04/06/2014

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Matemática Financeira

Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka

Tema 1 – Fundamentos da MatemáticaFinanceira

Contrato Pedagógico

• A Matemática Financeira é muitoimportante para os cursos deAdministração, Ciências Contábeis edemais cursos.

• As aulas terão vários exemplos práticos.• Porém é muito importante que você faça

os exercícios propostos em aula, doCaderno de Atividades e do PLT (ProgramaLivro Texto).

Contrato Pedagógico

• Aprender entendendo o conceito dematemática financeira é o mais correto.

• Nunca decore o conceito, pois ao decorar afacilidade de se confundir é maior.

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Contrato Pedagógico

• Se possível faça a impressão dos slides eutilize para acompanhar as aulas.

• Uma maneira de testar seu conhecimentoé tentar resolver os exercícios da aula, semver a resolução.

• Muitos alunos possuem grande dificuldadeem matemática básica, portanto oaumento da carga de estudos éimportante.

Matemática Financeira

Estudo do Valor do Dinheiro no Tempo

Qualquer operação financeira deve estarestruturada em função do tempo [...].(Gimenes, 2012, p. 21, Programa Livro-Texto).

R$ 100,00 (Hoje)

Quanto vale?

3 meses

Terminologia

• PV (Present Value) – Valor Presente é ovalor inicial de uma operação,representado no instante “zero”. ValorAtual, Principal ou Capital.

• FV (Future Value) – Valor Futuro é umvalor que é representado num momentofuturo. Pode ser chamado de Montanteou Capital + Juros.

• FV= PV + J.

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Terminologia

• J – Juros – Representam a remuneraçãodo Capital empregado em algumaatividade produtiva; R$.

• i – (interest rate) taxa de juros – Ataxa de juros indica qual remuneração serápaga ao dinheiro emprestado, para umdeterminado período; Ex.: 1,5% ao mês.

• n – número de períodos na operação.É o prazo, o tempo.

Tempo Utilizado: Ano Comercial

• Um ano possui 360 dias.

• Um mês possui 30 dias.

Diagrama das Operações Financeiras

Fluxo de Caixa – facilita a visualização daoperação financeira.

0

FV= 130

2 meses1 3

PV= 100

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Diagrama das Operações Financeiras

Do ponto de vista do financiador (banco):

A HP12c trabalha com esta mesmametodologia.

0

FV= 130

2 meses1 3

PV= 100

Juros Simples

• “A definição de capitalização a juros simples seconcentra na aplicação direta dos conceitos maisbásicos de matemática.” (Gimenes, 2012, p. 23,Programa Livro-Texto).• Exemplo 1. Uma pessoa aplicou a quantia de R$100,00 num Banco, pelo prazo de três meses, comuma taxa de 10% ao mês, no regime de jurossimples. Determine o saldo final acumulado nestaaplicação.

Juros Simples

Mês PV (R$) i Juros (R$) FV = Saldo Final

1 100,00 10%

2

3

10,00 110,00

100,00 10% 10,00 120,00

100,00 10% 10,00 130,00

+

=

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Fórmulas dos Juros Simples

FV = Valor Futuro ou MontantePV = Valor Presenten = prazo / tempoi = taxa de juros (%)

J = Juros (R$)C=PV= Capital ou Valor Presente

n = prazo / tempo

FV = PV.(1 + n . i)

J = PV . i . n

Resolvendo o Exemplo 1 na Fórmula:

Utilizar no mínimo seis casas decimais,quando houver valores quebrados.

PV = 100n = 3 mesesi = 10% ao mêsFV = ?i= 10%/100=0,10

FV = PV . (1 + n . i)

FV = 100 . (1 + 3. 0,10)

FV= 100 . ( 1 + 0,30)

FV= 100 . (1,30)

FV = 130,00

Exemplo 2

No regime de juros simples, quais osjuros correspondentes à aplicação de R$12.000,00 por 4 meses, à taxa de 7% aomês?J = ? (R$)PV= 12.000n= 4 mesesi= 7%a.m.i=7/100=0,07

J = C. i . nJ = 12000 . 0,07 . 4J = 3.360,00

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Exercício 3

Durante quantos meses um capitaldeve ser aplicado a juros simples para quetriplique de valor a uma taxa de 1,5% aomês?

Exercício 3

n = meses ?PV =FV =i = 1,5%a.m.1,5/100=0,015

FV = PV.(1 + n . i)

3 = 1.(1 + n . 0,015)

3 = 1 + n. 0,015

R$1,00R$3,00

3 - 1 = n . 0,0152 = n . 0,0152 / 0,015 = n

n = 133,33 meses

Juros Compostos

Continuando

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Calculadora Financeira – HP12c

• A mais conhecida é a HP 12c Gold,existem outros modelos: Platinum ePrestige.

