ObjetivoObjetivo

Estimar a média de uma variável aleatória X, que representa uma característica de interesse de uma população, a partir de uma amostra.

Exemplos:Exemplos:: peso médio de homens na faixa etária de 20 a 30

anos, em uma certa localidade;

: salário médio dos empregados da indústria metalúrgica em São Bernardo do Campo, em 2001;

: taxa média de glicose em indivíduos do sexo feminino com idade superior a 60 anos, em determinada localidade;

: comprimento médio de jacarés adultos de uma certa raça.

: idade média dos habitantes do sexo feminino na cidade de Santos, em 1990;

Vamos observar nn elementos, extraídos ao acaso da população;

Para cada elemento selecionado, observamos o valor da variável X de interesse.

Obtemos, então, uma amostra aleatória de tamanho n de X, que representamos por X1, X2, ..., Xn.

sendo o erro amostral (margem de erro) calculado a partir da distribuição de probabilidade de .

. nX n

1i

i

n

nX ...

2X

1X

X

Uma estiestimadormador pontualpontual para é dado pela médiamédia amostralamostral,

, X ; - X

Uma estimaestimadordor intervalarintervalar ou intervalo de intervalo de confiança confiança para tem a forma

X

Teorema do Limite CentralTeorema do Limite Central

Seja X uma v. a. que tem média e variância 2. Para amostras X1, X2, ..., Xn , retiradas ao acaso e com reposição de X, a distribuição de probabilidade da média amostral aproxima-se, para n grande, de uma distribuição normal, com média e variância 2 / n , ou seja,

X

mente.aproximada grande, n para , n

2, N ~X

Comentários:

Se a distribuição de X é normal, então tem distribuição normal exata, para todo npara todo n.

X

O desvio padrão é denominado

erro padrerro padrãão da mo da méédia.dia.

nn

2

Intervalo de ConfiançaIntervalo de Confiança

Pergunta: Como determinar ?

X ; - X

Como vimos, o estimaestimador pordor por intervalintervaloo para a média tem a forma

Seja P( ) = , a probabilidade da média amostral

estar a uma distância de, no máximo , da média populacional (desconhecida), X

, n

Z n

P

n n

- X

n

P

X P - X P

sendo Z ~ N(0,1) .

ou seja,

que temos , zn

Denotando

Assim, conhecendo-se o coeficiente de confiança obtemos z.

. z) Z (-z P

Erro na estimativa intervalarErro na estimativa intervalar

por dado é amostral erro o

que segue , n

z igualdade Da

N(0,1). ~ Z com , z) Z (-z P que tal z sendo

, n

z

O intervalo de confiança intervalo de confiança para a mpara a méédiadia , com com coeficiente de confiança coeficiente de confiança fica, então, dado por

, n

z X ; n

z - X

X. de padrão desvio o sendo

ExemploExemplo 1:1:Não se conhece o consumo médio de combustível de automóveis da marca T. Sabe-se, no entanto, que o desvio padrão do consumo de combustível de automóveis dessa marca é 10 km/l. Na análise de 100 automóveis da marca T, obteve-se consumo médio de combustível de 8 km/l. Encontre um intervalo de confiança para o consumo médio de combustíveldessa marca de carro. Adote um coeficiente de confiança igual a 95%.

n = 100 (média amostral) = 8 km/lx

X: consumo de combustível de automóveis da marca T= 10 km/l

= 0,95 z = 1,96

Observe que o erro amostral é 1,96 km/l.

