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Equações .................................................................................................................... 6 Equações do primeiro grau com uma incógnita Princípio aditivo das igualdades Princípio multiplicativo das igualdades Equações equivalentes Equações do primeiro grau com duas incógnitas Sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitasInequação do primeiro grau ..................................................................................... 25 Princípio aditivo das desigualdades Princípio multiplicativo das desigualdadesÂngulos ....................................................................................................................... 33 Ângulos consecutivos Ângulos adjacentes Bissetriz de um ângulo Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V) Ângulos complementares Ângulos suplementaresRazão .......................................................................................................................... 47 Razão inversa Razão na forma percentualProporção .................................................................................................................. 53 Propriedade fundamental das proporçõesGrandezas proporcionais ......................................................................................... 58 Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Regra de três simplesSimetria ...................................................................................................................... 65Pesquisando e analisando gráficos ......................................................................... 67
7º Ano
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Equações
Equação – prefixo equa, em latim, quer dizer igual.
Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual aparecem uma ou mais letras que representam números desconhecidos, chamados de incógnitas.
Dona Cristina levantou cedo e foi à feira. Além das verduras e frutas resolveu também levar um frango para o almoço de domingo.
Ao verificar o feirante pesar o frango, dona Cristina ficou curiosa, pois a balança utilizada não era eletrônica, comum na maioria dos comércios atualmente, e sim uma balança mecânica, conforme ilustração a seguir:
Dona Cristina, sem entender muito bem, perguntou ao feirante:
Como o senhor saberá o peso dos frangos?
A utilização desse tipo de balança é simples, eu vou explicar.
A balança nos indica uma igualdade.
A balança significa equilíbrio, e como temos dois pratos de pesagem, logo os pesos nos pratos devem ser iguais para que a balança permaneça em equilíbrio.
observe:
Situação-problema
=
EQUAÇÕES Do PRIMEIRo GRAU CoM UMA InCÓGnITA
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Em Matemática, esse tipo de situação é chamada de equação e pode ser descrita da seguinte forma:
Quando colocamos o frango de um lado da balança, ela fica desequilibrada.
Veja:
A balança em desequilíbrio significa que o peso de um de seus lados é maior do que o peso do outro.
Para reequilibrar esta balança, precisamos colocar alguns pesos do lado oposto ao frango, até que se faça valer a igualdade inicial, isto é, o equilíbrio.
Observe que a balança voltou a ficar em equilíbrio.
Isto significa que o peso do frango que está de um lado da balança é igual ao peso do lado oposto.
Logo: frango = 2 kg
A balança representa a igualdade (=).
O frango representa a incógnita, isto é, o valor desconhecido (x).
E os pesos, o valor numérico que torna verdadeira essa igualdade.
Em geral, a incógnita ou valor desconhecido é representado pelas letras do nosso alfabeto.
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Neste exemplo, matematicamente temos: x = 2 kg
(2º membro)
Ou seja, o frango pesa 2 kg. x = 2 kg
a b(1º membro)
1º membro Todos os valores que aparecem antes do sinal de igual.2º membro Todos os valores que aparecem depois do sinal de igual.
A balança está em equilíbrio. Qual é o peso da melancia?
Definição: Equação de 1º grau é toda equação na incógnita x que pode ser escrita na formaax + b = 0, em que a e b são coeficientes numéricos, com a ≠ 0.
O objetivo, ao resolvermos uma equação, é encontrar o valor desconhecido.
Exemplo:
Simbolicamente temos: x + 3 = 10
Precisamos encontrar o valor de x.
Qual o valor que somado a 3 resulta 10?
Eu sei! É o 7, pois 7 + 3 é igual a 10.
Isso mesmo! Parece que você entendeu.
É, eu entendi, mas sempre teremos que ficar tentando descobrir o valor de x?
Não. Existem algumas regras práticas que facilitam encontrarmos o valor de x. Observe o processo de resolução.
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c) – 5 + x + 3 = 2 – 5 + x + 3 = 2
– 5 + 5 + x + 3 – 3 = 2 + 5 – 3 ou – 2 + x = 2
x = 4 – 2 + 2 + x = 2 + 2
x = 4
a) x – 8 = 13
x – 8 + 8 = 13 + 8
x = 21
b) 7 – 4 + x – 1 = 8 – 17
7 – 4 – 1 + x = 8 – 17
2 + x = – 9
2 – 2 + x = – 9 – 2
x = – 11
Adicionando ou subtraindo um mesmo número nos dois membros de uma igualdade, mantemos essa igualdade:
Ou seja, quando somamos ou subtraímos a mesma quantidade nos dois pratos de uma balança em equilíbrio, ela continua em equilíbrio.
Se a = bEntão: a + c = b + c
Se a = bEntão: a – c = b – c
De acordo com o exemplo anterior temos:
x + 3 = 10
• Para isolarmos o x, precisamos deixá-lo sozinho em um dos lados da igualdade.
•O valor que impede que x fique sozinho no primeiro membro é o número 3. Logo, utilizaremos o princípio aditivo da igualdade, subtraindo-se 3 dos dois membros.
Atenção!Dois números que têm o mesmo valor absoluto e sinais
diferentes são chamados opostos.
Exemplos:
– 1 é o oposto de + 1, assim como, + 1 é o oposto de – 1.– 2 é o oposto de + 2, assim como, + 2 é o oposto de – 2.
outros exemplos:
PRInCíPIo ADITIVo DAS IGUAlDADES
x + 3 = 10
x + 3 – 3 = 10 – 3 x = 7
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Atenção com os sinais!
PRInCíPIo MUlTIPlICATIVo DAS IGUAlDADES
Multiplicando ou dividindo por um mesmo número diferente de zero ( 0 ), os dois membros de uma igualdade, mantemos essa igualdade:
Se a = bEntão a . c = b . c
Se a = b
Então = ac
bc
Ou seja, quando multiplicamos ou dividimos a mesma quantidade nos dois pratos de uma balança em equilíbrio, ela continua em equilíbrio.
A divisão é a operação inversa da multiplicação e vice-versa.
lembre-se:
Exemplo: 2x = 6
outros exemplos:
• Novamente precisamos isolar o x, deixando-o sozinho em um dos lados da igualdade.• O valor que impede que x fique sozinho no 1º membro é o 2. Logo, utilizaremos o princípio
multiplicativo das igualdades, dividindo por 2 os dois membros.
a)
simplificando
5x + 2 – 3x + 7 = – 1 5x – 3x + 2 + 7 = – 1 2x + 9 – 9 = –1 – 9 2x = –10
b) – 8x + 3 = 5x – 1 – 8x + 3 – 5x = 5x – 1 – 5x – 13x + 3 = – 1 – 13x + 3 – 3 = – 1 – 3
2x2
= -
102
-13x-13
=
-4-13
x =
413
x = – 5
Neste caso, devemos deixar os valores de x somente de um lado da igualdade.
÷2
÷2
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Equações equivalentes são aquelas que apresentam a mesma solução ou raiz.
Exemplo:
1. Complete o quadro abaixo:
x + 4 = 6 S = { 2 }x = 6 – 4 S = { 2 }x = 2 S = { 2 }
Todas essas equações apresentam a mesma solução
ou raiz. S = { 2 }
c)
EQUAÇÕES EQUIVAlEnTES
simplificando
3x4
=
12
6x6
=
46
x =
46
x =
4÷2
6÷2
=
23
3x . 2 = 4 . 1 6x = 4
2. Dois meninos, um de 30 Kg e outro de 40 Kg, equilibram três irmãos em uma gangorra. Um dos irmãos pesa 20 Kg e os outros dois são gêmeos idênticos cujos pesos são iguais. Quanto pesa cada um dos gêmeos?
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3. O perímetro do retângulo abaixo é 60 m.
2x
x
a) Escreva uma equação para o perímetro do retângulo.b) Resolva essa equação e determine quanto mede os lados desse retângulo.
Lembre-se: Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.
4. Qual é a idade atual de Vinícius se daqui a 8 anos ele terá 26 anos?
5.
6. Mariana e Norma são duas amigas que colecionam papéis de carta. Mariana resolveu dar 13 papéis de sua coleção para Norma e ainda ficou com 45. Quantos papéis tinha Mariana antes de dar alguns deles para Norma?
a) 3x = 9 b) 7y – 5 = 5y – 9 c) 2x + 6 = x + 2 d) 3a – 4 + a = 2a
7. Resolva as equações:
8. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Minha idade é...
Qual é o número cujo triplo menos 12 é igual a 30?
cidade A cidade B
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9. A soma das idades de Ana Beatriz e Giovanna é 22 anos. Descubra as idades de cada uma delas, sabendo que Giovanna é 4 anos mais nova do que Ana Beatriz.
10. Determine o valor de x em cada uma das equações abaixo:
11. Observe os pares de equações abaixo e identifique as equivalentes.
(Olimpíada de Matemática-SP) Numa balança de Roberval
(de dois pratos), um tijolo (inteiro), colocado num dos pratos, é
equilibrado colocando-se no outro prato um peso de 34
de quilo
e 34
de tijolo. Qual é o peso do tijolo inteiro?
a) x + 5 = 0 e x = – 5 b) 3x = 3 e x = 32
c) x – 4 = 6 e x + 4 = 6 d) 2x = – 20 e x = – 10
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Exemplos:
EQUAÇÕES Do PRIMEIRo GRAU CoM DUAS InCÓGnITAS
Existem algumas situações em que uma sentença matemática nos apresenta duas incógnitas,
como por exemplo: x + y = 3, quando isso ocorre denominamos esta sentença de equação do
1º grau com duas incógnitas.
• É possível encontrarmos infinitas soluções para uma equação do 1º grau com duas incógnitas.
• As duas incógnitas ( x, y ) que representam a solução da equação são chamadas de par ordenado, onde o primeiro número representa sempre o valor de x e o segundo representa sempre o valor de y.
Indicamos: Par ordenado ( x, y ).
Fonte: Texto disponível em: <http://www.portaldascuriosidades.com/forum/index.php?topic=35324.0> Acesso em: jun.2010.
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E onde nós utilizamos esta equação de 1º grau com duas incógnitas?