Calculadora Financeira – HP12c

• A HP12c é famosa pela facilidade doscálculos financeiros:

Funções Financeiras

Calculadora Científica – Casio modelo fx-82ms

Instruções de comoutilizar no Tema 3Caderno de Atividades

Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Casio_fx-82MS.jpg?uselang=pt-br

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Juros Compostos

• No regime de capitalização compostatambém se pagam juros sobre o valorpresente, mas com uma pequena eimportante diferença: o valor inicial deveser corrigido período a período.

(GIMENES, 2012, p. 26) – PLT;

• É o popular juros sobre juros.

Exemplo 1 – Juros Compostos

Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100,00num Banco, pelo prazo de 3 meses, comuma taxa de 10% ao mês, no regime dejuros compostos. Determine o saldo finalacumulado nesta aplicação.

Juros Compostos

MÊS PV (R$) i Juros (R$) FV = Saldo Final

1 100,00 10%

2

3

10,00 110,00

110,00 10% 11,00 121,00

121,00 10% 12,10 133,10

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Fórmula dos Juros Compostos

FV = Valor Futuro ou MontantePV = Valor Presenten = prazo / tempoi = taxa de juros (%)

• Potenciação = desafio matemático.

Resolvendo o Exemplo 1 na Fórmula:

Utilizar no mínimo 6 casas decimais, quandohouver valores quebrados.

PV = 100n = 3 mesesi = 10% ao mêsFV = ?i= 10% /100=0,1

Resolvendo o Exemplo 1 na HP12c

PV = 100n = 3 mesesi = 10% a.m.FV = ?

-133,10FV

PV100n3i10 Aceita %, não precisa dividir por 100

f Clx

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Exemplo 2

Se você aplicar R$ 8.000,00 hoje à taxa dejuros compostos de 2% ao mês, quanto terádisponível daqui a 14 meses?

(Gimenes, 2012, p. 76)

Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula

PV = 8.000i = 2 % ao mês2 % /100 = 0,02n = 14 mesesFV= ?

Exemplo 2 – Resolução pela HP12C

PV = 8.000i = 2 % ao mês2 % /100 = 0,02n = 14 mesesFV= ? FV

PV8 000n14

-10.555,83

i2

f Clx

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Exercícios PráticosJuros Simples e CompostosAgora é sua vez

Exercício 1

Um investidor aplicou R$ 800,00 a uma taxade juros simples de 5% ao mês. Qual omontante acumulado ao final de 3 anos?PV = 800,00i = 5% ao mêsFV= ?n = 3 anos => 3.12 = 36meses

/100 = 0,05 (Forma unitária)

FV = PV.(1 + n . i)

Resolução Exercício 1

PV = 800,00 i = 0,05FV = ? n = 36 meses

FV = PV.(1 + n . i)

FV = 800.(1 + 36 . 0,05)FV = 800.(1 + 1,80)FV = 800. (2,80)FV = 2.240,00

Atenção: efetuar a multiplicação

primeiro.

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Exercício 2 – PV (Valor Presente)

Sua dívida junto à Financeira YK atualmenteé de R$ 28.224,08. Se ela foi contraída há 4trimestres, qual o valor originalmente devido,se a taxa de juros é de 7,5%a.m?

(Gimenes, 2012, p. 81, PLT)

Exercício 2 – PV (Valor Presente)

FV = 28.224,08n = 4 trim.PV = ?i = 7,5%a.m.n = 4 x 3=12m.i = 7,5%/100 =i = 0,075

Exercício 2 – PV (Valor Presente) na HP12C

FV = 28.224,08n = 4 trim.PV = ?i = 7,5%a.m.n = 4 x 3 = 12m. 12 n

PV = -11.849,99

f CLx

FV28 224,08

i7,5 aceita em %

Na HP12c, o resultado negativo não quer dizer que está errado, pois ela trabalha como fluxo de caixa.

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Exercício 3 – i (taxa de juros compostos)

Que taxa mensal faz com que R$ 2.150,00 produzam R$ 700,00 juros em 7 meses?

(Gimenes, p. 91, 2012, PLT)

Revisão de matemática básica:

Exercício 3 – i (taxa de juros compostos)

Que taxa mensal faz com que R$ 2.150,00produzam R$ 700,00 juros em 7 meses?i = ? Mensal PV = 2150 J = 700n = 7 meses

FV = PV+JFV = 2150+700FV = 2850

Exercício 3 – i (taxa de juros compostos)

7 SHIFT ^

X 100 = 4,1086%a.m.

