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Objetivos e Métodos
de Pesquisa em
Educação Matemática
Alan H. Schoenfeld
A primeira citação acima é bem-humorado; o segundo sério. Ambos, no entanto, servir
paradestacar algumas das principais diferenças entre a matemática e matemática
educação de diferenças que devem ser entendidas se é para compreender a natureza da
métodos e resultados em educação matemática.A cotação Cohen aponta para algumas
gravesaspectos da matemática. Ao descrever árias
geometrias, por exemplo, começamos com indefinidotermos. Então, seguindo as regras
da lógica, provamosque, se certas coisas são verdadeiras, outros resultados
devemseguir. Por um lado, os termos são indefinidos;ou seja, "nós nunca sabemos o que
estamos alando." OnPor outro lado, os resultados são definitivos. ComoGertrude Stein
poderia ter dito, uma prova é uma rovaé uma prova.Outras disciplinas trabalhar de
outras formas. Pollak dedeclaração não foi concebida como uma demissão da
matemáticaeducação, mas como um ponteiro para o facto de quea natureza das provas e
argumentos em atemáticaa educação é muito diferente da natureza doprovas e
argumentos em matemática. Com efeito, otipos de perguntas pode-se perguntar (e
esperam sercapaz de esponder) na pesquisa em educação não sãoos tipos de perguntas
que os matemáticos poderesperar. Além disso, os matemáticos e educaçãopesquisadores
tendem a ter diferentes pontos de vista da propósitos e objetivos da pesquisa em
educação matemática.Este artigo começa com uma tentativa de colocar para fora
algumas das perspectivas relevantes e fornecerfundo sobre a natureza do inquérito
dentro deeducação matemática. Entre as questõesexplorado são as seguintes: Apenas o
que é a empresa?Ou seja, quais são os efeitos de investigaçãoem Educação Matemática?
O que fazer teorias emodelos de olhar como na educação em oposição àquelesem
matemática e as ciências físicas? O Quêtipos de perguntas podem pesquisa
educacionalresponder? Tais questões dado, o que constituamrespostas razoáveis? Que
tipos de provas sãoapropriado para fazer backup reivindicações educacionais? O
Quêtipos de métodos podem gerar tais provas?Que normas pode ter um para julgar
reclamações,
modelos e teorias? Como será visto, existemdiferenças significativas entre matemática
eeducação no que diz respeito a todas estas perguntas.FinsInvestigação em Educação
Matemática tem duas principaisefeitos, um puro e um aplicado:
• Pure (Science Basic): Para entender o
natureza do pensamento matemático, ensino e
aprendizagem;
• Aplicada (Engenharia): Para usar esses entendimentos
para melhorar o ensino da matemática.
Estes estão profundamente entrelaçadas, com o primeiro a
menos tão importante quanto o segundo. A razão é simples:
sem uma profunda compreensão do pensamento,
Alan H. Schoenfeld é Elizabeth e Edward Conner
Professor de Educação da Universidade da Califórnia,
Berkeley. Seu endereço de e-mail é alans @ socrates.
berkeley.edu.
Bertrand Russell definiu matemática como a ciência em que nunca sabemos o que
estamos a falar ou
se o que estamos dizendo é verdade. Matemática tem sido amplamente demonstrado que
aplicar em muitas outras áreas da ciência.Por isso, a maioria dos outros cientistas não
sabem o que estão falando ou se o que eles estão dizendo é verdade.
-Joel Cohen, "Sobre a natureza das provas matemáticas"
Não existem provas na educação matemática.
-Henry Pollak
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642 INFORMAÇÕES DO VOLUME AMS 47, Número 6
ensino e aprendizagem, não há progresso sustentado em
o "front aplicada" é possível. Uma analogia útil é
a relação entre a investigação médica eprática. Existe uma vasta gama de investigação
médica.Alguns for feito urgentemente, com aplicações potenciaisno futuro imediato.
Alguns é feito com o objectivode compreensão dos mecanismos fisiológicos básicos.
No longo prazo, os dois tipos de trabalho vivo em sinergia.Isto é porque o
conhecimento básico é deinteresse intrínseco e porque estabeleceereforça os
fundamentos sobe os quais aplicadostrabalho é baseado.Estes dois propósitos devem ser
compreendidos. Eles
contrastam bastante forte com o único propósito depesquisa em educação matemática,
como pode ser visto a partir dea perspectiva de muitos matemáticos:• "Diga-me o que
funciona na sala de aula."Dizendo isso não implica que os matemáticosnão estão
interessados em algum nível resumo em basepesquisa em educação matemática, mas
que a suaexpectativa principal é utilidade em vez diretoe termos práticos. Naturalmente,
o educacionalcomunidade deve fornecer resultados de fato úteis,
utilidade motiva a grande maioria dos educacionaltrabalhar-mas é um erro pensar que
diretaaplicações (desenvolvimento curricular, "prova"que os tratamentos funcionam de
instrução, etc.) são onegócio principal da pesquisa em matemáticaeducação.
Em PerguntasA grande questão que deve ser abordada quandopensar sobre o ensino da
matemática podeoferta é, que tipos de perguntas pode pesquisar emresposta educação
matemática?Simplificando, as questões educacionais mais típicasperguntou por
mathematicians- "O que funciona?"e "abordagem que é melhor?" - tendem a ser
irrespondível em princípio. A razão é que ouma pessoa vai pensar obras vai depender do
queque os valores de pessoa. Antes de se tenta decidirse alguma abordagem de ensino é
bem-sucedido,um tem de tratar de questões tais como: Justo que você quer alcançar? O
que entendimentos,para que os alunos, em que condições,com o que as restrições?
Considere o seguinteexemplos.Uma das perguntas feitas com alguma frequência por
professores e administradores é, "são grandes classes comoboas como pequenas aulas?
"Espero que seja claro que estepergunta não pode ser respondida de forma bstrata.
Como
um é satisfeito com classes grandes depende daconsequências se pensa são importantes.