É possível utilizarmos em nosso dia-a-dia?
Claro que sim! Observe a situação a seguir.
Para solucionarmos esse problema, primeiramente, devemos indicar as idades de cada uma delas por uma incógnita.
x = idade de Shala y = idade de Tabata
x + y = 11
Vamos montar uma tabela para determinar as possíveis idades.
Os valores indicados na coluna dos pares ordenados são as possíveis soluções do problema.
Ao somar as idades de Shala e Tabata obtemos um total de 11 anos. Quais são as possíveis idades de cada uma delas?
Situação-problema
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• A soma dos pontos dos times é representada por x + y = 83.• O número de pontos do campeão é igual ao número de pontos do vice mais um ponto,
representado por x = y + 1.
SISTEMA DE EQUAÇÕES Do PRIMEIRo GRAU CoM DUAS InCÓGnITAS
MÉToDo DA SUBSTITUIÇÃo
Ao término do campeonato paulista, o campeão tinha um ponto de vantagem sobre o vice-campeão. Durante todo o campeonato os dois times somaram juntos 83 pontos. Quantos pontos cada um acumulou nesse campeonato?
x número de vitórias do campeãoy número de vitórias do vice-campeão
x + y = 83 (a)x = y + 1 (b)
Como x já está isolado na equação (b), basta substituirmos o valor de x na equação (a).
Podemos solucionar esse sistema de duas formas:
Escreve-se a equação (a) em função de (b) ou vice-versa colocando-se o valor obtido na outra equação, que é então resolvida.
x + y = 83 (a)x = y + 1 (b)
Como y representa o número de pontos do vice-campeão, logo concluímos que o vice-campeão obteve 41 pontos.
E x? Quanto vale?
Situação-problema
Agora que já sabemos o valor de y, basta substituí-lo em qualquer equação para encontrarmos o valor de x.
x + y = 83 onde, x = (y + 1)
(y + 1) + y = 83
y + 1 + y = 83
2y + 1 = 83
2y + 1 – 1 = 83 – 1
2y2
=
822
x = 41
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x + y = 83 (a) x = y + 1 (b)
incógnitas no 1° membro x – y = y – y + 1
x – y = 1
incógnitas no 1° membro
x = y + 1 onde y = 41
x = 41 + 1
x = 42
Veja:
Como x representa o número de pontos do campeão, logo concluímos que o campeão obteve 42 pontos.
Somam-se as equações (a) e (b) para eliminarmos uma das incógnitas.
x + y = 83 (a)x = y + 1 (b)
Primeiro, devemos isolar as incógnitas no 1º membro.
MÉToDo DA ADIÇÃo
Isso mesmo.
x = 842
x = 42
Logo, x + y = 83 (a) x – y = 1 (b)
Agora é só somar as equações.
observe:
x + y = 83 + x – y = 1 2x = 84
Agora eu sei! Como já sabemos o valor de x, basta substituí-lo em qualquer equação para determinarmos o valor de y.
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x + y = 17 (a)
2x + 4y = 48 (b)
Agora, substituímos y em uma das equações para determinar x.
x + y = 17 (a) onde, y = 7
x + 7 = 17
x + 7 – 7 = 17 – 7
x = 10 Solução (10, 7)
Método da adição (ou subtração)
2y2
=
142
outro exemplo:
Veja:
x + y = 83 onde, x = 42
42 + y = 83
42 – 42 + y = 83 – 42
y = 41
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (42, 41).
Determine o conjunto solução do sistema: x + y = 17 (a)
2x + 4y = 48 (b)Método da substituição
x + y = 17 (a) 2x + 4y = 48 (b) onde, x = 17 – y
x + y – y = 17 – y 2(17 – y) + 4y = 48
x = 17 – y 34 – 2y + 4y = 48
34 – 34 + 2y = 48 – 34
y = 7
Na equação (b), todos os elementos podem ser simplificados por 2.
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x + y = 17 onde y = 7
x + 7 = 17
x + 7 – 7 = 17 – 7
x = 10
Solução (10, 7)
neste caso, iremos subtrair as equações.
x + y = 17 x + 2y = 24 – y = – 7 y = 7
observe:2x + 4y = 48 (÷2) Então: x + y = 17 (a)
x + 2y = 24 x + 2y = 24 (b)
Tanto o método da substituição quanto o método da adição (ou subtração), nos indicam uma mesma solução para o sistema. Então, escolha a melhor forma de resolução e divirta-se com as atividades a seguir.
1. Igor e Wellington colecionam figurinhas do campeonato brasileiro de futebol, os dois amigos têm juntos 15 figurinhas da equipe do Cruzeiro. Quais os possíveis números de figurinhas dessa equipe que cada um possui?
2. Num torneio de voleibol, somam-se 3 pontos por vitória e 1 ponto por derrota. Se a equipe de Ana Claudia obteve 15 pontos, quantas partidas sua equipe venceu e quantas perdeu? Indique todas as possibilidades.
Agora, substituindo o valor de y em uma das equações.
–
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6. (Moji-SP) Se x – y = 0 , então x2 + y2 é igual a: 2x + 3y = 5
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
4. Resolva os seguintes sistemas:
3. A soma entre as idades de Lauro e Vinícius é de 22 anos e a diferença é de 8 anos. Quantos anos têm cada um, sendo Lauro o mais velho?
5. Em um estacionamento temos x motos e y carros. São 15 veículos e 50 pneus. Quantas motos e quantos carros há nesse estacionamento?
8. Veja na tabela as taxas de crescimento vegetativo de alguns países da América em 2009.
7. (Cesgranrio-RJ) Numa carpintaria empilham-se 50 tábuas, algumas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é 154 cm. A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é:
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 25
No sistema de equações a seguir, os números x e y representam as taxas de dois desses países. Resolva o sistema e descubra quais são esses dois países. Faça uma pesquisa e verifique o que significa crescimento vegetativo.
x – y = 0,82x – 3y = 0,6
a) x – y = 1 x + y = 9
b) x + y = 4 2x – y = 5
b) 7x + y = 42 3x – y = 8
c) 4x = y x + y = 5
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(A) R$ 35,00 e R$ 20,00. (B) R$ 20,00 e R$ 35,00.(C) R$ 25,00 e R$ 30,00.(D) R$ 30,00 e R$ 25,00.
9. (Saresp-SP) Na promoção de uma loja, uma calça e uma camiseta custam juntas R$ 55,00. Comprei 3 calças e 2 camisetas e paguei o total de R$ 140,00. O preço de cada calça e de cada camiseta, respectivamente, é:
Um queijo pesa 1 Kg + meio queijo.Quanto pesa 1 queijo e meio?
Desafio 1
Desafio 2
Um cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos pesadas cargas. Lamentava-se o cavalo de seu revoltante fardo quando o burro lhe disse:
De que te queixas? Se eu tomasse um saco dos teus, minha carga passaria a ser o dobro da tua. Por outro lado, se eu te desse um de meus sacos, tua carga igualaria a minha!
Quantos sacos levava cada um dos animais?
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Resolva os sistemas e complete a numeradinha primeiro com o valor de x, depois com o de y, ambos por extenso. (Obs.: o quadrado pintado de amarelo separa o valor de x do valor de y).
nUMERADInHA
1. 2x + y = 10 3x – 2y = 1
2. 2x + 3y = 10 4x – y = –1
3. x + y = 20 2x + 4y = 56
4. x + y = 23 2x +4y = 82
5. x + y = 25 x – y = 13
6. x = 3y x + y = 100
7. x = 2y x + y = 30
8. x + y = 4 2x – 3y = 3
9. x + y =17 6x = 7y + 24
10. 2x + 3y = 19 x – y = –3
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Nome: _______________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. Escreva as questões em linguagem matemática: use “x” para representar as variáveis.
a) O dobro de um número: __________b) Um número menos 12: _________c) O triplo de um número mais 1: __________d) Metade de um número: __________e) O quádruplo de um número menos 8: __________
2. (ENCCEJA-2002) Considere a balança da figura em equilíbrio. O número representado pela letra x é:
(A) 7. (B) 6.
(C) 5. (D) 4.
3. Rita e Filipa participaram de um processo de colheita de maçã. Ao todo as duas colheram 300 kg de maçãs, tendo Rita colhido o quádruplo da quantidade de maçãs que Filipa colheu. Supondo que f represente a quantidade, em kg, de maçãs colhidas por Filipa.
a) Qual das seguintes equações expressa o problema enunciado?
(A) 4f = 300 (B) f + 4f = 300 (C) 300 + f = 4f (D) f + 4 + f = 300
b) Quantos quilos de maçãs colheu cada uma das amigas?
4. (UF-CE) O valor de x que é solução da equação 12
+
13
+
14
=
x48
é igual a:
(A) 36 (B) 44 (C) 52 (D) 60
5. (Saresp-2008) Determine um número real “a” para que as expressões (3a + 6)
8e
(2a + 10)6sejam iguais.
(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 22
x kg x kg 5kg 13kg
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6. Uma casa com 260m² de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m²?
(A) 18 m² (B) 35m² (C) 40m² (D) 52m²
7. (Saresp-2008) Numa adição de três parcelas, a primeira é 12
da segunda e esta segunda
parcela é 13
da terceira. Se a soma é 297, as parcelas são:
(A) 27, 54 e 162. (B) 33, 66 e 198. (C) 81, 99 e 162.(D) 27, 54 e 198.
8. Numa caixa registradora existem 40 notas: umas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00, num total de R$ 325,00. Chamando de x o número de notas de R$ 10,00 e de y o número de notas de R$ 5,00, podemos dizer que o número de notas de R$ de 10,00 e R$ 5,00, respectivamente, são:
(A) 13 e 27.(B) 22 e 18.(C) 25 e 15.(D) 20 e 20.
9. (Colégio Militar de Porto Alegre) Em uma caixa, que custa R$ 30,00, são acondicionados 5 kg de maçãs e de peras. Se o quilograma de peras custa R$ 4,00 e o quilograma de maçãs custa R$ 9,00, podemos afirmar que, nessa caixa, existem:
(A) 2 kg de peras.(B) 3 kg de peras.(C) 4 kg de peras.(D) 3 kg de maçãs.
