6 - VIGA - ecivilufes.files.wordpress.com · VIGA - DIMENSÕES LIMITES DE VIGAS ... (ELU-M) As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento

Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 23

6 - VIGA


6.1 - VIGA - ANÁLISE


VIGA - VÃO EFETIVO DE VIGA

[NBR 6118]


VIGA - MOMENTO FLETOR, FORÇA CORTANTE, MOMENTO TORÇOR E FLECHA Momento Fletor ( = a/L; = b/L)

Sistema

Carga Mmáx; xo/L Mmáx; xo/L Mdir Mmáx; xo/L Mesq Mdir Mesq

5,0;8

pL2

375,0;128

pL9 2

8

pL2

5,0;24

pL2

12

pL2

12

pL2

2

pL2

577,0;

39

pL2

447,0;515

pL2

15

pL2

548,0;64,46

pL2

30

pL2

20

pL2

3

pL2

423,0;

39

pL2

329,0;65,23

pL2

120

pL7 2

452,0;64,46

pL2

20

pL2

30

pL2

6

pL2

5,0;

4

PL 5,0;

32

PL5

16

PL3 5,0;

8

PL

8

PL

8

PL

2

PL

;PL

;PL

2

3 2 PL2

1 2

;PL2 22 PL2 PL2 PL

Força Cortante ( = a/L; = b/L)

Sistema

Carga Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq

2

pL

2

pL

8

pL3

8

pL5

2

pL

2

pL pL

6

pL

3

pL

10

pL

5

pL2 pL15,0 pL35,0

2

pL

3

pL

6

pL

40

pL11

40

pL9 pL35,0 pL15,0

2

pL

2

P

2

P

16

P5

16

P11

2

P

2

P P

P P P

2

3 2

P2

3 2

P)23( 2 P)23( 2 P

Momento Torçor ( = a/L; = b/L)

Carga

Sistema Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir 2

tL

2

tL

6

tL

3

tL

3

tL

6

tL

2

T

2

T T T

Tesq Tesq Tesq Tesq Tesq tL

2

tL

2

tL T T

Flechas ( = a/L; = b/L)

Sistema

Carga máx; xo/L máx; xo/L máx; xo/L dir

5,0;EI384

pL5 4

422,0;EI6,184

pL4

5,0;EI384

pL4

EI8

pL4

519,0;

EI

pL00652,0

4

447,0;EI3,419

pL4

525,0;EI2,764

pL4

EI120

pL11 4

481,0;

EI

pL00652,0

4

402,0;EI1,328

pL4

475,0;EI2,764

pL4

EI30

pL4

5,0;

EI48

PL3

447,0;EI548

PL3

5,0;EI192

PL3

EI48

PL5 3

5,0;

EI48

PL)43( 32

- - EI6

PL)3( 32

[MUSSO]

a b

L/2

a b

L/2

a b

L/2

L/2 a b


VIGA - FLECHAS EM DIVERSOS SISTEMAS COM DIFERENTES CARREGAMENTOS

[GRASSER]


6.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)


VIGA - DIMENSÕES LIMITES DE VIGAS

[NBR 6118]


6.2.1 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M)


VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M) As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço tracionada h altura da seção transversal

sA área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com

As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples tracionada MG momento fletor da ação permanente G

As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) borda comprimida da seção transversal c encurtamento da fibra extrema de concreto

d distância do centróide da armadura comprimida yd fyd/Es deformação de escoamento do aço à borda comprimida da seção transversal s alongamento da armadura tracionada

d h - d s encurtamento da armadura comprimida dlim altura útil mínima com armadura simples x/d profundidade da linha neutra adimensional Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) compressão 0,85 coeficiente de redução da resistência de

fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão aos 28 dias Md/(bd2fcd) momento fletor adimensional

fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sd tensão de compressão na armadura longitudinal do aço

A – Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim)

Modelo resistente à momento fletor no estado limite último

fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) xlim 0,5d 0,4d A1

Md,lim cd2fbd272,0 cd

2fbd22848,0 A2

As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3

B – Altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim)

fck < 35 MPa > 35 MPa

dlim cd

d

bf272,0

M

cd

d

bf22848,0

M B1

C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’) Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)

cd2

d

fbd425,0

M11d25,1x C1

ydcds f/bxf68,0A C2

bhf/f035,0%;15,0máximoA ydcdmín,s C3

fck MPa 20 25 30 35

(a) )2/xd(fxb)x(fCzM cdd

(b) ydcdscdyds f/fxbAoufxbCfAT

:fbd)a( cd2

d2

x1

d

x

fbd

M

cd2

d ou

cd2

dd

22

fbd

M211

d)M(fxou211)c(

0)(2/)(2/)()(2/1

As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As e sA ; Md > Md,lim; x = xlim)

Armadura dupla (seção com As e sA ; Md > Md,lim; x = xlim)

)dd(f

MMAA

yd

lim,ddlim,ss

C4

)dd(

MMA

sd

lim,dds

C5

ydsydsd sef ; ydssssd seE C6


s )d/d5,0(007,0 )d/d4,0(00875,0 C7fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8

(d) lim,ddlim,dd MMMouMMM

(e) )]dd(/[MAou)dd(AM sdssds

(f) ydsdslim,sssdsydlim,syds f/AAAouAfAfA

[MUSSO]

x

Md

x

T = Asfyd

C = bxfcd

2/xdz

fcd

h d

b

As LN

fcd

d

xlim

Md

Asfyd

sdsA

=

sdsA

sdsA

M

d-d´

As,limfyd

Md,lim

xlim

+

fcd fcd

d

b

As

LN

sA

d

d

xlim

c = 3,5‰

s

d s

d

lim

lim

s

x

‰5,3

dx


VIGA - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < xlim ; = 0,8 ; = 0,85) A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim)

)2/hd(fhbCzM fcdffRf A1 )2/xd(fxb)2/hd(fh)bb(

zCzCMMM

limcdlimwfcdfwf

wwaalim,walim,d

B1

C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín)

armadura simples seção retangular com Md e b = bf A)f/f024,0%;15,0(máximoA ydcdmín,s G1

fck MPa 20 25 30 35 As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15%

hbh)bb(A wfwf (área da seção T) G2

H - Tensão na armadura comprimida )( sd

)(f ydsydsd ; )(E ydssssd H1


s

d

d5,0007,0

d

d4,000875,0 H2

cd2

f

d

fdb425,0

M11d25,1x D1

fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa

sA

mín,sydcdfs Af/xfb68,0A D2 yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3

E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)

abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura simples )2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa E1 adw MMM E4

ff h25,1

hx

E2

cd2

w

w

fdb425,0

M11d25,1x E5

was AAA

ydcdwfa f/xf)bb(68,0A E3 ydcdww f/xfb68,0A E6

F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)

abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura dupla

)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa F1 adw MMM F4

)2/xd(fxbM limcdlimwlim,w F5

ydcdlimwlim,w f/fxb68,0A F6 f

f h25,1h

x

F2

)dd(

MA

sds

; lim,ww MMM F7

was AAA

sA

ydcdwfa f/xf)bb(68,0A F3 ydsdslim,ww f/AAA F8

[MUSSO]

x

MRf

x = hf

T = Asfyd

C = bf hffcd

z = d - hf /2

fcd

h d

bf

As

LN

bw

hf xlim

Md,lim

xlim

T = As,limfyd

Ca = (bf - bw)hffcd

za = d - hf /2

fcd

h d

bf

As LN

bw

hfa w a

zw = d - xlim /2

Cw = bwxlimfcd

h d

bf

As

bw

hf

Md Ma

bf - bw

Aa

hf

d

bw

Aw

x

Mw d

Ma

bf - bw

Aa

hf

d

h d

bf

As

bw

hf

Md d

bf

As

x

Md

h d

bf

As

bw

hf

Md d

sA

bw

Aw

xlim

Mw

sA

d

d

sdsA

sdsA

M

d-d´+Aw,limfyd Mw,lim

bwxlimfcd

=


VIGA - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T

[NBR 6118]


6.2.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V)


VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (ELU-V) Asw área da seção da armadura transversal h altura da seção transversal

Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal Md momento fletor de cálculo b largura da seção transversal s espaçamento longitudinal entre estribos C força de compressão nas bielas de concreto 100 cm (para obter Asw em cm2/m) d altura útil da seção transversal cV força cortante resistida por outros mecanismos distância do centróide da armadura tracionada Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo à borda comprimida da seção transversal VRd2 força cortante de cálculo máxima resistida por

fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão diagonal das bielas de concreto compressão VG força cortante da ação permanente G

fck resistência característica do concreto à VQ força cortante da ação variável Q compressão aos 28 dias Vsw força cortante de cálculo resistida pela

fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à armadura transversal tração z braço de alavanca

fctk 0,7fctm resistência característica do concreto à ângulo da tensão principal de tração tração 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do redução da resistência do concreto fissurado

concreto à tração por força cortante fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento c tensão principal de compressão do aço t tensão principal de tração

fyk resistência característica de escoamento do aço tensão tangencial da força cortante Fc força de compressão no concreto ângulo das bielas de concreto comprimidas Fs força de tração na armadura longitudinal

Analogia de treliça A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, d e fck, obter VRd2; Vd < VRd2)

Modelo resistente à força cortante no estado limite último Compressão diagonal das bielas de concreto (corte a-a)

cálculo simplificado

(45o) refinado

(30o a 45o)

VRd2 cdfbd45,0 2senfbd45,0 cd A1 fck MPa 20 25 30 35

0,552 0,540 0,528 0,516 (45o) 0,355 0,434 0,509 0,581 )bd/(V 2Rd (30o) 0,307 0,376 0,441 0,503

obs.: VRd2/(bd) em kN/cm2

B – Dimensionamento da armadura transversal (dados Vd, b, d, fck e fyk, obter Asw)

(a) 2senfbd45,0sencosfbzCsenV cdcd2Rd

cálculo simplificado

(45o) refinado

(30o a 45o)

Tração transversal dos estribos (corte b-b)

Asw yd

cd

df9,0

s)VV(

cotdf9,0

s)VV(

yd

cd B1

od VV od VV

cV oV oV o

o2Rd

d2Rd VVV

VV

B2

oV ctdbdf6,0 B3

Asw,mín ykctm f/bsf2,0 B4

fck MPa 20 25 30 35 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605

)bd/(Vo 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963

)bs/(A mín,sw

0,088% 0,103% 0,116% 0,128%

obs.: Vo/(bd) em kN/cm2 e Asw,mín/(bs) para fyk = 500 MPa

(b)

cdswcswd VVVouVVV

(c) cotfs

Ad9,0cotf

s

AzV yd

swyd

swsw

(b) em (c):

cotdf9,0

s)VV(A

yd

cdsw

[MUSSO]

tc 2

tc

t c

tração compressão

ab

b a

Vsw = (zcot/s)Aswfyd

estribos

fissuras

s

zcot

Vd

Vc z = 0,9d

Md

número de estribos em zcot

b

hAsw

d

Fs

Fc

fissuras

C = b(zcosfcd

zcos

Fs

bielas

Md

VRd2

b

hAsw

d z = 0,9d

Fc


VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE

[MUSSO]



VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - SIMPLIFICADO

[MUSSO]


VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - REFINADO

[MUSSO]


6.2.3 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR (ELU-T)


VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR (ELU-T)

A bh área da seção transversal Fs força de tração na armadura longitudinal Ae behe área limitada pela linha média da seção h altura da seção transversal vazada s espaçamento longitudinal entre estribos

As área da seção da armadura longitudinal 100 cm (para obter Asw em cm2/m) tracionada te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da

As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal parede da seção vazada no perímetro ue Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo

Asw área da seção da armadura transversal TRd2 momento torçor de cálculo máximo resistido por Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal compressão diagonal das bielas de concreto

b largura da seção transversal TG momento torçor da ação permanente G c1 cm52/c tt TQ momento torçor da ação variável Q ct cobrimento do estribo u 2(b + h) perímetro da seção transversal d altura útil da seção transversal ue 2(be + he) perímetro da área Ae fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à be b – te largura da área Ae compressão he h – te altura da área Ae

fck resistência característica do concreto à diâmetro da armadura longitudinal compressão aos 28 dias t diâmetro da armadura transversal

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

concreto à tração redução da resistência do concreto fissurado fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento por momento torçor do aço tensão tangencial do momento torçor

fyk resistência característica de escoamento do aço ângulo das bielas comprimidas de concreto Seção vazada de cálculo com espessura te Modelo resistente à momento torçor no estado limite

último Compressão diagonal e tração longitudinal (1 parede)

A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, h e fck, obter TRd2; Td < TRd2)

simplificado refinado cálculo

(45o) (30o a 45o)

TRd2 cdee ftA 2senftA cdee A1 fck MPa 20 25 30 35

0,460 0,450 0,440 0,430(45o) 0,657 0,804 0,943 1,075)tA/(T ee2Rd (30o) 0,569 0,696 0,817 0,931

obs.: TRd2/(Aete) em kN/cm2

B – Dimensionamento da armadura transversal (dados Td, b, h e fyk, obter Asw por parede)

(a) sencosfhtCsenA2

hTcdee

e

e2Rd

ou 2senftAT cdee2Rd

(b) ydeess fh)u/A()2/F(2cosC

(c) tanfhu

Atan)cosC(Csen

A2

hTyde

e

s

e

ed

ou

tanfA2

uTA

yde

eds

simplificado refinado Tração transversal (1 parede) cálculo

(45o) (30o a 45o)

Asw yde

d

fA2

sT

cotfA2

sT

yde

d B1

Asw,mín ykctme f/sft2,0 B2

C – Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Td, b, h e fyk, obter As total no perímetro ue)

simplificado refinado cálculo

(45o) (30o a 45o)

As yde

ed

fA2

uT

tanfA2

uT

yde

ed C1

As,mín ykctmee f/fut2,0 C2

(d) ydsw

e

e

ed fAs

coth

A2

hT ou

cotfA2

sTA

yde

dsw

[MUSSO]

torçãodefluxo)t( e

ee2ee1 b)t(V;h)t(V

2/hV22/bV2T e2e1d

eeeeee hb)t(bh)t(

ee A)t(2e

de A2

T)t(

e

ed1 A2

hTV ;

e

ed2

A2

bTV

Td

V2

Td he

be

V1

V2

V1

te

Ae

(behe)

seção real

seção de cálculo

e

e2Rd

A2

hT

e

ed

A2

hT

fissura

C = te(hecosfcd

hecos

Fs/2 = (As/ue)hefyd/2

biela

Fs/2

he

armadura longitudinal na parede he

b

h

As

d

Ae, ue

te

A, u

Td

(hecot/s)Aswfyd

estribos

fissuras

s

hecot

he

número de estribos em hecot

b

h

Asw

d

Ae, ue

te

A, u

Td e

ed

A2

hT


VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À M. TORÇOR, M. FLETOR E FORÇA CORTANTE A – Verificação da compressão diagonal do concreto A bh área da seção transversal (dados Vd, Td, b, h e fck: Vd/ VRd2 + Td/ TRd2 < 1) Ae behe área limitada pela linha média da seção

simplificado refinado vazada cálculo

(45o) (30o a 45o) As,M área da seção da armadura longitudinal

VRd2 cdfbd45,0 2senfbd45,0 cd A1 tracionada para Md fck MPa 20 25 30 35 As,T área da seção da armadura longitudinal

0,552 0,540 0,528 0,516 tracionada para Td simplificado refinado Asw,T área da seção da armadura transversal para Td cálculo

(45o) (30o a 45o) Asw,V área da seção da armadura transversal para Vd

TRd2 cdee ftA 2senftA cdee A2 b largura da seção transversal

fck MPa 20 25 30 35 c1 cm52/c tt

0,460 0,450 0,440 0,430 ct cobrimento do estribo Superposição de força cortante e momento torçor d altura útil da seção transversal

fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à 1

T

T

V

V

2Rd

d

2Rd

d A3 compressão

B – Dimensionamento da armadura transversal fck resistência característica do concreto à (dados Vd, Td, b, d, h, fck e fyk, obter Asw,total) compressão aos 28 dias

simplificado refinado fctd fctk/1,4 resist. de cálculo do concreto à tração cálculo

(45o) (30o a 45o) fctk 0,7fctm resist. característica do concreto à tração

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do

Asw,V yd

cd

df9,0

s)VV(

cotdf9,0

s)VV(

yd

cd B1 concreto à tração

od VV od VV fyd fyk/1,15 resist. de cálculo de escoamento do aço

B2 fyk resistência característica de escoamento do aço cV oV oV o

o2Rd

d2Rd VVV

VV

h altura da seção transversal

oV ctdbdf6,0 B3 Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo

fck MPa 20 25 30 40 Md,lim momento fletor de cálculo máximo com fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 armadura simples

)bd/(Vo kN/cm2 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 s espaçamento longitudinal entre estribos

simplificado refinado 100 cm (para obter Asw em cm2/m) cálculo

(45o) (30o a 45o) te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da

parede da seção vazada Asw,T por

parede yde

d

fA2

sT

cotfA2

sT

yde

d B4Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo

Superposição de armaduras transversais TRd2 momento torçor de cálculo máximo resistido por

T,swV,swtotal,sw A2AA B5 compressão diagonal das bielas de concreto

C – Dimensionamento da armadura longitudinal ue 2(be + he) perímetro da área Ae (dados Md, Td, b, d, h, fck e fyk, obter As por face) u 2(b + h) perímetro da seção transversal

fck < 35 MPa > 35 MPa cV força cortante resistida por outros mecanismos xlim 0,5d 0,4d C1 Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo

Md,lim cd2fbd272,0 cd

2fbd22848,0 C2 VRd2 força cortante de cálculo máxima resistida por

Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) compressão diagonal das bielas de concreto be b – te largura da área Ae

C3 he h – te altura da área Ae

cd2

d

fbd425,0

M11d25,1x

x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU)

ydcdM,s f/bxf68,0A (face tracionada) C4 xlim profundidade máxima da linha neutra para

simplificado refinado ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) cálculo

(45o) (30o a 45o) diâmetro da armadura longitudinal

t diâmetro da armadura transversal As,T em ue yde

ed

fA2

uT

tanfA2

uT

yde

ed C5 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

Superposição de armaduras longitudinais redução da resist. do concreto fissurado por Td

eeT,sMporcomprimidaface,s u/bAA C6 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

eeT,slateralfacecada,s u/hAA C7 redução da resist. do concreto fissurado por Vd

eeT,sM,sMportracionadaface,s u/bAAA C8 ângulo das bielas comprimidas de concreto

[MUSSO]


VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - SIMPLIFICADO

[MUSSO]


VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - REFINADO

[MUSSO]


6.3 - VIGA - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)


6.3.1 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF)


VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF) As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G

sA área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG + 2MQ momento fletor da ação quase

b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão; d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade

d distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G + 2Q ação quase permanente

d h - d Q ação variável Ecs 4760fck

1/2 MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta

Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses)

fctf fctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses) fctm 0,3fck

2/3 (fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à concreto à tração fibra extrema tracionada

fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) felástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga 1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118) flimite flecha máxima para limitar efeito visual f coeficiente para levar em conta a fluência do

desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftotal fimediata + fdiferida flecha total 2 0,3 para edifícios residenciais G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios públicos I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens Ic bh3/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente

Ie momento de inércia efetivo da seção ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida

A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares

elásticaf fck MPa 20 25 30 35 (ver flechas em diversos sistemas)

A1 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210

B – Flecha imediata fctf,EC2 MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457

e

celásticaimediata I

Iff B1

G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2) seção fissurada (MQP > Mr)

2

3

QP

rc

3

QP

re I

M

M1I

M

MI

(BRANSON) B2

seção não fissurada (MQP < Mr)

ce II B3

C – Flecha diferida

imediatafdiferida ff C1

seção real seção equivalente de concreto

'501

)t()t( of

C2 )a2/(]aa4aa[x 131

2222 G1

)meses70t( 32,0t t)996,0(68,0 2/ba1 G2

)meses70t( 2 C3

ss2 A)1n(nAa G3

t meses 1 3 6 12 > 70 dA)1n(dnAa ss3 G4

(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00 D – Flecha total

itelimdiferidaimediatatotal ffff D1

22s

22s

32

2 )dx(A)1n()xd(nA3

bxI G5

E – Flecha limite

250

Lf itelim (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1

profundidade da l. neutra

iii AAxx

momento de inércia

)AI(I 2iii

[MUSSO]

d

b

As

LN

sA

d

x2

d

b

nAs

LN

(n-1) sA

d

x2

d-x2


VIGA - SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO (SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA)

No estado limite de serviço de deformações (ELS-DEF), tanto o concreto quanto o aço tem comportamento linear. Assim, a área [A+(n-1)As] é uma área fictícia só de concreto (seção equivalente), que quando submetida a tensão c resulta na mesma carga P que atua na seção real composta de concreto e aço

MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA IC E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I2 Seção real Seção bruta de concreto Seção fissurada (estádio 2 puro)

Arm

adur

a S

impl

es

)a2/(]aa4aa[x 131

2222 (3)

2/ba1

s2 nAa

dnAa s3

22s

32

2 )xd(nA3

bxI (4)

Arm

adur

a D

upla

2

hxc (1)

12

bhI

3

c (2)

)a2/(]aa4aa[x 131

2222 (5)

2/ba1

ss2 A)1n(nAa

dA)1n(dnAa ss3

22s

22s

32

2 )dx(A)1n()xd(nA3

bxI

(6)

Arm

adur

a S

impl

es

f131

2222 h)a2/(]aa4aa[x (9)

2/ba w1

sfwf2 nAh)bb(a

dnA2/h)bb(a s2

fwf3

22s

2f

2fwf

3fwf

32w

2

)xd(nA2

hxh)bb(

12

h)bb(

3

xbI

(10)

Arm

adur

a D

upla

fwfw

2fwf

2w

c h)bb(hb

h)bb(hb

2

1x (7)

2f

cfwf

3fwf

2

cw

3w

c

2

hxh)bb(

12

h)bb(

x2

hhb

12

hbI

(8)

f131

2222 h)a2/(]aa4aa[x (11)

2/ba w1

ssfwf2 A)1n(nAh)bb(a

dA)1n(dnA2/h)bb(a ss2

fwf3

22s

2f

2fwf

3fwf

32w

2

)xd(nA2

hxh)bb(

12

h)bb(

3

xbI

22s )dx(A)1n(

(12)

Obs.: )AI(inérciademomentoI;A/Aixneutralinhadadeprofundidax 2iiiii

[MUSSO]

d h As

b

d h

As’

