ângulos na circunferência

Circunferência e CírculoCircunferência: é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja

distância r a um ponto O é uma constante positiva . O ponto fixo O é chamado centro da circunferência, e a distância r é o raio da circunferência.

Círculo: é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual a uma constante positiva r.

Elementos da Circunferência.Vamos observar a circunferência λ, a seguir, de centro O e raio r.

Dados um ponto P e uma circunferência λ de centro O e raio r e a distância d desse ponto P ao centro da circunferência, temos:

∙ se d < r, então P é um ponto interno à circunferência λ;∙ se d = r, então P é um ponto que pertence à circunferência

λ;∙ se d > r, então P é um ponto externo à circunferência λ.

Assim, de acordo com a figura temos:∙ A é um ponto interno a circunferência λ;∙ B é um ponto que pertence à circunferência λ; ∙ C é um ponto externo à circunferência λ.

Posição de um ponto em relação a uma circunferência.

Considere a reta s e a circunferência λ, de centro O e raio r.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência.

I.A reta s será externa à circunferência se todos os pontos da reta forem externos a essa circunferência.

II.A reta s será tangente à circunferência se um único ponto T dessa pertencer a essa circunferência e todos os outros pontos da reta forem externos a ela. Esse ponto T que pertence à reta e à circunferência é o ponto de tangência.

A distância da reta s ao centro O é maior que a medida do raio r.

A distância da reta s ao centro O é igual a medida do raio r.

Vamos considerar duas circunferências de centros O1 e O2 e raios r1 e r2 respectivamente. Veja, a seguir, como as posições relativas dessas duas circunferências podem ser.

A reta s tangente a uma circunferência λ, de centro O e raio r, é perpendicular ao raio dessa circunferência no ponto de tangência.

I. Internas .Duas circunferências são internas quando todos os pontos de uma delas são internos à outra.

Quando uma circunferência é interna à outra e ambas têm o mesmo centro, elas são denominadas circunferências concêntricas.

Posição relativa deduas circunferências.

II. Externas.Duas circunferências são externas quando todos os pontos de uma delas são externos à outra.

III. Tangentes internamente.Duas circunferências são tangentes internamente quando admitem um único ponto em comum, sendo os demais pontos de uma delas internos à outra.

IV. Tangentes externamente.Duas circunferências são tangentes externamente quando admitem um único ponto em comum, sendo os demais pontos de uma delas externos à outra.

De acordo com sua posição em relação a circunferência, um ângulo pode ser central, inscrito, de segmento ou externo.

V. ExternasDuas circunferências são ditas secantes quando possuem exatamente dois pontos em comum.

Ângulo central.

Ângulo central é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência, e os seus lados são, portanto, raios dessa circunferência.

A medida do ângulo central é igual à medida do arco da circunferência a ele.

Ângulos da circunferência.

α = m(APB)

Ângulo inscrito.

Ângulo inscrito é o ângulo que tem vértice na circunferência, e os lados são cordas dessa circunferência.

A medida de um ângulo inscrito é igual à metade do ângulo central determinado pelo mesmo arco de circunferência.

Outras propriedades.Ângulos inscritos em uma mesma

circunferência, correspondendo a um mesmo arco, têm a mesma medida.

m( AB)2

=α2

O arco MN que determina ângulos inscritos de medidas iguais é chamado de arco capaz de α e mede 2α

Ângulos inscritos numa semicircunferência medem 90°. Por isso, é correto dizer que todo triângulo inscrito numa semicircunferência é um triângulo retângulo. Assim, os extremos da semicircunferência (diâmetro A para B) determinam a hipotenusa do triângulo ABC.

Todo quadrilátero inscrito numa circunferência tem ângulos oposto suplementares, ou seja, ângulos opostos cuja soma é igual a 180°.

O arco AB é arco capaz do ângulo ACB, portanto mede 180º.

Ângulo de segmento.Ângulo de segmento é aquele que possui o

vértice na circunferência, um dos seus lados tangente a ela, e outro, secante.

A medida de um ângulo de segmento é igual a metade da medida do arco correspondente a ele.

Ângulo excêntrico interior.

Ângulo excêntrico interior é aquele que tem o vértice no interior da circunferência, e seus lados são secantes a ela.

A medida do ângulo excêntrico interior é a média aritmética dos seus arcos correspondentes.

α =m (VPA )2

Ângulo excêntrico exterior.Ângulo excêntrico exterior é aquele que

tem o vértice no exterior da circunferência, e seus lados são secantes a ela.

A medida do ângulo excêntrico exterior é a metade da diferença das medidas dos seus arcos correspondentes.

Relações métricas nas circunferências.

Quando dois segmentos de retas AB e CD se interceptam em um ponto P, ficam determinados quatro segmentos, PA, PB, PC e PD:

Os comprimentos desses novos segmentos não obedecem a nenhuma regra ou critério, visto que os segmentos AB e CD estão dispostos de maneira aleatória no plano e poderiam apresentar-se em diferentes posições, como sugerem as figuras a seguir.

Cordas que se interceptam.Entretanto, quando os segmentos AB e CD são cordas de uma

mesma circunferência, surge uma relação de proporção entre as medidas dos segmentos PA, PB, PC e PD. Acompanhe:

Unindo os pontos A e C e, também, os pontos B e C, obtemos dois triângulos semelhantes: ΔAPC ~ ΔDPB

Dessa relação de semelhança, obtemos:

PA ∙ PB = PC ∙ PD

Cordas que não se interceptam.

De forma análoga, quando as cordas não se interceptam no interior da circunferência, seus prolongamentos determinam um ponto P, de tal forma que surgem quatro novos, PA, PB, PC, e PD. Acompanhe:

Unindo os pontos A e De, também, os pontos B e C, obtemos dois triângulos semelhantes: ΔADP ~ ΔCBP

Dessa relação de semelhança, obtemos:

PA ∙ PB = PC ∙ PDUm segmento secante e um segmento

tangente à circunferência.Este pode ser considerado um caso particular da situação anterior.

Imagine que um dos segmentos secantes é afastado do centro da circunferência e, mantendo sua origem no mesmo ponto P, passa a tangenciar a circunferência no ponto T, como sugere a figura.

Unindo os pontos A e T e, também, os pontos B e T, obtemos dois triângulos semelhantes: ΔATP ~ ΔTBP

Assim, dessa relação de semelhança, obtemos:

PA ∙ PB = PT²

Dois segmentos tangentes à circunferência.

Análogos ao caso anterior, podemos concluir que PA² = PB².

Observe que: ΔPOA = ΔPOB

Então, da congruência de triângulos, temos PA = PB

Centro cultural manilha – Unidade 2.Professor: Victor Berbert.Alunos: Luiza Meneses.Matheus Henrique.Carolline Costa.Evelyn Souza.Gabriel Oliveira.Sabrina Bezerra.