10. Em um terreno há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos?
x + y = 23 2x + 4y = 82
(A) x = 1 e y = 22(B) x = 3 e y = 20(C) x = 2 e y = 21(D) x = 5 e y = 18
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25
Veja: x + 5 > 6x
1° membro 2° membro
5 = 5 igualdade
5 ≠ 3
5 > 2
5 < 6
5 ≠ 6
Inequação do Primeiro Grau
Se considerarmos como x o volume da embalagem, teremos:
Para preparar um amaciante de roupas, Dona Dirce lê na embalagem que deve acrescentar ao seu conteúdo 5 litros de água. Ela obteve com essa mistura um volume maior que o sêxtuplo do volume inicial da embalagem. Como podemos representar tal situação com essa desigualdade?
x + 5 > 6x
Que é uma inequação do primeiro grau com uma incógnita.
Situação-problema
Uma sentença será chamada de inequação se for expressa por uma desigualdade.
desigualdades
Sinais de desigualdade
Simbologia leitura
≠ diferente
> maior que
< menor que
≥ maior ou igual
≤ menor ou igual
Como nas equações, as inequações também possuem dois membros.
Para que possamos resolver a inequação do exemplo anterior e todos os outros tipos de inequações, é necessário conhecermos as propriedades fundamentais da desigualdade.
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a) 2x > 5
4 . (2x) > 4 . 5
8x > 20
Exemplos:
PRInCíPIo ADITIVo DAS DESIGUAlDADES
PRInCíPIo MUlTIPlICATIVo DAS DESIGUAlDADES
Se adicionarmos ou subtraírmos aos dois membros de uma desigualdade uma mesma quantidade “m” (m > 0 ou m < 0), a desigualdade não mudará de sentido.
Exemplos:
a) 2x + 5 > x
2x + 5 – 5 > x – 5 Neste caso, subtraímos 5 nos dois membros da desigualdade.
2x > x – 5
2x – x > x – x – 5 E aqui subtraímos x, também nos dois membros.
x > – 5
b) 2x – 3 < x + 3
2x – 3 + 3 < x + 3 + 3 Somando 3 nos dois membros.
2x < x + 6
2x – x < x – x + 6 Subtraindo x nos dois membros.
x < 6
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma desigualdade por uma mesma quantidade m (m > 0), ela não muda de sentido, mas, ao multiplicá-los por uma quantidade m (m < 0), a desigualdade mudará de sentido.
Veja que 4 > 0. Logo, o sinal da desigualdade não muda.
Note também que 8 > 0. Desse modo, o sinal da desigualdade permanece o mesmo.
8x8
>
208
x > 52
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27
10 > 4
– 3 . 10 < – 3 . 4
– 30 < – 12
- 8x-8
>
-20-8
x > 52
Veja que – 4 < 0. Logo, o sinal da desigualdade muda de lado.
Note também que – 8 < 0. Desse modo, o sinal da desigualdade muda novamente.
observe:
observe:
5 > 2
3 . 5 > 3 . 2
15 > 6
10 > 4
102
>
42
5 > 2
– 30 < – 12
–30–6
>
–12–6
5 > 2
Cinco é maior que dois.
Dez é maior que quatro.
Dez é maior que quatro.
Menos trinta é menor que menos doze.
Quinze também é maior que seis.
Menos trinta também é menor que menos doze.
Cinco também é maior que dois.
Cinco também é maior que dois.
b) 2x > 5
– 4 . (2x) < – 4 . 5
– 8x < – 20
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28
1. Complete a tabela abaixo:
2. Numa premiação em que Gustavo, Danilo, Marcelo, Douglas e Alexandre participaram, as respostas das inequações correspondiam a um certo prêmio. Vamos descobrir qual prêmio cada um ganhou?
Sentença equação inequação 1° membro 2° membro
3x + 6 = 5
– 4x + 5 > 2
2x – 12 ≥ x + 4
– 5x – 2x < 6 + 5x
x + 4 ≤ 3 + 5
7x3
- 10 =
x4
+ x
Ao utilizarmos os sinais (menor ou igual, ≤) ou (maior ou igual, ≥), o processo de resolução das inequações será o mesmo visto anteriormente.
Veja:
a) x + 1 ≥ 5 b) 2x + 3 ≤ 6 c) – 4x – 1 ≥ 5 x + 1 – 1 ≥ 5 – 1 2x + 3 – 3 ≤ 6 – 3 – 4x – 1 + 1 ≥ 5 + 1 x ≥ 4
2x2
≤
32
-4x-4
≤
6-4
x ≤ 32
x ≤ -
32
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29
4. Determine a solução das seguintes inequações:
3. Observe que a balança não está em equilíbrio.
a) Qual a inequação que representa essa situação?b) Quais os possíveis valores para x?
8. A população brasileira está vivendo mais. São os indicadores de esperança de vida ao nascer e de taxa de mortalidade infantil que confirmam esse processo. De modo geral, esses índices permitem avaliar as condições de vida e o estado de saúde de um país. Confira o gráfico:
5. Qual é o valor inteiro que podemos atribuir à incógnita x na figura para que seu perímetro seja maior que 48 unidades de comprimento?
6. Indicando por x o número de letras de uma palavra, assinale a palavra para qual a inequaçãox < 6 pode ser aplicada:
(A) Matemática (B) professor (C) quadrado (D) lados
7. Numa cidade, cada indústria que se instala recebe benefícios fiscais, desde que o número de empregados residentes seja sempre maior que o número de empregados vindos de outras cidades. Sabendo que, numa certa indústria , 20 empregados residem nas cidades vizinhas e sendo x o número de empregados que residem na própria cidade, qual é a inequação que satisfaz a condição da indústria receber os benefícios fiscais?
(A) x < 20 (B) x ≥ 20 (C) x > 20 (D) x ≤ 20
a) 2 ( x – 3 ) – 3 ( 2x + 1 ) ≤ 4 d) x ( 4 ) – 3 + 2 (– 2x + 1 ) < x + 3b) 5 ( 2x – 3 ) – 2 ( 3x – 1 ) > 5 – x e) ( 2 + 5x ) (– 3 ) + 1≥x – 6c) 3x < x + 6 f) 9x – 8 > 11x – 10 4x
3x
x
x
2x
x
1kg 1kg
1kg 10kg
AnoEsperança de vida ao
nascer, por anos de idade1920 421940 421950 461960 521970 541980 541990 602000 682009 69
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30
O aumento da expectativa de vida do brasileiro é resultado da melhoria das condições de vida (saneamento básico, assistência médica,...) e da redução da taxa de mortalidade infantil, conforme as indicações observadas no gráfico.
Alguns dos fatores que estão contribuindo para a queda da mortalidade infantil no país são: melhorias na área de saneamento básico, a preocupação com a educação das mães, a expansão das vacinas, o desenvolvimento e implantação de programas de nutrição, programas de assistência às gestantes/mães, de aleitamento, entre outros.
Observando o gráfico e a tabela, responda:
a) Entre os anos de 1920 e 1960 a esperança de vida aumentou ou diminuiu?
b) De acordo com o gráfico, coloque em ordem crescente o número de óbitos entre as regiões do país. (Utilize os símbolos <, > ou =).
c) Considerando as informações dadas, na sua opinião, a qualidade de vida tem alguma relação com os fatos narrados? Justifique sua resposta.
Em 1631, o inglês Thomas Harriot criou os sinais < (menor que) e > (maior que) para representar simbolicamente desigualdades.
Se eu conseguisse o dobro da quantia que
tenho, ainda assim não conseguiria comprar o
carro.
Se eu conseguisse um desconto de
1000 reais, poderia comprar o carro e não me sobraria
nada.
Um terço da quantia de que disponho não
atinge a metade do valor do carro.
Com metade da quantia que tenho posso comprar o
carro e ainda sobra dinheiro.
Compare as sentenças a seguir relacionando-as com o que pensou cada uma das pessoas que leu o anúncio.
VENDE-SE ESTE CARRO12 MIL REAIS
x2
> 12000 2y < 12000 w = 11000
m3
< 6000
Fonte: Trecho disponível em: <http://www.colegioclarasuiter.com.br/sistemas/comunicado /2009/setimo_ano.pdf> Acesso em jun.2010.
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Nome: ________________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. Quantos números inteiros positivos solucionam a inequação e3x - 2x-6
< –1?
(A) um.
(B) três.
(C) dois.
(D) Infinitos.
2. A maior solução inteira de 3(x - 2) < x é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
3. O número – 5 é solução de qual inequação.
(A) 2x < 10
(B) 1 – 2x < 2
(C) x > – 2
(D)x3
> 0
4. Cada inequação abaixo possui uma solução. Encontre a solução de cada uma e associe
com a coluna a sua direita.
(A) 2 – x > 9 ( ) x > – 12
(B) 2(x – 1) < 3x + 4 ( ) x < 7
(C) x +( x + 1) > 3(1 – x) ( ) x < –7
(D) x – 1 > – 2 – x ( ) x > 2
(E) 3(x + 1) < 2(x – 8) ( ) x < – 19
(F) 4(x + 2) > 2(x – 1) + 3(x + 1) ( ) x > – 6
(G) 3x + 1 > 7 ( ) x > 25
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5. Verdadeiro ou falso?
(A) Se –2x > 4, então x < – 2. ( )
(B) Se – 2x > 8, então x < 4. ( )
(C) Se 4a > 4b, então a > b. ( )
(D) Se – 6 < – x, então 6 > x. ( )
(E) Se – 3x > – 15, então x < 5. ( )
6. Mesmo que eu aumente o meu dinheiro em R$ 1.000,00 e depois dobre o resultado, ainda
vou ter menos do que o valor da moto que quero comprar que custa R$ 4.000,00. Então eu
tenho
(A) mais de R$ 1.000,00.
(B) menos de R$ 1.000,00.
(C) R$ 2.000,00.
(D) R$ 3.000,00.