9,96 ; 6,04

1,96 8 ; 1,96 - 8

Pelo Teorema do Limite Central, o intervalo de confiança de 95% é dado, aproximadamente, por

n z X ;

n z - X

100

10 1,96 8 ;

100

10 1,96 - 8

Exemplo 2:

Deseja-se estimar o tempo médio de estudo (em anos) da população adulta de um município. Sabe-se que o tempo de estudo tem distribuição normal com desvio padrão = 2,6 anos. Foram entrevistados n = 25 indivíduos, obtendo-se para essa amostra, um tempo médio de estudo igual a 10,5 anos. Obter um intervalo de 90% de confiança para o tempo médio de estudo populacional.

n = 25 = 10,5 anos= 0,90 z = 1,65

x

X : tempo de estudo, em anos e X ~ N( ; 2,62)

11,36;9,64

0,8610,5;0,86-10,5

A estimativa intervalar com 90% de confiança é dada por:

n z x ;

n z - x

25

2,5 1,65 10,5 ;

25

2,5 1,65 - ,510

DimensionamentoDimensionamento da da amostraamostra

conhecendo-se o desvio padrão de X, o erroda estimativa e o coeficiente de confiança

do intervalo, sendo z tal que

,z

n 22

,

n z relação da partirA

N(0,1). ~ Z e z) Z (-z P

o tamanho da amostra nn é determinado por

n = ?? tal que = 50 reais,= 0,95 z = 1,96

Exemplo 3:A renda per-capita domiciliar numa certa região tem distribuição normal com desvio padrão = 250 reais e média µ desconhecida. Se desejamos estimar a renda média µ com erro = 50 reais e com uma confiança = 95%, quantos domicílios devemos consultar?

X : renda per-capita domiciliar na regiãoX ~ N( ; 2502)

Aproximadamente 96 domicílios devem ser consultados.

96,04

25050

1,96 22

22

z n

Então,

Exemplo 4:A quantidade de colesterol X no sangue das alunasde uma universidade segue uma distribuição de probabilidades com desvio padrão = 50 mg/dl e média µ desconhecida. Se desejamos estimar a quantidade média µ de colesterol com erro = 20 mg/dl e confiança de 90%, quantas alunas devemrealizar o exame de sangue?

X: quantidade de colesterol no sangue das alunasda universidade

= 50 mg/dl

n = ?? tal que = 20 mg/dl= 0,90 z = 1,65

Assim, aproximadamente 206 alunas devemrealizar o exame de sangue.

206,25

5020

1,65 22

Supondo que o tamanho da amostra a ser selecionada é suficientemente grande, pelo Teorema do Limite Central temos:

22

z n

Na prática, a variância populacional 2 é desconhecida e é substituída por sua estimativa,

A estimativa amostral do desvio padrão é

2ss

2

Se a amostra for selecionada de uma população com distribuição normal com média e variância desconhecidas, a variável aleatória

n

S- X

__

tem distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.

DistribuiDistribuiçãção t de Student o t de Student

tem caudas mais densas do que a distribuição normal;

valores extremos são mais prováveis de ocorrer com a distribuição t do que com a normal padrão;

a forma da distribuição t reflete a variabilidade extra introduzida pelo estimador S;

para cada possível valor dos graus de liberdade, há uma diferente distribuição t;

as distribuições com menores graus de liberdade são mais espalhadas;

conforme g.l. aumenta, a distribuição t se aproxima da distribuição normal padrão;

conforme o tamanho da amostra aumenta, s se torna uma estimativa mais confiável de ; se n é muito grande, conhecer o valor de s é quase equivalente a conhecer .

Assim, uma estimativa intervalar para a média populacional, quando é desconhecido , é

, 1-- ; 1--n

s nt x

n

s nt x

Exemplo Exemplo 5:5:Considere uma a.a. de 10 crianças selecionadas da população de bebês que recebem antiácidos que contém alumínio. Esses antiácidos são freqüentemente usados para tratar problemas digestivos. A distribuição de níveis de alumínio no plasma é conhecida como sendo aproximadamente normal com média e desvio padrão desconhecidos.

