Análise Do Comportamento Dinâmico Em Vibração Livre de Vigas Pelo Método Das Diferenças Finitas

UNIVERSIDADE DA AMAZNIA

RAFAEL HENRIQUE VIANA ABREU

ANLISE DO COMPORTAMENTO DINMICO EM

VIBRAO LIVRE DE VIGAS PELO MTODO DAS

DIFERENAS FINITAS.

BELM/PA

DEZEMBRO 2012

ii




DIFERENAS FINITAS.

Trabalho de concluso de curso apresentado ao curso de Engenharia

Civil da Universidade da Amaznia

como requisito para obteno do

ttulo de Bacharel em Engenharia

Civil.

Orientador: Prof. D.Sc. Selnio Feio

da Silva.

BELM/PA

DEZEMBRO 2012

iii




DIFERENAS FINITAS.

Trabalho de concluso de curso apresentado ao curso de Engenharia

Civil da Universidade da Amaznia

como requisito para obteno do

ttulo de Bacharel em Engenharia

Civil.

Orientador: Prof. D.Sc. Selnio Feio

da Silva.

Banca examinadora:

Professor Selnio Feio da Silva, D. Sc.

(Orientador)

Professor Mrcio Murilo Ferreira de Ferreira, M. Sc.

(Examinador Interno)

Professor Evaristo Clementino Rezende dos Santos Junior, M. Sc.

(Examinador Interno)

Apresentado em: / / /

Conceito: ____________

BELM/PA

DEZEMBRO 2012

iv

Dedicado minha Famlia,

em especial minha me, Ana Cristina.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeo a DEUS, que me d sade, f e perseverana, guiando meus passos

conduzindo-me a grandes conquistas.

A Universidade da Amaznia (UNAMA) por me proporcionar uma formao

tcnica, profissional e humana.

Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos passados durante

os cinco anos de curso.

Agradecimento especial ao professor Selnio Feio da Silva pela dedicao e

pacincia de ensinar e me orientar na iniciao cientfica e especialmente neste

trabalho de concluso.

A minha famlia e em especial a minha av Theresinha, minhas tias Dayse e

Carlaide, meu tio Mrio, minha irm Suzane e minha me Cristina, por terem me

ensinado atravs do convvio a tentar a cada dia ser uma pessoa melhor.

Aos amigos que fiz durante o curso que muito me ajudaram, incentivaram e

ensinaram: Alisson Lobato, Antnio David, Bernardo Pio, Fernando Mendona,

Joo Pedro Carneiro, Pedro Secco, Renato Lobato, Virginia Pagno e Wellington

Costa.

Finalmente, um imensurvel agradecimento a banca examinadora que aceitou o

convite feito para participar desta defesa de concluso de curso.

vi

Jamais considere seus estudos como uma obrigao,

mas como uma oportunidade invejvel para aprender a

conhecer a influncia libertadora da beleza do conhecimento,

para seu prprio prazer pessoal e para proveito da comunidade

qual seu futuro trabalho pertencer.

Albert Einstein

vii

RESUMO

ANLISE DO COMPORTAMENTO DINMICO EM VIBRAO LIVRE

DE VIGAS PELO MTODO DAS DIFERENAS FINITAS.

Autor: Rafael Henrique Viana Abreu.

Orientador: Selnio Feio da Silva.

Trabalho de Concluso de Curso Engenharia Civil.

Belm-Pa, dezembro de 2012.

Neste trabalho sero fornecidos alguns conceitos gerais para a melhor compreenso

do que uma estrutura, sua importncia, suas classificaes, alm de demonstrar os tipos de

elementos estruturais e tambm os principais esforos que atuam nas estruturas quando

solicitadas.

Logo aps, sero apresentados alguns conceitos bsicos envolvidos no estudo de

vibraes mecnicas. Destacando-se algumas definies bsicas necessrias para o

entendimento e desenvolvimento do trabalho.

Em seguida, sero apresentados alguns conceitos gerais referentes classificao das

vigas, alm da tipologia dos esforos atuantes nas vigas, descrevendo tambm, a teoria Euler

que ser estudada no decorrer do trabalho. Ainda sero apresentados trs principais modelos

de equaes de vigas presentes na literatura, para o estudo em vibrao livre de vigas.

Posteriormente, ser fornecido a formulao bsica da srie de Taylor, que inicia o

Mtodo das Diferenas Finitas (MDF). Tambm ser mostrado as condies de contorno

presentes na viga, alm da equao de Euler-Bernoulli para o comportamento dinmico na

forma do mtodo das diferenas finitas.

Finalmente, sero feitas aplicaes do Mtodo das Diferenas Finitas (MDF), na

resoluo da equao de movimento de cinco tipos de vigas, em vibrao livre e submetida

somente ao efeito de flexo (viga de Euler), visando mostrar a eficincia do MDF, a fim de

se perceber sua convergncia para com as solues analticas exatas e os valores obtidos por

um software comercial de anlise das frequncias naturais, atravs da comparao de um

parmetro denominado frequncia adimensional.

Palavra-chave: Engenharia Estrutural. Viga de Euler. Vibrao livre. Mtodo das

Diferenas Finitas.

viii

ABSTRACT

ANALYSIS OF THE DYNAMIC BEHAVIOR IN FREE VIBRATION OF

BEAMS BY FINITE DIFFERENCE METHOD.

Author: Rafael Henrique Viana Abreu.

Advisor: Selnio Feio da Silva.

Thesis Work- Civil Engineering.

Belm-Pa, December 2012.

In this work will be provided some general concepts for a better understanding of

what a structure is, it's importance, it's ratings, and further demonstrate the types of structural

elements and also the main stresses that act on structures when requested.

Later, it is displayed some basic concepts related with the study of mechanical

vibrations. Rising some basic definitions necessary to the understanding and development of

the work.

Then, it is displayed some general concepts related to classification of beams,

besides of the typology of active stresses in the beams, describing also the Euler theory that

will be studied later in this work. Yet, there will be presented three main models of beams

equations in the literature, to study free vibration of beams.

After, it will be provided the basic formulation of Taylor's series, which starts the

Finite Difference Method (MDF). Also, it will be shown the boundary conditions within the

beam, and the Euler-Bernoulli equation for the dynamic behavior in the form of finite

difference method.

Finally, applications will be made of the Finite Difference Method (MDF) in

resolution of the motion equation of five types of beams, in free vibration subjected only to

the bending effect (Euler beam), in order to demonstrate the efficiency of MDF, to perceive

its convergence towards the exact analytical solutions and the values obtained by

commercial software of natural frequencies analysis by the comparison of a parameter called

dimensionless frequency.

Keyword: Structural Engineering. Euler beam. Free Vibration. Finite Difference Method.

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Templo Inca Exemplo da tcnica de talhar as pedras ........................... 4

Figura 2.2: Estrutura em forma de arco - Pont du Gard perto de Nmes ...................... 5

Figura 2.3: Cpula da Catedral de Florena ................................................................. 5

Figura 2.4: Representao geral dos elementos estruturais .......................................... 6

Figura 2.5: Representao de viga ................................................................................ 7

Figura 2.6: Representao de pilar ............................................................................... 7

Figura 2.7: Representao de tirante. ............................................................................ 8

Figura 2.8: Representao de arco. ............................................................................... 8

Figura 2.9: Representao de placa. ............................................................................. 9

Figura 2.10: Representao de chapa. .......................................................................... 9

Figura 2.11: Representao de casca. ......................................................................... 10

Figura 2.12: Representao de elemento espacial. ..................................................... 10

Figura 2.13: Representao de fora. .......................................................................... 11

Figura 2.14: Representao de momento. ................................................................... 12

Figura 2.15: Representao de graus de liberdade espacialmente. ............................. 13

Figura 2.16: Representao de graus de liberdade no plano. ...................................... 13

Figura 2.17: Representao para apoio do 1 gnero. ................................................. 14



Figura 2.20: Estrutura Hiposttica. ............................................................................. 16

Figura 2.21: Estrutura Hiperesttica. .......................................................................... 17

Figura 2.22: Estrutura Isosttica ................................................................................. 17

Figura 2.23: Classificao dos esforos presentes nas estruturas ............................... 18

Figura 2.24: Esforos externos carregamento concentrado. Atual (a). Idealizado

(b). ............................................................................................................................... 18

Figura 2.25: Esforos externos ativos carregamento distribuido. Atual (a).