7. (ENCCEJA-2002) Uma agência de modelos está selecionando jovens para uma propaganda
de sorvetes. Entre as exigências, a agência solicita que os jovens tenham altura mínima de
1,65 m e máxima de 1,78 m. Se x é um número racional que representa a altura, em metros,
de um jovem que pode ser escolhido para essa propaganda, é correto afirmar que
(A) x < 1,78
(B) x > 1,65
(C) 1,65 ≤ x ≤ 1,78
(D) 1,65 ≤ x ≥ 1,78
8. (SARESP-2005) O preço de uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa, chamada
de bandeirada, de R$ 3,00, mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Uma firma contratou um
táxi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que
R$ 60,00. O número x de quilômetros que o motorista do táxi pode percorrer nesse passeio
é representado por:
(A) x < 50
(B) x < 60
(C) x < 114
(D) x < 120
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33
Na mesma roda gigante, temos ângulos adjacentes.Os ângulos û e t são consecutivos e adjacentes.
^
Isso mesmo! Se dois ângulos não forem consecutivos, não podemos classificá-los como adjacentes.
ÂnGUloS ADjACEnTES
Na roda gigante por exemplo, podemos observar alguns ângulos, dos quais z, y e x são consecutivos.
•AÔB e BÔC são consecutivos.•BÔC e CÔD são consecutivos.
Dois ângulos que têm o mesmo vértice e um lado comum, são denominados ângulos consecutivos.
Considere os ângulos AÔB e BÔC na figura:
Outro exemplo:
Então, AÔB e BÔC são consecutivos.
Considerando-se agora os ângulos AÔB e AÔC, da mesma figura, temos que:
•O vértice ( O ) é o mesmo para os dois ângulos;•O lado OA é comum a AÔB e AÔC .
Portanto, os ângulos AÔB e AÔC, são consecutivos.
Dois ângulos consecutivos que não têm ponto interno comum são denominados ângulos adjacentes.
Veja que: O lado OB é comum a AÔB e BÔC.
ÂnGUloS ConSECUTIVoS
Ângulos
Dois ângulos só podem ser adjacentes se forem consecutivos?
C
B
AO
vértice da figura
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34
Exemplos:
Observe que os ângulos GÔH e CÔD não são consecutivos, logo, também não podem ser adjacentes.
Os ângulos BÔA e HÔA são consecutivos, pois possuem o mesmo vértice (O) e OA é lado comum aos ângulos. Como não possuem nenhum ponto em comum podemos chamá-los de ângulos adjacentes.
Os ângulos BÔA e BÔH são consecutivos, pois possuem o mesmo vértice (O) e OB é lado comum aos ângulos. Porém, não são adjacentes, pois possuem pontos internos em comum.
a) Os ângulos FÊG e GÊH _____ consecutivos (são / não são).b) Os ângulos FÊG e GÊH _____ ponto interno comum (têm / não têm).c) Os ângulos FÊG e GÊH ______ adjacentes (são / não são).d) Os ângulos FÊG e FÊH _____ ponto interno comum (têm / não têm).e) Os ângulos FÊG e FÊH ______ adjacentes (são / não são).f) Os ângulos FÊG e FÊH _____consecutivos. (são / não são).
1. Complete as lacunas de acordo com a figura:
a)
b)
c)
B
B
C
G
O
H
D
A
A
H
H
O
O
H
E F
G
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BISSETRIz DE UM ÂnGUlo
2. Observe as figuras abaixo e indique os vértices, lados e ângulos de cada uma.
Ângulo________a) Vértice ________
Lados_________
Ângulo________
b) Vértice ________
Lados_________
Ângulos________c) Vértice ________
Lados_________
Ângulos________d) Vértice ________
Lados_________
Os ângulos são comuns em nosso dia-a-dia. Observe o sinal de trânsito abaixo que representa uma curva acentuada à direita. Ele forma um ângulo de 90º.
Curva acentuada à direita Geometricamente
JH
O I
CA
B
DO
A
OB
F
G E
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36
Outro exemplo são as ruas que se cruzam, elas também formam ângulos.
Em alguns casos temos ângulos retos (90º), ângulos agudos (menor que 90º) ou obtuso (maior que 90º).
Puxa! É mesmo! Se prestarmos atenção, encontraremos ângulos em todo lugar.
É isso aí! E a partir de agora aprenderemos o que é bissetriz de um ângulo.
Para encontrarmos a bissetriz de um ângulo qualquer, basta dividirmos este ângulo ao meio.
Observe os exemplos a seguir:
Veja como fica o ângulo de 90º ao traçarmos sua bissetriz.
Este é um ângulo reto, isto é, de 90º.
Não se preocupe, é simples. Eu vou explicar!
Xiii! Ângulo eu até sei identificar, mas bissetriz... não faço ideia do que seja!
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A bissetriz é a semirreta que divide o ângulo em dois outros ângulos congruentes.
bissetriz do ânguloObserve que a bissetriz dividiu
o ângulo de 90º em dois ângulos congruentes de 45º.
Determine a bissetriz dos ângulos.
Outros exemplos:
Agora que já sabemos o que são ângulos e vértices, podemos então definir o que são ângulos opostos pelo vértice.
Observe as bandeiras abaixo:
Temos aqui a bandeira (1) do Rio de Janeiro (RJ), estado brasileiro, com aproximadamente 16.010.429 habitantes e uma área de 43.696 km2, localizado na região sudeste.
A bandeira (2) trata-se de um país chamado Jamaica (JAM), localizado na América Central com uma população de aproximadamente 2.651.000 habitantes e uma área 10.991 km2.
1 2
Rio de Janeiro - RJ Jamaica - JAM
ÂnGUloS oPoSToS PElo VÉRTICE (o.P.V.)
45º
45º
a)
b)
30º15º15º
bissetriz
bissetriz
120º 60º60º
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Isso mesmo! E sua população também é maior.
Representando as bandeiras com formas geométricas básicas e planas teremos:
Veja que a partir do vértice, podemos determinar alguns ângulos.
O ponto o nos indica o vértice das figuras.
Puxa que curioso! O estado do Rio de Janeiro é bem maior que o país da Jamaica.
Essas são observações importantes, mas agora vamos nos concentrar nas bandeiras.
O O
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Vamos analisar um ponto importante. Observe que os ângulos opostos são iguais.
Puxa, é mesmo! Temos o vértice, e os ângulos opostos a ele são iguais.
É, você já entendeu. Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.
Vamos observar alguns exemplos:
Para que dois ângulos sejam opostos pelo vértice, obrigatoriamente, esses ângulos devem ser congruentes.
Atenção!
b) Qual a medida x do ângulo abaixo?
Portanto: x = 120º.
Observe que os ângulos 120º e x são opostos pelo vértice, logo, x também equivale a 120º.
a)
B
D
O
C
A
120º
x
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40
Exemplo:
Dois ângulos de medidas x e y são complementares se:
x + y = 90º
Neste caso um ângulo é o complemento do outro.
Exemplo:
Dois ângulos de medidas x e y são suplementares se:
Neste caso um ângulo é o suplemento do outro.
x + y = 180º
1. Trace a bissetriz com origem em O, passando por C.
a) b)
ÂnGUloS CoMPlEMEnTARES
ÂnGUloS SUPlEMEnTARES
xx + y = 90ºy
x = 50º
y = 40º=+
x = 115º y = 65ºx + y = 180º
yx+ =
CCB
B OO A
A
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41
2. Com o auxílio de um transferidor, trace a bissetriz dos ângulos abaixo.
3. Observe a figura e calcule o valor de x, sabendo que OC é bissetriz do ângulo AÔB.
4. Indique os ângulos o.P.V. apresentados na figura.
5. A metade da medida do suplemento de um ângulo é 80º. Qual é a medida desse ângulo?
a) Quais as medidas de cada um dos ângulos indicados?
b) Quais os complementos dos ângulos AÔB e AÔC?
c) Quais os suplementos dos ângulos AÔD, AÔC e AÔB?
d) Trace a bissetriz dos ângulos CÔD e BÔD.
e) Indique, se houver, ângulos congruentes, consecutivos e adjacentes.
6. Observando os ângulos assinalados no transferidor, responda:
a)b)
B
A
3x + 30º
2x + 45º
A
O
C
B
a bc
de
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juliana Adriana
9. Juliana e Adriana construíram um código de contagem secreta para que ambas consigam descobrir quantas figurinhas dos “Rebeldes” cada uma possui.
7. A soma das medidas de dois ângulos é igual a 60º e a diferença entre elas é de 44º. Quais são essas medidas?
8. A idade de Júnior é o mesmo valor do ângulo que representa o complemento de 59º. Qual a idade de Júnior?
a) Quantas figurinhas têm Adriana? E Juliana?b) Quantas figurinhas faltam para que cada uma delas complete a coleção, sabendo que
a coleção completa é composta por 120 figurinhas?
Sabendo que x representa a quantidade de figurinhas que cada uma possui, responda:
Caça-palavras Leia o texto com atenção e em seguida identifique os termos em destaque no caça-palavras.
Estudo dos Ângulos
o transferidor:
Ângulos consecutivos:
Ângulos adjacentes:
Existem alguns conceitos específicos para este estudo.
O conceito de ângulo aparece, primeiramente, em materiais gregos no estudo de relações envolvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculo, eram conhecidas desde o tempo de Hipócrates e talvez Euxodo tenha usado razões e medidas de ângulos na determinação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra.
Eratóstenes de Cirene (276 a.C. -194 a.C.) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cordas.
Para obter a medida aproximada de um ângulo traçado em um papel, utilizamos um instrumento denominado transferidor, que contém um segmento de reta em sua base e um semicírculo na parte superior marcado com unidades de 0º a 180º. Alguns transferidores possuem a escala de 0º a 180º marcada em ambos os sentidos do arco para a medida do ângulo sem muito esforço.
Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincidem com um dos lados do outro ângulo.
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns.
x = ?
x + 20º 2x + 40º
x = ?
x + 3º
30º
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43
Ângulos opostos pelo vértice:
Ângulos congruentes:
Ângulos Complementares:
Ângulos Suplementares:
Bissetriz:
Consideramos duas retas concorrentes cuja intersecção seja o ponto o. Essas retas determinam quatros ângulos. Os ângulos que não são adjacentes, são opostos pelo vértice.
Dizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.
Se a soma das medidas de dois ângulos é igual a 90º, neste caso, dizemos que um ângulo é o complemento do outro.
Se a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180º, neste caso, dizemos que um ângulo é o suplemento do outro.
Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo que o divide em dois outros ângulos congruentes.
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44
Na sala de informática acesse o SITE: www.barueri.sp.gov.br/educacaoDesenvolver as atividades reservadas para <7º ano> na disciplina <matemática>
relacionadas à ângulos.
Testes
1. Meia circunferência tem quantos graus?
(A) 90° (B) 270° (C) 360° (D) 180° (E) 45°
2. Qual a medida do ângulo raso?
(A) 90° (B) 360° (C) 180° (D) 270° (E) 120°
3. Qual o complemento do ângulo de 70°?
(A) 110° (B) 30° (C) 120° (D) 20° (E) 200°
4. Qual é o suplemento de ângulo de 37°?
(A) 143° (B) 53° (C) 93° (D) 183° (E) 113°
5. O dobro de um ângulo reto é:
(A) 120° (B) 360° (C) 180° (D) 270° (E) 90°
6. Qual é o nome que se dá ao ângulo cuja a medida é a metade da medida de um ângulo raso?
(A) agudo (B) reto (C) obtuso (D) nulo (E) aberto
7. A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a:
(A) 60° (B) 360° (C) 120° (D) 180° (E) 270°
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45
Nome: ________________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. Classifique em verdadeiro ( V ) ou falso ( F ) as afirmações:
( ) Dois ângulos consecutivos são adjacentes.
( ) Dois ângulos adjacentes são consecutivos.
( ) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice.
( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes.
( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos.
2. Se dois ângulos, α e β, são complementares, então, é correto afirmar que:
(A) α+ β = 180º (B) α + β = 90º (C) α α - β = 180º (D) αα - β = 90º
3. Se dois ângulos, α e β, são suplementares, então, é correto afirmar que:
(A) α+ β = 180º (B) α+ β = 90º (C) α - β = 180º (D) α - β = 90º
4. Qual o valor de x, sabendo que AÔB é um ângulo reto?
(A) 10º (B) 20º (C) 50º (D) 70º
5. Dois ângulos suplementares medem 3x – 40 e 2x + 60. O maior desses ângulos mede:
(A) 56º (B) 108º (C) 124º (D) 132º
O
2x7x
B
CA
Mat_7º_2s_2010.indd 45 09/11/2010 10:20:21
46
C
N B
AO
D
P M
3x + 10
x + 50
40º
6. (Saresp-2008) Assinale a alternativa que mostra corretamente os valores de α e β na figura a seguir:
(A) α = 60º, β = 90º
(B) α = 60º, β = 60º
(C) α = 30º, β = 120º
(D) α = 50º, β = 100º
7. (EPCAr) Na figura abaixo, OM é a bissetriz do ângulo AÔB, ON é a bissetriz do ângulo BÔC e OP é a bissetriz do ângulo CÔD. A soma PÔD + MÔN é igual a
(A) 90º
(B) 60º
(C) 45º
(D) 30º
8. Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10 e x + 50. Sendo assim, podemos afirmar que cada um deles mede:
(A) 20º
(B) 30º
(C) 50º
(D) 70º
9. (Saresp-SP) O movimento completo do limpador do pára-brisa de um carro corresponde a um ângulo raso. Na situação descrita pela figura, admita que o limpador está girando em sentido horário e calcule a medida do ângulo que falta para que ele complete o movimento completo.
(A) 50°
(B) 120°
(C) 140°
(D) 160°
30º
60º βα
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47
Elaine anda de bicicleta a 30 km/h. Puxa!! Como ela
corre, essa velocidade é bem alta.
E quantas vezes o avião é mais rápido que a Elaine?
Vamos comparar as velocidades.
Veja:
Velocidade do avião → 900 km/hVelocidade da Elaine → 30 km/h
90030
30=
Então, o avião é 30 vezes mais rápido do que Elaine de bicicleta.Em relação ao carro de Fórmula 1 temos:
30030
10=
Então, o carro de Fórmula 1 é 10 vezes mais rápido do que a Elaine de bicicleta.
Razão
Talvez não, depende do valor com o qual você compara esta velocidade. Ela se torna bem baixa comparada à velocidade de um carro de Fórmula 1 ou de um avião.
avião = 900km/h carro de Fórmula 1 = 300km/h
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48
Define-se como razão entre dois números quaisquer o quociente do primeiro pelo segundo.
Sejam A e B dois números quaisquer dados nessa ordem e, B diferente de 0 . Indicaremos a razão entre os números por:
a) Qual a razão do número de acertos para o número total de chutes a gol feitos por Júnior?
Situação-problema
Observe:
Samuel e Júnior estão brincando de bola. Samuel está no gol e Júnior efetua 20 chutes a gol, acertando 12 deles. Nessas condições:
Sendo assim, temos: 3 para 5, ou seja, para cada 5 chutes a gol, Júnior acertou 3.
b) Qual a razão entre o número de chutes que Júnior acertou e o número de chutes que
ele errou?
Logo: 3 para 2, ou seja, para cada 3 chutes certos Júnior errou 2.
Existem três maneiras de indicar uma razão.
12 ÷ 8 = 12÷4
8÷4 = 32
A ÷ B = AB
consequente
antecedente
20 – 12 = 8 número de chutes errados
A razão de 2 para 5 A razão de 7 para 4
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49
A palavra razão vem de ratio, que significa divisão. Daí vêm, por exemplo, as palavras rateio (de um prêmio) e racional. Assim, número racional é o que se pode representar por uma divisão de inteiros.
Joãozinho é colecionador de bolinhas de gude, ele tem 1200 bolinhas e seu primo Bruno que também coleciona bolinhas, só tem 320.
A razão entre a quantidade de bolinhas de Joãozinho e a do seu primo Bruno é:
RAzÃo InVERSA
Quando representamos uma razão, devemos nos atentar para a ordem em que a comparação é feita.
Situação-problema
No entanto, a razão entre a quantidade de bolinhas de seu primo Bruno e Joãozinho é outra:
Como é o inverso de , dizemos que uma é a razão inversa da outra.415
154
Atenção!
Uma razão é a inversa da outra quando o produto das duas é igual a 1.
Outros exemplos:
Fonte: Trecho disponível em: <http://www.fortium.com.br/faculdadefortium.com.br/guinter.../raz.doc> Acesso em jun.2010.
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50
Na escala 1: n, tem-se:
EscalaSeu Geraldo está construindo uma casa. Para evitar erros nas medidas, pediu para que o
engenheiro fizesse a planta da casa.
Observe que todos os comprimentos foram divididos por 300, conforme indicado na planta. Depois, o desenho foi feito com as medidas obtidas nessas divisões.
Neste caso a escala é 1:300 (um para trezentos). Ou seja, cada 1cm do desenho corresponde a 300cm,ou 3 metros, da casa real.
1: 300
Note que a escala é a razão entre o que mostra o desenho e o que se tem na realidade.
Isto é:
Comprimento no desenho
Comprimento real correspondente1n
=
Observe o exemplo do mapa a seguir:
A escala é muito utilizada principalmente para plantas e mapas.
1cm no mapa corresponde a 500km. Lê-se: 1cm para 500km.
1: 500
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51
RAzÃo nA foRMA PERCEnTUAl
Toda razão ab
, na qual b = 100, pode ser escrita na forma de porcentagem.
a) Uma pesquisa revela que a cada 100 brasileiros, 85 gostam de feijoada.
Situação-problema
Representação
Logo, 70% é a razão .
b) De cada 100 alunos, 70 gostam de Matemática.
= 0,7 = 70%70100
70100
c) Calcular 15% de 8400.
Logo, 15% de 8400 é 1260.
1. A equipe de futebol do G.R.B., durante o campeonato paulista da série A de 2008, teve o seguinte desempenho: 10 vitórias, 02 empates e 07 derrotas. Nessas condições, determine:
a) A razão entre o número de vitórias do GRB e o total de jogos que disputou.b) A razão entre o número de vitórias e o número de derrotas.c) A razão entre o número de empates e o número de vitórias.
forma percentual ou forma de porcentagem85100
= 0,85 = 85%
15100
. 8400 = 1260
forma fracionária
forma decimal85% é a razão
85100
Vitórias Empates Derrotas
10 2 7
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2. Se desenharmos um objeto obedecendo a uma escala de 1 : 7 , o desenho ficará maior ou menor que o objeto real? Quantas vezes?
3. Escreva na forma de fração irredutível a razão entre:
Lembre-se: Uma fração irre dutível não permite simplificação.
a) Quais são as medidas da largura e do comprimento da sala?
b) Qual é a área da sala em metros quadrados?
c) E a área total da casa em metros quadrados?
d) Represente a escala da planta na forma fracionária, escrevendo como se lê.
4. Veja a planta da casa que um engenheiro está projetando:
5. Observe os retângulos abaixo:
Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.
a) Calcule a razão entre a área do retângulo 1 e a área do retângulo 2.b) Calcule a razão entre o perímetro do retângulo 1 e o perímetro do retângulo 2.
6. Quanto por cento do quadrado está pintado de amarelo?Represente na forma fracionária e decimal.
a) 5% de 300b) 50% de 150
7. Calcule :
c) 20% de 30d) 115% de 800
a) 54 e 216 b) 27 e 12
c) 120 e 514 d) 36 e 72
24
2
12
61
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53
8. (SME – RJ) A tabela mostra o número aproximado de casos de AIDS no Brasil no período de 1980 a 2001:
Qual dos gráficos abaixo ilustra melhor os dados apresentados?
(A) (B) (C) (D)
Proporção
A cada R$ 50,00 em compras ganhe
um desconto de R$ 2,00.
Observe o anúncio de promoção das lojas “MIl E UMA ofERTAS”.
Se uma pessoa gastar R$ 250,00 em compras, que desconto obterá?
Vamos montar uma tabela:
Logo, ela obterá R$ 10,00 de desconto.
50%
25%
25%
25%
40% 35%
35% 35% 35%
35%
15% 50%
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54
Observe a razão entre o desconto e o valor a ser pago.
