Alguns Resultados em Teoria Assintotica Estimacao · Alguns Resultados em Teoria Assintotica Estimacao O Modelo Estrutural Os Modelos ARDL e ARMADL O Modelo VAR O Modelo ARDL Na pratica

Alguns Resultados em Teoria AssintoticaEstimacao

Series Temporais e Modelos Dinamicos em

Econometria

Marcelo C. Medeiros

Departamento de EconomiaPontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro

Aula 6

Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos


O Teorema de WoldLei dos Grandes NumerosTeorema Central do LimiteEstimacao-M

O Teorema de Wold

O Teorema de Wold

Todo processo {yt} estacionario de segunda ordem possui aseguinte representacao:

yt =∞∑

i=0

ψiεt−i + ηt ,

onde ξ0 = 1,∑∞

i=0 ψ2i <∞, {εt} e um processo nao

correlacionado serialmente, E(ηtεt−i ) = 0, ∀ i e existem constantesa0, a1, . . . tal que V (

∑∞i=0 aiηt−i ) = 0. ηt e um processo

determinıstico.




Lei dos Grandes Numeros

Lei dos Grandes Numeros para Processos Dependentes

Seja {yt} um processo estocastico tal que:

E(yt) = µ <∞, E[(yt − µ)(yt−k − µ)] = γk , e∞∑

k=0

|γk | <∞.

Entao:

y =1

T

T∑

t=1

ytm.s.−→ µ

limT−→∞

{TE

[(y − µ)2

]}=

∞∑

k=−∞

γk = γ0 + 2∞∑

k=1

|γk |.




Teorema Central do Limite

Teorema Central do Limite para Processos Dependentes

Seja {yt} um processo estocastico tal que:

yt = µ+∞∑

i=0

ψiεt−i

yt = µ+Ψ∞(L)εt ,

onde ψ0 = 1 e∑∞

i=0 i |ψi | ≤ ∞. Logo,

√T (y − µ)

d−→ N[0, σ2εΨ∞(1)2

].




Estimacao-M

Em geral, um vetor de parametros ψ0 e estimado por

ψ = argminψ∈Ψ

QT (ψ),

onde QT (ψ) e uma funcao de custo.

Exemplos classicos sao mınimos quadrados ordinarios oumaxima verossimilhanca.




Estimacao-M

Consistencia

Se:

1. Ψ for compacto

2. QT (ψ) for uma funcao contınua em ψ ∈ Ψ para todo y etambem for uma funcao mensuravel de y para todo ψ ∈ Ψ

3. 1TQT (ψ)

p−→ Q(ψ) (nao-estocastico)

4. ψ0 ∈ int(Ψ) for o unico mınimo de Q(ψ)

Entao ψp−→ ψ0.




Estimacao-M

Normalidade Assintotica

Se alem das condicoes 1–4 do teorema anterior,

5. ∇2QT (ψ) existir e for uma funcao contınua em umavizinhanca aberta e convexa de ψ0

6. 1T∇2QT (ψ0)

p−→ A(ψ0), onde A(ψ0) e uma matriz finita enao-singular.

7. 1√T∇QT (ψ0)

d−→ N(0,B0).

Entao

√T(ψ −ψ0

)d−→ N

(0,A(ψ0)

−1B(ψ0)A(ψ0)−1)



O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR

O Modelo Estrutural

Seja zt = (z1t , . . . , zmt)′ ∈ R

m e considere o seguinte modelo“estrutural” com erros MA:

Bzt = A0 +A1zt−1 + . . . + Apzt−p +D1ut−1 + . . .

+Dqut−q + ut ,

Bzt = A0 +A(L)zt +D(L)ut ,

onde:

B ∼ (m ×m), A0 ∼ (m × 1),A1 ∼ (m ×m), . . . ,Ap ∼ (m ×m),D1 ∼ (m ×m), . . . ,Dp ∼ (m ×m) sao parametros;ut = (u1,t , . . . , um,t)

′ e um vetor com os choques estruturais eA(L) = A1L+ A2L

2 + · · ·+ ApLp e

D(L) = I+D1L+D2L2 + · · ·+DqL

q.




O Modelo Estrutural

Vamos considerar as seguintes hipoteses para o erro ut :

E(ut |Ft−1) = E(ut) = 0.E(utu

′t |Ft−1) = E(utu

′t) = Σu tal que

Σu =

σ211 0 · · · 00 σ2

22 0 0...

.... . .

...0 0 · · · σ2

mm

.

Nosso objetivo e estimar os parametros do modelo.

Mas para isso vamos comecar considerando alguns casosparticulares.




