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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. http://www.mat.ufrgs.br/viali/ viali@mat.ufrgs.br
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Objetivos Testar o valor hipottico de um parmetro (testes paramtricos) ou de relacionamentos ou modelos (testes no paramtricos).
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Testes no-paramtricos Um teste no paramtrico testa outras situaes que no parmetros populacionais. Estas situaes podem ser relacionamentos, modelos, dependncia ou independncia e aleatoriedade.
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Envolvem parmetros populacionais. Um parmetro qualquer medida que descreve uma populao.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica (a mdia) (a varincia) (o desvio padro) (a proporo) Os principais parmetros so:
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(1) Formular a hiptese nula (H 0 ) H 0 : = 0 Expressar em valores aquilo que deve ser testado; Esta hiptese sempre de igualdade; Deve ser formulada com o objetivo de ser rejeitada.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica (2) Formular a hiptese alternativa (H 1 ) (Testes simples) H 1 : = 1 (Testes compostos) H 1 : > 0 (teste unilateral/unicaudal direita) < 0 (teste unilateral/unicaudal esquerda) 0 (teste bilateral/bicaudal).
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica (3) Definir um valor crtico ( ) Isto envolve definir um ponto de corte a partir do qual a hiptese nula ser rejeitada (aceita a hiptese alternativa). Esta hiptese de fato a expresso daquilo que ser quer provar.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica (4) Calcular a estatstica teste A estatstica teste obtida atravs dos dados amostrais, isto , ela a evidncia amostral; A forma de clculo depende do tipo de teste envolvido, isto , do modelo terico ou modelo de probabilidade.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica (5) Tomar uma deciso A estatstica teste e o valor crtico so comparados e a deciso de aceitar ou rejeitar a hiptese nula formulada; Se for utilizado um software estatstico pode-se trabalhar com a significncia do resultado (p-value) ao invs do valor crtico.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica (6) Formular uma concluso Expressar em termos do problema (pesquisa) qual foi a concluso obtida; No esquecer que todo resultado baseado em amostras est sujeito a erros e que geralmente apenas um tipo de erro controlado.
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Populao: Valor do parmetro Qual a diferena entre o valor observado da estatstica e o valor hipottico da parmetro? No rejeitar a hiptese Amostra: Valor da estatstica. Rejeitar a hiptese Deciso a ser tomada Questo a ser feita Diferena pequena Diferena grande Em resumo
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Dispem-se de duas moedas com aparncias idnticas, s que uma (M 1 ) equilibrada, isto , P(Cara) = P(Coroa) = 50%, enquanto que a outra (M 2 ) viciada de tal forma que favorece cara na proporo de 80%, ou seja, P(Cara) = 80% enquanto que P(Coroa) = 20%.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Supem-se que uma das moedas lanada e que com base na varivel X = nmero de caras, deve-se decidir qual delas foi lanada. Neste caso o teste a ser feito envolve as seguintes hipteses:
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica H 0 : A moeda lanada a equilibrada (M 1 ) (p = 50%) H 1 : A moeda lanada a viciada (M 2 ) (p = 80%) p = proporo de caras.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Tem-se que tomar a deciso de apontar qual foi a moeda lanada, baseado apenas em uma amostra de, por exemplo, 5 lanamentos. Lembrar que a populao de lanamentos possveis , neste caso, infinita.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica A deciso, claro, estar sujeita a erros, pois se estar tomando a deciso em condies de incerteza, isto , baseado em uma amostra de apenas 5 lanamentos das infinitas possibilidades.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica A deciso ser baseada nas distribuies amostrais das duas moedas. A tabela mostra as probabilidades de se obter os valores: x = 0, 1, 2, 3, 4 e 5, da varivel X = nmero de caras, em uma amostra de n = 5, lanamentos de cada uma das moedas.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Sob H 0 X ~ B(5; 0,5) Assim:
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Sob H 1 X ~ B(5; 0,8) Assim:
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xP(X = x) sob H 0 P(X = x) sob H 1 0 1/32 3,125% 1/3125 0,032% 1 5/32 15,625% 20/3125 0,640% 2 10/32 31,250% 160/3125 5,120% 3 10/32 31,250% 640/3125 20,480% 4 5/32 15,625% 1280/3125 40,960% 5 1/32 3,125% 1024/3125 32,768% Total 1 100%
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Para poder aceitar ou rejeitar H 0 e como conseqncia, rejeitar ou aceitar H 1, necessrio estabelecer uma regra de deciso, isto , necessrio estabelecer para que valores da varivel X iremos rejeitar H 0
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Desta forma, estabelecendo-se que se vai rejeitar H 0, se a moeda der um nmero de caras igual a 4 ou 5, pode-se ento determinar as probabilidades de tomar as decises corretas ou erradas.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Assim o conjunto de valores que levar a rejeio da hiptese nula ser denominado de regio crtica (RC) e, neste caso, este conjunto igual a: RC = { 4, 5 }
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica A faixa restante de valores da varivel denominada de regio de aceitao ou de no- rejeio (RA) e, neste caso, este conjunto vale: RA = { 0, 1, 2, 3 }
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Ento se H 0 for rejeitada porque X assumiu o valor 4 ou 5, pode-se estar cometendo um erro. A probabilidade deste erro igual a probabilidade de ocorrncia destes valores sob H 0, isto :
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica = P(Erro do Tipo I ) = = P(Rejeitar H 0 / H 0 verdadeira) = = P(X = 4 ou 5 / p = 0,50) = = 5/32 + 1/32 = 6/32 = 18,75% = = Nvel de significncia do teste.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica O outro tipo de erro possvel de ser cometido aceitar H 0 quando ela falsa e denominado de erro do tipo II.
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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica = P(Erro do Tipo II) = = P(Aceitar H 0 / H 0 falsa) = P(X = 0, 1, 2 ou 3 / p = 80%) = = 1 /3125 + 20/3125 + 160/3125 + 640/3125 = = 821/3125 = 26,27%
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Reali- dade Deciso Aceitar H 0 Rejeitar H 0 H 0 verda- deira Deciso correta 1 - = P(Aceitar H 0 / H 0 verdadeira) Erro do Tipo I = P(Cometer Erro do tipo I) = P(Rejeitar H 0 / H 0 verdadeira) = Nvel de significncia do teste H 0 falsa Erro do Tipo II = P(Cometer Erro do tipo II) = P(Aceitar H 0 /