Temos então, que todas essas razões são iguais.
Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas ou mais razões é chamada proporção.
Utilizando duas razões apresentadas no exemplo anterior temos:
250
10250
=
Essa proporção é indicada também por:
Os termos de uma proporção recebem nomes especiais:
2 ÷ 50 = 10 ÷ 250
A leitura dessa proporção é a seguinte:2 está para 50, assim como 10 está para 250.
desconto
valor a ser pago
na proporção:
250
=
10250
meio
meio
2 ÷ 50 = 10 ÷ 250
meios
ou
extremos
extremo
extremo
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55
Termo desconhecido numa proporção
PRoPRIEDADE fUnDAMEnTAl DAS PRoPoRÇÕES
Em toda proporção, o produto dos extremos é sempre igual ao produto dos meios.
Veja:
Exemplos:
Essa propriedade é conhecida como propriedade fundamental das proporções.
Duas razões só serão proporcionais se, o produto dos extremos for igual ao produto dos meios.
Qual deve ser o valor de x para que essas razões sejam proporcionais?
Temos situações em que um dos valores da razão é representado por uma incógnita.
Observe:
x48
54
=
ab
=cd
a ÷ b = c ÷ d
meios
meios
meios
extremos
extremos
extremos
a)
b)
Logo, essas duas razões são proporcionais.
Logo, essas duas razões não são proporcionais.
a . d = b . c
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56
6048
=
54
60 ÷ 48 = 5 ÷ 4 60 . 4 = 48 . 5
Puxa! Temos aqui uma equação do 1º grau.
Vamos verificar se o valor obtido para x, realmente torna as razões proporcionais:
Dessa forma, temos que as razões serão proporcionais quando x for igual a 60.
Outro exemplo:
x ÷ 48 = 5 ÷ 4 x . 4 = 48 . 5
4x = 240
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
meios
extremos
meios
extremos
Portanto, x = 60.
É isso aí! Agora, é só isolar o x.
4x4
2404
= 2404
x = = 60
240 240
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2. Verifique se as razões a seguir são ou não proporcionais:
3. Um funcionário do pedágio, ficou responsável em montar a tabela com as novas taxas. Sabendo-se que os valores aumentam proporcionalmente com a quantidade de eixos do veículo, complete a tabela.
4. Determine o valor de x em cada uma das proporções:
Tenho um balde com capacidade para 5 litros, outro com capacidade para 3 litros e um outro com capacidade para 9 litros. Como posso medir 7 litros de água usando estes baldes?
1. Dona Cláudia construiu uma tabela com os ingredientes necessários para fazer trinta balas.
Construa outra tabela descrevendo a quantidade de ingredientes necessários para que Dona Cláudia obtenha 45, 60 e 90 balas respectivamente.
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58
1 ingresso custa R$ 12,00.2 ingressos custam R$ 24,00.3 ingressos custam R$ 36,00.
Grandezas Proporcionais
GRAnDEzAS DIRETAMEnTE PRoPoRCIonAIS
Em um parque de diversões temos:
Observe a tabela:
As razões entre os elementos correspondentes são iguais:
112
= 224
336
=
As grandezas ingresso e custo são diretamente proporcionais.
O que quer dizer diretamente proporcional?
Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando aumentando ou diminuindo uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma razão da primeira.
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Um trem faz um percurso em:1 hora com velocidade de 150km/h.2 horas com velocidade de 75km/h.3 horas com velocidade de 50km/h.
GRAnDEzAS InVERSAMEnTE PRoPoRCIonAIS
Observe a tabela:
As grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais.
Os produtos entre os elementos correspondentes são iguais.
Veja:
1 x 150 = 2 x 75 = 3 x 50
E agora. O que é inversamente proporcional?
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira e vice-versa.
REGRA DE TRêS SIMPlES
Denomina-se regra de três simples o método de cálculo por meio do qual serão resolvidos os problemas que possuem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Envolve três números conhecidos e uma incógnita (o número desconhecido).
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60
1. Colocar as grandezas de mesma espécie numa mesma coluna;2. Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido;3. Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido
contrário;4. Armar a proporção e resolvê-la.
Roteiro para a resolução de problemas
Ah! Assim deve ser fácil resolver problemas.
1º Colocamos as grandezas de mesma espécie numa mesma coluna.
Situação-problema 1
Seu Jair trabalha em uma copiadora, ele tira 30 xerox por minuto. Sendo assim, quantas cópias seu Jair terá tirado em 20 minutos?
2º Como as grandezas são proporcionais, pois a medida em que aumenta o tempo, aumenta o número de cópias, devemos indicar as duas grandezas com flechas de mesmo sentido.
Veja que em 1 minuto seu Jair tira 30 cópias. Como em 20 minutos não sabemos quantas cópias serão tiradas, representamos então este valor pela incógnita x.
minutos xerox
1 ............. 3020 ............. x
minutos xerox
1 ............. 3020 ............. x
3º Agora é só armar a proporção e resolvê-la.
Logo, em 20 minutos seu Jair terá tirado 600 cópias.
E é mesmo! Vamos ver alguns exemplos.
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1º Colocamos as grandezas de mesma espécie numa mesma coluna.
Cinco pedreiros constroem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para construir a mesma casa?
Nº de pedreiros Nº de dias
5 ............. 3015 ............. x
2º Como as grandezas são inversamente proporcionais, pois a medida em que aumenta o número de pedreiros, diminui o número de dias, devemos indicar as duas grandezas com setas de sentidos contrários.
Veja que 5 pedreiros constroem a casa em 30 dias. Como com 15 pedreiros não sabemos a quantidade de dias necessários para a construção da mesma casa, representamos então este valor pela incógnita x.
Nº de pedreiros Nº de dias
5 ............. 3015 ............. x
3º Tendo duas grandezas, inversamente proporcionais, precisamos inverter a posição dos números de uma delas para então resolvê-las.
Logo, 15 pedreiros levarão 10 dias para construir a casa.
1. Um carro consome 7 litros de gasolina a cada 57km rodados. Qual será o consumo desse carro após percorrer 456km?
2. Doze eletricistas fazem uma instalação em um prédio em 15 dias. Quantos eletricistas seriam necessários para fazer a mesma instalação em 5 dias?
Situação-problema 2
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3. As medidas de uma fotografia foram ampliadas. Determine a medida x na foto ampliada.
4. Ao corrigir as provas de um concurso, 15 professores gastaram 75 horas. Mantendo o mesmo ritmo, quantos professores seriam necessários para fazer o mesmo trabalho em:
I) 30 horas II)1 dia III) 120 horas IV) 2 dias
5. Micaela estava digitando um trabalho de Geografia e conseguiu terminar 7 páginas em 50 minutos. Mantendo esse ritmo, quanto tempo ela levará para digitar as 35 páginas do trabalho?
6. Roberto abriu duas torneiras que levaram 80 minutos para encher uma piscina. Quanto tempo teria levado se houvesse 5 torneiras equivalentes para encher a mesma piscina?
7. (Saresp-SP) Um pintor fez uma tabela relacionando a área da superfície a ser pintada, o tempo gasto para pintar essa superfície e a quantidade de tinta.
(A) 10h e 20 l (B) 20h e 30 l (C) 20h e 20 l (D) 40h e 20 l
Para pintar uma superfície de 200m², o tempo e a quantidade de tinta gastos são, respectivamente:
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Nome: ________________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. (Saresp-2005) Para fazer 80 casadinhos recheados com doce de leite, utilizo uma lata desse doce. Com duas latas e meia de doce de leite, quantos casadinhos consigo fazer?
(A) 120
(B) 160
(C) 200
(D) 240
2. (Saresp-2008) A tabela que mostra o preço do quilo de batata numa barraca de feira está incompleta.
O preço de 3kg de batatas e a quantidade de batatas que se compra com 9 reais são, respectivamente.
(A) R$ 4,50 e 6kg.
(B) R$ 4,00 e 5kg.
(C) R$ 3,75 e 4,5kg.
(D) R$ 5,00 e 4kg.
3. (Saresp-2008) Uma pilha comum dura cerca de 90 dias, enquanto que uma pilha recarregável chega a durar 5 anos. Se considerarmos que 1 ano tem aproximadamente 360 dias, poderemos dizer que uma pilha recarregável dura, em relação a uma pilha comum:
(A) 10 vezes mais.
(B) 15 vezes mais.
(C) 20 vezes mais.
(D) 25 vezes mais.
kg Preço em R$1 1,50
1,5 2,25
2 3,00
2,5 3,75
3
9,00
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64
4. (ENCEEJA) Uma pequena creche atende 20 crianças que consomem em média 600 pães em 10 dias. Se a creche receber mais 20 crianças, o número de pães necessários para o consumo em 10 dias é
(A) 2400
(B) 1200
(C) 600
(D) 300
5. Dezesseis mil candidatos inscreveram-se num concurso. Sabendo que 65% foram aprovados, quantos candidatos foram reprovados?
(A) 3200
(B) 5600
(C) 6500
(D) 7250
6. (UMC-SP) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá:
(A) 80 litros.
(B) 75 litros.
(C) 70 litros.
(D) 68 litros.
7. (Saresp-2008) Jonas, com sua bicicleta, pedala na pista circular de ciclismo do clube. Ao dar 4 voltas, ele percorre 1600m. Se quiser percorrer 8km, mantendo o mesmo ritmo, ele dará um número de voltas igual a:
(A) 2
(B) 5
(C) 10
(D) 20
8. (Saresp-2008) Marcos e Fábio erguem juntos um muro em 2h5min. Se o mesmo trabalho fosse realizado, nas mesmas condições, por 5 pessoas que trabalham como Marcos e Fábio, o muro ficaria pronto em:
(A) 1h30min.
(B) 1h10min.
(C) 80 min.
(D) 50 min.
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A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas, obras de arte e principalmente na natureza.
Observe as figuras abaixo:
Simetria
Figuras simétricas são aquelas que possuem um eixo de simetria.
O eixo de simetria divide uma imagem em duas partes iguais. Logo, numa figura simétrica,
tudo que existe de um lado do eixo de simetria também existe do outro lado.
