ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I

DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO

NORMAL SIMPLES PARA VIGAS

Basicamente o dimensionamento estrutural consiste

em seguir duas recomendações básicas, quais sejam:

a) Uma seção transversal deve ser determinada de

forma a suportar as solicitações máximas a que

poderá estar sujeita;

b) Uma seção previamente estabelecida deve ser

capaz de suportar as solicitações mais desfavoráveis

que possam ocorrer.

• Importante que não ocorra desperdício de

resistência dos materiais. Exemplo: estruturas

dimensionadas no domínio 4;

• De preferência, as seções das vigas devem ser

dimensionadas no domínio 3, salvo em casos

particulares onde a racionalização dos materiais não

seja a principal exigência.

POR QUE AS ESTRUTURAS DEVEM SER DIMENSIONADAS NO DOMÍNIO 3?

• No domínio 3 podemos obter peças normalmente

armadas, com a ruptura ocorrendo simultaneamente

por esmagamento do concreto e deformação plástica

excessiva da armadura de flexão.

Figura 2.4 – Domínios de dimensionamento para a flexão simples ou pura

Domínio 2 Subarmada

Domínio 3 Normalmente armada

Domínio 4 Superarmada

• A norma brasileira, para simplificar o procedimento

de cálculo, permite substituir o diagrama parábola-

retângulo por um diagrama retangular de tensões no

concreto;

• Esta zona comprimida se estende da borda

comprimida até uma profundidade 0,85 ∙ 𝑥 ,

onde x é a profundidade da linha neutra.

• A limitação 0,85 × 𝑓𝑐𝑑 é aplicada a seções

retangulares em flexão normal. Para outras situações

deve-se utilizar 0,80 × 𝑓𝑐𝑑 .

CÁLCULO DO MOMENTO LIMITE PARA SEÇÕES NORMALMENTE ARMADAS

• O primeiro passo no dimensionamento é verificar se

o problema dado corresponde a uma situação no

domínio 4.

• Para tanto, determina-se o momento limite para o

domínio 3, onde a ruptura é dúctil.

𝑴𝒔𝒅 ≤ 𝑴𝒍𝒊𝒎 subarmada ou normalmente armada

• O momento limite para seções normalmente armadas é obtido

admitindo-se que a máxima deformação de compressão no

concreto é 𝜀𝑐 = 3,5‰ e que a deformação de tração na armadura

é 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦𝑑.

• Quando a 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦𝑑 , tem-se que o 𝑥 = 𝑥𝑙𝑖𝑚 e nesse ponto, o

𝑀𝑑 = 𝑀𝑑,𝑙𝑖𝑚. Dessa forma, o 𝑀𝑑,𝑙𝑖𝑚 é o momento fletor máximo

que atua na seção e que conduz a linha neutra na posição limite

entre os domínios 03 e 04.

• Assim, o diagrama de deformações considerado corresponde ao

limite entre os domínios 3 e 4.

𝑥𝑙𝑖𝑚

𝑑 − 𝑥𝑙𝑖𝑚=

3,5‰

𝜀𝑦𝑑

𝑥𝑙𝑖𝑚 =3,5‰

3,5‰ + 𝜀𝑦𝑑∙ 𝑑

OBS.: O índice lim indica que o limite entre os domínios 3 e 4.

𝑥𝑙𝑖𝑚 distância limite do bordo mais

comprimido a linha neutra.

d altura útil (distância do centróide da

armadura até a borda comprimida)

𝑑 = ℎ − 40 𝑚𝑚

h altura da viga

A deformação 𝜀𝑦𝑑 depende do tipo de aço empregado:

a) Para o aço CA50 com patamar de escoamento pode-se fazer:

𝜀𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑑

𝐸𝑠=

435

210000= 2,07‰

Quando o aço CA50 não apresentar patamar de escoamento, o 𝜀𝑦𝑑 = 4,07‰

b) Para o aço CA60 com patamar de escoamento pode-se fazer:

𝜀𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑑

𝐸𝑠=

522

210000= 2,48‰

Quando o aço CA60 não apresentar patamar de escoamento, o 𝜀𝑦𝑑 = 4,48‰

• São apresentados o momento solicitante de cálculo Md as resultantes de compressão e tração devidas às resistências dos materiais.