O nível médio de alumínio para a amostra de 10 bebês é= 37,2 g/l e o desvio padrão é s = 7,13 g/l.x

. n

s 1-nt- x ;

n

s 1-nt - x

Um intervalo de confiança de 95% para a média da população é

Substituindo os valores correspondentes resulta

42,3). ; (32,1 )10

13,7262,22,37 ;

10

13,7262,22,37(

Se fornecemos a informação adicional de que o nível médio de alumínio no plasma para a população de bebês que não recebem antiácidos é 4,3 g/l, o IC obtido sugere que dar antiácidos aumenta muito os níveis de alumínio no plasma das crianças.

Se o desvio padrão da população é conhecido e é igual ao valor da amostra de 7,13 g/l, o intervalo de confiança de 95% para seria (32,8; 41,6), que é levemente menor.

Para n grande, a distribuição t de Student aproxima-se da distribuição normal.

Assim, uma estimativa intervalar aproximada paraa média populacional , quando o tamanho daamostra é grande e é desconhecido , é

n

s z x

n

s z - x

sendo ss o desvio padrão amostral e z tal que

.N(0,1) ~ com ) (- P ZzZz

Exemplo 6:Exemplo 6:Para estimar a renda semanal média de garçons de restaurantes em uma grande cidade, é colhida uma amostra da renda semanal de 75 garçons. A média e o desvio padrão amostrais encontrados são R$ 227 e R$ 15 respectivamente. Determine um intervalo de confiança, com coeficiente de confiança de 90%, para a renda média semanal.

n = 75 = 227 e s = 15= 0,9 z = 1,65

x

X : renda semanal de garçons da cidade

57

51 1,65 227 ;

57

51 1,65 - 227

229,86 ; 224,14

2,86 227 ; 2,86 - 227

; - n

s zx

n

s zx

O intervalo de 90% de confiança é dado, aproximadamente, por

Exemplo 6:Exemplo 6:Considere que a distribuição de níveis séricos de colesterol para homens que são hipertensos e que fumam é aproximadamente normal com uma média desconhecida e desvio padrão = 46 mg/100ml.

Interesse:Interesse: estimar o nível sérico médio de colesterol dessa população.

Antes de selecionarmos uma a.a., a probabilidade de que o intervalo

) 46

1,96 ; 46

1,96(n

Xn

X

contenha a média verdadeira da população é 0,95.

Suponha que selecionamos uma a.a. de tamanho 12 da população de fumantes hipertensos e que o nívelsérico médio de colesterol é = 217 mg/100ml. x

Baseado nessa amostra, um intervalo de confiança de 95% para é

) 12

461,9617 ;

12

461,9617( 22 (191 ; 243)

O intervalo de 191 a 243 fornece um intervalo de valores razoáveis para .

Não podemos dizer que há uma probabilidade de 95% de que se encontre entre esses valores; éfixo e está entre 191 e 243 ou não.

e o comprimento é 243 - 191 = 52 g/100ml.

InterpretaInterpretaçãçãoo freqfreqüüentistaentista:: Se extrairmos 100 a.a. de tamanho 12 dessa população e para cada uma delas construirmos um intervalo de confiança de 95%, esperamos que 95 dos intervalos contenham a média

verdadeira da população e 5 não.

Intervalo de confiança de 99% para :

) 12

462,5817 ;

12

462,5817( 22 (183 ; 251)

O comprimento desse intervalo é maior do que o correspondente intervalo de confiança de 95%.

comprimento do IC de 99% é 251-183 = 68 g/100ml.

Como o intervalo está centrado ao redor da média da amostra = 217 mg/100ml, estamos interessados no tamanho de amostra necessário para produzir o intervalo (217-10 ; 217+10) = (207 ; 227).

x

Que tamanho deve ter a amostra para se reduzir o comprimento do intervalo para 20 mg/100ml?

Para encontrar o tamanho n da amostra requerido, precisamos resolver a equação

140,8 10 46

2,58 nn

É necessária uma amostra de 141 homens para reduzir o comprimento do IC de 99% para 20 g/100ml.

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