QuantoO senso de engajamento dos alunos importa? Sãosentimentos dos alunos sobre o
curso e direçãoo departamento de importante? Existe preocupação coma porcentagem
de estudantes que passam a se inscrever emcursos de matemática subsequentes? As
conclusõesque se poderia chamar sobre a utilidade degrandes classes podem variar
substancialmente, dependendo
de quanto peso estes resultados são dadas.Questões semelhantes surgem mesmo se nos
centrarmos apenassobre a matemática que está sendo ensinado. Suponha que um
quer abordar a questão, os alunos aprendemtanto matemática em turmas grandes como
em pequenasaulas? Deve-se perguntar de imediato, "O que contacomo a matemática?
Quanto peso será colocado(Dizer) sobre a resolução de problemas, na modelagem, ou
no
capacidade de se comunicar matematicamente? "Acórdãossobre a eficácia de uma
forma deinstruções sobre outra dependerá das respostasa estas perguntas. Para colocar
as coisas sem rodeios, umpesquisador tem que saber o que procurar e quaispara tomar
como prova de que, antes de poderdeterminar se ele está lá.O fato de que os
julgamentos de uma refletem suavalores também se aplica a questões do tipo,
queabordagem funciona melhor (ou melhor)? Isto pode pareceróbvia, mas muitas vezes
não é. Considere o cálculo
reforma. Logo após a Tulane "Lean and Lively"conferência, cujo processo apareceu em
Douglas [5], a National Science Foundation (NSF)financiou uma grande iniciativa de
reforma cálculo. Pelomeados dos anos 1990 NSF oficiais de programa estavam
convencidosque a reforma cálculo foi uma "coisa boa" e queele deve ser um modelo
para a reforma em outro conteúdoáreas. NSF reuniu matemáticos quetinha sido
envolvido em reforma com pesquisadores emeducação matemática e fez a
seguintepergunta: "Será que podemos obter provas de que o cálculoreforma trabalharam
(ou seja, que o cálculo da reforma émelhor do que o cálculo tradicional)? "O que
elestinha em mente, basicamente, foi uma forma de teste.Eles pensaram que deve ser
fácil de construir um teste,administrá-lo, e mostram que os estudantes de reforma
fezmelhor.Aqueles que defendiam essa abordagem não conseguiuentender que o que
eles propuseram faria em
essência ser uma comparação entre maçãs e laranjas. Seum deu um teste tradicional, que
se apoiou pesadamentena capacidade de executar manipulações simbólcas,
"Reformar" os estudantes seriam em desvantagemporque não tinha praticado
habilidades computacionais.Se fosse dada a um teste que era dependente de tecnologia
ou
que tinha um componente de modelagem pesada, tradicionalestudantes seria em
desvantagem, porquetecnologia e modelagem não tinha sido uma grande parte
de seu currículo. De qualquer maneira, dando um teste ecomparando pontuação seria
injusto. O adequadomaneira de proceder foi a olhar para o currículo,
identificar temas importantes e especificar o que elesignifica ter uma compreensão
conceitual deles.Com este tipo de informação, instituições individuais
e departamentos (e da profissão como umtodo, se quisesse) poderia então decidir quais
os aspectosde entendimento foram mais importante, o que elesquis avaliar, e como.
Como um resultado de extensasdiscussões, o esforço NSF evoluíram a partir de um que
focada em documentar os efeitos de cálculoreforma para um que focada no
desenvolvimento de umFEA-schoenfeld.qxp 5/10/00 09:57 Página 642JUNHO / julho
2000 INFORMAÇÕES DO AMS 643atração, por exemplo. Modelos são entendidos
como sendoaproximações, mas espera-se que seja muitoaproximações precisas em
forma determinista. Assim,por exemplo, para modelar o fluxo de calor numa placa de
laminar,
especificamos as condições de contorno e iniciais docondições de fluxo de calor, e, em
seguida, resolver oequações relevantes. Em suma, não há ambigüidadeno processo. As
descrições são explícitas, eopadrão de correção é a prova de matemática. A
teoria e modelos dela derivada pode ser usada parafazer previsões, que por sua vez são
tomados comocomprovação empírica da regularidade dateoria.
As coisas são muito mais complexas no biológicaciências. Considere a teoria da
evolução, paraexemplo. Biólogos estão em acordo geral comem conta a sua exatidão
essencial, mas a evidênciaempacotado em favor da evolução é muito diferente dotipo de
provas utilizadas em matemática ou física.Não há maneira de provar que a evolução é
correto emum sentido matemático; os argumentos que sustentamque consistem em (para
usar o título de um dos Pólya delivros) "padrões de raciocínio plausível", jntamente com
a consideração cuidadosa de hipóteses alternativas.Com efeito, os biólogos têm dito o
seguinte: "Nóstem montanhas de evidências que são consistentes com
a teoria, em sentido lato; não existe uma claraevidência de que falsifica a teoria
proposta, e nãohipóteses rivais obedecer aos mesmos critérios. "Enquanto
previsões de eventos futuros não são viáveis em virtude dasescala de tempo de eventos
evolutivos, a teoria fazsuporta uma forma alternativa de predição. Anteriormente
registros fósseis não examinadas devem conformar-sea teoria, de modo que a teoria
pode ser usado para descreverpropriedades que os fósseis, em particular estratos
geológicos,
deve ou não ter. O registro cumulativoé tomada como fundamento para a teoria.
Em suma, a teoria e elementos de prova podediferir substancialmente nas ciências da
vida e em matemáticae física. O mesmo vale para os modelos, oupelo menos o grau de
precisão esperado:ninguém espera populações animais modelados porequações
predador-presa em conformidade com esses modelosda mesma maneira que o fluxo de
calo numa placa laminarEspera-se que em conformidade com os modelos de fluxo de
calor.Finalmente, teorias e modelos nas ciências sãosempre sujeita a revisão e
refinamento. Como
gloriosa e maravilhosa como gravitacional newtonianateoria foi, ele foi substituído pela
teoria de Einsteinda relatividade. Ou considere a teoria nuclear. Valência
teoria, com base em modelos de elétrons que orbitouem torno de núcleos, permitiu
previsões surpreendentes,tais como a existência de que ainda não foi escoberto
elementos. Mas os físicos já não falar sobreelétrons em órbita em torno de núcleos; uma
vez-sólidopartículas na teoria, como os elétrons têm sido
substituído na teoria de electrões por probabilísticanuvens. Teorias evoluir.
