Upload
gilberto-tenani
View
725
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMÁTICA PROFESSOR TENANI www.professortenani.com.br
149
BINÔMIO DE NEWTON
NÚMEROS BINOMIAIS
Dados os números naturais, n e p , chamamos número
binomial ao número.
!
( )! !
n n
p n p P
com n p
Dizemos que n é o numerador e p é o denominador.
Obs.
,n p
nC
p
Consequências:
10
nn
1
nn n
1n
nn
Propriedade
n n
p n p
Chamamos n
p
e n
n p
de números binomiais
complementares.
RELAÇÃO DE STIFEL
1 1
1
n n n
p p p
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) (UEL-PR) A solução da equação
1
4 7
1 2
2
n
n
é um número
múltiplo de:
a) 11
b) 9
c) 7
d) 5
e) 6
02) (MACK-SP) Os números binomiais 2
3
k
e 2
5
k
são
completares, k e 3k . Então k vale:
a) 6
b) 15
c) 8
d) 5
e) 10
03) (FUVEST-SP) Lembrando que !
! !
n n
p p n p
,
a) Calcule 6
4
b) Simplifique a fração
12
4
12
5
c) Determine os inteiros n e p de modo que
1 2
1 2 3
n n n
p p p
.
MATEMÁTICA PROFESSOR TENANI www.professortenani.com.br
150
TRIÂNGULO DE PASCAL
01
0
1 11 1
0 1
2 2 21 2 1
0 1 2
3 3 3 31 3 3 1
0 1 2 3
4 4 4 4 41 4 6 4 1
0 1 2 3 4
Propriedades (I) Em qualquer linha, dois binomiais equidistantes dos
extremos são complementares.
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
5 51 10 10 1
(II) A soma de dois binomiais consecutivos de uma mesma
linha é igual ao binomial situado imediatamente do
binomial da direita.
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
(III) A soma de todos os binomiais da linha n é 2n
0
1
2
3
4
01 2 1
0
1 11 1 2 2
0 1
2 2 21 2 1 2 4
0 1 2
3 3 3 31 3 3 1 2 8
0 1 2 3
4 4 4 4 41 3 6 4 1 2 16
0 1 2 3 4
Genericamente, temos:
... 20 1 2
nn n n n
n
ou 2
nn
p o
n
p
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
04) (UNIFOR-CE) Por uma das propriedades do triângulo de
Pascal, a soma 50 50 51 52
20 21 22 23
é igual a:
a) 53
23
b) 52
21
c) 52
22
d) 51
21
e) 51
22
05) (UEMS) O somatório 10 11
k o k
é igual a:
a) 34.572
b) 34.571
c) 2.048
d) 2.047
e) 2.045
06) (MACK-SP) A partir de um grupo de 10 pessoas, devemos
formar k comissões de pelo menos dois membros, sendo
que em todas deve aparecer uma determinada pessoa A
do grupo. Então k vale:
a) 1024
b) 512
c) 216
d) 511
e) 1023
MATEMÁTICA PROFESSOR TENANI www.professortenani.com.br
151
BINÔMIO DE NEWTON
0 1 1 0... ...0 1
n n n n p p nn n n n
x a x a x a x a x ap n
ou
n
n n p p
p o
nx a x a
p
Obs.
(I) Possui 1n termos.
(II) A soma dos expoentes de um termo é o grau do binômio.
(III) O expoente do primeiro termos decresce e do segundo
cresce.
(IV) Os coeficientes do desenvolvimento de n
x a são os
elementos da linha n do triângulo de Pascal.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
07) (PUC-PR) O valor da expressão 4 3 2 2 3 4103 4.103 .3 6.103 .3 4.103.3 3 é igual a:
a) 1410
b) 1210
c) 1010
d) 810
e) 610
08) (UNB) A expressão 17 17
170
1712 2 2
2
k k
k k
é
equivalente a :
a) 17
17
12 2
2
b) 17
17
12
2
c) 1
d)
17
17
2
2
09) (ITA-SP) O valor de 10 8 2 6 4 4 6 2 8 10
5 sec 10 sec 10 sec 5 sec sectg x tg x x tg x x tg x x tg x x
, para todo 0,2
x
, é:
a) 1
b) 2
2
sec
(1 )
x
sen x
c) 2sec tgx
d) 1
e) Zero
TERMO GERAL.
Essa fórmula nos permite encontrar o termos do
desenvolvimento de certa ordem conhecida.
