Engenharia de Produção É o grau de associação entre ... · Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística Numa relação experimental os valores de

11

Engenharia de Produção

Prof. Lorí Viali, [email protected]

http://www.pucrs.br/famat/viali/Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser:

correlacional

ou

experimental.

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Numa relação experimental os valores de uma das variáveis são controlados.

No relacionamento correlacional, por outro lado, não se tem nenhum controle sobre as variáveis sendo estudadas.



Um engenheiro químico está

investigando o efeito da temperatura

de operação do processo no rendimento do produto. O estudo

resultou nos dados da tabela

seguinte:Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

85851801808989190190

78781701707474160160707015015066661401406161130130545412012051511101104545100100

Rendimento (Y)Temperatura, C0 (X)

22


O primeiro passo para

determinar se existe relacionamento

entre as duas variáveis é obter o diagrama de dispersão (scatter

diagram).


0

25

50

75

100

100 120 140 160 180 200

Temperatura (X)

Rendimento (Y)


O diagrama de dispersão

fornece uma idéia do tipo de

relacionamento entre as duas variáveis. Neste caso, percebe-se que

existe um relacionamento linear.


Quando o relacionamento

entre duas variáveis

quantitativas for do tipo linear,

ele pode ser medido através do:

Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Observado um relacionamento

linear entre as duas variáveis é possível

determinar a intensidade deste

relacionamento. O coeficiente que mede

este relacionamento é denominado de

Coeficiente de Correlação (linear).

33


Quando se está trabalhando com

amostras o coeficiente de correlação é

indicado pela letra “r” e é uma estimativa do coeficiente de correlação

populacional que é representado por

“ρ” (rho). Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística


Para determinar o coeficiente de

correlação (grau de relacionamento

linear entre duas variáveis) vamos determinar inicialmente a variação

conjunta entre elas, isto é, a

covariância. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

A covariância entre duas

variáveis X e Y, é representada

por “Cov(X; Y)” e calculada por:

1n)YY)(XX(

)Y,X(Cov ii−

∑ −−=


Mas

∑ −=

=+∑ −−=

=∑+∑ ∑−∑−=

=∑+∑ ∑−∑−=

=+∑ −−=

=∑ −−

YXnYX

YXnYXnYXnYX

YXXYYXYX

YXYXYXYX

]YXYXYXYX[

)YY)(XX(

ii

ii

iiii

iiii

iiii

ii


Então:

1nYXnYX

1n)YY)(XX(

)Y,X(Cov

ii

ii

−∑ −

=

=−

∑ −−=

44


A covariância poderia ser utilizada

para medir o grau e o sinal do

relacionamento entre as duas variáveis,

mas ela é difícil de interpretar por variar

de -∞ a +∞. Assim vamos utilizar o coeficiente de correlação linear de

Pearson.Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

O coeficiente de correlação

linear (de Pearson) é definido por:

SS)Y,X(Cov

rYX

=


Onde:

1nYnY

S

1nXnX

S

1nYXnYX )Y,X(Cov

22i

Y

22i

X

ii

−∑ −

=

−∑ −

=

−∑ −

=


Esta expressão não é muito

prática para calcular manualmente o coeficiente de correlação. Pode-se obter

uma expressão mais conveniente para

o cálculo manual e o cálculo de outras medidas necessárias mais tarde.


Tem-se:

( )( )∑ −∑ −

∑ −=

=

−∑ −

−∑ −

−∑ −

=

==

YnYXnX

YXnYX

1nYnY

1nXnX

1nYXnYX

SS)Y,X(Cov

r

22i

22i

ii

22i

22i

ii

YX


Fazendo:

S.SS

r :seTem

YnYS

XnXS

YXnYXS

YYXX

XY

22iYY

22iXX

iiXY

=−

∑ −=

∑ −=

∑ −=FFaazzeennddoo

55


A vantagem do coeficiente de

correlação (de Pearson) é ser

adimensional e variar de – 1 a + 1,

que o torna de fácil interpretação.


Assim se r = -1, temos uma

relacionamento linear negativo

perfeito, isto é, os pontos estão todos alinhados e quando X aumenta Y

decresce e vice-versa.


0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

1r −=


Se r = +1, temos uma

relacionamento linear positivo

perfeito, isto é, os pontos estão todos alinhados e quando X aumenta Y

também aumenta.


0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

1r +=


Assim se r = 0, temos uma

ausência de relacionamento linear,

isto é, os pontos não mostram “alinhamento”.