Pesquisa em educação matemática tem muitos dosos atributos da pesquisa na física e
Reproduzido com permissão do[11], página 9.quadro de olhar para os efeitos do cálculo
instruções. O resultado desses esforços foi o 1997livro Avaliação de Alunos em Cálculo
[10].Em suma, muitas das questões que parecemnatural perguntar-perguntas do tipo, o
que funciona?ou Qual o método funciona melhor? -cannot ser respondida,
por uma boa razão.Perante isto, que tipos de perguntas podem pesquisar
em matemática endereço de educação? Eu argumentariaque algumas das contribuições
fundamentais depesquisa em educação matemática são aseguinte:
• perspectivas teóricas para a compreensão
pensar, aprender e ensinar;
• descrições de aspectos da cognição (por exemplo, pensando
matematicamente; compreensões de estudantes
e mal-entendidos dos conceitos de
função, limite, etc.);
• provas de existência (provas de casos em que
os alunos podem aprender a resolução de problemas, a indução,
teoria do grupo; evidência da viabilidade de
vários tipos de instrução);
• descrições das consequências (positivas e negativas)
de diversas formas de instruções.
Artigo recente Avisos de Michèle Artigue [1]
descreve muitos dos resultados de tais estudos. EU
descreverá alguns outros e comentar sobre a
métodos para a sua obtenção na secção "Métodos"
abaixo.
Em teorias e modelos (e Critérios para
Bons)
Quando os matemáticos usam os termos "teoria" e "modelos", eles normalmente têm
tipos muito específicosde coisas em mente, tanto quanto à natureza dosessas entidades e
os tipos de evidências utilizadas parafazem reivindicações a respeito deles. "teoria"
termos
e "modelos" são por vezes usados em diferentesmaneiras nas ciências da vida e ciências
sociais, eas suas utilizações podem ser mais semelhante aos utilizados no ensino.
Nesta seção I andará brevemente atravésos exemplos indicados no Quadro 1.
Assunto Matemática, Biologia Educação,Física PsicologiaTeoria da ... Equações; Mente
EvoluçãoGravidadeModelo de ... Calor Fluxo predador-presa Problemanuma Solução
Relações Placa
Tabela 1. Teorias e modelos em matemática / física,biologia e educação / psicologia.
Em matemática, as teorias são definidos explicitamente, comona teoria das equações ou
a teoria do complexo
variáveis. Os resultados são obtidos analiticamente: nós
provar que os objetos em questão têm o
propriedades que afirmam que eles têm. Na física clássica
existe um grau comparável de especificidade; físicos
especificar uma lei do inverso do quadrado para gravitationaciências da vida descrito
acima. Em uma "teoria da mente",
por exemplo, certas suposições são feitas sobre
a natureza da organização-p.ex. mental, que há
certos tipos de estruturas mentais que funcionam
de forma particular. Um tal suposição é que
existem vários tipos de memória, entre eles
de trabalho ou memória "a curto prazo". Conforme
a teoria, o pensamento é feito usando de trabalho
memória: isto é, os "objetos de pensamento" de que as pessoas
manipular mentalmente são armazenados temporariamente na
memória de trabalho. O que torna as coisas interessantes
(E científico) é que a teoria também coloca em vez
fortes limites à memória de trabalho: foi
reivindicado (por exemplo, em [8]) que as pessoas podem continuar sem mais
de cerca de nove "pedaços" de informação em que trabalha
memória de uma só vez.
Para ver que este pedido pode ser verdade, um
poderia tentar multiplicar 379 por 658 com os olhos fechados.
A maioria das pessoas vai achar que é difícil, se não impossível.
(Em uma reunião recente que deu a um grupo de cerca de setenta e cinco
matemáticos esta tarefa. Nenhum deles
conseguido dentro de alguns minutos). A razão é que
o número de coisas que uma pessoa tem de manter o controle
de-os números originais e os vários subtotais
que surgem em fazer a multiplicação-excede
nove. Agora, uma pessoa é mais capaz de fazer a tarefa
mentalmente, depois de relatar alguns dos subtotais:
por exemplo, uma pessoa pode calcular 8 × 379 = 3032 e
repetir "3032" mentalmente até que se torne um pedaço
e ocupa apenas um espaço (um "tampão") no trabalho
memória. Isso deixa espaço suficiente para trabalho
fazer outros cálculos. Ao utilizar este tipo de segmentação,
as pessoas podem transcender os limites do trabalho
memory.1
Agora, considere o status verdade da afirmação
que a memória de trabalho das pessoas não tem mais do que
cerca de nove faixas horárias. Haverá nnunca será um absoluto
prova desta afirmação. Em primeiro lugar, é pouco provável que o
pesquisadores vão encontrar a localização física de trabalhar
buffers de memória no cérebro, mesmo que existam;
os buffers são componentes de modelos, e eles
não são necessariamente objectos físicos. Em segundo lugar, oevidência em favor desta
afirmação é convincente
mas não pode ser definitiva. Muitos tipos de experimentos
foram realizados em que as pessoas são
determinadas tarefas que exigem o uso de mais de nove slots
na memória de trabalho, e as pessoas têm falhado em
-los (ou, depois de algum esforço, realizado por eles
fazendo o que poderia ser considerado como uma forma de
chunking).
Tal como acontece com a evolução, há montanhas de provas
que estão de acordo com esta afirmação, há
há evidências claras de contradizê-la, e não rival
hipótese atende aos mesmos critérios. Mas é comprovada?
Não, não no sentido matemático. O relevante
padrão é, em essência, o que um júri neutro faria
consideram ser provas além de uma dúvida razoável.
O mesmo vale para os modelos de, digamos, a resolução de problemas
modelos ou (o meu interesse atual) de ensino
(Ver [12], [13]). Atualmente, estou empenhado na tentativa de
construir uma descrição teórica que explica
como e porque os professores fazem o que fazem, em tempo real,
na sala de aula. Este trabalho, elaborado no
mesmo nível de detalhe como uma teoria da memória, é
chamado de "teoria do ensino-in-context". A alegação
é que, com a teoria e com tempo suficiente para
modelar um professor particular, pode-se construir um
descrição do ensino dessa pessoa que caracteriza
seu comportamento em sala de aula com
notável precisão. Quando se olha para este trabalho,
não se pode esperar para encontrar o tipo de precisão
encontrada no fluxo de calor de modelagem em uma placa laminar. Mas
(Ver, por exemplo, [12]), não é razoável esperar
que tal comportamento pode ser modelado com a mesma
grau de fidelidade ao comportamento do "mundo real", como com
modelos predador-presa.
Buscamos a questão das normas para julgar
teorias, modelos e resulta na secção
a seguir ao próximo.
Métodos
Neste artigo eu não posso dar ainda um catálogo começando
de métodos de pesquisa na graduação
educação matemática. Como uma indicação da
magnitude dessa tarefa, considerar o fato de que o
Manual de Pesquisa Qualitativa em Educação [6]
tem quase 900 páginas! Capítulos em que
volume incluem extensas discussões da etnografia
(Como se compreende a "cultura da
a sala de aula ", por exemplo?), a análise do discurso
(O que padrões podem ser vistos no estudo cuidadoso de
conversas?), o papel da cultura na formação
cognição, e questões de subjetividade e de validade.
E isso é trabalho qualitativo sozinho, há,
Claro, uma tradição quantitativa de longa data de pesquisa
nas ciências sociais, bem. Meu objetivo, ao invés,
é o de proporcionar uma orientação para os tipos de trabalho
que são feitas e para sugerir os tipos de resultados
(e suas limitações) que eles podem produzir.
Aqueles que são novos para a pesquisa educacional tendem
a pensar em termos de estudos experimentais padrão,
que envolvem grupos experimentais e de controlee o uso de estatísticas para determinar
se ou
os resultados não são significativos. Como se vê, o
uso de estatísticas da educação é muito mais complexo
questão que se poderia pensar.
Durante alguns anos, a partir de meados do século em diante, a pesquisa
nas ciências sociais (nos Estados Unidos,
pelo menos) foi dominada por exemplo a da agricultura.
A noção básica era de que, se dois campos de
uma determinada cultura foram tratados de forma idêntica, exceto para
uma variável, então as diferenças de rendimento da cultura poderia
ser atribuída à diferença de que variável.
Certamente, as pessoas acreditavam, pode-se fazer o mesmo em
educação. Se alguém queria provar que uma nova forma
de ensino X foi superior, em seguida, pode-se realizar
uma experiência em que dois grupos de alunos
Estudou X-one grupo ensinou o caminho padrão, um
ensinou o novo caminho. Se os alunos ensinados a nova forma
se melhor, um tinha evidências da superioridade da
o método de ensino.
Ponha de lado por um momento as questões levantadas na
seção anterior sobre os objetivos da instrução
eo fato de que o velho eo novo instrução pode
não incidir sobre as mesmas coisas. Imagine que um
poderia construir uma feira de teste para antigos e novos
instruções. E suponha que os alunos foram aleatoriamente
atribuído a experimental e de controle
grupos, para que os procedimentos experimentais padrão
foram seguidos. No entanto, ainda haveria
graves problemas potenciais. Se diferentes professores
ensinou os dois grupos de alunos, todas as diferenças
em resultado pode ser atribuída a diferenças na
ensino. Mas, mesmo com o mesmo professor, não pode
haver diferenças inumeráveis. Pode haver uma diferença
em energia ou compromisso: ensinar a "mesma idade
stuff "não é o mesmo que tentar novas idéias. Ou
alunos em um grupo pode saber que eles estão recebendo
algo novo e experimental. Isso por si só poder
resultar em diferenças significativas. (Existe um grande
literatura mostrando que, se as pessoas sentem que as mudanças
são feitos em seus próprios interesses, eles vão
trabalhar mais e fazer melhor, não importa o que o
mudanças realmente são. Os efeitos dessas mudanças
desaparecer com o tempo.) Ou os alunos poderiam se ressentir sendo
experimentadas.
Aqui está um caso em apreço. Alguns anos atrás eu desenvolvi
um conjunto de materiais didáticos autônomos
para o cálculo. Colegas de outra universidade
concordaram em ter seus alunos usá-los. Em todos, excepto
duas seções dos alunos que receberam o
materiais se saíram melhor do que os estudantes que não estavam
dado a eles. No entanto, em duas secções havia
essencialmente nenhuma diferença no desempenho. Acontece
que a maioria dos professores tinha dado os materiais
uma introdução favorável, sugerindo ao
alunos que eles seria útil. O instrutor
das seções que não apresentaram diferenças teve
entregou-los para fora, dizendo: "Eles me pediram para dar
estes para você. Eu não sei se eles são bons. "
Em suma, o método experimental clássica pode
ser problemático na pesquisa em educação. Para mencionar
apenas duas dificuldades, experiências duplamente cegos, em
o sentido médico (em que nem os médicos, nem
os pacientes sabem quem está recebendo o tratamento real,
e quem está recebendo um tratamento placebo) são
raramente variáveis experimentais cegos, e muitos são
raramente controlável em qualquer sentido rigoroso. (Isso
foi o ponto de o exemplo do parágrafo anterior).
Como resultado, tanto positivas como negativas
resultados podem ser difíceis de interpretar. Esta não é
dizer que tais estudos não são úteis ou que largescale
trabalho estatístico não é valioso-lo claramente
é, mas isso deve ser feito com muito cuidado e que
resultados e as reclamações devem ser interpretados com igual
importo. O trabalho estatístico de valor consistente tende a
ser que
a) produz conclusões gerais sobre a população.
Por exemplo, Artigue [1] observa que "[m] minério
de 40% dos alunos que entram universidades francesas
considerar que, se dois números A e B são
mais perto do que 1 / N para cada N positivo, então eles
não são necessariamente iguais, apenas infinitamente perto. "
b) fornece uma comparação clara de duas ou mais populações.
Por exemplo, os resultados da Terceira
Internacional Matemática e Estudo Ciência
documentar o desempenho da linha de base dos alunos
em várias nações em um intervalo de matemática
conteúdo.
c) fornece comprovação, ao longo do tempo, dos resultados
que foram descobertos pela primeira vez em mais de pequena escala
estudos observacionais.
O que se constata na maioria das vezes é que a pesquisa
métodos de matemática de graduação educação-
em toda a educação para que a matéria-são sugestivos de
Resultados e que a evidência combinada de muitos
estudos ao longo do tempo é o que empresta à comprovação
achados.
Vou expandir sobre este ponto com uma prorrogado
exemplo tirado do meu próprio trabalho. A questão preocupações
"O comportamento metacognitive", ou metacognição:
especificamente, o uso eficaz da sua própria recursos
(Incluindo o tempo) durante a resolução de problemas.
Aqui está um exemplo motivador. Muitos anos atrás,
quando um tópico cálculo padrão de primeiro ano foi
técnicas de integração, o seguinte exercício
foi o primeiro problema em um teste feito numa grande
classe palestra:
Z x
x2 - 9 dx.
A expectativa era de que os alunos fariam
a substituição u óbvio = (x2 - 9) e resolver o
problema em pouco tempo. Cerca de metade da classe fez.
No entanto, cerca de um quarto da classe, notando que
o denominador foi factorável, tentou resolver o
problema utilizando a técnica de frações parciais.
Além disso, cerca de 10 por cento dos alunos, notando
que o denominador da forma (x2 - a2),
tentou resolver o problema com a substituição
x = 3 sinθ. Todos estes métodos produzem o correcto
responder, é claro, mas o segundo eo terceiro são muito
demorado para os alunos. Os estudantes que
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sugere a gama. Se alguma coisa, o númeroessas técnicas utilizadas fez mal no teste, em
grande parte,
porque eles acabaram de tempo.
Exemplos como este me levou a desenvolver algum
materiais didáticos que incidiu sobre a estratégica
escolhas que se faz a integração, enquanto trabalhava
problemas. Os materiais fez a diferença em estudante
desempenho. Este apresentou indícios de que
escolhas estratégicas durante a resolução de problemas são
importante.
A questão das escolhas estratégicas apareceu uma vez
novamente quando, como parte de minha pesquisa sobre a resolução de problemas,
Examinei videotapes de estudantes tentando
resolver problemas. Muitas vezes, ao que parece, os alunos
leria uma declaração do problema, escolha uma solução
método rapidamente, e, em seguida, buscar obstinadamente que
aproximar, mesmo quando a abordagem não parecem
estar dando resultados. Para fazer as observações
rigorosa, eu desenvolvi um "esquema de codificação" para
analisando fitas de vídeo de resolução de problemas. Este
quadro analítico forneceu um mecanismo para
identificando vezes durante uma sessão problema quando
tomada de decisão poderia moldar o sucesso ou fracasso
da tentativa. A estrutura foi definida de tal
uma maneira que outros pesquisadores pudessem usá-lo, não só
para efeitos do exame de minhas fitas, mas também para
examinar o seu próprio bem. Com ele, os investigadores
podia ver como a tomada de decisão dos alunos ajudou ou
dificultou suas tentativas de resolução de problemas.
Estes quadros várias finalidades. Em primeiro lugar,
ter esse tipo de regime permite a caracterização
de fitas de vídeo para tornar-se relativamente objetiva: se
dois analistas treinados trabalhando na mesma fita
produzir de forma independente a mesma codificação do mesmo, em seguida,
não há razão para acreditar na consistência do
interpretação. Em segundo lugar, com uma ferramenta analítica de
este tipo permite rastrear os efeitos da Solução de problemas
instrução: "antes e depois" comparações
de fitas de vídeo das sessões de resolução de problemas pode
revelar se os alunos se tornaram mais eficientes
ou solucionadores de problemas efetivos. Em terceiro lugar, esse tipo de ferramenta
permite a acumulação de dados através dos estudos. O
Resumo de uma linha de resultados neste caso: metacognitive
competência é um fator muito produtivo em
problema solving.2 Para muitos detalhes, veja [9].
Como indicado acima, os resultados da investigação em educação
não são "provado", no sentido de que eles são comprovadamente
em matemática. Além disso, é muitas vezes difícil
empregam direta experimental ou estatística
métodos do tipo usado nas ciências físicas
por causa de complexidades relacionadas com o que isso significa
para as condições de ensino para ser "replicável". Em
uma educação encontra um vasto leque de investigação
métodos. Um olhar sobre um dos primeiros volumes em
ensino de graduação de matemática, ou seja, [14],
2Na o caso em questão (comportamento metacognitive), um grande número
de estudos têm indicado que a tomada de decisão eficaz
durante a resolução de problemas não "vem naturalmente".
Essas habilidades podem ser aprendidas, embora instrução intensiva
é necessário. Quando os alunos a aprender essas habilidades, a sua resolução de
problemas
o desempenho melhora. sugere a gama. Se qualquer coisa, o número e tipo
de métodos têm aumentado, como evidenciado nos três
volumes de Pesquisa em Matemática Collegiate
Educação. Encontra-se, por exemplo, relatórios de
entrevistas detalhadas com os alunos, as comparações de
reforma e cálculo tradicional, um exame de
calculus "workshops", e um estudo prolongado de um
compreensão desenvolvimento do aluno de um físico
dispositivo e gráficos relacionados com ele. Estudos empregando
técnicas de observação antropológica e outros
métodos qualitativos são cada vez mais comuns.
Como são válidas tais estudos, e quanto pode
que dependem dos resultados neles? Essa questão é
prosseguida imediatamente abaixo.
Normas para julgar teorias, modelos,
Resultados
Existe uma vasta gama de métodos e resultados de
educação matemática. Uma questão importante, em seguida,
é o seguinte: Como muita fé deve-se ter
em qualquer resultado particular? O que constitui sólido
razão, o que constitui "prova além de uma razoável
dúvida "?
A lista a seguir coloca diante de um conjunto de critérios que
pode ser usado para avaliar os modelos e teorias (e
mais geral, qualquer trabalho empírico ou teórico)
em educação matemática:
• poder descritivo
• poder explicativo
• Âmbito
• poder preditivo
• Rigor e especificidade
• Falsifiability
• Replicação
• Múltiplas fontes de evidência ("triangulação")
Vou descrever brevemente cada um.
Poder descritivo
Por poder descritivo quero dizer a capacidade de um
teoria para capturar "o que conta" de maneiras que parecem
fiel aos fenómenos que está sendo descrito. Como
Gaea Leinhardt [7] apontou, a frase
"Considerar uma vaca esférica" pode ser apropriado
quando os físicos estão considerando a vaca em termos
da sua massa gravitacional, mas não se está explorando
algumas das propriedades fisiológicas da vaca!
Teorias da mente, resolução de problemas, ou de ensino
deve incluir aspectos relevantes e importantes do
pensando, resolução de problemas, e ensinando respectivamente.
Em um nível muito amplo, questões justo perguntar
são: Está faltando alguma coisa? Os elementos do
teoria correspondem a coisas que parecem razoáveis?
Por exemplo, digamos que uma sessão de resolução de problemas,
uma entrevista, ou uma lição em sala de aula foi filmada.
Será que uma pessoa que leia a análise e
vi o videotape razoavelmente ser surpreendido por
coisas que estavam faltando a partir da análise?
Poder explicativo
Por poder explicativo Quero dizer fornecendo explicações
de como e por que as coisas funcionam. É uma coisa
dizer que as pessoas vão ou não ser capaz de fazer
646 INFORMAÇÕES DO VOLUME AMS 47, Número 6
certos tipos de tarefas ou até mesmo para descrever o que
eles fazem em uma base tintim por tintim; é bastante
outra coisa a explicar porquê. É uma coisa que, para
exemplo, para dizer que as pessoas terão dificuldade
a multiplicação de dois números de três dígitos em suas cabeças.
Mas isso não fornecem informações sobre como
e por isso as dificuldades ocorrem. O total teórico
descrição da memória de trabalho, que foi mencionado
acima, vem com uma descrição da memória
tampões, uma explicação detalhada do mecanismo
de fragmentação, eo delineamento cuidadoso de como a
componentes da memória de interagir umas com as outras.
A explicação funciona a um nível de mecanismo: ele
diz em termos razoavelmente precisos o que os objetos
na teoria são, como eles estão relacionados, e por quê
algumas coisas serão possíveis e outras não.
Escopo
Por escopo eu quero dizer a gama de fenômenos cobertos
pela teoria. A teoria das equações não é muito
impressionante se trata apenas de equações lineares.
Da mesma forma, uma teoria de ensino não é muito impressionante
se abrange apenas palestras em linha reta!
Poder preditivo
O papel de predição é óbvia: uma prova de qualquer
teoria é se ele pode especificar alguns resultados de antecedência
da sua ocorrendo. Mais uma vez, é bom para manter
coisas como a teoria da evolução em mente como um
modelo. Previsões em educação e psicologia são
muitas vezes não é do tipo feito na física.
Por vezes é possível fazer previsões precisas.
Por exemplo, Brown e Burton [4] estudaram
os tipos de entendimentos incorretos que os alunos
desenvolver quando aprender o algoritmo padrão EUA
para a base 10 de subtracção. Eles hipótese muito
construções mentais específicos por parte dos alunos-os
idéia é que os alunos não se limitou
não dominar o algoritmo padrão, mas sim
que os estudantes geralmente desenvolvido um de uma grande classe de
variantes incorretos do algoritmo e aplicou-
consistentemente. Brown e Burton desenvolveu uma simples
teste de diagnóstico com a propriedade de que um estudante de
padrão de respostas incorretas sugeriu a falsa
algoritmo que ele ou ela pode estar usando. Cerca de metade da
vez que eles foram capazes de prever o incorreta
responder que o estudante obteria a uma nova
problema antes que o estudante trabalhou o problema!
Tais previsões de grão fino e consistentes
na base de algo tão simples como um diagnóstico
teste são extremamente raros claro. Por exemplo,
nenhuma teoria de ensino pode prever com precisão o que
um professor vai fazer em várias circunstâncias; humano
comportamento não é apenas que previsível. No entanto, uma
teoria de ensino pode trabalhar de forma análoga à
a teoria da evolução. Pode sugerir restrições
e até mesmo sugerir eventos prováveis.
[Fazer previsões é uma ferramenta muito poderosa
refinamento teoria. Quando algo é reivindicado
ser impossível e isto acontece, ou quando uma teoria
faz repetidas declarações de que algo está muito
provável e não ocorrer, então a teoria tem
problemas! Assim, a prática de tais previsões é uma
ferramenta metodológica importante, mesmo quando é
entendido que previsão precisa é impossível.]
Rigor e Especificidade
A construção de uma teoria ou um modelo envolve a
especificação de um conjunto de objetos e relacionamentos
entre eles. Este conjunto de objetos abstratos e
relações supostamente corresponde a um conjunto
de objetos e relações no "mundo real". O
questões relevantes são:
Como bem definida são os termos? Será que você sabe
um, se você viu um? Na vida real? No modelo? Como
assim são definidas as relações entre eles? E
quão bem os objetos e as relações no modelo
correspondem às coisas que deveriam
representam? Como observado acima, não se pode necessariamente
esperar os mesmos tipos de correspondências entre
partes do modelo e objetos do mundo real como no
caso dos modelos físicos simples. Mental e social
construções como buffers de memória e "didática
contrato "(a ideia de que os professores e alunos
entrar numa sala de aula com entendimentos implícitos
sobre as normas para as suas interacções e que
esses entendimentos moldam as formas como eles agem) são
não inspeccionável ou mensurável nos caminhos que aquecem
fluxo em uma placa laminar é. Mas podemos perguntar para o detalhe,
tanto no que os objetos são e como eles se encaixam
em conjunto. São as relações e mudanças entre
-los cuidadosamente definido, ou não "mágica acontecer"
em algum lugar ao longo do caminho? Aqui está uma analogia grosseira.
Durante grande parte do século XVIII, a phlogiston
teoria da combustão-que postulava que, em todos
materiais inflamáveis não é um líquido incolor, inodoro,
substância sem peso, insípido chamado "flogisto"
liberado durante a combustão, foi amplamente aceita.
(Trabalho de Lavoisier sobre a combustão, em última instância
refutou a teoria). Com um pouco de lado acenando, o
teoria do flogisto explicou uma gama razoável de
fenômenos. Poderíamos ter continuado a usá-lo, basta
como os teóricos poderia ter continuado epiciclos de construção
upon epiciclos em uma teoria da orbits.3The circular
teoria poderia ter continuado a produzir alguns útil
resultados, bom o suficiente "para todos os efeitos práticos".
Isso pode ser bom para a prática, mas é problemático
no que diz respeito à teoria. Assim como nas ciências físicas,
pesquisadores em educação têm um intelectual
obrigação de promover uma maior clareza e especificidade
e de olhar para limitar casos ou contra-exemplos de
ver onde as idéias teóricas quebrar.
Aqui estão dois exemplos rápidos. Em primeiro lugar, na minha pesquisa
O modelo de grupo do processo de ensino, nós
representam aspectos do conhecimento, objetivos do professor,
crenças e tomada de decisão. Céticos (inclusive nós)
deve perguntar, como clara é a representação? Uma vez
termos são definidos no modelo (ou seja, uma vez que especifique
de um professor de conhecimento, metas e crenças) está lá
Exemplo pontos 3Este para outro critério importante, simplicidade.
Quando uma teoria requer múltiplos "correções", como
epiciclos sobre epiciclos, que é um sintoma de que algomão acenando quando dizemos
o que o professor pode fazer
em circunstâncias específicas, ou é o modelo bem o suficiente
definido para que outros pudessem executá-lo e torná-
as mesmas previsões? Em segundo lugar, a "teoria APOS"
exposta em [2] usa termos como Ação, Processo,
Object, e Schema. Será que você sabe um, se você conheceu
um? Eles são bem definido no modelo? São os
maneiras pelas quais eles interagem ou se transformam
bem especificado? Em ambos os casos, as questões de linha de fundo
são, quais são as chances de que isso também é um phlogistonlike
teoria? São as pessoas que utilizam a teoria
constantemente testando-a, a fim de descobrir? Semelhante
perguntas devem ser feitas sobre todos os termos
utilizado na pesquisa em educação, por exemplo, a "didática
contrato "," metacognição "," imagem do conceito ", e
"obstáculos epistemológicos".
Falsifiability
A necessidade de falsifiability-para fazer nontautological
reclamações ou previsões cuja precisão pode ser
testado empiricamente deve ser claro neste ponto. Ele
é um acompanhamento da discussão nos dois anteriores
subseções. Um campo faz progresso (e guardas
contra tautologias), colocando as suas ideias sobre a linha.
Replicabilidade
A questão da replicabilidade também está intimamente ligada à
que de rigor e especificidade. Há dois relacionados
conjuntos de questões: (1) Será que a mesma coisa aconteceria se a
circunstâncias são repetidas? (2) Será que os outros, uma vez
devidamente treinados, ver as mesmas coisas no
dados? Em ambos os casos, responder a estas perguntas
depende da existência de procedimentos bem definidos e
constrói.
O fraseado de (1) é deliberadamente vago, porque
supõe-se para cobrir uma vasta gama de casos.
No caso da memória de curto prazo, a alegação é que
as pessoas vão correr em dificuldade se tarefas de memória
requerem o uso de mais do que nove curto prazo
buffers de memória. No caso de análises sociológicas
da sala de aula, a alegação é que uma vez que o
contrato didáctico é entendido, as ações do
estudantes e professor será visto para estar em conformidade com
esse entendimento (geralmente tácito). No caso de
crenças, a alegação é que os alunos que têm certa
crenças vai agir de determinadas maneiras ao fazer matemática.
No caso de obstáculos epistemológicos
ou teoria APOS, as reivindicações são feitas de forma semelhante que
alunos que têm (ou não tem) fez especial
construções mentais vai (ou não) ser capaz de fazer
certas coisas.
Em todos estes casos, a utilidade dos resultados,
a precisão das reivindicações, e a capacidade de
falsificar ou replicar depender da especificidade com
que são definidos termos. Considere este caso em
ponto a partir da literatura educação clássica.
Teoria dos "organizadores avançados" em [3] postulados de Ausubel
que, se os alunos recebem uma introdução
aos materiais que estão a ler que orienta-los para
que está a seguir, a sua compreensão de leitura
melhorará significativamente. Depois de uma ou duas décadas
e muitos, muitos estudos, a literatura sobre o tema
foi inconclusiva: cerca de metade dos estudos demonstraram
que os organizadores avançados fez a diferença, sobre
metade não. Um olhar mais atento revela o motivo: a própria
termo foi mal definido. Vários experimentadores feitas
os seus próprios organizadores avançados com base no que
eles achavam que deveria ser-e houve enorme
variação. Não admira que os resultados não foram conclusivos!
(Uma técnica convencional para lidar com
questões de bem-definedness e quais endereços
questão (2) acima, é ter pesquisadores independentes
percorrer o mesmo conjunto de dados e, em seguida
comparar os seus resultados. Existem normas-padrão
no campo de "confiabilidade entre avaliadores"; essas normas
quantificar o grau a que independente
analistas estão vendo as mesmas coisas nos dados.)
Múltiplas fontes de evidência ("triangulação")
Aqui encontramos uma das principais diferenças entre
a matemática e as ciências sociais. Em matemática
uma linha de argumentação convincente (a prova)
é suficiente: a validade é estabelecida. Na educação e na
as ciências sociais que são, em geral, o negócio
de olhar para a evidência convincente. O fato é que,
prova pode ser enganosa: o que pensamos ser
geral pode ser de fato um artefato ou uma função de
circunstâncias, em vez de um fenômeno geral.
Aqui está um exemplo. Alguns anos atrás eu fiz uma
série de fitas de vídeo de estudantes universitários de trabalho
sobre o problema, Quantas células existem em um
média-size corpo humano adulto? O seu comportamento
foi marcante. Um número de alunos fizeram selvagem
suposições sobre a ordem de grandeza do
dimensões de uma célula de "vamos dizer que uma célula é uma
unidade angstrom em um lado "para" dizer uma célula é um cubo
que é 1/100 de polegada de largura. "Então, ter
despachado com o tamanho da célula em questão de segundos, eles passaram a
muito tempo do tamanho do corpo, muitas vezes, a quebra
corpo em uma coleção de cilindros, cones, e
esferas e calcular o volume de cada um com
alguns cuidados. Isso foi muito estranho.
Algum tempo depois eu comecei a gravar em vídeo os alunos
problemas em pares, em vez de por-se a trabalhar.
Eu nunca mais vi o tipo de comportamento
descrito acima. Acontece que quando eram
trabalhando sozinho, os alunos sentiram sob tremenda
pressão. Eles sabiam que um professor de matemática
estaria olhando por cima do seu trabalho. Sob o
circunstâncias que eles sentiram que precisava fazer alguma coisa
matemáticas e cálculos de volume
pelo menos fez parecer como se estivessem fazendo
matemática! Quando os alunos trabalharam em duplas, eles
começou dizendo algo como "Este com certeza é um
problema estranho. "Isso foi o suficiente para dissipar alguns
da pressão, sendo o resultado que não houve
precisa para que eles se envolver em cálculos de volume
para aliviá-la. In, um comportamento muito consistente curto
foi realmente uma função de circunstâncias, em vez de
sendo inerente ao problema ou os alunos.
Uma maneira de verificar se há comportamento artifactual é
variar as circunstâncias: a perguntar, você vê o mesmo
coisa em momentos diferentes em lugares diferentes? Outroé buscar o maior número de
fontes de informação como possível
sobre o fenômeno em questão e ver
se retratar uma mensagem consistente. Na minha
O trabalho de grupo de pesquisa sobre o ensino de modelagem, para
exemplo, fazer inferências sobre o professor de
comportamento de fitas de vídeo do professor na ação-
mas também realizar entrevistas com o professor,
rever a sua planos de aulas e notas de classe e
discutir os nossos resultados preliminares com o professor. Neste
nossa forma de olhar para a convergência dos dados. O mais
fontes independentes de confirmação existem, o
mais robusto um achado é provável que seja.
Conclusão
O ponto principal deste artigo foi que
pesquisa em (graduação) educação matemática
é uma empresa muito diferente da pesquisa em
matemática e que a compreensão da
diferenças é essencial para que um é para apreciar (ou
melhor ainda, contribuir para o trabalho) no campo. Descobertas
são raramente definitivo; eles são geralmente sugestiva.
A evidência não é da ordem de prova, mas é
cumulativo, movendo-se em direção a conclusões que podem
ser considerados para além de uma dúvida razoável. A
abordagem científica é possível, mas deve-se tomar
Tenha cuidado para não ser cientificista-o que conta não o são
armadilhas da ciência, como a experimental
método, mas o uso de raciocínio e cuidadosa
padrões de evidência, empregando uma grande variedade de
métodos adequados para as tarefas na mão.
Vale a pena lembrar o quão jovem matemática
educação é como um campo. Matemáticos são utilizados
para medir linhagem matemática em séculos, se
não milênios; em contraste, a linhagem de pesquisa em
educação matemática (especialmente de graduação
educação matemática) é medido em décadas.
A revista Estudos Educacionais em Mathematicsdates
a década de 1960. A primeira edição do Volume 1 do
Jornal de Investigação em Educação Matemática foi
publicado em Janeiro de 1970. A série de volumes
Pesquisa em Educação Matemática Collegiate-o
primeiro conjunto de volumes dedicados exclusivamente à matemática
educação na faculdade-nível começou a aparecer em
1994. Não é por acaso que a grande maioria dos
artigos citados por Artigue [1] em sua revisão de 1999
resultados da investigação foram escritas na década de 1990; houve
pouco em nível de graduação antes e depois! Lá
tem sido uma quantidade extraordinária de progresso na
últimos anos, mas o campo ainda é muito jovem, e
há um longo caminho a percorrer.
Por causa da natureza do campo, é adequado
para ajustar sua posição em relação ao trabalho e
sua utilidade. Matemáticos abordar este trabalho
deve estar aberto a uma grande variedade de idéias, a compreensão
que as perspectivas para a métodos e
que eles estão acostumados não se aplicam a
pesquisa em educação de forma simples. Eles
não deve procurar respostas definitivas, mas para
idéias que podem usar. Ao mesmo tempo, todos os consumidores
e profissionais de pesquisa em (graduação) educação matemática deve ser céticos
saudáveis.
Em particular, porque não há nenhum definitiva
respostas, deve-se, certamente, ter cuidado com qualquer um
que lhes oferece. Mais geralmente, o objectivo principal para
as próximas décadas é continuar a construir um
corpus de teoria e métodos que permitirão
pesquisa em educação matemática para se tornar um
campo básica e aplicada cada vez mais robusta