O Modelo ARDL

Considere o seguinte modelo ARDL:

yt = α0 + α1yt−1 + · · · + αpyt−p + β′0xt + · · ·+ β′

pxt−p + uy ,t

yt = λ′vt + et ,

onde:

λ =(α0, α1, . . . , αp,β

′0, . . . ,β

′p

)′;

vt =(1, yt−1, . . . , yt−p, x

′t , . . . , x

′t−p

)′e

et = uy,t .




O Modelo ARDL

Suponha que o objetivo seja estimar o vetor de parametros λ.

Perguntas importantes

Como estimar λ?Sob quais hipoteses os estimadores serao consistentes para λ eassintoticamente normais?Como testar hipoteses sobre respeito dos parametros?




O Modelo ARDL

Defina

V =

1 v2,1 · · · vn,1...

.... . .

1 v2,T · · · vn,T

e y = (y1, . . . , yT )

′ ,

onde n = p + 1 + 2p(m − 1) e a dimensao do vetor vt .

Considere as seguintes hipoteses

(H.1) {yt , xt ; t = 1, . . . ,T} e uma sequencia de variaveis aleatoriasestacionarias de segunda ordem e mixing onde xt ∈ R

k ,k = m − 1.

(H.2) posto(V) = n ⇒ Nao ha colinearidade perfeita




O Modelo ARDL

O estimador de mınimos quadrados ordinarios (MQO) edefinido por

λMQO =

(T∑

t=1

vtv′t

)−1 T∑

t=1

vtyt

ou

λMQO = (V′V)−1V′y

Sob (H.1) e (H.2) yt = λ′MQOvt e a “melhor” aproximacao

linear para a media condicional E (yt |vt).Note que λMQO nao e necessariamente consistente para λ.




O Modelo ARDL

Considere a seguinte hipotese adicional:(H.3) E(et |vt) = 0 ⇒ Exogeneidade fraca

Sob (H.1), (H.2) e (H.3) λMQO sera consistente para λ eassintoticamente normal, ou seja,

√T(λMQO − λ

)d→ N(0,A−1).

Caso

(H.4) E(etes) = 0 ∀ t 6= s

(H.5) E(e2t ) = σ2,

entao A−1 = σ2M−1VV onde

MVV = limT→∞

1

T

T∑

t=1

E(vtv

′t

).




O Modelo ARDL

Na pratica MVV e aproximada por V′V, logo

λMQO ≈ N(λ, σ2(V′V)−1).

Para demonstrarmos os resultados anteriores, vamosconsiderar a seguinte equacao:

λMQO = λ+

(T∑

t=1

vtv′t

)−1 T∑

t=1

vtet .

Portanto, iremos precisar de uma “Lei dos Grandes Numeros”e um “Teorema Central do Limite” para processosdependentes.




Teoria Assintotica - Caso do AR(1)

O modelo AR(1): yt = αyt−1 + ut

Hipoteses:

E [ut |Ft−1] = 0E[u2t |Ft−1

]= σ2





O estimador de MQO e dado por:

α =

(T∑

t=1

y2t−1

)−1 T∑

t=1

ytyt−1 =

T∑t=1

ytyt−1

T∑t=1

y2t−1

.

Dado que yt = αyt−1 + ut , podemos escrever

α =

T∑t=1

[αy2t−1 + utyt−1

]

T∑t=1

y2t−1

= α+

T∑t=1

utyt−1

T∑t=1

y2t−1

.





O que implica que

α− α =

∑Tt=1 utyt−1∑Tt=1 y

2t−1

=1T

∑Tt=1 utyt−1

1T

∑Tt=1 y

2t−1

.





Consistencia: α− αp→ 0

Para provar consistencia de α e necessario o calculo de

plim 1T

∑Tt=1 utyt−1

plim 1T

∑Tt=1 y

2t−1

Portanto, e necessaria uma Lei dos Grandes Numeros parautyt−1 e y2t−1!





Condicoes para utyt−1:

E [utyt−1] = E [E [utyt−1|Ft−1]]

= E [yt−1E [ut |Ft−1]] = 0

E[u2t y

2t−1

]= E

[E[u2t y

2t−1|Ft−1

]]

= E[y2t−1E

[u2t |Ft−1

]]

= E[y2t−1σ

2]= σ2

E[y2t−1

]︸︷︷︸

=σ2/(1−α2)

= σ4/(1− α2

)





Para s > t:

E [utyt−1usys−1] = E [E [utyt−1usys−1|Fs−1]]

= E [yt−1utys−1E [us |Fs−1]]

= 0

Logo, a sequencia {u2y1, ..., uT yT−1} nao e correlacionada.

