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502
6.13 – EXERCÍCIOS – pg. 278 Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
1. 2e,2
1+−=== xyyxx
A Figura que segue mostra a região dada.
1 2
1
2
x
y
( )∫
+−=+−=
1 12
1
21
21
22
2 xx
dxxA
8
5
2
112
4
11
2
1
=
−+
−−=
24
7
8
1.
3
1
3
1
3
131
2
2
21
2
1
=
−=
== ∫
xdxxA
auA .3
1
24
8
24
715
24
7
8
5==
−=−=
2. yxxy 2e2 22 ==
A Figura que segue mostra a região dada.
503
1 2
1
2
x
y
3
82
3
22
2
322 3
2
0
2
0
1
23
==
== ∫x
dxxA
( )6
82
6
1
3.
2
1
2
3
2
0
32
0
2
2 ==
== ∫
xdx
xA
auAAA .3
4
6
8
3
821 =−=−=
3. 3e5 2 +=−= xyxy
A Figura que segue mostra a região dada.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
x
y
504
22
31
12
31
2
811
02
35
2
2
−=−−
=′′
=+−
=′
+±−=
=−+
+=−
x
x
x
xx
xx
( ) ( ) ( )
12315
813
1215
355
1
2
31
2
2
1
=−=
+−+=
−=−=
−−
∫x
xdxxA
( ) ( ) ( )
( )
2
15
2
1839
2
3
3.33.2
1
213412
13
23
1
2
21
2
2
=+−
=+−
=
+−=
++−=
+=+=
−−
∫ xx
dxxA
auA .2
9
2
1524
2
1512 =
−=−=
4. 6e6
1 2 == yxy
A Figura que segue mostra a região dada.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
x
y
505
] ( ) 72666666
6
6
6
1 =+=== −
−
∫ xdxA
( )
24
18
432216216
18
1
36
1
6
16
6
36
6
2
2
=
=+=
==
−−
∫x
dxxA
auA .482472 =−=
5. 3e1 2 −=−= yxy
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
x
y
( ) ( )
( ) ( ) aux
x
dxxdxxA
.3
3288
3
1224
34
4)3(1
2
2
3
2
2
2
2
2
2
=+
−+=
−=
−=−−−=
−
−−
∫∫
6. 3e3 2 =+=+ xyyx
A Figura que segue mostra a região dada.
506
1 2 3
1
2
3
x
y
( )
( ) ( )
3
8
3
19
3
13
013
1013
333
1
0
31
0
2
1
=−
=−=
−−−=
−=−= ∫
xxdxxA
( )
2
5
2
16
2
13
233
1
0
21
0
2
=−
=−=
−=−= ∫
xxdxxA
auA .6
1
6
1516
2
5
3
8=
−=−=
7. 3e2,2,2 =−==−= yyxyyx
A Figura que segue mostra a região dada.
Sejam:
A - a parte da área acima do eixo dos x, de 0 a 1
B – a parte da área acima do eixo dos x, de 1 a 9
C – a parte da área à esquerda do eixo dos y
D – a parte da área abaixo do eixo dos x, de 0 a 4
507
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-1
1
2
3
x
y
Cálculo de A:
2
5)2(
1
0
1 =+= ∫ dxxA
3
2
2
3
1
0
1
0
2
23
=
== ∫x
dxxA
6
11
6
415
3
2
2
5=
−=−=A
Cálculo de B:
] ( ) 24193339
1
9
1
3 =−=== ∫ xdxA
( )3
52127
3
2
2
3
9
1
9
1
4
23
=−=
== ∫x
dxxA
3
20
3
5272
3
5224 =
−=−=B
Cálculo de C:
( ) ( ) ( ) 81602
1)40(4
244)2(2
0
4
20
4
0
4
=−++=
+=+=−−+=
−−−
∫∫x
xdxxdxxC
Cálculo de D:
508
( ) ( )3
888.
3
22
2
32)2(
4
0
4
0
4
0
2
3
=+−=
+−=+−=−−−= ∫∫ xx
dxxdxxD
..6
115
3
88
3
20
6
11au
DCBAtotalÁrea
=+++
=+++=
8. 0e3 =−= yxxy
A Figura que segue mostra a região dada.
-1 1
-1
1
x
y
( )
au
xxdxxxA
.2
1
2
1
4
12
2422
0
1
240
1
3
=
+−=
−=−=
−−
∫
9. 0e1,0, ==== yxxey x
A Figura que segue mostra a região dada.
509
1
-1
1
2
3
x
y
e
] aueedxe xx .11
0
1
0
−==∫
10. yxyx == e3
A Figura que segue mostra a região dada.