As figuras que, ao se traçar o eixo de simetria, ele não determina dois lados iguais, são
chamadas de figuras assimétricas.
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1. Verifique cada caso, trace o eixo de simetria e classifique as figuras em simétricas ou assimétricas.
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Responda:
Pesquisando e Analisando Gráficos
o ambiente escolar e sua preservação
O prédio escolar é o cartão de visitas da escola. A limpeza do ambiente e seu estado de conservação demonstram o respeito e a consideração
com o lugar onde crianças e jovens estudam. Esse cuidado traduz a preocupação da sociedade com a escola.
Um ambiente limpo, funcional e bem estruturado, exerce uma influência positiva sobre todos os que nela convivem e tem um papel educativo nem sempre reconhecido e valorizado adequadamente.
Os alunos de uma EMEF elaboraram uma pesquisa e identificaram as principais causas da má preservação do ambiente escolar. Observe o gráfico e os dados obtidos.
a) De acordo com o gráfico, qual a principal causa da má preservação do prédio escolar?
b) Como você pode colaborar para que o prédio de sua escola seja bem preservado?
c) Discuta com seus colegas e professor as formas de preservação citadas no item anterior.
d) Comece a observar suas atitudes e também de seus colegas, em relação à preservação
do ambiente escolar.
Colabore uns com os outros para que a escola esteja sempre em excelentes condições.
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68
A água é um dos recursos naturais mais valiosos com que conta a humanidade.
Todos nós sabemos que o planeta Terra é formado de, aproximadamente, 70% de água. Mas
o que nem todo mundo sabe é que a maior parte dessa água, 97,50%, é salgada e imprópria
para o consumo. Da água doce, 2,493% estão em lençóis subterrâneos ou congelados nos
pólos, e apenas 0,007% está em rios e lagos, disponível para nosso consumo. Vamos entender
melhor essa proporção.
PRECISAMoS EConoMIzAR ÁGUA URGEnTEMEnTE
Desse 0,007% de água doce disponível para nosso
consumo, 70% vão para a agricultura; 22%, para a
indústria e 8%, para o consumo individual.
Essa quantidade é pouca, mas se cada pessoa fizer a sua parte, a água não acabará, e a
vida em nosso planeta será preservada. Comece a falar sobre esse problema com as pessoas
que você conhece.
No Brasil, por exemplo, o maior manancial está na Amazônia; no entanto, já existe a falta ou
a necessidade de controlar o consumo de água nas grandes cidades do Sudeste, Sul e Litoral.
Veja como é distribuída a água na superfície brasileira.
8068,5
45,3
7,0
Norte Centro-Oeste Sul Suldeste Nordeste
18,8
6,4 6,5
Recursos hídricos
Superfície
População
Distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população (em % do total do Brasil).
o planeta Terra precisa de nossa ajuda.
não desperdice água!6,8 6,0
10,8
42,6
3,3
18,3
29,0
15,015,7
70
60
50
40
30
20
10
0
Oceano
Água doce (difícil acesso)
Água doce (acessível)
100%
0%
Agricultura
Indústria
Individual
100%
0%
Trecho adaptado e disponível em: <http://clipspensamento.com.br/apoiaedivulga/apoia _ diainternacionalagua.pdf> e <http://www.moderna.com.br/moderna/didaticos/projeto/ 2006/1/politica?cod_origem=sup> Acesso em: jun.2010.
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69
Responda:
a) Em qual das regiões brasileiras a distribuição dos recursos hídricos é maior?
b) Indique as três regiões que tem a maior distribuição de água para população e as três
regiões com maior quantidade de água na superfície.
c) Explique o porquê da quantidade de água distribuída para a vegetação ser maior.
d) Em sua opinião, podemos continuar desperdiçando água, já que o planeta é formado de
70% dela? Justifique.
e) Pesquise e registre algumas formas de economizar água.
f) Procure saber se a sua escola e comunidade estão fazendo algo para economizar água.
g) O que você entende sobre a frase: “O planeta Terra precisa de nossa ajuda. Não desperdice
água.”
BARUERI ConTRIBUInDo CoM o MEIo AMBIEnTE
No fim do ano de 2.000, a Prefeitura de Barueri elevou a antiga Assessoria de Habitação
e Meio Ambiente (ligada à Secretaria de Projetos e Construções) para a categoria de
Secretaria de Recursos Naturais e Meio Ambiente (SEMA), destinando-lhe,
dentre outras, duas missões: otimizar o gerenciamento dos resíduos sólidos
da cidade, acabando com o lixão e a catação no mesmo, e conscientizar a
população sobre a importância da preservação dos Recursos Naturais, através
de atividades de Educação Ambiental.
O programa de coleta seletiva de lixo começou a ser implementado em agosto
de 2.001, alcançando todo o município em novembro de 2.002, mês em que
também foi instituída a Cooperyara – cooperativa de triagem de material
reciclável formada pelos ex-catadores.
Atualmente, todo o município conta com o serviço de coleta seletiva de lixo, o que gera
cerca de 140 toneladas de material reciclável coletado todo mês.
A separação é feita somente entre materiais orgânicos e materiais
recicláveis. Não há necessidade da população separar o vidro dos
plásticos, os papéis das latas, a ideia é facilitar a separação, obtendo
maior participação de todos.
O material separado pela população é recolhido pelos caminhões
específicos para a coleta seletiva (um caminhão-baú com sistema de som) duas vezes por
semana. Esse material é encaminhado para o galpão da Cooperyara, onde é separado,
armazenado e vendido pelos cooperados. Todo o material é doado à Cooperativa, a Prefeitura
não vende o material reciclável.
Somente com o ato de separar o lixo na sua casa, você ajuda a gerar mais empregos,
diminuir a poluição da nossa cidade, aumentar o tempo de uso do aterro sanitário e preservar
os recursos naturais do planeta.Texto adaptado e disponível em: <http://www.barueri.sp.gov.br/sites/Srnma/materias/coleta_seletiva_lixo.aspx> Acesso em: jun.2010.
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70
Se você ainda não separa o seu material reciclável, ENTRE NESSA CAMPANHA! Somente com a adesão de todos poderemos ampliar esse trabalho e ajudar mais pessoas.
Reciclagem é um conjunto de técnicas que tem por finalidade aproveitar os detritos e
reutilizá-los no ciclo de produção do qual saíram. É o resultado de uma série de atividades,
pelas quais os materiais que se tornariam lixo, ou estão no lixo, são desviados, coletados,
separados e processados para serem usados como matérias-primas na manufatura de
novos produtos.
Quanto se poupa com a reciclagem?
• O Brasil recicla 1.788.000 toneladas de papel por ano. • O lixo orgânico domiciliar representa 50% em peso do lixo total gerado.•São jogados fora 14 milhões de toneladas anuais de alimentos (30% da safra).•É produzido em média 1,0 Kg de lixo por habitante nas grandes cidades. • Em 1995 foram produzidas 50 mil toneladas de latas de alumínio no Brasil.•63% desta produção foi de material reciclado, ou seja, 31,5 mil toneladas.•Em um ano, 6,7 bilhões de dólares são jogados fora, no lixo, em forma de materiais de
construção.• A cada minuto desaparece da face do planeta o equivalente a um campo de futebol em
mata nativa, que demora 100 anos para se recompor.• Uma tonelada de papel é igual a 20 árvores cortadas.• Somos os maiores recicladores de latinhas de alumínio do mundo (78%).
Responda:
a) Para pouparmos 150 árvores, quantos kg de papel precisamos reciclar? b) Sabendo-se que a cada 60 latinhas de alumínio temos, aproximadamente 1kg, quantas latinhas são necessárias para perfazer 1000kg? c) Faça uma pesquisa, em seu bairro, para saber se as pessoas separam o lixo em orgânico e reciclável para a coleta seletiva. Caso não o façam, converse sobre a importância de reciclar o lixo. d) Pesquise outras formas de reciclagem, ou seja, de reaproveitamento de material. e) Redija a seguir um texto sobre reciclagem.
Você sabia que...
Veja alguns números da reciclagem:
1000 kg de papel reciclado = 20 árvores poupadas.
1000 kg de vidro reciclado = 1300 kg de área extraída poupada.
1000 kg de plástico reciclado = milhares de litros de petróleo poupados.
1000 kg de alumínio reciclado = 5000 kg de minérios extraídos poupados.
Texto disponível em: <http://www.compam.com.br/oquereciclagem.htm>. Acesso em jun.2010.
Fonte: Texto disponível em: <http://www.barueri.sp.gov.br/sistemas/informativos/informativo.asp?id= 4923>. Acesso em jun.2010.
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Nome: _______________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. (Saresp-2008) O gráfico indica o tempo que um forno leva para esfriar depois que é desligado.
O tempo que esse forno leva para atingir a temperatura de 120 ºC depois de ter sido desligado é de
(A) 15 minutos. (B) 13 minutos. (C) 11 minutos. (D) 9 minutos.
2. (ENCCEJA-2005) Os dados apresentados no gráfico informam o salário líquido médio de professores da rede estadual com carga horária semanal de 20 horas.
Considerando o salário mínimo (SM) de R$ 260,00, somente
(A) 2 estados pagam mais que 2,5 SM.
(B) 3 estados pagam mais que 2 SM.
(C) 3 estados pagam menos que 2,5 SM.
(D) 4 estados pagam menos que 2 SM.
510,00
A B C D E F G H I
780,00
480,00
Salários dos professores de algunsestados brasileiro
Estados
Sal
ário
s M
édio
(R$)
580,00
290,00 290,00 280,00
590,00
710,00
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3. (Saresp-SP) O preço do pãozinho nas padarias A, B e C está indicado no gráfico abaixo.
O preço do quilo do pãozinho na padaria
(A) A é igual ao da padaria B.
(B) C é maior do que na padaria A.
(C) A é menor do que na padaria B.
(D) C é menor do que na padaria B.
4. Observe as informações:
A partir dos dados fornecidos, podemos afirmar que:
(A) 18 milhões de aposentados no Brasil recebem acima de um salário mínimo.