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Exercício 3 – i (taxa de juros compostos) na HP12c

i = ? MensalPV = 2150J = 700n = 7 meses

FV = PV+JFV = 2150+700FV = 2850

7 n

i = 4,108%a.m.

f CLx

CHS2 150 PV

FV2 850

*Na prova será aceito este padrãode resposta. Colocar todos ospassos da HP12C.

Exercício 4 – Cálculo do prazo (n)

Você aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de10%a.m. Depois de algum tempo, o valordisponível para o resgate era de R$1.610,51. Qual o tempo dessa aplicação?

(Gimenes, 2012, p. 86, PLT)Revisão matemática básica:

= 2.log 5

Exercício 4 – Cálculo do prazo (n)

PV = 1000i = 10%a.m.FV = 1610,51n = ?Taxa ao mêsRespostaem meses.i = 10/100 = 0,1 n=0,206963/0,041393=5m.

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Exercício 4 – Cálculo do prazo (n)

PV = 1000i = 10%a.m.FV = 1610,51n = ?Taxa ao mêsRespostaem meses.

10 i

n = 5 meses

f CLx

CHS1 000 PV

FV1610,51

Juros Simples e Compostos

Finalizando

Mais Estudos

• É muito importante que você resolva maisexercícios.

• Não fique somente nos exercícios dasaulas.

• O treino e a variedade de exercíciosdeverão complementar as aulas.

• Faça os exercícios do Caderno deAtividades e do PLT.

• Tente resolver sem ver a solução.

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Juros Simples x Compostos

MÊS PV i Juros (R$)

Saldo Final

1 R$ 100,00 10% 10,00 110,00

2 R$ 100,00 10% 10,00 120,00

3 R$ 100,00 10% 10,00 130,00

MÊS PV i Juros (R$)

Saldo Final

1 R$ 100,00 10% 10,00 110,00

2 R$ 110,00 10% 11,00 121,00

3 R$ 121,00 10% 12,10 133,10

= Juros Simples

Juros Compostos =

Gráfico Comparativo de Juros Simples e Compostos

Simples Composto

Exercício 1

A que taxa mensal de juros simples umcapital deve ser aplicado para que tripliqueem 5 anos?i = ? % mensalPV =FV =n = 5 anosn = 5 x 12 = 60 m

1,00

3,00

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Exercício 1 – Resolução

FV = PV . ( 1 + n . i )3 = 1 . ( 1 + 60 . i )3 = 1 + 60 i

3 – 1 = 60 i2 = 60 i

2 / 60 = ii = 0,033333 (forma unitária)i = 0,033333 x 100i = 3,33% a.m.

Exercício 2

A Cia. Brasília tomou um empréstimo noBanco Ouro. No vencimento, pagou R$59.701,93. O prazo da operação foi de 9meses. A taxa de juros compostos foi de1,99% ao mês. Qual o valor do empréstimo?FV = 59.701,93n = 9 mesesi = 1,99% a.m.PV = ?

/100 = 0,0199 (Forma unitária)

Resolução Exercício 2

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Exercício 3

Um consumidor comprou um aparelho à vistapor R$ 449,80. O mesmo bem poderia serpago algum tempo depois por R$ 600,00. Aloja opera com uma taxa de 5%a.m. Qual oprazo disponibilizado pela loja para talpagamento?

(Gimenes, 2012, p. 86)

Exercício 3 – Resolução

PV = 449,80FV = 600,00i = 5,0%a.m.n = ?i = 5/100 = 0,05

Exercício 4

A Joãozinho Ltda. recebeu em pagamentoum título de R$ 605,00 que vencerá em doisanos. No entanto, a empresa está precisandode dinheiro hoje para pagar uma despesa.Trabalhando sempre com juros compostos ecom custo de oportunidade de 10% ao ano,por qual valor mínimo, em reais, deverávender hoje este título?

(ENADE – 2002 – ADM)

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Exercício 4 – Resolução

FV = 605i = 10% a.a.n = 2 anosPV = ?

Para Reflexão

"O juro composto é a maior invenção dahumanidade, porque permite umaconfiável e sistemática acumulação deriqueza”.Albert Einstein

Referências

GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática financeira com HP12C e Excel. São Paulo: Pearson Education, 2012. Pearson – PLT –Programa do Livro-Texto

OTSUKA, Leonardo Takamasa. Matemática Financeira. Caderno de Atividades. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014.