-1 1
-1
1
x
y
4
3
3
4
1
0
1
0
34
31
=
=∫x
dxx
2
1
2
1
0
21
0
=
=∫
xdxx
510
auA .2
1
2
1
4
32 =
−=
11. 4e0,ln === xyxy
A Figura que segue mostra a região dada.
1 2 3 4
1
x
y
∫=
4
1
ln dxxA (Usamos integração por partes)
]
au
xxx
x
dxxxxA
.)34ln4(
11ln144ln4
ln
ln
4
1
4
1
−=
+−−=
−=
−= ∫
12. 4e1,ln === yxxy
A Figura que segue mostra a região dada.
511
10 20 30 40 50
1
2
3
4
x
y
e4
] ( )1444 4
1
1
4
4
−==∫ exdx ee
]
14
1ln
lnln
44
444
1
1
4
4
+−=
+−=
−=∫
ee
eee
xxxdxx ee
aue
eeeA
.)5(
1444
4
444
−=
−+−−=
13. [ ]π2,0, ∈−== xxsenyxseny
A Figura que segue mostra a região dada.
-π/2 π/2 π 3π/2 2π
-1
1
x
y
512
] 2cos 0
0
=−=∫π
π
xdxxsen
..824 auA =×=
14.
−∈−==
2
3,
2,coscos
ππxxyxy
A Figura que segue mostra a região dada.
-π/2 π/2 π 3π/2
-1
1
x
y
] 211cos 2
2
2
2
=+== −
−
∫π
π
π
π
xensdxx
auA .82.4 ==
15. 1e1,,cosh =−=== xxxsenhyxy
A Figura que segue mostra a região dada.
513
-1 1
-1
1
x
y
] ( )11cosh1
1
1
1
1 −−===−
−
∫ senhsenhxsenhdxxA
] 0cosh1coshcosh1
0
1
0
0
1
2 −==== ∫∫−
xdxxsenhsenhxdxA
( )
aue
ee
eee
A
senhsenhAAAA
.1
2
1
2
1
11
1
221
−=
−
−
−
=
−−=+−=
16. 1e0, === yxxtgy
A Figura que segue mostra a região dada.
π/4
1
x
y
514
]4
4
0
0
1
π
π
xdxA == ∫ =4
π
]
2ln2
1
|1|ln2
2ln
|cos|ln 4
4
0
0
2
=
+−=
−== ∫π
π
xdxxtgA
auA .2ln2
1
4
−=
π
17. 1e1, −=+== − xxyey x
A Figura que segue mostra a região dada.
-1
1
2
3
x
y
] eedxeA xx +−=−== −
−
−
−
∫ 10
1
0
1
1
( )2
11
2
1
21
0
1
20
1
2 =+−
=
+=+=
−−
∫ xx
dxxA
aueeA .2
3
2
11 −=−−=
18. 2/e0,2,2 π==+== xxxyxseny
A Figura que segue mostra a região dada.
515
-π/2 π/2
-1
1
2
3
x
y
( )
ππ
ππππ
+=
+=
+=+= ∫
8
22
2
1.
42
22
2
2
0
2
0
1
22
xx
dxxA
( ) 1112
1
2cos2
12
22
00
2
=−−−=
−== ∫
ππ
xdxxsenA
auA .8
881
8
22 −+=−+=
πππ
π
19. 42,1 2 −−=−−= xyxy
A Figura que segue mostra a região dada.
516
-2 -1 1 2 3
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
( ) 244112942
242
3
1
23
1
=+−+=
+=−−−
−−
∫ xx
dxx
( )3
40
3
139
3
1193
31
3
1
33
1
2 =+
=+++=
+=−−−
−−
∫x
xdxx
auA .3
32
3
4072
3
4024 =
−=−=
20.
∈+
−==
3
4,
2,
10
3
5
3,cos
ππ
πxxyxy
A Figura que segue mostra a região dada.
π/3 2π/3 π 4π/3
-1
1
x
y
517
12
3cos
3/4
2/
1 +=−= ∫π
π
xdxA
24
5
20
3
40
3
5
2
15
8
2.
10
3
2
1.
4.
5
3
3
4.
10
3
2
1.
9
16.
5
3
10
3
2.
5
3
10
3
5
3
22
2
2
3
4
2
3
4
2
πππππ
ππ
π
ππ
π
ππ
π
π
π
π
=+−−=
+−−=
−=
+−−= ∫ x
xdxxA
auA .24
51
2
3
−+=
π
21. 3e12,1
,|1|
1−=+==
−= xxy
xy
xy
A Figura que segue mostra a região dada.
