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Teoria Eletromagnetica
Luiz F. Ziebell
Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil
March 6, 2018
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 1 / 603
Sumula da Disciplina:
Estudo do comportamento de campos eletromagneticos e de sua descricaomatematica, tanto em situacoes estaticas quanto dinamicas.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 2 / 603
Objetivos Gerais da Disciplina:
Esta disciplina tem por objetivo um estudo sistematico doEletromagnetismo, enfatizando seus fundamentos e sua estruturacao comoum todo coerente. Busca-se tambem desenvolver aplicacoes doEletromagnetismo, envolvendo campos eletromagneticos e sua interacaocom a materia. Ao longo do curso, sao utilizados metodos matematicos deaplicacao ampla, cuja utilidade nao se restringe ao estudo dos fenomenoseletromagneticos, sendo portanto importantes na formacao dos estudantes,qualquer que seja sua area de interesse.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 3 / 603
Programa:
Semanas 1 a 17:
I - IntroducaoII - EletrostaticaIII - Materiais DieletricosIV - MagnetostaticaV - Campos dependentes do tempoVI - Equacoes de MaxwellVII - Ondas EletromagneticasVIII - Teoria Especial da RelatividadeIX - Relatividade e Campos EletromagneticosX - Radiacao de Sistemas SimplesXI - Radiacao por Cargas em Movimento
Semana 18 : Revisao
Semana 19 : Recuperacao
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 4 / 603
Introducao e Teorema Geral
A teoria eletromagnetica e uma teoria de campo; no caso, camposvetoriais, em que a cada ponto do espaco se atribui uma propriedadedescrita por 3 quantidades.
Algumas propriedades basicas podem ser estudadas,independentemente da fundamentacao empırica e do conteudo fısicoda teoria.
Vamos agora provar um teorema:
Dado o rotacional e o divergente de um vetor, e se as fontesse anulam no infinito, o campo vetorial fica definidounivocamente [Ver Panofsky & Phillips, secao 1-1].
Este teorema tem consequencia fundamental quando pensamos noscampos E e B e na forma diferencial das equacoes de Maxwell.
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Seja V(x , y , z), tal que:
∇ ·V = s s : source density
∇× V = c c : circulation density (1)
De (1),∇ · (∇× V) = ∇ · c = 0 ,
pois∇ · (∇× a) ≡ 0 ,
∇ · c = 0 (2)
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Vamos mostrar que as eqs (1) sao satisfeitas por
V = −∇Φ+∇× A , (3)
onde
Φ(x) =1
4π
∫
d3x ′s(x′)|x− x′| , A(x) =
1
4π
∫
d3x ′c(x′)|x− x′| . (4)
Assim,∇ · V = −∇2Φ+∇ · (∇× A)
= −∇2Φ = − 1
4π∇2
∫
d3x ′s(x′)|x− x′| ,
∇ ·V = − 1
4π
∫
d3x ′ s(x′)∇2
(1
|x− x′|
)
. (5)
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Vamos considerar o seguinte, para x 6= x′,
∇2
(1
|x− x′|
)
=∑
i
∂2xi
1
√∑
j(xj − x ′j )2
=∑
i
∂xi
−
1
2
∑
j 2(xj − x ′j )δij[∑
j(xj − x ′j )2]3/2
=
∑
i
∂xi
−
(xi − x ′i )[∑
j(xj − x ′j )2]3/2
= −∑
i
1[∑
j(xj − x ′j )2]3/2
+∑
i
(xi − x ′i )3
2
∑
j 2(xj − x ′j )δij[∑
j(xj − x ′j )2]5/2
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=1
[∑
j(xj − x ′j )2]3/2
[
−∑
i
+3
∑
i (xi − x ′i )2
∑
j (xj − x ′j )2
]
=1
[∑
j(xj − x ′j )2]3/2
[−3 + 3] = 0 . (6)
A partir da eq. (5), usando a eq. (6), vemos que [em x = x′,s(x′) = s(x)]
∇ ·V = −s(x)
4π
∫
d3x ′∇2
(1
|x− x′|
)
= −s(x)
4π
∫
d3x ∇2
(1
|x− x′|
)
.
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Seja r = x− x′, de modo que
∫
d3x ∇2 1
|x− x′| =∫
d3r ∇2r
1
|r| =∫
d3r ∇2r
1
r=
∫
d3r1
r∂2r
(
r1
r
)
.
Continuarıamos a ter o problema de 0/0. Podemos entao escrever
∫
d3r1
r∂2r
(
r1
r
)
= lima→0
∫
d3r1
r∂2r
(r√
r2 + a2
)
= lima→0
∫
d3r1
r∂r
[
1√r2 + a2
− r2
(r2 + a2)3/2
]
= lima→0
∫
d3r1
r
[
−1
2
2r
(r2 + a2)3/2− 2r
(r2 + a2)3/2+
3
2
2r3
(r2 + a2)5/2
]
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= lima→0
∫
d3r1
(r2 + a2)3/2
[
−1− 2 +3r2
r2 + a2
]
= lima→0
∫
d3r1
(r2 + a2)5/2
[−3a2 − 3r2 + 3r2
]
= −3 lima→0
a2 4π
∫ ∞
0dr
r2
(r2 + a2)5/2
= −12π∫ ∞
0dx
x2
(1 + x2)5/2= −4π.
Para a resolucao da integral na ultima linha, ver por exemplo aexpressao 3.241-4, da tabela de propriedades matematicas deGradshteyn e Ryzhik, 1980.
Logo,
∇ ·V = −s(x)
4π(−4π) = s(x),
que e exatamente a primeira das eqs. (1).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 11 / 603
Obs.: Verificamos, ao longo desse calculo, que
∇2 1
|x− x′| = −4πδ(x − x′) (7)
Agora consideremos o rotacional,
∇× V = −∇×∇Φ+∇× (∇× A) = ∇(∇ ·A)−∇2A.
Usando a definicao de A que aparece na eq. (4),
∇× V =1
4π∇[
∇ ·∫
d3x ′c(x′)|x− x′|
]
− 1
4π
∫
d3x ′ c(x′)∇2 1
|x− x′|
∇ ×V =1
4π∇[
∇ ·∫
d3x ′c(x′)|x− x′|
]
+ c(x),
onde usamos a expressao recem obtida para ∇2(1/|x − x′|).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 12 / 603
Agora, consideremos o seguinte:
∇ ·∫
d3x ′c(x′)|x− x′| =
∫
d3x ′∇ · c(x′)|x− x′|
=
∫
d3x ′[
1
|x− x′|∇ · c(x′) + c · ∇ 1
|x− x′|
]
=
∫
d3x ′[
c · ∇ 1
|x− x′|
]
,
uma vez que ∇ · c(x′) = 0.
Podemos agora trocar a variavel do operador ∇,∫
d3x ′[
−c · ∇′ 1
|x− x′|
]
= −∫
d3x ′[
∇′ ·(
c(x′)|x− x′|
)
− 1
|x− x′|∇′ · c(x′)
]
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= −∫
d3x ′[
∇′ ·(
c(x′)|x− x′|
)]
,
uma vez que ∇ · c = 0, pela eq. (2).
Usando agora o teorema da divergencia,
−∫
d3x ′[
∇′ ·(
c(x′)|x− x′|
)]
= −∮
d2x ′ n′ · c(x′)|x− x′| .
Se a superfıcie estiver “no infinito” e as fontes forem a zero noinfinito, este termo e zero, de modo que obtemos o seguinte
∇× V = c(x), (8)
que e a segunda das eqs. (1).
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Provamos entao que, se c(x) = 0 no infinito (nao ha fontes noinfinito), podemos obter V de um potencial escalar Φ e de umpotencial vetor A, tal que V satisfaz ∇ · V = s e ∇× V = c.
Ou seja, recapitulando,
V = −∇Φ+∇× A, onde
Φ(x) =1
4π
∫
d3x ′s(x′)|x− x′| ,
A(x) =1
4π
∫
d3x ′c(x′)|x− x′| , (9)
e solucao de ∇ ·V = s e ∇× V = c.
A questao entao e, sera esta solucao unica? Vamos entao tentarresponder a esta questao:
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 15 / 603
Sejam V1 e V2 duas solucoes de ∇ ·V = s e ∇×V = c.
Portanto, a funcao W = V1 − V2 obedece a
∇ ·W = 0 ∇×W = 0.
Como ∇×W = 0, podemos escrever W = ∇ψ.Por outro lado,
∇ ·W = ∇ · ∇ψ = ∇2ψ = 0.
Seja agora o vetor ψ∇ψ. Podemos escrever
∇ · (ψ∇ψ) = ψ∇2ψ + (∇ψ) · (∇ψ) = (∇ψ) · (∇ψ),
onde usamos o resultado da linha anterior, ∇2ψ = 0.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 16 / 603
Portanto, ∫
d3x ∇ · (ψ∇ψ) =∫
d3x (∇ψ)2
=
∮
S
d2x (ψ∇ψ) · n =
∫
d3x |W|2 . (10)
Se as fontes sao limitadas espacialmente (nulas no infinito), ψ deve ira zero pelo menos com dependencia r−1 [lembrar queW = ∇ψ = V1 − V2, e que V = −∇Φ+∇× A];
portanto, com a superfıcie no infinito,∮
S
d2x (ψ∇ψ) · n = 0.
Sendo assim, ∫
d3x |W|2 = 0,
o que implica W = 0 em todos os pontos do espaco, o que implica
V1 = V2 (11)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 17 / 603
Portanto, provamos que as equacoes ∇ ·V = s e ∇× V = c temsolucao unica em todo o espaco, desde que as fontes se anulem noinfinito.
Obs.: Uma consequencia importante de nossa demonstracao e que V
e derivavel de um potencial escalar e de um potencial vetor. Se asfontes s(x) e c(x) forem nulas em toda parte, os potenciais Φ(x) eA(x) tambem o serao, para qualquer x, e V(x) = 0 !!
Obs. 2: Se V for o gradiente de uma funcao escalar apenas (casoparticular), V = −∇Φ, teremos ψ = Φ1 − Φ2.Poderıamos ter entao duas situacoes:
∇Φ dado no infinito, o que implica
V1|∞ = V2|∞ ⇒ [W = ∇ψ]∞ = 0 ;
Φ dado no infinito, o que implica
[ψ = Φ1 − Φ2]∞ = 0 .
Em ambos os casos, terıamos∫
d2x (ψ∇ψ) · n = 0 →W = 0, V1 = V2 !
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 18 / 603
Eletrostatica:
Base empırica: Lei de Coulomb (forca entre corpos carregados).
forca proporcional ao produto das cargasforca inversamente proporcional a distancia entre as cargas ao quadradoforca dirigida ao longo da linha entre as cargasforca atrativa entre cargas opostas e repulsiva entre cargas iguais.
Campo eletrico:
E = limq0→0
F
q0(12)
Definido E, a forca sobre uma carga q sera
F = qE (13)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 19 / 603
Diretamente a partir das cargas, podemos desenvolver o seguinte:
21
2 21
1F
xx
xqq
−−F
−x
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 20 / 603
F = kq1q2
|x1 − x2|3(x2 − x1),
E(x2) = kq1
|x1 − x2|3(x2 − x1).
Para um conjunto de n cargas, fazendo superposicao linear,
E(x2) = k
n∑
i=1
qix2 − xi
|xi − x2|3. (14)
(15)
Para uma distribuicao contınua de cargas,
E(x) = k
∫
d3x ′ ρ(x′)x− x′
|x− x′|3 . (16)
Obs.: No sistema (cgs), k = 1. No sistema (MKS), k = (4πǫ0)−1.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 21 / 603
Lei de Gauss:
nE
q
θ
E · n da =q
r2cos θ da (r′ = 0) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 22 / 603
Lei de Gauss:
rda
n
θda cosθ
da cos θ = r2 dΩ .
→ E · n da = q dΩ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 23 / 603
∮
E · n da =
∫
dΩ q = 4π q, se q esta dentro da superfıcie S
e ∮
E · n da = 0, se q esta fora da superfıcie S .
θθ1 2
nn
1
2
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 24 / 603
Em 2: r2dΩ = da cos θ2
Em 1: r2dΩ = −da cos θ1 (cos θ1 < 0)
Se tivermos n cargas dentro da superfıcie,
∮
E · n da = 4πn∑
i=1
qi .
Para o caso de uma distribuicao contınua de carga,
∮
E · n da = 4π
∫
V
d3x ′ ρ(x′). (17)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 25 / 603
Forma diferential:
∮
S
E · n da =
∫
V
d3x ∇ · E = 4π
∫
V
d3x ρ(x),
→ ∇ · E = 4π ρ(x) . (18)
Alem disso, como
E(x) =
∫
d3x ′ ρ(x′)(x− x′)|x− x′|3 ,
podemos ver o seguinte,
E(x) = −∇∫
d3x ′ρ(x′)|x− x′| .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 26 / 603
Seja
Φ(x) =
∫
d3x ′ρ(x′)|x− x′| , (19)
de modo queE(x) = −∇Φ(x), (20)
o que garante que∇× E(x) = 0. (21)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 27 / 603
Desse modo, a eletrostatica pode ser resumida da seguinte forma,
∇ · E = 4π ρ(x),
∇× E(x) = 0, (22)
E = −∇Φ(x), Φ(x) =
∫
d3x ′ρ(x′)|x− x′| .
(Ver “teorema geral”, com s(x) = 4π ρ(x)).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 28 / 603
Alem disso, do teorema de Stokes,
∫
S
(∇× E) · n da =
∮
C
E · d l = 0. (23)
Energia potencial no campo eletrostatico:Em uma trajetoria fechada,
∮
C
E · d l = 0
→∫ B
A
E · d l+∫ A
B
E · d l = 0.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 29 / 603
A
B1
2
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 30 / 603
Seja uma carga q. A forca eletrica atuando em q sera F = qE. Paralevar a carga sem aceleracao de um ponto a outro, deve haver umaforca F = −qE efetuada por um agente externo.
→∫ B
A
F · d l+∫ A
B
F · d l = 0,
→[∫ B
A
F · d l]
1
−[∫ B
A
F · d l]
2
= 0,
→[∫ B
A
F · d l]
1
=
[∫ B
A
F · d l]
2
, (24)
onde os ındices 1 e 2 indicam os caminhos ao longo dos quais e feitaa integracao. Como estes caminhos sao quaisquer, teremosdemonstrado a independencia de caminho da integracao.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 31 / 603
Seja
WAB = −q∫ B
A
E · d l (25)
o trabalho realizado por um agente externo para levar a carga q desdeA ate B .
Como o trabalho e independente do caminho, podemos definir umaenergia potencial U:
∆U = −q∫ B
A
E · d l = WAB , (26)
que pode ser escrita como
∆U = q
∫ B
A
∇Φ · d l→ ∆U = q(ΦB −ΦA). (27)
OBS.: ∫ B
A
E · d l = −∫ B
A
∇Φ · d l = −(ΦB − ΦA).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 32 / 603
Logo,
∆Φ = ΦB − ΦA = −∫ B
A
E · d l . (28)
Voltando ao “resumo” da eletrostatica, eqs. (22),
∇ · E = 4πρ e ∇× E = 0, com E = −∇Φ ,
podemos escrever:∇ · ∇φ = −4πρ ,
→ ∇2Φ = −4πρ(x) eq. de Poisson (29)
Onde nao ha densidade de carga,
→ ∇2Φ = 0 eq. de Laplace (30)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 33 / 603
Portanto, podemos resumir a solucao de problemas em eletrostatica:
Conhecido ρ(x) em todo o espaco,
Φ(x) =
∫
d3x ′ρ(x′)
|x− x′|
Ou, conhecido ρ(x) em uma regiao finita, com condicoes de contorno,resolver ∇2Φ = −4πρ(x), usando as condicoes de contorno.
Nesse ultimo caso, com ρ(x) conhecida em uma regiao finita, comcondicoes de contorno, podemos usar a 2a. identidade de Green (outeorema de Green):
∫
V
d3x (Φ∇2Ψ−Ψ∇2Φ) =
∮
S
da
[
Φ∂Ψ
∂n−Ψ
∂Φ
∂n
]
, (31)
onde: Φ e Ψ sao campos escalares arbitrarios; V e um volumequalquer limitado pela superfıcie S ; ∂/∂n e a derivada normal asuperfıcie, dirigida para fora do volume V .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 34 / 603
Sendo Φ o potencial eletrico, e escolhendo Ψ ≡ 1/|x − x′|, temos:
∫
V
d3x ′[
−Φ(x′)4πδ(x − x′) +4πρ(x′)|x− x′|
]
=
∮
S
da′[
Φ(x′)∂
∂n′
(1
|x− x′|
)
− 1
|x− x′|∂Φ
∂n′(x′)
]
, (32)
onde usamos∇2Φ = −4πρ
e∇2(1/|x − x′|) = −4πδ(x − x′) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 35 / 603
Para qualquer x no volume V ,
Φ(x) =
∫
d3x ′ρ(x′)|x− x′| (33)
+1
4π
∮
S
da′[
1
|x− x′|∂Φ
∂n′−Φ
∂
∂n′1
|x− x′|
]
.
Obs.:∂Φ
∂n′= ∇′Φ · n′ = −E(x′) · n′
(o campo e normal a superfıcie).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 36 / 603
Se a superfıcie vai a infinito, e E sobre a superfıcie decresce maisrapidamente que R−1 (onde R e o raio da superfıcie), recuperamos oresultado anterior
Φ(x) =
∫
d3x ′ρ(x′)|x− x′| ,
para ρ(x′) conhecido em todo o espaco.
A eq. (33) e uma equacao integral para Φ(x) (nao e uma solucao daequacao de Poisson ou de Laplace). Seu merito aqui e mostrar quequando existem condicoes de contorno sobre a superfıcie de umvolume finito o potencial Φ(x) nao e dado simplesmente pelaexpressao familiar
Φ(x) =
∫
d3x ′ρ(x′)|x− x′| .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 37 / 603
Energia potencial eletrostatica:
Ja vimos que
WAB = −q∫ B
A
E · d l = q(ΦB − ΦA) .
Assim, atribuindo valor zero a energia no infinito, a energia potencialassociada a cada carga qi , parte de um conjunto de cargas cujonumero total e n cargas, e dada por
Wi = qiΦ(xi ), Φ(xi ) =∑
j<i
qj|xi − xj |
, (34)
ou seja,
Wi = qi∑
j<i
qj|xi − xj |
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 38 / 603
Ao escrevermos a expressao anterior, estamos traduzindo o seguinteideia: o acrescimo de energia potencial do sistema quando se traz doinfinito uma carga i ate a posicao xi e igual ao trabalho realizadopara trazer do infinito esta carga, ou seja, o produto do valor da cargapelo potencial produzido por todas as demais cargas ja colocadas emsuas posicoes (j < i).
Prosseguindo com este raciocınio, para trazer todas as cargas teremos
WTOTAL ≡W =1
2
n∑
i ,j=1,(i 6=j)
qiqj|xi − xj |
, (35)
onde o fator (1/2) aparece para que nao sejam contadas em dobro asinteracoes entre os mesmos pares.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 39 / 603
As contribuicoes com i = j levariam a W =∞. Estas contribuicoescorrespondem aos chamados termos de “auto-energia”, e foramomitidos na expressao (35). A auto-energia e infinita para partıculaspuntiformes, que tem raio nulo!
Para distribuicoes contınuas, por outro lado, nao ha problema emincluir os termos de auto-energia,
W =1
2
∫
d3x
∫
d3x ′ρ(x)ρ(x′)|x− x′| . (36)
A eq. (36) inclui as contribuicoes de auto-energia, mas representauma quantidade finita. Para distribuicoes contınuas,
ρ(x)d3x
|x− x′| →ρ d3r
r→ ρ r2 dr
r,
que e finita quando r → 0 [ A menos que ρ(r) cresca mais rapido doque r−1 ].
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 40 / 603
Vamos agora a outra abordagem. Da eq. (36),
W =1
2
∫
d3x ρ(x)Φ(x) ,
onde usamos a expressao para o potencial Φ da Eq. (22).
Entretanto,
ρ(x) = −∇2Φ
4π,
de modo que
W = − 1
8π
∫
d3x Φ(x)∇2Φ(x) = − 1
8π
∫
d3x Φ∇ · [∇Φ] .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 41 / 603
Sabemos que ∇ · (ψa) = a · ∇ψ + ψ∇ · a, de modo queψ∇ · a = ∇ · (ψa)− a · ∇ψ;no caso, ψ = Φ e a = ∇Φ:
Φ∇ · (∇Φ) = ∇ · (Φ∇Φ)−∇Φ · ∇Φ = ∇ · (Φ∇Φ)− |∇Φ|2 .
Portanto,
W = − 1
8π
∫
d3x[∇ · (Φ∇Φ)− |∇Φ|2
](37)
= − 1
8π
[∫
S
(Φ∇Φ) · n da−∫
V
d3x |∇Φ|2]
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 42 / 603
A integracao na eq. (37) se faz sobre todo o espaco. A superfıcie S ,portanto, e no infinito.
Como Φ ≃ r−1, pelo menos, e ∇Φ ≃ r−2,Φ∇Φ · n da ≃ (r−3)r2 → 0, para r →∞.
Assim, usando a eq. (37) e E = −∇Φ,
W =1
8π
∫
d3x |E|2 .
Seja a densidade de energia
w =|E|28π⇒W =
∫
d3x w(x) . (38)
Chamamos mais uma vez a atencao para o fato de que a densidadede energia dada pela eq. (38) contem a auto-energia.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 43 / 603
Multipolos, dieletricos e expansao multipolar:
Dada ρ(x), temos
Φ(x) =
∫
d3x ′ρ(x′)|x− x′| .
Se |x′| << |x|, para a regiao onde ρ(x′) e nao nula, podemos fazer
1
|x− x′| =1
(x2 + x ′2 − 2x · x′)1/2=
1
x (1 + x ′2/x2 − 2x · x′/x2)1/2
≃ 1
x
[
1 +x · x′x2
]
.
Assim,
Φ(x) =1
x
∫
d3x ′ ρ(x′) +x
x3·∫
d3x ′ x′ρ(x′) ,
Φ(x) =q
x+
p · xx3
, (39)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 44 / 603
Na expressao anterior temos
q ≡∫d3x ′ ρ(x′) e a carga eletrica da distribuicao,
p ≡∫d3x ′ x′ρ(x′) e o momento de dipolo eletrico da distribuicao.
Seguindo o mesmo procedimento, podemos acrescentar mais termos aesta serie. Entretanto, ha um outro processo que pode serempregado, que e a expansao em harmonicos esfericos.
Os harmonicos esfericos sao definidos como:
Ylm(θ, φ) =
√
2l + 1
4π
(l −m)!
(l +m)!Pml (cos θ)e imφ, (40)
onde l e um inteiro positivo ou nulo, e m e um inteiro com valores−l ,−(l − 1), ..., 0, ..., (l − 1), l .
Temos ainda a seguinte propriedade:
Yl ,−m(θ, φ) = (−1)mY ∗l ,m(θ, φ). (41)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 45 / 603
Uma outra propriedade importante: Os harmonicos esfericos saoortogonais e normalizados:
∫ 2π
0dφ
∫ π
0dθ sin θ Y ∗
l ′,m′(θ, φ)Ylm(θ, φ) = δll ′δmm′ . (42)
Expansao de uma funcao f (θ, φ):
f (θ, φ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
AlmYlm(θ, φ) , (43)
onde
Alm =
∫
dΩY ∗lm(θ, φ)f (θ, φ) ,
onde dΩ = sin θdθdφ.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 46 / 603
Solucao geral de um problema de contorno em harmonicos esfericos:
Φ(r , θ, φ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
[
Amlrl + Bml r
−(l+1)]
Ylm(θ, φ) . (44)
Aplicando eq. (44) para descrever o potencial criado em todo oespaco por uma certa distribuicao de cargas, precisamos ter Aml = 0,para qualquer para m, l , para que nao haja divergencia quandor →∞.
Φ(r , θ, φ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
Bml r−(l+1)Ylm(θ, φ) .
∫
d3x ′ρ(x′)|x− x′| =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
Bmlr−(l+1)Ylm(θ, φ) . (45)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 47 / 603
Entretanto, temos (para prova posterior, ver eq. (3.70), Jackson 2a.ed.):
1
|x− x′| = 4π
∞∑
l=0
l∑
m=−l
1
2l + 1
r l<
r l+1>
Y ∗lm(θ
′, φ′)Ylm(θ, φ) . (46)
No caso, r< = r ′ e r> = r (para pontos fora da distribuicao).Voltando com esta informacao a eq. (45),
4π
∞∑
l=0
l∑
m=−l
1
2l + 1
1
r l+1
∫
d3x ′ r ′l Y ∗lm(θ
′, φ′)ρ(x′)Ylm(θ, φ)
=∞∑
l=0
l∑
m=−l
BmlYlm(θ, φ)
r l+1..
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 48 / 603
Seja
qlm ≡∫
d3x ′ r ′l ρ(x′)Y ∗lm(θ
′, φ′) , (47)
de modo que
Bml =4π
2l + 1qlm .
Assim, podemos escrever
Φ(x) =∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π
2l + 1qlm
Ylm(θ, φ)
r l+1, (48)
que e nossa expressao desejada.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 49 / 603
Os coeficientes qlm sao chamados momentos de multipolo (Ver secoes40 e 41 do livro de Landau e Lifchitz para uma abordagemalternativa).
E de se notar que os qlm sao os momentos de multipolo emcoordenadas esfericas. Eles sao combinacoes lineares dos multipolosde ordem correspondente em coordenadas cartesianas.
Por exemplo:
q00 =
∫
d3x ′ ρ(x′)Y ∗00 =
∫
d3x ′ ρ(x′)1√4π
P00 (cos θ
′) =q√4π
,
onde q e o termo de “monopolo eletrico”.
q10 =
∫
d3x ′ ρ(x′)r ′ Y ∗10 =
∫
d3x ′ ρ(x′)r ′√
3
4πP01 (cos θ
′)
=
√
3
4π
∫
d3x ′ ρ(x′)r ′ cos θ′ =
√
3
4π
∫
d3x ′ ρ(x′)z ′ =
√
3
4πpz ,
pois pz =[∫
d3x ′ x′ρ(x′)]
z.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 50 / 603
q11 =
∫
d3x ′ ρ(x′)r ′ Y ∗11 = −
√
3
8π
∫
d3x ′ ρ(x′)r ′ sin θ′ e−iφ′
= −√
3
8π
∫
d3x ′ ρ(x′)r ′ sin θ′ (cos φ′ − i sinφ′)
= −√
3
8π
∫
d3x ′ ρ(x′) (x ′ − iy ′) = −√
3
8π(px − ipy) ,
etc...
Obviamente, devido a definicao (47) e a propriedade (41), temos
ql ,−m = (−1)mq∗lm.
Obs.: Componentes do campo em coordenadas esfericas:Temos
∇ = e1∂r + e21
r∂θ + e3
1
r sin θ∂φ
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 51 / 603
Podemos escrever, usando a eq. (48),
Φ(x) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
Φlm ,
Φlm ≡4π
2l + 1qlm
Ylm(θ, φ)
r l+1.
Logo, para cada contribuicao multipolar
Elm = −∇Φlm = e14π(l + 1)
2l + 1
qlmYlm
r l+2− e2
4π
2l + 1
qlmr l+2
∂θYlm
−e34π
2l + 1
qlmYlm
r l+2 sin θ(im) . (49)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 52 / 603
Expansao multipolar e a energia de uma distribuicao de
cargas
Quando temos uma configuracao de potencial externo Φ(x) (ou seja,produzido por fontes externas a distribuicao de cargas que vamosconsiderar), uma distribuicao de cargas colocada neste potencialadquire uma energia eletrostatica dada por
W =
∫
d3x ρ(x)Φ(x) . (50)
(O potencial e externo, portanto nao temos aqui o fato 1/2 queapareceu anteriormente, em outra circunstancia).
Fazendo uma expansao de Φ(x) em torno da origem:
Φ(x) = Φ(0) + x · ∇Φ(0) + 1
2
∑
i
∑
j
xixj ∂xi∂xjΦ(0) + ...
Φ(x) = Φ(0)− x · E(0) − 1
2
∑
i
∑
j
xixj ∂xiEj (0) + ...
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 53 / 603
Φ(x) = Φ(0)− x · E(0)− 1
2
∑
j
[∑
i
xixj ∂xiEj(0) −r2
3∂xjEj(0)
]
+ ...
O termo adicionado e 16 r
2∇ · E(0) = −16 r
2∇2Φ = 0. Usamos∇2Φ = 0 porque se trata de um potencial externo.
Alem disso, ∑
j
∂xjEj =∑
ij
∂xiEj δij .
Logo, podemos escrever:
Φ(x) = Φ(0)−x·E(0)− 1
6
∑
i
∑
j
[3 xixj − r2 δij
](∂xiEj(0))+... (51)
W = Φ(0)
∫
d3x ρ(x)− E(0) ·∫
d3x xρ(x)
−1
6
∑
i
∑
j
(∂xiEj(0))
∫
d3x ρ(x)[3 xixj − r2 δij
]
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 54 / 603
Finalmente, podemos escrever
W = qΦ(0)− p · E(0)− 1
6
∑
i
∑
j
Qij∂xiEj (0) + ... , (52)
onde
Qij ≡∫
d3x[3xixj − r2 δij
]ρ(x), (53)
e o chamado momento de quadrupolo da distribuicao.
Resumindo, podemos escrever a energia da distribuicao no campoexterno como uma sucessao de termos,
carga c/potencial na origem,dipolo eletrico c/gradiente de potencial (campo E),quadrupolo c/gradiente do campo,etc ...
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 55 / 603
Eletrostatica em Meios Dieletricos
Seja um meio constituıdo de grande numero de atomos e moleculas.
Quando um campo externo e aplicado, a distribuicao de cargas destasmoleculas e distorcida.
Usualmente, o momento de ordem mais baixa da distribuicao (q)resulta nulo, ao menos seu valor medio em uma regiao infinitesimal(do ponto de vista macroscopico, porem suficientemente grande doponto de vista macroscopico).
Seja pi o momento de dipolo do i -esimo tipo de molecula. Seja Ni onumero de moleculas do tipo i , por unidade de volume, no ponto x .Alem disso, pode haver no ponto x uma densidade de cargas ρ(x), deorigem externa.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 56 / 603
O potencial em um ponto x, devido as contribuicoes em todo oespaco, sera dado por:
Φ(x) =
∫
d3x ′[ρ(x′)|x− x′| +
P(x′) · (x− x′)|x− x′|3
]
, (54)
ondeP(x) =
∑
i
Ni < pi >
e a polarizacao eletrica do meio, ou seja, o momento de dipolo porunidade de volume.
Obs.: Com essa definicao, temos
P(x) d3x ⇒ p(x) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 57 / 603
Consideremos agora o seguinte: podemos demonstrar facilmente oseguinte:
(x− x′)|x− x′|3 = ∇′ 1
|x− x′| ,
de modo que
Φ(x) =
∫
d3x ′[ρ(x′)|x− x′| + P(x′) · ∇′
(1
|x− x′|
)]
,
Fazendo uma integracao por partes, com o termo integrado seanulando no infinito, ficamos com
Φ(x) =
∫
d3x ′1
|x− x′|[ρ(x′)−∇′ · P(x′)
]. (55)
Vemos que ρ(x)−∇ · P(x) representa uma densidade de cargas.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 58 / 603
Logo,
E = −∇Φ→ ∇ · E =
∫
d3x ′[ρ(x′)−∇′ · P(x′)
]4π δ(x − x′)
∇ · E = 4π [ρ(x)−∇ · P(x)] , (56)
onde usamos a eq. (7).
Define-se entao o deslocamento eletrico D,
D = E+ 4π P , (57)
de modo que temos
∇ ·D = 4π ρ(x) . (58)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 59 / 603
Obs. 1: Comentario a respeito dos resultados acima:1 E: suas fontes sao todas as cargas.
2 D: suas fontes sao as cargas livres.
Obs. 2: Os campos D e E nao satisfazem, em geral, as mesmasequacoes; isso acontece quando P tem rotacional nulo:
∇ · E = 4π [ρ(x) −∇ · P(x)] ,
∇ ·D = 4π ρ(x) ,
∇× E = 0 ,
∇×D = 4π∇× P .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 60 / 603
Calculo da polarizacao (tratamento elementar):
Para campos suficientemente fracos, podemos escrever:
P = χeE , (59)
onde χe e a susceptibilidade eletrica do meio (supomos aqui o meioisotropico).
Nesse caso,
D = E+ 4πχeE = (1 + 4πχe)E ≡ ǫE ,
onde ǫ = (1 + 4πχe) e a constante dieletrica do meio.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 61 / 603
Se o meio nao e isotropico, porem e valida a aproximacao linear,
Pi =∑
j
χijEj ,
Di = Ei + 4π∑
j
χijEj =∑
j
(δij + 4πχij )Ej ,
Di =∑
J
ǫijEj ,
onde os ǫij sao as componentes do tensor dieletrico.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 62 / 603
Vamos retomar nossa abordagem do calculo da polarizabilidade:
Como vimos, para meios isotropicos e na aproximacao linear.
P = χeE .
Como∇ · E = 4π [ρ−∇ · P] ,
∇ · [E+ 4πχeE] = 4πρ⇒ ∇ ·D = 4πρ ,
ondeD = ǫE, ǫ = 1 + 4πχe .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 63 / 603
Se temos N moleculas por unidade de volume (considerando apenasum tipo de molecula),
P = N < p > ,
onde p e o momento de dipolo de uma molecula.
Podemos escrever (na aproximacao linear):
< p >= γmolEmol = γmol(E+ Ei ) , (60)
onde Emol e o campo na posicao da molecula.
Este pode ser obtido com o seguinte raciocınio:
Emol = E− EP + Enear ,
onde EP e o campo medio devido as moleculas vizinhas, e Enear e ocampo “real” devido as moleculas vizinhas.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 64 / 603
Segundo a notacao empregada no livro de Jackson, estas duasquantidades sao reunidas sob o nome de Ei , de modo que
Emol = E+ Ei ,
onde Ei = Enear − EP .
Portanto, usando eq. (60), podemos escrever
P = Nγmol (E+ Ei ) .
Para Ei usaremos (deixando a prova para mais adiante),
Ei =4π
3P ,
de modo que
P = Nγmol
(
E+4π
3P
)
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 65 / 603
P
[
1− 4π
3Nγmol
]
= NγmolE ,
P =Nγmol
1− 4π3 Nγmol
E = χeE .
⇒ χe =Nγmol
1− 4π3 Nγmol
. (61)
Esta expressao mostra a relacao entre a susceptibilidade eletrica (quee uma quantidade macroscopica) e a polarizabilidade molecular (umaquantidade microscopica).
Como temos ǫ = 1 + 4πχe ,
ǫ = 1 + 4πNγmol
1− 4π3 Nγmol
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 66 / 603
(
1− 4π
3Nγmol
)
ǫ = 1− 4π
3Nγmol + 4πNγmol
ǫ− 1 = 4πNγmol
(
1− 1
3+ǫ
3
)
⇒ γmol =3
4πN
(ǫ− 1
ǫ+ 2
)
eq. de Clausius-Mossotti.
(62)
Obs.: A relacao se verifica melhor para gases; para lıquidos e solidosa aproximacao nao e tao boa, especialmente se ǫ e grande [Ja75, p.155].
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 67 / 603
Obtencao da relacao entre Ei e P:
Seja ρ(x), dando origem a E(x).
Seja tambem uma esfera de raio R , contendo a distribuicao de carga,com a origem do sistema de coordenadas no centro da esfera.
Vamos calcular a seguinte integral:
∫
r<R
d3x E(x) = −∫
r<R
d3x ∇Φ = −∫
d2x Φn = −∫
dΩR2Φn .
Usando a expressao para o potencial,
Φ(x) =
∫
d3x ′ρ(x′)|x− x′| ,
I =
∫
r<R
d3x E(x) = −R2
∫
d3x ′ ρ(x′)∫
dΩn
|x− x′| .
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n
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Usando agora
n = sin θ cosφ i+ sin θ sinφ j+ cos θ k ,
e a eq. (46),
I = −R2
∫
d3x ′ ρ(x′)∫
dΩ [sin θ cosφ i+ sin θ sinφ j+ cos θ k]
×4π∞∑
l=0
l∑
m=−l
1
2l + 1
r l<
r l+1>
Y ∗lm(θ
′, φ′)Ylm(θ, φ) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 70 / 603
Usando agora as expressoes para os harmonicos esfericos, podemosfacilmente obter as seguintes expressoes:
sin θ cosφ = −√
8π
3
(Y11 + Y ∗
11
2
)
sin θ sinφ = i
√
8π
3
(Y11 − Y ∗
11
2
)
(63)
cos θ =
√
4π
3Y10 .
Escrevendo as funcoes trigonometricas em termos dos harmonicosesfericos, dessa forma, podemos fazer uso das propriedades deortogonalidade destes harmonicos.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 71 / 603
Temos portanto
I = −R2
∫
d3x ′ ρ(x′) 4π∞∑
l=0
l∑
m=−l
1
2l + 1
r l<
r l+1>
Y ∗lm(θ
′, φ′)
×∫
dΩ
[
−1
2
√
8π
3(Y11 + Y ∗
11) i+i
2
√
8π
3(Y11 − Y ∗
11) j
+
√
4π
3Y10 k
]
Ylm(θ, φ) .
Usamos agora as relacoes de ortogonalidade
∫
dΩ Y11Ylm = (−1)∫
dΩ Y ∗1,−1Ylm = (−1) δl1δm,−1
(pois Yl ,−m = (−1)mY ∗lm).
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∫
dΩ Y ∗11Ylm = δl1δm1 ,
∫
dΩ Y10Ylm
∫
dΩ Y ∗10Ylm = δl1δm0 .
Voltando a integral,
I = −R2
∫
d3x ′ ρ(x′)4π
3
r<r2>
×
−1
2
√
8π
3
[
−Y ∗1,−1(θ
′, φ′) + Y ∗11(θ
′, φ′)
]
i
+i
2
√
8π
3
[
−Y ∗1,−1(θ
′, φ′)− Y ∗11(θ
′, φ′)
]
j+
√
4π
3Y10(θ
′, φ′) k
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 73 / 603
Usando as eqs. (63),
I = −R2
∫
d3x ′ ρ(x′)4π
3
r<r2>
[sin θ′ cosφ′ i+ sin θ′ sinφ′ j+ cos θ′ k
]
= −R2
∫
d3x ′ ρ(x′)4π
3
r<r2>
n′ .
Como as cargas estao contidas na esfera de raio R , r< = r ′ e r> = R :
I = −4π
3
∫
d3x ′ ρ(x′) r ′ n′ = −4π
3
∫
d3x ′ ρ(x′) x′ = −4π
3p.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 74 / 603
Seja
E =1
V
∫
V
d3x E(x) .
Identificamos esta quantidade como o campo medio devido asmoleculas vizinhas, contida em um esfera de raio R, ondeV = 4πR3/3. Ou seja, e a quantidade que chamamos anteriormentede EP .
Portanto,
EP = E =3
4πR3I = −4π
3
p
4πR3/3= −4π
3P . (64)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 75 / 603
Como vimos E e o campo eletrico macroscopicos. Se subtrairmos ocampo medio devido as moleculas vizinhas polarizadas (EP), eacrescentarmos o campo realmente produzido pelas moeculas vizinhas(Enear ), teremos
Emol = E− EP + Enear ⇒ Ei = Enear − EP .
EP e o campo medio devido a polarizacao; e o mesmo E obtidoanteriormente, onde consideramos uma esfera de raio R :
EP = −4π
3P ⇒ Ei = Enear +
4π
3P.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 76 / 603
O calculo de Enear e mais difıcil e depende da real configuracao. Epossıvel mostrar que Enear = 0 para um solido organizado na formade rede cubica simples [calculo devido a Lorentz; ver Ja75, p. 153].
Para outras simetrias, ou para sistemas amorfos, o calculo e maiscomplicado. Entretanto, para a maioria dos materiais Enear ≃ 0[Ja75, p. 154].
Dessa forma, Ei = (4π/3)P, conforme ja usamos.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 77 / 603
Polarizabilidade molecular
Para a obtencao da polarizabilidade molecular, ou da constantedieletrica, e necessario fazer modelos para o material dieletrico.
No livro de Jackson, 2a. ed., secao 4.6, ha um modelo simples decargas harmonicamente ligadas. Vamos discutir os pontos essenciais edeixar os detalhes como exercıcio:
Vamos supor uma carga q, sujeita a um campo E. Podemos imaginarque cada carga tem uma posicao de equilıbrio, e que o campoaplicado a desloca pouco desta posicao.
Assim, usando a aproximacao harmonica, para cada carga q, haverauma forca restauradora
F = −mω20x (forca restauradora)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 78 / 603
Por outro lado, F = −qE,
mω20x = qE⇒ pmol = qx =
q2
mω20
E
→ γmol =q2
mω20
(65)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 79 / 603
Efeito de temperatura
Nao vamos nos aprofundar neste tema, apenas fazer algunscomentarios sobre aspectos principais:
Se as distribuicoes de carga do meio nao tem polarizacao permanente,o momento de dipolo e causado pela campo aplicado, como discutidoacima no caso sem temperatura. Fazendo depois a media sobredistribuicao de velocidades das partıculas, mostra-se que
< pmol >=q2
mω20
E = γmolE .
