Grande Conjuntos de Dados Organização; Resumo; Apresentaçãoprof-lori-viali.com/graduacao/sociais/turismo/... · 2 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

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Organização; Resumo; Apresentação.

Amostra ou

População

Grande Conjuntos de DadosGrande Conjuntos de Dados


Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

.......................................

MaiorMenorTortoDesenho

MenorMaior DesenhoTortoLascadoLascadoEsmalteTortoEsmalteDesenhoLascadoTorto MaiorDesenhoMenorLascado

Defeitos em uma linha de produçãoDefeitos em uma linha de produção


22


100500TOTAL5,4027Trincado

11,4057Torto 16,6083Menor 14,0070Maior19,4097Lascado19,0095Esmalte14,2071Desenho%FreqüênciaDefeito

Distribuição de freqüênciasDistribuição de freqüências



SIMPLES

ACUMULADAS

Absoluta

Relativa

Absoluta

Relativa

ApresentaçãoFREQÜÊNCIAS Percentual

Apresentação

PercentualDecimal

Decimal


1,000,020,030,050,150,200,250,30fri

100235

15202530fri

—20019619018015011060Fi

—100989590755530Fri

200TOTAL4665

104303402501600fiValores

Freqüências: representaçãoFreqüências: representação


Defeitos em uma linha de produção

14%

20%

19%14%

7%

11%5%

Desenho

Esmalte

Lascado

Maior

Menor

Torto

Trincado

33


Número de irmãos dos alunos da turma 450 - Estatística - PUCRS - 2002/02

01032112012234120114655111121314220111540113136110


Distribuição de freqüências por ponto ou valores da variável: “Número de irmãos dos alunos Número de irmãos dos alunos da turma 450da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística PUCRS - 2002/02.


50∑∑∑∑263544538221170

N0 de alunosN0 de irmãos


44


Diagrama de colunas simples da variável: Número de irmãos dos alunos da turma 450Disciplina: Estatística, PUCRS -2002/02


0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6



Neste caso, a média a dada por:

nx.f

f...ffx.f...x.fxfx ii

k21

kk2211 ∑=++++++

=

A média AritméticaA média Aritmética


9550∑∑∑∑1226153516441553168221211070

fixifixi

ExemploExemplo

55


A média será, então:

irmãos 90,15095

nx.f x ii ==∑=


Como n = 50 é par, tem-se:

irmão

2 me

xx

xxxx )/(/)/n(/n

1211

2

2

2625

1250250122

=+

=+

=

=+

=+

= ++

A MedianaA Mediana


Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)

—50∑∑∑∑5026483545444153368228211770Fifixi

Metade Metade dos dados dos dados n/2 = 25n/2 = 25

ExemploExemplo


mo = valor(es) que mais se repete(m)

A ModaA Moda


50∑263544538221170fixi

A moda é A moda é igual aigual a1 (um)1 (um)

Pois ele se Pois ele se repete mais repete mais

vezesvezes

ExemploExemplo


66


h = xmáx - xmín

h = 6 - 0 = 6 irmãos

A AmplitudeA Amplitude


Neste caso, o dma será dado por:

n|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

−∑=

=+++

−++−+−=

O Desvio Médio O Desvio Médio


64,4050∑∑∑∑2.|6 – 1,90| = 8,20263.|5 – 1,90| = 9,30 354.|4 – 1,90| = 8,40445.|3 – 1,90| = 5,50538.|2 – 1,90| = 0,8082

21.|1 – 1,90| = 18,90 2117.|0 – 1,90| = 13,3070

fi|xi - | fixi x

ExemploExemplo


O dma será, então:

irmãos 29,150

40,64n

|xx|.f dma ii ==−∑=


xnxf

n)xx(f

n)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

22

i

k211

−∑=∑ −=

=−++−+−=

Neste caso, a variância será:

A Variância A Variância


29950∑∑∑∑62.2 = 722652.3 = 753542.4 = 644432.5 = 455322.8 = 3282

12.21 = 2121102.7 = 070

fixi2fixi

ExemploExemplo

77


A variância será, então:

irmãos 3700,2

90,150

299 xnxfs

2

222i2 i

=

=−=−∑=


O desvio padrão será dado por:

irmãos 1,54 1,5395

3700,2xnxfs 2

2ii

≅=

==−∑=

O Desvio Padrão O Desvio Padrão


Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:

%03,8190,1

539480,1g ==

O Coeficiente de Variação O Coeficiente de Variação



Idade (em meses) dos alunos da turma 450 da disciplina: Probabilidade e EstatísticaPUCRS - 2002/02