As

b

d´

bw

As

bf

hf d h

h

b

xc

LN

bw

bf

hf

h

xc

LN

bw

As

bf

hf d d´

h

As’

bw

nAs

bf hf

d d´

x2

(n-1)As’

LN

dnAs

b

x2

LN

bw

nAs

bf

hf d

x2

LN

d

(n-1)As’

nAs

b

d´x2

LN

cs

scc

cs

ss

cs

cc

s

ss E

Enonden

E

E

EE

]A)1n(A[)nAA(AnAAAP scsccscccsscc

nAs

P As

Ac A

(n-1)As

P s = c

s

Es 1

s aço

c

Ecs 1

c concreto

Ac

A real equivalente


VIGA - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T

[MUSSO]


VIGA - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

[MUSSO]


VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

[MUSSO]


VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON

[MUSSO]


6.3.2 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)


VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-W)

Seção não Fissurada (Estádio 1) wk = 0

Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs

aço Es = 210.000 MPa (11) concreto 2/1ck

2/1ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E MPa (12)

Verificação da Segurança ELS-W

wk < wlim (15)

[MUSSO]

Momento Fletor de Cálculo MF

MF = MGk + 1MQ1k + n2jMQjk (1)

(combinação freqüente) MGk parcela permanente 1MQ1k parcela variável principal

n2jMQjk demais parcelas variáveis

Tabela 1 – Coeficientes 1 e 2 Finalidade da Estrutura 1 2 edifício residencial 0,4 0,3 edifício comercial 0,6 0,4 biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6

Momento de Fissuração Mr,w É o valor do momento fletor que produz na seção bruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada

W,ctcW,r fWM (2)

Wc módulo resistente da seção bruta em relação a fibra extrema tracionada tc y/I (3)

Ic momento de inércia da seção bruta yt distância do centróide à fibra ext. tracionada fct,W resistência do concreto à tração na flexão

(módulo de ruptura) (MPa) )gulartanreseção(f05,1 ctm (NBR 6118) (4a)

)Tseção(f84,0 ctm (NBR 6118) (4b)

)2EC(fctm (4c)

MF < Mr,w ? Sim Não

Seção Fissurada (Estádio 2)

)6(454

E5,12w);5(

f

3

E5,12w

rs

s

12

ctm

s

s

s

11

)w;w(mínimow 21k (7)

wk abertura de fissura característica diâmetro da barra da armadura longitudinal 1 coeficiente de conformação superficial da barra s tensão no aço tracionado no estádio 2 Es módulo de elasticidade do aço fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck

2/3 (MPa) (8) r taxa de armadura As na região de envolvimento Acr

= As/Acr (9) As área de aço da armadura longitudinal tracionada Acr área da região de envolvimento

Área de Envolvimento Acr

Acr = mín[(y+7,5; h/2].b (10)

d h Acr

b

< h/2

7,5

y

Tensão no Aço Tracionado na Seção Fissurada s (Estádio 2 puro)

)xd(I

Mnn 2

2

Fcs (14)

n razão Es/Ecs (13) MF momento fletor para combinação frequente I2 momento de inércia da seção no estádio 2 d altura útil da seção x2 profundidade da linha neutra no estádio 2

x2; I2 (ver ELS-DEF)

Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial 1Tipo de Barra 1

lisa (CA-25) 1,00

entalhada (CA-60) 1,40

alta aderência (CA-50) 2,25

Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlim Classe de

Agressividade Ambiental

Agressividade Tipo de Ambiente wlim (mm)

I fraca rural ou submerso 0,4 II moderada urbano III forte marinho ou industrial

0,3

IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2


6.4 - VIGA - EXEMPLOS


VIGA BIAPOIADA - (b = 20 cm; C25)

[MUSSO]


VIGA MONOENGASTADA - (b = 20 cm; C25)

[MUSSO]


VIGA BIENGASTADA - (b = 20 cm; C25)

[MUSSO]


VIGA EM BALANÇO - (b = 20 cm; C25)

[MUSSO]

Documents

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