1
n p p
p
nT x a
p
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
10) (UFPA) No desenvolvimento do binômio 5
2
3
1x
x
, qual
o termo independente de x ?
a) 2º
b) 3º
c) 4º
d) 5º
e) 6º
11) (MACK-SP) No desenvolvimento 2 3t
xx
, t os
coeficientes de binomiais do quarto e do décimo terceiro
termo são iguais. Então, o termo independente de x é o :
a) Décimo
b) Décimo primeiro
c) Nono
d) Décimo segundo
e) Oitavo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.
MATEMÁTICA PROFESSOR TENANI www.professortenani.com.br
152
1) (FMABC-SP) O número de raízes da equação 2
12 12
2x x
é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) Maior que 3.
2) (PUC-RS) Sendo 18 18
4k k
, então !k vale:
a) 120
b) 720
c) 840
d) 5040
e) 40320
3) (UNIRIO-RJ) Calcule o valor de
...0 1 2 3 1
n n n n n n
n n
, sendo n ímpar;
justifique sua resposta.
4) (UFSM-RS) Se 6 6 6
...0 2 6
x
e
... 2551 2
y y yy
y
, então x
y vale:
a) 5
b) 6
c) 8
d) 7
e) 9
5) (ITA-SP) Dadas as afirmações:
I. ... 20 1 2 1
nn n n n n
n n
, para n .
II. , , 0,1,2,...,n n
n k nk n k
.
III. Existem mais possibilidades de escolher 44 números
diferentes entre os números inteiros de 1 a 50 do que
escolher 6 números diferentes entre os inteiros de 1 a 50.
Conclui-se que:
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas (I) é verdadeira.
d) Apenas (II) é verdadeira.
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
6) (UFSE) A soma 5 5 6 7
2 3 4 5
é:
a) 6
5
b) 7
6
c) 8
6
d) 8
4
e) 8
5
7) (UCSAL-BA) Se um número natural n é tal que
2
10 10 11 12
5 6 7 2n
, então n é:
a) Igual a 6 ou -6.
b) Um número par.
c) Um número quadrado perfeito.
d) Um número maior que 10.
e) Divisor de 15.
8) (UNIFOR-CE) A soma 30 30 30
2.8 9 10
é igual a:
a) 30
11
b) 31
9
c) 31
10
d) 32
9
e) 32
10
9) (UFPR) Sejam n e p números inteiros positivos, tais que
1n p . Então, 1 1
1 1
n n n
p p p
é igual a:
a) 1
1
n
p
b) n
p
c) 1n
p
d) 1
1
n
p
e) 1
1
n
p
10) (PUC-SP) Se 1
101
m
p
e 55
m
m p
, então
1m
p
é
igual a:
Comentado [G1]: GABARITO: C
Comentado [G2]: GABARITO: D
Comentado [G3]: GABARITO: 0
Comentado [G4]: GABARITO: 0C
Comentado [G5]: GABARITO: B
Comentado [G6]: GABARITO: E
Comentado [G7]: GABARITO: E
Comentado [G8]: GABARITO: E
Comentado [G9]: GABARITO: 0
Comentado [G10]: GABARITO: B
MATEMÁTICA PROFESSOR TENANI www.professortenani.com.br
153
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
11) (UNIFOR-CE) Se o desenvolvimento do binômio 4( )ax b ,
com a e b reais, é 4 3 216 96 216 216 81x x x x ,
então os números a e b são tais que:
a) b é um número inteiro.
b) 3b é um número par.
c) a b
d) 2 9a
e) . 6a b
12) (PUC-MG) No desenvolvimento de 10( 1)x , o termo de
grau três tem coeficiente:
a) 80
b) 95
c) 100
d) 120
e) 135
13) (UFSE) No desenvolvimento do binômio 6( )x a ,
segundo as potências decrescentes de x , o termo central
é 3540x . Nessas condições o valor de a é:
a) -3
b) -2
c) 2
d) 3
e) 4
14) (UCSAL-BA) Dos coeficientes dos termos do
desenvolvimento do binômio 8
12x
x
, o maior é:
a) 512
b) 1024
c) 1120
d) 1792
e) 3548
15) (UEPI) O coeficiente de 3x no desenvolvimento de 5
13
3x
é:
a) 15
b) 18
c) 27
d) 30
16) (UFMT) O coeficiente do 4º termo do desenvolvimento de 6(2 3 )x y , segundo as potências decrescentes de x , é:
a) -4230
b) 4230
c) 4320
d) -4300
e) -4320
17) (FMJ-SP) No desenvolvimento do binômio 150
3
2
12x
x
segundo potências decrescentes de x, o termo
independente de x é o:
a) 71º
b) 85º
c) 91º
d) 100º
e) 121º
18) (UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos do
desenvolvimento de 11( )x a igual a 51386x , o valor de
a deve ser:
a) 6 3
b) 32 6
c) 10
d) 3
e) 3 10
19) (FURG-RS) O termo independente de x no
desenvolvimento de 6
2
2x
x
é:
a) 4
b) 15
c) 30
d) 60
e) Inexistente
20) (UFOP-MG) No desenvolvimento de
6
3
1x
x
, qual o
coeficiente do termo em 2x ?
