Matrizes · Página 1 de 15 Matrizes 1. (Ufpe 2013) Seja ab cd ªº «» ¬¼ a inversa da matriz 31. 11 4 ªº

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Matrizes

1. (Ufpe 2013) Seja a b

c d

a inversa da matriz 3 1

.11 4

Indique a b c d .

2. (Espm 2013) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é

dada pela matriz

4 x 5

1 3 y ,

6 y x 1

onde cada elemento ija representa a quantidade de

moradores do apartamento j do andar i. Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que no 2º e que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo. O valor de n é: a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

3. (Fgv 2013) Sabendo que a inversa de uma matriz A é 1 3 1A ,

5 2

e que a matriz X é

solução da equação matricial X A B, em que B 8 3 , podemos afirmar que a soma dos

elementos da matriz X é a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 4. (Fgv 2013) Um determinado produto deve ser distribuído a partir de 3 fábricas para 4 lojas

consumidoras. Seja ij 3 4C (c ) a matriz do custo unitário de transporte da fábrica i para a loja

j, com 2ijc (2i 3j) . Seja ij 3 4B (b ) a matriz que representa a quantidade de produtos

transportados da fábrica i para a loja j, em milhares de unidades, com ijb i j.

a) Determine as matrizes ij 3 4C (c ) e tB sendo que tB é a transposta da matriz ij 3 4B (b ) .

b) Sendo

4 1

1

1D

1

1

e 1 3

E 1 0 0 ,

determine as matrizes ij 3 1X (x ) e ij 1 3Y (y ) tais

que X B D e tY E (C B ) . Em seguida, determine o significado econômico de ijx e de

ijy .


5. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com 2 2π α π e 0 .β π Se o sistema

de equações, dado em notação matricial,

03 6 tg,

6 8 cos 2 3

α

β

for satisfeito, então α β é igual a

a) 3

π

b) 6

π

c) 0

d) 6

π

e) 3

π

6. (Insper 2013) Considere as matrizes 3 0

A ,0 1

0 3

B ,8 0

x

Xy

e 2

2

xY .

y

Se x e y

são as soluções não nulas da equação 0

A Y B X ,0

então x y é igual a

a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 7. (Udesc 2012) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que:

• aij = i + j • bij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão

geométrica de razão 2. Analise as proposições abaixo: ( ) A = A

T

( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão aritmética. ( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz AB estão em

progressão aritmética. ( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A − B . O número de proposição(ões) verdadeira(s) é: a) 0 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4


8. (Fuvest 2012) Considere a matriz a 2a 1

Aa 1 a 1

em que a é um número real. Sabendo

que A admite

inversa 1A cuja primeira coluna é 2a 1

1

, a soma dos elementos da diagonal principal de

1A é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9. (Uftm 2012) Considere as matrizes

ij 2 2A a ,

tal que 2 2

ija i j , e

ij 2 2B b ,

tal que

2ijb i j .

Determine:

a) pela lei de formação, a matriz C resultante da soma das matrizes A e B.

b) a matriz M de ordem 2 que é solução da equação matricial A M B 0, em que 0 representa a matriz

nula de ordem 2. 10. (Fgvrj 2012) Seja X a matriz que satisfaz a equação matricial X.A = B, em que:

2 1A

5 3

e B 8 5 .

Ao multiplicar os elementos da matriz X , obteremos o número: a) - 1 b) - 2 c) 1 d) 2 e) 0

11. (Udesc 2012) Considere as matrizes x

y

9 a 0A ,

4 16 1

x

2y 1 1

3 b 1B

1 4 2

e

2y 1

27 13 6C .

b 2 10 c

A soma dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem

a equação matricial A 6B C é: a) 26 b) 4 c) 41 d) 34 e) 16 12. (G1 - ifal 2012) Sejam as matrizes A3x2, B2x3 e C3x3. É verdade que: a) A + B

t é uma matriz 2x3.

b) A . B é uma matriz 3x3. c) A . B é uma matriz 2x2. d) B . C é uma matriz 3x3. e) C . A é uma matriz 3x3.