66


0r =

0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30


Assim se –1 < r < 0, temos uma relacionamento linear negativo, isto é,

os pontos estão mais ou menos

alinhados e quando X aumenta Y decresce e vice-versa.


0r1 <<−

0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30


Assim se 0 < r < 1, temos uma

relacionamento linear positivo, isto é, os pontos estão mais ou menos

alinhados e quando X aumenta Y

também aumenta.


0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

1r0 <<


Uma correlação amostral não significa necessariamente uma correlação populacional e vice-versa. É necessário testar o coeficiente de correlação para verificar se a correlação amostral étambém populacional.

77


Observada uma amostra de seis pares, pode-se perceber que a correlação équase um, isto é, r ≅ 1. No entanto, observe o que ocorre quando mais pontos são acrescentados, isto é, quando se observa a população!


0

10

20

30

40

50

10 15 20 25 30

r ≅ 1

ρ ≅ 0


Determinar o “grau de

relacionamento linear” entre as

variáveis X = temperatura de operação do processo versus Y =

rendimento do produto, conforme

tabela.

7921361001691089190673

857874706661545145Y

101570

1530013260118401050092407930648056104500XY

218500

324002890025600225001960016900144001210010000

X2

7225180

472251450

60841705476160490015043561403721130291612026011102025100Y2X


Vamos calcular “r”

utilizando a expressão em destaque vista anteriormente,

isto é, através das quantidades, SxY, SXX e SYY.

88


Tem-se:

47225Y 218500X

101570 XY 67,3Y 145X

673 Y 1450X 10n

22 =∑=∑

∑ ===

∑ =∑ ==

Então:

3985

3,67.145.10101570

YXnYXS iiXY

=

=−=

=∑ −=


8250

145.10218500

XnXS

2

22iXX

=

=−=

=∑ −=

10,1932

3,67.1047225

YnYS

2

22iYY

=

=−=

=∑ −=


9981,0

10,1932.82503985

S.SS

r YYXX

XY

=

==

==


Apesar de “r” ser um

valor adimensional, ele não éuma taxa. Assim o resultado

não deve ser expresso em percentagem.


O valor de “r” é obtido

com base em uma amostra. Ele éportanto, uma estimativa do

verdadeiro valor da correlação

populacional (ρ).

99


A teoria dos testes de

hipóteses pode ser utilizada para

verificar se com base na estimativa “r” é possível concluir se existe ou

não correlação populacional, isto é,

desejamos testar :Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

H0: ρ = 0

H1: ρ > 0(teste unilateral/unicaudal à direita)

ρ < 0

(teste unilateral/unicaudal à esquerda)

ρ ≠ 0

(teste bilateral/bicaudal) .


O teste para a existência de correlação linear entre duas variáveis érealizado por:

r12n

r

2nr1

0rˆ

rt

2

2r

r2n

−−

=

=

−−

−=

σ

µ−=−


tn-2 > tc(teste unilateral/unicaudal à direita)

tn-2 < tc


|tn-2| > tc



P(t < tc ) = 1− α(teste unilateral/unicaudal à direita)

P(t < tc ) = α(teste unilateral/unicaudal à esquerda)

P(t < tc ) = α/2 ou P(t > tc ) = α/2


Onde Onde ttcc éé tal que:tal que:


1010


Suponha que uma amostra de n = 12, alunos forneceu um coeficiente de correlação amostral de r = 0,66, entre X = “nota em cálculo” e Y = “nota em Probabilidade e Estatística”. Verifique se é possível afirmar que uma nota boa em Cálculo está relacionada com uma nota boa em Probabilidade e Estatística a 1% de significância.


Trata-se de um teste unilateral àdireita para o coeficiente de correlação.

Hipóteses:H0: ρ = 0H1: ρ > 0

Dados:n = 12r = 0 ,66α = 1%


Então:Então:

778,20661

21266,0

r12n

rt 2210 =−

−=

−−

=

A variA variáável teste vel teste éé: :

r12n

rt 22n −−

=−


O valor crO valor críítico tico ttcc éé tal que: P(T > tal que: P(T > ttcc)) = 1- αEntão tc = 2,764. Assim RC = [2,764; ∞)

DECISÃO e CONCLUSÃO:DECISÃO e CONCLUSÃO:Como tComo t1010 = 2,778 = 2,778 ∈∈ RC ou RC ou

2,778 > 2,764, Rejeito H2,778 > 2,764, Rejeito H00, isto , isto éé, a 1% de , a 1% de significância, podesignificância, pode--se afirmar que a nota se afirmar que a nota de Cde Cáálculo estlculo estáá relacionada com a de relacionada com a de Probabilidade e EstatProbabilidade e Estatíística.stica.