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5
-1
1
x
y
]
4ln
4ln1ln1ln1
1 0
3
0
3
1
=
+−=−−=−
=−
−
∫ xdxx
A
( )4
1
4
21
2
1
4
1
2212
0
3
20
2
21
=+−
=+−=
+=+=
−
∫−
xx
dxxA
518
]
( )
4
1
4
21
112
1
4
1
2212
3lnln1
21
21
1
2
1
4
1
3
1
3
3
=+−
=
−++−=
−−=+−=
=−=−=
−−
−−
−
−
−
−
∫
∫
xx
dxxA
xdxx
A
12ln4
13ln
4
14ln =++−=A
22. xyyx2
1e2 −==
A Figura que segue mostra a região dada.
1 2 3 4
-2
-1
1
2
x
y
3
164
0
2/1
1 =−−= ∫ dxxA
416.4
1
2.
2
1
2
14
0
24
0
2 ==
=
−−= ∫
xdxxA
auA .3
4
3
12164
3
16=
−=−=
23. 14e4 22 −=−= xyxy
A Figura que segue mostra a região dada.
519
-3 -2 -1 1 2 3
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
( ) ( )[ ] ( )
( ) 7218542
3
218221821442
3
0
33
0
2
3
0
22
=−=
−=−=−−−= ∫∫
xxdxxdxxxA
24. 7e12 =++= yxyx
A Figura que segue mostra a região dada.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
( )( )
3
164.
3
2
2
3
11 3
5
1
5
1
1
23
21
==
−
=−= ∫x
dxxA
520
( )
( ) ( )
2
25492
1577
277
7
5
27
5
2
=
−−−=
−=−= ∫
xxdxxA
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
512118
491002
1710727
3
2
27
2
3
1
71
10
7
2
10
1
10
7
10
1
3
2
3
2
1
−+=
−−−+=
−+
−
=
−+−−−= ∫∫
xx
x
dxxdxxA
..6
125
2
5121182
3
16auA =−+++=
25. 4e2,2 === − yyy xx
A Figura que segue mostra a região dada.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
x
y
521
] ( ) 16224442
2
2
2
1 =+=== −
−
∫ xdxA
( )2ln
341
2ln
1
2ln
22
0
2
0
2
2 =−−=
−==
−
−
−
−
∫x
x dxA
2ln
3
2ln
22
2
0
2
0
3 =
−== ∫
xx dxA
2ln
616 −=A u.a.
26. 0e2/, === xyxsenarcy π
A Figura que segue mostra a região dada.
-1 1
-π/2
π/2
x
y
== ∫1
0
1 dxxsenarcA
Usamos integração por partes:
( )c
xxsenarcx
x
dxxxxsenarcsenxdxarc
+−−
−=
−−= ∫∫
2
1
1
2
1
1.
2
12
2
] 12
11
0
2
1 −=−+=π
xxsenarcxA
522
auA .1122
=+−=ππ
27. 0e2,2,2
cosh2 ==−== yxxx
y
A Figura que segue mostra a região dada.
-2 -1 1 2
1
2
3
x
y
( )
aue
e
ee
hsenhsenx
hsen
dxx
hdxx
hdxx
hA
.1
4
2.8
0182
8
2cos4
2cos22
2cos2
11
2
0
2
0
2
0
2
2
−=
−=
−=
=
===
−
−
∫∫∫
28. ( )222e|2| −−=−= xyxy
A Figura que segue mostra a região dada.
523
-1 1 2 3 4
-1
1
2
x
y
( )[ ] ( )
( ) ( )3
5
3
16
3
121
3
1122
3
2222
2
1
32
1
2
1
=−
=−=+−−=
−−=−−= ∫
xxdxxA
( ) ( ) ( )
2
1
2
432
2
3
122142
12
22
2
1
22
1
2
=+−
=+−=
−+−−=
+−=+−= ∫ x
xdxxA
( ) auAAA .3
7
6
72
6
3102
2
1
3
522 21 ==
−=
−=−=
29. 1e,1 =−=−= xxyey x
A Figura que segue mostra a região dada.
-1 1
-1
1
2
x
y
524
( ) ]
2
1
2
2111
1
0
21
0
1
0
1
0
=
=−−
−=−−=−=−
∫
∫
xdxx
eexedxe xx
auee
eA .2
32
2
142
2
12
−=
+−=+−=
30. Encontrar a área das regiões ,e 21 SS vistas na figura a seguir
As Figuras que segue mostram as regiões dadas.
Região 1S
1 2
0.5
1
x
y
2
1
2
21
0
1 === ∫x
dxxA
2lnln1 2
1
2
1
2 === ∫ xdxx
A
2
14.
8
1
2.
4
1
4
2
0
22
0
3 ==
== ∫
xdx
xA
2ln2
12ln
2
1:1 =−+=AS
Região 2S
525
-4 4
-4
4
x
y
] ( ) 4ln41ln4ln4ln44 4
1
4
1
=−==∫ xdxx
[ ]au
AS
.4ln1616
4ln444:2
+=
+=