Idealizado (b). ............................................................................................................. 19

Figura 2.26: Esforos internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a).

Distribuio de foras ao longo da superfcie recortada (b) ....................................... 20

Figura 2.27: Esforos internos solicitantes. Conjugado de esforos e (a).

Distribuio de foras a superfcie recortada (b). Distribuio do conjugado de

momento da superfcie recortada (c). Representao esforo normal (d).

x

Representao esforo cortante (e). Representao momento fletor (f). Representao

momento torsor (g).. ................................................................................................... 21

Figura 2.28: Esforo normal em um corpo slido. Efeito efeitos de trao e

compresso.. ................................................................................................................ 22

Figura 2.29: Esforo cortante em um corpo slido... .................................................. 22

Figura 2.30: Momento fletor em um corpo slido. Estrutura antes do carregamento

(a). Estrutura com carregamento (b). Estrutura fletida (c) .......................................... 23

Figura 2.31: Momento torsor em um corpo slido. Estrutura em repouso (a).

Estrutura sob efeito do momento torsor (b). ............................................................... 23

Figura 3.1: Ponte de Tacoma Narrows durante vibrao induzida pelo vento, antes do

colapso. ...................................................................................................................... 25

Figura 3.2: Exemplos de vibrao. Maquina vibrando (a). Estrutura vibrando (b). ... 26

Figura 3.3: Pndulo simples em vibrao livre ........................................................... 27

Figura 3.4: Rotor desbalanceado. ............................................................................... 27

Figura 3.5: Vibrao livre amortecida ........................................................................ 28

Figura 3.6: Vibrao livre no amortecida. ................................................................ 28

Figura 3.7: Sistema linear massa mola. ...................................................................... 29

Figura 3.8: Representao de graus de liberdade. Sistemas com um grau de liberdade

(a). Sistemas com dois graus de liberdade (b). Sistemas com trs graus de liberdade

(c). ............................................................................................................................... 30

Figura 3.9: Sistema discreto de um grau de liberdade. ............................................... 31

Figura 4.1: Principais tipos de vigas. Biapoiada (a). Em balano (b). Apoiada em

balano (c). Continua (d). Apoiada engastada (e). Biengastada (f). ........................... 33

Figura 4.2: Cargas ( Concentradas ao longo da viga. .................................... 34

Figura 3.3: Cargas ( Distribudas ao longo da viga. ...................................... 34

Figura 4.4: Viga em vibrao transversal livre e um diagrama de corpo livre de um

pequeno elemento da viga, uma vez que deformado por uma fora distribuda por

unidade de comprimento, representada por ................................................... 35

Figura 4.5: Viga biapoiada (comportamento dinmico em vibrao livre). ............... 41

Figura 4.6: Viga engastada-livre (comportamento dinmico em vibrao livre). ...... 44

Figura 4.7: Viga engastada-deslizante (comportamento dinmico em vibrao livre)

.................................................................................................................................... 47

Figura 4.8: Viga engastada-apoiada (comportamento dinmico em vibrao livre) .. 49

Figura 4.9: Viga biengastada (comportamento dinmico em vibrao livre) ............. 51

xi

Figura 5.1: Interpretao geomtrica para a derivada. ................................................ 57

Figura 5.2: Viga engastada. ........................................................................................ 59

Figura 5.3: Viga com apoio do 2 gnero. .................................................................. 60

Figura 5.4: Viga com a extremidade livre. ................................................................. 61

Figura 5.5: Viga com apoio deslizante. ...................................................................... 62

Figura 6.1: Viga biapoiada, discretizada com trs ns em diferenas finitas

(comportamento dinmico em vibrao livre) ............................................................ 66

Figura 6.2: Viga biapoiada, discretizada com cinco ns em diferenas finitas


Figura 6.3: viga biapoiada, discretizada com sete ns em diferenas finitas

(comportamento dinmico em vibrao livre). ........................................................... 71

Figura 6.4: Viga biapoiada, discretizada com doze ns em diferenas finitas


Figura 6.5: Viga biapoiada, discretizada com vinte e dois ns em diferenas finitas


Figura 6.6: Viga biapoiada, discretizada com trinta e dois ns em diferenas finitas


Figura 6.7: Viga engastada-livre, discretizada com trs ns em diferenas finitas


Figura 6.8: Viga engastada-livre, discretizada com cinco ns em diferenas finitas


Figura 6.9: Viga engastada-livre, discretizada com sete ns em diferenas finitas


Figura 6.10: Viga engastada-livre, discretizada com doze ns em diferenas finitas


Figura 6.11: Viga engastada-deslizante, discretizada com trs ns em diferenas

finitas (comportamento dinmico em vibrao livre) ............................................... 101

Figura 6.12: Viga engastada-deslizante, discretizada com cinco ns em diferenas


Figura 6.13: Viga engastada-deslizante, discretizada com sete ns em diferenas


Figura 6.14: Viga engastada-deslizante, discretizada com doze ns em diferenas


xii

Figura 6.15: Viga engastada-apoiada, discretizada com trs ns em diferenas finitas

(comportamento dinmico em vibrao livre). ......................................................... 111

Figura 6.16: Viga engastada-apoiada, discretizada com cinco ns em diferenas

finitas (comportamento dinmico em vibrao livre). .............................................. 113

Figura 6.17: Viga engastada-apoiada, discretizada com sete ns em diferenas finitas


Figura 6.18: Viga engastada-apoiada, discretizada com doze ns em diferenas

finitas (comportamento dinmico em vibrao livre). .............................................. 117

Figura 6.19: Viga biengastada discretizada com trs ns em diferenas finitas


Figura 6.20: Viga biengastada discretizada com cinco ns em diferenas finitas


Figura 6.21: viga biapoiada discretizada com sete ns em diferenas finitas


Figura 6.22: Viga biengastada discretizada com doze ns em diferenas finitas

(comportamento dinmico em vibrao livre) .......................................................... 127

Figura 7.1: Convergncia do Mtodo das Diferenas Finitas no clculo da primeira

frequncia natural de uma viga biapoiada ................................................................ 135

Figura 7.2: Convergncia do Mtodo das Diferenas Finitas no clculo da segunda

frequncia natural de uma viga biapoiada. ............................................................... 135

Figura 7.3: Convergncia do Mtodo das Diferenas Finitas no clculo da terceira

frequncia natural de uma viga biapoiada ................................................................ 136


frequncia natural de uma viga engastada-livre........................................................ 138






frequncia natural de uma viga engastada-deslizante ............................................... 141


frequncia natural de uma viga engastada-deslizante ............................................... 141


frequncia natural de uma viga engastada-deslizante. .............................................. 142

xiii


frequncia natural de uma viga engastada-apoiada .................................................. 144






frequncia natural de uma viga biengastada. ............................................................ 147

Figura 7.14: Convergncia do Mtodo das Diferenas Finitas no clculo da segunda e

terceira frequncia natural de uma viga biengastada ................................................ 147


frequncia natural de uma viga biengastada ............................................................. 148

Figura A.1: Tela de abertura do ANSYS .................................................................. 159

Figura A.2: Tela inicial do ANSYS .......................................................................... 160

Figura A.3: Janela para escolha do tipo de anlise e adaptatividade do MEF .......... 161

Figura A.4: Definio do tipo de elemento ............................................................... 162

Figura A.5: Definio da seo transversal .............................................................. 162

Figura A.6: Definio das Propriedades do Material................................................ 163