(B) A soma simples do reajuste das aposentadorias é de 144,49%.
(C) A maior correção nas aposentadorias aconteceu em 2003.
(D) Em 2009 a correção nas aposentadorias foi de 7,32%.
1998
Fontes: FAP e Sindicato Nacional dos Aposentados e Pencionistas e Idosos da Força Sindical
4,61 5,817,66
9,2
19,71
4,53 6,35 5,013,33
5 5,324,81
Correções da aposentadorianos últimos anos em %
No mesmo perìodo, a soma simples dos aumentos do salário mínimo é de
Entre 1998 e 2009 a soma símples do reajuste das aposentadorias é de
144,49%81,91%
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
RECEBEM UM SALÁRIO MÍNIMO
PREVIDênCIAAposentados no Brasil
ACIMA DE UM SALÁRIO MÍNIMO
26,5milhões
18 mi8,5 mi
Preço do quilo do pãozinho
A B CPadarias
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1. Indique as expressões que são equações.
2. Complete o quadro:
5. Juninho é colecionador de bolinhas de gude. Seu pai sabendo dessa coleção deu-lhe 34 bolinhas diferentes, perfazendo um total de 156 bolinhas. Quantas bolinhas Juninho tinha antes de ganhar mais de seu pai?
3. Fátima tinha R$ 72, 00. Comprou um vestido por R$ 35,00 e três pares de brincos a R$ 2,00 cada um. Com quantos reais ela ficou?
4. Certo dia da semana, um ônibus saiu do ponto inicial com 15 passageiros. No primeiro ponto subiram 4 pessoas, no segundo subiram oito e desceram 5 e no terceiro subiram 3 pessoas e desceram 6. Com quantos passageiros esse ônibus saiu do terceiro ponto?
6. O triplo da idade de Ana Keila mais a idade de seu avô, que tem 82 anos, somam 124 anos. Quantos anos tem Ana Keila?
7. O quíntuplo de um número é igual a soma do seu triplo com 40. Qual é o número?
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9. Escreva dentro de cada o número que for necessário para equilibrar a balança.
8. Pensei num número inteiro, subtraí 13, multipliquei o resultado por 5 e obtive o quádruplo desse número. Qual é o número que pensei?
10. Verifique o valor de x que torna verdadeira as equações a seguir:
11. Invente um enunciado para cada equação:
12. As melancias têm o mesmo peso. Nestas condições, qual é o peso (em kg) de cada uma delas?
l) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ll)
lll)
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13. Calcule o peso de cada maçã. (Suponha que as três maçãs tenha o mesmo peso).
14. Escreva uma equação tal que:
a) O 1º membro seja constituído pelos termos - 4 + 3x - 1.
b) O 2º membro seja constituído pelos termos + x - 8.
c) Agora resolva esta equação.
16. Represente cada problema com uma equação e em seguida apresente uma solução:
• Eduardo pensou num número, adicionou doze e obteve trinta. Em que número ele pensou?
• A diferença entre cem e um número é igual a onze. Qual é esse número?
15. Paula pensou num número para cada uma das situações. Escreva nos quadradinhos qual o número que Paula pensou.
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17. Observe e complete os círculos e os triângulos para que dê o resultado dos quadrados.
21. Três amigos foram ao cinema e, antes de começar o filme decidiram comprar um balde de pipocas e 4 copos de refrigerante. Pagaram ao todo R$ 9,90. Sabendo que o balde de pipocas custou o dobro de cada refrigerante, determine quanto custou cada copo de refrigerante.
18. O quíntuplo de um número é igual a soma do seu triplo com 40. Qual é o número?
19. Pensei num número inteiro, subtraí 15, multipliquei o resultado por 8 e obtive o quintúplo desse número. Em que número pensei?
20. Num oásis do deserto, estavam a descansar camelos e dromedários, num total, haviam 108 animais. O número de camelos é igual ao triplo do número de dromedários. Quantos animais de cada espécie havia nesse deserto?
+5
+4
x7
+7
x(-2)
÷ 3
-5
-8
÷7
x2
-4
x3
7
- 4
9
16
-12
- 21
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22. Resolva os seguintes sistemas:
x+y=50
x=1/4y
23. Problemas com sistemas já montados:
a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos?
x+y=23
2x+4y=82
b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma?
c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números?
d) Duas pessoas ganharam juntas 50 reais por um trabalho, sendo que uma delas ganhou 25% do total. Quanto ganhou cada pessoa?
5(x + 1) + 3(y – 2) = 48(x + 1) + 5(y – 2) = 9
x + y = 7
2x + 3y = 104x - y = -1
2x + y = 103x – 2y = 1
2x5
3y7
=
a)
b)
c)
d)
x+y=25
x-y=13
x+y=50
x=2y-1
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27. Joaquim estava digitando um trabalho de Matemática e conseguiu terminar cinco páginas em quarenta minutos. Mantendo esse ritmo, quanto tempo demorará para digitar as treze páginas do trabalho?
e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e, as duas juntas custam R$ 6,00. Qual o preço da caneta e da lapiseira?
x=2y
x+y=6
24. (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é?
(A) 20g (B) 25g (C) 35g (D) 40g (E) 45g
25. (F. C. CHAGAS) Somando-se os 23
de um número x com os
35
do número y, obtém-se
84. Se o número x é metade do número y, então a diferença y-x é igual a:
(A) 18 (B) 25 (C) 30 (D) 45 (E) 60
26. Catarina gosta de pintar quadros. Deu de presente para sua filha Kátia uma pintura que fez numa tela de 12cm por 20cm. O presente fez tanto sucesso que Kátia pediu para que sua mãe fizesse uma ampliação do quadro.
a) Se a nova tela tiver 50cm no lado maior, qual deve ser a medida do lado menor para que a pintura ampliada fique proporcional à original?
b) Catarina tinha em seu ateliê duas telas em branco com as seguintes dimensões: uma com 18cm por 30cm e outra com 42cm por 76cm. Verifique se essas telas são proporcionais à tela original, servindo para a ampliação.
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28. (Colégio Naval) Vinte operários constroem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia?
a) 10 b) 20 c) 15 d) 30 e) 6
29. (ETFPE-91) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens montam 50 máquinas em:
a) 18 dias b) 3 dias c) 20 dias d) 6 dias e) 16 dias
30. (CFO-93) Se uma vela de 36cm de altura, diminui 0,18cm por minuto, quanto tempo levará para se consumir?
a) 2 horas b) 3 horas c) 2h 36min d) 3h 20min e) 3h 18min
31. Determine o suplemento de:
a) 95º b) 115º c) 111º d) 153º e) 99º f) 66º
32. Determine o complemento de:
a) 23º b) 52º c) 44º d) 35º e) 77º f) 83º
33. Quais os valores de x que tornam a inequação –2x + 4 > 0 verdadeira?
34. Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaçam as inequações:
a) 3x + 5 < 17
b) x + 3 > – x – 1
c) x + 10 > – x + 12
d) 2 – 3x < x + 14
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Entre os pontos, está escondida uma figura. Para descobrir basta resolver as equações seguintes. Copie-as em seu caderno e determine o conjunto solução de cada uma delas. Depois, procure o ponto correspondente a sua resposta da questão 1, e ligue com um segmento de reta, ao ponto da sua resposta a questão 2, e assim sucessivamente.
EQUAÇÕES
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SUDOKU - Preencha os espaços em branco com algarismos de 1 a 9, sem repetições nas linhas, colunas e nos quadrados menores.
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Equações da Tartaruga
Dominó dos números Racionais
• Organize grupos de 4 alunos;
• Determine a ordem dos competidores;
• Embaralhe as cartas, contendo as equações e empilhe com o verso para cima;
• Espalhe os cartões-resposta com o verso para baixo;• Cada aluno, na sua vez, tira uma carta da pilha. (Usando um rascunho tenta resolver a
equação);
• Encontrar, entre as cartas espalhadas, a resposta da equação;
• Só é permitido uma única tentativa e se não chegar ao resultado certo, passa a vez;
• Vence o jogo o aluno que conseguir o maior número de cartas (pergunta-resposta).
joGAnDo
• Cole as folhas que contêm as peças em papel cartão;
• Separe as peças;
• Façam duplas ou grupos de no máximo 5 pessoas;
• Divida a quantidade de peças igualmente entre os participantes;
• Se restar peças, deixe na reserva para ser comprada pelo participante que precisar;
• Façam um sorteio para saber quem começa o jogo;
• As demais partidas iniciam-se com o vencedor da partida anterior;
• Se o iniciante tiver um dobrão (dois lados iguais) começa o jogo com ele, caso não tenha, pode utilizar qualquer outra peça;
•Para cada fração existe um número decimal correspondente e vice-versa;
• Os dobrões (dois lados iguais) são as únicas frações que podem ser encaixadas com frações;
• Quem encaixar todas as peças primeiro é o vencedor;
• No caso de nenhum dos participantes encaixar todas as peças, o vencedor será o que possuir a menor soma de frações e decimais nas mãos.
joGAnDo
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RECORTE RECORTE RECORTE RECORTECORTE RECORTE RECORTE RECORTE RETE RECORTE RECORTE RECORTE RECORE RECORTE RECORTE RECORTE RECORTRECORTE RECORTE RECORTE RECORTECORTE RECORTE RECORTE RECORTE RETE RECORTE RECORTE RECORTE RECORE RECORTE RECORTE RECORTE RECORT RECORTE RECORTE RECORTE RECORTECORTE RECORTE RECORTE RECORTE RETE RECORTE RECORTE RECORTE RECORE RECORTE RECORTE RECORTE RECORT RECORTE RECORTE RECORTE RECORTECORTE RECORTE RECORTE RECORTE RETE RECORTE RECORTE RECORTE RECORE RECORTE RECORTE RECORTE RECORT RECORTE RECORTE RECORTE RECORTECORTE RECORTE RECORTE RECORTE RETE RECORTE RECORTE RECORTE RECORE RECORTE RECORTE RECORTE RECORT RECORTE RECORTE RECORTE RECORTECORTE RECORTE RECORTE RECORTE RETE RECORTE RECORTE RECORTE RECOR
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