Ou seja, obtem-se para a polarizabilidade molecular a mesmaexpressao obtida quando se ignora o efeito da temperatura.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 80 / 603
Efeito de temperatura
Por outro lado, se o meio dispuser de dipolos permanentes, o campoeletrico tera a tendencia de alinhar os dipolos, enquanto atemperatura tera a tendencia de desalinhar os dipolos. Ou seja, poreste tipo de argumento espera-se uma polarizabilidade proporcional aE e a T−1. De fato, mostra-se que
< pmol >≃1
3
p20kT
E .
Em geral,
γmol = γind +1
3
p20kT
, (66)
onde γind e a polarizabilidade devido a dipolos induzidos [em nossocaso, γind = q2/(mω2
0)].
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 81 / 603
Outro exemplo
Vamos a um outro exemplo: Vamos pegar uma situacao simples daFısica de Plasmas.
sem campo magneticoıons fixos, distribuicao uniforme (supondo oscilacoes de alta frequencia)movimento apenas na direcao x
Para os eletrons usaremos uma descricao de fluido:
mne [∂tve + (ve · ∇) ve ] = −eneE−∇p ,
onde ∇p = γkBT∇ne , γ =cpcv
,
∂tne +∇ · (neve) = 0 , (67)
∇ · E = 4πe (ni − ne) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 82 / 603
Oscilacoes de pequena amplitude (aprox. linear):
ne = n0 + n1 ,
ve = v0 + v1 ,
E = E0 + E1 .
Seja ∇n0 = v0 = E0 = 0; logo, ∂tn0 = ∂tv0 = ∂tE0 = 0 .
m(n0 + n1) [∂tv1 + (v1 · ∇) v1] = −e(n0 + n1)E1 − 3kBT∇n1 ,
∂tn1 +∇ · [(n0 + n1)v1] = 0 , (68)
∇ · E1 = 4πe (n0 − n0 − n1) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 83 / 603
Desprezando termos quadraticos (e lembrando que o movimento eapenas na direcao x),
mn0 [∂tv1] = −en0E1 − 3kBT∂xn1 ,
∂tn1 + n0∇ · v1 = 0 , (69)
∇ · E1 = − 4πe n1 ,
onde usamos γ = cp/cv = (cv + R)/cv = (R/2 + R)/(R/2) = 3,considerando o caso 1D.
Supondo agora oscilacoes com dependencia e i(kx−ωt),
−i mn0ωv1 = −en0E1 − 3 i kBTkn1 ,
−i ωn1 + i n0k v1 = 0 , (70)
i kE1 = − 4πe n1 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 84 / 603
Da segunda equacao,
v1 =ωn1n0k
→ n1 =n0k
ωv1 .
Combinando este resultado com a terceira equacao,
E1 = i4πen1k
= i4πe
k
n0k
ωv1 .
Voltando a primeira equacao,
i mn0ωv1 = en0 i4πen0ω
v1 + 3 i kBTkn0k
ωv1 .
ω2 =4πe2n0
m+
3kBT
mk2 = ω2
p + 3kBT
mk2 . (71)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 85 / 603
Voltando a equacao para v1,
∂tv1 = ∂2t x1 → −ω2x1 ,
e portanto
−mn0ω2x1 = −en0E1 − 3 i kBTkn1,= −en0E1 − 3
kBTk2E1
4πe.
mn0ω2x1 =
(
en0 + 3kBTk
2
4πe
)
E1 .
Dividindo tudo por mn0ω2,
x1 =
(e
mω2+ 3
kBTk2
4πen0mω2
)
E1 =
(e
mω2+
3kBT
m
e
mω2
k2m
4πe2n0
)
E1
x1 =
(e
mω2+
3kBT
m
e
mω2
k2
ω2p
)
E1 =e
mω2
(
1 +3kBT
m
k2
ω2p
)
E1 ..
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 86 / 603
Como p1 = ex1 = γmolE1 ,
γmol =e2
mω2
(
1 +3kBT
m
k2
ω2p
)
. (72)
Usando agora a eq. (71),
γmol =e2
mω2p
. (73)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 87 / 603
Meio anisotropico:
Vamos a uma discussao qualitativa:
Por exemplo, um plasma na presenca de um campo magneticouniforme. Seja B = Bk.
As partıculas carregadas sofrem forca magnetica que as leva aespiralar em torno das linhas de B. Ou seja, B introduz umaanisotropia no sistema. Esta e uma situacao em que se obtem
Di =∑
j
ǫijEj ,
com ǫij = δij + 4πχij .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 88 / 603
Energia eletrostatica em dieletricos
Em meios eletrostaticos a energia de uma dada configuracao decargas livres representa nao somente a energia da interacao entre ascargas, mas tambem a energia envolvida na perturbacao dadistribuicao de cargas do meio.
Essa contribuicao nao esta incluıda em nossa expressao (35), quedava a energia eletrostatica de uma distribuicao de cargas, no vacuo.
( Para recordar,
WTOTAL ≡W =1
2
n∑
i ,j=1,(i 6=j)
qiqj|xi − xj |
,
)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 89 / 603
Vamos entao adotar outro procedimento.
Seja um potencial Φ(x) e uma perturbacao δρ(x) na densidade decargas livres.
A mudanca na densidade, δρ(x), estara associada a uma quantidadede energia (trabalho que realiza a mudanca, dada por
δW =
∫
d3x δρ(x)Φ(x) . (74)
Obs.: Ver a eq. (34), para o caso discreto,
Wi = qiΦ(xi ) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 90 / 603
Da lei de Gauss para o vetor deslocamento temos
ρ(x) =1
4π∇ ·D→ δρ(x) =
1
4π∇ · (δD)
δW =1
4π
∫
d3x ∇ · (δD)Φ(x),
δW =1
4π
∫
d3x [∇ · (ΦδD) − δD · ∇Φ(x)] .
O termo com ∇ · (ΦδD) pode ser transformado em uma integral desuperfıcie. Supondo ρ(x) uma distribuicao localizada, a superfıciepode ser levada ao infinito, e a integral de superfıcie vai a zero.
Alem disso, usamos no outro termo E = −∇Φ, de modo que
δW =1
4π
∫
d3x E · δD , (75)
onde a integral agora e sobre todo o espaco.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 91 / 603
Se o meio for linear e isotropico (so agora introduzimos essa hipotese),
E · δD = E · ǫδE =1
2δ(E ·D) ,
e
δW =1
8πδ
∫
d3x E ·D .
W =1
8π
∫
d3x (E ·D) . (76)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 92 / 603
Portanto, em geral vale
δW =1
4π
∫
d3x E · δD ;
porem, se o meio e linear (e isotropico) vale
W =1
8π
∫
d3x (E ·D) .
E interessante notar que E = −∇Φ e ∇ ·D = 4πρ. De nossaexpressao (35), se fosse valida, terıamos
W =1
2
∫
d3x ρ(x)Φ(x) =1
8π
∫
d3x Φ(x)∇ ·D
=1
8π
∫
d3x [∇ · (Φ(x)D) −D · ∇Φ(x)]⇒ 1
8π
∫
d3x (E ·D) !!!
Note-se que o termo com o divergente se anula sobre a superfıcie.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 93 / 603
A ultima equacao obtida e identica a eq. (76), e mostra que parameios lineares (e isotropicos) vale a expressao
W =1
2
∫
d3x ρ(x)Φ(x) ,
sendo equivalente a
W =1
8π
∫
d3x E ·D .
E interessante notar que, para meios nao lineares, a energiaeletrostatica (partindo de um estado com D = 0) e dada por:
W =1
4π
∫
d3x
∫ D
0E · δD . (77)
Ou seja, nesse calculo se ve que a energia em princıpio nao dependeapenas do estado final do sistema, mas tambem dos estadosintermediarios por que passou no processo de estabelecer aconfiguracao final.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 94 / 603
Magnetostatica
O ponto de partida e a constatacao de que nao ha cargas
magneticas. Todo efeito magnetico provem de cargas eletricas emmovimento.
Vamos olhar a questao sob dois angulos: Producao do campo e efeitodo campo sobre as partıculas e correntes:
Dado um elemento d l′ de um condutor, pelo qual passa carga porunidade de tempo, I = dq/dt, esse elemento produzira na posicao x
uma inducao magnetica dB, dada por
dB(x) = k Id l′ × (x − x′)
|x− x′|3 . (78)
No sistema cgs gaussiano, a constante k e dada por k = 1/c , onde c ea velocidade da luz (c = 2, 998× 1010 cm/s).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 95 / 603
x
x’−
I
x’
x
dl’
dB
A lei de Biot-Savart
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 96 / 603
Podemos definir uma densidade de corrente,
J(x′) d3x ′ = I d l′ .
dB(x) =1
c
J(x′)× (x− x′)|x− x′|3 d3x ′ ,
B(x) =1
c
∫
d3x ′J(x′)× (x− x′)|x− x′|3 . (79)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 97 / 603
Essa equacao pode ser reescrita sob outra forma.
Como ja vimos,
∇ 1
|x− x′| = −(x− x′)|x− x′|3 ;
ficamos com
B(x) =1
c∇×
∫
d3x ′J(x′)|x− x′| . (80)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 98 / 603
Obs.:
∇× (ψa) = ∇ψ × a+ ψ∇× a .
No caso, a = J(x′) e ψ = 1/|x − x′|.Portanto,
∇×[
J
|x− x′|
]
= ∇[
1
|x− x′|
]
× J+1
|x− x′|∇ × J(x′)
= −J×∇[
1
|x− x′|
]
= J× (x− x′)|x− x′|3
Como sabemos, ∇ · ∇ × A = 0, de modo que a partir da eq. (80)podemos concluir o seguinte:
∇ · B = 0 . (81)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 99 / 603
Como nosso teorema da primeira aula nos demonstrou, se soubermoso divergente e o rotacional de um campo vetorial, e se as fontes docampo se anulam no infinito, o campo e univocamente definido.
Como ja conhecemos o divergente de B, vamos agora procurar obtero rotacional de B.
∇× B =1
c∇×∇×
∫
d3x ′J(x′)|x− x′|
=1
c
[
∇∇ ·∫
d3x ′J(x′)|x− x′| − ∇
2
∫
d3x ′J(x′)|x− x′|
]
(82)
Vamos considerar o primeiro termo no lado direito, na equacao (82):
∇∫
d3x ′∇ ·[
J(x′)|x− x′|
]
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 100 / 603
Continuando,
∇ ·[
J(x′)|x− x′|
]
= J · ∇ 1
|x− x′| +1
|x− x′|∇ · J(x′) = J · ∇ 1
|x− x′| ,
uma vez que a derivada e feita na variavel x, e J e funcao de x′.
Podemos agora somar e diminuir um termo nessa expressao, e trocara derivada de x por x′,
= −J · ∇′ 1
|x− x′| −1
|x− x′|∇′ · J(x′) + 1
|x− x′|∇′ · J(x′)
= −∇′ ·[
J(x′)|x− x′|
]
+1
|x− x′|∇′ · J(x′)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 101 / 603
Retornando agora para a integral,
∇∫
d3x ′∇ ·[
J(x′)|x− x′|
]
= ∇∫
d3x ′[
−∇′ ·[
J(x′)|x− x′|
]
+1
|x− x′|∇′ · J(x′)
]
= ∇[
−∮
d2x ′[J(x′) · n′|x− x′|
]
+
∫
d3x ′1
|x− x′|∇′ · J(x′)
]
A integral de superfıcie se anula sobre a superfıcie que envolve adistribuicao de correntes.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 102 / 603
No segundo termo do lado direito, na equacao (82), temos
∇2 J(x′)|x− x′| = −J(x
′) 4π δ(x − x′) .
∇× B =1
c∇∫
d3x ′∇′ · J(x′)|x− x′| +
4π
c
∫
d3x ′ J(x′) δ(x − x′)
∇× B =1
c∇∫
d3x ′∇′ · J(x′)|x− x′| +
4π
cJ(x) . (83)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 103 / 603
Nesse ponto, podemos chamar a atencao sobre outro pontoimportante na magnetostatica:
Consideremos um volume V ; uma vez que nao ha criacao oudestruicao de cargas, a variacao da quantidade de cargas no volumeso pode ser devida a cargas entrando ou saindo atraves da superfıcie:
dq
dt= −
∮
S
da (J · n) .
Obs.: A dimensao de J e a dimensao de Q/T/L2.
Usando o teorema da divergencia:
dq
dt= −
∫
d3x ∇ · J→∫
d3x
[∂ρ
∂t+∇ · J
]
= 0 ,
⇒ ∂ρ
∂t+∇ · J = 0 , eq. da continuidade (84)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 104 / 603
Portanto, na magnetostatica,
∂ρ
∂t= 0→ ∇ · J = 0 .
Ou seja, na magnetostatica,
∇× B =4π
cJ . (85)
Esta e a chamada lei de Ampere na forma diferencial.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 105 / 603
Em resumo, no caso magnetostatico a inducao magnetica obedece asrelacoes seguintes:
∇ · B = 0 ,
∇× B =4π
cJ . (86)
Lembrando nossa aula introdutoria, temos um campo vetorial, doqual conhecemos o divergente e o rotacional, com a condicao de queas fontes se anulam no infinito. Conforme ja vimos, B fica entaounivocamente definido.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 106 / 603
Obs.: Seja S uma superfıcie qualquer e C o seu contorno. Usando oteorema de Stokes,
∫
S
da (∇× B) · n =4π
c
∫
S
da (J · n)
→∮
B · d l = 4π
cI . (87)
Esta e a lei de Ampere na forma integral.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 107 / 603
Efeito da inducao magnetica B sobre cargas eletricas
Como ja dissemos, os efeitos magneticos sao devidos a cargas emmovimento; da mesma forma, B atua sobre cargas em movimento:
dF =I
c(d l× B) . (88)
Esta expressao fornece a forca sobre um elemento d l, conduzindocorrente I .
Usando as eqs. (88) e (78), podemos calcular a forca exercida por umcircuito 2 sobre um circuito 1:
dF12 =I1c
[
d l1 ×∮
1
cI2d l2 × x12
|x12|3]
F12 =I1I2c
∮ ∮
d l1 ×(d l2 × x12)
|x12|3. (89)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 108 / 603
2 1
2
1
F
−xx
x
x
=x12
12
I1 2III II
1 2
x
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 109 / 603
No caso mais geral, ao inves de um circuito podemos ter umadistribuicao de correntes de outro tipo. Definindo a densidade decorrente J(x), reescrevemos a eq. (88) como
dF =1
cd3x (J× B) ,
⇒ F =1
c
∫
d3x (J(x)× B(x)) . (90)
Obs.: Para uma carga,
J = qvδ(x − x′)⇒ F =q
cv × B .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 110 / 603
Da mesma forma podemos definir torque:
dN = x× dF =1
cd3x [x× (J× B)]
⇒ N =1
c
∫
d3x x× (J(x) × B(x)) . (91)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 111 / 603
Potencial vetor
Da mesma forma que fizemos para o campo eletrico, podemos definirum potencial associado a inducao magnetica; entretanto, ele nao seraum escalar.
Temos:∇ · B = 0
∇× B =4π
cJ .
Se ∇ ·B = 0, entao podemos escrever
B = ∇× A .
Da eq. (80), tınhamos
A(x) =1
c
∫
d3x ′J(x′)|x− x′| . (92)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 112 / 603
Entretanto, como ∇× (∇f ) = 0, podemos acrescentar a eq. (92) umgradiente de uma funcao escalar arbitraria, a sem alterar a fısicadescrita pela inducao magnetica B (que e unıvoco, como ja vimos).
Seja entao
A(x) =1
c
∫
d3x ′J(x′)|x− x′| +∇ψ . (93)
Obs.: A transformacao A→ A+∇ψ e chamada uma transformacaode calibre, ou gauge transformation.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 113 / 603
A arbitrariedade na definicao de A nos da uma liberdade que serausada da seguinte maneira:
B = ∇× A ,
∇× B =4π
cJ ,
→ ∇× (∇× A) =4π
cJ
→ ∇(∇ · A)−∇2A =4π
cJ . (94)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 114 / 603
Se ∇ ·A = 0 na eq. (94), terıamos
∇2A = −4π
cJ .
Cada componente vetorial de A satisfaz entao uma equacao dePoisson, com solucao conhecida (com as fontes se anulando noinfinito). O resultado e
A(x) =1
c
∫
d3x ′J(x′)|x− x′| .
Ou seja, a escolha de ∇ · A = 0 equivale a escolha ψ= cte. Essaescolha, ∇ ·A = 0, e chamada de calibre de Coulomb. Existem outrasescolhas, segundo nossa conveniencia. Uma delas sera vista maisadiante.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 115 / 603
Obs.: sabemos que B = ∇×A. Podemos adicionar a A um gradientede uma funcao arbitraria, e continuaremos a ter o mesmo B:
A(x)→ A+∇ψ .
Por outro lado, se exigirmos ∇ ·A = 0, resulta
∇ ·A(x)→ ∇ · A+∇2ψ .
Se o A original satisfazia essa equacao, o “novo” satisfara se∇2ψ = 0. Isso significa ψ = cte., se as fontes se anulam no infinito.Ou seja, o A fica definido, pois ∇ψ = 0:
A(x)→ A+ ∇ψ︸︷︷︸
=0
.
Por outro lado, da lei de Ampere vimos que, se ∇ ·A = 0,
→ ∇2A = −4π
cJ ,
o que tem como solucao (se as fontes se anulam no infinito),
A(x) =1
c
∫
d3x ′J(x′)|x− x′| .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 116 / 603
Distribuicao localizada - Momento magnetico
Vamos supor uma distribuicao localizada de correntes, e um ponto decalculo do campo muito distante da distribuicao.
x
x’
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 117 / 603
Se |x′| << |x|, para a regiao onde ρ(x′) e nao nula, podemos fazer
1
|x− x′| =1
(x2 + x ′2 − 2x · x′)1/2
=1
x (1 + x ′2/x2 − 2x · x′/x2)1/2≃ 1
x
[
1 +x · x′x2
]
.
Portanto,
A(x) =1
c
∫
d3x ′J(x′)|x− x′|
=1
c |x|
∫
d3x ′ J(x′) +x
c |x|3 ·∫
d3x ′ x′J(x′) + ... .
onde o produto escalar refere-se a x · x′; ou seja, em termos decomponentes podemos escrever
Ai(x) =1
c |x|
∫
d3x ′ Ji(x′) +
x
c |x|3 ·∫
d3x ′ x′Ji (x′) + ... . (95)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 118 / 603
Agora levamos em conta o seguinte: como ∇ · J = 0 namagnetostatica, podemos demonstrar que
∇ · (xiJ) = J · ∇xi + xi∇ · J = Ji .
Portanto,∫
d3x ′ Ji(x′) =
∫
d3x ′∇′ · (x ′i J) =∮
d2x ′ (x ′i J) · n = 0 ,
pois J · n = 0 na superfıcie (a distribuicao de corrente e limitada).
Ou seja, o termo em “monopolo” na eq. (95) e nulo, para umadistribuicao de correntes espacialmente limitadas. Resulta entao que
Ai (x) =x
c |x|3 ·∫
d3x ′ x′Ji (x′) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 119 / 603
Vamos entao discutir o termo que na equacao anterior:
x ·∫
d3x ′ x′Ji (x′) =
∑
j
xj
∫
d3x ′ x ′jJi (x′) .
Podemos agora usar o seguinte artifıcio:
Sejam f (x) e g(x) funcoes bem comportadas:
∫
d3x g(J · ∇f ) =∫
d3x [∇ · (gJf )− f∇ · (gJ)]
=
∮
d2x (gf J) · n−∫
d3x f [g∇ · J+ J · ∇g ] .
O termo de superfıcie se anula, pois a corrente e limitadaespacialmente, e o termo com ∇ · J se anula, na situacao estatica.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 120 / 603
Portanto, ∫
d3x g(J · ∇f ) = −∫
d3x f (J · ∇g) ,
ou seja,∫
d3x g(J · ∇f ) +∫
d3x f (J · ∇g) = 0 , (96)
Se f = 1 e g = xi , a eq. (96) reduz-se a∫d3x Ji = 0, conforme
usamos na pagina anterior.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 121 / 603
Se f = xi e g = xj ,
∫
d3x [xjJi + xiJj ] = 0
→∫
d3x ′ x ′j Ji = −∫
d3x ′ x ′i Jj .
Portanto,
∑
j
xj
∫
d3x ′ x ′jJi (x′) =
1
2
∑
j
xj
∫
d3x ′[x ′j Ji (x
′)− x ′i Jj(x′)]
=1
2
∫
d3x ′[(x · x′
)Ji (x
′)− x ′i(x · J(x′)
)].
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 122 / 603
Portanto,
Ai(x) =1
c |x|31
2
∫
d3x ′[(x · x′
)Ji(x
′)− x ′i(x · J(x′)
)],
de modo que
A(x) =1
c |x|31
2
∫
d3x ′[(x · x′
)J(x′)− x′
(x · J(x′)
)].
Entretanto, sabemos que
A× (B × C) = (A · C)B− (A ·B)C ,
de modo que
(x · x′)J− (x · J)x′ = x× (J× x′) ,
e
A(x) =1
2c |x|3∫
d3x ′[x× (J× x′)
]=
x
2c |x|3 ×∫
d3x ′(J× x′
).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 123 / 603
Define-se a magnetizacao (ou momento magnetico por unidade
de volume) como sendo o seguinte:
M =1
2c[x× J(x)] , (97)
de modo que o momento magnetico m e dado por
m =
∫
d3xM(x) =1
2c
∫
d3x [x× J(x)] .
(98)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 124 / 603
Dessa forma, para uma distribuicao localizada de correntes,
A(x) =m× x
|x|3 . (99)
Vamos agora olhar para a eq. (98) e verificar que ela pode sercolocada em uma forma mais simples e familiar, no caso deespiras planas de corrente.
Substituindo d3x J por I d l,
m =I
2c
∮
x× d l .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 125 / 603
Se tivermos uma espira plana,
dl
x
I
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 126 / 603
Continuando,1
2|x× d l| = 1
2|x||d l⊥| = da
(onde d l⊥ e a projecao de d l perpendicularmente a x).
Desse modo,
m =I
2c
∮
x× d l .→ |m| = I
cArea ,
onde “Area” e a area da espira.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 127 / 603
Outro resultado interessante e obtido quando consideramos a correntedevida a um grupo de partıculas, com massas Mi e cargas qi :
J =∑
i
qivi δ(x − xi ) ,
m =1
2c
∫
d3x∑
i
qi δ(x − xi ) (x× vi ) =1
2c
∑
i
qi (xi × vi )
=1
2c
∑
i
qiMi
Li
poisL = x× p = M (x× v) ,
para uma partıcula de massa M.
Se todas as partıculas tem a mesma razao qiMi
= qM, entao teremos
m =q
2McL .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 128 / 603
Distribuicao localizada de corrente em uma inducao
magnetica externa
Ja vimos que a forca e o torque sobre uma distribuicao de corrente(um momento de dipolo magnetico) sao dadas por
F =1
c
∫
d3x J(x) × B(x)
e
N =1
c
∫
d3x x× [J(x) × B(x)] .
Se a inducao magnetica varia pouco na regiao onde se encontra acorrente, podemos utilizar uma expansao de B(x). Para cadacomponente de B, em torno de uma origem, teremos
Bk(x) = Bk(0) + (x · ∇)Bk(0) .
Portanto, para a i−esima componente da forca,
Fi =1
c
∑
j ,k
ǫijk
[
Bk(0)
∫
d3x ′ Jj(x′) +
∫
d3x ′ Jj(x′)(x′ · ∇′)Bk(0) + ...
]
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 129 / 603
O termo∫d3x ′ Jj(x′) = 0, como ja vimos. Portanto,
Fi =1
c
∑
j ,k
ǫijk∑
l
∫
d3x ′ Jj(x′) x ′l ∂
′lBk(0)
Fi =1
c
∑
j ,k
ǫijk∑
l
[∂lBk(0)]
∫
d3x ′ Jj(x′) x ′l
Fi =1
c
∑
j ,k
ǫijk∑
l
[∂lBk(0)]1
2
∫
d3x ′[Jj(x
′) x ′l − Jl(x′) x ′j
],
onde usamos a segunda equacao apos eq. (96), e onde nao aparecemais a ’linha’ no operador ∂′l porque trata-se da derivada calculadaem um dado ponto.
Temos portanto o seguinte,
Fi =1
2c
∑
j ,k
ǫijk
∫
d3x ′[Jj(x
′) (x′ · ∇)Bk(0)− x ′j (J(x′) · ∇)Bk(0)
].
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 130 / 603
Consideremos agora o seguinte:Temos
Jj x′ · ∇Bk(0)− x ′j J · ∇Bk(0) .
Seja ∇Bk(0) ≡ A, de modo que
Jj x′ · A− x ′j J · A = Jj A · x′ − x ′j A · J =
[A× (J× x′)
]
j,
onde comparamos com
A× (B× C) = B(A · C)− C(A · B) .
Por outro lado,
[A× (J× x′)
]
j=[(x′ × J)× A
]
j=[(x′ × J)×∇Bk(0)
]
j
=[(x′ × J)×∇
]
jBk(0) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 131 / 603
Retornando agora a equacao anterior,
Fi =1
2c
∑
j ,k
ǫijk
∫
d3x ′[(x′ × J)×∇Bk(0)
]
j,
Fi =∑
j ,k
ǫijk (m×∇)j Bk(0) . (100)
Escrevendo a forca na forma vetorial,
F = (m×∇)× B . (101)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 132 / 603
Usando agora a seguinte relacao vetorial [Schaum, 22.19],
(A× B)× C = B(A · C)− A(B · C) ,
teremosF = [∇(m · B)−m(∇ ·B)]
F = ∇(m ·B) , (102)
uma vez que ∇ ·B = 0.
Interpretanto F como −∇U (energia potencial) podemos escrever
U = −m ·B . (103)
Para o torque, podemos usar um procedimento analogo e obter, emordem mais alta,
N = m× B . (104)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 133 / 603
Obs.: Com base em F = ∇(m · B), podemos entender os chamadosespelhos magneticos:
B
m
q>0
m ·B = −mB → F = −m ∂B
∂s,
de modo que a partıcula espiralando e repelida das regioes de campomais intenso.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 134 / 603
Equacoes macroscopicas; Magnetizacao; Campo magnetico
H
Pelo que vimos ate agora, conhecida a distribuicao de corrente J,podemos determinar B(x).
Entretanto, consideremos os casos seguintes:
correntes eletronicas rapidamente flutuantes (na materia). Paraaplicacoes “macroscopicas”, so nos interessa o valor medio.momentos magneticos intrınsecos, nao classicos.
Pela ausencia de monopolos magneticos, temos tanto
∇ · Bmic = 0
quanto∇ ·B = 0 ,
onde nessa ultima expressao B e o campo “macroscopico”.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 135 / 603
Magnetizacao
Dessa forma, tambem para campos “macroscopicos” deve valer
B = ∇× A .
Magnetizacao (macroscopica):A definicao e analoga a definicao da polarizacao:
M(x) =∑
i
Ni < mi > .
Se tivermos densidade de corrente de cargas livres, J, em x o potencialvetor devido a um elemento de volume ∆V em x′ sera dado por:
∆A(x) =1
c
J(x′)|x− x′|∆V +
M(x′)× (x− x′)|x− x′|3 ∆V (105)
Obs.: Devemos lembrar que, para um dipolo na origem,
A =m× x
|x|3 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 136 / 603
Fazendo ∆V → d3x ′, e integrando sobre a contribuicao de todo oespaco,
A(x) =1
c
∫
d3x
[J(x′)|x− x′| + c
M(x′)× (x− x′)|x− x′|3
]
.
Podemos re-escrever a segunda integral:
(x− x′)|x− x′|3 = −∇ 1
|x− x′| = ∇′ 1
|x− x′| ,
⇒M×∇′ 1
|x− x′| .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 137 / 603
Agora, consideremos o seguinte:
∇× (f a) = (∇f )× a+ f (∇× a)→ (∇f )× a = ∇× (f a)− f (∇× a) ,
de modo que
M×∇′ 1
|x− x′| = −[
∇′ ×(
M
|x− x′|
)
− 1
|x− x′|∇′ ×M
]
.
Podemos entao escrever∫
d3xM× (x− x′)|x− x′|3 = −
∫
d3x ′∇′×(
M
|x− x′|
)
+
∫
d3x ′∇′ ×M
|x− x′| .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 138 / 603
Re-escrevendo,
∫
d3xM× (x− x′)|x− x′|3 =
∫
d3x ′∇′ ×M
|x− x′| −∫
d3x ′∇′ ×(
M
|x− x′|
)
.
A(x) =1
c
∫
d3x ′[J(x′) + c∇′ ×M
|x− x′|
]
+1
c
∮
S
d2x ′cM× n′
|x− x′| , (106)
onde no ultimo termo foi usada a relacao (ver contra-capa doJackson, 2nd ed., John Wiley, 1975),
∫
V
d3x ∇×A =
∫
S
d2x n× A .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 139 / 603
Densidades de corrente
Podemos agora introduzir duas novas definicoes:
Densidade de corrente de magnetizacao:
JM(x) = c∇×M(x) .
Densidade superficial de corrente de magnetizacao:
KM(x) = c M(x)× n .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 140 / 603
Podemos agora introduzir uma densidade superficial de correnteslivres, KL(x), e escrever
A(x) =1
c
∫
d3x ′J(x′) + JM(x′)|x− x′| +
1
c
∮
d2x ′KM(x′) +KL(x
′)|x− x′| .
Caso M seja “localizada” (limitada espacialmente), com KM = 0 eKL = 0, teremos
A(x) =1
c
∫
d3x ′J(x′) + JM(x′)|x− x′| .
Fazendo ∇× (∇× A) = ∇(∇ ·A)−∇2A, aplicando os operadoresno lado direito, e levando em conta que na eletrostatica ∇ · J = 0 eque ∇ · JM = ∇ · (∇×M) = 0, e tambem usando a eq. (7), teremos
∇× B =4π
c(J+ JM) ,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 141 / 603
Ficamos com
∇× B =4π
cJ+ 4π ∇×M . (107)
Definimos agora o vetor campo magnetico:
H = B− 4π M . (108)
Nesse caso,
∇×H =4π
cJ . (109)
Note que no lado direito das equacoes envolvendo o rotacional temos(termos de “fonte”):
Para H, a densidade de corrente “livre”.Para B, a densidade de corrente “total” (livre+magnetizacao).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 142 / 603
Permeabilidade magnetica
Ao discutirmos materiais magneticos, introduzimos a permeabilidademagnetica µ, quando o material for isotropico e a relacao entre B e H
for linear.
Em geral, temos M = M(H).
Se a dependencia for linear (e o caso de materiais diamagneticos eparamagneticos), podemos escrever
Mi =∑
j
(χm)ij Hj ;
Se a dependencia for linear e isotropica, introduzimos asusceptibilidade magnetica χm, uma constante caracterıstica domaterial,
M = χm H ;
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 143 / 603
Nesse caso,
H = B− 4π M , ⇒ B = H+ 4π M = H (1 + 4π χm) .
Escrevendo µ = 1 + 4π χm, onde µ e a permeabilidade magnetica,temos
B = µ H . (110)
Obs.: Para materiais ferromagneticos, nao se verifica a linearidade.Variando H, obtemos uma curva de histerese para o campo B.Entretanto, mesmo nao havendo a linearidade, para aplicacoes emque H varia em uma faixa limitada, em que a dependencia epraticamente linear, muitas vezes define-se uma permeabilidadeefetiva para um material ferromagnetico.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 144 / 603
Potencial escalar magnetico:
No vacuo:Se J = 0, teremos ∇×B = 0, de modo que B pode ser obtido de umpotencial ΦM ,
B = −∇ΦM .
Nesse caso, podemos usar as tecnicas empregadas na eletrostaticapara encontrar B.Como teremos ∇ ·B = 0, resulta a equacao de Laplace,
∇2ΦM = 0 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 145 / 603
Em materiais magneticos:
∇×H =4π
cJ ;
se J = 0, teremos ∇×H = 0, e em consequencia poderemos escreverH = −∇ΦM .
Nesse caso,
∇ · B = 0 , → ∇ · (H+ 4π M) = 0 ,
→ −∇2ΦM + 4π ∇ ·M = 0 , ∇2ΦM = 4π ∇ ·M .
Define-se entao a densidade de cargas de magnetizacao:
ρM = −∇ ·M . (111)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 146 / 603
Alem disso, considerando a superfıcie de separacao entre a regiao comM 6= 0 (regiao 2) e a regiao com M = 0 (regiao 1), temos:
h
1
2
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 147 / 603
Temos, uma vez que ∇ · B = 0,
∇ ·H = −4π ∇ ·M ;∫
d3x ∇ ·H = −4π∫
d3x ∇ ·M ;
⇒∮
d2x H · n = −4π∮
d2x M · n .
Considerando uma superfıcie em forma de “pılula”, com altura h→ 0,
∮
d2x H · n ⇒∫
S
d2x (H1 · n−H2 · n)
⇒ −4π∫
S
d2x (M1 · n−M2 · n) = −4π∫
S
d2x (0−M · n) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 148 / 603
Como as integrais sao feitas sobre a mesma superfıcie S , que earbitraria, obtivemos,
(H1 · n−H2 · n) = 4π (M · n) .
Podemos definir uma densidade superficial de cargas de
magnetizacao,σM = M · n . (112)
Portanto, em um ponto x,
ΦM(x) = −∫
V
d3x ′∇′ ·M(x′)|x− x′| +
∮
d2x ′M(x′) · n′|x− x′| . (113)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 149 / 603
Aplicacao:
Vamos considerar uma esfera de raio a, uniformemente magnetizada:
za
θθ
M = M0k
P
a’
’
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 150 / 603
Dentro da esfera,
M = M0 k , ⇒ ∇ ·M = 0 .
Alem disso,
M · n′ = M · a′
a′= M0 cos θ
′ , d2x ′ = a2dΩ′ .
O uso da eq. (113) nos leva a
ΦM(x) = M0a2
∫
dΩ′ cos θ′
|x− x′| .
Usamos agora
1
|x− x′| = 4π∞∑
ℓ=0
ℓ∑
m=−ℓ
1
2ℓ+ 1
r ℓ<
r ℓ+1>
Y ∗ℓm(θ
′, φ′)Yℓ,m(θ, φ) ,
cos θ′ =
√
4π
3Y10(θ
′, φ′) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 151 / 603
O uso dessas expressoes nos leva a
ΦM(x) = M0a2(4π)
∑
ℓ
∑
m
1
2ℓ+ 1
r ℓ<
r ℓ+1>
√
4π
3Yℓ,m(θ, φ)
×∫
dΩ′ Y ∗ℓm(θ
′, φ′)Y10(θ′, φ′)
︸ ︷︷ ︸
δℓ1δm0
= M0a2 4π
3
√
4π
3
r<r2>
Y1,0(θ, φ) ;
⇒ ΦM(x) = M0a2 4π
3
r<r2>
cos θ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 152 / 603
Na regiao interna, r < a; alem disso, r ′ = a. Portanto, r< = r ,r> = a;
ΦM(x) = M0a2 4π
3
r
a2cos θ ,
⇒ ΦM(x) =4π
3M0(r cos θ) .
Na regiao externa, r > a; alem disso, r ′ = a. Portanto, r< = a,r> = r ;
ΦM(x) = M0a2 4π
3
a
r2cos θ ,
⇒ ΦM(x) =4π
3
M0a3 cos θ
r2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 153 / 603
O campo magnetico pode ser entao obtido. Para r < a,
Hi = −∇ΦM
∣∣∣∣i
= −[
e1∂rΦM + e21
r∂θΦM + e3
1
r sin θ∂φΦM
]
i
.
O ultimo termo e nulo; ficamos com
Hi = e1
(
−4π
3M0 cos θ
)
+ e2
(4π
3M0 sin θ
)
,
Hi = −4π
3M0 (e1 cos θ − e2 sin θ) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 154 / 603
Para a regiao externa, com r > a,
He = −∇ΦM
∣∣∣∣e
= −e14π
3M0a
2 cos θ
(
− 2
r3
)
+ e24π
3M0 sin θ
a3
r3,
He = −4π
3M0
a3
r3(−e12 cos θ − e2 sin θ) .
Portanto,
(He −Hi)r=a =4π
3M0
[(2a3
r3cos θ + cos θ
)
e1 +
(a3
r3sin θ − sin θ
)
e2
]
=4π
3M0 (3 cos θ)e1 = 4πM0 cos θ n ,
onde usamosn =
a
a= r = e1 .
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Podemos portanto escrever
(He −Hi)r=a·n = 4πM0 cos θ (n · n) = 4πM0 cos θ = 4πM·n , c.q.d.
Por outro lado, expressando em componentes cartesianas,
n = sin θ cosφ i+ sin θ sinφ j+ cos θ k .
Como ja vimos, esta quantidade e igual a e1.
Quanto a e2, sabemos que e perpendicular ao raio vetor. Fazportanto um angulo θ com a horizontal. Sua projecao horizontal edada por cos θ, e portanto
e2 = cos θ cosφ i+ cos θ sinφ j− sin θ k .
(ver figura)
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Figura referente a discussao anterior:
e2
φ
θ
cosθsenφ
cosθ cosφ
θ
cosθ
senθ
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Usando as expressoes obtidas na expressao para Hi ,
(e1 cos θ − e2 sin θ) = sin θ cosφ cos θ i+ sin θ cos θ sinφ j
+cos2 θ k− sin θ cosφ cos θ i− sin θ cos θ sinφ j+ sin2 θ k
=(sin2 θ + cos2 θ
)k .
Portanto,
Hi = −4π
3M0 k = −4π
3M .
Por outro lado, temos
Bi = Hi + 4π Mi = 4π M
(
1− 1
3
)
,
Bi =8π
3M .
Ou seja, mostramos que Bi e paralelo a M, e que Hi e anti-paralelo
a M, no interior da esfera uniformemente magnetizada!
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Equacoes de Maxwell
Ate agora, estudamos fenomenos estaticos, obtendo as equacoesbasicas que governam os campos:
∇× E = 0,
∇ ·D = 4πρ, D = E+ 4πP,
∇×H =4π
cJ, H = B− 4πM,
∇ ·B = 0. (114)
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Vamos agora introduzir uma equacao que expressa em formamatematica uma relacao entre campos eletricos e magneticos, frutode observacoes de Faraday (por volta de 1830).
a) movimento de um ima relativo a um circuito provoca corrente nocircuito.
b) movimento de um circuito conduzindo corrente estacionaria, relativo aoutro circuito, provoca corrente neste ultimo.
c) variacao da corrente em um circuito provoca corrente em outro.
Estas observacoes mostram dependencia na area e forma doscircuitos, na sua distancia e posicao relativa, ou na distancia eposicao relativa do ima, e na taxa de variacao temporal da corrente,ou na velocidade do ima.
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Matematicamente, considerando-se um caminho fechado qualquer(C ), limitando uma superfıcie aberta (S), o comportamentoobservado pode ser expresso da forma seguinte
E =
∮
C
E′ · d l = −k d
dt
∫
S
d2x B · n . (115)
E′ e o campo eletrico atuando no elemento dl do circuito C , nosistema de referencia onde d l esta em repouso.E e a forca eletromotriz induzida no circuito.B e a inducao magnetica no “sistema laboratorio”.n e um vetor perpendicular a superfıcie em cada ponto, com sentidodado pela “regra da mao direita”.
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C
n
v
B
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Se o circuito C estiver se movendo com velocidade v relativamente aolaboratorio, encontrara B mudando devido a dependencia em t etambem devido a mudanca em x:
d
dtB = ∂tB+ ∂xB
dx
dt+ ∂yB
dy
dt+ ∂zB
dz
dt= ∂tB+ (v · ∇)B ,
(a chamada “derivada convectiva”).
∮
C
E′ · d l = − k
∫
S
d2x [∂tB+ (v · ∇)B] · n ,
Por outro lado,
∇× (B× v) = B(∇ · v) − v(∇ ·B) + (v · ∇)B− (B · ∇)v ,
onde devemos levar em conta que v, a velocidade do circuito, eapenas funcao de t (v = v(t)).
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Portanto,∮
C
E′ · d l = − k
∫
S
d2x [∂tB+∇× (B× v)] · n
= − k
∫
S
d2x (∂tB) · n− k
∮
C
(B× v) · d l
⇒∮
C
[E′ + k (B× v)
]· d l = − k
∫
S
d2x (∂tB) · n .
O termo no integrando do lado esquerdo pode ser interpretado comosendo o campo E no laboratorio (usando invariancia de Galileu, ondeo tempo t e o mesmo nos dois referenciais).
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Por outro lado, no sistema onde o circuito esta em repouso, umacarga q no circuito experimenta forca qE′. Vista do laboratorio, estaforca seria (forca de Lorentz):
q
[
E+1
cv × B
]
.
Portanto,
E′ = E+1
c(v × B), → k ≡ 1
c.