Figura A.7: Definio dos pontos de insero .......................................................... 164

Figura A.8: Definio dos Elementos de barra ......................................................... 164

Figura A.9: Janela para atribuio e aplicao das propriedades do elemento ......... 165

Figura A.10: Definio de divises no elemento. ..................................................... 166

Figura A.11: Aplicao das Condies de contorno ................................................. 166

Figura A.12: Janela de definio do tipo de analise ................................................. 167

Figura A.13: Janela de definio da quantidade de razes a serem extradas ........... 168

Figura A.14: Janela de definio o intervalo dos valores ......................................... 168

Figura A.15: Janela de confirmao da Soluo .................................................... 169

Figura A.16: Janela do comando Mode Shape ...................................................... 170

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1: Representao das condies de contorno nas extremidades. ................. 38

Tabela 4.2: Representao das condies de contorno nas extremidades e razes da

equao de frequncia, para uma viga biapoiada........................................................ 44


equao de frequncia, para uma viga engastada com a extremidade livre................ 46

Tabela 4.4: representao das condies de contorno nas extremidades e razes da

equao de frequncia, para uma viga engastada com a extremidade deslizante. ...... 48

Tabela 4.5: representao das condies de contorno nas extremidades e razes da

equao de frequncia, para uma viga engastada-apoiada.......................................... 51


equao de frequncia, para uma viga biengastada... ................................................. 53

Tabela 5.1: Representao esquemtica para a diferencial central. ............................ 63

Tabela 5.2: Representao das condies de contorno para a diferencial central ...... 64

Tabela 7.1: Convergncia do Mtodo das Diferenas Finitas no clculo das da

frequncias naturais para viga biapoiada, em vibrao livre. ................................... 134


frequncias naturais para viga engastada-livre, em vibrao livre. .......................... 137


frequncias naturais para viga engastada-deslizante, em vibrao livre.. ................ 140


frequncias naturais para viga engastada-deslizante, em vibrao livre... ............... 143


frequncias naturais para viga engastada-deslizante, em vibrao livre... ............... 146

Tabela A.1: Tabela comparativa das da frequncias naturais obtidas pelo ANSYS e

os valores determinados pelo SAVF para as vigas demonstradas neste trabalho... .. 171

Tabela A.2: Tabela demonstrativa da determinao dos fatores de correo das

frequncias naturais obtidas pelo ANSYS para as vigas demonstradas neste

trabalho... .................................................................................................................. 172

xv

LISTA DE SIMBOLOS, NOMENCLATURAS E ABREVIAES

A - Seo Transversal

- Frequncia Natural Ponderada

- Compresso

- Derivada parcial em x

- 2 derivada parcial em x



E - Mdulo de elasticidade longitudinal

EDO - Equao Diferencial Ordinria

EDP - Equao Diferencial Parcial

- Erro percentual relativo

- Funo Real

- Vetor conjugado das foras normal e cortante

- Fator de correo

- Esforo Horizontal

- Esforo Vertical

- Equao da flecha

- Modo de vibrao

- Fora gravitacional

G - Mdulo de elasticidade transversal

- Vetor conjugado dos momentos fletor e torsor

h - Altura da seo transversal de uma viga

- Momento de inrcia axial

- Coeficiente de cisalhamento

- Unidade de Comprimento

- Parmetro de Forma de frequncia de vibrao

- Vetor resultante do momento

xvi

M - Momento Fletor

MDF - Mtodo das Diferenas Finitas

MEF - Mtodo dos Elementos Finitas

- Esforo normal

- Frequncia Natural

- Frequncia natural admensional

P - Carga concentrada

- Carregamento distribudo

q; -q - Esforos distribudos de maneira aleatria

- Cargas distribudas

- Esforo cortante ou de Cisalhamento

R, R1, R2 e Ra - Reaes de apoio

- Vetor resultante das foras

- Massa especifica

SAVF - Soluo Analitica para Vibraes Flexionais

- Momento Torsor

- Trao

- Funo do Tempo

- Coeficiente de poisson

- ngulo de rotao

- deflexo, deformao ou flecha

- Somatrio contnuo (integral)

- Somatrio discreto

xvii

SUMRIO

1. INTRODUO ....................................................................................................... 1

1.1 GENERALIDADES ............................................................................................... 1

1.2 O MTODO DAS DIFERENAS FINITAS ......................................................... 2

1.3 OBJETIVOS ........................................................................................................... 3

1.3.1 Objetivo Geral .................................................................................................... 3

1.3.2 Objetivo Especfico ............................................................................................ 3

2. REVISO BSICA GERAL ................................................................................ 4

2.1 INTRODUO ...................................................................................................... 4

2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA ............................................................................ 6

2.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS ............................................................................ 6

2.3.1 Elementos Lineares ........................................................................................... 7

2.3.1.1 Vigas ................................................................................................................ 7

2.3.1.2 Pilares ............................................................................................................... 7

2.3.1.3 Tirantes ............................................................................................................ 8

2.3.1.4 Arcos ................................................................................................................ 8

2.3.2 Elementos de Superfcie ................................................................................... 8

2.3.2.1 Placas ............................................................................................................... 9

2.3.2.2 Chapas .............................................................................................................. 9

2.3.2.3 Cascas .............................................................................................................. 9

2.3.2 Elementos espaciais ......................................................................................... 10

2.4 CONDIES DE EQUILBRIO DOS CORPOS ............................................... 10

2.4.1 Grandezas Fundamentais ................................................................................ 11

2.4.1.1 Fora .............................................................................................................. 11

2.4.1.2 Momento ......................................................................................................... 12

2.4.2 Graus de Liberdade ........................................................................................ 12

2.4.3 Vnculos ou apoios .......................................................................................... 14

2.4.3.1 Apoio articulado mvel ................................................................................. 14

2.4.3.2 Apoio Articulado Fixo ................................................................................... 15

2.4.3.3 Apoio Engastado ............................................................................................ 15

2.4.4 Estaticidade e Estabilidade ............................................................................. 15

2.4.4.1 Hipostticidade .............................................................................................. 16

2.4.4.2 Hiperestticidade ........................................................................................... 16

xviii

2.4.4.3 Isostticidade ................................................................................................. 17

2.5 TIPOLOGIA DOS ESFOROS .......................................................................... 18

2.5.1 Esforos externos ............................................................................................. 18

2.5.1.1 Esforos ativos ................................................................................................ 19

2.5.1.2 Esforos reativos ............................................................................................. 19

2.5.2 Esforos internos .............................................................................................. 20

2.5.1.1 Esforos Internos Solicitantes ......................................................................... 20

2.5.1.2 Esforos Internos Resistentes ........................................................................ 24

3. INTRODUO BSICA AS VIBRAES MECNICAS ........................... 25

3.1 GENERALIDADE .............................................................................................. 25

3.2 CONCEITOS BSICOS DE VIBRAES ....................................................... 26

3.2.1 Vibrao ........................................................................................................... 26

3.2.2 Vibrao livre e forada ................................................................................. 26

3.2.3 Vibrao amortecida e no amortecida ......................................................... 27

3.2.4 Vibrao linear e no linear ........................................................................... 28

3.2.5 Vibrao determinstica e aleatria .............................................................. 29

3.2.6 Graus de Liberdade ........................................................................................ 29

3.2.7 Sistemas discretos e contnuos ....................................................................... 30

4. ESTUDO GERAL BASICO DE VIGA ............................................................. 32

4.1 GENERALIDADE .............................................................................................. 32

4.2 CLASSIFICAO .............................................................................................. 33

4.2.1 Quanto aos Apoios .......................................................................................... 33

4.2.2 Quanto ao carregamento ................................................................................. 33

4.3 EQUAO DE VIBRAO EM FLEXO DA VIGA DE EULER-

BERNOULLI .............................................................................................................. 34

4.3.1 Soluo Geral da Equao de Vibrao em Flexo da Viga de Euler-Bernoulli .. 37

4.3.2 Viga de Vlasov .................................................................................................. 40

