Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática ...· 33 Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade

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  • 11

    Prof. Lor Viali, Dr.

    viali@mat.ufrgs.br

    http://www.mat.ufrgs.br/~viali/Prof. Lor Viali, Dr. FAculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS

    Sistema

    Real

    Determinstico

    Probabilstico

    Tipos de Modelos

    Prof. Lor Viali, Dr. FAculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS

    Causas Efeito

    Modelo determinstico

    Prof. Lor Viali, Dr. FAculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS

    Gravitao F = GM1M2/r2

    Aceleraoclssica v = at

    Acelerao

    relativsticac

    ta1

    atv

    2

    22

    +

    =

    Exemplos

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    Causas EfeitoXX

    Modelo probabilstico

    Prof. Lor Viali, Dr. FAculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS

    Binomial

    Poisson

    Normal

    ====

    ..0

    }...,,1,0{)1.(.)(

    cc

    nxppx

    n

    xfxnx

    ====

    ..!

    .)(

    cc

    xx

    exf

    x

    0

    N

    ====

    x ,

    2.

    2

    1

    ..2

    1)(

    x

    exf

    Exemplos

  • 22

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    Experincia para o qual o modelo

    probabilstico adequado.

    Experimento Aleatrio

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    E1: Joga-se um dado e observa-se o

    nmero da face superior.

    Exemplos

    E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e

    observa-se o nmero de caras e

    coroas;

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    E3: Joga-se uma moeda quatro vezes e

    observa-se a seqncia de caras e

    coroas;

    E4: Uma lmpada nova ligada e conta-

    se o tempo gasto at queimar;

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    E5: Joga-se uma moeda at que uma cara

    seja obtida. Conta-se o nmero de

    lanamentos necessrios;

    E6: Uma carta de um baralho comum de

    52 cartas retirada e seu naipe

    registrado;

    E7: Jogam-se dois dados e observa-se o

    par de valores obtido;

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    o conjunto de resultados de uma

    experincia aleatria.

    Espao amostra(l)

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    S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Exemplos

    S2 = {0, 1, 2, 3, 4}

  • 33

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    S3 = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk,

    kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc,

    kkck, kckk, ckkk, kkkk}

    S4 = { t R / t 0 }

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    S5 = {1, 2, 3, ...}

    S6 = {, , , }

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    S7 = { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

    (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

    (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

    (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

    (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

    (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

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    Um evento um subconjunto

    de um espao amostra.

    Eventos

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    Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } um espao amostra, ento so eventos:

    A = { 1, 3, 5} B = { 6 }

    C = { 4, 5, 6} D = E = S

    Exemplo

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    Seja E um experimento com espao

    amostra associado S. Diremos que o

    evento A ocorre se realizado E o

    resultado um elemento de A.

    Ocorrncia de um evento

  • 44

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    Se A e B so eventos de um

    mesmo espao amostra S. Diremos

    que ocorre o evento:

    Combinao de eventos

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    A unio B, A soma B ou A mais B,

    se e s se A ocorre ou B ocorre.

    AB

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    A produto B, A vezes B ou A

    interseo B, se e s se A ocorre e B

    ocorre.

    AB

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    A menos B, A diferena B, se e s se A

    ocorre e B no ocorre.

    AB

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    Complementar de A (no A) se e s se

    A no ocorre.

    A = AC = A

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    Dois eventos A e B so

    mutuamente excludentes se no

    puderem ocorrer juntos.

    Eventos mutuamente excludentes (exclusivos)

  • 55

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    CLSSICO

    FREQENCIAL

    AXIOMTICO

    Conceitos de probabilidade

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    (nmero de casos favorveis)P(A) = ------------------------------------

    (nmero de casos possveis)

    Clssico

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    Qual a probabilidade de

    ganhar na Loto Fcil?

    Exemplo:

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    Casos favorveis = 1

    Casos possveis:

    3268760 15

    25=

    Soluo:

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    %000031,03268760

    1

    15

    251

    possveis de Nmero

    favorveis de Nmero

    Fcil)P(Loto

    ==

    =

    =

    ==

    =

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    (nmero de vezes que A ocorre)frA = ------------------------------------------

    (nmero de vezes que E repetido)

    Frequncia relativade um evento

  • 66

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    Um dado lanado 120 vezes e

    apresenta FACE SEIS 18 vezes.

    Ento, a freqncia relativa de face

    seis :

    Exemplo:

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    %.1515,0120

    18

    jogado dado o que vezesde nmero

    ocorre f_seis"" que vezesde nmero

    fr6

    ===

    =

    =

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    A probabilidade de um evento A o

    limite para o qual tende a frequncia relativa

    de A, quando o nmero de repeties do

    experimento tende ao infinito, isto :

    Conceito frequencial de probabilidade

    frlim)A(P An

    =

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    P(A) um nmero real que devesatisfazer as seguintes propriedades:

    (1) 0 P(A) 1

    (2) P(S) = 1

    (3) P(AUB) = P(A) + P(B)

    se AB =

    Conceito axiomtico

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    Consequncias

    dos axiomas

    (Propriedades)

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    (1) P() = 0

    (2) P( ) = 1 - P(A)

    (3) P(A - B) = P(A) - P(AB)

    A

  • 77

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    (4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

    (5) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) -

    - P(AB) - P(AC) - P(BC)

    + P(ABC)

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    Probabilidade

    condicionada

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    Considere uma urna com 50 fichas,

    onde 40 so pretas e 10 so brancas.

    Suponha que desta urna so retiradas

    duas fichas, ao acaso e sem reposio:

    Motivao

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    Sejam os eventos:

    A = {a primeira ficha branca}

    B = {a segunda ficha branca}

    Ento:

    P(A) = 10/50 = 0,20 = 20%

    P(B) = ?/49

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    Neste caso, no se pode avaliar

    P(B), pois para isso necessrio saber se

    A ocorreu ou no, isto , se saiu ficha

    branca na primeira retirada.

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    P(B | A) = 9/49 = 0,1837 = 18,37%.

    Se for informado que A ocorreu, ento

    a probabilidade de B, ser:

    Observe a notao.

  • 88

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    Esta representao lida:

    P de B dado A;

    P de B dado que A ocorreu;

    P de B condicionada a A.

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    Definio:

    P(A | B) = P(AB) / P(B)

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    Mas:

    Se P(A | B) = P(AB) / P(B) ento:

    P(AB) = P(A | B).P(B)

    E tambm:

    Se P(B | A) = P(AB) / P(A) ento:

    P(AB) = P(A).P(B | A)

    Prof. Lor Viali, Dr. FAculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica -