1 INTRODUÇÃO

O propósito deste caderno pedagógico é possibilitar a melhor

compreensão das propriedades do Sistema de Numeração Decimal e dos algoritmos

das quatro operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão. E, à

luz da História da Matemática, pretende-se fazer um relato das formas como se

somavam, subtraiam, multiplicavam e dividiam, justificando e dando sentido aos

procedimentos atuais. As atividades propostas pretendem proporcionar aos alunos:

- conhecer os sistemas de numeração de diferentes culturas;

- conhecer sobre a gênese e a natureza do SND;

- refletir sobre o uso de materiais manipuláveis como: ábaco,

material dourado, calculadora e outros que necessários e possíveis de acordo com o

contexto de ação;

- discutir os porquês das ações e dos resultados nos algoritmos;

- resolver problemas que apliquem as propriedades do SND e as

quatro operações.

Nas atividades serão utilizadas, principalmente, duas das

tendências presentes nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná:

Resolução de Problemas e Investigações Matemáticas.

Em relação a estratégia de Resolução de Problemas, o autor

George Polya, escreveu livros, artigos e propôs quatro passos para Resolução de

Problemas:

compreensão do problema;

planejamento de uma estratégia para resolvê-lo;

execução do plano e revisão da estratégia;

verificação e interpretação dos resultados

É importante ressaltar, segundo Onuchic, Rodrigues e Huaman

(2004), que a Resolução de Problemas utiliza etapas eficientes de outras

tendências, incluindo a tradicional.

1

Quando se parti para uma ação, sempre há uma intenção, um

objetivo. Isto cabe, também, para Educação e para Resolução de Problemas. Como

diria Newton Duarte(1988): ”O ensino sempre é político, pois sempre está

contribuindo para algum tipo de postura dos educandos” . Dependendo da intenção,

o professor pode usar os problemas e conduzir a aula de formas diferenciadas.

Porém é imprescindível possibilitar que o aluno se torne independente, intérprete e

usuário da Matemática.

Onuchic, Rodrigues, Huaman (2004), propõem um roteiro de aula

com a intenção de trazer significado e compreensão para o aluno, sugerem:

- Formar grupos – Entregar uma atividade. No mundo real, aprender é muitas vezes um processo compartilhado e que o progresso em direção a um objetivo vem através de esforços combinados de muita gente;

- O papel do professor – A intermediação realizada pelo professor, leva o aluno a pensar, espera que eles pensem, dá tempo para isso, acompanha suas explorações e resolve, quando necessário, problemas secundários;

- Resultado na lousa – O professor mostra na lousa os resultados obtidos pelos diferentes grupos;

- Plenária - Os alunos todos, de todos os grupos, participam de uma assembéia plena. Procuram defender seus pontos de vista e participam;

- Análise dos resultados – os pontos de dificuldades encontrados pelos alunos são novamente trabalhados. Surgem, outra vez, problemas secundários que, se não resolvidos, poderão impedir que se leve o trabalho à frente;

- Consenso – A partir da análise, com a devida retirada das dúvidas, busca-se o consenso sobre o resultado pretendido;

- Formalização - É feita uma síntese do que se objetivava aprender a partir do problema dado. São colocadas as devidas definições, identificadas as propriedades e feitas as demonstrações. É importante destacar, nesse momento, que matemática nova se construiu, usando as novas terminologias próprias ao assunto considerado.

As atividades de Investigação também serão utilizadas nesta

intervenção. Em uma adaptação do texto “Viva a matemática” de N.Langdon e C.

Sanpe, Buriasco(2005) argumenta:

Uma atividade de investigação numa aula de Matemática é caracterizada por ser uma situação aberta cabendo aos alunos a responsabilidade de definir os objetivos, conduzir as experiências, formular e testar hipóteses e comunicar as suas conclusões. Deve-se

2

ser desenvolvida em três etapas: (1) apresentação da tarefa, (2) atividade independente dos alunos, (3) discussão e reflexão sobre o trabalho realizado. (p.12).

As atividades de investigação são mais divergentes dos que a de

Resolução de Problemas, pois seu encaminhamento é incerto. O professor deverá

promover um ambiente confiável para os alunos apresentarem suas conjecturas.

Wood (apud Ponte, 1996, p.7):

aponta a necessidade de que a Matemática desenvolvida na sala de aula constitua uma actividade com significado para os alunos, considerando que, para isso, é essencial que se crie um ambiente em que eles interajam uns com os outros, em que possam exprimir os seus pensamentos e em que questionem as ideias apresentadas pelos colegas. Para que seja possível e proveitosa esta nova “maneira de viver” na sala de aula é necessário a negociação e estabelecimento de um conjunto de normas de relacionamento entre os alunos e o professor, que indiquem, com clareza, o que se espera de cada um e o que é e não é permitido.

O professor promoverá a participação e interação de todos em

pequenos grupos ou no coletivo da sala, procurará estimular sempre os estudantes

com questões bem formuladas, com perguntas adequadas nos momentos

oportunos, recordar conhecimentos básicos (aritméticos, geométricos e algébricos)

sempre que preciso.

Conduzindo o estudante à reflexão e compreensão dos conteúdos

matemáticos, desenvolvidos com atitudes independentes e de discernimento. Como

acredita Ponte (2000, p.13):

Ao mostrar aos alunos que é possível olhar para as ideias matemáticas de modo interrogativo, colocando questões que podem ser investigadas — e promovendo a investigação, de facto, de algumas delas — o professor está a exercer um importante papel na educação não só do raciocínio matemático dos alunos, mas também do modo de eles se relacionarem com o mundo.

3

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 ORIGEM DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

O telefone de um amigo, o valor do pão francês, o número de sua

casa e a colocação de seu time de futebol no Brasilerão têm um fator comum: o

emprego dos algarismos (1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0). Tão cotidianos que parecem

inerentes ao ser humano. Mera ilusão. Como salienta Farago(2003, p.18):

Conhecendo a história da matemática percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes resultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram, que foram desenvolvidas com grande esforço[...].

A origem do Sistema de Numeração Decimal inicia-se quando o

homem era capaz de reconhecer apenas a unidade, o par e o muito.

2 .1. 1 Percepção de Números

2.1.1.1 Atividade 1

Observe a quantidade de elementos em cada quadro:

Figura 1: Percepção direta dos números

4

Fonte: minha autoriaQuais grupos você pode dizer o número de elementos sem contar?

Em um rápido olhar, o homem e também alguns animais podem

perceber no máximo quatro objetos.

Devido a esta percepção vários sistemas de numeração antigos

tinham a seguinte característica: os pontos ou barras eram agrupados de três em

três ou de quatro em quatro. Por exemplo, o dos Aramaicos do Egito:

Figura 2: Aramaicos do Egito (Sistema de Elefantina: séculos V-III a. C.)

Fonte: motivate.maths.org

2.1.2 Primeiros Métodos de Contagem

Como a percepção visual humana identifica até quatros objetos, o

ser humano para fazer controle de animais, alimentos, ferramentas, armas, escravos

ou do tempo, necessitou de novos métodos. Os mais conhecidos são:

Mão

Fonte: minha autoria

“A mão é a primeira ‘máquina de contar e de calcular de todos os

tempos’” (Ifrah, 1997, v.1, p.xix). Esta é a causa da maioria dos sistemas de

numeração serem decimais. Empregando as mãos, os povos: romanos, árabes e

5

cristãos do Ocidente Medieval contavam de 1 a 9.999, além de desenvolverem uma

grande habilidade em calcular com as mãos, a qual regia contratos comerciais. E,

até hoje as crianças usam os dedos para contar e nós também.,

Monte de Pedras

Quando os dedos da mão tornaram-se inadequados para contar e

calcular, o monte de pedras foi a alternativa mais viável para época. É uma técnica

simples e imprescindível, é dito que este foi a origem do ábaco. Similarmente outros

materiais foram utilizados: conchas; nós em cordas; bolinhas de argila; pérolas;

frutos secos e até fezes de animais.

A palavra cálculo tem origem latina e significa “pedra” e uma das

definições encontrada no dicionário é: concreção que se forma na bexiga e em

outros órgãos. Ifrah(1997) afirma que em em grego, a palavra phéphos significa,

concomitantemente, “número” ou “pedra” e pséphos tithénai: “colocar pedras” e,

portanto “fazer uma conta”. Em árabe, haswa significa “pedra” e ihasâ (mesmo

radical de haswa) significa “enumeração” e “estatística”. Os gregos e romanos

ensinavam calcular com auxílio de pedrinhas, bolas, fichas e peões e com pedras

de cal.

Entalhe

O homem pré-histórico, a cerca de 30 milênios atrás, começou a

fazer marcas em ossos, paus e rochas. Os arqueólogos encontraram vários

vestígios, os quais comprovam sua origem. Porém ainda são utilizados por pastores

húngaros e austríacos. E por alguns jogadores de baralho(meus vizinhos) para

anotar seus pontos. Segundo o mesmo autor, o entalhe é a própria origem dos

algarismos romanos.

2.1. 3 Princípios: Cardinal e Ordinal

Ao utilizar quaisquer destes métodos, o ser humano compara duas

coleções de objetos, correspondência unidade por unidade. Para ilustrar pode-se

citar duas coleções: as carteiras de uma sala de aula e os alunos. Esta

correspondência possibilita constatar rapidamente se sobraram carteiras, faltaram

ou era o número exato para os alunos. Ifrah(1997, v.1, p.23)argumenta:

6

Mas este artifício do espírito não oferece apenas um meio de estabelecer uma comparação entre dois grupos: ele permite também abarcar vários números sem contar nem mesmo nomear ou conhecer as quantidades implicadas.

Quando as duas coleções de objetos ou seres possuem o mesmo

número de elementos, obedecem a propriedade do emparelhamento, assim

chamada correspondência biunívoca:

Desta maneira, o homem primitivo mesmo desconhecendo a

contagem abstrata, pôde enumerar suas necessidades. A sucessão natural permitiu

atribuir a cada elemento um símbolo (um gesto, uma palavra ou um sinal gráfico).

Este recurso possibilitou:

Cada símbolo ou apelação assim atribuído a cada um dos objetos do conjunto em questão será chamado, então por seu número de ordem na coleção assim transformada em procissão. O número de ordem do último objeto desse agrupamento ordenado nada mais é que o número dos elementos deste último. (IFRAH, 1997, v.1, p.39).

Por intermédio da contagem, a pluralidade concreta transformou-se

em informação precisa. Os dois aspectos complementares da noção de número são:

Cardinal - o qual tinha símbolo padrão que representa unidade por

unidade. Exige o princípio do emparelhamento;

Ordinal – para cada número tinha um símbolo próprio. Respeita aos

princípios do emparelhamento e da sucessão natural.

Com o acesso à abstração dos números e a compreensão dos

aspectos cardinal e ordinal juntamente, foi possível o surgimento de símbolos

numéricos e a evolução da criação dos nomes dos números, os quais permitiram

que os sons substituíssem, paulatinamente, os objetos (pedras, entalhes e dedos)

que os originaram. E com o passar dos tempos, houve a grande criação dos

7

algarismos: “sinais gráficos de todas as espécies; traços gravados, desenhados ou

pintados, marcas em cruz em argila ou em pedra, sinais figurativos, letras do

alfabeto, sinais convencionais etc.” (Ifrah, 1997, v.1, p.47). Contudo, independente

do aspecto utilizado surgiu um desafio: como designar números elevados com a

menor quantidade de símbolos? O ser humano, então, escolheu um agrupamento

particular (dezena, dúzia, vintena, sessentena ou outros), e organizou uma

sequência regular de números. Boyer relata uma pesquisa sobre sistema de bases

numéricas:

Um estudo de várias centenas de tribos entre os índios americanos, por exemplo, mostrou que quase um terço usava a base decimal e aproximadamente outro terço usava um sistema quinário ou quinário-decimal; menos de um terço tinha um esquema binário, e os que usavam um sistema ternário formavam menos de um por cento. O sistema vigesimal, com base vinte, ocorria em cerca de 10 por cento das tribos (1996, p. 3).

2.1.4 Sistemas de Numeração

Esta ideia facilitou o registro de quantidades e assinalou o

nascimento dos Sistemas de Numeração. Segundo Nunes et al. (2005, p.33):

O sistema de numeração nos permite registrar as quantidades de maneira mais exata do que a percepção e nos lembrarmos dessas quantidades quando precisarmos. Os sistemas de numeração amplificam nossa capacidade de raciocinar sobre quantidades.

Estes sistemas atenderam necessidades ou exigências da época.

A evolução de cada sistema de numeração foi influenciado pelo material utilizado

para registrar(argila, papiro, pedra, barbante e outros) e para grafar(pincel, cálamo,

cunes).

2.1.4.1 Sistema de numeração hieroglífica egípcia

Origem Aproximadamente 3000 a.C, Caracterísitcas principais Aditivo, decimal e não posicional

8

Era baseada “[...] na escala de dez. Usando um esquema iterativo simples e

símbolos diferentes para a primeira meia dúzia de potências de dez[...]” (Boyer, 1996, p.7).

Estes símbolos foram quase todos baseados nos animais e na vegetação do Rio Nilo e,

também nos artefatos do local.

Quadro 1: Algarismos da Numeração Hierogífica Egípcia.

Símbolo Egípcio

Descrição do Símbolo

Sistema de Numeração Indo-Arábico

Bastão 1

Calcanhar 10

Rolo de Corda

100

Flor de Lótus 1.000

Dedo a apontar

10.000

Peixe 100.000

Homem 1.000.000

Representações dos números 952 e 13.327 nesta numeração:

952 =

13.327 =

2.1.4.2 Sistema de numeração romana

Origem Aproximadamente 500 a.C.Características principais Aditivo e Decimal

9

2.1. 4.2.1 Atividade 2

Você já viu relógio assim? E assim?

Fonte: minha autoria

Fonte: www.abracore.org.br .

Qual a diferença entre eles?

Está numeração baseia-se, respectivamente, nos princípios aditivo e

subtrativo. Segundo Ifrah(1997, v.1, p.396): “os romanos complicaram seu sistema

introduzindo nele a regra, segundo a qual qualquer sinal numérico colocado à

esquerda de um algarismo de valor superior diminui-se dele”. Este é o princípio

subtrativo. Por exemplo:

IV (5 -1) em lugar de IIII

XIX (10 + 10 – 1) em lugar de XVIIII

É importante ressaltar que a grafia dos algarismos romanos atual

não provém das letras do alfabeto latino, mas sim de modificações ao longo da

10

história. E, também segundo o autor, os algarismos romanos têm origem na prática

do entalhe.

Quadro 2: Algarismos Romanos

1 5 10 50 100 500 1000I V X L C D M

Representações no Sistema de Numeração Romana (atual):

952 = CMLII (princípios subtrativo e aditivo)

13.327 = XIIICCCXXVII (princípios aditivo e multiplicativo)

Nesta segunda notação, foi empregado também o princípio

multiplicativo, para isso foi utilizado a Regra do sobrelineamento (multiplica-se por

1000, o número que está sob uma barra horizontal). Como os algarismos XIII tem

uma barra horizontal superior, seu valor é treze mil e não treze.

2.1.4.3 Sistema de numeração maia

Origem entre 400 e 900 d.C.

Características principais aditivo, vigesimal e posicional Os algarismos eram escritos verticalmente e as ordens eram

crescentes de baixo para cima:

nª posição- valor x (18)(20)n-2

4ª posição- valor x (18)(20)2

3ª posição- valor x (18)(20)

2ª posição- valor x 201

1ª posição- valor x 200

Na terceira posição ocorre uma adequação, em vez de ser 202 =

400, é (18)(20) = 360. Segundo Eves(2004, p.37): “A explicação para essa

discrepância provalvelmente reside no fato de o ano maia consistir em 360 dias.”

11

Quadro 3: Os dezenove algarismos e o zero maias.

1 5 9 13 17

2 6 10 14 18

3 7 11 15 19

4 8 12 16 0

Representações dos números 952 e 13.327:

952 = 2(18)(20) + 11(20) + 12

= 2.360 + 11.20 + 12

= 720 + 220 + 12

13.327 = 1(18)(202) + 17(18)(20) + 0(20) + 7

= 1.7200 + 17.360 + 0.20 + 7

= 7200 + 6120 + 0 + 7

12

2.1.4.3.1 Atividade 3

Escreva nos sistemas de numeração egípcio, maia e romano, um números entre:

a) 70 e 90 b) 500 e 600

2.1.4.4 Sistema de numeração decimal

Origem Aproximadamente 300 a.CCaracterística principais Decimal e posicional

Este sistema também é fruto de uma longa história. O povo indiano,

utilizou objetos, dedos, entalhes, pinturas e o ábaco de colunas para registrar

quantidades e realizar operações aritméticas. Sua evolução foi lenta até chegar à

descoberta da numeração de posição. Os algarismos indianos, denominados indo-

arábicos foram criados decorrente das necessidades. Mas antes de atribuírem

essa invenção aos indianos, foram concebidas outras explicações ditas

“fantasiosas”, dentre elas:

a) a hipótese inventada por um vidraceiro geômetra magrebino1 que

imaginou a relação entre origem do algarismo(valor absoluto) e o

número de ângulos de cada um deles. Ou seja, o algarismo 1

tem um ângulo, o algarismo 2 tem dois ângulos e assim por

diante.

Figura 3: Explicação fantasiosa: número de ângulos de cada algarismo.

Fonte: www.maths-rometus.org . b) A teoria apresentada pelo francês P. Voizot, século XIX, baseada em um

autor genovês, é semelhante à teoria anterior, porém a correspondência é entre a

reunião de traços de cada algarismo e seu valor absoluto.

1 Magreb é a região do Norte da África banhada pelo Mediterrâneo, situada ao Norte do Saara e a Oeste do rio Nilo.

13

Figura 4: Explicação fantasiosa: número de traços de cada algarismo.

Fonte: www.maths-rometus.org

A numeração indiana foi tão imprescindível à humanidade quanto o

domínio do fogo e a invenção da roda. E convém registrar dois olhares

complementares sobre a origem dos algarismos indianos. Ifrah escreve:

Assim, desde o início do século XX, a partir de uma rica e sólida documentação, por setores e por especialidades, obtiveram-se provas completas de que nossa numeração atual é de origem indiana. (1997, v.1, p.1).

E Boyer:

A nova numeração, que chamamos em geral o sistema hindu, é apenas uma nova combinação dos três princípios básicos, todos de origem antiga [...]. Nenhum desses se deveu originalmente aos hindus, mas presumivelmente foi devido a eles que os três foram ligados pela primeira vez para formar o moderno sistema de numeração (1996, p.146).

A lista dos predecessores dos algarismos modernos é extensa e

remota ao século III a.C, quando o Imperador Ashoka gravava, principalmente as

leis, em pedras e utilizava as escritas: “ grego e aramaico [...] no Afeganistão; o

sistema kharoshthi [...], para o norte do Indo e a brâhmi para todas as outras

regiões do Império da Índia” Ifrah(1997, v.2, p. 40). Pode ser que esta lista seja

datada de 2500 a 1500 a.C, pois foram encontrados vestígios de escrita da

civilização do Indo, nas antigas cidades de Mohenjo-Daro e Harappã.

Baseado em esquema de Ifrah(1997), A tabela abaixo demonstra

parte desta genealogia:

14

Quadro 4: Evolução dos algarismos indo-arábicos

Algarismos Brâhmi de 1 a 9

Algarismos das inscrições shunga, shaka, kushãna, ãndhara, etc

Algarismos gupta

Estilo nãgari

Algarismos arábicos do Magreb(estilo dito ghubãr)

Algarismos europeus do fim da Idade Média(formas cursivas dos Algorismos)

Algarismos modernos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Na época da escrita brâhmi, os algarismos apresentavam uma

importante característica: não demonstaravam semelhança visual com os números

correspondentes. Por exemplo, o número 7 não correspondia a sete traços, como os

sistemas de numeração dos Aramaicos do Egito.

Segundo Georges Ifrah (1997), entre os séculos III a. C. a VII d.C,

o princípio da notação numérica e decimal baseava-se sobre o princípio da adição,

cada número abaixo tinha um algarismo próprio:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 20 30 40 50 60 70 80 90

100 200 300 400 500 600 700 800 900

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000

10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 90.000

Desta maneira podia-se contar até 99.999. A numeração indiana

era não posicional. A próxima figura, assim como outras, foi retirada do trabalho do

15

Professor Luiz Márcio Imenes.

Figura 5: Numeração indiana não-posicional

Fonte: www.iejusa.org.br

Porém, a necessidade de números elevados pelos astrônomos

exigiu novas mudanças. Fato que possibiltou alcançarem: “uma verdadeira

numeração oral de posição, recebendo desse modo os nomes sânscritos2 das nove

unidades simples um valor variável dependente de sua posição na enunciação do

número.” IFRAH(1989, v.2, p.269).

O princípio posicional foi concebido quatro vezes na história, pelos:

babilônios - 2000 a.C; chineses - um pouco antes do início da era cristã; maias –

III a IV d.C e indianos – V d.C. Ifrah(1997, v.2, p. 158) frisa: “com exceção da

civilização indiana, nenhum povo da história pôde dar o passo decisivo que

conduziria ao aperfeiçoamento último da notação numérica” .

Com a evolução do princípio de posição se fez necessário um

símbolo para expressar as ordens faltantes. Surgindo o zero. Na Índia, chamado de

“sunya” cujo símbolo, no início, era um espaço vago e após, um ponto ou pequeno

círculo. Como diz Ifrah(1997, v.2, p.685): “ A percepção de que o vazio pode e deve

ser substituído por um grafismo, que tem precisamente por significado o vazio,

representa a última abstração que “vazio” e “nada””, concebidos inicialmente como

noções distintas, são, na realidade, duas expressões de um mesmo conceito”.

E para não confundir, por exemplo, 205 e 25, recorreram a palavra

zero(sunya); 205 “dois, zero, cinco” e 25 “dois, cinco”.

Agora, os três requisitos para a criação do sistema de numeração

moderna estavam à disposição dos sábios da Índia: princípio de posição

2 Antiga língua sagrada da Índia.

16

decimal, algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e o conceito de zero. Lembrando

que os algarismos não estavam submetidos ao princípio de posição e sim, apenas,

as palavras. Como a cultura indiana apreciava muito a poesia, os números eram

colocados em verso, cada algarismo possuía vários sinônimos, ou como diria Ifrah,

palavras-símbolos. Esta idéia facilitava a memorização e o risco dos números serem

confundidos era ínfimo. Pois havia várias grafias para o mesmo número, até de

escriba para escriba da mesma região. Contudo, a lista de palavras-simbolos para

cada algarismo era enorme. O algarismo um poderia ser denominado: “início”,

“corpo”, palavras que significam “Lua” ou “Terra”; o nove: “(nove) algarismos”,

“(nove) planetas” ou “(nove) orifícios (do corpo humano); o zero: céu, atmosfera e

espaço. O número 9.100 seria escrito:

Atmosfera vazio lua orifícios

0 0 1 9

Então pensaram em representar os resultados, pelo menos no

rascunho, por meio de algarismos escritos no ábaco, aplicando-lhes a regra de

posição e juntando-lhe uma notação gráfica particular que representasse o sunya ou

“zero” E chegaram a 9100. Naquele momento, o número era lido da esquerda para

direita. Possibilitando o aperfeiçoamento dos cálculos.

Na Índia, assim como em grande parte do Oriente, era utilizado uma

prancheta para cálculos, coberta com areia poeira fina ou até com farinha. No início

traçaram colunas. Ifrah (1997, v. 2, p.424) frisa:

Porém, no estágio seguinte, desde que foram elaborados os algarismos de sua primeira numeração escrita, tiveram a idéia de traçar várias colunas paralelas, associando a primeira às unidades simples, a seguinte às dezenas, a terceira às centenas e assim por diante, de uma coluna à seguinte. E assim inventaram o ábaco de colunas, como vários povos o fizeram antes ou depois deles.

Era utilizado o princípio da posição, mas demorou até que as três

idéias juntassem para construção do SND.. Uma síntese do nosso sistema, segundo

Pires, Gomes e Koch (2004, p.32):

Sua base é dez, porque os agrupamentos são feitos de dez

em dez.

É posicional, pois um mesmo símbolo representa valores

diferentes dependendo da posição que ocupa. Por exemplo,

17

no número 544, o numeral 4 tem valor posicional 4 e o valor

posicional 40.

O sistema utiliza o zero.

É multiplicativo, pois cada algarismo representa o produto

dele mesmo pelo valor da posição que ocupa. Por exemplo, o

número 245:

245 = 2 . 100 + 4 . 10 + 5 . 1

É aditivo: 245 = 200 + 40 + 5.

É econômico em relação aos símbolos que utiliza, pois com

apenas dez símbolos, (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0), escreve-se

qualquer número.

Sua compreensão é muito importante, como destaca Kamii (2004,

p.35): “Compreender o valor posicional é, sem dúvida, muito importante, pois a

criança que não fizer terá séria dificuldades em somar, subtrair, dividir e multiplicar

grandes números.”

2.1.4.4.1 Atividade 4

Jogo do Nunca Dez

Neste jogo será utilizado dois dados e o Material Dourado. O aluno

joga os dados pega o número de unidades (quadradinhos) que a soma dos dados

indicar. Quando tiver dez peças iguais deverá trocar por outra equivalente. O jogo

termina quando uns dos alunos pegar a primeira centena (placa).

18

Ao término do jogo, responda:

• Quem ganhou o jogo?

• Quantos pontos fez o ganhador

• E você, quantos pontos fez?

• Quantas unidades(quadradinhos) soltas tinha?

• Quantas dezenhas(tirinhas) tinha?

• Quantas centenas(placas) tinha?

• Represente no ábaco de papel, os pontos ganhos.

C D U

• A quantidade de pontos ganhos é _______.

Ela tem: _____ centenas = ____ unidades

_____ dezenas = ____ unidades

19

2.1.4.4.2 Atividade 5

Que relações existem entre as peças do Material Dourado?

Pegue as peças necessárias para representar os números e

apresente no ábaco de papel:

a) 17 b) 36 c) 75 d) 260 e)1803 f) 2135

2.1.4.4.3 Atividade 6

a) Jogo do Nunca Cinco

O material utilizado será um dado e canudinhos coloridos e

agrupados de 5 em 5. O aluno joga o dado e pega o número de canudinhos brancos

(unidades) indicado. Quando tiver cinco canudinhos brancos, troca por um

canudinho azul e, cinco canudinhos azuis serão trocadas por um canudinho

amarelo. O jogo termina quando um aluno pega dois canudinhos amarelos

Ao término do jogo, responda:

• Quem ganhou o jogo?

• Quantos pontos fez o ganhador

• E você, quantos pontos fez?

• Quantas unidades(canudinhos brancos) tinha?

• Quantos grupos de 5 (canudinhos azuis) tinha?

• Quantos grupos de 25 (canudinhos amarelos) tinha?

• Represente no ábaco de papel, os pontos ganhos.

G25 G5 U

• A quantidade de pontos ganhos é _______.

Ela tem: _____ grupos de 25 canudinhos = ____ unidades

_____ grupos de 5 canudinhos = ____ unidades

20

_____ unidades

b) Utilizando o material de Base 5, represente no ábaco de papel, os

números(base decimal) abaixo:

a) 39 b) 148

c) Observando as quantidades representadas na base 10 e na base

5, o que você pode concluir?

No século VIII d.C., os árabes islamizados (seguidores de Maomé)

entraram em contato com a cultura indiana e conheceram o conjunto do sistema

numérico indiano: números, numeração decimal de posição, zero e métodos de

cálculo. Nesta época, tinham conquistado um grande império. Os árabes

assimilaram os conhecimentos culturais e científicos dos povos conquistados,

inclusive da Índia. Ao se apropriarem da cultura grega, possibilitaram um elevado

desenvolvimento em seus cálculos. Também, preservaram e traduziram para a

língua árabe estes conhecimentos, permitindo a humanidade conhecer várias obras

antigas. Os árabes sempre reconheceram a criação de outras culturas, inclusive a

indiana. Ifrah(1997, V.2, p.19) narra que o sábio Muhammad Bem Musa al

Khuwârizmi (783-850), cujo nome foi latinizado para “Algarismo”, escreveu em sua

obra ”Livro da Adição e Subtração segundo o cálculo dos Indianos”:

“...decidimos expor a maneira de calcular dos indianos com ajuda dos noves caracteres e mostrar como, graças a sua simplicidade e concisão, esses caracteres podem expressar todos os números”. Expõe em seguida, em detalhe, o princípio da numeraçao decimal de posição, assinalando a origem indiana dos nove algarismos e da “décima figura em forma de círculo” (o zero), recomendamos”não desprezar seu uso, a fim de não confundir as posições”.

Mas mesmo, com tal reconhecimento pelos sábios árabes, houve

uma grande aversão aos algarismos indianos, em prol dos procedimentos de

contagem e cálculos dos dedos, pelos escribas e funcionários, os quais possuíam o

monopólio dos cálculos, e que lhes exigiam muitos anos de estudo. Mas,

especialmente devido a preservação da cultura arábico muçulmana.

21

Os árabes chamam-os, até hoje, de algarismos hindi e levaram este

sistema de numeração para o Oriente, norte da África e parte da Espanha e

presumi-se que a chegada destes algarismos, nestas duas últimas regiões, tenha

sido por volta do século IX d.C, devido às peregrinações à Meca, ao comércio, às

migrações dos povos e o intercâmbio entre os sábios árabes e indianos. Em

conseqüência do nível científico e cultural superior dos árabes ocidentais, os

algarismos indianos receberam por várias gerações o nome “algarismos arábicos” e

foram adaptados para a escrita árabe denominada magrebina.

Gerbert d’Aurilacc (nascido na Aquitânia/França, ), tornou-se o papa

Silvestre II em 999. É a ele que se deve a origem da primeira introdução dos

algarismos arábicos na nossa cultura. Só dos algarismos arábicos, nem do zero,

nem métodos de cálculo. Os quais foram simplesmente utilizados para simplificar as

velhas tábuas de cálculo. Era o período da Idade Média na Europa, a Igreja Católica

dominava os cenários religioso e econômico e a maioria do clero era contrária à

introdução dos algarismos arábicos, pois não concordavam com outro método que

não fosse o método clássico. Segundo Ifrah(1997), os algarismos arábicos foram se

distanciando de sua forma original, adaptando-se a cada povo, a cada cultura, a

cada escriba, gerando uma grande confusão.

Figura 6: Alterações na escrita dos algarismos indo-arábicos

22

Fonte: iejusa.org.br

Sendo necessário esperar até às Cruzadas, marcado por um

abandono definitivo das formas precedentes e por um retorno às grafias de origem

árabe, para ocorrer uma estabilização progressiva dos algarismos.

Na Espanha, final do século XI, foram traduzidas e copiadas obras

gregas, árabes e indianas, provocando o crescimento das relações entre o mundo

europeu e árabe. Em seguida, os cristãos fizeram as traduções para o latim. Houve

um deslumbramento em relação aos algarismos indo-arábicos, imposta pela

facilidade de aprendizagem. No início do século XIII, o matemático italiano Leonardo

de Pisa, Fibonacci, aprofundou-se no conhecimento matemático legado pelos

árabes e escreveu o livro “Tratado do Ábaco”, cujo nome tinha intenção de evitar a

discriminação dos defensores do ábaco.

Ironicamente, foram as Cruzadas que trouxeram definitivamente

para o Ocidente, os algarismos arábicos, juntamente com o zero e as técnicas de

cálculo. A facilidade deste método proporcionou um grande entusiasmo às pessoas

comuns.

É bem provável que a grafia dos algarismos modernos adotada e

fixada no século XV no Ocidente, foi devido à invenção da imprensa na Europa. E, a

partir deste momento, foi difundida por todo o mundo, constituindo-se em linguagem

universal. Coexistindo atualmente com outra grafia particular utilizada em parte da

Ásia e de alguns países africanos ( Egito, Líbia, Líbano, Arábia Saudita, Iraque, Irã,

Afeganistão e Paquistão).

Figura 7: Grafia atual utilizada em alguns países africanos e asiáticos.

Fonte: www.iejusa.org.br

Toda a ciência e tecnologia estão alicerçadas sobre esta grande e

maravilhosa invenção: o Sistema de Numeração Decimal.

23

3. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS

Os algoritmos das operações fundamentais (adição, subtração,

multiplicação e divisão) têm origem indiana, assim como nosso Sistema de

Numeração Decimal. Segundo Boyer (1996, p.148)

A adição e a multiplicação eram efetuadas na Índia de modo muito semelhante ao que usamos hoje, só que parecem a princípio ter preferido escrever os números como as unidades menores à esquerda, portanto trabalhar da esquerda para direita, usando pequenas lousas com tinta removível branca ou uma tábua coberta de areia ou farinha.

Porém os princípios: aditivo (idéia de “juntar”); subtrativo (idéia de

“tirar”), multiplicativo (idéia de adição de parcelas iguais) e de divisão (idéia de

“partes iguais”) foram claramente empregados nos diversos: métodos eruditos de

contagem (mão, monte de pedras, entalhes e outros) e sistemas de numeração.

3.1 ADIÇÃO

É a primeira das operações fundamentais da Aritmética e era

“operação fundamental no Egito”. Boyer (1996, p.10). Era a base para realizar

multiplicações e divisões egípcias sucessivas “duplicações”.

Segundo Eves (2004, p.253): “a adição hindu antiga talvez fosse

efetuada da esquerda para a direita, e não ao contrário como preferimos hoje.

Baseado nesta idéia, far-se-á o cálculo de 314 e 658:

Quadro 5: Adição hindu antiga

1º Coloca-se um número debaixo do outro respeitando as ordens;2º Calcula-se 6 + 3 = 9 e escreva o nove no topo da mesma coluna;3º Calcula-se 5 + 1 = 6 e escreva o seis no topo da mesma coluna;4º Calcula-se 8 + 4 = 12 e troca-se o seis por sete e acrescenta-se 2 na coluna das unidades.

Eves também relata que “[...)Bhaskara em seu Lilãvati” comenta

uma outra maneira de somar. Adicionar 462 e 179 desta forma:

24

Soma das unidades 2 + 9 = 11

Soma das dezenas 6 + 7 = 13

Soma das centenas 4 + 1 = 5

Soma das somas = 641

3.2 SUBTRAÇÃO

A subtração também utilizou inicialmente monte de pedras para

realizar seus cálculos. Porém outros meios eram empregados, como o de certas

aldeias africanas para controlar a quantidade de moças na idade casadoura. Cada

moça entregava um anel metálico para a casamenteira da aldeia, o qual era

colocado em uma correia. Quando a moça casava, recebia o anel de volta. “Eis,

portanto uma maneira bem prática de efetuar uma subtração quando não se sabe

calcular por meios como os nossos”.(IFRAH, 1997, v.1, p.192).

3.2.1 Atividade 7

a) No campeonato de futebol interclasse, a 5ªA tinha 11 pontos até

ontem, porém venceu novamente hoje. Quantos pontos, a 5ªA tem no total?

A equipe da 5ªA tem 11 pontos. Se conseguir mais uma vitória,

quantos pontos terão?

b) Os quadrados mágico(3X3) e hipermágico(4X4) devem ser

preenchidos sem repetir os números.

5

6

• Quantos números serão colocados em cada figura?

9

11 2

3

25

• Apresente seus cálculos no ábaco de papel. .

• O que observou?

c) Considerando a semana inteira, complete a tabela com horas

inteiras.

ATIVIDADES SEMANAIS HORASBrincarDormirEstudar/lerPassearVídeo(TV, game, computador, playstation)Total

• Qual a sua atividade preferida? E a menos?

• Quantas horas tem uma semana?

• Você dorme quantas horas a mais do que as atividades de

vídeo?

• Quantas horas livres você tem para outras atividades?

• Faça uma tabela para o grupo. Utilize o ábaco de madeira

fechado.

• Excluindo dormir, qual a atividade vencedora em grupo?

Quantas horas?

d) PROMOÇÃO “DE MARCA” Meias.................5,00

Camiseta..........17,00

Calça Jeans.....74,00

Short.................15,00

Tênis...............118,00

A loja “DE MARCA” está com algumas ofertas. Quais produtos

você compraria e quanto sobraria, se tivesse:

a) R$19,00? b) R$100,00? c) R$202,00?

26

3.3 MULTIPLICAÇÃO

A característica aditiva do sistema de numeração egípcio estava

presente na multiplicação e na divisão. Segundo Eves (2004, p.72): “Assim a

multiplicação e divisão eram em geral efetuada por uma sucessão de duplicações

com base no fato de que todo número pode ser representado por uma soma de

potências de 2”. Empregando este procedimento, calcula-se o produto de 17 e 25:

1 25

2 50

4 100

8 200

16 400

Como 1 + 16 = 17, o resultado desta operação será 425, a soma

de 400 e 25, respectivamente a duplicação de 1 e 16.

Os matemáticos indianos desenvolveram métodos de multiplicação

avançados para a época. Brahmagupta, 628 d.C, descreveu no quatro

procedimentos, uns dos quais será utilizado no cálculo 872 por 25, baseado

Ifrah(1997, v.2, p.452-453):

Quadro 6: Um dos métodos de multiplicação hindu antigo

1º Coloca-se o multiplicando em duas linhas sucessivas, deslocando a segunda uma coluna para esquerda;2º Dispõe-se os algarismos do multiplicador à direita, verticalmente, de cima para baixo(unidades e dezenas);

Segundo Boyer (1996, p.148):”os indianos desenvolveram um

maneira de multiplicação em gelosia, em célula, em grade ou quadrilateral”.

27

Quadro 7: Gelosia - método de multiplicação hindu.

3.3.1 Atividade 8

a)Jogo de Pitágoras(adaptação do livro de Méricles T. Morreti).

Os alunos, em grupo, confeccionarão o material:

• tabuleiro com 10 linhas e 10 colunas. Preenchida a 1ª linha e

a 1ª coluna com números de 1 a 10 e, também, todas as

casas que os produtos forem 36, uma casa 40 e uma casa

42.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

28

• Pedras do Jogo, as quais são os produtos dos valores de

cada linha por cada coluna;

As regras do jogo são:

• número de pedras por jogador: 18 para 2 jogadores; 12 para

3 jogadores, 10 para 4 jogadores e 8 até para 5 jogadores.

• o jogo é iniciado, por sorteio. O sorteado coloca uma pedra

qualquer no tabuleiro. Qualquer pedra seguinte (de um novo

participante) deve ser colocada adjacente a qualquer uma

das pedras já depositadas. O vencedor é quem termina

primeiro suas pedras;

• no caso de um dos jogadores não possuir entre as suas

pedras nenhuma para jogar, ele deve pegar uma no bolo

restante e aguardar a sua próxima vez. Caso não haja mais

pedras, ele simplesmente aguarda a sua vez na rodada

seguinte.

• o jogador que depositar uma pedra na diagonal principal. do

tabuleiro, terá como recompensa a devolução de uma pedra

ao bolo restante.

Ao final do jogo, far-se-á os questionamentos:

• Quem ganhou o jogo?

• Existem números repetidos na tabela? Quais são?

• Por que há repetição?

• O que você observou com os números que estão na diagonal

principal?

b) Descobrindo a tabuada

Ana sabe bem a tabuada do 2 e do 5.. A tabuada do 10, a que

considera mais fácil, sabe na “ponta da língua”. Ela está tentando descobrir, a partir

29

das tabuadas que conhece, o valor de alguns produtos. Por exemplo, já conseguiu

calcular o valor de 6x4 de várias maneiras diferentes:

6x4 = 6x2x2 = 12x2 = 24

6x4 = 4x6 = 4x5 + 4x1 = 20 + 4 = 24

6x4 = 5x4 + 1x4 = 4x5 + 4 = 20 + 4 = 24

• Você compreende o que Ana fez?

• Usando o raciocínio de Ana, calcule: 4x7, 9x8, 7x7 e 12x9.

• Tente construir a tabuada do 3 e do 4, utilizando o modo de pensar

de Ana?Tem algum produto que não consegue descobrir?

c) Área da sala de aula

Material: metro/trena

Qual a área de nossa sala? Esquematize em seu caderno.

3.4 DIVISÃO

Foi encontrada no Iraque, uma peça arqueológica chamada Tabuleta

Suméria de Suruppak que data de 2.650 a.C. e apresenta a idéia de divisão em

partes iguais Segundo estudiosos, trata-se do registro de divisão onde é “feita a

menção a um dividendo, a um divisor, a um quociente e mesmo a um resto de uma

estupefaciente precisão para época.” (IFRAH, 1997, v.1, p. 244).

No processo de divisão egípcio, utilizou-se também a “duplicação”.

O divisor é dobrado sucessivamente. Para ilustrar, far-se-á a divisão entre 434 e 35:

1 35

2 70

4 140

8 280

Somam-se as os valores duplicados, cujo resultado será igual ou

maior (quando houver resto) que o dividendo, ou seja, 434 = 280 + 140 + 14. Como

30

os correspondentes de 280 e 140, são 8 e 4, respectivamente. O quociente desta

divisão será 12(soma de 8 e 4) e resto 14.

Boyer (1996, p.148) relata “é provável que o esquema de divisão

conhecido como ”método de riscar” ou “método do galeão” (por sua semelhança

como um navio) também venha da Índia”.

3.4.1 Atividade 9

a) Escolha um número de cada item:

22, 24, 26 ou 28;

32, 34, 36 ou 38:

128, 130, 132 ou 134

Agora utilizando um valor de cada vez:

• Com o Material Dourado distribua em dois grupos;

• Represente no ábaco de papel;

• Registre através de uma conta.

b) Pegue um número primo de cartas(fichas, canudos, tampinhas,

grãos) entre 16 e 24, distribua uma carta para cada aluno por rodada e preencha a

tabela:

NÚMERO DE FICHAS/ALUNO

NÚMERO DE FICHAS DISTRIBUÍDAS

NÚMERO DE FICHAS RESTANTES

0 0

31

• Quanto recebeu cada aluno?

• Quanto sobrou?

• Resolva em caderno, utilizando o processo da divisão.

32

4. CONCLUSÃO

O Sistema de Numeração Decimal é a junção de três grandes idéias

da humanidade: princípio de posição; os algarismos(1,2,3,4,5,6,7,8 e 9) e o zero.

Sendo, o entendimento da primeira idéia essencial para o aluno, pois como afirma

Nunes et al. (2005): “Compreender o valor posicional é, sem dúvida, muito

importante, pois a criança que não fizer terá sérias dificuldades em somar, subtrair,

dividir e multiplicar grandes números”. Devido a isto, reforça-se a relação entre a

aprendizagem dos algoritmos das quatro operações fundamentais e a compreensão

dos seus princípios lógicos.

Pretende-se que a História da Matemática, Resolução de Problemas

e Investigação Matemática permitam aos alunos, um olhar mais consciente e ativo

da evolução desta disciplina e do Homem

Possivelmente, muitos paradigmas deverão ser

transformados/extintos, inclusive os meus, e dificuldades, enfrentadas e superadas.

Porém, o fundamental é que esta experiência traga crescimento intelectual e pessoal

para os educandos.

33

5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BOYER, C.B. História da Matemática. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher. Editora da Universidade de São Paulo, 1996.

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