276 245 345 240 270 310 368

334 268 288 336 299 236 239 355 330

287 344 300 244 303 248 251 265 246

240 320 308 299 312 324 289 320 264

252 298 315 255 274 264 263 230 303

369 247 266 275 281 230 234

88


Distribuição por classes ou intervalos da variável “idade dos alunos da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística da PUCRS - 2002/02


50Total3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250

Número de alunosIdades



Histograma de freqüências da

variável “Idade dos alunos da turma

450” de Probabilidade e Estatística

da PUCRS - 2002/02


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

2 3 0 | - - - 2 50 2 5 0 | - - - 2 70 2 70 | - - - 2 9 0 2 9 0 | - - - 3 10 3 10 |- - -3 3 0 3 3 0 |- - - 3 50 3 50 |- - - 3 7 0

fi / hi

99


Antes de apresentar as medidas,

i. é, representantes do conjunto, é

necessário estabelecer uma notação

para alguns elementos da

distribuição.


xi = ponto médio da classe;

fi = freqüência simples da classe;

lii = limite inferior da classe;

lsi = limite superior da classe;

hi = amplitude da classe.


—50∑∑∑∑3603350 |--- 3703405330 |--- 3503206310 |--- 3303007290 |--- 3102808270 |--- 2902609250 |--- 27024012230 |--- 250xifixi

O Ponto Médio da Classe O Ponto Médio da Classe


1010


50356789

12fi

∑∑∑∑360340320300280260240xi

142601080170019202100224023402880fi. xi

A Média da Distribuição A Média da Distribuição


A média será:

meses 20,28550

14260n

x.f x ii ==∑=

ExemploExemplo


Neste caso, utilizam-se as freqüências acumuladas para identificar a classe mediana, i. é, a que contém o(s) valor(es) central(is).

A Mediana A Mediana


Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)

Metade Metade dos dados dos dados n/2 = 25n/2 = 25

—50∑∑∑∑503350 |--- 370475330 |--- 350426310 |--- 330367290 |--- 310298270 |--- 290219250 |--- 2701212230 |--- 250Fifixi

ExemploExemplo


Portanto, a classe mediana é a terceira. Assim i = 3. A mediana será obtida através da seguinte expressão:


meses 2808420 270

8

212

50

20702

8

21250

20702 f

F2n

hli mi

1i

iie

=+=

−+=

=

−+=

−+=

−

1111


Neste caso é preciso inicialmente apontar a classe modal, i. é, a de maior freqüência. Neste exemplo é a primeira com fi

= 12. Assim i = 1.

A Moda A Moda


Classe Classe modal, pois modal, pois

ffii = 12. = 12.

—7654321i

50∑∑∑∑3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 270

12230 |--- 250fixi

ExemploExemplo


Portanto a moda poderá ser obtida através de uma das seguintes expressões:


Critério de King:

meses 250 99.20023

90

9.20302 ff

fhli m1i 1i

1iiio

=

+=

=

++=

++=

− +

+


Critério de Czuber:

meses 246 16230

924

12.20023

)90(12.2

012.20302

)ff(f.2

ffhli m1ii

i

1i

1iiio

=+=

=

−+=

=

+−

−+=

=

+−

−+=− +

−


1212


h = xmáx - xmín

h = 370 - 230 = 140 meses

A Amplitude A Amplitude


Neste caso, o dma será dado por:

n|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

−∑=

=+++

−++−+−=

O Desvio Médio Absoluto O Desvio Médio Absoluto


x

50356789

12fi

∑∑∑∑360340320300280260240xi

1621,603.|360 – 285,20| = 224,405.|340 – 285,20| = 274,006.|320 – 285,20| = 208,807.|300 – 285,20| = 103,608.|280 – 285,20| = 41,609.|260 – 285,20| = 226,80

12.|240 – 285,20| = 542,40fi.|xi - |

ExemploExemplo


O dma será, então:

meses 32,43 50

60,1621n

|xx|.f dma ii

=

==−∑=


xnxf

n)xx(f

n)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

22

i

k211

−∑=∑ −=

=−++−+−=

Neste caso, a variância será:

A Variância A Variância


5035678912fi

∑∑∑∑360340320300280260240xi

4 138 0003.3602 = 3888005.3402 = 5780006.3202 = 6144007.3002 = 6300008.2802 = 6272009.2462 = 60840012.2402 = 691200

fi. xi2

ExemploExemplo

1313


A variância será, então:

meses 420,961

20,28550

4138000

xn

xfs

2

2

22i2 i

=

=−=

=−∑=


O desvio padrão será dado por:

meses 37,70 37,6956

96,1420xnxfs 2

2ii

≅=

==−∑=

O Desvio Padrão O Desvio Padrão


Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:

%22,1320,285

695623,37g ==

O Coeficiente de Variação O Coeficiente de Variação


Skewness


Primeiro Coeficiente ( de Pearson)

a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão

Segundo Coeficiente ( de Pearson)

a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão


Coeficiente Quartílico

CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)

Coeficiente do Momento

a3 = m3/s3, onde m3 = Σ(Σ(Σ(Σ(X - )3/nx

1414


Coeficiente = 0Conjunto Simétrico

Provão 2000Curso: Odonto


Coeficiente < 0Conjunto: Negativamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Jornalismo


Coeficiente > 0Conjunto: Positivamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Eng. Elétrica


(Kurtosis)


Coeficiente de Curtose (momentos)

xa4 = m4/s4, onde m4 = Σ(X - )4/n


Coeficiente = 3 ou 0Conjunto: Mesocúrtico

Provão 2000Curso: Odonto

1515


Coeficiente > 3 ou (> 0)Conjunto: Leptocúrtico

Provão 2000Curso: Matemática


Coeficiente < 3 ou (< 0)Conjunto: Platicúrtico

Provão 1999Curso: Eng. Civil


Então:

Se y = y = axax +b+b

b+xa=y

sa=s 2x

22y

s|a|=s xy


Posições Relativas

A média e o desvio padrão são as duas principais medidas utilizadas para descrever um conjunto de dados. Elas, também, podem ser utilizadas para comparações, isto é, para fornecer a posição relativa de um valor em relação ao conjunto como um todo.

1616


O escore “z”

Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra de “n”observações. Sejam e “s” a média e o desvio padrão da amostra. Então o escore zi

é o valor que fornece a posição relativa de cada xi da amostra, tendo como ponto de referência a média e como medida de afastamento o desvio padrão.

x


O escore “z”

sx-x

z ii =

O escore z fornece o número de desvios padrão que cada valor está acima ou abaixo da média. O escore –1,5, significa que este valor está um desvio e meio abaixo da média.


O escore Z é também uma variável, que é obtida pela transformação da amostra original. Ela apresenta média igual a zero e desvio padrão igual a um.


Exemplo

Considere o seguinte amostra:

38

40

35

39

35 404835444541383936

34

44

42

40

4347393640374036

3837434146423845

4041394142433942

4439373837413640


0

1

2

3

4

5

6

7

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

37,0-Curtose33,0Assimetria

==


Calcular os escores “zz” para cada valor da amostra. Representar os valores da amostras e os escores em diagramas para verificar se houve alteração no formato da distribuição dos dados.

1717


Solução: A média e o desvio padrão da amostra

são: 40 e 3,2619. Então os escores padronizados serão:

0,3066 0,9197 -0,9197 -0,6131 -0,6131-1,2263 -0,3066 -0,6131 0,3066 1,53281,2263 -1,5328 2,4526 -1,5328 0,00000,0000 0,0000 -1,2263 0,3066 -0,9197-0,6131 -0,9197 -0,3066 -0,3066 1,22630,6131 0,6131 -0,3066 0,9197 0,61310,3066 -0,3066 0,3066 -1,5328 0,00001,2263 -1,2263 0,0000 -0,9197 0,0000-1,2263 -0,3066 2,1460 0,0000 0,9197-1,8394 1,5328 -0,6131 0,6131 1,8394


0

1

2

3

4

5

6

7

-1,84 -1,23 -0,61 0,00 0,61 1,23 1,84 2,45

31,0-Curtose37,0Assimetria

==


Propriedades

A média do escore padronizado ézero;

O desvio padrão do escore padronizado é um.

A forma da distribuição do escore padronizado é a mesma dos dados originais.


Escalas

O escore Z não é utilizado normalmente da forma como écalculado. É comum a utilização de uma escala linear de transformação. As duas mais utilizadas são:


EscalasA escala T que é obtida através da

seguinte transformação

T = 10.Z + 50T = 10.Z + 50

A escala “A” que é utilizada nos vestibulares é obtida por:

A = 100.Z + 500A = 100.Z + 500Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Teorema de Chebyshev

O teorema de Chebyshev permite verificar qual é o percentual mínimo de valores de um conjunto de dados que deve estar um “certo número” de desvios em torno da média.

1818


Em qualquer conjunto de dados com desvio padrão “s”, pelo menos (1 – 1/z2) dos valores do conjunto devem estar entre “z” desvios em torno da média, onde “z” é um valor tal quez > 1.


Exemplos:

Assim pelo menos:

75% dos valores estão dentro de z = 2desvios a partir da média;

89% dos valores estão dentro de z = 3desvios a contar da média;

94% dos valores estão dentro de z = 4desvios a contar da média.


1 - 1/4 = 75%.

S2<X-X

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