Tabelas de Análise Matemática - 1/5

TABELAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA

Tabela de Trigonometria

( ) ( )( )xxx

cossentg =

)( tg

1)( cotg

xx = ( ) ( )x

x cos

1sec = ( ) ( )xx

sen1cosec =

1. ( ) ( ) 1cossen 22 =+ xx 8. ( ) ( ) ( )xxx 22 sencos2cos −=

2. ( ) ( )xx 22 sectg1 =+ 9. ( ) ( )( )x

xx 2tg1tg22tg

−=

3. ( ) ( )xx 22 eccoscotg1 =+ 10. ( )2

cos12

sen xx −±=��

���

�

4. ( ) ( ) ( ) ( )xyyxyx cossencossen)sen( ±=± 11. ( )

2cos1

2cos xx +±=�

�

���

�

5. ( ) ( ) ( ) ( )yxyxyx sensencoscos)cos( �=± 12. ( )

( )xxx

cos1cos1

2tg

+−±=�

�

���

�

6. ( ) ( )( ) ( )yx

yxyxtgtg1tgtg)(tg

�

±=± 13. ( ))2/(tg1

)2/(tg2sen 2 xxx

+=

7. ( ) ( ) ( )xxx cossen22sen = 14. ( )

)2/(tg1)2/(tg1cos 2

2

xxx

+−=

15. ( ) ( ) ��

���

���

���

� ±=±2

cos2

sen2sensen yxyxyx �

16. ( ) ( ) ��

���

� −��

���

� +=+2

cos2

cos2coscos yxyxyx

17. ( ) ( ) ��

���

� −��

���

� +−=−2

sen2

sen2coscos yxyxyx

0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2

Seno 0 1/2 2 /2 3 /2 1 0 -1 Coseno 1 3 /2 2 /2 1/2 0 -1 0

Tangente 0 3 /3 1 3 - 0 -

INSTITUTO POLITÉCNICO DE TOMAR Escola Superior de Tecnologia de Tomar

Área Interdepartamental de Matemática

Curso de Engenharia Civil

Tabelas de Análise Matemática - 2/5

Tabela de Derivadas

( ) xfu = ( ) xgv = =α constante =a constante =k constante

1. 0='k 17. ( ) uuu 2sec' tg =′

2. 1='x 18. ( ) uuu 2cosec' cotg −=′

3. '')'( vuvu ±=± 19. ( ) uuuu tgsec'sec =′

4. '')'( uvvuuv += 20. ( ) utguuu co cosec' cosec −=′

5. 2

''v

uvvuvu −=

′

21. ( )21

'sen arcu

uu−

=′

6. ( ) '' kuku = 22. ( )21

'cos arcu

uu−

−=′

7. ' )( 1uuu −=′ αα α 23. ( )

21' tgarcu

uu+

=′

8. u

uu2

')( =′ 24. ( )21

' cotg arcu

uu+

−=′

9. ( )n n

n

un

uu1

' −

=′

25. ( )1

' sec arc2 −

=′uu

uu

10. ')( uee uu =′ 26. ( )1

' cosec arc2 −

−=′uu

uu

11. auaau ln' )( u=′ 27. ( ) uuu ch 'sh =′

12. 'ln' u)( 1v uvuuvu vv −+=′ 28. ( ) uuu sh 'ch =′

13. ( )uuu 'ln =′ 29. ( ) uu

uuu 2

2sech'

ch'tgh ==′

14. ( )au

uua ln ' log =′ 30. ( )

21

'sh argu

uu+

=′

15. ( ) uuu cos'sen =′ 31. ( )1

'ch arg2 −

=′u

uu

16. ( ) uuu sen'cos −=′ 32. ( )

21' tghargu

u u−

=′

Tabelas de Análise Matemática - 3/5

Tabela de Primitivas

)()('F)(F)(P xfxxxf =⇒=

( ) xfu = ( ) xgv = =α constante =a constante =k constante

I - Primitivas Imediatas 1. kxk =P 13. u u u u' cosec cotgcosec P −=

2. ukku PP = 14. u uu

u cos arcsen arc 1

' P2

−==−

3. 1 , 1

'P1

−≠+

=+

αα

αα uuu 15.

