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Ensino Superior 1 – Matrizes: Operações e Propriedades Amintas Paiva Afonso Álgebra Linear

Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

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Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

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Page 1: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

Ensino Superior

1 – Matrizes: Operações e Propriedades

Amintas Paiva Afonso

Álgebra Linear

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Definição de Matrizes

Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Amxn = [a11 a12 L a1n

a21 a22 L a2n

M M Mam1 am2 K amn

] = [aij]mxn

matriz A de m linhas e n colunas

Elemento da linha ie coluna j

Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna

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TIPOS DE MATRIZES

214

311

221

Matriz quadrada

m = n (x linhas = x colunas)

Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)

Diagonais

Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.

Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)

Elementos dadiagonal principal:

1, 1 e 2

Elementos dadiagonal secundária:

2, 1 e 4

Page 4: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

400

210

112

Matriz triangular superior

Matrizes Triangulares

2754

0432

0011

0002

Matriz triangular inferior

500

020

004

Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são

todos nulos.

Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também

quando ambos são verdade!

Esta também é uma matriz triangular!

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares

são quadradas.

Page 5: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

Casos especiais de Matrizes

Triangulares. Matriz identidade

700

040

002

100

010

001

Matriz diagonal

Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero

A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal

são todos iguais a um.

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares

são quadradas. Chatice hein!

Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.

Chamamos a matriz acima de I3

(identidade de ordem 3)

No geral, In onde n é a ordem da matriz.

Page 6: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

0000

0000

0000

Matriz nula

Todos os elementos são nulos.

Chamamos a matriz nula de Omxn

Então essa é O3x4

A Matriz nula não precisa ser quadrada!

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos

correspondentes são iguais.

421

21 3

112

421

21 3

112

Caso ao olhar essas duas

matrizes e não ver que elas são iguais,

favor procurar o oculista.

Page 7: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )

3x2 41

30

12

=A .

431

102

2x3

=At

Matriz A transposta

Simétrica Matriz quadrada tal que At = A

2x2 23

31

=A

2x2 23

31

=At

Matriz A transposta

Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A

3x3 013

102

320

=A

3x3 013

102

320

=At

=Os elementos da transposta

são os opostos da original.

Page 8: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Adição

[1 −14 02 5 ]+[ 0 4

−2 51 0 ] = [1 3

2 53 5 ]

Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.

É sempre possível somar matrizes?

Não!

Somente quando estas forem de mesma ordem.

+ =

Se liguem, o mesmo vale pra subtração.

Page 9: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

Multiplicação por escalar

Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.

31

102 2.

2.3 2.1

2.102.2=

6 2

204=

Matriz A Matriz -2A

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Multiplicação de matriz por matriz

CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.

2x2

3x2

40

11 .

35

24

12

3x2 3.4153.05.1

2.4142.04.1

1.4121.02.1

+)(+

+)(+

+)(+=

75

44

22=

Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo

Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.

O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.

O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.

Ihhh... Aqui fu...!

Page 11: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

[2 14 25 3 ]3x2

.[1 −10 4 ]

2x2

75

44

22=2.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4

4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4

5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4

Observe, multiplicamos

ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o

primeiro elemento da elemento com o

primeiro da coluna e por aí vai...

Page 12: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

EXEMPLO 1

1) Seja A =

143

201 e seja B =

012

411

Calcule A + B.

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Page 13: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

EXEMPLO 2

2) Seja A =

143

201 e seja B =

012

411 .

Calcule A – B.

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Page 14: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

EXEMPLO 3

3) Calcule o produto das matrizes:

20

53

12

.

021

102

321

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Page 15: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

EXEMPLO 4

4) A matriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j é dada por:

a)

321

642 b)

1242

621 c)

642

321

d)

321

111 e)

321

642

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Page 16: Álgebra Linear Unidade 1- Matrizes- Operações e Propriedades

EXEMPLO 5

5) Dadas as matrizes

65

43

21

A

102

231B

calcule a matriz A – Bt é:

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