13. (Uern 2012) Sejam as matrizes 2 3 4 0

M , N e P M N N M.1 0 1 5

O menor

elemento da matriz P é a) – 7. b) – 1. c) – 5. d) 2. 14. (Ufg 2012) Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos,

denominados soft, escareado e sextavado, que são vendidos em caixas grandes, com 2000 parafusos e pequenas, com 900, cada caixa contendo parafusos dos três tipos. A tabela 1, a seguir, fornece a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada caixa, grande ou pequena. A tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzida em cada mês do primeiro trimestre de um ano. TABELA 1

Parafusos/caixa Pequena Grande

Soft 200 500

Escareado 400 800

Sextavado 300 700

TABELA 2

Caixas/mês JAN FEV MAR

Pequena 1500 2200 1300

Grande 1200 1500 1800

Associando as matrizes

200 5001500 2200 1300

A 400 800 e B1200 1500 1800

300 700

às tabelas 1 e 2, respectivamente, o produto AxB fornece a) o número de caixas fabricadas no trimestre. b) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em cada coluna. c) a produção mensal de cada tipo de parafuso. d) a produção total de parafusos por caixa. e) a produção média de parafusos por caixa. 15. (Enem 2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa

tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.

1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre

Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5

Português 6,6 7,1 6,5 8,4

Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0

História 6,2 5,6 5,9 7,7

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

a) 1 1 1 1

2 2 2 2

b) 1 1 1 1

4 4 4 4

c)

1

1

1

1

d)

1

2

1

2

1

2

1

2

e)

1

4

1

4

1

4

1

4


16. (Fgv 2012) A matriz

a

b

c

é a solução da equação matricial AX M em que:

1 2 5

A 0 1 4

0 0 3

e

28

M 15 .

9

Então 2 2 2a b c vale:

a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 17. (Pucrs 2012) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu

que os alunos resolvessem a seguinte questão:

Se 1 2

A ,3 4

então 2A é igual a

a) 1 3

2 4

b) 1 4

9 16

c) 7 10

15 22

d) 5 11

11 25

e) 5 5

25 25

18. (Uftm 2011) É dada a matriz a b

Ab a

, onde a e b são números reais. Se

0 1 a 2.

3 5 b 22

, então o determinante de A é igual a

a) 3b 4a. b) 2b² a². c) b² 5. d) 5a 2. e) 5a.


19. (Ufsm 2011)

O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta. Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela:

Urso Esquilo Inseto Planta

Urso 0 1 1 1

Esquilo 0 0 1 1

Inseto 0 0 0 1

Planta 0 0 0 0

A matriz ij 4x4A (a ) , associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:

a) ij

0, se i ja

1, se i j

b) ij

0, se i ja

1, se i j

c) ij

0, se i ja

1, se i j

d) ij

0, se i ja

1, se i j

e) ij

0, se i ja

1, se i j

20. (G1 - ifsc 2011) Sobre as propriedades da matriz transposta, considere as sentenças

abaixo:

I. t t tA B A B

II. t tkA kA

III. t t tAB A B

Assinale a alternativa correta. a) Apenas a sentença II é verdadeira. b) Apenas a sentença III é verdadeira. c) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras. d) Apenas as sentenças II e III são verdadeiras. e) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras.


Gabarito: Resposta da questão 1:

Se a matriz a b

c d

é a inversa de 3 1

,11 4

então:

3a 11b 1

a b 3 1 1 0 a 4b 0

c d 11 4 0 1 3c 11d 0

c 4d 1

a 4

b 1.

c 11

d 3

Portanto,

| a | |b | | c | | d | | 4 | | 1| | 11| |3 | 19.

Resposta da questão 2:

[C]

Sabendo que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo, temos:

5 y x 1 12 x y 6.

Portanto, o valor de n é dado por:

4 1 6 x 3 y 12 26 6 32.