au

au

ua

u cos arcsen arc ' P22

−==−

4. ln 'P uuu

= 16. uarc uu

u cotg tgarc 1

' P 2 −==+

5. uu

u =2

'P 17. au

aau

auau cotg arc1 tgarc1 ' P 22 −==+

6. uu eue ='P 18. u uuu

u cosec arcsec arc 1

' P2

−==−

7. a

auau

u

ln 'P =

19. u uu' sh ch P =

8. u uu' cos sen P −= 20. u uu' ch sh P =

9. u uu' sen cos P = 21. uuu' tgh sech P 2 =

10. uuu' tg sec P 2 = 22. u

u

u sh arg 1

' P2

=+

11. uuu' cotg cosec P 2 −= 23. u

u

u ch arg 1

' P2

=−

12. uuuu' sec tg sec P = 24. uu

u tgharg 1

' P 2 =−

, 1<u

II - Integração por Partes

P(uv ) = (Pu) v – P((Pu) v′ )

Tabelas de Análise Matemática - 4/5

III - Integração por Substituição

FR (…) indica que se trata de uma fracção que envolve apenas somas, diferenças, produtos e quocientes do que se encontra entre parêntesis.

Função a Primitivar : Substituição a Efectuar :

1. 1 k IN, k , )(

1k22

>∈+ ax

1. ( )tax tg =

2. 0, 4 1, k IN, k , )(

)P( 22 <−>∈

++acb

cbxaxx

k 2. tbax =+2

3. IN, k , ))((

)P(k22 ∈

+− qpxx 3. qtpx +=

4. Q k , 2

1-k∈

+ ax

xk

4. atxk =

5. ) ... ,, ( FR sr xx aa 5. ...) s, m.d.c.(r, m , m == ta x

6. ) ... , , ( FR sr

qp

xx 6. ...) s, m.m.c.(q,m , == mtx

7. ) ... ,)( ,)(, ( FR sr

qp

baxbaxx ++ 7. ...) s, m.m.c.(q,m , ==+ mtbax

8. ) ... ,)( ,)(, ( FR sr

qp

dcxbax

dcxbaxx

++

++ 8. ...) s, m.m.c.(q,m , ==

++ mt

dcxbax

9. ) , ( FR 222 xbax − 9. ( ) ( )tbaxt

bax cosou sen ==

10. ) , ( FR 222 xbax + 10. ( )tbax tg=

11. ) , ( FR 222 axbx − 11. ( )tbax sec=

12. ) -,, ( FR bxaxx 12. ( ) ( )tbaxt

bax 22 cosou sen ==

13. ) ,, ( FR bxaxx + 13. ttg 2

bax =

2k ainferior grau de polinómio um é )P( onde x

2k ainferior grau de polinómio um é )P( onde x

Tabelas de Análise Matemática - 5/5

14. ( )abxxx −,,FR 14. ( )tbax 2sec=

15.

++ cbxaxx 2,FR 15. Se a>0 faz-se taxcbxax +=++2

Se c>0 faz-se txccbxax +=++2

Noutros casos, bem como nos anteriores,

faz-se ( ) txcbxax 2 α−=++ ou

( )txcbxax 2 β−=++ , com

( )( )βα −−=++ xxacbxax 2

16. ( ) qp

nm bxax + 16. Se ∈+n

m 1 Ζ faz-se qn tbxa =+

Se ∈++qp

nm 1 Ζ faz-se qnn txbxa =+

17. ( ) ( )( ) cos,senFR mxmx 17. tmx =

18. ( ) ( )( ) cos,senFR xx 18.

a) Se FR é ímpar em ( )xcos , a) ( ) tx =sen

isto é, se:

( ) ( )( ) =− xx cos,senFR ( ) ( )( )xx cos,senFR-

b) Se FR é ímpar em ( )xsen , b) ( ) tx =cos

isto é, se:

( ) ( )( ) =− xx cos,senFR ( ) ( )( )xx cos,senFR-

c) Se FR é par em ( )xsen c) ( ) tx =tg (supondo

∈2

,0 πx ), sendo

e ( )xcos ,isto é, se ( ) ( )22 1

cos e 1

sent

txt

tx+

=+

=

( ) ( )( ) =−− xx cos,senFR ( ) ( )( )xx cos,senFR

d) Nos restantes casos, d) tx =

2tg , sendo ( ) 21

2senttx

+= e

assim como nos anteriores ( ) 2

2

11cos

ttx

+−=