Md, lim momento solicitante

Rcc resultantes de compressão

das tensões no concreto

Rsd resultantes de tração na

armadura

Z braço de alavanca.

DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES

• No item anterior foi estabelecido o momento limite para que uma seção transversal esteja no limite dos domínios 3 e 4, devendo-se evitar o domínio 4.

• Entretanto, quando εs ≥ εyd , a ruptura da viga é dúctil, com deformação plástica excessiva da armadura, estando a seção entre os domínios 2 e 3.

• Neste caso, a seção pode ser subarmada ou normalmente armada (εs = εyd), e a profundidade da linha neutra é representada genericamente por x.

• É possível observar a configuração do binário resistente, responsável por combater, agora, um momento solicitante Md ≠ Md,lim;

• Neste caso, torna-se necessário determinar a posição da linha neutra e estabelecer em que domínio encontra-se a seção.

Fazendo o equilíbrio dos momentos em relação ao centro de gravidade da armadura de flexão,

• Apenas um valor de x é válido, e é aquele que está posicionado dentro da seção transversal. O valor de x obtido dever ser comparado com aqueles situados nos limites dos domínios, para que se determine se a armadura realmente escoou. De preferência, o valor de x deve estar no intervalo x3,2 ≤ x ≤ x4,3 , para que seja evitada a deformação excessiva do aço (fissuras demasiadamente abertas) e a superarmação, respectivamente.

• Caso a seção trabalhe no domínio 4, pode-se aumentar a altura da viga, caso seja permitido no projeto, evitando a superarmação. De outro modo deve-se prever uma armadura longitudinal para a zona comprimida de concreto.

• O cálculo da armadura de flexão, para os domínios 2 e 3, é realizado de forma simples, adotando o valor de x obtido da equação do segundo grau, ou seja, faz-se o equilíbrio dos momentos sobre o centro de gravidade do retângulo de compressão do concreto e substitui-se o valor do braço de alavanca.

• Admitindo-se que a seção esteja trabalhando nos domínios 2 ou 3, para um melhor aproveitamento da armadura, tem-se ε s ≥ ε yd , resultando que a tensão na armadura é a de escoamento ( f s = f yd ). A área de aço será dada por:

Determinada a armadura de flexão e as demais armaduras, a viga pode ser

detalhada. Uma situação bastante comum envolve o dimensionamento de seções

transversais com as dimensões pré-estabelecidas em projeto, mas

especificamente a altura h e a largura bw. Em algumas situações, o projetista

estrutural tem liberdade de determinar as dimensões das seções, estabelecendo

em que domínio a seção deverá trabalhar.

Considere uma viga isostática com carga distribuída de 17 kN/m e apoiada em dois

pilares quadrados com 200 mm de lado cada. A viga possui as seguintes

características: comprimento = 6.000 mm, 150 bw = mm, h = 500 mm, cobrimento

inferior de 25 mm, trabalha em estado limite último, 25 f ck = MPa e aço CA50

com patamar de escoamento.

Calcular a armadura longitudinal de tração, As .

• A figura abaixo mostra o detalhamento da seção transversal da viga. As 02 barras de 6.3 mm posicionados na zona comprimida auxiliam a armação da viga e são chamados de porta estribos, contribuindo na resistência daquela região. Os estribos foram posicionados a cada 15 cm apenas por comodidade. O dimensionamento ao esforço cortante será visto mais adiante.

2𝜙6.3 𝑚𝑚

Considere uma viga isostática biapoiada com carga concentrada de 80

kN aplicada no meio do vão de 5.600 mm. A viga possui as seguintes

características: bw = 150 mm, h = 500 mm, cobrimento inferior de 25 mm,

trabalha em estado limite último, fck = 25 MPa e aço CA50 com patamar

de escoamento. Calcular a armadura longitudinal de tração, As .

Como a base da viga não comporta cinco barras de 16 mm de

diâmetro, pois os espaçamentos entre as mesmas serão menores que

os permitidos por norma, a armadura terá que ser distribuída em duas

camadas. Neste caso, o valor de d será um pouco menor, e a viga

deverá ser recalculada para o valor correto de d. Para duas

camadas de armaduras, a altura útil pode ser determinada com o

auxilio da figura 3.5 e das equações 3.2 e 3.3.

2𝜙6.3 𝑚𝑚

6𝜙16 𝑚𝑚

Anteriormente, conhecia-se Md e determinava-se As.

