coeficiente de Correlao (linear).

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Quando se est trabalhando com

amostras o coeficiente de correlao

indicado pela letra rrrr e uma

estimativa do coeficiente de correlao

populacional que representado por

(rho).

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Para determinar o coeficiente de

correlao (grau de relacionamento

linear entre duas variveis) vamos

determinar inicialmente a variao

conjunta entre elas, isto , a

covarincia.

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A covarincia entre duas

variveis X e Y, representada

por Cov(XCov(XCov(XCov(X;;;; Y)Y)Y)Y) e calculada por:

1n

)YY)(XX()Y,X(Cov ii

=

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Mas

=

=+ =

=+ =

=+ =

=+ =

=

YXnYX

YXnYXnYXnYX

YXXYYXYX

YXYXYXYX

]YXYXYXYX[

)YY)(XX(

ii

ii

iiii

iiii

iiii

ii

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Ento:

1n

YXnYX

1n

)YY)(XX()Y,X(Cov

ii

ii

=

=

=

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A covarincia poderia ser utilizada

para medir o graugraugraugrau e o sinalsinalsinalsinal do

relacionamento entre as duas variveis,

mas ela difcil de interpretar por variar

de - a +. Assim vamos utilizar o

coeficientecoeficientecoeficientecoeficiente dededede correlaocorrelaocorrelaocorrelao linearlinearlinearlinear dededede

PearsonPearsonPearsonPearson.

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O coeficiente de correlao

linear (de Pearson) definido por:

SS YX

)Y,X(Cov r =

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Onde:

1n

YnY S

1n

XnX S

1n

YXnYX )Y,X(Cov

22i

Y

22i

X

ii

=

=

=

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Esta expresso no muito

prtica para calcular manualmente o

coeficiente de correlao. Pode-se obter

uma expresso mais conveniente para

o clculo manual e o clculo de outras

medidas necessrias mais tarde.

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Tem-se:

( )( )

=

=

=

==

YnYXnX

YXnYX

1nYnY

1n

XnX

1n

YXnYX

SS

)Y,X(Cov r

22i

22i

ii

22i

22i

ii

YX

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Fazendo:

S.S

S r :seTem

YnYS

XnXS

YXnYXS

YYXX

XY

22iYY

22iXX

iiXY

=

=

=

=FFFFaaaazzzzeeeennnnddddoooo

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A vantagem do coeficiente de

correlao (de Pearson) ser

adimensional e variar de 1 a + 1,

que o torna de fcil interpretao.

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Assim se r = -1, temos uma

relacionamento linear negativo

perfeito, isto , os pontos esto todos

alinhados e quando X aumenta Y

decresce e vice-versa.

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0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

1r =

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Se r = +1, temos uma

relacionamento linear positivo

perfeito, isto , os pontos esto todos

alinhados e quando X aumenta Y

tambm aumenta.

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0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

1r +=

30

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Assim se r = 0, temos uma

ausncia de relacionamento linear,

isto , os pontos no mostram

alinhamento.

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0r =

0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

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Assim se 1 < r < 0, temos uma

relacionamento linear negativo, isto ,

os pontos esto mais ou menos

alinhados e quando X aumenta Y

decresce e vice-versa.

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0r1

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Assim se 0 < r < 1, temos uma

relacionamento linear positivo, isto ,

os pontos esto mais ou menos

alinhados e quando X aumenta Y

tambm aumenta.

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0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

1r0

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Uma correlao amostral no

significa necessariamente uma correlao

populacional e vice-versa. necessrio

testar o coeficiente de correlao para

verificar se a correlao amostral

tambm populacional.

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Observada uma amostra de seis