2004Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST Equações para o escoamento turbulento u Conceitos: –Equações para o campo médio –Tensões de

2004 Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST

Equações para o escoamento turbulento

Conceitos:– Equações para o campo médio– Tensões de Reynolds;


Tomando a média temporal

0

zw

yv

xu

Equações para escoamento turbulento Equação da continuidade

( const.): 0

zw

yv

xu

uuu Introduzindo: vvv www

0

zw

yv

xu

zw

yv

xu

Subtraindo à equação inicial:

0

zw

yv

xu


Equações para escoamento turbulento

Observações:1. As velocidades instantâneas, médias e turbulentas

satisfazem a mesma equação: 0... VVV

2. Nos termos lineares de qualquer equação, basta substituir a variável instantânea pelo seu valor médio para obter o valor médio temporal desse termo.

0

zw

yv

xu

Equação do campo médio

0

zw

yv

xu

Equação do campo turbulento


Equações para escoamento turbulento Equação de Navier-Stokes:

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

(p – pressão relativa à hidrostática local)

Tomando a média temporal

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

xuu

xuu

xuu

xuu

xuuuu


Equações para escoamento turbulento Termo de inércia (único não-linear):

xuu

xuu

xuu

xuu

xuuuu

xuu

xuu

0

xuu 0

xuu

0u


zuw

yuv

xuu

zu

yu

xu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

2

2

2

2

2

21

Equações para escoamento turbulento Equação N-S para o escoamento médio:

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

xuu

xuu

xuu

yuv

yuv

yuv

zuw

zuw

zuw



zuw

yuv

xuu

zu

yu

xu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

2

2

2

2

2

21

xuu

xuu

xuu

yvu

yvu

yuv

zwu

zwu

zuw

zw

yv

xuu

zwu

yvu

xuu

=0 pela equação da continuidade



zwu

yvu

xuu

zu

yu

xu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

2

2

2

2

2

21

Resultante das Tensões de Reynolds: termo adicional que representa a acção dos vórtices turbulentos (difusão turbulenta) no escoamento médio


Equações para escoamento turbulento

Interpretação das tensões de Reynolds:

u

x

yu’

v’

Fluxo (caudal por unidade de área) médio de quantidade de movimento longitudinal através das faces normais a y:

T

o

dtvuuT

1 vu Porquê a derivada na equação de N-S? y

vu


é o fluxo de q.mov. na direcção y. O simétrico da

derivada é o saldo do fluxo (o que entra menos o que sai) e é isso que contribui para o balanço da q. movimento no volume de controlo infinitésimal.

Equações para escoamento turbulento Interpretação das tensões de Reynolds:

x

yu

u’

v’

Porquê a derivada na equação de N-S? y

vu

vu


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1

TurbulentTotal2

uvu

rrr 0

Equações para escoamento turbulento Perfil das tensões de Reynolds:

Nota: no centro do tubo as flutuações turbulentas não estão correlacionadas, pelo que o seu valor médio é nulo. Na parede as tensões turbulentas são nulas pois não há turbulência.


Comprimento de mistura Na proximidade da

parede (50<y*<100): 02 uvu


zwu

yvu

xuu

yu

xu

xp

yuv

xuu 2

2

2

21

Comprimento de mistura Na proximidade da parede (est. e 2D):

yu

T

(as variações em y são muito mais intensas que as em x ou z)

vu

yu

yxp

yuv

xuu

1

yulT

2 aproximação

l – Comprimento de mistura


MECÂNICA DOS FLUIDOS II Conceitos:

– Equações para o campo médio– Tensões de Reynolds;


MECÂNICA DOS FLUIDOS II

Bibliografia:– Sabersky – Fluid Flow: 7.10, 7.11.– White – Fluid Mechanics: 6.3.



cyK

u ** ln1

yu

y *

u*

Fluid Flow 7.31Von Kármán sugeriu que, em tubos lisos, fora da sub-camada laminar, em regime turbulento, l=Ky, em que K é uma constante e l o comprimento de mistura.

a) Mostre que na região em que a tensão de corte turbulenta é aproximadamente constante (o que ocorre relativamente próximo da parede) e próxima da tensão de corte na parede, o perfil de velocidades é dado pela lei logarítmica

b) Estime os valores das constantes K e c usando os valores da figura ao lado.


ayKu

u ln1

Fluid Flow 7.31Von Kármán sugeriu que, em tubos lisos, fora da sub-camada laminar, em regime turbulento, l=Ky, em que K é uma constante e l o comprimento de mistura.

a) Mostre que na região em que a tensão de corte turbulenta é aproximadamente constante (o que ocorre relativamente próximo da parede) e próxima da tensão de corte na parede, o perfil de velocidades é dado pela lei logarítmica


2 uvu

yu

T

yulT

2

yuKy

2

cyK

u ** ln1Resposta:

udyudKy

ydyuuKd


b) Estime os valores das constantes K e c usando os valores da figura ao lado.


51100ln167,1

K

cyK

u ** ln1

yu

y *

u*

Fluid Flow 7.31

15* 51* uy7,16* 100* uy

25,5)51ln(40,0115 C

40,0K

Documents

2004Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST Equações para o escoamento turbulento u Conceitos: –Equações para o campo médio –Tensões de