Resposta da questão 3: [A]

Sabendo que 1A A I, com I sendo a matriz identidade de ordem 2, temos

1 1

1

X A B X A A B A

X I B A

3 1X 8 3

5 2

X 24 15 8 6

X 9 2 .

Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9 ( 2) 7.


a) Temos


2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(2 3) (2 6) (2 9) (2 12)

C (4 3) (4 6) (4 9) (4 12)

(6 3) (6 6) (6 9) (6 12)

1 16 49 100

1 4 25 64

9 0 9 36

e

1 1 1 2 1 3 1 4

B 2 1 2 2 2 3 2 4

3 1 3 2 3 3 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6 .

4 5 6 7

Daí,

t

2 3 4

3 4 5B .

4 5 6

5 6 7

b) A matriz X é tal que

12 3 4 5

1X 3 4 5 6

14 5 6 7

1

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

14

18 .

22

Cada ijx indica o número total, em milhares de unidades, de produtos transportados da

fábrica i para todas as quatro lojas.

A matriz Y é dada por


2 3 41 16 49 100

3 4 5Y 1 0 0 1 4 25 64

4 5 69 0 9 36

5 6 7

2 3 4

3 4 51 16 49 100

4 5 6

5 6 7

746 912 1078 .

11y indica o custo total com transporte, da fábrica 1, para as quatro lojas; e 1ky , com 2 k 3,

indica o custo total que a fábrica 1 teria para transportar a produção das fábricas 2 e 3 para

as quatro lojas. Resposta da questão 5:

[B] Efetuando o produto matricial, vem

0 3 tg 6cos 03 6 tg

6 8 cos 2 3 6 tg 8cos 2 3

3 tg 6cos 0

3 tg 4cos 3

2cos 3

3cos

2

rad.6

Desse modo,

3 tg 6cos 0 tg 36

rad3

e, portanto,

rad.3 6 6



[C]

Sabendo que x 0 e y 0, vem

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

0 3 0 x 0 3 x 0A Y B X

0 0 1 8 0 y 0y

3x 3y 0

8x 0y

3x 3y 0

0y 8x

3x 3y 0

y 8x 0

y x

x(x 8) 0

x 2.

y 4

Portanto, x y ( 2) ( 4) 8.

Resposta da questão 7: [B]

Temos que

2 3 4

A 3 4 5

4 5 6

e

1 2 3

B 2 4 6 .

4 8 12

Como A é simétrica, segue que tA A .

Os elementos da primeira linha da matriz B estão em progressão aritmética de razão 1; os da segunda linha estão em progressão aritmética de razão 2 e os da terceira linha estão em progressão aritmética de razão 4.

Calculando a matriz AB, obtemos

24 48 72

AB 31 62 93 .

38 76 114

Logo, os elementos de cada uma das

linhas e de cada uma das colunas dessa matriz estão em progressão aritmética.

O determinante da matriz

1 1 1

C A B 1 0 1

0 3 6

é dado por detC 3 3 6 0. Portanto,

C não admite inversa.



[A] A.A

-1 = I2

a 2a 1 2a 1 x 1 0

a 1 a 1 1 y 0 1

a.(2a 1) (2a 1) 1Temos o sistema

(a 1).(2a 1) 1(a 1) 0

Resolvendo o sistema temos a = 2, 12 5 3 5A e A

1 3 1 2

Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + 2 = 5. Resposta da questão 9:

a) A lei de formação da matriz C é tal que

ij ij ij

2 2 2

2

c a b

i j (i j)

2 [(i j) i j].

Portanto,

11 12

21 22

2 2

2 2

c cC

c c

2 [(1 1) 1 1] 2 [(1 2) 1 2]

2 [(2 1) 2 1] 2 [(2 2) 2 2]

6 14.

14 24

b) Pela lei de lei formação da matriz A, obtemos 2 5

A .5 8

Daí, o determinante de A é

det A 2 8 5 5 9.

