Apresentação Equações Diferenciais - Bernoulli

Equações Diferenciais Lineares

Autor: José de França BuenoPólo: Santos

As equações diferenciais Lineares

Este conjunto de slides apresenta parte do conteúdo da disciplina Equações Diferenciais Ordinárias.

Esta é a 6a. aula desta disciplina.

As equações diferenciais Lineares

Já estudamos o que são equações diferenciais, o que são equações diferenciais ordinárias, grau e ordem de uma equação diferencial.

As equações diferenciais Lineares

Também já vimos algumas situações reais representadas por modelos matemáticos.

Além disso, já estudamos equações

diferenciais separáveis, homogêneas e

equações diferenciais exatas e aplicamos a

idéia de fator integrante para resolver

algumas equações não-exatas.

As equações diferenciais Lineares

Comecemos nosso estudo de Equações Diferenciais Lineares com uma pergunta:

O que é a LINEARIDADE na Matemática?

Você já estudou algum objeto matemático que apresentava propriedades lineares?

Pense um pouco. Tente lembrar.

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Antes de prosseguir, tente efetuar algumas buscas na Internet ou nos livros de sua biblioteca sobre o que Linearidade.

Exercício: é possível encontramos objetos no Ensino Fundamental que apresentem propriedades lineares?

Sugestão: busque associar com os nomes de alguns dos entes matemáticos do Ensino Fundamental

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Exemplos (do ensino fundamental): i) Sistemas de equações Linearesii) Funções Lineares

(de 1o. grau, com b = 0)iii) Matrizes

No ensino superior, a operação de Integração e a operação de Derivação também são operações lineares

As equações diferenciais LinearesDizemos que uma Equação Diferencial é

linear quando pode ser escrita na forma:

i) A variável dependente y e todas suas derivadas são do 1o. grau (a potência de cada termo envolvendo y é 1)ii) os coeficientes dependem apenas de x

an xd n y

dxnan−1

d n−1 y

dxn−1...a1x

dydx

a0x y=g x

As equações diferenciais Lineares

Uma equação que não seja linear e dita não-linear.

O exemplo mais simples de uma EDO linear é:

a 1 x dydx

a 0 x y= g x

As equações diferenciais Lineares

Dividindo pelo coeficiente a1(x):

(1)

Para resolver esta equação vamos supor nos próximos problemas que as funções P(x) e f(x) são contínuas.

dydx

P x y= f x

Fator de Integração

Vamos re-escrever (1) na forma dy + [P(x)y – f(x)]dx = 0 Como a equação é linear, podemos encontrar uma função u(x) tal queu(x) dy + u(x)[P(x)y – f(x)] dx = 0 (2)

Seja uma Equação Diferencial Exata.

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Como estamos supondo que a equação acima seja exata, vale que:

Então:

Você sabe explicar esta última passagem?

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∂∂ x

u x = ∂∂ y

u x [ P x y− f x ]

dudx

= u x P x

A última equação do slide anterior é uma Equação Diferencial Separável:

Podemos determinar u(x):

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duu

= P x dx

ln∣u∣=∫ P x dx

Então

(3)

A função (3) é chamada fator de integração.

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u x =e∫Pxdx

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:

Podemos escrevê-la como:

As equações diferenciais Lineares

e∫P xdx

dye∫ P xdxP x y dx=e∫ P xdx

f x dx

d [e∫ P xdxy ]=e∫ P xdx

f x dx

Integramos esta última equação:

Finalmente, a solução da Equação Diferencial será dada por:

As equações diferenciais Lineares

e∫P x dx

y=∫ e∫P x dx

f x dxc

y=e−∫ P x dx∫ e∫P x dx

f x dxce−∫ P x dx

Exemplo: Resolva

Resolução: inicialmente escrevemos a equação como

(2)

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xdydx

− 4 y= x6 e x

dydx

− 4xy= x 5 e x

Identificamos P(x) = - 4/x.Logo, o fator de integração será:

Acima usamos que

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e− 4∫ dx / x= e− 4ln∣ x ∣= e ln x

− 4

= x −4

b logb N=N , N0

Multiplicando a equação (2) pelo fator integrante:

Que, pode ser escrita como:

x−4 dydx

−4x−5 y= x e x

ddx

[ x−4 y ]= x e x

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Integrando-se por partes:

Finalmente, a solução da Equação diferencial será:

As equações diferenciais Lineares

x−4 y=x e x−exc

y=x5 ex− x4 excx4

Referência Bibliográfica:

1. Zill, Dennis e Cullen, Micheal. Equações Diferenciais, Volume 1, páginas 68-71. Makron Books. 2001.

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