Pela Lei dos Grandes Numeros de Markov:

plim1

T

T∑

t=1

utyt−1 = 0





Condicoes para y2t−1:

plim1

T

T∑

t=1

y2t = plim1

T

T∑

t=1

(αyt−1 + ut)2

= α2plim1

T

T∑

t=1

y2t−1

+ 2αplim1

T

T∑

t=1

yt−1ut

+ plim1

T

T∑

t=1

u2t





No entanto, note que

T∑

t=2

y2t −T∑

t=1

y2t−1 = y2T − y21 = Op(1).





Com isso,

plim1

T

T∑

t=1

y1t = α2plim1

T

T∑

t=1

y2t

− α2plim1

TOp(1)

︸︷︷︸=0

+ 2α plim1

T

T∑

t=1

yt−1ut

︸︷︷︸mostramos ser igual a 0

+ plim1

T

T∑

t=1

u2t .





Pela Lei dos Grandes Numeros,

(1− α2

)plim

1

T

T∑

t=2

y2t = plim1

T

T∑

t=1

u2t = σ2

⇒ plim1

T

T∑

t=1

y2t−1 = σ2/(1− α2

).





E, pelo Teorema de Slutsky,

plim (α− α) =plim 1

T

∑Tt=1 utyt−1

plim 1T

∑Tt=1 y

2t−1

=0

σ2/ (1− α2)= 0.





Normalidade Assintotica

Seja

√T (α− α) =

(1√T

∑T

t=1 utyt−1

)

(1T

∑Tt=1 y

2t−1

) .

Como ja demonstrado:

1

T

T∑

t=1

y2t−1

p→ σ2

(1− α2).

Resta mostrar que

1√T

T∑

t=1

utyt−1d→ N

[0,

σ4

(1− α2)

]





TLC para processos do tipo “diferenca martingal”,

Seja Zt = utyt−1

(⇒ Z = 1

T

∑T

t=2 utyt−1

)

Logo

E[

Z 2t

]

= σ4/(

1− α2)

1T

∑T

t=1σ4

(1−α2)

= σ4/(

1− α2)

E [|Zt |r ] < ∞ para r > 2 e ∀t





Pela Decomposicao de Wold,

yt−1 =

∞∑

i=0

ψiut−1−i .

E facil mostrar que E

[|yt−1ut |2+δ

]<∞, dado que

E

[|ut−1−iut |2+δ

]

6

√E

[|ut−1−i |4+2δ

]E

[|ut |4+2δ

]<∞,

por Cauchy-Schwarz.




Teoria Assintotica - Caso do AR(p)

Modelo AR(p):

yt = α0 + α1yt−1 + α2yt−2 + ...+ αpyt−p + ut

Defina

β = (α0, α1, α2, · · · , αp)′ e

xt = (1, yt−1, yt−2, · · · , yt−p)′ .





Portanto,

√T(β − β

)=

[1

T

T∑

t=1

xtx′t

]−1 [1√T

T∑

t=2

utxt

],

onde

T∑

t=1

xtx′

t =

T∑

yt−1 · · ·∑

yt−p∑

yt−1

∑

y2t−1 · · ·

∑

yt−1yt−p∑

yt−2

∑

yt−1yt−2 · · ·∑

yt−2yt−p

......

. . ....

∑

yt−p

∑

yt−1yt−p · · ·∑

y2t−p





Alem disso:

T−1T∑t=1

yt−ip−→ µ e

T−1T∑t=1

yt−iyt−jp−→ γ|i−j| + µ2.

Logo

[1T

T∑t=1

xtx′t

]−1p−→ Q−1, com

Q =

1 µ µ · · · µµ γ0 + µ2 γ1 + µ2 · · · γp−1 + µ2

µ γ1 + µ2 γ0 + µ2 · · · γp−2 + µ2

......

.... . .

...µ γp−1 + µ2 γp−2 + µ2 · · · γ0 + µ2





V [xtut ] = σ2Q

1/√T∑

xtutd−→ N

(0, σ2uQ

)

Das condicoes acima:

√T(β − β

)d−→ N

(0, σ2uQ

−1)




O Modelo ARMADL

Os parametros do modelo ARMADL

yt =α0 + α1yt−1 + . . .+ αpyt−p + β′0xt + . . . + β′

pxt−p+

θ1uy ,t−1 + . . . + θquy ,t−q + uy ,t ,

devem ser estimados por procedimentos de otimizacaoiterativos.

Os resultados assintoticos podem ser obtidos a partir dos doisteoremas sobre estimacao-M.




O Modelo VAR

Os parametros do modelo VAR

zt = C0 + C1zt−1 + . . .+ Cpzt−p + vt ,

podem ser estimados por MQO equacao por equacao.

Sob as mesmas condicoes descritas para o caso do ARDL, osestimadores serao consistentes e assintoticamente normais.


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