Portanto, podemos resumir as observacoes escrevendo a chamada Leide Faraday,
∮
C
E′ · d l = − 1
c
d
dt
∫
S
d2x B · n . (116)
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No sistema onde o circuito esta em repouso, E e B definidos nomesmo sistema,
∮
C
E · d l = − 1
c
∫
S
d2x (∂tB) · n =
∫
S
d2x (∇× E) · n ,
de modo que podemos escrever
∇× E+1
c∂tB = 0 , (117)
que e a chamada lei de Faraday na forma diferencial.
Obs.: Devemos chamar a atencao para o seguinte: A lei de Faradaynao depende da invariancia de Galileu; a invariancia foi usada apenaspara verificar a constante de proporcionalidade 1
c.
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A eq. (117) vem generalizar a primeira das eqs. (114), ∇× E.Ficamos entao com
1) ∇ ·D = 4πρ , (118)
2) ∇× E = −1
c∂tB , (119)
3) ∇ · B = 0 , (120)
4) ∇×H =4π
cJ . (121)
Fica evidente a falta de simetria nessas equacoes. As eqs. (1) e (3)nao tem simetria, devido a nao existencia de “cargas magneticas”.
Da mesma forma, existe um termo de “corrente de cargas eletricas”(J) na eq. (4), mas nao existe um JM em (2).
Entretanto, em (2) ha um termo do tipo ∂tB, e em (4) falta umcorrespondente com ∂tE.
Na verdade, na derivacao de (4) fizemos uso da hipotese de umasituacao estacionaria, quando consideramos ∇ · J = 0.
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Da eq. (4),
∇ · (∇×H) =4π
c∇ · J ,
Como ∇ · (∇×H) = 0, fica evidente a condicao ∇ · J = 0, queimplica ∂tρ = 0, pela equacao da continuidade.
De (1),
∇ · J+ ∂tρ = ∇ · J+ 1
4π∂t(∇ ·D) = ∇ · J+ 1
4π∇ · (∂tD) = 0 ,
∇ ·(
J+1
4π∂tD
)
= 0 .
A expressao acima nos mostra uma nova grandeza cujo divergente enulo:
J⇒ J+1
4π∂tD .
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Com esta grandeza utilizada em lugar de J, a eq. (4) fica
∇×H =4π
cJ+
1
c∂tD .
Aplicando o operador “divergencia”,
∇ · ∇ ×H =4π
c
[
∇ · J+ 1
4π∇ · ∂tD
]
=4π
c
[
∇ · J+ ∂t
(∇ ·D4π
)]
=4π
c[∇ · J+ ∂tρ] = 0 (equacao da continuidade).
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Portanto, o conjunto de equacoes ficou transformado nas chamadasequacoes de Maxwell,
∇ ·D = 4πρ, D = E+ 4πP, (122)
∇× E = −1
c∂tB, (123)
∇ ·B = 0. (124)
∇×H =4π
cJ+
1
c∂tD, H = B− 4πM. (125)
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Obs.: As equacoes de Maxwell nao sao independentes. Como javimos, de ∇ · (∇×H) = 0, temos [∇ · J+ ∂t(∇ ·D)/4π] = 0.
Da continuidade da carga, ∇ · J = −∂tρ, de modo que∂t [ρ−∇ ·D/4π] = 0.
A partir disso pode-se concluir que
∇ ·D = 4πρ+ cte.
A equacao ∇ ·D = 4πρ estabelece a “cte.” como sendo nula.
Tambem temos ∇ · (∇× E) = 0, de modo que ∂t(∇ ·B) = 0, o quenos leva a
∇ ·B = cte.
A equacao ∇ · B = 0 fixa o valor da “cte.” como sendo nula.
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As equacoes de Maxwell e os potenciais escalar e vetorial
Na eq. (125) temos ∇ ·B = 0, o que implica
B = ∇× A .
Portanto,
∇× E = −1
c∂t(∇× A)→ ∇×
(
E+1
c∂tA
)
= 0
→ E+1
c∂tA = −∇Φ
E = −∇Φ− 1
c∂tA .
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Ou seja, definindo os campos a partir de potenciais,
B = ∇× A
E = −∇Φ− 1
c∂tA . (126)
Para estabelecer o resultado acima fizemos uso das duas equacoeshomogeneas.
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Vamos agora considerar as equacoes do ponto de vista microscopico,ou seja, vamos considerar que estamos no vacuo e que todas ascargas e correntes sao “livres”:
∇ · E = 4πρ, (127)
∇× E = −1
c∂tB, (128)
∇ · B = 0, (129)
∇× B =4π
cJ+
1
c∂tE , (130)
onde, segundo a argumentacao acima, ρ = ρtotal e J = Jtotal .
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Usando as eqs. (126),
∇ ·(
−∇Φ− 1
c∂tA
)
= 4πρ→ −∇2Φ− 1
c∂t(∇ ·A) = 4πρ ,
∇× (∇× A) =4π
cJ+
1
c∂t
(
−∇Φ− 1
c∂tA
)
→ ∇(∇ · A)−∇2A =4π
cJ− 1
c∇(∂tΦ)−
1
c2∂2tA .
Com isto chegamos ao seguinte conjunto de equacoes:
∇2Φ+1
c∂t(∇ · A) = −4πρ
∇2A− 1
c2∂2tA−∇
(
∇ ·A+1
c∂tΦ
)
= −4π
cJ . (131)
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De (126), vemos que temos liberdade na determinacao de A e Φ:
A⇒ A+∇Λ ,
sendo Λ uma funcao escalar arbitraria.
E = −∇Φ− 1
c∂tA−
1
c∂t∇Λ = −∇
(
Φ+1
c∂tΛ
)
− 1
c∂tA .
Assim, seA→ A+∇Λ
Φ→ Φ− 1
c∂tΛ ,
nao alteramos E e B.
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Portanto, temos uma liberdade que pode ser explorada segundo aconveniencia.
Podemos, por exemplo, escolher A e Φ tais que
∇ · A+1
c∂tΦ = 0 , (132)
de modo que (131) se reduz a duas equacoes desacopladas:
∇2Φ− 1
c2∂2tΦ = −4πρ
∇2A− 1
c2∂2tA = −4π
cJ . (133)
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O uso da condicao (132) nos leva a equacao da onda nao
homogenea para os potenciais. Esta condicao e chamada decondicao de Lorentz. Observa-se que a velocidade de propagacao ec .
Obs.: Ver nota de rodape na pagina 421 de D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3a. edicao, Prentice Hall:
“There is some question whether this should beattributed to H. A. Lorentz or to L. V. Lorenz (see J. vanBladel, IEEE Antennas and Propagation Magazine 33(2),69 (1991)). But all the standard textbooks include the tand to avoid possible confusion I shall adhere to thatpractice.”
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. . .
Ver tambem J. D. Jackson and L. B. Okun, Reviews of ModernPhysics , volume 73, July 2001, Historical roots of gauge invariance:
Pag. 664: “... (Maxwell, 1865). Immediately after, the Danishphysicist Ludvig V. Lorenz, apparently independently by Maxwell,brilliantly developed the same basic equations about the kinshipof light and the electromagnetism of charges and currents(Lorenz, 1867b). With respect to gauge invariance, Lorenz’scontributions are most significant. He introduced the so-calledretarded scalar and vector potentials and showed that theysatisfied the relation almost universally known as “the Lorentzcondition, ”though he preceded the Dutch physicist H. A.Lorentz by more than 25 years.”
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. . .
Pag. 665: “By the turn of the century, thanks to, among others,Clausius, Heaviside, Hertz, and Lorentz, who invented what wenow call microscopic electromagnetism with localized charges inmotion formed currents, the formal structure of electromagnetictheory, the role of potentials, the interaction with chargedparticles, and the concept of gauge transformations (not yetknown by that name) were in place. Lorentz’s encyclopediaarticles (Lorentz, 1904a, 1940b) and his book (Lorentz, 1909)established him as an authority in classical electrodynamics, tothe exclusion of earlier contributors such as Lorenz.”
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. . .
Tendo A e Φ que satisfazem a condicao de Lorentz, podemos fazeruma transformacao.
A→ A′ = A+∇Λ
Φ→ Φ′ = Φ− 1
c∂tΛ .
Assim,
∇ · A′ +1
c∂tΦ
′ = ∇ · A+∇2Λ +1
c∂tΦ−
1
c2∂2t Λ
= ∇ ·A+1
c∂tΦ+∇2Λ− 1
c2∂2t Λ = ∇2Λ− 1
c2∂2t Λ,
pois Ae Φ satisfazem a condicao de Lorentz.
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Se Λ for tal que
∇2Λ− 1
c2∂2t Λ = 0 ,
teremos que A′ e Φ′ tambem satisfazem a condicao de Lorentz.
O conjunto de todos os potenciais que se relacionam desta forma echamado de calibre de Lorentz:
A→ A′ = A+∇Λ
Φ→ Φ′ = Φ− 1
c∂tΛ ,
com ∇2Λ− 1
c2∂2t Λ = 0 . (134)
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Na magnetostatica, usamos o calibre de Coulomb, ∇ ·A = 0.
Se usarmos o calibre de Coulomb nas equacoes (131), teremos:
∇2Φ = −4πρ ,
∇2A− 1
c2∂2tA = −4π
cJ+
1
c∇∂tΦ . (135)
Da primeira dessas equacoes, podemos escrever a solucao:
Φ(x, t) =
∫
d3x ′ρ(x′, t)|x− x′| .
O ultimo termo da segunda equacao e entao,
1
c∇∫
d3x ′∂tρ
|x− x′| = −1
c∇∫
d3x ′∇′ · J|x− x′| ,
onde usamos a equacao da continuidade,
∂tρ+∇ · J = 0.
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Podemos escrever J = Jt + Jl , onde ∇ · Jt = 0 e ∇× Jl = 0 (veradiante).
Jl e chamada de corrente irrotacional (ou longitudinal).
Jt e chamada de corrente solenoidal (ou transversal).
Com estes elementos, mostra-se que
∇2A− 1
c2∂2tA = −4π
cJt .
O calibre de Coulomb e particularmente util na eletrodinamicaquantica (ver Jackson, p. 222).
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. . .
Esses resultados podem ser mostrados na forma seguinte. Vamosescrever o lado esquerdo da lei de Ampere usando a expressao para opotencial vetor,
∇×∇×∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′|
= ∇[
∇ ·∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′|
]
−∇2
∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′|
= ∇[
∇ ·∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′|
]
+ 4π
∫
d3x ′ J(x′, t)δ(x − x′|)
= ∇[
∇ ·∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′|
]
+ 4π J(x, t) .
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. . .
O primeiro termo contem
∇ ·∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′| =
∫
d3x ′[ ∇ · J|x− x′| + J · ∇ 1
|x− x′|
]
=
∫
d3x ′[
J · ∇ 1
|x− x′|
]
,
onde usamos ∇ · J(x′, t) = 0.
Mudando de variavel,
∇ ·∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′| = −
∫
d3x ′[
J · ∇′ 1
|x− x′|
]
,
= −∫
d3x ′[
∇′ · J
|x− x′| −∇′ · J|x− x′|
]
= −∮
d2x ′J
|x− x′| · n′ +∫
d3x ′∇′ · J|x− x′| .
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. . .
Integrando sobre todo o espaco, o termo de superfıcie vai a zero.
Retornando a equacao anterior, temos
∇×∇×∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′| = ∇
∫
d3x ′∇′ · J|x− x′| + 4π J(x, t) ,
J(x, t) =1
4π∇×∇×
∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′|
︸ ︷︷ ︸
Jt
+
[
− 1
4π∇∫
d3x ′∇′ · J|x− x′|
]
︸ ︷︷ ︸
Jl
.
Essas denominacoes se justificam porque ∇· aplicado a um rotacionale nulo, e ∇× aplicado a um gradiente e nulo.
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. . .
Usando na equacao para A,
∇2A− 1
c2∂2tA = −4π
cJ+
1
c∇∂tΦ
= −1
c∇×∇×
∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′|+
1
c∇∫
d3x ′∇′ · J|x− x′|−
1
c∇∫
d3x ′∇′ · J|x− x′| ,
Ou seja,
∇2A− 1
c2∂2tA = −1
c∇×∇×
∫
d3x ′J(x′, t)|x− x′| = −
4π
cJt , c.q.d. .
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Equacao da onda e funcao de Green
Voltemos ao caso do calibre de Lorentz. Temos
∇2Φ− 1
c2∂2tΦ = −4πρ
∇2A− 1
c2∂2tA = −4π
cJ .
Genericamente,
∇2ψ − 1
c2∂2t ψ = −4πf (x, t) . (136)
A equacao homogenea e a seguinte:
∇2ψ − 1
c2∂2t ψ = 0 ,
e sua solucao e dada por
ψh ≃ e i(k·x−ωt), ω = ck .
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A solucao particular e obtida considerando a seguinte equacao:
(
∇2 − 1
c2∂2t
)
G (x, x′; t, t ′) = −4πδ(x − x′)δ(t − t ′) , (137)
onde G e a funcao de Green.
Solucao:
ψp(x, t) =
∫
d3x ′∫
dt ′ G (x, x′; t, t ′)f (x′, t ′) . (138)
Supondo homogeneidade de espaco e tempo:
G (x, x′; t, t ′) = G (x− x′; t − t ′) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 190 / 603
Transformada de Fourier:
G (x− x′; t − t ′) =1
(2π)4
∫
d3kdω g(k, ω)e ik·(x−x′)e−iω(t−t′) ,
δ(x− x′) =1
(2π)3
∫
d3k e ik·(x−x′) ,
δ(t − t ′) =1
(2π)
∫
dω e−iω(t−t′) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 191 / 603
Voltando a eq. (136):
1
(2π)4
∫
d3kdω g(k, ω)
(
−k2 + ω2
c2
)
e ik·(x−x′)e−iω(t−t′)
= −4π 1
(2π)4
∫
d3kdωe ik·(x−x′)e−iω(t−t′) ,
→ g(k, ω) = − 4πc2
ω2 − c2k2,
and
G (x− x′; t − t ′) = − 4πc2
(2π)4
∫
d3kdωe ik·(x−x′)e−iω(t−t′)
ω2 − c2k2
= − 4πc2
(2π)4
∫
d3kdωe ik·(x−x′)e−iω(t−t′)
(ω − ck)(ω + ck).
Existem dois polos na integral. Podemos torna-la definida estendendoa integracao para o campo complexo (em ω).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 192 / 603
De acordo com o teorema de Cauchy:
∮f (z)
z − z0dz = 2πi f (z0) .
Temos entao
G (x− x′; t− t ′) == − c2
4π3
∫
d3k e ik·(x−x′)
∫ ∞
−∞dω
e−iω(t−t′)
(ω − ck)(ω + ck)
= − c2
4π3
∫
d3k e ik·(x−x′) I .
No plano complexo, ω → ωr + i ωi ; vamos entao considerar o fatorque aparece no argumento da funcao exponencial: −i ω(t − t ′); aparte real e dada por −i (i ωi)(t − t ′) = ωi(t − t ′).
Se t − t ′ > 0, a integral deve ser fechada no semi-plano inferior.
Se t − t ′ < 0, a integral deve ser fechada no semi-plano superior.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 193 / 603
Seja τ = t − t ′;
Se τ > 0:
I = limǫ→0
∫ ∞
−∞dω
e−iωτ
(ω − ck + iǫ)(ω + ck + iǫ).
ω
ωIm
Reε ε−ck−i +ck−i
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 194 / 603
Ha dois zeros no denominador. Um deles em ω = ck − iǫ, e o outroem ω = −ck − iǫ. Usando o teorema de Cauchy,
I = −2πi[e−ickτ
2ck+
e ickτ
−2ck
]
=πi
ck
(
e ickτ − e−ickτ)
,
onde o sinal aparece uma vez que usamos o sentido horario deintegracao.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 195 / 603
Retornando a expressao de G ,
G = − c2
4π3πi
c
∫
d3ke ik·R
k
(
e ickτ − e−ickτ)
,
onde R ≡ x− x′.
Usando coordenadas esfericas,
d3k = k2 dk sin θ dθ dφ = −k2 dk d(cos θ) dφ .
Prosseguindo
G = − ci
(2π)2
∫ ∞
0dk
k2
k2π
∫ 1
−1d(cos θ) e ikR cos θ
(
e ickτ − e−ickτ)
= − ci
2π
∫ ∞
0dk k
[e ikR − e−ikR
ikR
](
e ickτ − e−ickτ)
= − c
2πR
∫ ∞
0dk(
e ikR − e−ikR)(
e ickτ − e−ickτ)
,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 196 / 603
Continuando,
= − c
2πR
∫ ∞
0dk(
e ik(R+cτ) − e ik(R−cτ) − e−ik(R−cτ) + e−ik(R+cτ))
.
Trocando k por −k nas duas ultimas integrais,
G = − c
2πR
[∫ ∞
0dk e ik(R+cτ) −
∫ ∞
0dk e ik(R−cτ)
−∫ −∞
0(−dk) e ik(R−cτ) +
∫ −∞
0(−dk) e ik(R+cτ)
]
G = − c
2πR
[∫ ∞
−∞dk e ik(R+cτ) −
∫ ∞
−∞dk e ik(R−cτ)
]
− c
2πR(2π) [δ(R + cτ)− δ(R − cτ)]
=c
Rδ(R − cτ) =
1
Rδ
(
τ − R
c
)
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 197 / 603
Na ultima expressao usamos o seguinte:
cτ > 0, R = |x− x′| > 0 → δ(R + cτ) nunca e satisfeita.
Portanto,
G (x− x′; t − t ′ > 0) =1
|x− x′|δ[
t − t ′ − |x− x′|c
]
.
Podemos chamar esta funcao de funcao de Green retardada,
GR(x, x′; t, t ′(< t)) =
1
|x− x′|δ[
t ′ −(
t − |x− x′|c
)]
. (139)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 198 / 603
Se τ < 0, procede-se analogamente, fechando o contorno nosemi-plano superior.
Nesse caso,
I = limǫ→0
∫ ∞
−∞dω
e−iωτ
(ω − ck − iǫ)(ω + ck − iǫ).
Deve-se chegar a funcao de Green avancada,
GA(x, x′; t, t ′(> t)) =
1
|x− x′|δ[
t ′ −(
t +|x− x′|
c
)]
. (140)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 199 / 603
Resumindo,
GR(x, x′; t, t ′) =
1
|x− x′|δ[
t ′ −(
t − |x− x′|c
)]
,
t ′ < t ; 0, t ′ > t , (141)
GA(x, x′; t, t ′) =
1
|x− x′|δ[
t ′ −(
t +|x− x′|
c
)]
,
t ′ > t ; 0, t ′ < t . (142)
A GR propaga para o futuro (t > t ′) o efeito de fontes em t ′. A GA
“propaga” para o passado.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 200 / 603
Dado ψin(x, t) (solucao da equacao homogenea) e f (x, t) comecandoem algum instante do tempo:
ψ(x, t) = ψin(x, t) +
∫
d3x ′∫ t
−∞dt ′ GR(x, x
′; t, t ′)f (x′, t ′) .
(143)
Dado ψout(x, t) (solucao da equacao homogenea) e f (x, t)comecando em algum instante do tempo:
ψ(x, t) = ψout(x, t) +
∫
d3x ′∫ ∞
t
dt ′GA(x, x′; t, t ′)f (x′, t ′).
(144)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 201 / 603
Usando explicitamente a eq. (141), vemos que podemos escrever umasolucao em (x, t), a partir do comportamento das fontes, no caso emque ψin = 0:
ψ(x, t) =
∫
d3x ′[f (x′, t ′]ret|x− x′| .
O sımbolo [...]ret significa que o termo e calculado no temporetardado, dado por t ′ = t − |x− x′|/c . A velocidade de propagacaodo sinal no caso e “c”.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 202 / 603
Energia no campo magnetico
Na eletrostatica, quando discutimos a energia acumulada em umaconfiguracao de cargas, obtivemos
W =1
2
∫
d3x ρ(x)Φ(x) .
No caso de dieletricos, foi preciso incluir o trabalho realizado paraproduzir o estado de polarizacao do meio.
Partimos da descricao da mudanca de energia δW devida a umamudanca δρ na densidade de cargas:
δW =
∫
d3x δρ(x)Φ(x) .
Chegamos a (para meios lineares),
W =1
8π
∫
d3x E ·D . (145)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 203 / 603
Vamos agora procurar descricao semelhante para o caso de materiaismagneticos.
A primeira constatacao e que mesmo no caso de situacoes estaticas, ocalculo da energia envolvida em uma situacao de correntesestacionarias deveria envolver o perıodo e tempo durante o qual ascorrentes passaram desde zero ate o valor final.
Durante esse perıodo existem campos variando no tempo, portantoexistem processos induzidos que realizam trabalho sobre as cargas.
Sobre uma espira carregando corrente I , a potencia dissipada emprocessos induzidos e dada por
dW
dt|ind = − I
c
d
dt
∫
S
d2x B · n .
Obs.: Lembrar da definicao generica
P = εi .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 204 / 603
Portanto, para construir a distribuicao de corrente, um agente externodeve fazer trabalho contra os processos induzidos:
dW
dt=
I
c
d
dt
∫
S
d2x B ·n =I
c
d
dt
∫
S
d2x (∇× A) ·n =I
c
d
dt
∮
C
A ·d l .
Construindo entao o campo usando incrementos δB,
⇒ δW =I
c
∮
C
δA · d l , (146)
whereδB = ∇× δA .
Podemos imaginar o meio conduzindo correntes como sendo divididoem grande numero de circuitos, ou “aneis” de corrente, com secaoreta δσ, de forma que escrevemos
Id l → Jδσd l → Jd3x ;∑
i
∮
Ci
→∫
V
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 205 / 603
Obs.: Supondo taxa infinitesimal de variacao:
⇒ ∇ · J ≃ 0 .
Portanto,
δW =∑
i
δW |i ⇒ 1
c
∫
V
δA ·(J d3x
),
⇒ 1
c
∫
V
δA ·( c
4π∇×H d3x
)
,
onde a taxa infinitesimal de variacao que foi suposta (variacao lenta)permite desprezar a corrente de deslocamento frente a J,
∂D
∂t→ 0 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 206 / 603
Portanto,
δW =1
4π
∫
V
d3x δA · (∇×H)
⇒ δW =1
4π
∫
V
d3x [H · (∇× δA) +∇ · (H× δA)] .
Uma vez que ∇× δA = δB, obtemos
δW =1
4π
∫
V
d3x [H · δB +∇ · (H× δA)] .
Fazendo uso do teorema da divergencia,
δW =1
4π
∫
V
d3x H · δB +1
4π
∮
S
d2x (H× δA) · n .
Se a distribuicao de fontes e localizada, podemos levar a superfıciepara o infinito, e o segundo termo e nulo.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 207 / 603
Supondo agora que B = µH (meios diamagneticos ouparamagneticos),
H · δB = µ (H · δH) =µ
2δ (H ·H) =
1
2δ (H · B) .
Portanto,
W =
∫
δW =1
8π
∫
d3x
∫
δ (H ·B) = 1
8π
∫
d3x H · B ,
W =1
8π
∫
d3x H ·B , (147)
para meios lineares e isotropicos.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 208 / 603
Teorema de Poynting e leis de conservacao
Aqui consideraremos leis de conservacao para camposeletromagneticos.
Consideraremos um sistema de cargas e correntes, e camposeletromagneticos E e B.
Em um volume V do meio, o trabalho (p/unidade de tempo)realizado pelos campos e dado por
dW
dt=
∫
V
d3x J · E . (148)
Entretanto, temos
∇×H =4π
cJ+
1
c∂tD ⇒ J =
c
4π
[
∇×H− 1
c∂tD
]
;
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 209 / 603
Continuando,
dW
dt=
1
4π
∫
V
d3x [c∇×H · E− ∂tD · E] ,
dW
dt=
1
4π
∫
V
d3x c [H · (∇× E)−∇ · (E×H)] − ∂tD · E .
Usando a lei de Faraday,
∇× E = −1
c∂tB ,
dW
dt= − 1
4π
∫
V
d3x [c∇ · (E×H) +H · ∂tB+ E · ∂tD] . (149)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 210 / 603
Se os meios forem lineares nas propriedades eletricas e magneticas,
D = ǫE, B = µH ,
teremos
1
4π
∫
d3x H · ∂t(µH) =1
8π
∫
d3x ∂t (H · µH)
=1
8π
∫
d3x ∂t (H · B) =∫
d3x ∂tuB ,
onde uB e a densidade de energia magnetica.
Procedendo analogamente para E · ∂tD, chegamos a:
∫
V
d3x J · E = −∫
V
d3x
[∂u
∂t+
c
4π∇ · (E×H)
]
, (150)
onde
u ≡ 1
8π(E ·D+ B ·H) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 211 / 603
Seja
S ≡ c
4π(E×H) , (151)
o vetor de Poynting.
Para que a eq. (150) seja valida em um volume arbitrario,
∂u
∂t+∇ · S = −J · E . (152)
De um ponto de vista microscopico, as equacoes de Maxwell sao
∇ · E = 4πρ ,
∇× E = −1
c∂tB ,
∇ ·B = 0 , (153)
∇× B =4π
cJ+
1
c∂tE .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 212 / 603
A energia total no campo eletromagnetico fica dada por
Efield =1
8π
∫
d3x (E · E+ B · B) ,
u ≡ 1
8π(E · E+ B · B) .
A variacao da energia mecanica das partıculas devido a troca deenergia com o campo e dada por:
d
dtEmec =
∫
V
d3x J · E . (154)
Com isso, obtemos a seguinte equacao,
d
dt(Emec + Efield ) = −
∮
S
d2x n ·S , (155)
que representa o seguinte:
Variacao da energia + fluxo = 0 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 213 / 603
Essa equacao expressa conservacao de energia em um volume V , oucontinuidade da energia, com S dado por
S =c
4π(E× B) .
Para o momentum, em um volume V ,
d
dtPmec =
∫
V
d3x
(
ρE+1
cJ× B
)
=
∫
V
d3x1
4π
[
E (∇ · E) + 1
cB× (∂tE) + (∇× B)× B
]
.
1
cB× (∂tE) =
1
c[E× (∂tB)− ∂t (E× B)]
=1
c[E× (−c∇× E)− ∂t (E× B)] .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 214 / 603
Retornando a expressao para o momentum,
d
dtPmec =
1
4π
∫
V
d3x [E (∇ · E) +B (∇ ·B)
−E× (∇× E)− B× (∇× B)− 1
c∂t (E× B)
]
,
onde adicionamos ∇ · B = 0.
d
dt
[
Pmec +1
4πc
∫
V
d3x (E× B)
]
=1
4π
∫
V
d3x [E (∇ · E) + B (∇ ·B)
−E× (∇× E)− B× (∇× B)] .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 215 / 603
Podemos fazer algumas consideracoes dimensionais:
As dimensoes de S sao [Energia/area/tempo], ou seja, dimensoes defluxo de energia.
Logo,[1
c(E× B) d3x
]
=
[Energia
area x tempo× T 2
L2× L3
]
[Energia
L× T
]
=
[ML2
T 2× T
L
]
=
[ML
T
]
= [Momentum] .
Podemos associar o termo com E× B ao momentum linear carregadopelos campos
Pfield =1
4πc
∫
V
d3x (E× B) . (156)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 216 / 603
Assim,
d
dt[Pmec + Pfield ] =
1
4π
∫
V
d3x [E (∇ · E) + B (∇ · B)
−E× (∇× E)− B× (∇× B)] .
Mostra-se que
[E (∇ · E)− E× (∇× E)]α =∑
β
∂xβ
[
EαEβ −1
2(E · E)δαβ
]
,
ou seja, cada componente tem a forma de uma divergencia de umtensor de ordem 2. Analogamente para os termos com B.
Seja entao o tensor,
Tαβ =1
4π
[
EαEβ + BαBβ −1
2δαβ (E · E+ B ·B)
]
, (157)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 217 / 603
Com essa definicao, o lado direito aparece como:
d
dt[Pmec + Pfield ]α =
∑
β
∫
V
d3x ∂xβTαβ
=
∮
d2x∑
β
Tαβnβ . (158)
A quantidade∑
β
Tαβnβ
representa a α-esima componente do fluxo de momentum por unidadede area, atraves da superfıcie S envolvendo o volume V (fluxo “paradentro”).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 218 / 603
OBS.: Usamos o teorema da divergencia na eq. (158).
Vamos discutir seu uso:
∑
β
∫
V
d3x ∂xβTαβ →∫
d3x [∂x1Tα1 + ∂x2Tα2 + ∂x3Tα3]
=
∫
d3x ∇ · V ,
ondeV = (Tα1,Tα2,Tα3) .
∫
d3x ∇ · V =
∮
d2x V · n =
∮
S
d2x (Tα1n1 + Tα2n2 + Tα3n3)
=
∮
S
d2x∑
β
Tαβnβ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 219 / 603
Equacoes do eletromagnetismo macroscopico
Como ja vimos, os campos E e B satisfazem as seguintes equacoes,em termos das cargas e correntes livres:
∇ ·B = 0 ,
∇ ·D = 4πρ ,
∇× E+1
c∂tB = 0 ,
∇×H− 1
c∂tD =
4π
cJ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 220 / 603
De um ponto de vista microscopico, podemos simbolizar os campospor letras minusculas, e escrever
∇ · b = 0 ,
∇ · e = 4πη ,
∇× e+1
c∂tb = 0 ,
∇× b− 1
c∂te =
4π
cj .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 221 / 603
Limites entre macroscopico e microscopico:
Consideremos fenomenos envolvendo a luz visıvel, como reflexao erefracao: sao bem descritos por equacoes de Maxwell, com constantedieletrica contınua.
Consideremos o fenomeno de difracao de raios X: revela a naturezaatomıstica da materia.
A escala desses fenomenos pode ser dada pelas seguintesconsideracoes:
Luz visıvel: λ ≃ 103 A;raios X: λ ≃ 100 A.
Podemos tomar L0 ≃ 102 A como limite entre processosmacroscopicos e microscopicos; em um volume dado por L30 ≃ 106 A3
ha ainda cerca de 106 nucleos e eletrons → detalhes individuais eflutuacoes “desaparecem” com uma media espacial.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 222 / 603
Vamos entao prosseguir e definir a media espacial de uma quantidadeF (x, t) com respeito a uma funcao teste f (x):
〈F (x, t)〉 ≡∫
d3x ′ f (x′)F (x − x′, t) , (159)
onde f (x): funcao real, nao nula em uma vizinhanca de x, enormalizada a unidade
[∫d3x f (x) = 1
].
Por exemplo,
f (x) =
34πR3 , r < R
0, r > R
Este e apenas um exemplo. De maneira geral, entretanto, basta que af (x) seja significativa dentro de uma regiao L >> a, onde a e adimensao molecular tıpica, indo a zero rapidamente fora dessa regiao.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 223 / 603
Visao esquematica das propriedades da f (x):
L
0
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 224 / 603
Usando a definicao de media, eq. (159),
∂xi 〈F (x, t)〉 =∫
d3x ′ f (x′)∂F
∂xi(x− x′, t) ≡ 〈∂xiF 〉 , (160)
∂t 〈F (x, t)〉 = 〈∂tF 〉 . (161)
Aplicando essas operacoes de media aos campos e e b,
E(x, t) = 〈e(x, t)〉 ,
B(x, t) = 〈b(x, t)〉 .Portanto, usando a eq. (160),
〈∇ · b〉 = 0 ⇒ ∇ ·B = 0 . (162)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 225 / 603
Usando as eqs. (160) e (161),
⟨
∇× e+1
c∂tb
⟩
= 0 , ⇒ ∇× E+1
c∂tB = 0 . (163)
Ou seja, recobramos as equacoes homogeneas macroscopicas.
Para as equacoes nao homogeneas,
〈∇ · e〉 = 4π 〈η〉 ⇒ ∇ · E = 4π 〈η〉 . (164)
⟨
∇× b− 1
c∂te
⟩
=4π
cj ⇒ ∇×B− 1
c∂tE =
4π
c〈j〉 . (165)
Podemos agora nos perguntar:
〈η〉 =? 〈j〉 =?
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 226 / 603
Vamos escrever a densidade de cargas:
η(x, t) =∑
j
qjδ[x − xj(t)] .
Vamos separar essa densidade em duas partes,
η = ηf + ηb (166)
ηf (x, t) =∑
j(free)
qjδ[x − xj(t)], ← cargas livres ;
ηb(x, t) =∑
n(molecules)
ηn(x, t) ← cargas ligadas .
Cada ηn representa a densidade de cargas da n-esima molecula,
ηn(x, t) =∑
j(n)
qjδ[x − xj (t)] ;
ou seja, temos a soma sobre as cargas da n-esima molecula .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 227 / 603
Vamos entao considerar a media de ηn,
〈ηn(x, t)〉 =∫
d3x ′ f (x′)ηn(x− x′), t)
=∑
j(n)
qj
∫
d3x ′ f (x′)δ[x − x′ − xj ] ,
=∑
j(n)
qj
∫
d3x ′ f (x′)δ[x − x′ − xjn − xn] ,
onde xj = xn + xjn (ver figura).
Portanto, a media espacial da densidade de carga da n-esimamolecula e dada por
〈ηn(x, t)〉 =∑
j(n)
qj f (x− xjn − xn) . (167)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 228 / 603
x x
x
x jn
jn
jn
+x j = xn
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 229 / 603
Vamos agora considerar que as dimensoes da molecula sao muitopequenas, fazendo a seguinte aproximacao,
|xjn| << |x− xn|
⇒ f (x− xn − xjn) ≃ f (x− xn)− xjn · ∇f (x− xn)
+1
2
∑
αβ
(xjn)α(xjn)β∂2αβf (x− xn) + . . . .
Podemos entao definirqn =
∑
j(n)
qj ,
pn =∑
j(n)
qjxjn ,
(Qn)αβ = 3∑
j(n)
qj(xjn)α(xjn)β .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 230 / 603
Alem disso,
qnf (x− xn) =
∫
d3x ′ f (x′)qnδ(x′ − x+ xn) = 〈qnδ(x − xn)〉 .
Temos tambem
pn · ∇f (x− xn) = ∇ · [pnf (x− xn)]− f∇ · pn = ∇ · [pnf (x− xn)] ,
uma vez que pn = pn(xjn) (nao depende de x).
Procedendo como no caso de qn,
pn · ∇f (x− xn) = ∇ · 〈pnδ(x − xn)〉 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 231 / 603
Procedendo da mesma forma para o proximo termo, e os demais,mostra-se que a molecula pode se vista como uma colecao de
multipolos localizados em um ponto:
〈ηn(x, t)〉 = 〈qnδ(x − xn)〉 − ∇ · 〈pnδ(x − xn)〉
+1
6
∑
αβ
∂2αβ 〈(Qn)αβδ(x − xn)〉+ . . . (168)
Voltando a expressao para a densidade total de cargas,
〈η(x, t)〉 = 〈ηf (x, t)〉+ 〈ηb(x, t)〉 ,
⇒ 〈η(x, t)〉 =⟨∑
j(free)
qjδ(x − xj) +∑
n(moleculas)
qnδ(x − xn)
⟩
−∇ ·⟨
∑
n(moleculas)
pnδ(x − xn)
⟩
+ . . . .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 232 / 603
Podemos entao definir:
ρ(x, t) =
⟨∑
j(free)
qjδ(x − xj ) +∑
n(moleculas)
qnδ(x − xn)
⟩
,
P(x, t) =
⟨∑
n(moleculas)
pnδ(x − xn)
⟩
, (169)
Qαβ =1
6
⟨∑
n(moleculas)
(Qn)αβδ(x − xn)
⟩
,
. . . .
Portanto, voltando a eq. (164), ficamos com
∇ · E = 4π
ρ(x, t)−∇ · P(x, t) +∑
αβ
∂2αβQαβ(x, t) + . . .
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 233 / 603
Em outra forma,
∑
α
∂α
Eα + 4πPα − 4π∑
β
∂βQαβ + . . .
= 4πρ(x, t) .
Podemos definir
Dα ≡ Eα + 4πPα − 4π∑
β
∂βQαβ + . . . , (170)
e escrever∇ ·D = 4πρ(x, t) . (171)
Temos portanto uma generalizacao do que tınhamos obtidoanteriormente, que era
Dα = Eα + 4πPα ,
conforme se ve na eq. (57) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 234 / 603
Um procedimento semelhante pode ser adotado para a outra equacaonao-homogenea, eq. (165), calculando < j(x, t) >.
O processo e consideravelmente mais complicado do que este que foivisto para o caso de < η(x, t) > [Ver Jackson, 2nd ed., John Wiley,1975, p. 232];
Deve-se chegar ao seguinte:
∇×H− 1
c∂tD =
4π
cJ ,
onde . . .
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. . .
Hα = Bα − 4π
Mα +
⟨∑
n(moleculas)
(
pn ×vn
c
)
αδ(x − xn)
⟩
−1
6
∑
βγδ
ǫαβγ ∂δ
⟨∑
n(moleculas)
(Qn)δβ(vn)γc
δ(x− xn)
⟩
+ . . .
, (172)
sendo que os vn sao as velocidades moleculares.
Usualmente, o resultado
H = B− 4πM
e uma aproximacao muito boa, uma vez que as velocidadesmoleculares sao tipicamente pequenas e resultam em mediamacroscopica nula (exceto no caso em que o meio como um todoesteja em movimento).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 236 / 603
Rotacoes, reflexoes e reversao temporal
Vamos discutir (muito brevemente) algumas propriedades dos camposeletromagneticos e das fontes desses campos.
De maneira geral, as coordenadas de um ponto no espaco R3 saomodificadas por uma rotacao, da seguinte maneira:
x ′α =∑
β
aαβxβ (173)
Multiplicando por x ′α e somando sobre α,∑
α
x ′αx′α =
∑
α
∑
β
aαβxβ∑
γ
aαγxγ =∑
β
∑
γ
xβxγ∑
α
aαβaαγ
Se∑
α aαβaαγ = δβγ . teremos
∑
α
x ′2α =∑
β
x2β.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 237 / 603
Ou seja,|x′|2 = |x|2.
Esta transformacao e uma transformacao ortogonal, ou seja, uma
transformacao em que (↔a )T = (
↔a )−1.
Quantidades que se transformam de acordo com a Eq. (173) saochamadas de vetores, ou tensores de ordem um.
Outras quantidades se transformam como
B ′αβ =
∑
γδ
aαγaβδBγδ. (174)
Essas quantidades sao os tensores de ordem 2 (frequentementechamados simplesmente de tensores).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 238 / 603
Podemos tambem considerar a transformacao de quantidades perantereflexoes ou perante inversao espacial (troca de x por −x):Existem quantidades que se transformam tambem trocando o sinal,
V → V′ = −V,
quando x→ x′ = −x.Essas quantidades sao chamadas vetores polares, ou simplesmentevetores.
Outras quantidades obedecem a uma lei diferente, sem troca de sinal,
A → A′ = A,
quando x→ x′ = −x.Essas quantidades sao chamadas vetores axiais, ou pseudo-vetores.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 239 / 603
Quando lidamos com quantidades tais como as coordenadas de umponto no espaco, essas definicoes ficam de aplicacao simples. Porexemplo, sejam os vetores x1 e x2:
Consideremos s = x1 + x2; se x1 → −x1 e x2 → −x2, teremoss→ −s.Conclusao: s e um vetor.
Consideremos agora P = x1 × x2; se x1 → −x1 e x2 → −x2, teremosP→ P.
Conclusao: P e um pseudo-vetor.
Para quantidades mais complexas, outras consideracoes estaraoenvolvidas.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 240 / 603
Por exemplo, sabe-se que a carga eletrica e invariante frente atransformacoes de Galileu ou Lorentz, e e escalar frente a rotacoes.
Podemos convencionar que e tambem escalar frente a inversaoespacial e reversao temporal.Obs.: A reversao temporal e feita pela troca de t por −t.Exemplos:
x→ x′ = x (par frente a uma reversao temporal).
p→ p′ = −p (ımpar frente a uma reversao temporal).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 241 / 603
Nesse caso, teremos, para o campo eletrico,
E =F
q, F =
dp
dt
Inversao espacial: p→ −p.Reversao temporal: p e ımpar, de modo que F e par.
Podemos entao concluir que E→ −E frente inversao espacial e que E
e par frente a uma reversao temporal.
Portanto, E e vetor polar, par frente a RT.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 242 / 603
Com essas conclusoes sobre E, podemos olhar para a lei de Faraday:
∇× E+1
c
∂B
∂t= 0.
O ∇× E e pseudo-vetor, par frente a RT, de modo que B deve serpseudo-vetor, ımpar frente a RT (obs.: c nao e o vetor c esimplesmente uma constante, escalar).
Analogamente, da lei de Ampere-Maxwell,
∇×B− 1
c
∂E
∂t=
4π
cJ,
concluımos que J e vetor, ımpar frente a RT.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 243 / 603
Outras quantidades de interesse no eletromagnetismo podem seranalisadas de forma similar. As propriedades das quantidades maisimportantes podem ser encontradas na Tabela 6.1, do livro deJackson, 2a. edicao [2].
Nao vamos nos aprofundar neste tema. Cabe apenas chamar atencaopara o fato de que diferentes termos nas equacoes envolvendoquantidades “eletromagneticas” devem sempre satisfazer as mesmaspropriedades frente a rotacoes, inversao espacial e reversao temporal(para exemplo, ver analise feita na lei de Faraday e na lei deAmpere-Maxwell).
Vamos prosseguir com uma breve discussao a respeito dapossibilidade de existencia de monopolos magneticos.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 244 / 603
Breve discussao sobre monopolos magneticos
Vamos discutir brevemente sobre as consequencias da existencia demonopolos magneticos para o eletromagnetismo, e apresentar umaargumentacao semi-classica sobre a condicao de quantizacao de Dirac.
Supondo a existencia de cargas magneticas, podemos escrever asequacoes de Maxwell na forma seguinte:
∇ ·D′ = 4πρ′e , (175)
∇ · B′ = 4πρ′m , (176)
∇× E′ = −1
c∂tB
′ − 4π
cJ′m , (177)
∇×H′ =4π
cJ′e +
1
c∂tD
′ . (178)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 245 / 603
Podemos agora definir uma transformacao de campos, de acordo coma seguinte regra:
E = E′ cos ξ +H′ sin ξ
D = D′ cos ξ + B′ sin ξ
H = −E′ sin ξ +H′ cos ξ
B = −D′ sin ξ + B′ cos ξ .
Da mesma forma, uma transformacao das fontes dos campos,
ρe = ρ′e cos ξ + ρ′m sin ξ
Je = J′e cos ξ + J′m sin ξ
ρm = −ρ′e sin ξ + ρ′m cos ξ
Jm = −J′e sin ξ + J′m cos ξ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 246 / 603
Consideremos agora as equacoes de Maxwell. Por exemplo,
∇ ·D = ∇ ·D′ cos ξ +∇ ·B′ sin ξ
= 4π(ρ′e cos ξ + ρ′m sin ξ
)= 4πρe .
Ou seja, o campo D satisfaz a mesma equacao que o campo D′, feitaa correspondente mudanca nas fontes.
Da mesma forma,
∇× E = ∇× E′ cos ξ +∇×H′ sin ξ
=
(
−1
c∂tB
′ − 4π
cJ′m
)
cos ξ +
(4π
cJ′e +
1
c∂tD
′)
sin ξ
= −1
c∂t(B′ cos ξ −D′ sin ξ
)− 4π
c
(J′m cos ξ − J′e sin ξ
)
= −1
c∂tB−
4π
cJm .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 247 / 603
Ou seja, vemos que o campo E satisfaz a mesma lei de Faraday que ocampo E′, feita a mudanca nas fontes. Podemos mostrar o mesmopara as outras equacoes de Maxwell.
Da mesma forma, podemos discutir outras quantidades. Por exemplo,a densidade de energia, que e dada por
u =1
8π(E ·D+ B ·H) .
E ·D+ B ·H =[E′ cos ξ +H′ sin ξ
]·[D′ cos ξ + B′ sin ξ
]
+[−D′ sin ξ + B′ cos ξ
]·[−E′ sin ξ +H′ cos ξ
]
= E′ ·D′ cos2 ξ + E′ ·B′ cos ξ sin ξ +H′ ·D′ cos ξ sin ξ +H′ · B′ sin2 ξ
. . .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 248 / 603
Continuando,
+E′ ·D′ sin2 ξ − E′ ·B′ cos ξ sin ξ −D′ ·H′ cos ξ sin ξ +H′ · B′ cos2 ξ
= E′ ·D′ + B′ ·H′ .
Ou seja, a densidade de energia e invariante perante a mudancaproposta.
Pode-se mostrar que outras quantidades, como E×H (da qualdepende o vetor de Poynting) e Tαβ (densidade de fluxo demomentum do campo) tambem permanecem invariantes.
Constatados esses pontos, pode-se mostrar que, se todos os tipos departıculas tiverem a mesma razao entre carga magnetica e cargaeletrica, e possıvel escolher ξ de tal maneira que ρm e Jm sejam nulos.
Ou seja, desse ponto de vista o aparecimento explıcito das cargas ecorrentes magneticas passaria a ser visto como uma questao deconveniencia, afetando a forma como sao definidos os campos.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 249 / 603
A questao da razao entre densidades de carga magnetica e eletricaaparece da seguinte forma:
Suponhamos, por exemplo, que para eletrons e protons tenhamosrazoes diferentes:
ρemρee6= ρpmρpe
.
Considerando o caso dos eletrons,
ρe = ρ′e cos ξ + ρ′m sin ξ
ρm = −ρ′e sin ξ + ρ′m cos ξ .
Para termos ρm = 0, ξ deve ser tal que
tan ξ =ρe
′
m
ρe′e.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 250 / 603
Da mesma forma, para zerarmos a densidade de carga magnetica dosprotons, deverıamos usar
tan ξ =ρp
′
m
ρp′
e
.
Se essas razoes sao diferentes (como supusemos acima), nao seriapossıvel encontrar ξ de forma a anular simultaneamente as cargasmagneticas.
A evidencia experimental disponıvel e que a mencionada razao entrecarga magnetica e carga eletrica seria a mesma para todos os tipos departıculas.
Ou seja, fica justificada a escolha de ρm = 0 e Jm = 0. Pelo menos,ate prova em contrario.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 251 / 603
Um aspecto interessante que pode ser analizado refere-se aspropriedades de transformacao de ρm e Jm frente a rotacoes, inversaoespacial, e reversao temporal.
Partimos de algumas quantidades conhecidas:
E: vetor (ou vetor polar), par perante reversao temporal (idem paraD).
B: pseudo-vetor (ou vetor axial), ımpar perante reversao temporal(idem para H).
ρe : escalar (nao troca sinal na inversao espacial), par perante reversaotemporal.
Je : vetor polar, ımpar perante reversao temporal.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 252 / 603
Analizando agora as equacoes de Maxwell que incorporam asdensidades magneticas:
∇ ·B = 4πρm ,
vemos que ρm deve ser pseudo-escalar, ımpar perante reversaotemporal (pseudo-escalar: troca sinal na inversao espacial).
Outra equacao que podemos analisar e a seguinte:
∇× E′ = −1
c∂tB
′ − 4π
cJ′m .
Vemos que Jm deve ser um pseudo-vetor, par perante reversaotemporal.
A conclusao importante e que tanto a inversao espacial quanto areversao temporal deixam de ser simetrias validas nas leis da Fısica, seexistir o monopolo magnetico.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 253 / 603
Citando Jackson, 2nd ed., John Wiley, 1975, p. 253,
“Since the symmetries of ρm under both spatial inversionand time reversal are opposite to those of ρe , it is anecessary consequence of the existence of a particle withboth electric and magnetic charges that space inversion andtime reversal are no longer valid symmetries of the laws ofphysics. It is a fact, of course, that these symmetryprinciples are not exactly valid in the realm of elementaryparticle physics, but present evidence is that their violationis extremely small and associated somehow with the weakinteractions.”
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 254 / 603
Breve discussao levando a condicao de quantizacao de
Dirac
Nesse contexto, cabe inserir uma breve discussao, cfe. Jackson, 2nded., John Wiley, 1975, p. 254 [por sua vez, baseado em Goldhaber,Phys. Rev. 140, B1407 (1965)].
Consideremos um monopolo com carga magnetica g , na origem dosistema de coordenadas.
Na posicao r, essa partıcula produziria uma inducao magnetica
B =g
r3r .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 255 / 603
x
rb
z
v
B
g
vt θm,q
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 256 / 603
Consideremos agora uma partıcula de massa m e carga eletrica q,passando com parametro de impacto b.
Essa partıcula sofreria uma forca magnetica dada por
F =q
cv × B .
Vamos supor que a partıcula mova-se com velocidade apontando nadirecao z ,
v = vez ,
⇒ Fy =q
cvB sin θ =
q
c
vg
(b2 + v2t2)
b
(b2 + v2t2)1/2
=q
c
vgb
(b2 + v2t2)3/2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 257 / 603
Supondo b suficientemente grande, de modo que a deflexao natrajetoria da partıcula pode ser desprezada, resulta um impulso nadirecao y , dado por
∆py =qgvb
c
∫ ∞
−∞dt
1
(b2 + v2t2)3/2=
2qg
cb.
Por outro lado, sabemos que L = r× p.
Usando r = (x , 0, z) = (b, 0, vt), teremos
Lx = ypz − zpy = −zpy ,
Ly = zpx − xpz ,
Lz = xpy − ypx = xpy = bpy .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 258 / 603
Assim, se o monopolo magnetico causa uma mudanca ∆py nomomentum da partıcula (como vimos acima), resultara uma mudanca∆Lz no momento angular,
∆Lz = b δpy =2qg
c.
Aqui e que entra a parte quantica do argumento. Como o momentoangular e quantizado, teremos ∆Lz = n~, ou seja,
2qg
c= n~, n = 0,±1,±2, . . .
Esse e um argumento semi-classico ligando a carga eletrica e a cargamagnetica a uma condicao de quantizacao, mas o tratamentoquantico de Dirac leva essencialmente ao mesmo resultado.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 259 / 603
Ondas eletromagneticas planas
Vamos considerar as equacoes de Maxwell, na ausencia de fontes,
∇ ·D = 0 , D = E+ 4πP , (179)
∇× E = −1
c∂tB , (180)
∇ ·B = 0 , (181)
∇×H =1
c∂tD , H = B− 4πM . (182)
Vamos agora considerar o caso de meios lineares, isotropicos ehomogeneos (ou seja, com µ e ǫ espacialmente uniformes)¡
D = ǫE , B = µH , (183)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 260 / 603
Nesse caso, chegamos a
∇ · (ǫE) = 0 , ⇒ ∇ · E = 0 , (184)
∇× E = −1
c∂tB , (185)
∇ ·B = 0 , (186)
∇×(B
µ
)
=1
c∂t (ǫE) , ⇒ ∇× B =
µǫ
c∂tE . (187)
Podemos escrever os campos como ondas planas, com amplitudescomplexas:
E(x, t) =1
2
[
Ee ikn·x−iωt + c .c .]
, n · n = 1
B(x, t) =1
2
[
Be ikn·x−iωt + c .c .]
, (188)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 261 / 603
Escrevendo dessa forma, garantimos que E e B sao quantidades reais.
. . .
Da eq. (187),
∇× (∇× E) +1
c∂t(∇× B) = 0
⇒ ∇(∇ · E︸ ︷︷ ︸
=0
)−∇2E+1
c∂t
[µǫ
c∂tE]
= 0 ,
⇒ ∇2E− µǫ
c2∂2t E = 0 . (189)
Procedendo de forma analoga, obtemos a mesma forma de equacaopara o campo B.
Prosseguindo, escrevemos os campos na forma (188), e portantotemos:
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 262 / 603
∇2E = ∇ · ∇E =∑
i
∂xi∂xi Eei∑
j knj xj−iωt
=∑
i
∂xi (inik)Eei∑
j knj xj−iωt = −k2∑
i
n2i E(x, t) = −k2 n · n E(x, t) .
⇒[
−k2 n · n+µǫ
c2ω2]
E = 0 ,
⇒ k2 n · n =µǫ
c2ω2 ,
ω2
k2=
c2
µǫ. (190)
Outros resultados simples e importantes podem ser obtidos:
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 263 / 603
∇ · E = 0 , ⇒∑
i
∂xiEi = 0 ;
da mesma forma,
∇ · B = 0 , ⇒∑
i
∂xiBi = 0 ,
⇒ n · E = 0 , n · B = 0 . (191)
Ou seja, vemos que E e B sao perpendiculares a direcao depropagacao (ondas transversais).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 264 / 603
Outro resultado importante,
∇× E+1
c∂tB = 0 , ⇒ ik n× E− i
ω
cB = 0 ,
⇒ B =ck
ωn× E
⇒ B =√µǫ n× E . (192)
Ou seja, E e B sao perpendiculares entre si.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 265 / 603
Descricao da onda e polarizacao
Podemos definir um sistema de vetores unitarios, (e1, e2,n), tal quen = e1 × e2
n
e1
e2
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 266 / 603
Podemos escrever duas formas de solucoes propagando-se na direcaon, com vetor de onda k:
1) E1 = e1 E1eik·x−iωt + c .c . , k = k n
B1 = e2
√µǫ
k|k× E1| =
√µǫ n× E1 .
n
E
B
1
1
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 267 / 603
2) E2 = e2 E2eik·x−iωt + c .c . , k = k n
B2 = −e1√µǫ
k|k× E2| =
√µǫ n× E2 .
B2
n
E2
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 268 / 603
Podemos agora escrever a solucao mais geral como combinacao dasduas solucoes anteriores:
E(x, t) =1
2(e1E1 + e2E2) e
ik·x−iωt + c .c . , (193)
onde E1 e E2 sao quantidades complexas (em geral). Formasemelhante pode ser escrita para o campo magnetico.
Casos particulares - Onda linearmente polarizada:Se E1 e E2 tem a mesma fase, os maximos e mınimos sao atingidossimultaneamente,
tan θ =E2
E1, θ = tan−1 E2
E1, |E| =
√
E 21 + E 2
2 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 269 / 603
θ
E
E
E
e
1
2
2e1
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 270 / 603
Onda circularmente polarizada:Se E1 e E2 tem a mesma magnitude, com diferenca de fase de 90,
E2 = E1 e±iπ/2 → ± iE1 .
Nesse caso, da eq. (193),
E(x, t) =1
2E1 (e1 ± ie2) e
ik·x−iωt + c .c . ,
E(x, t) =E0
2(e1 ± ie2) e
ik·x−iωt+iδ + c .c . ,
onde escrevemos E1 = E0eiδ.
Podemos tambem escrever em outra forma,
E(x, t) = e1 E0 cos(k · x− ωt + δ) ∓ e2 E0 sin(k · x− ωt + δ)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 271 / 603
Nomenclatura utilizada para descricao das ondas:
e1 + ie2 : representa rotacao no sentido anti-horario, quando vistade frente; e a onda circularmente polarizada a esquerda, ou onda
com helicidade positiva.
e1 − ie2 : representa rotacao no sentido horario, quando vista defrente; e a onda circularmente polarizada a direita, ou onda com
helicidade negativa.
Em geral, as ondas sao ditas elipticamente polarizadas.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 272 / 603
Ao inves de usar a equacao (193), que representa uma combinacaolinear de ondas linearmente polarizadas, podemos usar 2 ondascircularmente polarizadas.
Comecamos definindo os vetores e±:
e± =1√2(e1 ± ie2) , (194)
Os vetores e± sao tais que
e∗± · e± = 1 , ⇒ normalizados a unidade;
e∗± · e∓ = 0 , ⇒ ortogonais.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 273 / 603
Usando os vetores e± como base, podemos escrever:
E(x, t) =1
2(E+e+ + E−e−) e
ik·x−iωt + c .c . . (195)
Obviamente, se E+ e E− sao de mesma fase,
E(x, t) =1
2[(E+ + E−)e1 + i(E+ − E−)e2] e
ik·x−iωt + c .c . ,
Como ja vimos, resulta que
E(x, t) = e1(E+ + E−) cos(k · x− iωt)− e2(E+− E−) sin(k · x− iωt) ,
ou seja, uma onda elipticamente polarizada, com semi-eixos nasdirecoes de e1 e e2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 274 / 603
Se E+ e E− tem fases diferentes, a eq. (195) ainda representa umaonda elipticamente polarizada, porem com os semi-eixos da elipsegirados em relacao a e1 e e2 (Ver Jackson 1975, p. 275-276).
. . .
Vamos agora mencionar brevemente os parametros de Stokes. Saoquatro grandezas que podem ser determinadas atraves de medidas deintensidade, e que permitem a determinacao das amplitudes e fases,permitindo descrever as ondas, seja da forma (193), usando e1 e e2como bases, seja da forma (195), usando e+ e e−.
Temos as amplitudes E1 e E2, no caso da base (e1, e2); seja
E1 = a1eiδ1 , E2 = a2e
iδ2 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 275 / 603
Definimos os parametros de Stokes como:
s0 = |e1 · E|2 + |e2 · E|2 = a21 + a22 ;
s1 = |e1 · E|2 − |e2 · E|2 = a21 − a22 ; (196)
s2 = 2Re [(e1 · E)∗(e2 · E)] = 2Re[
a1e−iδ1a2e
iδ2]
= 2a1a2 cos(δ2−δ1) ;
s3 = 2Im [(e1 · E)∗(e2 · E)] = 2Im[
a1e−iδ1a2e
iδ2]
= 2a1a2 sin(δ2−δ1) .
Referencias sobre as tecnicas para medida de s0, s1, s2 e s3 podem serencontradas no Jackson (ex.: Stone, Radiation and Optics, 1963). Apartir de s0, s1, s2 e s3 podemos obter a1, a2, δ1 e δ2, e portantoescrever a solucao da equacao da onda na forma da equacao (193).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 276 / 603
Podemos tambem fazer uso da outra base, (e+, e−),
E+ = a+eiδ+ , E− = a−e
iδ− .
Para fazer a mudanca de base, escrevemos
e1 =1√2(e+ + e−) , e2 =
−i√2(e+ − e−) .
Dessa forma,
s0 =
∣∣∣∣
1√2(e+ + e−) · E
∣∣∣∣
2
+
∣∣∣∣
(−i)√2(e+ − e−) · E
∣∣∣∣
2
=1
2
∣∣∣a+e
iδ+ + a−eiδ−∣∣∣
2+
1
2
∣∣∣a+e
iδ+ − a−eiδ−∣∣∣
2
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 277 / 603
=1
2
[a2+ + a2− + 2a+a− cos(δ+ − δ−)
]+1
2
[a2+ + a2− − 2a+a− cos(δ+ − δ−)
],
⇒ s0 = a2+ + a2− = |e∗+ · E|2 + |e∗− · E|2 . (197)
Prosseguindo de maneira analoga,
s1 = · · · =1
2
[a2+ + a2− + 2a+a− cos(δ+ − δ−)
]
−1
2
[a2+ + a2− − 2a+a− cos(δ+ − δ−)
],
⇒ s1 = 2a+a− cos(δ+ − δ−) = 2Re[(e∗+ · E)∗(e∗− · E)
];
Mostra-se de forma similar que
s2 = 2a+a− sin(δ− − δ+) = 2Im[(e∗+ · E)∗(e∗− · E)
];
s3 = a2+ − a2− == |e∗+ · E|2 − |e∗− · E|2 ;
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 278 / 603
Reflexao e refracao em uma interface plana
Consideremos a interface plana de separacao entre dois meios:
r
r’i k’’
k’µ’ε’
µε k
n
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 279 / 603
Temos uma onda incidente, e podemos ter uma onda refratada e umaonda refletida.
Seja a onda incidente dada por (so a parte real e significativa):
E = E0ei(k·x−ωt) , B =
√µǫ
k× E
k.
Para onda refratada:
E′ = E′0e
i(k′·x−ωt) , B′ =√
µ′ǫ′k′ × E′
k ′.
Para onda refletida:
E′′ = E′′0e
i(k′′·x−ωt) , B′′ =√µǫ
k′′ × E′′
k ′′.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 280 / 603
Em qualquer ponto da interface (z = 0), as variacoes espaciaisprevistas pelas tres ondas devem coincidir:
(k′ · x)z=0 = (k′′ · x)z=0 = (k · x)z=0 ,
⇒ k sin i = k ′ sin r = k ′′ sin r ′ .
Como k ′′ = k , obtemos
r ′ = i ; (198)
ou seja, o angulo de reflexao e igual ao angulo de incidencia.
Seja o ındice de refracao, n = ck/ω, de modo que n =√µǫ,
n sin i = n′ sin r , (199)
a lei de Snell!
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 281 / 603
Temos tambem as condicoes de contorno que devem ser respeitadaspelos campos; considerando os meios 1 e 2,
(D2 −D1) · n = 4π σ
(B2 − B1) · n = 0
n× (E2 − E1) = 0
n× (H2 −H1) =4π
cK .
No caso, teremos σ = 0, K = 0,
D2 = ǫ′E′ , D1 = ǫ(E+ E′′) , E2 = E′ , E1 = E+ E′′ ,
H2 =B2
µ′=
B′
µ′, H1 =
B1
µ=
(B + B′′)µ
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 282 / 603
As condicoes de contorno nos levam portanto a
[ǫ′E′ − ǫ(E+ E′′)
]· n = 0
(B′ − B− B′′) · n = 0
n×(E′ − E− E′′) = 0 (200)
n×[B′
µ′− 1
µ
(B+B′′)
]
= 0 .
As equacoes em B podem ser re-escritas, usando a relacao entre B eE,
(√
µ′ǫ′k′ × E′
k ′−√µǫ k× E
k−√µǫ k′′ × E′′
k
)
· n = 0 ;
n×[√
µ′ǫ′
µ′k′ × E′
k ′− 1
µ
(√µǫ
k× E
k+√µǫ
k′′ × E′′
k
)]
= 0 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 283 / 603
Como ja vimos, √µǫ
k=
√µ′ǫ′
k ′=
c
ω.
Usando esse resultado, as expressoes anteriores podem sersimplificadas. Usando tambem as condicoes(k · x)z=0 = (k′ · x)z=0 = (k′′ · x)z=0, os fatores exponenciais podemser cancelados, e podemos escrever as condicoes na interface emtermos das amplitudes. Ficamos com
[ǫ′E′
0 − ǫ(E0 + E′′0)]· n = 0
(k′ × E′
0 − k× E0 − k′′ × E′′0
)· n = 0 ;
n×(E′0 − E0 − E′′
0
)= 0 (201)
n×[1
µ′k′ × E′
0 −1
µ
(k× E0 + k′′ × E′′
0
)]
= 0 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 284 / 603
As equacoes (201) devem ser usadas na determinacao das amplitudesdos campos.O procedimento usual consiste em analisar dois casos limites:
E perpendicular ao plano de incidencia;
E paralelo ao plano de incidencia.
Obs.: Deve ser tomado cuidado com a correta interpretacao daexpressao “plano de incidencia”, nesse contexto.
Um caso de polarizacao mais geral pode ser analisado comocombinacao dos resultados obtidos nesses dois casos.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 285 / 603
Vamos entao considerar o caso de E paralelo ao plano de incidencia:
r
r’i
µ’ε’
µε
n
E E’’
E’
n n^ ^
n
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 286 / 603
Considerando a onda incidente,
|E× n| = E sin |90 − i | = E cos i .
Procedendo da mesma forma para as outras ondas, podemos escreverem outra forma as duas ultimas equacoes (201). Partido da 3a. dasequacoes,
E ′0 cos r−E0 cos i−E ′′
0 (− cos i) = 0 ⇒ cos i(E0−E ′′0 )−cos rE ′
0 = 0 .
Para determinacao dos sinais dos diversos termos, levamos em contaque n× E e “para fora da pagina”, se o plano estiver “na pagina”, eque n× E′′ e “para dentro”.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 287 / 603
Da 4a. equacao (201),[1
µ
(kE0 + k ′′E ′′
0
)− 1
µ′(k ′E ′
0
)]
e⊥ × n
⇒ 1
µk(E0 + E ′′
0
)− 1
µ′(k ′E ′
0
)= 0 .
Na expressao acima, e⊥ indica perpendicular ao plano.
Usando√µǫ = ck/ω obtemos k/µ = (ω/c)
√
ǫ/µ, de modo que aequacao anterior fica dada por
√ǫ
µ
(E0 + E ′′
0
)−√
ǫ′
µ′E ′0 = 0 .
A partir da outra equacao, temos
E ′0 =
(E0 − E ′′
0
) cos i
cos r.
Usando esse resultado na equacao anterior,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 288 / 603
√ǫ
µ
(E0 + E ′′
0
)−√
ǫ′
µ′(E0 − E ′′
0
) cos i
cos r= 0 ,
E ′′0
(√ǫ
µ+
√
ǫ′
µ′cos i
cosr
)
=
√
ǫ′
µ′cos i
cosrE0 −
√ǫ
µE0 .
Multiplicando por µ cos r ,
E ′′0
(
n cos r +µ
µ′n′ cos i
)
= E0
(µ
µ′n′ cos i − n cos r
)
.
Agora, usamos
n′ cos r = n′√
1− sin2 r =√
n′2 − n′2 sin2 r =√
n′2 − n2 sin2 i .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 289 / 603
Portanto,
E ′′0
(n
n′
√
n′2 − n2 sin2 i +µ
µ′n′ cos i
)
= E0
(µ
µ′n′ cos i − n
n′
√
n′2 − n2 sin2 i
)
.
Multiplicando por n′,
E ′′0
(
n√
n′2 − n2 sin2 i +µ
µ′n′2 cos i
)
= E0
(µ
µ′n′2 cos i − n
√
n′2 − n2 sin2 i
)
,
o que leva a
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 290 / 603
. . .
E ′′0
E0=
µµ′ n
′2 cos i − n√
n′2 − n2 sin2 i
µµ′ n
′2 cos i + n√
n′2 − n2 sin2 i.
Essa e a segunda das eqs. (7-41), do Jackson, 2a. ed. [2].
. . .
No caso de frequencias oticas, µ/µ′ ≃ 1. Nesse caso, e possıvel ter
E ′′0 = 0, se o angulo for tal que n′2 cos i = n
√
n′2 − n2 sin2 i ,
(n′
n
)4
cos2 i =
(n′
n
)2
− sin2 i ,
n′2
n2=
1±√
1− 4 cos2 i sin2 i
2 cos2 i.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 291 / 603
Usando uma relacao trigonometrica (e depois outra),
sin(2i) = 2 sin i cos i ,
⇒ n′2
n2=
1± cos(2i)
2 cos2 i=
1± (2 cos2 i − 1)
2 cos2 i.
O sinal “+” nos leva a (n′/n)2 = 1; ou seja, o mesmo meio!
O sinal “−” nos leva a
(n′
n
)2
=2− 2 cos2 i
2 cos2 i= tan2 i ⇒ n′
n= tan i ;
esse angulo e o angulo de Brewster,
iB = tan−1
(n′
n
)
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 292 / 603
Uma consequencia que fica prevista por essa analise e a ocorrencia dapolarizacao por reflexao:
Suponhamos um raio de luz nao polarizada incidindo com i ≃ iB , sobrea superfıcie de separacao entre dois meios.A luz pode ser encarada como constituıda por duas componentes, umacom polarizacao paralela ao plano de incidencia, e outra compolarizacao perpendicular a esse plano.A componente com E paralelo ao plano sera totalmente refratada (ouseja, a amplitude da onda refletida, E ′′
0 , sera nula).
Conclusao: o raio refletido so tera polarizacao perpendicular ao planode incidencia (tera sido polarizado por reflexao).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 293 / 603
Polarizacao por reflexao
µ’ε’
µεi iB>
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 294 / 603
Reflexao interna total
Outro aspecto interessante que podemos analisar e a ocorrencia dereflexao interna total.
Partimos da lei de Snell, n sin i = n′ sin r .Vemos que, se n > n′, teremos r > i .
Havera portanto um i = i0 para o qual r = π/2, e nao existe maisraio refratado.
µ’ε’
µε i0
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 295 / 603
Reflexao interna total . . .
Entretanto, nada impede que a luz incida sobre a superfıcie deseparacao com i > i0. Pela lei de Snell, portanto, teremos sin r > 1!Como nenhum angulo real r tem sin r > 1, r deve ser complexo!Admitindo isso,
cos r =√
1− sin2 r =
√
1− n2
n′2sin2 i =
√
1− sin2 i
sin2 i0,
cos r = i
√
sin2 i
sin2 i0− 1 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 296 / 603
Consideremos um ponto x = (x , 0, z), no meio 2:
rµ’ε’
µε
k’
x
zx
ik′ · x = ik ′(x sin r + z cos r) = ik ′xsin i
sin i0− k ′z
√
sin2 i
sin2 i0− 1 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 297 / 603
Usando a expressao anterior como argumento em e i(k·x−ωt), vemosque:
o primeiro termo representa movimento oscilatorio ao longo dainterface de separacao dos meios;o segundo termo representa atenuacao alem da interface.
Obs. 1: e importante ressaltar que se trata de atenuacao, naoabsorcao. Voltaremos brevemente a falar nesse tema.
Obs. 2: calculando-se a projecao do vetor de Poynting na direcao danormal, S · n = (c/8π)Re[(E′ ×H′∗) · n], verifica-se que essaquantidade e nula; nao ha fluxo de energia para o meio 2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 298 / 603
Otica geometrica
Vamos agora introduzir uma discussao um pouco mais geral a respeitoda otica geometrica. A abordagem esta inspirada naquela da Ref. [3].
Para uma onda plana, cada componente dos campos E ou B pode serescrita na forma
f = A e i(k·x−ωt+δ) . (202)
No caso de nao termos uma onda plana, apenas uma forma que seaproxima de uma onda plana, podemos escrever
f (x, t) = A(x, t) e iψ(x,t) , (203)
onde A(x, t) varia lentamente tanto no espaco quanto no tempo, eonde ψ(x, t) e o chamado eikonal do sistema.
Em regioes suficientemente pequenas, e para tempos suficientementepequenos, podemos expandir o eikonal em serie,
ψ(x, t) = ψ0 + x · ∇ψ + t ∂tψ . (204)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 299 / 603
No caso limite, devemos recair na eq. (202), de modo que podemosfazer a identificacao
k = ∇ψ , e ω = −∂ψ∂t
. (205)
Por outro lado, sabemos que k2 = µǫ(ω2/c2); no vacuo, k2 = ω2/c2,de modo que k2 − ω2/c2 = 0. Usando a eq. (205) nessa equacao,obtemos a chamada equacao do eikonal,
(∇ψ)2 − 1
c2(∂tψ)
2 = 0 . (206)
Podemos agora fazer um paralelo com a Mecanica. A partir doformalismo Hamiltoniano, podemos obter a equacao deHamilton-Jacobi para descrever o movimento de uma partıcula (ver olivro de H. Goldstein, por exemplo):
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 300 / 603
Suponhamos uma transformacao canonica:
(q, p) ⇒ (Q,P) , tal que Q e P constantes.
Teremos
Q =∂H ′
∂P= 0 , P = −∂H
′
∂Q= 0 .
Tomamos H ′ = H + ∂tS = 0, com p = ∂qS , onde S e a funcaogeradora,
⇒ H(q, ∂qS , t)+∂tS = 0 , (eq. de Hamilton-Jacobi). (207)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 301 / 603
Ou seja, temos p = ∂qS e H = −∂tS ; em tres dimensoes espaciais,isso corresponde a p = ∇S e H = −∂tS .Por outro lado, como ja vimos, no caso de ondas tambem temosexpressoes similares relacionadas ao gradiente ea derivada temporal.
Coletando as expressoes para partıculas, na Mecanica, e para ondas,na otica, temos
p = ∇S , e H = −∂S∂t
.
k = ∇ψ , e ω = −∂ψ∂t
. (208)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 302 / 603
Fazendo uma analogia, relacionamos k com p e ω com H.
Prosseguindo na analogia, temos
p = −∇H , x = ∇pH ,
⇒ k = −∇ω , x = ∇kω .
Usando a relacao de dispersao, Λ(k, x, ω) = 0, obtemos
∇Λ + (∂ωΛ) ∇ω = 0 , ⇒ k =∇Λ∂ωΛ
,
∇kΛ + (∂ωΛ) ∇kω = 0 , ⇒ x = −∇kΛ
∂ωΛ. (209)
Essas sao equacoes para a “trajetoria do raio”, na otica geometrica (o“ray tracing”).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 303 / 603
Propriedades dieletricas dos materiais; dispersao
Anteriormente falamos em atenuacao espacial, ao tratar da reflexaointerna total.
Vamos agora considerar outras situacoes, imaginando que uma ondase propaga no meio com um numero de onda complexo. Seja entao
k = β + iα
2. (210)
Se a propagacao e na direcao x , E (x) = E0 e i(kx−ωt),
⇒ E0 e i(βx−ωt)e−(α/2) x .
O ultimo fator, exp(−αx/2), evidencia que a amplitude da onda vaisendo atenuada a medida que a onda se propaga. O primeiro fator, eclaro, representa uma onda propagante.
Lembramos agora que temos uma relacao entre k e ω,
k2 =ω2
c2µǫ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 304 / 603
Vamos tomar µ ≃ 1 (o que e muito adequado, p. ex., parafrequencias oticas),
k2 =ω2
c2ǫ .
(
β2 − α2
4+ i αβ
)
=ω2
c2ǫ =
ω2
c2[Reǫ+ i Imǫ] ,
β2 − α2
4=ω2
c2Re ǫ ,
αβ =ω2
c2Im ǫ . (211)
Se α << β, teremos β2 = (ω2/c2) Re ǫ, αβ = β2 Imǫ/Reǫ ,
⇒ β =ω
c
√
Re ǫ(ω) , α =Im ǫ(ω)
Re ǫ(ω)β .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 305 / 603
Concluımos que a existencia de atenuacao (ou absorcao) de uma ondaao se propagar em um meio esta ligada a existencia de uma constantedieletrica complexa.
Vamos agora discutir um pouco sobre essa possibilidade; tomando aequacao de Ampere-Maxwell, e supondo J = σE, com D = ǫ0E:
∇×H =4π
cJ+
1
c∂tD =
4π
cσE+
ǫ0c∂tE .
Supondo E ∼ e−iωt , ∂tE = −iωE ,
∇×H =4π
cσE− i
ω
cǫ0E = −i ω
c
[
ǫ0 + i4πσ
ω
]
E . (212)
Por outro lado, se considerarmos que nao ha cargas “livres”, e que acondutividade passa a ser descrita dentro da constante dieletrica domeio, teremos D = ǫ E,
∇×H = −i ωcǫE .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 306 / 603
Comparando as duas expressoes obtidas, identificamos a constante
dieletrica complexa:
ǫ = ǫ0 + i4πσ
ω. (213)
. . .
Vamos agora discutir um outro aspecto da questao: para a obtencaode ǫ, ou de σ, e necessario um modelo para descrever o meio emquestao.
Por exemplo, sabemos que D = ǫE = E+ 4πP = E(1 + 4π χe).
Se tivermos N moleculas por unidade de volume, teremos
P = N p .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 307 / 603
Supondo cada molecula constituıda de Z eletrons, harmonicamenteligados (possuindo entao uma frequencia caracterıstica), teremos aequacao de movimento para um eletron j , sujeito ao campo E,
m[x+ ω2
cx+ γc x]= −eE(x, t) ,
onde ωc representa a frequencia caracterıstica de oscilacao e γcrepresenta um termo de dissipacao de energia (que leva a umdecaimento da posicao, x ∼ e−γc t .Entre os Z eletrons da molecula, ha fj eletrons com uma dadafrequencia caracterıstica, que chamaremos de ωj (e portanto comuma constante de dissipacao γj). Ou seja, fj eletrons com um certotipo de ligacao na molecula.
Supondo x ∼ e−iωt ,
x = −eE
m
1
−ω2 + ω2j − iωγj
.
⇒ p =
∫
d3x ρx ⇒ p = −ex =e2E
m
1
(−ω2 + ω2j − iωγj)
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 308 / 603
Portanto,
P = N∑
j
pj = N∑
j
fj(−exj ) = Ne2E
m
∑
j
fj(−ω2 + ω2
j − iωγj).
Assim,
ǫ = 1+ 4π χe = 1+4π Ne2
m
∑
j
fj(−ω2 + ω2
j − iωγj)= ǫ(ω) .
(214)
Como vemos, obtivemos ǫ funcao de ω, o que representa um meiocom dispersao.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 309 / 603
Se tivermos um certo numero de eletrons que sao livres, por molecula,podemos denotar esse numero por f0, e teremos
ǫ(ω) = 1+4π Ne2
m
∑
j(ligados)
fj(−ω2 + ω2
j − iωγj)− 4π Ne2
m
f0ω(ω + iγ0)
,
onde γ0 representa a atenuacao por eletrons “livres”.
Podemos batizar o primeiro termo como ǫ0, e escre
ǫ(ω) = ǫ0(ω) + i4π Ne2
m
f0ω(γ0 − iω)
.
Comparando com a expressao que tınhamos usado,
ǫ = ǫ0 + i4π σ
ω,
podemos identificar uma expressao para a condutividade,
σ(ω) =Ne2 f0
m(γ0 − iω). (215)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 310 / 603
A expressao (215) representa o modelo de Drude (1900) para acondutividade. Nela, (Nf0) e o numero de eletrons livres por unidadede volume.
. . .
Voltando ao nosso modelo simplificado para a constante dieletrica:
ǫ(ω) = 1 +4π Ne2
m
∑
j
fj
(−ω2 + ω2j − iωγj)
.
Multiplicando numerador e denominador pelo complexo conjugado dodenominador,
ǫ(ω) = 1 +4π Ne2
m
∑
j
fj(ω2j − ω2 + iωγj)
(ω2j − ω2)2 + ω2γ2j
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 311 / 603
Separando parte real e imaginaria,
ǫ(ω) = 1 +4π Ne2
m
∑
j
fj(ω2j − ω2)
(ω2j − ω2)2 + ω2γ2j
+i4π Ne2
mω∑
j
fj γj
(ω2j − ω2)2 + ω2γ2j
.
Para ω longe de ωj , em geral γj pode ser desprezado; ou seja, para|γj | << |ω2
j − ω2|, podemos escrever em forma simplificada:
ǫ(ω) ≃ 1 +4π Ne2
m
∑
j
fj(ω2
j − ω2)+ i
4π Ne2
mω∑
j
fj γj(ω2
j − ω2)2.
Vemos que a parte imaginaria de ǫ(ω) torna-se mais significativaperto das ressonancias (onde ocorre a absorcao).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 312 / 603
Empregando abordagem semelhante para a condutividade no modelode Drude:
σ(ω) =Ne2 f0m
(γ0 + iω)
γ20 + ω2.
Para ω2 << γ20 , σ e essencialmente real e independente da frequencia(nao dispersiva, portanto).
Para ω → γ0, ou alem, a condutividade passa a ter parte imaginariasignificativa, e apresenta dispersao.
. . .
Limite de alta frequencia:
Se ω2 >> ω2j (qualquer j), e desprezando a parte imaginaria, temos:
ǫ(ω) ≃ 1− 4πNe2
m
1
ω2
∑
j
fj
︸ ︷︷ ︸
Z
= 1−ω2p
ω2,
onde ω2p = 4πNZe2/m e a chamada frequencia de plasma.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 313 / 603
Nesse caso (de alta frequencia) a relacao de dispersao fica dada por
k2 =ω2
c2ǫ =
ω2
c2
(
1−ω2p
ω2
)
,
c2k2 = ω2 − ω2p → k =
1
c
√
ω2 − ω2p .
Para ω2 > ω2p, k e real; ou seja, ha propagacao da onda. Cabe notar
que, para ω → ωp, λ→∞.
Para ω2 < ω2p, k e imaginario; ou seja, ha atenuacao da onda
(“cut-off”). Trata-se de atenuacao, nao de absorcao!
Obs.: Para ω < ωp, podemos escrever
k =1
c
√
ω2 − ω2p =
i
c
√
ω2p − ω2 =
i
δ, onde
δ =c
(ω2p − ω2)1/2
.
Vemos que no caso de ω < ωp, E ∼ e−x/δ; para ω → ωp, δ →∞.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 314 / 603
Ondas em meios condutores ou dissipativos
Ja vimos que a constante dieletrica em um condutor (onde J = σE)pode ser dada pela eq. (213),
ǫ = ǫ0 + i4πσ
ω,
(esta constante dieletrica e complexa).
Por outro lado, pode-se separar formalmente ǫ em duas partes, uma“constante dieletrica” real e uma “condutividade”.
Nesse caso, temos:
k2 =ω2
c2µǫ =
ω2
c2µǫ0
(
1 + i4πσ
ǫ0ω
)
,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 315 / 603
Podemos prosseguir, chamando simplesmente de ǫ a parte real, comofaz o Jackson a partir desse ponto; obtemos a eq. (7.34) do Jackson[2]:
k2 =ω2
c2µǫ
(
1 + i4πσ
ǫω
)
. (216)
Extraindo a raiz quadrada, podemos escrever:
k = β + iα
2, onde (217)
β =√µǫω
c
√
1 +(4πσωǫ
)2+ 1
2
1/2
α
2=√µǫω
c
√
1 +(4πσωǫ
)2 − 1
2
1/2
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 316 / 603
Seja
a =√µǫω
c
1√2, x =
4πσ
ωǫ;
β = a[√
1 + x2 + 1]1/2
,α
2= a
[√
1 + x2 − 1]1/2
Usando a expressao de k ,
k2 = β2 − α2
4+ i αβ
= a2[√
1 + x2 + 1]
− a2[√
1 + x2 − 1]
+ i 2a2[(1 + x2)− 1
]1/2
= 2a2 + i 2a2x = 2a2(1 + ix) ,
k2 =ω2
c2µǫ
(
1 + i4πσ
ǫω
)
, (OK).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 317 / 603
Os dois casos limites sao interessantes:
1) Mau condutor, [x = (4πσ/ωǫ) << 1]:
β ≃ √µǫωc
[1 + x2/2 + 1
2
]1/2
≃ √µǫωc,
α
2≃ √µǫω
c
[1 + x2/2− 1
2
]1/2
≃ √µǫ ω2c
(4πσ
ωǫ
)
=2π
c
õ
ǫσ .
Vemos que a atenuacao e independente da frequencia (exceto viaσ(ω) ou ǫ(ω)), e que
∣∣∣α
2
∣∣∣ << |β| .
1) Bom condutor, [x = (4πσ/ωǫ) >> 1]:
α
2≃ β ≃ √µǫω
c
1√2
(4πσ
ωǫ
)1/2
=
√µ 2πσω
c, ⇒ k ≃ (1 + i)
√2πωµσ
c. (218)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 318 / 603
Campos em condutores
Podemos escrever
E = E0 e i [βn·x−ωt]e−(α/2)n·x
H = H0 e i [βn·x−ωt]e−(α/2)n·x ; (219)
Da lei de Faraday,
µH0 =c
ω
(
β + iα
2
)
n× E0 ;
Vemos que H0 e perpendicular a E0, mas fora de fase!
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 319 / 603
Distancia de penetracao (skin depth):
Na eq. (219) temos E ou H ∼ e−(α/2)n·x.
Ou seja, apos uma distancia δ = 2/α, a amplitude da onda tera caıdoa e−1 do seu valor na superfıcie do condutor.
Para bons condutores, usando a eq. (218),
δ ≃ c√2πωµσ
.
Observacoes interessantes: No caso do cobre, como exemplo,temos
ω ≃ 60 cps, δ ≃ 0, 85 cm;
ω ≃ 100 Mcps, δ ≃ 0, 71 × 10−3 cm.
Conclusao: Em circuitos de alta-frequencia, a corrente flui apenas nasuperfıcies dos condutores.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 320 / 603
Superposicao de ondas planas
Em um dado meio, temos uma conexao entre ω e k ; podemos dizerque ω = ω(k), ou k = k(ω) (tratamento uni-dimensional).
Uma solucao geral pode ser construıda como combinacao linear deondas planas:
u(x , t) =1√2π
∫ ∞
−∞dk A(k)e i [kx−ω(k)t] . (220)
Portanto,
u(x , 0) =1√2π
∫ ∞
−∞dk A(k)e i kx ,
A(k) =1√2π
∫ ∞
−∞dx u(x , 0)e−i kx . (221)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 321 / 603
Seja uma situacao em que A(k) e significativa apenas em torno dek = k0, e que ω(k) tenha dependencia suficientemente suave em kpara que nessa regiao se possa escrever
ω(k) ≃ ω(k0) +dω
dk
∣∣∣∣k0
(k − k0) ≡ ω0 + ω′0(k − k0) . (222)
Dessa forma, voltando a eq. (220),
u(x , t) ≃ 1√2π
∫ ∞
−∞dk A(k)e i [kx−ω0t−ω′
0(k−k0)t]
=1√2π
e i [k0ω′0−ω0]t
∫ ∞
−∞dk A(k)e i k[x−ω′
0t]
︸ ︷︷ ︸
u[x−ω′0t,0]
√2π
=⇒ u(x , t) = u[x − ω′0t, 0]
︸ ︷︷ ︸
forma do pulso
e i [k0ω′0−ω0]t
︸ ︷︷ ︸
fase oscilante
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 322 / 603
A velocidade com que a forma do pulso viaja e dada pela velocidade
de grupo:
vg ≡ ω′0 =
dω
dk
∣∣∣∣k0
. (223)
Fazendo uma analise em termos de n(ω), algumas consideracoesgerais podem ser obtidas a respeito da velocidade de grupo.
Para o nosso caso de meios lineares e isotropicos, temos:
v =c√µǫ
=c
n(k)=ω(k)
k⇒ ω(k) =
ck
n(k).
Portanto,
dω
dk=
cn(k)− ck n′(k)n2(k)
=c
n(k)− ωn′
n(k),
n(k)dω
dk= c − ω dn
dω
dω
dk= c − ω dn
dωω′ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 323 / 603
Isolando a vel. de grupo:
dω
dk
[
n + ωdn
dω
]
= c ,
dω
dk= vg =
c
n + ω dndω
. (224)
Se n > 1 e dn/dω > 0, teremos vg < c ; e a chamada dispersao
normal.
Se dn/dω < 0, vg pode ficar maior do que c! Nesse caso, perde osignificado de velocidade do fluxo de energia.
Duas figuras podem ajudar a visualizar essas duas situacoes:
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 324 / 603
ω
anomala
~
^
~
n( )
ω
1
Regiao de dispersao
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 325 / 603
anomala
~
^
~ ω
1
vg( )/cω
Regiao de dispersao
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 326 / 603
Obs.: a dispersao anomala ocorre perto da ressonancia; como javimos, nesses casos temos
ǫ(ω) ≃ 1 +cte.
ω2j − ω2
.
Ve-se que ǫ vai a infinito para ω → ω−j , e a menos infinito para
ω → ω+j .
Com a inclusao de γ (dissipacao), a curva e suavizada. O resultado ea formacao de uma regiao onde dn/dω < 0 (e de valor grande). Aıpode entao ocorrer a difusao anomala.
Cabe lembrar que n(ω) =√
ǫ(ω)µ ≃√
ǫ(µ), se µ ≃ 1.
Uma figura ajuda a ilustrar esse ponto:
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 327 / 603
Inclusao de dissipaçao ( )~~ γ
ωj ω
ε
Dispersao anomala~ ^
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 328 / 603
Pacotes de onda em meios dispersivos
Seja um pulso em um meio dispersivo, nao dissipativo.
Vamos escrever o pulso explicitamente como uma quantidade real:
u(x , t) =1
2
1√2π
∫ ∞
−∞dk A(k)e i [kx−ω(k)t] + c .c . , (225)
u(x , 0) =1
2
1√2π
∫ ∞
−∞dk A(k)e i [kx ] + c .c . ,
⇒ 1√2π
∫ ∞
−∞dx e−ik′xu(x , 0) =
1
2
1
2π
∫ ∞
−∞dk A(k)
∫ ∞
∞dx e i(k−k′)x
+1
2
1
2π
∫ ∞
−∞dk A∗(k)
∫ ∞
∞dx e−i(k+k′)x
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 329 / 603
1
2A(k) +
1
2A∗(−k) = 1√
2π
∫ ∞
−∞dx u(x , 0)e−ikx , (226)
Da eq. (225),
∂tu(x , 0) = −i
2
1√2π
∫ ∞
−∞dk A(k)ω(k)e i [kx ] + c .c . ,
⇒ 1√2π
∫ ∞
−∞dx e−ik′x∂tu(x , 0) = −
i
2
1
2π
∫ ∞
−∞dk A(k)ω(k)
×∫ ∞
∞dx e i(k−k′)x +
i
2
1
2π
∫ ∞
−∞dk A∗(k)ω∗(k)
∫ ∞
∞dx e−i(k+k′)x .
ω∗(k) = ω(k) (como o sistema e nao dissipativo, ω e real).
− i
2A(k)ω(k)+
i
2A∗(−k)ω(k) = 1√
2π
∫ ∞
−∞dx e−ikx∂tu(x , 0) .
(227)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 330 / 603
Multiplicando a (227) por i/ω(k) e somando com a (226),
A(k) =1√2π
∫ ∞
−∞dx e−ikx
[
u(x , 0) +i
ω(k)∂tu(x , 0)
]
.
(228)
Como um exemplo, podemos considerar o “pacote” dado por
u(x , 0) = e−x2/2L2 cos(k0x) , ∂tu(x , 0) = 0 . (229)
Alem disso, seja
ω(k) = ν
(
1 +a2
2k2)
. (230)
(ver Jackson, 2a. ed., p. 303 [2]).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 331 / 603
Nesse caso, mostra-se que vg = νa2k0 e
u(x , t) =1
2Re
exp
−[
(x−νa2k0t)22L2(1+ia2νt/L2)
]
(1 + ia2νt/L2)1/2e i[k0x−ν(1+a2k20/2)t]
+ [k0 → (−k0)]
=1
2Re
exp
−[(x−vg t)2(1−ia2νt/L2)
2L2[1+(a2νt/L2)2]
]
(1 + ia2νt/L2)1/2e i [k0x−ω(k0)t] + [k0 → (−k0)]
Vemos que o segundo fator do primeiro termo representa uma ondaplana com (ω0, k0).
No primeiro fator, multiplicamos numerador e denominador doargumento da funcao exponencial pelo complexo conjugado dodenominador. Vemos que esse primeiro fator representa umaamplitude complexa.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 332 / 603
A amplitude complexa pode ser escrita da forma seguinte:
exp
−[
(x − vg t)2
2L2 [1 + (a2νt/L2)2]
]
exp
i
[
(x − vg t)2(a2νt/L2
)
2L2 [1 + (a2νt/L2)2]
]
.
A parte real dessa amplitude complexa contem
e−(x−vg t)2/(2L(t)2) , onde L(t) =
[
L2 +
(a2νt
L
)2]1/2
.
Vemos que L cresce com o tempo!
Resultado similar, valido para ω(k) mais geral, pode ser obtidoconsiderando mais termos na expressao de ω(k):
ω(k) ≃ ω(k0) + ω′0(k − k0) +
ω′′0
2(k − k0)
2 + . . . .
A inclusao do termo com a derivada segunda leva ao “spreading” dopacote.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 333 / 603
Conexao entre D e E e causalidade
Ao tratar das propriedades dieletricas de um certo meio, podemosadmitir uma conexao linear, porem nao-local no tempo, entre D e E;seja
D(x, t) = E(x, t) +
∫ ∞
−∞dt ′ G (t ′)E(x, t − t ′) (231)
⇒ 1√2π
∫
dω D(x, ω)e−iωt =1√2π
∫
dω E(x, ω)e−iωt
+1
2π
∫
dt ′∫
dω
∫
dω′ G (ω)E(x, ω′)e−iωt′e−iω′(t−t′)
=1√2π
∫
dω E(x, ω)e−iωt
+1
2π
∫
dω
∫
dω′ G (ω)E(x, ω′)e−iω′t
∫
dt ′ e−iωt′e iω′t′
︸ ︷︷ ︸
(2π)δ(ω−ω′)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 334 / 603
=1√2π
∫
dω E(x, ω)[
1 +√2πG (ω)
]
e−iωt ,
⇒ D(x, ω) = E(x, ω)[
1 +√2πG (ω)
]
︸ ︷︷ ︸
ǫ(ω)
.
Obtivemos entao:
G (ω) =1√2π
[ǫ(ω)− 1]
G (t) =1√2π
∫
dω G (ω)e−iωt
=1
2π
∫ ∞
−∞dω [ǫ(ω)− 1] e−iωt (232)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 335 / 603
Da eq. (232), ve-se que, se ǫ(ω) = ǫ (ou seja, sem dependencia emω), terıamos:
G (t) =1
2π(ǫ− 1)
∫
dω e−iωt = (ǫ− 1)δ(t)
⇒ D(x, t) = E(x, t) +
∫
dt ′ (ǫ− 1)δ(t ′) E(x, t − t ′)
= E(x, t) + (ǫ− 1)E(x, t) = ǫ E(x, t) .
Dispersao [ǫ(ω)] ⇔ Relacao nao local entre D e E
(nao local no tempo!) (233)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 336 / 603
Exemplo: seja um caso com apenas uma ressonancia,
ǫ(ω) = 1 +4πNZe2
m
1
ω20 − ω2 − iγω
,
ǫ(ω) = 1 +ω2p
ω20 − ω2 − iγω
. (234)
Usando a eq. (232), teremos
G (t) =1
2π
∫ ∞
−∞dω [ǫ(ω)− 1] e−iωt
=ω2p
2π
∫ ∞
−∞dω
e−iωt
ω20 − ω2 − iγω
. (235)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 337 / 603
A integral obtida tem polos em ω20 − ω2 − iγω = 0, ou seja, onde
ω =−iγ ±
√
−γ2 + 4ω20
2
= − iγ
2±√
ω20 −
γ2
4= ±ν0 − i
γ
2,
onde ν0 =
√
ω20 −
γ2
4.
Os polos tem parte real −ν0 e +ν0, e estao situados abaixo do eixo,no plano complexo.
Podemos escrever
G (t) = −ω2p
2π
∫ ∞
−∞dω
e−iωt
(ω − ω+)(ω − ω−).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 338 / 603
ω
ωIm
Re
ω+ω−
−γ/2
−ν ν0 0
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 339 / 603
Podemos tentar transformar a integral obtida em uma integral decontorno no plano complexo.
Se t < 0, teremos:
Fechando “por cima”: teremos Imω > 0, de modo quee−iωt → e Imωt = e−Imω|t| → 0.
Fechando “por baixo”: teremos Imω < 0, de modo quee−iωt → e Imωt = e−Imω|t| →∞.
Conclusao: se t < 0, o contorno deve ser fechado “por cima”, onde asemi-circunferencia acrescenta zero a integral.
Nao ha polos no semi-plano superior. Usando o teorema de Cauchy,concluımos entao que a integral e nula, para t < 0.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 340 / 603
Se t > 0, ao contrario, o contorno deve ser fechado “por baixo”, ondea semi-circunferencia acrescenta uma quantidade nula.
G (t) = −ω2p
2π
∫ ∞
−∞dω
e−iωt
(ω − ω+)(ω − ω−)
=ω2p
2π
∮
c
dωe−iωt
(ω − ω+)(ω − ω−),
onde o caminho C e uma semi-circunferencia no semi-plano inferior,percorrida no sentido anti-horario.
⇒ω2p
2π(2πi)
[e−iω+t
ω+ − ω−+
e−iω−t
ω− − ω+
]
= i ω2p
[
e−i(ν0−iγ/2)t
ν0 − i γ2 + ν0 + i γ2+
e−i(−ν0−iγ/2)t
−ν0 − i γ2 − ν0 + i γ2
]
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 341 / 603
=iω2
p
2ν0e−γt/2
[e−iν0t − e iν0t
]=
iω2p
2ν0e−γt/2 [−(2i) sin(ν0t)]
=ω2p
ν0e−γt/2 sin(ν0t) .
Ou seja,
G (t) =ω2p
ν0e−γt/2 sin(ν0t) Θ(t) , (236)
onde Θ(t) = 1 para t > 0 e Θ(t) = 0, para t < 0.
O efeito de nao localidade no tempo e importante em intervalos detempo da ordem de γ−1.
Ou seja, quanto maior e a dissipacao, mais rapidamente desaparece ainfluencia dos campos.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 342 / 603
Nao incluımos efeitos de nao localidade espacial.
Esses so devem ser importantes quando os efeitos dos campospuderem ser transmitidos a grandes distancias.
Como as dimensoes atomicas sao muito menores do que as dimensoestıpicas de variacao dos campos, usualmente e aproximacao muito boaconsiderar que os efeitos dos campos sao apenas locais.
Em condutores, entretanto, as cargas livres podem levar a informacaosobre os efeitos dos campos para outros pontos, e a constantedieletrica deve incorporar estes efeitos nao locais.
Tipicamente, nesses casos, o livre caminho medio entre colisoes (λ)fica maior do que o skin depth δ.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 343 / 603
Causalidade e propriedades analıticas da ǫ(ω)
Em nosso exemplo, obtivemos G (t) ∼ Θ(t); ou seja, podemos voltara eq. (231) e escrever, para um meio linear e isotropico:
D(x, t) = E(x, t) +
∫ ∞
0dt ′ G (t ′)E(x, t − t ′) .
Como os campos D e E sao reais, G (t) tambem deve ser. Quanto aconstante dieletrica ǫ(ω),
ǫ(ω)− 1 =√2πG (ω) =
∫ ∞
0dt G (t)e iωt ,
ǫ(ω) = 1 +
∫ ∞
0dt G (t)e iωt .
Portanto, no plano ω complexo,
ǫ(ω∗) = 1 +
∫ ∞
0dt G (t)e iω
∗t .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 344 / 603
Fazendo o conjugado dessa expressao,
ǫ∗(ω∗) = 1 +
∫ ∞
0dt G (t)e−iωt .
Por outro lado,
ǫ(−ω) = 1 +
∫ ∞
0dt G (t)e−iωt .
Obtivemos uma propriedade que vamos “guardar” para uso posterior:
ǫ(−ω) = ǫ∗(ω∗) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 345 / 603
Continuando: de
ǫ(ω) = 1 +
∫ ∞
0dt G (t)e iωt .
ve-se que ǫ(ω) e funcao analıtica no semi-plano superior, desde queG (t) seja finita para todo t.
No eixo real, e necessario que G (t)→ 0, para t →∞, para assegurara analiticidade de ǫ(ω) (no exemplo que vimos, G (t) ∼ e−γt/2).
Para condutores, ǫ = ǫ0 + i(4πσ/ω) = ǫ(ω),
ǫ(ω) = 1 +4πNe2
m
∑
j(lig .)
fj(ω2
j − ω2 − iωγj)︸ ︷︷ ︸
ǫ0(ω)
+i4πσ
ω
Portanto, ǫ(ω) tem um polo simples em ω = 0.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 346 / 603
Conclusao: Fora um possıvel polo simples em ω = 0, a constantedieletrica e analıtica para Im ω ≥ 0.
Vamos explorar algumas das consequencias deste fato:
Segundo a formula integral de Cauchy (Butkov, p. 65),“se f (z) e analıtica no interior e sobre um contorno C , e se o pontoz = a esta no interior de C , entao
∮
C
dz f (z)
z − a= 2π i f (a) .”
Portanto,
2π i [ǫ(z)− 1] =
∮
C
dω′ [ǫ(ω′)− 1]
ω′ − z, (237)
onde C e um contorno fechado no semi-plano superior de ω complexo.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 347 / 603
Supondo ǫ(ω) analıtica em ω = 0, por simplicidade (o que exclui, nocaso, os condutores), podemos escolher como contorno o eixo real euma semi-circunferencia no semi-plano superior.
Se ǫ(ω) se anula no infinito (ver os exemplos), esta integral e igual aintegral sobre o eixo real:
2π i [ǫ(z)− 1] =
∮
C
dω′ [ǫ(ω′)− 1]
ω′ − z
=
∫ ∞
−∞dω′ [ǫ(ω
′)− 1]
ω′ − z. (238)
(z no semi-plano superior).
Se z tende ao eixo ω real, z = ω + iǫ, de modo que
ǫ(z) = 1 +1
2πi
∫ ∞
−∞dω′ [ǫ(ω
′)− 1]
ω′ − ω − iǫ. (239)
(nao se deve confundir ǫ(ω) com a quantidade infinitesimal ǫ)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 348 / 603
Para prosseguir na analise, vamos considerar a seguinte integral
∫ b
a
dz f (z)
z − z0,
onde a e b sao pontos sobre o eixo real e a integral e feita sobre umcaminho no plano complexo, com z = x + iy .
Seja f (z) analıtica para −ǫ < y < ǫ, com ǫ→ 0, para a ≤ x ≤ b.
Consideremos o seguinte caminho:
ε ε xxb
δa C
C
1
2
0
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 349 / 603
Temos entao:∫
C1
dzf (z)
z − x0+
∫
C2
dxf (x − iǫ)
x − iǫ− x0= −2πi f (x0) .
Agora, um outro caminho:
ε ε xb
δa
C
1
2
x
0
C’
’
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 350 / 603
Para esse caminho,
∫
C ′1
dzf (z)
z − x0+
∫
C ′2
dxf (x − iǫ)
x − iǫ− x0= 0 .
Comparando os caminhos,
∫
C ′2
· · · =∫
C2
. . . .
Somando,
∫
C1
dzf (z)
z − x0+
∫
C ′1
dzf (z)
z − x0+ 2
∫ a
b
dxf (x − iǫ)
x − iǫ− x0= −2πi f (x0) .
(240)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 351 / 603
Analisando as duas integrais do lado esquerdo:
∫
C1
dzf (z)
z − x0=
∫ x0−δ
a
dxf (x)
x − x0+
∫ b
x0+δdx
f (x)
x − x0︸ ︷︷ ︸
P∫
dxf (x)x−x0
+
∫
u
dzf (z)
z − x0,
∫
C ′1
dzf (z)
z − x0=
∫ x0−δ
a
dxf (x)
x − x0+
∫ b
x0+δdx
f (x)
x − x0︸ ︷︷ ︸
P∫
dxf (x)x−x0
+
∫
d
dzf (z)
z − x0.
(os sımbolos u e d representam, respectivamente,semi-circunferencias passando por cima e por baixo do polo).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 352 / 603
Voltando a (240),
2P∫
dx f (x)
x − x0+
∫
u
dzf (z)
z − x0+
∫
d
dzf (z)
z − x0
+2
∫ a
b
dx f (x − iǫ)
x − iǫ− x0= −2πi f (x0) ,
⇒∫ b
a
dx f (x − iǫ)
x − iǫ− x0= P
∫dx f (x)
x − x0+ i π f (x0)
+1
2
[∫
u
dzf (z)
z − x0+
∫
d
dzf (z)
z − x0
]
︸ ︷︷ ︸
?
. (241)
Vamos em seguida discutir quantidades que aparecem no termoindicado com (?).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 353 / 603
Expansao da f (z) em serie de Taylor, em torno de x0:
f (z) = f (x0) +
∞∑
k=1
(z − x0)k
k!f (k)(x0)
⇒ f (z)
z − x0=
f (x0)
z − x0+
∞∑
k=1
(z − x0)k−1
k!f (k)(x0)
︸ ︷︷ ︸
g(z)
,
Portanto,
∫
u
dz f (z)
z − x0+
∫
d
dz f (z)
z − x0=
∫
u
dz f (x0)
z − x0+
∫
d
dz f (x0)
z − x0
+
∫
u
dz g(z) +
∫
d
dz g(z) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 354 / 603
Considerando uma semi-circunferencia de raio δ,
limδ→0
∫
u
dz g(z) = limδ→0
∫
d
dz g(z) = 0
(g(z) e analıtica, a integral entre dois pontos nao depende docaminho, apenas dos limites de integracao).
Portanto,
∫
u
dz f (z)
z − x0+
∫
d
dz f (z)
z − x0= −2π i f (x0)
2+ π i f (x0) = 0.
Logo, de (241),
∫ b
a
dx f (x − iǫ)
x − iǫ− x0= P
∫ b
a
dx f (x)
x − x0+ i π f (x0) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 355 / 603
O mesmo raciocınio poderia ser desenvolvido com os caminhospassando acima do eixo, ou seja,
∫ b
a
dx f (x + iǫ)
x + iǫ− x0= P
∫ b
a
dx f (x)
x − x0− i π f (x0) .
Portanto, se a→ −∞ e b →∞, temos
limǫ→0
∫ ∞
−∞
dx f (x)
x − x0 ± iǫ= P
∫ ∞
−∞
dx f (x)
x − x0∓ i π f (x0) . (242)
Formalmente, costuma-se escrever (para uso em uma integral):
1
x − x0 ± iǫ= P
(1
x − x0
)
∓ iπ δ(x − x0) . (243)
Essa e a chamada formula de Plemelj.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 356 / 603
Usando a formula de Plemelj na eq. (239), temos
ǫ(ω) = 1 +1
2πiP∫ ∞
−∞dω′ [ǫ(ω
′)− 1]
ω′ − ω +iπ
2π i[ǫ(ω)− 1] ,
ǫ(ω) = 1 +1
2πiP∫ ∞
−∞dω′ [ǫ(ω
′)− 1]
ω′ − ω +1
2ǫ(ω)− 1
2,
⇒ ǫ(ω) = 1 +1
πiP∫ ∞
−∞dω′ [ǫ(ω
′)− 1]
ω′ − ω .
Separando as partes real e imaginaria, temos as chamadas relacoesde Kramers-Kronig:
Re ǫ(ω) = 1 +1
πP∫ ∞
−∞dω′ Im ǫ(ω′)
ω′ − ω
Im ǫ(ω) = − 1
πP∫ ∞
−∞dω′ [Re ǫ(ω
′)− 1]
ω′ − ω .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 357 / 603
Podemos escrever essas relacoes em outra forma:
Como vimos, ǫ∗(ω∗) = ǫ(−ω); sobre o eixo real, como na (244), issosignifica ǫ∗(ω) = ǫ(−ω).Portanto, Re ǫ(ω)−i Imǫ(ω) = Re ǫ(−ω)+i Imǫ(−ω), ou seja,
Re ǫ(ω)= Re ǫ(−ω) ⇒ Re ǫ(ω) e funcao par em ω.Im ǫ(ω)= -Im ǫ(−ω) ⇒ Im ǫ(ω) e funcao ımpar em ω.
Logo,
Re ǫ(ω) = 1 +1
πP∫ ∞
−∞dω′ Im ǫ(ω′) (ω′ + ω)
ω′2 − ω2
O integrando do termo com ω e ımpar, de modo que a integral enula. Resulta . . .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 358 / 603
. . .
Re ǫ(ω) = 1 +2
πP∫ ∞
0dω′ Im ǫ(ω′) ω′
ω′2 − ω2.
Analogamente,
Im ǫ(ω) = − 1
πP∫ ∞
−∞dω′ [Re ǫ(ω
′)− 1] (ω′ + ω)
ω′2 − ω2.
O integrando do termo com ω′ e ımpar, de modo que a integral enula. Resulta
Im ǫ(ω) = −2ω
πP∫ ∞
0dω′ [Re ǫ(ω
′)− 1]
ω′2 − ω2.
Em qualquer uma das formas, as relacoes de Kramers-Kronigevidenciam uma conexao entre as propriedades dispersivas [Re ǫ(ω)] eabsortivas [Im ǫ(ω)] do meio.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 359 / 603
Exemplos, propriedades dieletricas
Aqui podemos apresentar um exemplo a respeito da descricao depropriedades dieletricas de um meio.
Vamos entao discutir propriedades de ondas em plasmas.
Para comecar, vamos supor um plasma infinito e homogeneo, ediscutir o caso de ondas eletrostaticas (E 6= 0, B = 0)propagando-se na direcao x .
Vamos considerar B0 = 0, T = 0, e ıons fixos (oscilacoes de altafrequencia).
Tratando o plasma como uma combinacao de dois fluidos, vamosescrever as equacoes associadas ao fluido de eletrons e a equacao deMaxwell utilizada para obter o campo eletrico.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 360 / 603
As equacoes utilizadas sao
mne [∂tve + (ve · ∇) ve ] = −eneE
∂tne +∇ · ((neve) = 0
∇ · E = 4πe(ni − ne)
Vamos considerar oscilacoes de pequena amplitude,
ne = n0 + n1 (ni = n0)
E = E0 + E1
ve = v0 + v1
Consideremos entao E0 = 0, v0 = 0, ∇n0 = 0, ∂tn0 = 0, ∂tv0 = 0, e∂tE0 = 0.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 361 / 603
Ficamos com
m(n0 + n1) [∂tv1 + (v1 · ∇) v1] = −e(n0 + n1)E1
∂tn1 +∇ · [(n0 + n1)v1] = 0
∇ · E1 = −4πen1Linearizando,
m [∂tv1] = −eE1
∂tn1 + n0∇ · v1 = 0
∇ · E1 = −4πen1
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 362 / 603
Considerando quantidades flutuantes ≃ e i(kx−ωt), e movimento nadirecao x ,
iωmv1 = −eE1
−iωn1 + in0kv1 = 0
ikE1 = −4πen1Da 3a. equacao obtemos
n1 = −ikE1
4πe
Substituindo na 2a. equacao,
(
−i kE1
4πe
)
(−iω) = −n0ikv1 ⇒ v1 =kE1
4πe
ω
n0ik= −i E1ω
4πn0e
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 363 / 603
Usando os resultados obtidos na 1a. equacao,
iωm
(
−i E1ω
4πn0e
)
= eE1, ⇒ ω2mE1
4πn0e= eE1
⇒ ω =
(4πn0e
2
m
)1/2
, (freq. angular de plasma, ωp)
Obs.: Se T 6= 0, terıamos no lugar da primeira equacao (linearizada)
mn0∂tv1 = −en0E1 − 3kBT∂xn1
⇒ ω2 = ω2p + 3
kBT
mk2
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 364 / 603
Outro exemplo: consideremos o caso de ondas eletromagneticas noplasma.
Novamente, consideremos B0 = 0, T = 0, e ıons fixos, com E0 = 0.
Consideremos tambem pequenas oscilacoes.
Teremos
∇× E1 = −1
c∂tB1
∇× B1 =1
c∂tE1 +
4π
cJ1
Aplicando o rotacional na 1a. e usando a 2a.,
∇× (∇× E1) = −1
c∂t
(1
c∂tE1 +
4π
cJ1
)
Portanto,
∇(∇ · E1︸ ︷︷ ︸
=0
)−∇2E1 = −1
c2∂2t E1 −
4π
c2∂tJ1
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 365 / 603
Considerando ondas planas para as flutuacoes.
−(ik)2E1 = −1
c2(−iω)2E1 +
4π
c2(iω)J1
Portanto,
k2E1 =ω2
c2E1 +
4π
c2(iω) (−n0ev1)
(ω2 − c2k2
)E1 = 4πnoeiωv1
Da equacao de movimento para os eletrons,
m∂tv1 = −eE1 ⇒ −iωmv1 = −eE1
iωv1 =e
mE1
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 366 / 603
Logo, temos(ω2 − c2k2
)E1 = (4πnoe)
e
mE1
(ω2 − c2k2
)E1 =
4πnoe2
mE1 = ω2
pE1
A relacao de dispersao fica portanto dada por
ω2 = ω2p + c2k2
Obs.: No caso de um plasma com B0 6= 0 (plasma magnetizado),supondo propagacao perpendicular ao campo magnetico (k ⊥ B0):
Se E1 ‖ B0, a relacao de dispersao seria a mesma obtida acima, paraum plasma nao magnetizado.Se E1 ⊥ B0, a situacao seria bem mais complicada . . .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 367 / 603
Teoria Especial da Relatividade
Partimos da constatacao de que a descricao de um sistema fısico efeita em relacao a um sistema de coordenadas.
Se considerarmos outro sistema de coordenadas em movimentouniforme relativamente ao primeiro, coloca-se a questao de como setransforma esta descricao; em outras palavras, o que acontece asequacoes que descrevem o sistema?
x P
u
y
z
x’
y’
z’
S S’
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Transformacoes de Galileu
Consideremos o sistema S e o sistema S ′, em movimento relativo comvelocidade u, ao longo do eixo z .Parece “obvio” considerar que
t ′ = t
x ′ = x
y ′ = y
z ′ = z − ut .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 369 / 603
Leis de Newton e transformacoes de Galileu
No sistema S as leis de Newton podem ser escritas da seguinte forma,
md2x
dt2= Fx m
d2y
dt2= Fy m
d2z
dt2= Fz .
Usando as transformacoes de Galileu, imediatamente se ve o seguinte,
d2x
dt2=
d2x ′
dt ′2⇒ F ′
x = md2x ′
dt ′2.
Analogamente,
F ′y = m
d2y ′
dt ′2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 370 / 603
Para a coordenada z , temos
dz ′
dt ′=
dz ′
dt=
dz
dt− u
d2z ′
dt ′2=
d2z ′
dt2=
d2z
dt2⇒ F ′
z = md2z ′
dt ′2.
Aplicando as mesmas ideias as equacoes do Eletromagnetismo,consideremos o seguinte: A partir das equacoes de Maxwell, podemosdeduzir equacoes de onda para os campos e potenciais.
Consideremos a equacao de onda, no vacuo sem fontes:
∇2Ψ− 1
c2∂2tΨ = 0 . (244)
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Continuando,
∂x = ∂x ′∂x ′
∂x+ ∂y ′
∂y ′
∂x+ ∂z ′
∂z ′
∂x+ ∂t′
∂t ′
∂x= ∂x ′ → ∂2x = ∂2x ′ .
Idem para as coordenadas y e z ,
∂2y = ∂2y ′ , ∂2z = ∂2z ′ ⇒ ∇2Ψ = ∇′2Ψ .
∂t = ∂t′∂t ′
∂t+ ∂x ′
∂x ′
∂t+ ∂y ′
∂y ′
∂t+ ∂z ′
∂z ′
∂t= ∂t′ − u∂z ′
→ ∂2t = (∂t′ − u∂z ′) (∂t′ − u∂z ′) = ∂2t′ − 2u∂t′∂z ′ + u2∂2z ′
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 372 / 603
Ou seja,
∇2Ψ− 1
c2∂2tΨ = 0 ,
(transf. Galileu) (245)
⇒ ∇′2Ψ− 1
c2[∂2t′Ψ+ u2∂2z ′Ψ− 2u∂t′∂z ′Ψ
]= 0 .
Conclusao: verificamos que a transformacao de Galileu nao preserva aforma da equacao da onda. As equacoes de Maxwell (oeletromagnetismo) nao sao invariantes frente a uma transformacao deGalileu.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 373 / 603
Na forma como esta a eq. (246), existe um particular sistema decoordenadas para a qual temos
∇′2Ψ− 1
c2∂2t′Ψ = 0 ,
ou seja, o sistema para o qual u = 0. Este seria o sistema do eter, e ca velocidade das ondas eletromagneticas (luz) relativas ao eter.
Em qualquer outro sistema, a diferenca entre o valor de c e o valorobservado da velocidade da luz daria o valor da velocidade do sistemarelativamente ao eter.
Entretanto, experimentos como o de Michelson-Morley foramincapazes de detectar mudancas na velocidade da luz devido aomovimento orbital da Terra. O resultado obtido era sempre o mesmo,independentemente do fato da luz se propagar ao longo domovimento orbital, ou perpendicularmente a ele.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 374 / 603
Hipoteses consideradas:
Arraste do eter
c
v
αα = v/c~
Contra-argumentos:aberracao estelarexperiencia de Fizeau, com propagacao de luz em fluidos emmovimento
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 375 / 603
. . .
Contracao dos corpos na direcao do movimento, por um fator(1− v2/c2
)1/2(contracao de Lorentz-Fitzgerald)
Etc., etc.
De maneira geral, essas hipoteses sao descartadas por comparacaocom experimentos. Nao vamos nos alongar nesses temas. Em vezdisso, vamos tentar uma abordagem logica e mais formal da teoria darelatividade restrita.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 376 / 603
Postulados da Relatividade
Primeiro postulado da Relatividade (princıpio da relatividade):Todas as leis da natureza devem ser identicas em todos os referenciaisinerciais (todos aqueles que se movem com velocidade constante emrelacao aos outros).
Segundo postulado da Relatividade:A velocidade da luz no vacuo e a mesma, em todos os referenciaisinerciais.
Este segundo postulado e compatıvel com resultados experimentais ecom as equacoes de Maxwell, que preveem a velocidade depropagacao das ondas eletromagneticas como sendo c . Esse resultadoseria valido em qualquer sistema inercial.
Esses dois postulados nos forcam a rever a ideia da adicao develocidades contida nas transformacoes de Galileu.
Vamos entao desenvolver uma abordagem consistente, partindo dosdois postulados recem-expostos:
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 377 / 603
Transformacoes de Lorentz
Seja um sistema de referencia K e um sistema K ′, movendo-se comvelocidade relativa v ao longo do eixo z .
Em t = t1 um sinal de luz e emitido a partir da posicaox1 = (x1, y1, z1). O sinal atinge o ponto x2 = (x2, y2, z2) em t = t2.A velocidade de propagacao e c , de modo que
c2(t2 − t1)2 −
[(x2 − x1)
2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)
2]= 0
Como a velocidade de propagacao e a mesma nos dois sistemas, emK ′ poderemos escrever, analogamente:
c2(t ′2 − t ′1)2 −
[(x ′2 − x ′1)
2 + (y ′2 − y ′1)2 + (z ′2 − z ′1)
2]= 0
Podemos agora definir um conceito que sera de muita utilidade, oconceito de intervalo:
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 378 / 603
Dados dois eventos, um em (t1, x1) e outro em (t2, x2), definimos ointervalo entre os dois eventos como sendo
s12 =[c2(t2 − t1)
2 −[(x2 − x1)
2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)
2]]1/2
.(246)
De acordo com essa definicao, o intervalo entre emissao e recepcao deum sinal luminoso, em pontos diferentes, e nulo (ou seja, s212 = 0).
No sistema de coordenadas K ′ raciocınio analogo pode ser feito, demodo que para sinais se propagando com a velocidade da luz, s ′212 = 0.
Considerando intervalos infinitesimais,
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2
ds ′2 = c2dt ′2 − dx ′2 − dy ′2 − dz ′2 . (247)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 379 / 603
Ja vimos que vale a seguinte propriedade,
ds2 = 0 → ds ′2 = 0 .
Por outro lado, no caso de intervalos nao nulos, ainda nao sabemoscomo se transformam. Por isso, escreveremos o seguinte,
ds2 6= 0 → ds2 = a ds ′2 .
Consideracoes sobre a constante a:
Nao pode depender de coordenadas e do tempo, se supusermosuniformidade do espaco e tempo.Nao pode depender da direcao da velocidade relativa, se supusermosisotropia do espaco.Ou seja, → a = a(v).
ds2 = a(v) ds ′2 (248)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 380 / 603
Consideremos agora tres referenciais, K , K1 e K2.Suponhamos K1 movendo-se com velocidade de modulo v1relativamente a K , ao longo de uma dada direcao, enquanto K2
move-se com velocidade de modulo v2, relativamente a K , ao longode uma outra direcao qualquer.
K z
y
y’
x’
x z’
x’’
y’’
z’’K
v2
v1
K1
2
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 381 / 603
Com base no que ja discutimos, teremos
ds2 = a(v1) ds21
ds2 = a(v2) ds22
ds21 = a(v12) ds22
→ a(v1)a(v12) ds22 = a(v2) ds
22
→ a(v12) =a(v2)
a(v1).
Entretanto, v12 = |v2 − v1| depende das direcoes de v1 e v2,enquanto a(v1)a(v2) nao depende.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 382 / 603
A maneira de tornar possıvel a igualdade e fazer a independente de v,de modo que:
a =a
a→ a = 1 .
Com isso, teremos→ ds2 = ds ′2 . (249)
Ou seja, a conclusao e que o intervalo entre dois eventos e uminvariante frente a mudancas entre referenciais inerciais.
Vamos entao considerar que em t1 = t ′1 = 0 a origem dos doissistemas e coincidente, de modo que (x1, y1, z1)= 0 e (x ′1, y
′1, z
′1) = 0.
Desse modo,
c2t2 − x2 − y2 − z2 = c2t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2 . (250)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 383 / 603
Vamos escrever a transformacao de coordenadas entre os doissistemas como uma transformacao linear, supondo que o sistema K ′
move-se em relacao ao sistema K com velocidade v = v k.
y
K K’
x
vt
vz
x’
y’
z’
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 384 / 603
Seja entao a seguinte transformacao:
x ′ = x
y ′ = y
z ′ = az + bt
t ′ = dz + et . (251)
Apos um tempo t, a origem de K ′ esta em z = vt, de modo que
0 = avt + bt → b = −av .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 385 / 603
Usando as eqs. (251) na eq. (250), temos
c2t2 − (x2 + y2 + z2)
= c2(d2z2 + 2de zt + e2t2)− (x2 + y2 + a2z2 + a2v2t2 − 2a2vzt) .
Cancelando os termos com x e y ,
c2t2 + z2 = c2(d2z2 + 2de zt + e2t2)− (a2z2 + a2v2t2 − 2a2vzt) .
Comparando os coeficientes de z2, t2 e zt,
t2 → c2 = c2e2 − a2v2
z2 → 1 = c2d2 − a2
zt → 0 = 2dec2 + 2a2v .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 386 / 603
Da primeira equacao obtemos o seguinte,
a2 =c2
v2(e2 − 1) . (1) .
Usando esse resultado na segunda equacao,
1 = c2d2 − c2
v2(e2 − 1) → c2d2 =
c2
v2(e2 − 1)− 1 .
Da terceira equacao temos
de = −a2 v
c2→ d2e2c4 = a4v2 → (c2d2)e2 = a4
v2
c2,
e2[c2
v2(e2 − 1)− 1
]
= a4v2
c2= a2(e2 − 1) ,
onde usamos a eq. (1).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 387 / 603
Isolando (e2 − 1),
(e2 − 1)
[c2
v2e2 − a2
]
= e2
(e2 − 1)
[c2
v2e2 − c2
v2(e2 − 1)
]
= e2
(e2 − 1)c2
v2= e2 → e2
(v2
c2− 1
)
= −1
→ e = ± 1√
1− v2
c2
.
Voltando a eq. (1),
a2 =c2
v2
[
1
1− v2
c2
− 1
]
=c2
v2
[
1− 1 + v2/c2
1− v2
c2
]
→ a = ± 1√
1− v2
c2
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 388 / 603
Voltando a equacao obtida anteriormente,
de = −a2 v
c2→ d = −a2
e2ev
c2→ d = −e v
c2.
Dessa forma,
x ′ = x
y ′ = y
z ′ =1
√
1− v2
c2
[z − vt]
t ′ =1
√
1− v2
c2
[
− v
c2z + t
]
. (252)
Podemos utilizar uma notacao que torne mais uniformes asexpressoes.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 389 / 603
Sejax0 = ct, x1 = x , x2 = y , x3 = z ,
~β =v
c, β = |~β|, γ =
(1− β2
)−1/2. (253)
Usando eqs. (253), as eqs. (252) ficam:
x ′0 = γ(x0 − βx3)x ′1 = x1
x ′2 = x2
x ′3 = γ(x3 − βx0) . (254)
Essas equacoes, bem como as eqs. (252), sao as conhecidastransformacoes de Lorentz.
Obs.: A escolha do sinal foi feita usando o fato de que o limite parabaixas velocidades da eq. (252) deve resultar nas transformacoes deGalileu.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 390 / 603
Antes da escolha do sinal, terıamos nas eqs. (252) o seguinte:
z ′ = ± 1√
1− v2
c2
[z − vt] → z ′ = ±(z − vt) → z ′ = z − vt
t ′ =1
√
1− v2
c2
[
∓ v
c2z ± t
]
→ t ′ = ±t → t ′ = t .
Considerando a transformacao inversa, que deve ser a mesma, com atroca do sinal de β, terıamos
x0 = γ(x ′0 + βx ′3)
x1 = x ′1x2 = x ′2x3 = γ(x ′3 + βx ′0) . (255)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 391 / 603
Se os eixos de K e K ′ sao ainda paralelos, mas v fica em uma direcaoarbitraria, temos as transformacoes de Lorentz dadas por:
x ′0 = γ(x0 − ~β · x)
x′ = x+(γ − 1)
β2(~β · x)~β − γ~βx0 . (256)
O significado da segunda expressao pode ser melhor entendidofazendo
x′ · ~ββ≡ x ′‖
x′ × ~β
β≡ x′⊥ ,
de modo que ficamos com
x ′‖ = x‖ +(γ − 1)
β2βx‖β
2
β− γβ2x0
β= γ(x‖ − βx0) ,
que corresponde a ultima das eqs. (254).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 392 / 603
Portanto,
x′⊥ = x⊥ +(γ − 1)
β2(βx‖)
(~β × ~β)
β− γx0
β(~β × ~β) = x⊥ ,
que corresponde as equacoes para x1 e x2 em (254).
Quanto a equacao para x ′0,
x ′0 = γ(x0 − βx‖) ,
corresponde a primeira das eqs. (254).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 393 / 603
Discussao sobre o conceito de intervalo
Voltemos agora a discussao sobre o conceito de intervalo:A definicao de intervalo tem interpretacao mais facil se considerarmosum espaco de quatro dimensoes, tres delas espaciais e uma temporal.Cada ponto nesse espaco representa um evento.A cada partıcula corresponde uma linha nesse espaco, chamada linhado mundo, ou linha do universo, para a partıcula.
Cada ponto sera entao representado por um vetor de quatrodimensoes:
A = (ctA, x1A, x2A, x3A), B = (ctB , x1B , x2B , x3B) ,
ouA = (ctA, xA), B = (ctB , xB) .
A distancia entre dois pontos (ou intervalo), sera dada por:
sAB = |B − A| =√
c2(tB − tA)2 − |xB − xA|2 .O sinal “-” que aparece na expressao que define o intervalo e o quefaz a diferenca em relacao a geometria euclidiana.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 394 / 603
Classificacao de intervalos
Sejas2AB = c2(tB − tA)
2 − |xB − xA|2
Vamos agora discutir dois casos:
Caso 1: s2AB < 0:
Nesse caso,
c2(tB − tA)2 − |xB − xA|2 = c2(t ′B − t ′A)
2 − |x′B − x′A|2 < 0 .
E possıvel encontrar um sistema K ′ tal que t ′B = t ′A, ou seja, no qual oseventos A e B sejam simultaneos. Nao e possıvel fazer com que os doiseventos ocorram no mesmo local. Nesse caso, diz-se que os eventos Ae B possuem uma separacao do tipo espacial (spacelike separation).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 395 / 603
Caso 2: s2AB > 0:
Nesse caso,
c2(tB − tA)2 − |xB − xA|2 = c2(t ′B − t ′A)
2 − |x′B − x′A|2 > 0 .
E possıvel fazer com que os eventos sejam coincidentes, em um dadosistema K ′ (x′B = x′A). Nao e possıvel fazer com que os dois eventossejam simultaneos. Nesse caso, diz-se que os eventos A e B possuemuma separacao do tipo temporal (timelike separation).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 396 / 603
Cone de luz
Vamos discutir esse conceito considerando apenas uma dimensaoespacial. A extensao para mais de uma dimensao pode ser feita deforma trivial.
FUTURO
PASSADO
ct
x
A
B
C
O
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 397 / 603
Para o caso do ponto A, temos
s20A = c2t2A − x2A > 0 (timelike)
Ou seja, em algum sistema em movimento relativo, teremoss20A = c2t ′2A .
Para o caso do ponto B , temos
s20B = c2t2B − x2B < 0 (spacelike)
Ou seja, em algum sistema em movimento relativo, teremoss20B = −x ′2B .
No caso do ponto C , temos
s20C = c2t2C − x2C > 0 (timelike)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 398 / 603
Velocidade da luz como velocidade limite
So usamos em nossas demonstracoes os dois postulados, o darelatividade e o da invariancia da velocidade da luz.
Nao parece haver a priori nenhum afirmativa indicando que avelocidade da luz e um limite superior de velocidades.
Entretanto, consideremos as transformacoes de Lorentz:
x ′0 = γ(x0 − βx3)x ′3 = γ(x3 − βx0) .
Em primeiro lugar, se v > c (onde v e a velocidade relativa entre doissistemas inerciais), x ′3 e x ′0 ficariam quantidades imaginarias,enquanto para o sistema original e para os sistemas movendo-se comv < c essas quantidades sao reais.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 399 / 603
Alem disso, consideremos que algum sinal possa se propagar comvelocidade vs > c . Em K , o sinal viaja uma distancia∆x3 = vs∆t = (vs/c)∆x0. Em K ′, temos:
∆x ′0 = γ [∆x0 − β∆x3]
= γ∆x0
[
1− β vsc
]
= γ∆x0
[
1− vvsc2
]
.
Essa quantidade pode ser negativa, se vvs > c2.
Ou seja, se existisse um sinal que pudesse se propagar com velocidadevs > c , haveria possibilidade de que em algum sistema ocorresseviolacao de causalidade, com o sinal chegando antes de ter partido.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 400 / 603
Tempo proprio
Vamos ver esse e mais alguns outros conceitos e ideias gerais, antesde passar a aplicacoes de interesse direto no Eletromagnetismo.Ja vimos que
ds2 = ds ′2 → c2dt2 − |dx|2 = c2dt ′2 − |dx′|2 .Vamos considerar um corpo movendo-se com velocidade vrelativamente ao sistema K . No sistema que viaja com o corpo, esteesta em repouso, de modo que nesse sistema |dx′|2 = 0. Portanto,podemos escrever
dt ′2 = dt2 − |dx|2
c2= dt2
[
1− 1
c2|dx|2dt2
]
= dt2(1− β2
)=
dt2
γ2.
O tempo medido no sistema onde o corpo esta em repouso echamado tempo proprio,
dτ =dt
γ(t). (257)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 401 / 603
Adica de velocidades
Em qualquer outro sistema de referencia, o intervalo de tempomedido entre dois eventos e maior do que o medido no sistema ondeo evento esta em repouso.
Vamos agora discutir a adicao de velocidades:
Suponhamos uma partıcula movendo-se com velocidade u′ relativa aorigem de K ′, que move-se com velocidade v relativamente a K .
Seja u′ a velocidade desse corpo no sistema K ′ e u a velocidade nosistema K :
u′ ≡ dx′
dt ′= c
dx′
dx ′0e
u ≡ dx
dt= c
dx
dx0.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 402 / 603
Prosseguindo,
u‖c
=dx‖dx0
=γ[
dx ′‖ + βdx ′0
]
γ[
dx ′0 + βdx ′‖
] =dx ′0dx ′0
[dx ′
‖
dx ′0+ β
]
[
1 + βdx ′
‖
dx ′0
] ,
onde usamos as eqs. (255).
u‖c
=1
c
[dx ′
‖
dt′+ v
]
[
1 + vc2
dx ′‖
dt′
] ,
u‖ =u′‖ + v[1 + v·u′
c2
] , (258)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 403 / 603
Analogamente,
u⊥c
=dx⊥dx0
=dx′⊥
γ(dx ′0 + βdx ′‖)=
1
c
(dx′⊥/dt ′)
γ
[
1 + βc
dx ′‖
dt′
] ,
u⊥ =u′⊥
γ[1 + v·u′
c2
] , (259)
Uma outra forma de ver a transformacao de velocidades e consideraro seguinte:
Seja o sistema K ′ movendo-se com velocidade de modulo v ao longodo eixo z , relativamente ao sistema K . A velocidade u′ faz um anguloθ′ com esse mesmo eixo, no sistema K ′.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 404 / 603
Fazendo u2‖ + u2⊥, usando as eqs. (258) e (259), encontramosfacilmente a seguinte relacao,
u =
√
u′2 + v2 + 2u′v cos θ′ − (u′v sin θ′/c)2
1 + u′vc2
cos θ′. (260)
y
x
z
x’
y’
z’
K K’
v
u’
θ’
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 405 / 603
Portanto, no sistema K a velocidade u faz o angulo θ com o eixo z ,sendo θ dado por
tan θ =u⊥u‖
=u′⊥
γ(u′‖ + v).
tan θ =u′ sin θ′
γ(u′ cos θ′ + v).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 406 / 603
Outro olhar sobre a transformacao de velocidades
Ja vimos que os eventos podem ser representados por quantidadesquadridimensionais (x0, x1, x2, x3), as quais se transformam segundoas transformacoes de Lorentz,
x0 = γ(x ′0 + βx ′3)
x1 = x ′1x2 = x ′2x3 = γ(x ′3 + βx ′0) .
Segundo acabamos de ver, as velocidades, definidas como dx/dt emseus respectivos sistemas de coordenadas, transformam-se segundooutra regra, qual seja,
u‖ =u′‖ + v[1 + v·u′
c2
] u⊥ =u′⊥
γ[1 + v·u′
c2
] .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 407 / 603
Entretanto, ha uma quantidade relacionada que tambem setransforma segundo as transformacoes de Lorentz. Seja a seguintequantidade:
γvγu′
(
1 +u′ · vc2
)
=1
√
1− v2
c2
1√
1− u′2
c2
(
1 +u′ · vc2
)
=
(
1 + u′·vc2
)
[
1−(v2+u′2
c2
)
+ v2u′2
c4
]1/2. (261)
Usando eq. (260), temos
u2(
1 +u′ · vc2
)2
= u′2 + v2 + 2u′v cos θ′ −(u′v sin θ′
c
)2
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 408 / 603
Essa expressao pode ser re-escrita como
u′2 + v2
c2=
u2
c2
(
1 +u′ · vc2
)2
− 2u′vc2
cos θ′ +1
c2
(u′v sin θ′
c
)2
=u2
c2
(
1 +u′ · vc2
)2
− 2u′ · vc2
+1
c2
(u′v sin θ′
c
)2
.
Portanto, no denominador da eq. (261) teremos
[
1−(v2 + u′2
c2
)
+v2u′2
c4
]1/2
=
[
1 +v2u′2
c4
−u2
c2
(
1 +u′ · vc2
)2
+ 2u′ · vc2− 1
c2
(u′v sin θ′
c
)2]1/2
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 409 / 603
Prosseguindo,
=
[
1 +v2u′2
c4(1− sin2 θ′
)− u2
c2
(
1 +u′ · vc2
)2
+ 2u′ · vc2
]1/2
=
[
1 +v2u′2
c4cos2 θ′ − u2
c2
(
1 +u′ · vc2
)2
+ 2u′ · vc2
]1/2
=
[(
1 +u′ · vc2
)2
− u2
c2
(
1 +u′ · vc2
)2]1/2
=
(
1 +u′ · vc2
)(
1− u2
c2
)1/2
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 410 / 603
Portanto, a eq. (261) fica dada por
γvγu′
(
1 +u′ · vc2
)
=
(
1 + u′·vc2
)
[
1−(v2+u′2
c2
)
+ v2u′2
c4
]1/2
=
(
1 + u′·vc2
)
(1 + u′·v
c2
) (
1− u2
c2
)1/2=
1(
1− u2
c2
)1/2
γvγu′
(
1 +u′ · vc2
)
= γu . (262)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 411 / 603
Podemos usar esse resultado da seguinte forma:
γuu‖ = γvγu′
(
1 +u′ · vc2
) u′‖ + v[1 + v·u′
c2
]
= γv
(
γu′u′‖ + βγu′c
)
= γ(
γu′u′‖ + βγu′c
)
= γγu′(u′‖ + v) ,
onde usamos a eq. (258), bem como a notacao γv ≡ γ.Tomando a componente perpendicular, e usando a eq. (259),
γuu⊥ = γvγu′
(
1 +u′ · vc2
)u′⊥
γ[1 + v·u′
c2
] = γ′uu′⊥ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 412 / 603
Introduzimos entao a seguinte definicao:
U ′0 ≡ γu′c
U′ ≡ γu′u′ . (263)
Como se pode ver facilmente, essas quantidades recem definidasformam um conjunto que se transforma de acordo com astransformacoes de Lorentz, na passagem entre sistemas inerciais, damesma forma que o conjunto (x0, x1, x2, x3).
Ou seja, se v = vez , usando as transformacoes de Lorentz (255), oconjunto (U0,U1,U2,U3) deveria se transformar da seguinte forma:
U0 = γ(U ′0 + βU ′
3)
U1 = U ′1
U2 = U ′2
U3 = γ(U ′3 + βU ′
0) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 413 / 603
De fato, da primeira dessas relacoes, obtemos
γ(γu′c + βγu′u
′3
)= γγu′c
(
1 +vu′3c2
)
= γuc = U0 ,
usando a eq. (262).
Para as componentes perpendiculares, U1 e U2, ja vimos acima que
U1 = U ′1
U2 = U ′2 ,
como previsto tambem pelas transf. de Lorentz.
Para a componente paralela, U3, das transformaces de Lorentz,terıamos
U3 = γ(U ′3 + βU ′
0) = γ(γu′u
′3 + βγu′c
)= γγu′
(u′3 + v
),
que corresponde a mesma expressao que ja obtivemos acima, quandoestudando a transformacao das quantidades Ui .
Vimos entao que o conjunto (U0,U1,U2,U3) se transforma da mesmaforma que o conjunto (x0, x1, x2, x3). Podemos generalizar o conceito,definindo os quadrivetores.
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Quadrivetores
Os quadrivetores serao definidos como conjuntos de quatroquantidades que se transformam de acordo com as transformacoes deLorentz.
Sejam entao (A0,A1,A2,A3) as componentes de um quadrivetor.Portanto, em outro sistema de coordenadas em movimento relativo,
A′0 = γ(A0 − βA3)
A′1 = A1
A′2 = A2
A′3 = γ(A3 − βA0) . (264)
O modulo quadrado de um quadrivetor sera definido por
(A0)2 −[(A1)2 + (A2)2 + (A3)2
]≡ modulo quadrado de Aα .
(265)
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Vamos agora introduzir a ideia de dois tipos de componentes dequadrivetores, indicadas segundo a posicao do ındice:
Vetor contravariante:
Aα, com componentes A0,A1,A2,A3
Vetor covariante:
Aα, com componentes A0,A1,A2,A3 ,
sendo que
A0 = A0
A1 = −A1
A2 = −A2
A3 = −A3 . (266)
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Modulo quadrado de Aα,
(A0)2−[(A1)2 + (A2)2 + (A3)2
]= (A0)
2−[(A1)
2 + (A2)2 + (A3)
2].
Devido a propriedade (266), podemos escrever
∑
α
AαAα = A0A0+A1A1+A2A2+A3A3 = (A0)2−(A1)2−(A2)2−(A3)2 .
Em geral, emprega-se a chamada convencao de soma, em que ficaimplıcito um somatorio sobre ındices repetidos. A expressao anteriorentao fica
AαAα = modulo quadrado de Aα . (267)
O produto escalar entre dois vetores e definido de forma similar:
AαBα = A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3 . (268)
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Notacao para as formas contravariante e covariante:
Seja um quadrivetor. As formas contravariante e covariante,respectivamente, podem ser escritas na forma seguinte:
Aα = (A0,A)
Aα = (A0,−A) , (269)
onde separamos a componente temporal e a componente espacial.
Definiremos os vetores contravariantes como sendo aqueles queobedecem a seguinte lei de transformacao:
A′α =∂x ′α
∂xβAβ . (270)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 418 / 603
Comecaremos aplicando essa lei de transformacao a componenteα = 0,
A′0 =∂x ′0
∂x0A0 +
∂x ′0
∂x1A1 +
∂x ′0
∂x2A2 +
∂x ′0
∂x3A3 .
Para fazer as derivadas, consideremos que as quantidades(x0, x1, x2, x3) (que denotavamos anteriormente com o ındice inferior)sao aquelas que se transformam de acordo com as transformacoes deLorentz (254),
x ′0 = γ(x0 − βx3)x ′1 = x1
x ′2 = x2
x ′3 = γ(x3 − βx0) .
Fazendo as derivadas, obtemos
A′0 = γA0 − γβA3 = γ(A0 − βA3) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 419 / 603
Prosseguindo da mesma forma para as demais componentes,obtem-se facilmente o seguinte conjunto de transformacoes:
A′0 = γ(A0 − βA3)
A′1 = A1
A′2 = A2
A′3 = γ(A3 − βA0) .
Ou seja, verificamos que os quadrivetores contravariantes sao aquelesque se transformam de acordo com as transformacoes de Lorentz.
A eq. (270) e uma forma compacta de expressar a transformacao. Nocaso de movimento relativo ao longo do eixo z , ela corresponde aforma dada pelas eqs. (254).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 420 / 603
Vetores covariantes
Definiremos os vetores covariantes como sendo aqueles queobedecem a seguinte lei de transformacao:
A′α =
∂xβ
∂x ′αAβ . (271)
Comecaremos aplicando essa lei de transformacao a componenteα = 0,
A′0 =
∂x0
∂x ′0A0 +
∂x1
∂x ′0A1 +
∂x2
∂x ′0A2 +
∂x3
∂x ′0A3 .
Para fazer as derivadas, consideremos a transformacao inversa dadapor (255),
x0 = γ(x ′0 + βx ′3)
x1 = x ′1
x2 = x ′2
x3 = γ(x ′3 + βx ′0) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 421 / 603
Fazendo as derivadas, obtemos
A′0 = γA0 + γβA3 = γ(A0 + βA3) .
Prosseguindo da mesma forma para as demais componentes,obtem-se facilmente o seguinte conjunto de transformacoes:
A′0 = γ(A0 + βA3)
A′1 = A1
A′2 = A2
A′3 = γ(A3 + βA0) .
Ou seja, verificamos que os quadrivetores covariantes sao aqueles quese transformam de acordo com as transformacoes de Lorentz inversas.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 422 / 603
Obs. 1:
Juntando o que obtivemos, podemos lancar mais luz sobre osignificado das leis de transformacao que escrevemos acima,considerando o seguinte:
BαAα = δ β
α BβAα =
∂xβ
∂xαBβA
α =∂xβ
∂x ′γ∂x ′γ
∂xαBβA
α
=
(∂xβ
∂x ′γBβ
)(∂x ′γ
∂xαAα)
= B ′γA
′γ .
No ultimo passo usamos as relacoes de transformacao de vetorescontravariantes e covariantes, eqs. (270) e (271). O resultado finalmostra o resultado esperado, a invariancia do produto escalar.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 423 / 603
Obs. 2:
E importante salientar que escolhemos denotar com o ındice superioras quantidades (x0, x1, x2, x3) que obedecem as transformacoes dadaspor (254), reservando o ındice inferior para aquelas que obedecem astransformacoes (255). Essa definicao foi contraria ao uso queanteriormente fazıamos do ındice. Nesse contexto, entao, sera precisocuidado para fazer uso consistente do ındice.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 424 / 603
Quadritensores de ordem n
Podemos definir quadritensores de ordem n.
Um escalar e um tensor de ordem zero, nao afetado pela mudanca decoordenadas.
Os vetores, como ja vimos, sao tensores de ordem um.
Para ordem dois, podemos definir quadritensores de ordem dois, oumais simplesmente, quadritensores, como sendo um conjunto de 16quantidades Aαβ que se transformam como produtos de componentesde quadrivetores, na mudanca do sistema de coordenadas.
Os quadritensores de ordem dois podem ser:
contravariantes: Aαβ
covariantes: Aαβ
mistos: Aαβ (em geral, uma quantidade diferente de Aβα) .
Obs.: O primeiro ındice refere-se a linha, enquanto o segundo ındicerefere-se a coluna.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 425 / 603
Regra pratica:
“A elevacao ou abaixamento de um ındice temporal (0) naomuda o sinal da componente; a elevacao ou abaixamento deum ındice espacial muda o sinal da componente”.
Exemplos:
A00 = A00
A01 = −A01
A11 = A11
A00 = A00
A 10 = A01
A01 = −A01
etc.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 426 / 603
Traco de um tensor
O traco de um tensor sera definido por
Aαα ≡ A00 + A1
1 + A22 + A3
3 = A αα . (272)
Como se ve, o traco de um tensor de ordem 2 e um escalar. Aoperacao que da como resultado o traco chama-se contracao dotensor.
O produto escalar tambem e uma contracao. Dados Aα e Bα, aquantidade AαBα representa o traco do tensor AαBβ.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 427 / 603
Tensor metrico
Seja
gαβ = gαβ =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
(273)
A contracao de um tensor metrico com um quadrivetor contravarianteresulta na forma covariante do quadrivetor:
gαβAβ =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
A0
A1
A2
A3
=
A0
−A1
−A2
−A3
=
A0
A1
A2
A3
= Aα .
Ou seja,gαβA
β = Aα . (274)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 428 / 603
Da mesma forma,gαβAβ = Aα . (275)
Portanto, pode-se escrever o produto escalar entre Aα e Bα,
AαBα = gαβAβBα = AαgαβBβ = AβB
β . (276)
Contracao do tensor metrico:
Verifica-se facilmente o seguinte resultado (por mera multiplicacao dematrizes):
gαγgγβ = δαβ, gαγgγβ = δ β
α , (277)
onde δ βα e a delta de Kronecker em quatro dimensoes, ou seja,
δ βα = 1, para α = β, e δ β
α = 0, para α 6= β .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 429 / 603
Podemos generalizar a contracao de um vetor com gαβ , definida em(274) e (275).
Assim, por exemplo,A..α.... = gαβA.. ....β
G ......α. = gαβG
...β... . . (278)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 430 / 603
Observacao sobre o tensor metrico:
Usando o que vimos na eq. (276), podemos escrever um intervaloinfinitesimal usando o tensor metrico:
ds2 = gαβdxαdxβ .
No caso de termos o tensor metrico para o espaco de Minkowski, emcoordenadas cartesianas, como o que definimos anteriormente, resulta
ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 .
Entretanto podemos ter outras situacoes. Por exemplo,
ds2 = (dx0)2 − (dr)2 − r2(dθ)2 − r2 sin2 θ(dφ)2 ;
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 431 / 603
ou seja,
gαβ =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −r2 00 0 0 −r2 sin2 θ
,
etc., etc. (inclusive situacoes em que o tensor metrico pode se tornarnao-diagonal, como na Relatividade Geral).
Para finalizar essa secao, vamos discutir o comportamento dasderivadas parciais com respeito a xα e xα.
Vamos comecar com as derivadas com relacao as componentescontravariantes xα. Usando a regra da cadeia, podemos escrever
∂
∂x ′α=∂xβ
∂x ′α∂
∂xβ. (279)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 432 / 603
Essa relacao pode ser facilmente obtida considerando o seguinte.Podemos escrever uma componente do vetor posicao comocombinacao linear das componentes no outro sistema de coordenadas(transformacoes de Lorentz):
x ′β = x ′β(xα) .
Portanto,
∂x ′β
∂x ′γ=∂x ′β
∂xα∂xα
∂x ′γ→ ∂
∂x ′γ=∂xα
∂x ′γ∂
∂xα.
Mudando os ındices γ → α, α→ β, teremos
∂
∂x ′α=∂xβ
∂x ′α∂
∂xβ.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 433 / 603
Comparando a eq. (279) com a eq. (271), lei de transformacao dequadrivetores covariantes,
A′α =
∂xβ
∂x ′αAβ ,
vemos que a derivada com relacao a uma componente contravariante,dada pela eq. (279), se transforma como uma componente de umquadrivetor covariante.
Devido a isso, esse tipo de derivada e chamado de derivadacovariante, sendo empregada a seguinte notacao:
∂α ≡∂
∂xα. (280)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 434 / 603
Analogamente, define-se a derivada contravariante,
∂α ≡ ∂
∂xα. (281)
Escrevendo explicitamente esses dois tipos de derivadas,
∂α =∂
∂xα=
(∂
∂x0,−∇
)
, ∂α =∂
∂xα=
(∂
∂x0,∇)
,
onde
∇ = i∂
∂x1+ j
∂
∂x2+ k
∂
∂x3.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 435 / 603
Divergencia:
∂αAα = ∂αAα =
∂A0
∂x0+∇ ·A . (282)
Como a divergencia de um quadrivetor e um produto escalar entre umoperador representado por um quadrivetor e um quadrivetor,conclui-se que e um escalar de Lorentz, ou seja, invariante namudanca de sistemas de coordenadas.
Laplaciano:
∂α∂α =
∂2
∂(x0)2−∇2 . (283)
Esse operador e tambem conhecido como D’Alembertiano.
Podemos agora partir para aplicacoes no Eletromagnetismo.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 436 / 603
A Relatividade Especial e o Eletromagnetismo
De acordo com o estabelecido no princıpio da relatividade, vamosmostrar que de fato as equacoes do eletromagnetismo mostraminvariancia de forma na mudanca de referencial, ou covariancia.
Inicialmente, lembramos que a carga eletrica e um invariante (o que eobjeto de comprovacao experimental): a carga eletrica nao dependeda velocidade.
Dessa forma, o produto ρdV e invariante (um escalar).Podemos construir um quadrivetor multiplicando esse escalar porcomponentes de um quadrivetor,
ρdVdxα = ρdVdtdxα
dt.
Como dVdt e um escalar, concluımos que
ρdxα
dte um quadrivetor.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 437 / 603
Seja entao o quadrivetor corrente,
Jα = ρdxα
dt→ Jα = (cρ, J) . (284)
As componentes desse quadrivetor sao
J0 = ρdx0
dt= cρ , J1 = ρ
dx1
dt= ρvx , etc.
Facilmente podemos obter outro resultado importante,
∂αJα = ∂0J
0 + ∂1J1 + ∂2J
2 + ∂3J3 = ∂tρ+∇ · J = 0 .
Essa quantidade e nula, pois e a propria expressao da equacao dacontinuidade.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 438 / 603
Em forma covariante, portanto, podemos escrever a equacao dacontinuidade da forma seguinte,
∂αJα = 0 . (285)
Prosseguindo, pode ser definido tambem um potencial quadrivetor:
Aα = (Φ,A) . (286)
A equacao da onda e a condicao de Lorentz, dadas por:
1
c2∂2A
∂t2−∇2A =
4π
cJ
1
c2∂2Φ
∂t2−∇2Φ = 4πρ
1
c∂tΦ+∇ · A = 0 ,
ficam escritas em forma covariante evidente,
∂β∂βAα =
4π
cJα
∂αAα = 0 . (287)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 439 / 603
Para os campos eletrico e magnetico, temos as relacoes (126),
B = ∇× A
E = −∇Φ− 1
c∂tA.
Tomemos, por exemplo, as componentes x dessas equacoes,
Bx =∂
∂yAz −
∂
∂zAy = −(∂2A3 − ∂3A2) ,
Ex = −1
c
∂
∂tAx −
∂
∂xΦ = −(∂0A1 − ∂1A0) , etc..
Os campos E e B representam seis componentes. As demaiscomponentes podem ser escritas de forma similar as componentes xescritas acima. Em conjunto, elas podem ser escritas na forma de umtensor anti-simetrico de ordem 2, o tensor de campo eletromagnetico,
Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα . (288)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 440 / 603
Explicitamente, esse tensor fica dado por
Fαβ =
0 −Ex −Ey −Ez
Ex 0 −Bz By
Ey Bz 0 −Bx
Ez −By Bx 0
. (289)
Lembrando que o produto de um tensor com gαβ ou gαβ pode fazerdescer ou subir um ındice, podemos escrever o tensor comcomponentes covariantes:
Fαβ = gαγFγδgδβ . (290)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 441 / 603
Esse tensor resulta ser igual a Fαβ com E no lugar de −E,
Fαβ =
0 Ex Ey Ez
−Ex 0 −Bz By
−Ey Bz 0 −Bx
−Ez −By Bx 0
.
As equacoes de Maxwell podem ser re-escritas apos a definicao deFαβ:
∇ · E = 4πρ
∇× B− 1
c∂tE =
4π
cJ
→ ∂αFαβ =
4π
cJβ . (291)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 442 / 603
Essas foram as equacoes nao homogeneas.
As homogeneas sao facilmente obtidas a partir de uma identidadesatisfeita pelo tensor Fαβ ,
∇ · B = 0
∇× E+1
c∂tB = 0
→ ∂αF βγ + ∂βF γα + ∂γFαβ = 0 . (292)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 443 / 603
Forca de Lorentz
A partir de consideracoes mecanicas, pode-se mostrar que omomentum p e parte de um quadrivetor energia-momentum (veremosmais adiante uma breve exposicao a respeito):
pα = (p0,p) = m(U0,U), com p0 =Ec. (293)
A forca de Lorentz e dada por:
dp
dt= q
[
E+v × B
c
]
=q
c[cE+ v × B]
=q
γvc[(γv c)E+ (γvv)× B] =
q
γvc[U0E+U× B] .
Escrevendo em termos do tempo proprio, τ = t/γv ,
→ dp
dτ=
q
c[U0E+U× B] (294)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 444 / 603
Por outro lado, temos,
dEdt
=
∫
V
d3x J · E ;
Para uma partıcula puntiforme movendo-se com velocidade v,
J = qv δ(x− x′) .
→ dEdt
= q v · E =q
γvU · E → dE
dτ= qU · E
→ dp0
dτ=
q
cU · E . (295)
As expressoes (294) e (295) podem entao ser postas em formacovariante, usando a definicao de Fαβ :
dpα
dτ= m
dUα
dτ=
q
cFαβUβ . (296)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 445 / 603
Transformacao de campos eletromagneticos
Ja vimos que as componentes de xα se transformam conforme a regra:
x ′α =∂x ′α
∂xβxβ .
Alem disse, em geral,
A′α =∂x ′α
∂xβAβ .
Para um tensor de ordem dois, como o tensor Fαβ , temos
F ′αβ =∂x ′α
∂xγ∂x ′β
∂xδF γδ . (297)
Os elementos ∂x ′α/∂xγ formam uma matriz 4× 4. Para o caso deum sistema K ′ movendo-se com velocidade v ao longo do eixo z ,resulta o seguinte:
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 446 / 603
. . .
E ′x = γ(Ex − βBy )
E ′y = γ(Ey + βBx)
E ′z = Ez
B ′x = γ(Bx + βEy )
B ′y = γ(By − βEx)
B ′z = Bz . (298)
Ou seja, sao afetados as componentes perpendiculares a direcao domovimento.
No caso de v em direcao qualquer, temos expressoes mais gerais:
E′ = γ(E+ β × B)− γ2
γ + 1~β(~β · E)
B′ = γ(B− ~β × E)− γ2
γ + 1~β(~β ·B) (299)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 447 / 603
Podemos tambem escrever as equacoes (298) em outra forma. Seja osistema K ′ movendo-se com velocidade v relativamente a K .
E′⊥ = γ(E⊥ + ~β ×B)
E ′‖ = E‖
B′⊥ = γ(B⊥ − ~β × E)
B ′‖ = B‖ . (300)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 448 / 603
Partıcula com carga q movendo-se uniformemente
Como aplicacao, consideremos uma partıcula com carga qmovendo-se com velocidade v ao longo de z :
y
v
K K’
vt
x
r
qz
P
b
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 449 / 603
No sistema de coordenadas K ′, que viaja com a partıcula,
E′ =q
r ′3r′ , B′ = 0 . (301)
No sistema K ,
E⊥ = γ(E′⊥ − ~β × B′) = γE′
⊥E‖ = E ′
‖
B⊥ = γ(B′⊥ + ~β × E′) = γ~β × E′
B‖ = B ′‖
~β = βk .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 450 / 603
Em termos de componentes,
Ex = γE ′x
Ey = γE ′y
Ez = E ′z
Bx = −γβE ′y
By = γβE ′x
Bz = B ′z = 0 . (302)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 451 / 603
Para partıculas extremamente relativısticas, as componentestransversais do campo E tornam-se muito mais intensas do que ascomponentes longitudinais; alem disso, aparece um campo magneticotransversal, que tende a mesma magnitude que o campo E, parav → c .
E interessante analisar o comportamento temporal observado:
Seja um observador sobre o eixo x1, a uma distancia b da origem (b eo parametro de impacto); seja t = 0 o instante em que as origens deK e K ′ coincidem:
No sistema K ′, as componentes dos campos em P sao:
E ′x =
q
r ′3x ′ , E ′
y = 0 , E ′z =
q
r ′3z ′ , B′ = 0 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 452 / 603
Em K , conforme vimos:Ez = E ′
z
Ey = γE ′y = 0
Ex = γE ′x =
q
r ′3γx ′ =
qγx ′
(x ′2 + z ′2)3/2
=qγx
[x2 + γ2(z − vt)2]3/2, since x ′ = x , z ′ = γ(z − vt) .
No sistema K , as coordenadas de P sao (b, 0, 0). Queremos Ex nesseponto, de modo que x = b, y = 0, z = 0, → (z − vt)2 = v2t2,
Ex =qγb
[b2 + γ2v2t2]3/2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 453 / 603
Voltando ao campo longitudinal,
Ez = E ′z =
q
r ′3z ′ =
qγ(z − vt)
[x2 + γ2(z − vt)2]3/2
→ Ez = − qγvt
[x2 + γ2v2t2]3/2.
Vamos analisar o comportamento dessas componentes.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 454 / 603
Consideremos inicialmente a componente Ex :Para t → ±∞,
Ex →qγb
γ3v3|t|3 → 0 .
Para t → 0,
Ex →qγ
b2.
t
Ex
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 455 / 603
Quanto a componente Ez , temos:Para t → ±∞,
Ez → ∓qγv |t|γ3v3t3
= ∓ q
γ2v2t2→ 0∓ .
Para t → 0,Ez → 0 .
t
Ez
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 456 / 603
O valor maximo de Ez nao e afetado por β. Pode-se verificar issofazendo ∂tEz = 0. Obtem-se que o maximo ocorre para
t = ± b
2γv,
e que
Ez |max =q
2b2
(2
3
)3/2
.
A medida que β → 1, aumenta o pico representando Ex , enquanto seestreita. Vai tambem ficando menor a regiao em torno de t = 0 paraa qual Ez e relevante.
A passagem de uma partıcula carregada extremamente relativıstica evista como um forte pulso eletrico perpendicularmente a sua direcaode propagacao, acompanhado de um pulso magnetico perpendicularde magnitude similar (no sistema cgs gaussiano).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 457 / 603
Alguns comentarios sobre Mecanica Relativıstica;
momentum, energia, Lagrangiano da partıcula livre, etc.
Antes de passar a outros temas de interesse no Eletromagnetismo,vamos falar brevemente sobre o momentum e a energia de umapartıcula relativıstica. Na eq. (293), usamos p como parte de umquadrivetor energia-momentum, tal que pα = (p0,p), com p0 = E/c .Vamos agora justificar o uso dessas expressoes.
Na secao 11.5 de Jackson, 2nd ed., John Wiley, 1975, encontramosesse assunto discutido do ponto de vista de leis de conservacao deenergia e momentum. Vamos adotar um ponto de vista diferente,mais formal, para chegar aos mesmos resultados basicos. Aabordagem sera inspirada naquela dos paragrafos 8 e 9, do livro deLandau & Lifschitz.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 458 / 603
Vamos comecar discutindo o caso de uma partıcula livre.
De acordo com o princıpio de mınima acao, a evolucao da partıculadesde o evento a, (x0, x1, x2, x3)a, ate o evento b, (x0, x1, x2, x3)b,deve se proceder de forma a fazer com que uma integral S (a integralde acao) seja um extremo.
As equacoes de movimento sao determinadas pela condicao δS = 0.
...
Vamos exigir que a integral S seja um invariante de Lorentz, o quegarantira que as equacoes de movimento dela derivadas sejam asmesmas em todos os referenciais inerciais.
A integral que leva de a a b e uma integral em ds. Como naoconhecemos a forma da acao, vamos multiplicar o elemento deintegracao por uma quantidade (−α) (o sinal foi escolhido assim deforma proposital; α deve ser uma quantidade positiva, como veremosa seguir).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 459 / 603
Essa quantidade α nao deve depender da posicao, para uma partıculalivre,
S = −α∫ b
a
ds . (303)
Como ja sabemos,
ds2 = c2dt2 − |dx|2 = c2dt ′2 − |dx′|2 .
Multiplicando e dividindo o integrando de (303) por c , teremos
S = −αc∫ b
a
ds
c.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 460 / 603
Vamos considerar intervalos do tipo timelike; ou seja, os eventos a e bnunca serao simultaneos em nenhum referencial, de modo que existeuma evolucao temporal entre a e b em qualquer referencial.
Para cada ds, existe um referencial no qual os eventos estao nomesmo ponto, de modo que
ds
c= dt ′ ≡ dτ .
Ou seja,∫ b
a(ds/c) e a soma dos tempos proprios ao longo da
trajetoria, desde a ate b:
S = −αc∫ b
a
ds
c= −αc
∫ tb
ta
dt
γ= −αc
∫ tb
ta
dt√
1− β2 ,
pois ds/c = dτ = dt/γ.
→ S = −αc∫ tb
ta
dt√
1− β2 . (304)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 461 / 603
Considerando que a integral de acao e uma integral do Lagrangiano,
S =
∫ tb
ta
dt L ,
concluımos que
L = −αc√
1− β2 , (305)
para uma partıcula livre relativıstica.
Por outro lado, sabemos que no caso nao relativıstico, o Lagrangianode uma partıcula livre e dado por
Lnr =1
2mv2 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 462 / 603
Assim, fazendo o limite,
limβ→0
L = −αc(
1− β2
2
)
= −αc + 1
2αcβ2 .
−αc e uma constante; pode ser adicionada a Lnr sem afetar asequacoes de movimento. Dessa forma para que nossa mecanicarelativıstica tenha o limite correto, devemos ter
αcβ2 = mv2 → αv2
c= mv2 → α = mc .
Portanto, para uma partıcula relativıstica livre,
L = −mc2√
1− β2 , ou L = −mc2
γ. (306)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 463 / 603
Sabemos que
p =∂L
∂x= −mc2
1
2c2−2x
√
1− β2=
mx√
1− β2.
p = γmv , (307)
e o momentum de uma partıcula de massa m na MecanicaRelativıstica.
A partir de L, podemos construir o Hamiltoniano H, que no caso seraigual a energia da partıcula:
E = p·v−L = γmv2+mc2
γ= γmc2
[
β2 +1
γ2
]
= γmc2[β2 + (1− β2)
]=
→ E = γmc2 . (308)
Portanto, em repouso, E = mc2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 464 / 603
EscrevendoT = E −mc2 ,
definimos a energia cinetica de uma partıcula de massa m.
Vamos agora discutir a relacao entre energia e momentum.
p = γmv → p2c2 = γ2m2v2c2 .
Somando m2c4,
p2c2 +m2c4 = γ2m2v2c2 +m2c4 = m2c4(1 + γ2β2)
= m2c4[
1 +β2
1− β2]
= m2c4[1− β2 + β2
1− β2]
= γ2m2c4
E2 = p2c2 +m2c4 . (309)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 465 / 603
Ja tınhamos visto anteriormente o quadrivetor velocidade, Uα:
Uα = (U0,U) = (γc , γu) .
Portanto,p = γmv = mU ;
Alem disso,
E = γmc2 = mc(γc) = mcU0 → mU0 =Ec.
Ou seja, podemos construir um quadrivetor momentum, dado por
pα =
(Ec,p
)
,
conforme a eq. (293), com
p0 =Ec.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 466 / 603
O quadrivetor momentum pode ser escrito tambem em termos doquadrivetor velocidade,
pα = m(U0,U
).
O modulo quadrado desse quadrivetor e dado por
pαpα =E2c2− p2 = γ2m2c2 − γ2m2v2 = m2c2γ2
(
1− v2
c2
)
= m2c2
pαpα = m2c2 . (310)
(Como todo escalar, a massa de repouso e um invariante frente amudanca de referencial inercial).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 467 / 603
Aplicacao:
Vamos agora calcular a energia mınima necessaria para que ocorra areacao entre dois protons, produzindo tres protons e um anti-proton,
p + p → p + p + p + p .
No sistema LAB, temos uma partıcula em repouso e outra emmovimento,
p1 6= 0 , E1 = γmc2
p2 = 0 , E2 = mc2 .
No sistema CM, teremos
p′1 = −p′2 , E ′1 = E ′2 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 468 / 603
Usando equacao de conservacao de energia-momentum, temos omomentum antes da reacao igual ao momentum depois da reacao:
(p′µ)1 + (p′µ)2 = (p′µ)f ,
onde o f refere-se a ’final’ e ’1’ e ’2’ referem-se as partıculas 1 e 2.
Fazendo o modulo quadrado desse quadrivetor
(p′µ)f (p′µ)f = (p′0)f (p
′0)f = m2
f c2 ,
onde mf = 4m.
Portanto, da equacao de conservacao,
[(p′µ)1 + (p′µ)2
] [(p′µ)1 + (p′µ)2
]
= (p′µ)1(p′µ)1 + (p′µ)2(p
′µ)2 + (p′µ)1(p
′µ)2 + (p′µ)2(p
′µ)1
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 469 / 603
O ultimo termo e igual ao terceiro,
(p′µ)2(p′µ)1 = (p′µ)2(p
′µ)1 ,
e os dois primeiros resultam simplesmente m2c2.
Desse modo,
2(p′µ)1(p′µ)2 = m2
f c2 − 2m2c2 = (4m)2c2 − 2m2c2
= 16m2c2 − 2m2c2 = 14m2c2 ,
resultando entao(p′µ)1(p
′µ)2 = 7m2c2 .
Essa quantidade e um invariante.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 470 / 603
Passando para o sistema LAB, teremos
(pµ)2 = 0 , µ = 1, 2, 3
(p0)2 =mc2
c6= 0 .
(p0)1(p0)2 = 7m2c2 → E1c
E2c
= 7m2c2 .
E1 =7m2c4
E2=
7m2c4
mc2
→ E1 = 7mc2 ,
a energia mınima do proton incidente para que se produza a reacao.
Obs.: Esse E e a energia total do proton incidente, E = 7mc2; suaenergia cinetica deve ser T = 6mc2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 471 / 603
Partıcula em um campo eletromagnetico dado
Para uma carga q em um campo dado, podemos escrever
S =
∫ b
a
[
−mc ds − q
cAαdx
α]
−q
cAαdx
α = −q
c
[A0dx
0 + A1dx1 + A2dx
2 + A3dx3].
Essa expressao e invariante de Lorentz, como deve ser; alem disso,temos
S =
∫ b
a
[
−mc2 dt√
1− β2 − q
cAαdx
α]
=
∫ tb
ta
dt
[
−mc2√
1− β2 + q
cA · dx
dt− qΦ
]
,
onde usamos Aα = (Φ,−A).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 472 / 603
No limite |dx/dt| << c , a expressao que acrescentamos aoLagrangiano de partıcula livre recai em −qΦ, ou seja, −U (energiapotencial de uma carga em um potencial dado).
Ou seja, obtivemos desta forma o Lagrangiano de uma partıcula demassa m e carga q, em um campo EM dado:
L = −mc2√
1− β2 + qA · ~β − qΦ , (311)
Quanto ao momentum, nesse caso temos:
P =∂L
∂v= −mc2
1√
1− β2
(−vc2
)
+q
cA = γmv +
q
cA .
P = γmv +q
cA = p+
q
cA , (312)
onde p e o momentum usual.
P e o momentum canonico de uma partıcula de carga q e massa m,em um campo externo.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 473 / 603
Usando a definicao de Hamiltoniano,
H = P · v − L = γmv2 +q
cA · v + mc2
γ− qA · ~β + qΦ
H = γmc2(v2
c2+
1
γ2
)
+ qΦ .
H = γmc2 + qΦ . (313)
Por outro lado,γmc2 = E =
√
p2c2 +m2c4
γmc2 = E =
√(
P− q
cA)2
c2 +m2c4
γmc2 = E =
√
(cP− qA)2 +m2c4 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 474 / 603
. . .
H =
√
c2(
P− q
cA)2
+m2c4 + qΦ . (314)
Alem disso,
(H − qΦ)2 = c2(
P− q
cA)2
+m2c4
1
c2(H − qΦ)2 −
(
P− q
cA)2
=(m2c2
).
Isso e a mesma coisa que pαpα = (mc)2, com
pα ≡[1
c(H − qΦ),P− q
cA
]
,
o quadrivetor energia-momentum.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 475 / 603
Equacoes de movimento
Lagrangiano,
L = −mc2
γ+ qA · ~β − qΦ .
Equacoes de Lagrange:
∂L
∂x i− d
dt
∂L
∂x i= 0
∂L
∂x i→ ∂L
∂x= q∇(A · ~β)− q∇Φ
∂L
∂x i→ ∂L
∂x= P = p+
q
cA .
Dessa forma, a equacao de Lagrange fica
q∇(A · ~β)− q∇Φ− d
dt
(
p+q
cA)
= 0 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 476 / 603
Agora, de uma relacao vetorial, temos
∇(A · B) = (A · ∇)B+ (B · ∇)A+ A× (∇× B) + B× (∇× A) .
Usando ~β em lugar de B, sabendo que ∇~β = 0 e ∇× ~β = 0, temos
q[
(~β · ∇)A+ ~β × (∇×A)]
− q∇Φ− d
dt
(
p+q
cA)
= 0 .
⇒ d
dt
(
p+q
cA)
= q[
(~β · ∇)A+ ~β × (∇× A)]
− q∇Φ .
(315)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 477 / 603
. . .
dp
dt= −q
c
[dA
dt− (v · ∇)A
]
︸ ︷︷ ︸
+q[
~β × (∇× A)−∇Φ]
.
[dA
dt− (v · ∇)A
]
︸ ︷︷ ︸
=∂A
∂t+ (v · ∇)A− (v · ∇)A ,
onde usamos a definicao da derivada convectiva,
dA
dt=∂A
∂t+ (v · ∇)A .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 478 / 603
Portanto,
dp
dt= −q
c
∂A
∂t+ q
[
~β × (∇× A)−∇Φ]
. (316)
Por outro lado,
E = −1
c
∂A
∂t−∇Φ, B = ∇× A
⇒ dp
dt= q
[
E+1
cv × B
]
, a forca de Lorentz . (317)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 479 / 603
Obtencao da equacao de movimento das partıculas a
partir de H
Temos
H =
√
c2(
P− q
cA)2
+m2c4 + qΦ
x =∂H
∂PP = −∂H
∂x.
Componente i ,
x i =c2(P i − qAi/c)
H − qΦ= c2
pi
γmc2,
usando (312) e a equacao seguinte.
pi = γmx i (318)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 480 / 603
Da equacao para a componente i do momentum,
P i = −[
−qcc2(P− q
cA)·(∂A∂x i
)
H − qΦ+ q
∂Φ
∂x i
]
P i = −[
−qcc2p ·
(∂A∂x i
)
γmc2+ q
∂Φ
∂x i
]
= −[
−qcp ·(∂A∂x i
)
γm+ q
∂Φ
∂x i
]
→ P i = −[
−q
cv ·(∂A
∂x i
)
+ q∂Φ
∂x i
]
= −q[∂Φ
∂x i− 1
cv ·(∂A
∂x i
)]
.
Por outro lado,
P i = pi +q
c
dAi
dt= pi +
q
c
[∂Ai
∂t+ (v · ∇)Ai
]
.
Usando esse resultado na equacao anterior,
pi = −q[∂Φ
∂x i− 1
cv ·(∂A
∂x i
)
+1
c
∂Ai
∂t+
1
c(v · ∇)Ai
]
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 481 / 603
Para interpretar essa equacao de uma outra forma, vamos considerarcomponente a componente.
Para a componente i = 1,
p1 = −q[
∂x1Φ+1
c
(
∂tA1 + v1∂x1A
1
︸ ︷︷ ︸+v2∂x2A
1 + v3∂x3A1
)
− 1
cv1∂x1A
1
︸ ︷︷ ︸
−1
cv2∂x1A
2 − 1
cv3∂x1A
3
]
.
onde os sımbolos v2, A2, etc. significam as componentes, naopotencias das quantidades.
Cancelando os termos assinalados, e re-escrevendo,
p1 = −q[
∂x1Φ+1
c∂tA
1
︸ ︷︷ ︸
+v2
c
(∂x2A
1 − ∂x1A2)
︸ ︷︷ ︸+v3
c
(∂x3A
1 − ∂x1A3)
︸ ︷︷ ︸
]
p1 = −q[
−E 1−v2
c(∇× A)3 +
v3
c(∇× A)2
︸ ︷︷ ︸
]
.
(onde novamente temos as componentes, e nao potencias).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 482 / 603
Temos
p1 = −q[
−E 1−v2
c(∇× A)3 +
v3
c(∇× A)2
︸ ︷︷ ︸
]
p1 = q
[
E 1 +1
c[v × (∇× A)]1
]
.
Fazendo o mesmo para as demais componentes, teremos
p = q
[
E+1
c(v × B)
]
,
que e novamente a expressao para a forca de Lorentz, como a eq.(317).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 483 / 603
Formulacoes Lagrangiana e Hamiltoniana para o campo
eletromagnetico
Ja escrevemos a acao para uma partıcula em um campoeletromagnetico, na forma
S =
∫ b
a
[
−mc ds − q
cAαdx
α]
.
Para o campo propriamente dito, podemos considerar que suas“coordenadas” sao os Aα e suas “velocidades” sao os ∂βAα.
Como se recorda, para sistemas contınuos o Lagrangiano passa a sersubstituıdo por uma densidade Lagrangiana, de modo que
L →∫
d3x L(Φ, ∂αΦ) , (319)
onde Φ e o campo, ou seja, a “coordenada”.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 484 / 603
Para a equacao de Euler-Lagrange, terıamos
∂L
∂q− d
dt
∂L∂q
= 0 → ∂L∂Φ− ∂β
[∂L
∂(∂βΦ)
]
= 0 ,
onde fica implıcito um somatorio sobre β.
Ou seja, para o termo devido ao campo, teremos:
Sc =
∫
dt L =
∫
dt
∫
d3x L ⇒∫
d4x L .
O L nao deve depender dos potenciais, que nao sao univocamentedefinidos; deve ser invariante de Lorentz (o que garante que asequacoes de movimento dele originadas tambem o sejam), eesperamos que seja quadratico nas velocidades, a semelhanca do Lpara partıculas.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 485 / 603
Satisfazendo esses requisitos, podemos escrever
L ∝ FαβFαβ ,
adotando como constante de proporcionalidade a quantidade(−1/16π).Obs.: A quantidade FαβF
αβ e um escalar de Lorentz; ver o problema11.12, Jackson, 2nd ed., John Wiley, 1975.
Com a adocao dessa contribuicao correspondente ao campo, aintegral de acao fica dada por:
S =
∫ b
a
[
−mc ds − q
cAαdx
α]
− 1
16π
∫
d4x FαβFαβ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 486 / 603
Se ao inves de uma partıcula tivermos um conjunto de partıculas,teremos:
S =∑
i
∫ b
a
ds [−mic]−∫
d4x
[ρ
cAα
dxα
dt+
1
16πFαβF
αβ
]
,
pois∑
i
qiAα(xi ) dxα →
∫
d3x ρAαdxα .
Lembrando a definicao do quadrivetor corrente, teremos
S =∑
i
∫ b
a
ds [−mic]−∫
d4x
[1
cAαJ
α +1
16πFαβF
αβ
]
,
de modo que (usando d4x = d3xdt)
S = −∑
i
∫ b
a
ds mic −∫
d4x
[1
cJαA
α +1
16πFαβF
αβ
]
. (320)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 487 / 603
A partir dessa acao que obtivemos, ou seja, do Lagrangiano obtido,podem ser derivadas as equacoes de Euler-Lagrange.
Para obter as equacoes de movimento de partıculas, sujeitas aoscampos, consideramos os campos dados.
Nesse caso, o termo com FαβFαβ aparece como uma constante, e as
equacoes de Euler-Lagrange resultam na forca de Lorentz, como em(317).
Por outro lado, quando procuramos equacoes para os campos,conhecidas as posicoes e momenta das partıculas, as quantidades Jαsao constantes, e as equacoes para os campos sao derivadas daseguinte densidade Lagrangiana,
L = − 1
16πFαβF
αβ − 1
cJαA
α . (321)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 488 / 603
Agora, consideremos a seguinte derivada;
∂AγL = −1
cδαγ Jα = −1
cJγ . (322)
∂L∂(∂µAν)
= − 1
16π
∂
∂(∂µAν)
[
gαγFγδgδβF
αβ]
= − 1
16πgαγgδβ
∂
∂(∂µAν)
[
(∂γAδ − ∂δAγ)(∂αAβ − ∂βAα)]
= − 1
16πgαγgδβ
[
(δ γµ δ
δν − δ δ
µ δγν )(∂αAβ − ∂βAα)
+(∂γAδ − ∂δAγ)(δ αµ δ
βν − δ β
µ δαν )]
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 489 / 603
= − 1
16πgαγgδβ
[
(δγµδδν − δ δ
µ δγν)(∂
αAβ − ∂βAα)
+(∂γAδ − ∂δAγ)(δ αµ δ
βν − δβµδ α
ν )]
= − 1
16π
[
(gαµgνβ − gµβgαν)(∂αAβ − ∂βAα)
+(∂γAδ − ∂δAγ)(gµγgδν − gδµgνγ)]
No ultimo termo trocamos os ındices mudos:
γ → α δ → β ,
→ − 1
16π
[
(gαµgνβ − gµβgαν)(∂αAβ − ∂βAα)
+(∂αAβ − ∂βAα)(gµαgβν − gβµgνα)]
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 490 / 603
= − 1
16π(∂αAβ − ∂βAα) [(gαµgνβ − gµβgαν) + (gµαgβν − gβµgνα)]
= − 1
16πFαβ [(gαµgνβ − gµβgαν) + (gµαgβν − gβµgνα)]
= − 2
16πFαβ [gαµgνβ − gµβgαν ] ,
onde no ultimo passo usamos a simetria de gαβ = gβα.
Continuando,
→ − 2
16π
[
gαµFαβgνβ − gµβF
αβgαν
]
= − 2
16π
[
gµαFαβgβν − gναF
αβgβµ
]
,
= − 2
16π[Fµν − Fνµ] = −
4
16πFµν ,
uma vez que Fνµ = −Fµν .Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 491 / 603
Ou seja,∂L
∂(∂µAν)= − 1
4πFµν . (323)
Juntando a eq. (322) e a eq. (323), a equacao de Euler-Lagrange ficadada por
∂AνL = ∂µ[
∂L∂(∂µAν)
]
⇒ −1
cJν = − 1
4π∂µFµν .
1
4π∂µFµν =
1
cJν . (324)
Aqui temos as equacoes nao-homogeneas de Maxwell, na formacovariante, as mesmas que ja tınhamos na eq. (291).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 492 / 603
Quanto as equacoes homogeneas de Maxwell, sao satisfeitasidenticamente pelos campos Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα; como lembramos,os potenciais foram definidos de maneira a satisfazer as equacoeshomogeneas,
B = ∇× A → ∇ ·B = 0 ,
E = −1
c∂tA−∇Φ → ∇× E = −1
c∂tB .
Em notacao covariante, como ja vimos,
∂αF βγ + ∂γFαβ + ∂βF γα = 0 . (325)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 493 / 603
Vamos agora tentar obter uma generalizacao para o conceito deHamiltoniano, para descrever os campos:
Quanto temos apenas o tempo como variavel independente, temos
L(q, q, t) , pi =∂L
∂qi, H =
∑
i
pi qi − L .
No caso de sistemas contınuos, onde temos uma densidadeLagrangiana,
L(Φi , ∂tΦi , t) , Πi =∂L
∂(∂tΦi ),
H =∑
i
∂L∂(∂tΦi)
(∂tΦi)− L .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 494 / 603
No caso de uma descricao de campos, como estamos nos propondo afazer, temos quatro variaveis independentes; baseados na formahabitual do Hamiltoniano vamos sugerir uma generalizacao, na formado tensor canonico das tensoes (canonical stress tensor),
Tαβ =∑
k
∂L∂(∂αΦk)
∂βΦk − gαβL , (326)
onde os φk sao os campos usados para descrever o sistema.
O tensor Tαβ satisfaz uma propriedade muito importante, que vamosdemonstrar agora.
Consideremos o seguinte:
∂αTαβ =
∑
k
∂α
[∂L
∂(∂αΦk)∂βΦk
]
− ∂αgαβL
=∑
k
[
∂α∂L
∂(∂αΦk)∂βΦk +
∂L∂(∂αΦk)
∂α∂βΦk
]
− ∂βL .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 495 / 603
Por outro lado, a equacao de Euler-Lagrange para os campos Φk seriadada por
∂L∂Φk
− ∂α∂L
∂(∂αΦk)= 0 ,
ou, o que e a mesma coisa,
∂L∂Φk
− ∂α ∂L∂(∂αΦk)
= 0 .
Portanto, ficamos com
∂αTαβ =
∑
k
[∂L∂Φk
∂βΦk +∂L
∂(∂αΦk)∂β∂αΦk
]
− ∂βL ,
onde usamos ∂α∂βΦk = ∂β∂αΦk .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 496 / 603
Ou seja, continuando,
∂αTαβ =
∑
k
[∂L∂Φk
∂βΦk +∂L
∂(∂αΦk)∂β∂αΦk
]
− ∂βL ,
Se L for apenas funcao de Φk e de suas derivadas,
∂αTαβ = ∂βL(Φk , ∂
αΦk)− ∂βL = 0 .
Provamos entao um resultado muito significativo, e que usaremos noque segue:
∂αTαβ = 0 . (327)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 497 / 603
Vamos agora tentar interpretar o significado do tensor pela eq. (326),considerando inicialmente o caso de um campo eletromagnetico novacuo (ausencia de fontes). Nesse caso,
L = − 1
16πFµνF
µν , (328)
Os Φk sao, nesse caso, as componentes Aα.
Usando a definicao (326),
Tαβ =∂L
∂(∂αAλ)∂βAλ − gαβL .
Sabemos que∂L
∂(∂µAν)= − 1
4πFµν ,
→ ∂L∂(∂µAν)
= − 1
4πFµν = −
1
4πgµαFαν ,
Tαβ = − 1
4πgαµFµλ∂
βAλ − gαβL . (329)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 498 / 603
Antes de tentar interpretar a eq. (329), consideramos o seguinte:
Fλβ = ∂λAβ − ∂βAλ → ∂βAλ = ∂λAβ − Fλβ .
Portanto, a eq. (329) fica dada por
Tαβ = − 1
4πgαµFµλ
[
∂λAβ − Fλβ]
− gαβL .
= − 1
4πgαµFµλ
[
∂λAβ − Fλβ]
+1
16πgαβFµνF
µν ,
=1
4π
[
gαµFµλFλβ +
1
4gαβFµνF
µν
]
− 1
4πgαµFµλ∂
λAβ ,
onde usamos a eq. (328), valida para o caso sem fontes.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 499 / 603
Tomando o ultimo termo da equacao obtida, podemos escrever:
− 1
4πgαµFµλ∂
λAβ = − 1
4πFαλ∂
λAβ
= − 1
4πFαγgγλ∂
λAβ = − 1
4πFαγ∂γA
β = − 1
4πFαλ∂λA
β
=1
4πFλα∂λA
β =1
4π
[
Fλα∂λAβ + Aβ ∂λF
λα
︸ ︷︷ ︸
]
,
onde somamos o termo assinalado por ...︸︷︷︸
, que e nulo,
∂λFλα =
4π
cJα = 0 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 500 / 603
Dessa forma,
1
4π
[
Fλα∂λAβ + Aβ ∂λF
λα
︸ ︷︷ ︸
]
=1
4π∂λ
[
FλαAβ]
≡ TαβD .
(330)
Ou seja, temos o seguinte:
Tαβ =1
4π
[
gαµFµλFλβ +
1
4gαβFµνF
µν
]
+ TαβD .
Agora, podemos definir o tensor das tensoes simetrico (symmetricstress tensor), Θαβ:
Θαβ ≡ Tαβ − TαβD =
1
4π
[
gαµFµλFλβ +
1
4gαβFµνF
µν
]
.
(331)
Precisamos agora justificar o nome desse tensor, que mencionasimetria. O segundo termo acima e evidentemente simetrico. Vamosagora discutir em detalhe a simetria do primeiro termo.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 501 / 603
Simetria do termo gαµFµλFλβ:
gαµFµλFλβ = FαλF
λβ = FανgνλFλβ = FανF β
ν = FανFνµgµβ .
Trocando ν → λ,
FαλFλµgµβ = gβµFλαFµλ = gβµFµλF
λα .
Mostramos a simetria desse termo. Portanto,
Θαβ = Θβα , (332)
c.q.d.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 502 / 603
Agora podemos partir para a interpretacao do significado do tensordado pela equacao (331).
Calculando explicitamente,
Θ00 =1
8π
(E 2 + B2
)
Θ0i =1
4π(E× B)i (i= 1, 2, 3) (333)
Θij = − 1
4π
[
EiEj + BiBj −1
2δij(E 2 + B2
)]
.
Ou seja, verificamos o seguinte:
Θ00 e a densidade de energia eletromagnetica;Θ0i e a componente i do vetor de Poynting (dividida por c);Θij , (i , j = 1, 2, 3) representa o negativo do “Maxwell stress tensor”(ver cap. VI), representando o fluxo de momentum.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 503 / 603
Agora, apliquemos uma divergencia no tensor TαβD ,
∂αTαβD =
1
4π∂α∂λ
[
FλαAβ]
=1
8π∂α∂λ
[
FλαAβ]
+1
8π∂α∂λ
[
FλαAβ]
=1
8π∂α∂λ
[
FλαAβ]
− 1
8π∂α∂λ
[
FαλAβ]
︸ ︷︷ ︸
,
onde usamos a anti-simetria do tensor Fαβ.
Fazendo λ→ α e α→ λ no termo com ...︸︷︷︸
, ficamos com
∂αTαβD =
1
8π∂α∂λ
[
FλαAβ]
− 1
8π∂λ∂α
[
FλαAβ]
= 0 .
Fazendo a divergencia do tensor Θαβ , usando o resultado acima, elevando em conta que podemos usar a eq. (327) uma vez que Ldepende apenas das derivadas dos Aµ, obtemos
∂αTαβ = ∂αΘ
αβ = 0 ,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 504 / 603
Portanto, usando os Θαβ , as leis de conservacao ficam expressas daforma seguinte:
∂αΘαβ = 0 . (334)
Ou seja, explicitamente,
β = 0 → ∂αΘα0 = 0 → 1
c
(∂u
∂t+∇ · S
)
= 0 ;
β = i → ∂αΘαi = 0 → ∂gi
∂t−
3∑
j=1
∂
∂xjT
(M)ij = 0 ,
onde gi e uma componente de
g =1
4πc(E× B) =
1
c2S ,
o momentum eletromagnetico.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 505 / 603
No caso de campos eletromagneticos interagindo com partıculascarregadas, podemos generalizar as leis de conservacao.
Partimos da eq. (328), incorporando um termo com as fontes,
L = − 1
16πFµνF
µν − 1
cJαA
α , (335)
Usando a definicao (326),
Tαβ =∂L
∂(∂αAλ)∂βAλ − gαβL . (336)
Sabemos que∂L
∂(∂µAν)= − 1
4πFµν ,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 506 / 603
→ ∂L∂(∂µAν)
= − 1
4πFµν = − 1
4πgµαFαν ,
Tαβ = − 1
4πgαµFµλ∂
βAλ − gαβL , (337)
a mesma expressao que aquela dada pela eq. (329).
Como ja vimos,
Fλβ = ∂λAβ − ∂βAλ → ∂βAλ = ∂λAβ − Fλβ .
Portanto, a eq. (337) fica dada por
Tαβ = − 1
4πgαµFµλ
[
∂λAβ − Fλβ]
− gαβL ,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 507 / 603
= − 1
4πgαµFµλ
[
∂λAβ − Fλβ]
+1
16πgαβFµνF
µν +1
cgαβJµA
µ ,
=1
4π
[
gαµFµλFλβ +
1
4gαβFµνF
µν
]
− 1
4πgαµFµλ∂
λAβ +1
cgαβJµA
µ ,
onde usamos a eq. (335), valida para o caso com fontes.
Tomando o penultimo termo da equacao obtida, podemos escrever:
− 1
4πgαµFµλ∂
λAβ = − 1
4πFαλ∂
λAβ
= − 1
4πFαγgγλ∂
λAβ = − 1
4πFαγ∂γA
β = − 1
4πFαλ∂λA
β
=1
4πFλα∂λA
β =1
4π
[
Fλα∂λAβ + Aβ∂λF
λα − Aβ∂λFλα]
=1
4π
[
Fλα∂λAβ + Aβ∂λF
λα − Aβ4π
cJα]
,
onde usamos a eq. (324), no ultimo termo.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 508 / 603
Dessa forma, ficamos com
1
4π
[
Fλα∂λAβ + Aβ∂λF
λα − Aβ4π
cJα]
=1
4π∂λ
[
FλαAβ]
− 1
4πAβ
4π
cJα ≡ Tαβ
D − 1
cAβJα . (338)
Ou seja, temos o seguinte na expressao de Tαβ :
Tαβ =1
4π
[
gαµFµλFλβ +
1
4gαβFµνF
µν
]
+TαβD −
1
cAβJα+
1
cgαβJµA
µ ,
Tαβ = Θαβ + TαβD − 1
cAβJα +
1
cgαβJµA
µ ,
onde usamos o tensor das tensoes simetrico (symmetric stress tensor),Θαβ, definido na eq. (331).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 509 / 603
Agora, apliquemos uma divergencia nesse tensor. Podemos partir daequacao que aparece pouco antes da eq. (327),
∂αTαβ =
∂L∂Aλ
∂βAλ +∂L
∂(∂αAλ)∂β∂αAλ − ∂βL
Considerando a forma explıcita de L, dada pela eq. (335),
L = − 1
16πFµνF
µν − 1
cJαA
α = L(Aλ, ∂αAλ, Jα) ,
teremos
∂βL =∂L∂Aλ
∂βAλ +∂L
∂(∂αAλ)∂β∂αAλ +
∂L∂Jα
∂βJα
Portanto (usando α→ µ no ultimo termo),
∂L∂Aλ
∂βAλ +∂L
∂(∂αAλ)∂β∂αAλ = ∂βL− ∂L
∂Jµ∂βJµ
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 510 / 603
Usando essa relacao na expressao anterior, teremos
∂αTαβ = ∂βL − ∂L
∂Jµ∂βJµ − ∂βL = − ∂L
∂Jµ∂βJµ
Portanto,
∂αTαβ = ∂αΘ
αβ + ∂αTαβD − 1
c∂α(A
βJα) +1
c∂α(g
αβJµAµ)
= − ∂L∂Jµ
∂βJµ =1
cAµ∂βJµ
Uma vez que ja vimos que ∂αTαβD = 0, ficamos com
∂αΘαβ − 1
c∂α(A
βJα) +1
c∂α(g
αβJµAµ)− 1
cAµ∂βJµ = 0
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 511 / 603
Na expressao anterior, temos
−∂α(AβJα) + ∂α(gαβJµA
µ) = −Jα∂αAβ − Aβ∂αJα + ∂β(JµA
µ)
= −Jα∂αAβ + ∂β(JµAµ) ,
onde usamos a eq. da continuidade, ∂αJα = 0.
Fazendo α→ µ no primeiro termo, ficamos com
= −Jµ∂µAβ + ∂β(JµAµ) = −Jµ∂µAβ + Jµ∂
βAµ + Aµ∂βJµ
= −JµFµβ + Aµ∂βJµ = F βµJµ + Aµ∂βJµ .
Retornando com essa expressao para a expressao do divergente dotensor Θαβ,
∂αΘαβ = −1
cF βµJµ −
1
cAµ∂βJµ +
1
cAµ∂βJµ
→ ∂αΘαβ = −1
cF βµJµ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 512 / 603
Podemos fazer de outra forma, partindo diretamente da eq. (331),
∂αΘαβ =
1
4π∂α
[
gαµFµλFλβ +
1
4gαβFµνF
µν
]
,
∂αΘαβ =
1
4π
[
∂µFµλFλβ +
1
4∂βFµλF
µλ
]
,
onde trocamos ν → λ, no segundo termo, uma vez que se trata deum ındice mudo.
Prosseguindo,
∂αΘαβ =
1
4π
[
(∂µFµλ)Fλβ + Fµλ∂
µFλβ +1
4(∂βFµλ)F
µλ +1
4Fµλ∂
βFµλ]
∂αΘαβ =
1
4π
[4π
cJλF
λβ + Fµλ∂µFλβ +
1
4(∂βFµλ)Fµλ +
1
4Fµλ∂
βFµλ]
,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 513 / 603
∂αΘαβ =
1
cJλF
λβ +1
4π
[
Fµλ∂µFλβ +
1
2Fµλ∂
βFµλ]
,
∂αΘαβ =
1
cJλF
λβ +1
8πFµλ
[
∂µFλβ + ∂µFλβ + ∂βFµλ]
.
Usando as equacoes homogeneas de Maxwell, dadas pela eq. (325),
∂αΘαβ =
1
cJλF
λβ +1
8πFµλ
[
∂µFλβ − ∂λF βµ]
,
∂αΘαβ =
1
cJλF
λβ +1
8πFµλ
[
∂µFλβ + ∂λFµβ]
,
∂αΘαβ =
1
cJλF
λβ +1
8π
[
Fµλ∂µFλβ + Fλµ∂
µFλβ]
,
onde no ultimo termo trocamos os ındices mudos λ→ µ e µ→ λ.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 514 / 603
Agora, levando em conta a anti-simetria do tensor Fµλ, ocorrecancelamento dos termos entre colchetes, e ficamos com
∂αΘαβ =
1
cJλF
λβ .
Ou seja, as leis de conservacao ficam da forma seguinte (ver Jackson,2nd ed., John Wiley, 1975, Sec. 12.10, (c)):
∂αΘαβ = −1
cF βλJλ . (339)
Escrevendo explicitamente,
β = 0 → ∂αΘα0 = −1
cF 0λJλ ,
→ 1
c
(∂u
∂t+∇ · S
)
= −1
cJ · E ;
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 515 / 603
Prosseguindo,
β = i → ∂αΘαi = −1
cF iλJλ ,
→ ∂gi∂t−
3∑
j=1
∂
∂xjT
(M)ij = −
[
ρEi +1
c(J× B)i
]
,
onde gi e uma componente de
g =1
4πc(E× B) =
1
c2S ,
o momentum eletromagnetico.
Definindo o quadrivetor densidade de forca de Lorentz,
f β ≡ 1
cF βλJλ =
[1
cJ · E , ρE+
1
c(J× B)
]
,
temos
∂αΘαβ + f β = 0 . (340)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 516 / 603
Sistemas radiantes simples
Vimos anteriormente que podemos escolher um conjunto depotenciais que obedecem ao calibre de Lorentz, ∇ ·A+(1/c)∂tΦ = 0.
Esses potenciais entao obedecem a equacao da onda, nao-homogenea:
∇2Φ− 1
c2∂2
∂t2Φ = −4πρ ,
∇2A− 1
c2∂2
∂t2A = −4π
cJ .
Ja vimos tambem que a solucao da equacao da onda (solucaoparticular) pode ser expressa na forma:
A(x, t) =1
c
∫
d3x′∫
dt ′J(x′, t ′)|x− x′| δ
[
t ′ −(
t − |x− x′|c
)]
, (341)
com uma expressao similar para Φ(x, t).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 517 / 603
Sejaρ(x, t) = ρ(x)e−iωt , J(x, t) = J(x)e−iωt . (342)
Usando a expressao de J e fazendo a integracao em t ′,
A(x, t) =1
c
∫
d3x′J(x′)|x− x′|e
i(ω/c)|x−x′ |e−iωt ,
⇒ A(x) =1
c
∫
d3x′J(x′)|x− x′|e
ik|x−x′| , (343)
onde k = ω/c e o chamado numero de onda.
No denominador temos
|x− x′| =[x2 + x ′2 − 2x · x′
]1/2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 518 / 603
Se fonte tiver dimensao da ordem de “d ′′, e se r = |x| >> d , teremos
|x− x′| ≃[r2 − 2rn · x′
]1/2 ≃ r[
1− n
r· x′]
= r − n · x′ . (344)
Usando a eq. (344) na eq. (343), e mantendo apenas o primeirotermo,
A(x) =1
c
∫
d3x′J(x′)r
e ikr =e ikr
cr
∫
d3x′ J(x′) .
Vamos considerar a componente i da integral que aparece naexpressao anterior, ∫
d3x′ Ji = ?
Consideremos o seguinte:
∇ · (xiJ) = J · ∇xi + xi∇ · J = Ji + xi∇ · J ,
⇒ Ji = ∇ · (xiJ)− xi∇ · J .Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 519 / 603
Portanto,∫
d3x′ Ji =
∫
d3x ′ ∇′ · (x ′i J)−∫
d3x ′ x ′i (∇′ · J)
=
∮
d2x ′ (x ′i J) · ns −∫
d3x ′ x ′i (∇′ · J) .
Como a fonte e localizada, o termo de superfıcie e nulo, e ficamoscom
∫
d3x′ Ji = −∫
d3x ′ x ′i (∇′ · J) .
Usando esse resultado,
A(x) = −e ikr
cr
∫
d3x′ x′(∇′ · J) .
Da equacao da continuidade,,
∂tρ+∇ · J = 0 , ⇒ −iωρ = −∇ · J ,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 520 / 603
. . .
⇒ A(x) = −e ikr
cr
∫
d3x′ (iωρ)x′ .
⇒ A(x) = −e ikr
cr(iω)
∫
d3x′ ρx′
︸ ︷︷ ︸
p
.
⇒ A(x) = − iω
cre ikrp . = − ik
re ikrp . (345)
Podemos obter os campos, fazendo
B = ∇× A , (346)
∇× B =4π
cJ+
1
c∂tE ;
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 521 / 603
Fora da fonte, J = 0, de modo que
∇× B = − iω
cE ,
E =i
k∇× B . (347)
Usando a expressao de A,
B = ∇×[
− ik
re ikrp
]
= −ik∇×(e ikr
rp
)
,
= −ik
∇(e ikr
r
)
× p+e ikr
r∇× p︸ ︷︷ ︸
=0
,
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 522 / 603
B = −ik ikre ikr
[
1− 1
ikr
]
(n× p)
B = k2e ikr
r
(
1− 1
ikr
)
(n× p) (348)
Usando a eq. (347),
E =i
k∇× B =
i
kk2∇× (aψ) ,
onde
a = n× p , ψ =e ikr
r
(
1− 1
ikr
)
.
⇒ E = ik [∇ψ × a+ ψ∇× a] .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 523 / 603
Detalhando os calculos,
∇× a = ∇× (n× p) = n(∇ · p)− p(∇ · n) + (p · ∇)n− (n · ∇)p .
Os termos com operadores aplicados a p sao nulos (p nao depende der), o que nos leva a
∇× a = (p · ∇)n− p(∇ · n) .
∇ψ = ∂r
[e ikr
r
(
1− i
ikr
)]
n
=
[
ikψ + e ikr(
− 1
r2+
2
ikr3
)]
n
=
[
ikψ +e ikr
r2
(
−1 + 2
ikr
)]
n .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 524 / 603
E = ik
ikψ[n× (n× p)] +e ikr
r2
(
−1 + 2
ikr
)
[n× (n× p)]
+ ψ [(p · ∇)n− p(∇ · n)]
Temos
p(∇ · n) = p∇ · xr= p
[
x · ∇(1
r
)
+1
r∇ · x
]
= p
[
x ·(
− 1
r2
)
n+3
r
]
= p
[
−x · xr3
+3
r
]
=2
rp .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 525 / 603
Temos tambem
(p · ∇)n =∑
i
pi∂in =∑
i
pi∂ix
r=∑
i
pi
[∂ix
r+ x∂i
1
r
]
=p
r+ x
∑
i
pi
(
− 1
r2
)
∂i r︸︷︷︸
xi/r
=p
r− x
r3(p · x)
=p
r− n(p · n)
r.
Usando esses resultados,
E = −k2ψ[n× (n× p)] + ike ikr
r2
(
−1 + 2
ikr
)
[n× (n× p)]
+ ike ikr
r
(
1− 1
ikr
)[p
r− n(p · n)
r− 2
rp
]
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 526 / 603
Prosseguindo,
E = −k2 eikr
r
(
1− 1
ikr
)
[n× (n× p)]
+ ike ikr
r2
(
−1 + 2
ikr
)
[n× (n× p)]
+ ike ikr
r
(
1− 1
ikr
)[
−p
r− n(p · n)
r
]
= −k2 eikr
r[n× (n× p)]
+
[k
ir2e ikr +
ik
r2e ikr
(
−1 + 2
ikr
)]
[n× (n× p)]
− ike ikr
r2
(
1− 1
ikr
)
[p− n(p · n)] .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 527 / 603
Usando n× (n× p) = [n(p · n)− p], e re-escrevendo,
E = −k2 eikr
r[n× (n× p)]
+ [n(p · n)]eikr
r
(
− ik
r− ik
r+
2
r2− ik
r+
1
r2
)
+ pe ikr
r
(ik
r+
ik
r− 2
r2− ik
r+
1
r2
)
,
E = k2e ikr
r[(n× p)× n]
+ [3n(p · n)](
1
r3− ik
r2
)
e ikr
− pe ikr(
1
r3− ik
r2
)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 528 / 603
Ou seja,
E = k2e ikr
r[(n× p)× n] (349)
+ [3(n · p)n− p]
(1
r3− ik
r2
)
e ikr .
Obs.:
B ∼ (n× p) , ⇒ ⊥ a n ;
E tem componentes ‖ e ⊥ a n !
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 529 / 603
Na chamada zona de radiacao, onde r >> λ >> d , temos
B = k2(n× p)e ikr
r,
E = B× n . (350)
Vemos que, na zona de radiacao, E e B sao ∼ (1/r), e E ⊥ B!
Na chamada zona proxima, onde d << r << λ, temoskr = (2πr/λ) << 1, de modo que ficamos com
B =ik
r2(n× p) ,
E =3(n · p)n− p
r3. (351)
Vemos que E e o mesmo campo de um dipolo eletrico estatico, poremaqui oscilando no tempo; |B| e um fator (kr) menor do que |E|.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 530 / 603
Potencia irradiada
Vamos escrever o vetor de Poynting na forma seguinte:
S =1
2
c
4π(E× B∗) .
O vetor S representa a media temporal do fluxo de energia (ver p.272, Jackson 1975 [2]).
FazendodP = S · n r2dΩ
︸ ︷︷ ︸
da
,
teremosdP
dΩ=
c
8π
[r2n · (E× B∗]
Re .
Usando os campos de radiacao,
E×B∗ = (B×n)×B∗ = −B∗×(B×n) = − [(B∗ · n)B − (B∗ · B)n] .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 531 / 603
Como B ⊥ n, o primeiro termo e nulo, e temos E× B∗ = B2n.
⇒ dP
dΩ=
c
8π
[r2B2
]=
c
8πk4
r2
r2|n× p|2 = c
8πk4|n× p|2 .
Fazendo θ o angulo entre as direcoes de p e de n
|n× p|2 = p2 sin2 θ ,
dP
dΩ=
c
8πk4|p|2 sin2 θ . (352)
A eq. (352) nos da a distribuicao angular da radiacao de dipoloeletrico.
Para obter a potencia total irradiada,
P =
∫
dΩdP
dΩ=
c
8πk4|p|2
∫ 2π
0dφ
︸ ︷︷ ︸
2π
∫ π
0dθ sin3 θ
︸ ︷︷ ︸
4/3
,
⇒ P =ck4
3|p|2 . (353)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 532 / 603
Vamos agora incluir termos de ordem mais alta:
A(x) =1
c
∫
d3x ′J(x′)e ik(r−n·x′)
r − n · x′
=e ikr
cr
∫
d3x ′J(x′)e−ik(n·x′)
1− n·x′r
≃ e ikr
cr
∫
d3x ′ J(x′)e−ik(n·x′)[
1 +n · x′r
]
≃ e ikr
cr
∫
d3x ′ J(x′)
[
1 +n · x′r− ik(n · x′)− ik
r(n · x′)2
]
.
O 1o. termo fornece a contribuicao de dipolo eletrico, ja discutida.
O ultimo termo e de ordem 2 em (n · x′), e sera portantodesconsiderado.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 533 / 603
Denotando A1 como a contribuicao de dipolo, ficamos com
A(x) = A1(x) +e ikr
cr
∫
d3x ′ J(x′)(n · x′)[1
r− ik
]
. (354)
Agora, consideremos o seguinte:
(x′ × J)× n = (x′ · n)J− x′(J · n)
⇒ 1
c(n · x′)J(x′) = 1
2c
[(n · x′)J+ (J · n)x′
]+
1
2c(x′ × J)
︸ ︷︷ ︸
M
×n ,
onde M e a magnetizacao.
Portanto . . .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 534 / 603
. . .
A(x) = A1(x) +e ikr
r
∫
d3x ′(1
r− ik
)
×[1
2c
[(n · x′)J+ (J · n)x′
]+M× n
]
.
O termo com a magnetizacao pode ser re-escrito:
AM(x) =e ikr
r
∫
d3x ′(1
r− ik
)
[M× n] ,
AM(x) =e ikr
r
(1
r− ik
)[∫
d3x ′ M
]
︸ ︷︷ ︸
m
×n ,
AM(x) = ik(n×m)e ikr
r
(
1− 1
ikr
)
. (355)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 535 / 603
Portanto, B devido a este termo de magnetizacao sera dado por
B = ∇×AM =1
k∇×
[
k2(n×m)e ikr
r
(
1− 1
ikr
)]
.
O calculo do rotacional pode ser feito mediante consulta as eqs.(348) e (349), resultando
B = k2e ikr
r[(n×m)× n] (356)
+ [3(n ·m)n−m]
(1
r3− ik
r2
)
e ikr .