Região de Não RejeiRegião de Não Rejeiççãoão

778,2

%1=α

);764,2[RC +∞=


OPOPÇÇÃO:ÃO:

Trabalhar com a significância do resultado obtido (2,778), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(T10 > 2,778). Utilizando o Excel, tem-se:

1111


Como a significância do resultado Como a significância do resultado ((0,98%0,98%) ) éé menormenor que a significância do teste que a significância do teste ((1%1%) ) éé posspossíível rejeitar a hipvel rejeitar a hipóótese nula.tese nula.



O procedimento realizado para testar o coeficiente de correlação só é válido para testar a hipótese nula de que não existe correlação, isto é, ρ = 0. Outros tipos de testes só podem ser realizados através da transformada “zeta” de Fisher.


A transformada “ζ” é dada por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=ζr1r1

ln21

O que equivale a considerar “r”

como a tangente hiperbólica de “ζ”


A vantagem desta transformação é que os valores de “ζ” estão distribuídos aproximadamente de acordo com uma normal de média:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ−ρ+

=µζ 11

ln21

E desvio:3n

1−

=σζ


Esta transformação permite,

realizar, testes de hipóteses e

construir intervalos de confiança para o coeficiente de correlação,

através de ζ e da distribuição normal.

1212


H0: ρ = ρ0

H1: ρ > ρ0

(teste unilateral/unicaudal à direita)

ρ < ρ0


ρ ≠ ρ0



O teste para a existência de correlação linear populacional entre duas variáveis X e Y é realizado por:

3n1

11

ln21

z

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ−ρ+

−ζ=

σ

µ−ζ=

ζ

ζ


z > zc(teste unilateral/unicaudal à direita)

z < zc


|z| > zc

(teste bilateral/bicaudal) . Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Φ(zc ) = 1− α(teste unilateral/unicaudal à direita)

Φ(zc ) = α(teste unilateral/unicaudal à esquerda)

Φ(zc ) = α/2 ou Φ(zc ) = 1− α/2 (teste bilateral/bicaudal) .

Onde zc é tal que:


Suponha que uma amostra de n = 35, alunos forneceu um coeficiente de correlação amostral de r = 0,75, entre X = “número de horas de estudo” e Y = “nota em Probabilidade e Estatística”. Verifique se é possível afirmar que o “o número de horas de estudo” apresenta uma correlação de pelo menos 0,5 na população com a “nota em Probabilidade e Estatística”, a 1% de significância.

1313


Trata-se de um teste unilateral àdireita para o coeficiente de correlação.

Hipóteses:H0: ρ = 0,5H1: ρ > 0,5

Dados:n = 35r = 0 ,75α = 1%


Então:Então:

9730,075,0175,01ln

21 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+=ζ

A variA variáável teste vel teste éé: :

3n1

11

ln21

z

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ−ρ+

−ζ=

σ

µ−ζ=

ζ

ζ


E o desvio padrão vale:E o desvio padrão vale:

A mA méédia vale: dia vale:

5493,05,015,01

ln21

11

ln21

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ−ρ+

=µζ

1768,0321

3351

3n1

==−

=−

=σζ


Padronizando, temPadronizando, tem--se: se:

40,21768,0

5493,09730,0

3n1

11

ln21

z

=−

=

=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ−ρ+

−ζ=

σ

µ−ζ=

ζ

ζ


O valor crítico zc é tal que:

P(Z > zc) = α = 1%.Ou Φ(zc) = 99%. Então zc = 2,33.

Assim RC = [2,33; ∞)


DECISÃO e CONCLUSÃO:Como z = 2,40 ∈ RC ou

2,40 > 2,33, Rejeito H0, isto é, a 1% de significância, pode-se afirmar que “o número de horas de estudo”apresenta pelo menos 0,50 de correlação com a “nota em Probabilidade e Estatística”.

1414


Região de Não RejeiRegião de Não Rejeiççãoão

40,2

%1=α

);33,2[RC +∞=


OPOPÇÇÃO:ÃO:

Trabalhar com a significância do

resultado obtido (2,40), isto é, o valor-

p. Para isto, deve-se calcular

P(Z > 2,40), isto é, Φ(-2,40) = 0,82%.

Como p = 0,82% < α = 1%. Rejeito H0.

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