4.3.3 Viga de Timoshenko ....................................................................................... 40

4.4 APLICAO DA SOLUO ANALTICA PARA VIBRAO FLEXIONAL

.................................................................................................................................... 41

4.4.1 Viga Biapoiada ................................................................................................. 41

4.4.2 Viga Engastada-livre ....................................................................................... 44

4.4.3 Viga Engastada-deslizante ............................................................................. 46

4.4.4 Viga Engastada-apoiada .................................................................................. 49

xix

4.4.5 Viga Biengastada .............................................................................................. 51

5. MTODO DAS DIFERENAS FINITAS ........................................................ 54

5.1 INTRODUO ................................................................................................... 54

5.2 FORMULAO BSICA .................................................................................. 55

5.2.1 Srie de Taylor para funes de variveis n .................................................. 55

5.2.2 Aproximao das derivadas por srie de Taylor .......................................... 56

5.3 CONDIES DE CONTORNO PARA O MTODO DAS DIFERENAS

FINITAS (MDF) ......................................................................................................... 59

5.3.1 Condies no engaste ....................................................................................... 59

5.3.2 No apoio do 2 gnero ou 1 gnero ................................................................ 60

5.3.3 Na extremidade livre ....................................................................................... 61

5.3.4 No apoio deslizante .......................................................................................... 62

5.3.5 Esquema de soluo ......................................................................................... 63

5.4 O MDF APLICADO AO COMPORTAMENTO DINMICO DA VIGA DE

EULER EM VIBRAO LIVRE ............................................................................. 64

6. APLICAO DO MDF NA VIGA DE EULER EM VIBRAO LIVRE .... 66

6.1 VIGA BI-APOIADA ........................................................................................... 66

6.1.1 Discretizao da viga utilizando uma malha com 3 ns ............................... 66



6.1.4 Discretizao da viga utilizando uma malha com 12 ns ............................. 73




6.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE ............................................................................. 90





6.2.5 Discretizao da viga utilizando malhas com 22, 32 e 42 ns ...................... 99

6.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE .............................................................. 100




xx

6.3.4 Discretizao da viga com 12 ns ................................................................. 107

6.3.5 Discretizao da viga com 22, 32, 42 e 52 ns .............................................. 109

6.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA ..................................................................... 111




6.4.4 Discretizao da viga utilizando uma malha com 12 ns ........................... 117

6.4.5 Discretizao da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62 e 72 ns .. 119

6.5 VIGA BI-ENGASTADA ................................................................................... 121




6.5.4 Discretizao da viga utilizando uma malha com 12 ns ........................... 126

6.5.5 Discretizao da viga utilizando malhas com 22, 32, 42, 52, 62,72,82 e 92

ns ............................................................................................................................. 129

7. ANLISE DOS RESULTADOS ....................................................................... 133

7.1 VIGA BI-APOIADA ......................................................................................... 133

7.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE ........................................................................... 136

7.3 VIGA ENGASTADA-DESLIZANTE .............................................................. 139

7.4 VIGA ENGASTADA-APOIADA ..................................................................... 142

7.5 VIGA BI-ENGASTADA ................................................................................... 145

8. CONCLUSES .................................................................................................. 149

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................................. 152

APNDICE A. ANLISE DO COMPORTAMENTO DINMICO, EM

VIBRAO LIVRE DE VIGAS, VIA ANSYS. .................................................. 159

A.1 ROTEIRO RESUMIDO DE ANLISE VIA ANSYS ..................................... 159

A.2 PROCEDIMENTO DETALHADO DE ANLISE VIA ANSYS .................... 161

A.3 ANLISE DOS RESULTADOS VIA ANSYS ............................................... 170

A.4 CONCLUSES ................................................................................................ 172

1

1. INTRODUO

1.1. GENERALIDADES

A anlise da resistncia dos materiais na rea da mecnica dos slidos fundamental

no dimensionamento de estruturas na Engenharia Civil. A partir da anlise esttica,

determinam-se tenses e deformaes nas estruturas sob carregamento, incluindo seu prprio

peso. Essas grandezas devem ficar numa faixa de valores permissveis a fim de garantir a

segurana e a funcionalidade das estruturas. Considervel esforo despendido pelos

engenheiros civis justamente para determinar os carregamentos a que esto sujeitas as

estruturas por eles dimensionadas. Poucos so os casos em que solues analticas podem ser

desenvolvidas nessa tarefa. Frequentes so os casos hiperestticos e/ou com geometria

varivel, nos quais ferramentas numricas so praticamente indispensveis (VAZ, 2008).

Embora a anlise esttica seja a primeira a ser realizada, em muitos casos, ainda que

necessria, ela no suficiente para assegurar a integridade das estruturas. De fato, na prtica,

os esforos costumam ser constitudos de uma parcela esttica e outra dinmica. Esses

esforos variveis induzem vibraes, que alm de alterar o quadro geral de tenses e

deformaes causam interferncias (rudos) em equipamentos ou mquinas apoiadas nessas

estruturas, instabilidades de operao, acelerao no desgaste, reduo na vida til, etc.

Segundo VAZ (2008), a resposta dinmica de uma estrutura s excitaes harmnicas

depende, essencialmente, das propriedades como rigidez, massa e amortecimento que

influenciam a frequncia natural e o modo de vibrar. Essas propriedades, por sua vez,

resultam da geometria, materiais e condies de vinculao ao meio externo. Assim, h

situaes em que alm da caracterizao esttica, os engenheiros devem investigar

caractersticas vibratrias e possveis respostas dinmicas sob variadas condies de

carregamento.

Em poucas palavras, pode-se definir resposta homognea como aquela exibida por um

sistema quando sujeito a uma vibrao livre devido s condies iniciais diferentes de zero ou

devido a uma excitao do tipo impulso. No campo das vibraes mecnicas, essa sem

dvida a principal caracterstica a ser investigada nos sistemas em estudo, pois dela se extrai

as frequncias, fatores de amortecimento e modos de vibrao. O modo de vibrar, por sua vez,

refere-se ao aspecto geomtrico adimensional da vibrao livre, sendo importante para

caracterizar as regies nodais e os ventres que se formam no movimento vibratrio.

2

O ponto importante que a amplitude do movimento resultante inversamente

proporcional diferena entre a frequncia natural do sistema e a frequncia da excitao

externa. Ou seja, frequncias forantes distantes da natural no induzem oscilaes de grande

amplitude, enquanto que frequncias prximas podem levar a deslocamentos proibitivos,

fenmeno este conhecido como ressonncia. Posto isso, fica evidente a importncia de bem

identificar as frequncias naturais nas estruturas reais da engenharia, para da analisar aquelas

que podem estar prximas das induzidas pelos carregamentos externos, a fim de se evitar os

fenmenos de ressonncia.

Neste trabalho, a ateno ser dada ao estudo do comportamento dinmico da viga de

Euler-Bernoulli para determinar as frequncias naturais, atravs do mtodo das diferenas

finitas. Esse interesse se justifica devido ao bom nmero de estruturas que podem ser

aproximadas. Da o interesse em se levar em considerao as principais mudanas de apoios,

a fim de uma avaliao mais acurada das possveis respostas dinmicas.

1.2 O MTODO DAS DIFERENAS FINITAS

Equaes diferenciais ordinrias (EDOs) e parciais (EDPs) aparecem em inmeros

problemas da fsica-matemtica. Em especial, na rea de engenharia, todo clculo mais

elaborado normalmente recai em uma equao diferencial. Como poucas equaes

diferenciais (EDs) tm soluo analtica possvel ou vivel, os mtodos numricos aparecem

como uma ferramenta extremamente eficiente para sua soluo (FRANCO, 2010).