a) 20
b) 35
c) 56
d) 70
e) 15
21) (USJT-SP) Qual é o termo independente de x no
desenvolvimento do binômio de Newton 6
1xx
?
a) 16
b) 20
c) 24
d) 28
e) 32
22) (UFAL) O 4º termo do desenvolvimento do binômio 2 8(2 )x kx , segundo as potências decrescentes de x , é
igual a 1328x . Nessas condições, k é um número:
Comentado [G11]: GABARITO: E
Comentado [G12]: GABARITO: D
Comentado [G13]: GABARITO: D
Comentado [G14]: GABARITO: D
Comentado [G15]: GABARITO: D
Comentado [G16]: GABARITO: E
Comentado [G17]: GABARITO: C
Comentado [G18]: GABARITO: A
Comentado [G19]: GABARITO: D
Comentado [G20]: GABARITO: A
Comentado [G21]: GABARITO: B
Comentado [G22]: GABARITO: D
MATEMÁTICA PROFESSOR TENANI www.professortenani.com.br
154
a) Negativo.
b) Divisível por 3.
c) Irracional.
d) Racional e não inteiro.
e) Múltiplo de 6.
23) (MACK) O sistema
3 2 2 3
2 2
3 3 3 38
0 1 2 3
6
x x y xy y
x y
tem por solução
um par ordenado ( ; )x y cuja representação gráfica é um
ponto do: a) Primeiro quadrante b) Segundo quadrante c) Terceiro quadrante d) Quarto Quadrante e) Eixo das abscissas
24) (MAUÁ) Calcular a e b, sabendo-se que 3( ) 64a b e
que
5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5
321 2 3 4
a a b a b a b ab b
25) (UEL-PR) No desenvolvimento do binômio
10
4 1x
x
,
segundo potências decrescentes de x, o sétimo termo é:
a) 4210.x
b) 11
4120.x
c) 2210.x
d) 11
4120.x
e) 4210.x
26) (UEL-PR) No desenvolvimento do binômio 8
ykx
k
,
segundo as potências decrescentes de x, o quarto termo é 5 3224x y . Nessas condições, 4k é um número
compreendido entre a) 1 e 5 b) 6 e 11 c) 12 e 17 d) 18 e 23 e) 24 e 29
27) (UECE-CE) O coeficiente de x na expansão de 7
1xx
é:
a) 0 b) 7 c) 28 d) 35 e) 49
28) (UNESP-SP) No desenvolvimento de 6
3 x , segundo as
potências crescentes de x , o termo central é:
a) 210x
b) 324x
c) 330 3x
d) 360x
e) 360 3x
29) (PUC-RS) Se o terceiro termo do desenvolvimento de
n
a b é 5 221. .a b , então o sexto termo é:
a) 4 335. .a b
b) 3 421. .a b
c) 2 521. .a b
d) 67. .a b
e) 2 57. .a b
30) (UFPI) Se a e b são números reais tais que
101024a b e se o 6º termo do desenvolvimento
binomial é igual a 252, então:
a) 1
2a e
3
2b
b) 3a e 1b
c) 2
3a e
4
3b
d) 1
3a e
5
3b
e) 1a e 1b
31) (UNIFOR-CE) No desenvolvimento do binômio 8
4 2x
x
,
segundo as potências decrescentes de x , o quarto termo
é:
a) 17448x
b) 1756x
c) 20448x
d) 2056x
e) 23448x
GABARITO
01) C 02) D 03) 0 04) C 05) B
06) E 07) E 08) E 09) 0 10) B
11) E 12) D 13) D 14) D 15) D
16) E 17) C 18) A 19) D 20) A
21) B 22) D 23) D 24) * 25) C
26) C 27) C 28) E 29) C 30) E
32) A
* a) 1a e 3b
Comentado [G23]: GABARITO: D
Comentado [G24]: GABARITO: a=1 b=3
Comentado [G25]: GABARITO: C
Comentado [G26]: GABARITO: C
Comentado [G27]: GABARITO: C
Comentado [G28]: GABARITO: E
Comentado [G29]: GABARITO: C
Comentado [G30]: GABARITO: E
Comentado [G31]: GABARITO: A