Prosseguindo, com o uso da lei de Faraday,
∇× E = −1
c∂tB = i
ω
cB
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 536 / 603
⇒ B = − i
k∇× E .
Por outro lado, B = ∇× A, de modo que reconhecemos
− i
kE = A , ou E = ikA ;
usando a eq. (355), temos
E = −k2 eikr
r
(
1− 1
ikr
)
(n×m) . (357)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 537 / 603
Os campos gerados por distribuicoes do tipo dipolo magnetico sao domesmo tipo que os gerados por distribuicoes do tipo dipolo eletrico,com as trocas:
Dipolo eletrico Dipolo magnetico
p m
E B
B −E
Quanto a polarizacao:
Dipolo eletrico: E no plano formado por p e n.
Dipolo magnetico: E ⊥ ao plano formado por m e n.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 538 / 603
Temos ainda outro termo no potencial vetor, que podemos denotarcom o ındice θ,
Aθ(x) =e ikr
r
(1
r− ik
)∫
d3x ′1
2c
[(n · x′)J+ (J · n)x′
].
Esse termo pode ser manipulado, e mostra-se que, na regiaor >> λ >> d , os campos sao dados por:
B = ik(n× A) , E = ik(n× A)× n ;
Vemos que E ⊥ B, e E e B sao ⊥ a n.
Alem disso, mostra-se que
B = − ik3
6
e ikr
r(n×Q(n)) , (358)
onde Q(n) tem componentes Qα =∑
β Qαβnβ.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 539 / 603
Mostra-se, ainda, que a potencia total irradiada devido a esse termo edada por
P =ck6
360
∑
αβ
|Qαβ|2 . (359)
O aspecto a ser enfatizado aqui e a dependencia ω6, enquanto que nocaso de dipolos a dependencia era ω4.
Esse processo de expansao multipolar pode prosseguir, mas torna-secada vez mais difıcil. Existe uma abordagem sistematica, que naoveremos, cujos elementos basicos sao apresentados a seguir.
Segundo essa abordagem sistematica, a solucao geral das equacoes deMaxwell longe das fontes pode ser escrita como (ver eq. (16.46) daRef. [2]):
. . .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 540 / 603
. . .
B =∑
ℓm
[
aE (ℓ,m)fℓ(kr)Xℓm −i
kaM(ℓ,m)∇× gℓ(kr)Xℓm
]
E =∑
ℓm
[i
kaE (ℓ,m)∇× fℓ(kr)Xℓm + aM(ℓ,m)gℓ(kr)Xℓm
]
(360)
Os coeficientes aE (ℓ,m) e aM(ℓ,m) informam os “pesos” com queentram os campos multipolares de ordem ℓ e m, eletricos emagneticos.
fℓ(kr) e gℓ(kr) sao do tipo A(1)ℓ h
(1)ℓ (kr) + A
(2)ℓ h
(2)ℓ (kr), onde
h(1,2)ℓ (x) =
( π
2x
)1/2 [Jℓ+1/2(x)± iNℓ+1/2(x)
],
(Jν e Nν sao funcoes de Bessel e Neumann).
Xℓ,m(θ, φ) =1
√
ℓ(ℓ+ 1)LYℓ,m(θ, φ) , L =
1
i(r ×∇) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 541 / 603
Aplicacao: espalhamento
Vamos discutir apenas algumas breves nocoes sobre espalhamento,como uma das muitas aplicacoes do estudo de radiacao.
A ideia basica e: uma onda incidente induz alteracoes na distribuicaode cargas e correntes. A distribuicao gerada pode ser expressa naforma de uma expansao multipolar.
Se λ >> d (tamanho tıpico dos “centros espalhadores”), osmultipolos de ordem mais baixa serao os mais importantes.
Se tivermos uma onda incidente, com um campo de amplitude E0 epolarizacao ǫ0, teremos o campo incidente,
Einc = ǫ0E0eikn0·x .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 542 / 603
O campo gerado pelo espalhamento, na aproximacao de momentosdipolares, sera dado por (na regiao r >> λ >> d):
Eesp = EDE + EDM = k2e ikr
r[(n× p)× n− (n×m)] . (361)
Define-se a secao de choque de espalhamento diferencial, comosendo a potencia irradiada na direcao n, com polarizacao ǫ, porunidade de angulo solido, por unidade de fluxo incidente na direcaon0 com polarizacao ǫ0:
dσ
dΩ(n, ǫ,n0, ǫ0) =
r2(c/8π)|ǫ∗ · Eesp |2(c/8π)|ǫ∗0 · Einc |2
. (362)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 543 / 603
Usando a eq. (362) e a expressao para Einc ,
dσ
dΩ=
r2(c/8π)(k4/r2)|ǫ∗ · (n× p)× n− ǫ∗ · (n×m)|2(c/8π)|E0|2
=k4
E 20
∣∣∣∣−ǫ∗ ·
[(n · p)n− n2p
]− ǫ∗ · (n×m)
∣∣∣∣
2
.
O primeiro termo e nulo, pois ǫ∗ e ⊥ a n.
No segundo termo, usaremos n2 = 1.
No terceiro termo, podemos usar a seguinte propriedade:
ǫ∗ · (n×m) = −ǫ∗ · (m× n) = −m · (n× ǫ∗) .
O resultado e
dσ
dΩ=
k4
E 20
∣∣∣∣ǫ∗ · p+ (n× ǫ∗) ·m
∣∣∣∣
2
. (363)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 544 / 603
A secao de choque de espalhamento mostra uma dependencia λ−4.Essa dependencia e tıpica de espalhamento dipolar, e e conhecidacomo lei de Rayleigh.
Se tivermos uma colecao de centros espalhadores, cada um naposicao xj , generalizamos a expressao (363),
dσ
dΩ=
k4
E 20
∣∣∣∣
∑
j
(ǫ∗ · pj + (n× ǫ∗) ·mj) ei(kn−kn0)·xj
∣∣∣∣
2
.
Obs.: momentos proporcionais ao campo incidente; fator de fasee−ikn·xj .
Se todos os centros espalhadores forem identicos:
dσ
dΩ=
k4
E 20
∣∣∣∣ǫ∗ · p+ (n× ǫ∗) ·m
∣∣∣∣
2 ∣∣∣∣
∑
j
e i(kn−kn0)·xj∣∣∣∣
2
︸ ︷︷ ︸
F(q)
,
onde q = kn0 − kn.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 545 / 603
A quantidade F(q) e conhecida como fator de estrutura.
Se os espalhadores estiverem distribuıdos aleatoriamente,F(q)→ NT , uma vez que
∣∣∣∣
∑
j
e iq·xj∣∣∣∣
2
=∑
j
∑
k
e iq·(xj−xk) .
Os termos com j 6= k tendem a se anular e so restam os termos comj = k .
Nesse caso, o espalhamento e dito uma superposicao incoerente decontribuicoes individuais.
Obs.: NT : numero de moleculas.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 546 / 603
Vamos considerar agora o espalhamento por moleculas do ar.
Cada molecula tem m = 0 e pj = γmolE(xj ). Portanto,
dσ
dΩ=
k4
E 20
|γmol |2|ǫ∗ · ǫ0|2E 20F(q)
= NT k4|γmol |2|ǫ∗ · ǫ0|2 .
Constante dieletrica do gas,
ǫ = 1 + 4πNγmol ,
onde N e o numero de moleculas por unidade de volume.
dσ
dΩ= NT k
4 |ǫ− 1|216π2N2
|ǫ∗ · ǫ0|2 .
|ǫ∗ · ǫ0|2 = cos2 θ ,
⇒ σ = NTk4 |ǫ− 1|216π2N2
∫
dΩ cos2 θ
︸ ︷︷ ︸
8π/3
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 547 / 603
A secao de choque de espalhamento por molecula sera dada entao por
σM =k4
6πN2|ǫ− 1|2 .
Quando a radiacao atravessa uma espessura dx , ha uma perda defluxo por espalhamento, a qual depende da fracao do volume ocupadopelas moleculas, dI = −(NσMdx)I ,
⇒ I (x) = I0e−αx , onde α = NσM .
Portanto,
σM =k4
6πN2|ǫ− 1|2 = k4
6πN2|n2 − 1|2 =
k4
6πN2(n − 1)2(n + 1)2 .
Teremos (n − 1) << 1, e (n + 1)2 ≃ 4, de modo que
α = NσM =2
3
k4
πN|n − 1|2 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 548 / 603
Alguns dados numericos relativos a intensidade (relativa) podem serobtidos na Ref. [2], p. 423:
Vermelho (λ ≃ 6500A): no zenite, 0,96; no por-do-Sol, 0,21.
Verde (λ ≃ 5200A): no zenite, 0,90; no por-do-Sol, 0,024.
Violeta (λ ≃ 4100A): no zenite, 0,76; no por-do-Sol, 0,000665.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 549 / 603
Radiacao por cargas moveis
Vamos agora ver alguns topicos a respeito da emissao de radiacao porcargas moveis.
Conforme ja vimos, podemos escrever o quadrivetor Jα,
Jα = (cρ, J) .
Assim, se tivermos uma distribuicao localizada de cargas e correntes,o quadrivetor potencial pode ser obtido de
Aµ(x, t) =1
c
∫
d3x ′∫
dt ′Jµ(x′, t ′)|x− x′| δ
[
t ′ −(
t − |x− x′|c
)]
. (364)
Se a distribuicao for uma carga puntiforme movendo-se comvelocidade v,
Jα = (cq, qv)δ[x − r(t)] = cq(1, ~β)δ[x − r(t)] . (365)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 550 / 603
Isso nos leva a
Aµ(x, t) = q
∫
dt ′βµ(t ′)R(t ′)
δ
[
t ′ −(
t − R(t ′)c
)]
, (366)
βµ = (1, ~β) ,
R(t ′) = |x− r(t ′)| ,
δ
[
t ′ −(
t − R(t ′)c
)]
=δ(t ′ − t0)
∣∣∣ddt′
(
t ′ + R(t′)c
)∣∣∣
,
onde t0 e solucao de t ′ + R(t ′)/c = t.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 551 / 603
Queremos calcular uma quantidade na posicao x.
Vamos fazer n o vetor unitario ao longo de x, r o vetor que apontapara a posicao da partıcula, e R o vetor que aponta da partıcula parao ponto de observacao.
r
R
x
P
n
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 552 / 603
Teremos entaoR = x− r .
Para pontos distantes,
R(t ′) ≃ |x| − n · r ,
⇒ dR
dt ′= −n · v ,
(
v =dr
dt ′
)
.
Dessa forma,
d
dt ′
(
t ′ +R(t ′)c
)
= 1 +1
c
dR
dt ′=(
1− n · ~β)
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 553 / 603
Voltando a eq. (366),
Aµ(x, t) = q
∫
dt ′βµ(t ′)R(t ′)
δ(t ′ − t0)
|1− n · ~β|,
Aµ(x, t) = q
[
βµ(t ′)
R |1− n · ~β|
]
t′=t−R(t′)/c
, (367)
Explicitamente, podemos escrever os chamados potenciais deLienard-Wiechert para uma partıcula puntiforme,
Φ(x, t) =
[
q
R |1− n · ~β|
]
ret
, A(x, t) =
[
q~β(t ′)
R |1− n · ~β|
]
ret
,
(368)
onde (ret) significa “calculado em t ′ = t − R(t ′)/c”.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 554 / 603
A partir dos potenciais, podem ser obtidos os campos (comosabemos, na formulacao covariante temos Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα).Omitindo os detalhes: os campos produzidos por uma carga emmovimento, obtidos a partir dos potenciais de Lienard-Wiechert, saodados por:
E(x, t) = q
[
n− ~β
γ2(1− n · ~β)3R2
]
ret
+q
c
n×[
(n− ~β)× ~β]
(1− n · ~β)3R
ret
,
B(x, t) = [n× E]ret . (369)
Os termos contendo ~β sao chamados “campos de aceleracao”, e
caem com R−1. Os termos que nao contem ~β sao chamados “camposde velocidade”, e caem com R−2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 555 / 603
Interpretacao dos campos de velocidade
Os campos de velocidade, calculados no tempo “retardado”,representam os campos gerados por uma carga em movimento comuma dada velocidade. A expressao que aparece em (369) coincidecom a expressao obtida via transformacao de Lorentz.
Consideremos uma carga q, movendo-se com velocidade v eobservada na posicao O (ver figura).
d e a distancia que a partıcula percorre enquanto a luz percorre adistancia R :
∆t =R
c, ⇒ d = v∆t =
v
cR = βR .
A luz que percorre a distancia R chega a O no instante em que apartıcula chega ao ponto P .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 556 / 603
r
q
n
R
Q
P
O
θ
b
d
v
^
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 557 / 603
Chamando de −t o instante de tempo em que a luz chega a O, et = 0 o instante em que a partıcula passa pela origem, teremos¿
r2 = v2t2 + b2 .
Portanto,
OQ = R − d cos θ = R − (Rβ) cos θ = R(1− n · ~β) .
Por outro lado,R2(1− n · ~β)2 = r2 − PQ
2,
R2(1− n · ~β)2 = r2 − β2R2 sin2 θ = r2 − β2b2 = b2 + v2t2 − β2b2
= b2(1− β2) + v2t2 =b2
γ2+ v2t2 =
1
γ2(b2 + γ2v2t2
). (370)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 558 / 603
Das transformacoes de Lorentz, tınhamos:
E‖ =qγvt
(b2 + γ2v2t2)3/2
E⊥ =qγb
(b2 + γ2v2t2)3/2e⊥ . (371)
Das eqs. (369), os campos de velocidade sao
E‖ = q
[
|n‖| − βγ2(1− n · ~β)3R2
]
ret
,
E⊥ = q
[
Rn⊥
γ2(1− n · ~β)3R3
]
ret
.
Nessa ultima expressao, temos Rn⊥ = R sin θ e⊥ = b e⊥.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 559 / 603
Portanto,
E⊥ =
[
qγbe⊥
γ3(1− n · ~β)3R3
]
ret
=
[qγbe⊥
(b2 + γ2v2t2)3/2
]
ret
.
Vemos que essa expressao concorda com a eq. (371).
Por outro lado, Rn‖ = R cos θ, de modo que
E‖ = q
[
R cos θ − βRγ2(1− n · ~β)3R3
]
ret
= q
[
βR + vt − βRγ2(1− n · ~β)3R3
]
ret
=
[qγvt
(b2 + γ2v2t2)3/2
]
ret
,
que tambem concorda com a eq. (371).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 560 / 603
Campos de uma carga acelerada
Vamos considerar inicialmente o caso nao-relativıstico. A grandedistancia da carga, considerando apenas os termos em R−1, temos
E(x, t) =q
c
n×[
n× ~β]
R
ret
, B(x, t) = [n× E]ret , (372)
onde usamos (1− n · ~β) ≃ 1.
Escrevendo o vetor de Poynting:
S =c
4πE× B =
c
4πE× (n× E)
=c
4π
(E · E)n− (E · n)︸ ︷︷ ︸
=0
E
=c
4π|E|2n .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 561 / 603
A potencia irradiada por unidade de angulo solido fica dada por:
dP
dΩ= (S · n) R2 =
c
4π|RE|2 = q2
4πc
∣∣∣n× (n× ~β)
∣∣∣
2
. (373)
Seja θ o angulo entre v e n,
dP
dΩ=
q2
4πc3|v|2 sin2 θ . (374)
Potencia total irradiada:
P =q2
4πc3|v|2(2π)
∫ π
0dθ sin3 θ =
q2
2c3|v|2
∫ 1
−1dx (1− x2)
︸ ︷︷ ︸
4/3
.
O resultado obtido e a chamada Formula de Larmor,
P =2
3
q2
c3|v|2 . (375)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 562 / 603
Para uma generalizacao relativıstica, vamos propor (para discussaoposterior) que a potencia irradiada seja dada pelo seguinte expressao:
P = −2
3
e2
m2c3
(dpµ
dτ
dpµdτ
)
. (376)
Obs.: −(dpµ
dτ
dpµdτ
)
= −[(
1
c
dE
dτ
)2
−∣∣∣∣
dp
dτ
∣∣∣∣
2]
.
No caso particular de movimento linear,
∣∣∣∣
dp
dτ
∣∣∣∣=
dp
dτ, onde p = |p| .
Portanto,
−(dpµ
dτ
dpµdτ
)
⇒ −[(
1
c
dE
dτ
)2
−(dp
dτ
)2]
.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 563 / 603
TemosE =
(m2c4 + p2c2
)1/2;
1
c
dE
dτ=
1
c
1
2E2c2p
dp
dτ=
pc
E
dp
dτ,
⇒ 1
c
dE
dτ=
v
c
dp
dτ= β
dp
dτ,
onde usamos E = γmc2 = γmv(c2/v) = p(c2/v) .
Portanto,
−(dpµ
dτ
dpµdτ
)
= −[(
1
c
dE
dτ
)2
−(dp
dτ
)2]
=
(dp
dτ
)2(1− β2
)=
1
γ2
(dp
dτ
)2
=
(dp
dt
)2
,
pois τ = t/γ.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 564 / 603
Portanto, no caso de movimento linear, a generalizacao da formula deLarmor pode ser escrita como
P =2
3
q2
m2c3
(dp
dt
)2
.
Podemos re-escrever essa expressao, usando
p =d
dt(γmv) = γmv +
mv2
c2γ3v = γmv
(1 + γ2β2
)
= γ3mv(1− β2 + β2
)= γ3mv .
⇒ P =2
3
q2
m2c3γ6m2(v)2 =
2
3
q2
c3v2γ6 .
(ver eq. (381), um pouco mais adiante).
O fator γ6 pode fazer uma diferenca notavel, entre partıculasrelativısticas e nao-relativısticas.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 565 / 603
Consideremos a partıcula acelerada movendo-se uma distancia ∆x :
∆E =dp
dt∆x ⇒ P =
2
3
q2
m2c3
(dE
dx
)2
=2
3
q2
m2c3
(dE
dx
)dE
dt
dt
dx.
Ou seja,P
(dE/dt)=
2
3
q2
m2c31
v
(dE
dx
)
.
P e a potencia irradiada pela partıcula, dE/dt e a potencia fornecidapor uma fonte externa.
Vemos que, para que P ≃ dE/dt, devemos ter
∆E
∆x∼ mc2
(q2/mc2).
Ou seja,∆E
∆x∼ 0, 511 MeV
2, 82 × 1013≃ 2× 1014 MeV/m .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 566 / 603
Tipicamente, dE/dx ≃ 10 MeV/m; ou seja, podemos concluir queperdas por radiacao sao desprezıveis em aceleradores lineares.
Vamos agora examinar o caso de aceleradores circulares. Lembremosque, em geral,
P =2
3
q2
m2c3
[∣∣∣∣
dp
dτ
∣∣∣∣
2
−(1
c
dE
dτ
)2]
.
Em um acelerador circular, o ganho de energia por revolucao epequeno.
Por outro lado, o termo com a variacao de momentum pode sergrande, se a frequencia angular for grande. pois
∣∣∣∣
dp
dτ
∣∣∣∣= γ
∣∣∣∣
dp
dt
∣∣∣∣= γω |p| .
Logo,
P ≃ 2
3
q2
m2c3γ2ω2 |p|2 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 567 / 603
Para movimento circular, ω = v/ρ = cβ/ρ, onde ρ e o raio da orbita,
P =2
3
q2
m2c3γ2
c2β2
ρ2|p|2 = 2
3
q2
m2c3γ2
c2β2
ρ2γ2m2v2
=2
3
q2c
ρ2γ4β4 .
A perda de energia por revolucao pode ser dada por:
δE = PT = P2π
ω= P
2πρ
cβ,
δE =4π
3
q2
ρβ3γ4 . (377)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 568 / 603
Como exemplo, podemos considerar o caso de um “low energysynchrotron”, com ρ = 1 m, Emax ≃ 0,3 GeV= 3× 105 keV; Nessecaso, o resultado e δEmax ≃ 1 keV [2].
Essa quantidade e nao desprezıvel comparada com o ganho de energiapor revolucao (que e de apenas alguns keV).
Aplicacao: O sıncrotron como fonte de radiacao.
wigglers e undulators.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 569 / 603
Distribuicao angular da radiacao emitida por uma carga
acelerada:
Novamente, partimos dos campos de aceleracao,
E(x, t) =q
c
n×[
(n− ~β)× ~β]
(1− n · ~β)3R
ret
,
B(x, t) = [n× E]ret .
⇒ S =c
4π|E|2n .
(S · n) = q2
4πc
[1
κ6R2
∣∣∣n×
[
(n− ~β)× ~β]∣∣∣
2]
ret
, (378)
onde κ = 1− n · ~β.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 570 / 603
Vamos definir a potencia irradiada por unidade de angulo solido (notempo da fonte) pela seguinte expressao:
dP
dΩ(t ′) = R2 (S · n) dt
dt ′︸ ︷︷ ︸
d2Edtda
dtdt′
= d2Edt′da
. (379)
Temos
t = t ′ +R(t ′)c
, ⇒ dt
dt ′= 1− n · ~β = κ ,
dP
dΩ= κR2(S · n)
dP
dΩ= κR2 q2
4πcR2
1
κ6
∣∣∣n×
[
(n− β)× ~β]∣∣∣
2
.
Definindo θ como o angulo entre ~β e n, no caso em que β e ~β saoparalelos, temos
dP
dΩ=
q2
4πc3|v|2 sin2 θ
(1− β cos θ)5. (380)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 571 / 603
θ vβ << 1
β −−> 1 v
P( )θ
θ
P( )θ
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 572 / 603
A potencia total irradiada, nesse caso de β e ~β paralelos, pode serdada por
P =
∫
dΩdP
dΩ=
q2
4πc3|v|2
∫
dΩsin2 θ
(1− β cos θ)5
P =2
3
q2
c3|v|2γ6 . (381)
Obs.: Da eq. (381),
P =2
3
q2
m2c3|γmv|2γ4 = 2
3
q2
m2c3
∣∣∣∣
p
γ2
∣∣∣∣
2
γ4
=2
3
q2
m2c3|p|2 ,
onde usamos p = γ3mv (demonstrado anteriormente).
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 573 / 603
Tambem ja vimos que, para movimento linear,
|p|2 =∣∣∣∣
dp
dt
∣∣∣∣
2
=1
γ2
(dp
dτ
)2
= −(1
c
dE
dτ
)2
+
(dp
dτ
)2
= −dpµ
dτ
dpµdτ
.
Ou seja, usando na expressao para P ,
P = −2
3
q2
m2c3dpµ
dτ
dpµdτ
.
Essa e a eq. (376), que fica entao justificada.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 574 / 603
Distribuicao angular e espectral da radiacao
Ja vimos em aulas anteriores os potenciais de Lienard-Wiechert, e oscampos obtidos a partir deles:
E(x, t) = q
[
n− ~β
γ2κ3R2
]
ret
+q
c
n×[
(n− ~β)× ~β]
κ3R
ret
,
B(x, t) = [n× E]ret .
Podemos escrever a energia por unidade de angulo solido que flui nadirecao do observador como
dW
dΩ=
∫
dt R2 c
4π(E× B) · n . (382)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 575 / 603
Para pontos distantes, considerando apenas a contribuicao doscampos de aceleracao, ficamos com:
dW
dΩ=
∫
dtq2
4πc
∣∣∣∣∣∣∣
n×[
(n− ~β)× ~β]
κ3
∣∣∣∣∣∣∣
2
ret
=
∫
dt |F(t)|2ret , (383)
onde
|F(t)|2ret =cR2
4π|E|2ret ,
Definimos agora a transformada de Fourier:
F(t) =1√2π
∫
dω e−iωtF(ω) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 576 / 603
E(t) e real, F(t) tambem, de modo que F∗(ω) = F(−ω)
⇒ dW
dΩ=
∫
dt1
2π
∫
dω′∫
dω e−i(ω−ω′)tF(ω) · F∗(ω′)
=
∫
dω′∫
dω δ(ω − ω′)F(ω) · F∗(ω′) =∫
dω F(ω) · F∗(ω)
=
∫ ∞
−∞dω F(ω)·F(−ω) = 2
∫ ∞
0dω F(ω)·F(−ω) = 2
∫ ∞
0dω |F(ω)|2 .
Ou seja,
dW
dΩ=
1
π
∫ ∞
0dω
∣∣∣∣
∫
dt e iωtF(t)
∣∣∣∣
2
d2W
dΩdω=
q2
4π2c
∣∣∣∣∣∣∣
∫
dt e iωt
n×[
(n− β)× ~β]
κ3
ret
∣∣∣∣∣∣∣
2
, (384)
dt =dt
dt ′dt ′ = κ dt ′ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 577 / 603
Mudando de variavel de t para t ′,
d2W
dΩdω=
q2
4π2c
∣∣∣∣∣∣∣
∫
dt ′ e iω[t′−n·r(t′)/c]
n×[
(n− β(t ′))× ~β(t ′)]
κ2(t ′)
ret
∣∣∣∣∣∣∣
2
(385)onde t ′ = t − R(t ′)/c .
Mostra-se que
d
dt
[
n× (n× ~β)
1− ~β · n
]
=n×
[
(n− ~β)× ~β]
(1− ~β · n)2=
n×[
(n− ~β)× ~β]
κ2.
Ou seja,
d2W
dΩdω=
q2
4π2c
∣∣∣∣∣
∫
dt ′ e iω[t′−n·r(t′)/c] d
dt ′
[
n× (n× ~β)
κ
]∣∣∣∣∣
2
, (386)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 578 / 603
A integral pode ser resolvida por partes, introduzindo no integrandoum fator e−ǫ|t
′|, e tomando o limite ǫ→ 0, apos a avaliacao daintegral.
Resulta
d2W
dΩdω=
q2ω2
4π2c
∣∣∣∣
∫ ∞
−∞dt ′
[
n× (n× ~β)]
e iω[t′−n·r(t′)/c]
∣∣∣∣
2
,
(387)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 579 / 603
Vamos agora aplicar esses resultados a um caso particular, a serestudado mais a fundo.
Seja uma regiao com B0 = B0k.
Seja um eletron sujeito a este campo magnetico, e consideremos umaonda se propagando no plano xz .
Consideremos que a perda de energia por revolucao e desprezıvelfrente a energia do eletron; nesse caso, temos
~β(t) =1
c
[v⊥ cos(Ω0t), v⊥ sin(Ω0t), v‖
]
r(t) =
[v⊥Ω0
sin(Ω0t),−v⊥Ω0
cos(Ω0t), v‖t
]
, (388)
Ω0 =|Ωe |γ
, Ωe = −eB0
mec.
Com a geometria proposta, temos
n = (sin θ, 0, cos θ) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 580 / 603
O argumento do exponencial, na eq. (387), fica dado por
iω
[
t ′ − rx sin θ
c− rz cos θ
c
]
= iω
[
t ′ − v⊥cΩ0
sin θ sin(Ω0t′)−
v‖ccos θ t ′
]
= iω
[
t ′(1− β‖ cos θ
)− v⊥
cΩ0sin θ sin(Ω0t
′)
]
.
⇒ eiω
[
t′(1−β‖ cos θ)−v⊥cΩ0
sin θ sin(Ω0t′)]
.
Podemos usar a seguinte propriedade:
e iz sinα =∞∑
m=−∞e imαJm(z) . (389)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 581 / 603
Ficamos entao com
e iωt′(1−β‖ cos θ)
∑
m
e−imΩ0t′Jm
(ω
Ω0
v⊥c
sin θ
)
=
∞∑
m=−∞e i[ω(1−β‖ cos θ)−mΩ0]t′Jm
(ω
Ω0β⊥ sin θ
)
. (390)
Dessa forma, a integral em t ′ se reduziu a uma integral deexponencial. Fazendo-se a integral, pode-se obter o seguinte:
d2W
dΩdω=
e2ω2
4π2c
∣∣∣∣∣(2π)
[
−cos θ
sin θ(cos θ − β‖)
∞∑
m=−∞Jm(z) i
− iβ⊥
∞∑
m=−∞J ′m(z) j+ (cos θ − β‖)
∞∑
m=−∞Jm(z) k
]
δ(ym)
∣∣∣∣∣
2
,
ondez =
ω
Ω0β⊥ sin θ , ym = mΩ0 − ω(1− β‖ cos θ) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 582 / 603
Temos ω > 0, de modo que ω(1− β‖ cos θ) > 0.
Portanto, devemos ter m > 0, para satisfazer δ(y).
Ao calcularmos o modulo quadrado, as deltas nao podem sersatisfeitas simultaneamente para n 6= m; isso resulta no aparecimentode δ2(ym), ou seja
d2W
dΩdω=
e2ω2
c
∞∑
m=1
[(cos θ − β‖
sin θ
)2
J2m(z) + β2⊥J′2m(z)
]
δ2(ym)
=e2ω2
c
∞∑
m=1
1
2π
∫ ∞
−∞dt e−iymt
×[(
cos θ − β‖sin θ
)2
J2m(z) + β2⊥J′2m(z)
]
δ(ym) .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 583 / 603
Portanto, podemos definir a emissividade espectral η,
d3W
dΩdωdt≡ η(ω, β, θ) = e2ω2
c
∞∑
m=1
δ[mΩ0 − ω
(1− β‖ cos θ
)]
×[(
cos θ − β‖sin θ
)2
J2m(z) + β2⊥J′2m(z)
]
. (391)
Cada termo da soma em m e conhecido como emissividade
espectral por harmonico.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 584 / 603
Vamos agora apenas discutir alguns resultados, sem entrar emdetalhes matematicos (ver, por exemplo, o livro de Bekefi [1]).
Tomando o harmonico m em η (ou seja, ηm) e integrando em dωdΩ,obtemos a potencia emitida neste harmonico:
Pm =2e2Ω2
e
c
1− β20β0
(392)
×[
mβ20J′2m(2mβ0)−m2(1− β20)
∫ β0
0dt J2m(2mt)
]
,(393)
β0 ≡β⊥
1− β2‖.
Pode-se mostrar que a potencia total e dada por [1]
P(β) =
∞∑
m=1
Pm =2
3
e2Ω2e
c
β2⊥1− β2 . (394)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 585 / 603
Vamos agora olhar alguns casos limites:
. . .
Caso nao relativıstico:
Se mβ << 1 (e β‖ = 0, para simplificar):
Pm =2e2Ω2
e
c
(m + 1)(m2m+1
)
(2m + 1)!β2m . (395)
Resulta um espectro de linhas discretas.
Intensidade ∼ β2; com isso, se β2 ≤ 1× 10−3, por exemplo, so oharmonico fundamental e relevante.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 586 / 603
Caso extremamente relatıstico:
A medida que consideramos β maior, aumenta a importancia dosharmonicos de ordem mais alta;
no limite extremamente relativıstico, a radiacao e predominante emharmonicos com m >> 1.
Quando γ >> 1 e m >> 1 (para β‖ = 0) a partir de (393) obtem-se[1]
Pm =e2Ω2
e
2πcγ
√3ω
ωc
∫ ∞
ω/ωc
dt K5/3(t) , (396)
onde ωc = (3/2)γ2|Ωe |, e Kν e a funcao de Hankel de ordem ν.
Os picos sucessivos aparecem em frequencias ωm = m|Ωe |/γ. Assim,
ωm+1 − ωm = ∆ω =(m + 1)|Ωe |
γ− m|Ωe |
γ=|Ωe |γ
⇒ ∆ω
|Ωe |=
1
γ<< 1.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 587 / 603
Os resultados obtidos mostram que os harmonicos sucessivos estaoseparados por intervalos de frequencia muito pequenos; a emissaopode ser considerada contınua.
Pm
1 2 3 4 ω/ωc
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 588 / 603
O maximo da curva ocorre para ω ≃ 0, 3ωc ; ou seja,ω ≃ 0, 45γ3Ω0 = mΩ0.
Como γ >> 1, vemos que mmax >> 1, como ja foi dito.
. . .
Vamos agora examinar a emissao por um conjunto de partıculas
(supondo plasma tenue, partıculas emitindo independentemente umasdas outras).
Para uma partıcula, ja vimos a emissividade η. Para um conjunto departıculas (no caso, eletrons), com distribuicao de velocidades f ,define-se o coeficiente de emissao
j(r, θ, φ, ω) =
∫
d3p′ η(p′, r, θ, φ, ω) ne f (p′, r) . (397)
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 589 / 603
Eexemplo: Vamos considerar o caso nao relativıstico, em equilıbriotermico;
f (p) =1
(2π)3/2p30e−p2/2p20 , p0 =
√
mekBT .
Tomando a expressao para η, eq. (391), e considerando apenas oharmonico m = 1 (caso nao relativıstico),
J21 (z) ≃z2
4, J ′21 (z) ≃ 1
4.
⇒ η =e2ω2
8πcβ2⊥
[(cos θ − β‖
sin θ
)2( ω
Ω0sin θ
)2
+ 1
]
×δ[Ω0 − ω(1− β‖ cos θ)
].
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 590 / 603
Da condicao de ressonancia,
ω
Ω0=
1
1− β‖ cos θ.
Usando esse resultado no termo entre colchetes (e cancelando sin θ nonumerador e denominador),
(cos θ − β‖1− β‖ cos θ
)2
+ 1 =(cos θ − β‖)2 + (1− β‖ cos θ)2
(1− β‖ cos θ
)2
=cos θ2 − 2β‖ cos θ + β2‖ + 1− 2β‖ cos θ + β2‖ cos
2 θ(1− β‖ cos θ
)2≃ 1 + cos2 θ .
Ficamos com
η =e2ω2
8πcβ2⊥(1 + cos2 θ
)δ[Ω0 − ω(1− β‖ cos θ)
].
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 591 / 603
Usando a eq. (397), integramos sobre a funccao distribuicao, eobtemos
j(θω) =ω2pω
2me
16π2√πcβ20
(1 + cos2 θ)
|∆| e−(ω−|Ωe |)2/∆2, (398)
β0 =p0m0c
, ω2p =
4πnee2
me
,
∆ =√2ωβ0 cos θ ,
Obtivemos uma linha gaussiana, alargada por efeito Doppler.
Obs.: Para propagacao perpendicular, θ ≃ 90, efeitos relativısticosdevem ser incluıdos na condicao de ressonancia:
ω(1− β‖ cos θ)−Ω0
γ≃ ω − Ω0
γ.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 592 / 603
Perda de energia por radiacao
Ate agora temos estudado o movimento de partıculas carregadas semlevar em conta a perda de energia por radiacao. Tambem estudamosa emissao de radiacao, restringindo-nos aos casos em que a perda deenergia por radiacao pode ser desprezada.
Vamos supor uma partıcula de carga e, com aceleracao a durante umtempo T . Usando a formula de Larmor, podemos estimar a energiairradiada pela seguinte expressao,
Erad =2
3
e2
c3(a2)T .
Em geral, se Erad << E , onde E e uma energia caracterıstica dapartıcula, podemos desprezar a emissao de radiacao ao analisarmos omovimento da partıcula. Por outro lado, se Erad comeca a ser damesma ordem de E , comeca a ser importante levar em conta aemissao de radiacao.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 593 / 603
Por exemplo, se a partıcula parte do repouso e sofre aceleracaoconstante, ao fim do tempo T tera atingido uma energia cinetica
E =1
2m(aT )2 .
Para que a emissao de radiacao seja relevante no problema, acondicao e
Erad ≃ E ,2
3
e2
c3(a2)T ≃ 1
2ma2T 2, T ≃ 1
3
e2
mc3.
Como esse e um criterio em termos de ordem de grandeza,costuma-se definir o tempo caracterıstico para caracterizar aimportancia da emissao de radiacao como sendo
τ =2
3
e2
mc3.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 594 / 603
Ou seja, a razao entre a energia irradiada e a energia que a partıculaadquire apos um tempo T e dada por
Erad
E=
2
3
e2
c3(a2)T
(1
2m(aT )2
)−1
=4
3
e2
mc3T= 2
τ
T.
Portanto, se T >> τ os efeitos de emissao de radiacao podem serdesprezados. Apenas se a aceleracao e grande o suficiente para queτ ≃ T o efeito de emissao se torna essencial.
Para eletrons, que sao as menos massivas partıculas dotadas de carga,τ ≃ 6.26 × 10−24 segundos, o que mostra que e normalmente muitoboa a aproximacao de desprezar a perda de energia por radiacao.
Raciocınio similar pode ser feito no caso de partıculas em movimentoperiodico.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 595 / 603
Uma forma aproximada de incluir a perda de energia por
radiacao
Vamos desenvolver um argumento baseado em conservacao deenergia, para uma partıcula nao relativıstica.
Consideremos uma partıcula de massa m e carga e, sob a acao deuma forca Fext . Essa partıcula sofre uma aceleracao e irradia energia.
Podemos representar a perda de energia por radiacao por meio de umaforca de reacao radiativa, de modo que a equacao de movimento fica
mv = Fext + Frad .
A forca Frad deve obedecer aos seguintes requerimentos:1 Deve ser nula para v = 0, uma vez que nesse caso nao ha radiacao;2 ser proporcional a e2 (uma vez que essa e a dependencia da potencia
irradiada; o sinal da carga nao deve influenciar);3 deve envolver o tempo caracterıstico τ .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 596 / 603
Vamos agora exigir que o trabalho feito pela forca de reacao radiativaem um dado intervalo de tempo seja igual ao negativo da energiairradiada,
∫ t2
t1
dt Frad · v = −∫ t2
t1
dt2
3
e2
c3v · v .
Integrando por partes,
∫ t2
t1
dt Frad · v =2
3
e2
c3
∫ t2
t1
dt v · v − 2
3
e2
c3(v · v)
∣∣∣
t2
t1.
Se o movimento for periodico, ou for tal que (v · v) = 0 em t = t1 eem t = t2, teremos
∫ t2
t1
dt
(
Frad −2
3
e2
c3v
)
· v = 0 .
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 597 / 603
Dessa forma, podemos identificar
Frad =2
3
e2
c3v = mτ v .
Ou seja,
m (v − τ v) = Fext . (399)
Essa e a chamada equacao de Abraham-Lorentz. E uma equacao queinclui de forma aproximada o efeito da emissao de radiacao.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 598 / 603
A equacao de Abraham-Lorentz apresenta alguns aspectos inusitadosou indesejaveis.
Por exemplo, ela contem uma derivada segunda da velocidade, eportanto nao se ajusta ao que se espera das leis dinamicas (ma = F ).Ela admite solucoes nao fısicas, como as chamadas solucoes runaway.
Ou seja, em uma situacao em que a forca externa e nula, podemos terduas solucoes,
v = 0, e v = aet/τ ,
onde a e a aceleracao em t = 0.
A primeira solucao e aceitavel, mas a segunda implica em aceleracaocrescente mesmo sem forca aplicada.
Alem disso, essa segunda solucao viola a condicao utilizada naderivacao, (v · v) = 0 em t = t1 e t = t2.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 599 / 603
Uma possıvel tentativa de ir alem dessa equacao envolve o uso deuma forma integro-diferencial (Jackson, 2nd ed., John Wiley, 1975,equacao (17.51)),
mv =
∫ ∞
0ds e−sF(t + τs) .
A forca pode ser escrita na forma de uma expansao em serie de Taylor.
F(t + τs) =∞∑
n=0
(τs)n
n!
dnF(t)
dtn,
de modo que a equacao fica
mv =
∞∑
n=0
τn
n!
dnF(t)
dtn
∫ ∞
0ds sne−s ,
mv =∞∑
n=0
τndnF(t)
dtn,
uma vez que o resultado da integral em s e n!.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 600 / 603
O termo n = 0 representa a equacao usual, sem efeito da radiacao.
Os termos subsequentes representam correcoes radiativas de ordenssucessivas.
As solucoes dessa equacao sao tambem solucoes da equacao deAbraham-Lorentz.
Essa equacao nao apresenta as solucoes runaway. Entretanto,tambem apresenta peculiaridades.
Por exemplo, podemos ver que a aceleracao em um dado instante tdepende dos valores da forca em tempos posteriores a t.
Isso pode ser visto na propria equacao de movimento, que mostra aaceleracao em t e no lado direito a F em tempos posteriores.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 601 / 603
Ou seja, uma violacao da causalidade! Por exemplo, (Jackson, 2nded., John Wiley, 1975, p. 797), pode-se mostrar que no caso de umaforca constante atuando a partir de t = 0, a equacao obtida preveuma aceleracao nao-nula para tempos t < 0, ou seja, aceleracao antesda aplicacao da forca.
Entretanto, a escala de tempo do efeito e extremamente pequena.Como nao se pode atingir tal definicao no tempo para “ligar” a forca,na pratica o efeito de nao-causalidade nao chega a ser observavel.
Essas consideracoes nao pretendem esgotar o assunto. Servem paradar uma palida ideia a respeito de problemas ainda em aberto comrelacao a esse tema.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 602 / 603
Bibliografia basica:
G. Bekefi. Radiation Processes in Plasmas. John Wiley, New York,1975, 1a. ed.
J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley, New York,1975, 2a. ed.
L. Landau & E. Lifchitz. Theorie des Champs. Mir, Moscou, 1970, 3a.ed.
W. K. H. Panofsky & M. Phillips. Classical Electricity and Magnetism.Addison-Wesley, Reading, 1962, 2a. ed.
Luiz F. Ziebell (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil)Teoria Eletromagnetica March 6, 2018 603 / 603
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