A soluo de uma equao diferencial em um domnio implica no conhecimento dos

valores da(s) varivel(eis) estudada(as) em todo o meio continuo. Segundo CARNAHAN

(1969), o mtodo das diferenas finitas pode ser utilizado para resolver problemas de valor de

contorno ou valor inicial, envolvendo equaes diferenciais ordinrias ou parciais. Assim,

este mtodo pode ser usado para solucionar as equaes de modelos a parmetros

concentrados ou distribudos.

Para isso, diz-se que o Mtodo das Diferenas Finitas (MDF) consiste em resolver a

equao diferencial em pontos discretos. Estes pontos so igualmente espaados, ou seja, a

malha regular (SOUSA, 2006).

Em resumo, o objetivo do Mtodo das Diferenas Finitas transformar um problema

composto por equaes diferenciais em formas discretizadas e posteriormente em um

problema formado por equaes algbricas em funo dos valores da varivel em cada n.

3

O conhecimento da soluo, mesmo que de forma aproximada, em alguns pontos d

uma boa idia da soluo contnua, medida que essa nuvem de pontos adensada o valor da

resposta numrica se aproxima do valor real.

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo geral

Desenvolver e apresentar um estudo na rea de engenharia estrutural que vislumbre o

entendimento dinmico das estruturas civis de modo a auxiliar um ramo pouco estudado na

graduao, que so os mtodos numricos, atravs do Mtodo das Diferenas Finitas, onde

ser aplicado em um elemento estrutural bastante utilizado na construo civil, que so as

vigas. Para isso, ser necessrio o estudo das vigas de maneira que haja um entendimento de

seu comportamento, possibilitando posteriormente a aplicao do MDF

1.3.2 Objetivo especfico

Rever os conceitos estruturais para dar subsdios para o estudo do MDF aplicados

teoria das vigas;

Apresentar a equao que rege a teoria das vigas de Euler-Bernoulli para o

comportamento dinmico em vibrao livre;

Obter as condies de contorno nos vnculos dos apoios da viga de modo a levar os

problemas relacionados a um sistema;

Aplicar o mtodo das diferenas finitas na equao da viga de Euler-Bernoulli, para o

comportamento dinmico, em vibrao livre;

Calcular os valores das frequncias naturais em vigas, variando suas condies de

apoio, atravs da aplicao do MDF na teoria da viga de Euler-Bernoulli.

4

2. REVISO BSICA GERAL

Neste captulo sero fornecidos alguns conceitos gerais para a melhor compreenso do

que estrutura, importncia, suas classificaes, alm de demonstrar os tipos de elementos

estruturais e tambm os principais esforos que atuam nas estruturas quando solicitadas.

2.1 INTRODUO

H cerca de milhares de anos, tendo descoberto a agricultura e a pecuria, o homem

deixou de ser nmade, passando a residir em um local fixo; surgiram ento os primeiros

edifcios permanentes e as primeiras aldeias.

Desde esta poca, o homem vem erigindo construes que o abriguem, que permitam

a reunio de grandes comunidades irmanadas por um objetivo religioso, poltico ou de lazer,

que possibilitem a transposio de um rio ou a barragem de um curso dgua.

Segundo HOMRICH (2011) e NOVAES (2008), no havia regras para idealizao de

aes, modelos de comportamento da estrutura e dos materiais, critrios de segurana. A

construo de novas estruturas era emprica (experimental) baseada em experincias prvias:

ficou de p, ento estvel, pode-se fazer assim.

As construes de madeira e com pedras naturais ou artificiais, isto , em alvenaria,

so as mais antigas realizadas. J havia construes em alvenaria nas mais antigas eras. De

acordo com PIMENTA (2006), no incio, as pedras eram apenas empilhadas, mas logo se

desenvolveu a tcnica de talhar as pedras, dando-lhes um melhor encaixe, conforme a figura

2.1.

Figura 2.1: Templo Inca Exemplo da tcnica de talhar as pedras

Fonte: florestaviagens, 2012.

5

De acordo com BRANDO (2010) NOVAES (2008), as primeiras formas estruturais

eram o conjunto de viga e pilares, chamado prtico, largamente utilizado at hoje. A limitao

quanto aos materiais disponveis, na poca, levava a limitao dos vos e necessidade de

vrios pilares. Talvez, atravs da observao das estruturas da natureza, percebeu-se que a

forma em arco, por levar melhor distribuio de esforos, permita a elaborao de

construes mais estveis e de vos maiores, conforme figura 2.2.

Figura 2.2: Estrutura em forma de arco - Pont du Gard perto de Nmes

Fonte: PIMENTA, 2006

Dessa forma, tanto a aplicao do arco, quanto a das suas variaes, como cpulas e

abbodas, era muito utilizada nas concepes das construes antigas, como ilustrado na

figura 2.3.

Figura 2.3: Cpula da Catedral de Florena

Fonte: PIMENTA, 2006

Somente com a Revoluo Industrial, a partir do sculo XIX (BRANDO, 2010;

NOVAES, 2008), que a forma em prtico volta a ser mais popularmente utilizada, pois com

o advento dos novos materiais, como o ferro fundido e posteriormente o ao e o concreto

armado, possibilitavam maiores vos com estruturas em prtico. Porm, a grande evoluo na

6

engenharia de estruturas ocorreu a partir do sculo XX, com o desenvolvimento de novos

materiais e procedimentos de clculo e da engenharia moderna. Essa evoluo se desenvolve

at hoje e se traduz na engenharia moderna.

2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA

Estruturas so sistemas compostos de uma ou mais peas (estruturais), ligadas entre si

e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estvel, isto , um conjunto capaz de

receber solicitaes externas, absorv-las internamente e transmiti-las at seus apoios, onde

estas solicitaes externas encontraro seu sistema esttico equilibrante (BEER, 1976

SUSSEKIND, 1994; MERIAN, 1997). Logo, toda estrutura deve proporcionar equilbrio e

suporte s diversas aes, durante a sua vida til, sem que ela perca a sua funcionalidade,

conforme a figura 2.4.

Figura 2.4: Representao geral dos elementos estruturais

Fonte: Eberick - ALTOQI, 2012.

2.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS

So cada uma das peas diferenciadas ainda que vinculadas nas quais pode ser

dividida uma estrutura, capaz de receber e transmitir esforos com segurana.

7

2.3.1 Elementos lineares (unidimensionais)

So aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos trs vezes a

maior dimenso da seo transversal, sendo tambm denominados barras.

De acordo com a sua funo estrutural, recebem as designaes de:

2.3.1.1 Vigas

Elementos lineares em que a flexo preponderante. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.5: Representao de viga

Fonte: ARAGO, 2012.

2.3.1.2 Pilares:

Elementos lineares de eixo reto, usualmente disposto na vertical, de forma que as

foras normais de compresso so preponderantes. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.6: Representao de pilar.

Fonte: ARAGO, 2012.

8

2.3.1.3 Tirantes

Elementos lineares de eixo reto em que as foras normais de trao so

preponderantes. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.7: Representao de tirante.

Fonte: ARAGO, 2012.

2.3.1.4 Arcos

Elementos lineares curvos, em que as foras normais de compresso so

preponderantes, agindo ou no simultaneamente com esforos solicitantes de flexo, cujas

aes esto contidas em seu plano. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.8: Representao de arco.

Fonte: Elaborado pelo autor

2.3.2 Elementos de superfcie (planos ou bidimensionais)

Elementos em que uma dimenso, usualmente chamada espessura, relativamente

pequena em face das demais, podendo receber as designaes apresentadas em 2.3.2.1 a

2.3.2.3.

9

2.3.2.1 Placas

Elementos de superfcie plana, sujeitos principalmente a aes normais a seu plano. As

placas de concreto so usualmente denominadas lajes. Placas com espessura maior que 1/3 do

vo devem ser estudadas como placa espessa. (NBR 6118, 2003)

Figura 2.9: Representao de placa.

Fonte: ARAGO, 2012.

2.3.2.2 Chapas

Elementos de superfcie plana, sujeitos principalmente a aes contidas em seu plano.

