View
19
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Universidade Federal de Pelotas - UFPel
Curso de Engenharia Civil
Disciplina de Equações Diferenciais
Professora Luciana Rossato Piovesan
TRABALHO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Rohan Pivetta Wesz
Pelotas, 18 de março de 2013.
QUESTÃO 1:
a) Pontos de equilíbrio são aqueles em que o sistema se apresenta
invariante, o que significa todas as derivadas temporais das variáveis de
estado nulas. Ou seja, considerando x=x (x ,t ), os pontos de equilíbrio
satisfazem a equação x ( x0 , t )=0
Onde x0 é o vetor de estado do ponto de equilíbrio.
Para um sistema linear, se existir equilíbrio, ele é único: existe um único
ponto de equilíbrio.
Com relação aos pontos de equilíbrio, outras considerações devem ser
levadas em conta, isto é, deve-se levar em consideração o
comportamento do sistema em torno destes pontos, de modo a
caracterizar a natureza do equilíbrio, ou, mais propriamente, sua
estabilidade.
Considere um sistema de n equações diferenciais. O polinômio
característico é obtido através de det(A - I) = 0.
Quando todos os autovalores da matriz A tiverem a parte real diferente
de zero, o ponto de equilíbrio correspondente P* é chamado hiperbólico,
independente do valor da parte imaginaria.
Quando pelo menos um autovalor tem a parte real nula, o ponto de
equilíbrio é denominado de não-hiperbólico.
Os pontos de equilíbrio hiperbólicos podem ser classificados de três
formas quanto à sua estabilidade: atratores, repulsores e selas.
Se todos os autovalores de A tem a parte real negativa, o ponto
de equilíbrio é chamado de atrator, sendo que neste caso o
equilíbrio é assintoticamente estável.
Se todos os autovalores de A são complexos, então o atrator é
chamado de foco estável, se todos os autovalores de A são reais,
o atrator é chamado de nó estável.
Se todos os autovalores de A tem a parte real positiva o ponto de
equilíbrio é chamado de repulsor ou fonte. Se os autovalores são
complexos, são chamados de foco instável, se os autovalores de
A são reais, a fonte é chamada de nó instável.
1
Quando alguns autovalores têm a parte real positiva e o restante
tem parte real negativa, então o ponto de equilíbrio é chamado de
sela.
Quanto à estabilidade de pontos de equilíbrio não-hiperbólicos, pode-se
dizer que:
Um ponto de equilíbrio não-hiperbólico é instável se um ou mais
autovalores de A tem a parte real positiva.
Se alguns autovalores da matriz A têm parte real negativa,
enquanto que os outros autovalores têm a parte real nula, o ponto
de equilíbrio é chamado de marginalmente estável.
Se todos os autovalores da matriz A são imaginários puros e não-
nulos, o ponto de equilíbrio é chamado centro.
b) O plano de fase é um gráfico que representa a dinâmica de um sistema,
é uma maneira de representar todas as evoluções possíveis de um
sistema, para as diferentes condições iniciais. O plano de fase tem como
abscissa a variável e como ordenada sua derivada. Ou seja o plano de
fase é um gráfico dos pares (y,y)
Para sistemas autônomos esse gráfico resume as informações do
campo de direções.
O Plano de Fase nos informa, de modo grosseiro, como o ponto de
equilíbrio é atingido, nos informa também se o ponto é estável, instável,
etc. temos apenas que notar a variação da derivada.
2
y
y
A vantagem do diagrama de fase é que não é necessário resolver
explicitamente a equação para se ter ideia da sua dinâmica.
QUESTÃO 2:
a)
3
Recommended