Assim, podemos obter a inversa de A, que é dada por

1

8 5

8 51 9 9A .

5 2 5 29

9 9

Portanto, como 4 9

B ,9 16

segue que


1 1

1

A M B 0 A M B

A A M A B

M A B

8 5

4 99 9M

5 2 9 16

9 9

13 8

9 9M .

2 13

9 9


[B]

Logo, 2a b a 3b 8 5

Resolvendo o sistema, temos:

2a 5b 8

a 3b 5

a 1 e b 2

X 1 2

Portanto, o produto dos elementos de X é 2 1 2 .



[A]

Como x

2y 1

6 3 6b 66B ,

6 6 4 3

vem

x x

2y 1y 2y 1

x x

2y 1y 2y 1

27 13 69 a 0 6 3 6b 6

b 2 10 c4 16 1 6 6 4 3

27 13 69 6 3 a 6b 6.

b 2 10 c2 16 6 4 4

Igualando os termos correspondentes, segue que

b 2, c 4 e a 6b 13 a 1.

Além disso,

x x x 2 x

x 2

x

9 6 3 27 (3 ) 2 3 3 27

(3 3) 36

3 6 3

x 2

e y 2y 1 2y 1 2y 2 2y

22y

2y

16 6 4 2 10 (2 ) 2 20

1 812

2 4

9 12

2 2

y 1.

Portanto, a soma pedida é

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y a b c 2 1 1 ( 2) ( 4) 26.


[B] [A] Falsa, pois A + B

T é uma matriz 3x2.

[B] Verdadeira, pois A.B é 3x3, pois a matriz produto A.B tem número de linhas de A e número

de colunas de B. [C] Falsa, pois A.B é uma matriz 3x3. [D] Falsa, pois B.C é uma matriz 2x3. [E] Falsa, pois C.A é uma matriz 3x2.



[A]

A matriz P é tal que

2 3 4 0 4 0 2 3P

1 0 1 5 1 5 1 0

8 3 0 15 8 0 12 0

4 0 0 0 2 5 3 0

11 15 8 12

4 0 3 3

19 27.

7 3

Portanto, o menor elemento da matriz P é 7. Resposta da questão 14:

[C] Se cada linha da matriz A representa o tipo de parafuso e cada coluna da matriz B o mês de produção, o produto das matrizes nos revelará a produção mensal de cada tipo de parafusos. Resposta da questão 15:

[E] A média de cada matéria é a soma das notas dividido por 4, e a única matriz que possibilita esta condição é a da alternativa [E].

5,9 6,2 4,5 5,5

6,6 7,1 6,5 8,4

8,6 6,8 7,8 9,0

6,2 5,6 6,9 7,7

.

1

4

1

4

1

4

1

4

=

5,9 6,2 4,5 5,5

4

6,6 7,1 6,5 8,4

4

8,6 6,8 7,8 9

4

6,2 5,6 5,9 7,7

4



[A]

1 2 5 a 28

0 1 4 b 15 .

0 0 3 c 9

a 2b 5c 28

Temos então o sistema b 4c 15

3c = 9

Logo, a = 7, b = 3 e c = 3. Portanto, a

2 + b

2 + c

2 = 7

2 + 3

2 + 3

2 = 67.


[C]

Como 2A A A, segue que

2 1 2 1 2A

3 4 3 4

1 1 2 3 1 2 2 4

3 1 4 3 3 2 4 4

7 10.

15 22


[E] Fazendo o produto de matrizes, temos:

b 2b 2 e a = 4

3a 5b 22

Considerando a 4 e b 2 , calculamos o determinante de A:

2 2 2 2det A a b 4 2 20 5.a

Resposta da questão 19: [C]

A expressão ij

0, se i ja

1, se i j

representa a matriz

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

, que representa a tabela

dada. Resposta da questão 20:

[C] I. (V) - Propriedade das matrizes; II. (V) - Propriedade das matrizes;

III. (F) - A propriedade correta é t t tAB B A .

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