As chapas de concreto em que o vo for menor que trs vezes a maior dimenso da seo

transversal so usualmente denominadas vigas-parede. (NBR 6118, 2003).

Figura 2.10: Representao de chapa.

Fonte: ARAGO, 2012.

2.3.2.3 Cascas

Elementos de superfcie delgada, no plana. (NBR 6118, 2003)

10

Figura 2.11: Representao de casca.

Fonte: Elaborado pelo autor

2.3.3 Elementos espaciais (tridimensionais)

Elementos em que as trs dimenses tm a mesma ordem de grandeza, como

representado na figura 2.12.

Figura 2.12: Representao de elemento espacial

Fonte: Elaborada pelo autor

2.4 CONDIES DE EQUILBRIO DOS CORPOS

Para um corpo, submetido a um sistema de foras estar em equilbrio, necessrio que

elas no provoquem nenhuma tendncia de translao nem rotao a este corpo. Como a

tendncia de translao dada pela resultante das foras e a tendncia de rotao, em tomo

de qualquer ponto, dada pelo momento resultante destas foras em relao a este ponto,

basta que estes dois vetores e sejam nulos para que o corpo esteja em equilbrio

(SUSSEKIND, 1994), conforme demonstrado pelas equaes abaixo:

11

(2.1)

(2.2)

2.4.1 Grandezas Fundamentais

2.4.1.1 Fora

um dos conceitos fundamentais da fsica. Relacionado com as trs leis de Newton,

uma grandeza que tem a capacidade de vencer a inrcia de um corpo, modificando-lhe a

velocidade.

As foras mais conhecidas so os pesos, que tem sempre sentido vertical para baixo,

como por exemplo, o peso proprio de uma viga, ou o peso de uma laje sobre esta mesma viga.

Segundo BENTO (2003), as foras podem ser classificadas em concentradas e

distribuidas. Na realidade todas as foras encontradas so distribudas, ou seja, foras que

atuam ao longo de um trecho.

Quando um carregamento distribudo atua em uma regio de rea desprezvel, e

chamado de fora concentrada. A fora concentrada, tratada como um vetor, uma idealizao,

que em inmeros casos nos traz resultados com preciso satisfatria. No estudo de tipos de

carregamentos, mais a diante, se retornar a este assunto.

A fora uma grandeza vetorial que necessita para sua definio de: intensidade,

direo e sentido, em relao a um ponto de aplicao, como na figura 2.13.

Figura 2.13: Representao de fora.

Fonte: BENTO, 2003

12

2.4.1.2 Momento

Seja F uma fora constante aplicada em um corpo, d a distncia entre o ponto de

aplicao desta fora a um ponto qualquer. Por definio, o momento M realizado pela

fora F em relao ao ponto P e dado pelo produto vetorial, na figura 2.14:

Figura 2.14: Representao de momento.

Fonte: JUDICE, 2010

Resumidamente, momento representa a tendncia de rotao em torno de um ponto

provocada por uma fora.

2.4.2 Graus de liberdade

Sabe-se que a ao esttica de um sistema de foras no espao, em relao a um dado

ponto, igual de sua resultante e a de seu momento resultante em relao quele ponto;

provocando, a primeira, uma tendncia de translao e, o segundo, uma tendncia de rotao

(SUSSEKIND, 1994). No espao, uma translao pode ser expressa por suas componentes

segundo 3 eixos triortogonais e uma rotao, como a resultante de trs rotaes, cada uma em

torno de um desses eixos, diz-se que uma estrutura no espao possui um total de 6 graus de

liberdade (3 translaes e 3 rotaes, segundo 3 eixos triortogonais), conforme ilustrado na

figura 2.15.

13

Figura 2.15: Representao de graus de liberdade espacialmente.


No Plano, uma translao pode ser expressa por suas componentes segundo 2 eixos

ortogonais e, uma resultante de rotao, em torno de um desses eixos, diz-se que uma

estrutura no plano possui um total de 3 graus de liberdade (2 translaes e 1 rotao, segundo

2 eixos ortogonais), como mostrado na figura 2.16.

Figura 2.16: Representao de graus de liberdade no plano.


Evidente que estes graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda

tendncia de movimento da estrutura, a fim de se possibilitar seu equilbrio. Esta restrio

dada por apoios, que devem impedir as diversas tendncias possveis de movimento, atravs

do aparecimento de reaes destes apoios sobre a estrutura, nas direes dos movimentos que

eles impedem, isto , dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reaes de apoio se

oporo s cargas aplicadas a estrutura, formando este conjunto de cargas e reaes um sistema

14

de foras em equilbrio, e regidas, portanto, pelos grupos de equaes, para os diversos tipos

de sistemas de foras que podem ocorrer na prtica.

2.4.3 Vnculos ou Apoios

Um vnculo (apoio) qualquer condio que restringe a possibilidade de deslocamento

de um ponto do elemento ligado ao vnculo. O deslocamento de um ponto do elemento

determinado atravs das componentes segundo os eixos cartesianos ortogonais. As translaes

podem ser horizontais ou verticais e a rotao ocorre em torno do eixo perpendicular ao plano

considerado (PINTO, 2000).

A funo bsica dos vnculos ou apoios de restringir o grau de liberdade das

estruturas por meio de reaes nas direes dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as

tendncias de movimento de uma estrutura. Os vnculos tm a funo fsica de ligar elementos

que compem a estrutura, alm da funo esttica de transmitir as cargas ou foras (GHISI,

2004).

As ligaes podem ser internas, tambm chamadas de vnculos internos, ou ento

externas, tambm chamados de apoios. A seguir ser apresentado alguns tipos principais de

apoios, por ser de fundamental importncia para a compreenso de esforos em vigas.

2.4.3.1 Apoio articulado mvel (simples ou 1 gnero ou 1 grau):

Este tipo de apoio restringe apenas uma translao, e a reao tem direo

perpendicular ao plano de rolamento (PINTO, 2000). Resumidamente, so apoios que

restringe um movimento, desta maneira teremos somente uma reao de apoio.

Figura 2.17: Representao para apoio do 1 gnero.

Fonte: BRANDO, 2010

15

2.4.3.2 Apoio Articulado Fixo (Articulao ou 2 gnero ou 2 grau):

Este tipo de apoio impede as duas translaes no plano, e a direo da reao R

indeterminada, sendo comum a utilizao de duas componentes, horizontal e vertical, porm

permite a rotao da estrutura (PINTO, 2000).


Fonte: BRANDO, 2010

2.4.3.3 Apoio Engastado (3 gnero ou 3 grau):

Este tipo de apoio impede todos os movimentos no plano, surgindo ento trs reaes

de apoio: a vertical (R1), a horizontal (R2) e momento (M) (PINTO, 2000).


Fonte: BRANDO, 2010

2.4.4 Estaticidade e Estabilidade

Como pode-se ver a funo dos apoios limitar os graus de liberdade de uma

estrutura. Trs casos podem ento ocorrer, conforme 2.4.3.1, 2.4.3.2 e 2.4.3.3.

16

2.4.4.1 Hipostaticidade

So estruturas que no possuem equilbrio esttico, logo no so estveis, tendo por

isso algum movimento (grau de liberdade) no restringido (ROMO, 2003; BRANDO,

2010).

As reaes nos apoios so em nmero inferior ao necessrio para impedir todos os

movimentos possveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, tem-se mais equaes do que

incgnitas, chegando-se a um sistema de equaes impossvel, nos casos gerais. A estrutura

ser dita hiposttica e ter equilbrio instvel. (Pode ocorrer uma situao de carregamento tal

que o prprio carregamento consiga impedir os graus de liberdade que os apoios no forem

capazes de impedir; ser, ento, um caso de equilbrio, mas de equilbrio instvel, pois

qualquer que seja a deformao imposta estrutura, ela tender a prosseguir at a sua runa).

As estruturas hipostticas so, ento, inadmissveis para as construes (SUSSEKIND, 1994).

Figura 2.20: Estrutura Hiposttica.

Fonte: JUDICE, 2010

2.4.4.2 Hiperestaticidade

A estrutura ser dita hiperesttica, quando os apoios so em nmero superior ao

necessrio para impedir todos os movimentos possveis da estrutura. Neste caso, tem-se

menor nmero de equaes do que de incgnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As

equaes da Esttica no sero, ento, suficientes para a determinao das reaes de apoio,

sendo necessrias equaes adicionais de compatibilidade de deformaes (SUSSEKIND,

1994).

17

Figura 2.21: Estrutura Hiperesttica.

Fonte: JUDICE, 2010

2.4.4.3 Isostaticidade

A estrutura ser dita isosttica, quando os apoios so em nmero estritamente

necessrio para impedir todos os movimentos possveis da estrutura. Neste caso o nmero de

reaes de apoio a determinar igual ao nmero de equaes de equilbrio disponveis,

chegando-se a um sistema de equaes determinado que resolver o problema.

(SUSSEKIND, 1994).

Figura 2.22: Estrutura Isosttica.

Fonte: JUDICE, 2010

18

2.5 TIPOLOGIA DOS ESFOROS

A tipologia dos esforos atuantes em estruturas, est divida em esforos externos e

internos. O primeiro atua fora da estrutura (externo) enquanto o segundo age a nvel

molecular (interno). Existem ainda para ambos os esforos subdivises que sero descritas.

Figura 2.23: Classificao dos esforos presentes nas estruturas.

Fonte: Elaborada pelo autor.

2.5.1 Esforos Externos

Segundo SOUZA & SILVA (2005), os esforos externos so os que atuam no sistema

material em anlise (por contato ou ao distncia) oriundos da ao de outro sistema (o

peso prprio, a ao do vento, esforos vinculares, so exemplos de esforos externos),

conforme as figura 2.24 e 2.25. So subdivididos em ativos e reativos.

Figura 2.24: Esforos externos carregamento concentrado. Atual (a). Idealizado (b).

Fonte: CAMPOS, 2010.

19

2.5.1.1 Esforos ativos

Os esforos ativos sero classificados conforme a maneira que as aes atuam, em

funo do tempo e relativamente ao tempo e espao.

Segundo CAMPOS (2010) relao ao tempo, so classificadas em permanentes, que

agem permanentemente sobre a estrutura (cargas de paredes, telhados, empuxos de terra,

peso prprio) e acidentais, que no agem constantemente sobre a estrutura (cargas mveis

(veculos), ventos, pessoas).

Em relao ao tempo e ao espao, so classificadas como fixas, que no se deslocam

sobre a estrutura e agem progressivamente de zero at o valor final (paredes e peso prprio), e

moveis, que so cargas que se locomovem sobre uma estrutura e agem quase que

imediatamente com o valor total (veculos) (CAMPOS, 2010).

Figura 2.25: Esforos externos ativos carregamento distribuido. Atual (a). Idealizado (b).

Fonte: CAMPOS, 2010.

2.5.1.2 Esforos reativos

Os esforos reativos ou reaes dos apoios, so os produzidos pelos vnculos, que se

ope as cargas atuantes em uma estrutura, sendo determinados pelas equaes que regem o

equilbrio das foras sobre um corpo em repouso.

No apoio articulado mvel, o vetor reao normal ao plano de rolamento, passando

pelo apoio (item 2.4.3.1). No apoio articulado fixo, o vetor reao deve passar pela rtula,

podendo ser decomposto segundo duas direes perpendiculares (item 2.4.3.2). No

engastamento, produz-se uma reao fora que pode ser decomposta como a anterior e uma

reao momento (item 2.4.3.3).

20

2.5.2 Esforos Internos

Segundo BANACZEK, (2012), os esforos internos so as interaes entre partes da

mesma estrutura.

Os esforos internos desenvolvidos no corpo slido podem ser simplificados para

aes resultantes. Para tal, importante a definio de um plano que secciona o corpo, um

sistema de coordenadas e uma conveno de sinais definida de uma forma coerente para

determinar os sentidos dos esforos de uma maneira equivalente nas duas faces da seo do

corpo (UFPR, 2012).

Podem ser esforos solicitantes, resultantes de fora e momento que descrevem a

interao no plano da seo transversal, ou esforos resistentes (tenses) que descrevem a

interao entre as partculas (BANACZEK, 2012).

2.5.2.1 Esforos Internos Solicitantes

Como j citado, esforos internos solicitantes so os resultantes de fora e momento

que descrevem a interao no plano da seo transversal. Segundo BRANDO (2010), estes

esforos internos geralmente so distribudos de forma complexa sobre a seo (figura 2.26),

mas, no entanto as condies de equilbrio so satisfeitas para cada parte separadamente.

(a)

(b)

Figura 2.26: Esforos internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a). Distribuio de foras ao longo da

superfcie recortada (b)

Fonte: BRANDO, 2010.

Para o caso de elementos em forma de barras (caso mais comumente tratado pela

Resistncia dos Materiais) pode-se analisar os esforos internos atuantes em uma seo

transversal (perpendicular ao eixo da barra) e reconhecemos que a ao de uma parte da barra

21

sobre a outra pode ser reduzida a uma fora e a um conjugado de momento . Ao se

decompor estes dois esforos na direo do eixo da barra (direo normal) e no plano da

seo (direo tangente), obtm-se os chamados esforos solicitantes (figura 2.27).

(a) (b) (c)

(d) (e) (f) (g)

N Q M T Figura 2.27: Esforos internos solicitantes. Conjugado de esforos e (a). Distribuio de foras a superfcie

recortada (b). Distribuio do conjugado de momento da superfcie recortada (c). Representao esforo normal

(d). Representao esforo cortante (e). Representao momento fletor (f). Representao momento torsor (g).

Fonte: SOUZA & SILVA, 2005.

As resultantes dos esforos internos solicitantes esto descritas abaixo.

a) Esforo Normal (N): a componente da fora que age perpendicular seo

transversal. Tende a promover variao da distncia que separa as sees,

permanecendo as mesmas paralelas uma outra. Se for dirigida para fora do corpo,

provoca alongamento no sentido da aplicao da fora, produz esforos de trao.

Q

N

M

T

22

Se for dirigida para dentro do corpo, provocando encurtamento no sentido de

aplicao da fora, produz esforos de compresso. Por conveno, o esforo

normal ser positivo quando de trao e negativo quando de compresso.

Figura 2.28: Esforo normal em um corpo slido. Efeito efeitos de trao e compresso.

Fonte: UFPR, 2012.

b) Esforo Cortante ou de Cisalhamento (Q): a componente da fora contida no

plano da seo transversal que tende a deslizar uma poro do corpo em relao

outra, provocando corte (deslizamento da seo em seu plano) perpendicularmente

ao eixo longitudinal. Por conveno, o esforo cortante positivo quando,

calculado pelas foras situadas do lado esquerdo da seo, tiver o sentido positivo

do eixo y e quando calculado pelas foras situadas do lado direito da seo, tiver o

sentido oposto ao sentido positivo do eixo y.

Figura 2.29: Esforo cortante em um corpo slido.


c) Momento Fletor (M): a componente do momento contida na seo transversal

(perpendiculares ao eixo), que quando solicitado, tende a dobr-lo, fleti-lo ou

mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contm o eixo longitudinal,

ou seja, perpendicular seo transversal. Como um momento pode ser substitudo

por um binrio, o efeito de M pode ser assimilado ao binrio que provoca uma

23

tendncia de alongamento em uma das partes da seo e uma tendncia de

encurtamento na outra parte, deixando a pea fletida.

Figura 2.30: Momento fletor em um corpo slido. Estrutura antes do carregamento (a).

Estrutura com carregamento (b). Estrutura fletida (c).