Neste item será analisada uma situação onde se

conhecem as dimensões da seção ( bw e d), o tipo de

aço (fyd e ε yd) e a resistência característica do

concreto (fck), e deseja-se determinar em qual

domínio se consegue o maior momento característico

que a seção consegue resistir.

• Para a resistência última do concreto igual a 0.85*fcd, valores menores que x 2,3 conduzirão a valores de εs > 10 ‰, o que não é permitido (deformações excessivas). Para valores menores que 0.85*fcd, a seção não utiliza toda a resistência do concreto e a tensão de cálculo continua sendo fyd , ou seja, no domínio 2 não se tem o máximo aproveitamento da seção.

Para x=d, o momento resistente pode ser máximo mas

fs < fyd, e o aço não é bem utilizado, conduzindo a valores

elevados de As, além de se ter vigas superarmadas, o que seria

indesejável. Assim, o máximo momento resistente de uma

seção, com a otimização dos materiais, é obtido no limite dos

domínios 3 e 4, ou seja, com x=x3,4.

• As características mecânicas e geométricas da seção são

inteiramente conhecidas, e deseja-se determinar a

capacidade resistente da seção.

• Na situação anterior a armadura era determinada para o

limite entre os domínios 3 e 4 (x3,4). Agora, a armadura é

dada, e a linha neutra não pode mais ser

considerada no limite entre os domínios 3 e 4 (x ≠ x 3,4),

devendo ser determinada.

• Verificar se a seção não está no domínio 4, ou seja, a

armadura deve apresentar εs≥εyd , ficando implícito que fs =

fyd.

• Lembrando que a resultante de compressão é 𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ⋅

𝑏𝑤 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 e a resultante de tração no aço é 𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠 ⋅

𝑓𝑦𝑑 , e que a seção deve estar em equilíbrio.

• O momento resistente pode ser determinado fazendo-se o

somatório dos momentos no ponto de aplicação da resultante

na zona comprimida de concreto.

• Caso a seção esteja no domínio 4 (x > x 3,4), εs < εyd e fs <

fyd, torna-se necessário determinar o valor da tensão

que atua na armadura (fs), que não mais será igual à de

escoamento.

• Para se determinar este valor, emprega-se a Lei de Hooke e o coeficiente

de minoração do aço.

• Alguns autores chamam este procedimento de “corrigir o valor de x”.

Deve-se ressaltar que esta situação, a seção atuando

no domínio 4, deve ser sempre evitada. Para isso,

basta aumentar a altura útil da seção, quando o

projeto permitir, ou adicionar armadura na zona de

compressão (armadura dupla), situação a ser

analisada adiante.

• O máximo momento que uma seção pode resistir, com o

máximo aproveitamento da capacidade resistente dos

materiais, ocorre no limite entre os domínios 3 e 4;

• A altura útil (dmín) mais econômica necessária para resistir a

um momento qualquer (Md) será função da profundidade da

linha neutra no limite dos domínios 3 e 4 (x3,4);

M d ≤ M d 3,4

• O cálculo da altura mínima permite ao projetista estrutural

estabelecer áreas de aço econômicas, compatíveis ou

balanceadas (em equilíbrio) com as zonas comprimidas.

FÓRMULAS ADIMENSIONAIS E TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES

RETANGULARES

DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA

• Há situações em que, por imposições de projeto estrutural e

arquitetônico, é necessário utilizar para a viga uma altura

menor que a altura mínima exigida pelo momento

fletor atuante de cálculo Md. (d<dmin)

• Nesse caso, a seção com essa altura menor só irá resistir

(trabalhando no domínio 3 ou no limite entre os domínios 3 e

4) a uma parcela desse momento.

• No domínio 4, é possível aplicar uma altura menor que a

mínima, mas esse domínio deve ser evitado.

• Uma solução possível, sem utilizar o domínio 4, é

complementar a peça com uma armadura de compressão.

• Determina-se o momento em que a seção consegue resistir

com a sua altura real e a armadura apenas tracionada,

trabalhando no limite entre os domínios 3 e 4 (M3,4).

• A diferença entre o momento atuante Md e o momento M3,4,

chamada de M2, será resistida por uma armadura de

compressão. A viga terá uma armadura inferior tracionada e

uma superior comprimida (armadura dupla).