Resumidamente, para o momento fletor, deseja-se conhecer quais fibras

esto tracionadas e quais fibras esto comprimidas (para, no caso das vigas de

concreto armado, por exemplo, deve-se saber de que lado colocar as barras de ao,

que so o elemento resistente trao).

d) Momento Torsor (T): a componente do momento que tende a girar a seo

transversal em torno de eixo longitudinal, torcendo uma parte do corpo em relao

outra. Por conveno, o momento torsor positivo quando o vetor de seta dupla

que o representa estiver como que tracionando a seo.

(a) (b)

Figura 2.31: Momento torsor em um corpo slido. Estrutura em repouso (a). Estrutura sob efeito do

momento torsor (b).

Fonte: SMITH, 2011.

24

2.5.2.2 Esforos Internos Resistentes

Como j citado, esforos internos resistentes (tenses) so os que descrevem a

interao entre as partculas. Segundo GHISI (2004), a distribuio dos esforos resistentes ao

longo de cada ponto da seo transversal considerada uniforme, embora, talvez nunca se

verifique na realidade.

Segundo LEGGERINI (2007), se a tenso tem a direo perpendicular seo de

referncia e o seu efeito o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras

longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas, essa denominada de tenso normal ().

Se a tenso desenvolvida no plano da seo de referncia tendo o efeito de provocar

corte ou cisalhamento nesta seo, essa denominada de tenso tangencial ou de

cisalhamento ( ) (LEGGERINI, 2007).

Para poder entender melhor os esforos internos resistentes, o aprofundamento maior

em conceitos como, propriedades mecnicas dos materiais, deformaes e elasticidade, lei de

Hooke se faz necessrio, porem no objetivo deste trabalho.

25

3. INTRODUO BSICA A VIBRAES MECNICAS

Neste captulo sero apresentados alguns conceitos bsicos envolvidos no estudo de

vibraes mecnicas. Destaca-se algumas definies bsicas necessrias para o

desenvolvimento do trabalho, como vibrao livre e forada, amortecida e no amortecida,

linear e no linear, determinstica e aleatria, graus de liberdade e sistemas contnuos e

discretos

3.1 GENERALIDADE

De acordo com PICCOLI (2012), a maioria das atividades humanas envolve alguma

forma de vibrao. Ns ouvimos porque o tmpano vibra, ns vemos porque ondas luminosas

se propagam.

No campo tecnolgico, as aplicaes de vibraes na engenharia so de grande

importncia nos tempos atuais. Projetos de mquinas, fundaes, estruturas, motores,

turbinas, sistemas de controle, e outros, exigem que questes relacionadas a vibraes sejam

levadas em conta. (PICCOLI, 2012).

Sempre que a frequncia natural de vibrao de uma mquina ou estrutura coincide

com a frequncia da fora externa atuante, ocorre um fenmeno conhecido como ressonncia

que ocasiona grandes deformaes e falhas mecnicas. A literatura rica de exemplos de

falhas em sistemas causados por vibraes excessivas em virtude de ressonncia. Um destes

exemplos o da ponte de Tacoma Narrows (figura 3.1), nos Estados Unidos.

Figura 3.1: Ponte de Tacoma Narrows durante vibrao induzida pelo vento, antes do colapso.

Fonte: Wikipdia - Tacoma Narrows Brigde (1940).

26

A vibrao tambm pode ser utilizada com proveito em vrias aplicaes industriais.

Esteiras transportadoras, peneiras, compactadores, misturadores, mquinas de lavar, utilizam

vibrao em seu princpio de funcionamento. Vibrao tambm pode ser utilizada em testes

de materiais, processos de usinagem, soldagem. Os ultra-sons so largamente utilizados

tambm em medicina (obstetrcia, destruio de clculos renais, etc.). Tambm empregada

para simular terremotos em pesquisas geolgicas e para conduzir estudos no projeto de

reatores nucleares (PICCOLI, 2012).

3.2 CONCEITOS BSICOS DE VIBRAES

3.2.1 Vibrao

qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um

intervalo de tempo. Na engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de mquinas e

nas estruturas, quando estes esto submetidos a aes dinmicas (DOS SANTOS, 2012).

(a) (b)

Figura 3.2: Exemplos de vibrao. Maquina vibrando (a). Estrutura vibrando (b).

Fonte: UFPR, 2012; RODRIGUES, 2010.

3.2.2 Vibrao Livre e Forada

a) Vibrao livre: provocada por uma perturbao inicial que no persistente durante o

movimento vibratrio. Tem-se como exemplo o pndulo simples. Depois de deslocado

de sua posio de equilbrio, o pndulo simples permanece em movimento oscilatrio

27

sem que nenhum efeito externo intervenha, como na figura 3.3 (DOS SANTOS,

2012).

Figura 3.3: Pndulo simples em vibrao livre.

Fonte: SFISICA, 2012.

b) Vibrao forada: produzida por um efeito externo que persiste durante o tempo em

que o movimento vibratrio existir. Como exemplo, tem-se o movimento de um rotor

desbalanceado, caso tpico de uma vibrao forada (DOS SANTOS, 2012).

Figura 3.4: Rotor desbalanceado.

Fonte: CIMM, 2012.

3.3.3 Vibrao amortecida e no amortecida

a) Vibrao amortecida: aquela em que a energia de vibrao se dissipa com o tempo,

de forma que conjuntamente os nveis vibratrios diminuem (DOS SANTOS, 2012).

28

Figura 3.5: Vibrao livre amortecida

Fonte: FISICADOSOM, 2012

b) Vibrao no amortecida: aquela em que a energia de vibrao no se dissipa, de

forma que o movimento vibratrio permanece imutvel com o passar do tempo (DOS

SANTOS, 2012). Os sistemas em que ocorre a vibrao no amortecida so sistemas

ideais, pois sempre alguma energia ser dissipada em um sistema fsico. Entretanto,

em muitos casos, o amortecimento to pequeno que possvel desprez-lo, pois os

nveis vibratrios diminuem muito pouco durante o tempo em que o movimento

observado e a anlise do problema se torna matematicamente mais simples. A Figura

3.6 ilustra uma vibrao no amortecida.

Figura 3.6: Vibrao livre no amortecida

Fonte: FISICADOSOM, 2012

.

3.3.4 Vibrao linear e no linear

a) Vibrao linear: aquela que ocorre em um sistema cujos componentes atuam

linearmente (PICCOLI, 2012). Como exemplo, a fora da mola proporcional ao

deslocamento e a fora de amortecimento proporcional velocidade.

29

Figura 3.7: Sistema linear massa mola.

PICCOLI, 2012

b) Vibrao no linear: aquela em que um ou mais componentes do sistema no se

comporta linearmente, ou seja, a fora produzida no apresenta uma relao linear

com a varivel cinemtica a que se associa, como por exemplo, relaes quadrticas,

cbicas, logartmicas, exponenciais e senoidais (PICCOLI, 2012). Como exemplo,

tem-se a relao senoidal da figura 3.5.

3.3.5 Vibrao determinstica e aleatria

a) Vibrao determinstica: aquela em que se pode prever todas as caractersticas do

movimento vibratrio em qualquer instante de tempo (DOS SANTOS, 2012).

b) Vibrao aleatria ou no determinstica: aquela em que no possvel prever o que

ir acontecer no movimento vibratrio (DOS SANTOS, 2012).

3.3.6 Graus de Liberdade

Segundo PICCOLI (2012), o nmero mnimo de coordenadas independentes

necessrias a descrever completamente o movimento de todas as partes que compem um

sistema vibratrio. A Figura 3.8 mostra exemplos esquemticos de sistemas com um, dois e

trs graus de liberdade.

30

Figura 3.8: Representao de graus de liberdade. Sistemas com um grau de liberdade (a). Sistemas com dois

graus de liberdade (b). Sistemas com trs graus de liberdade (c).

PICCOLI, 2012

Se um sistema possui pelo menos um grau de liberdade, os valores das variveis que

descrevem o estado do sistema (posio, velocidade, acelerao) devem ser especificados por

um sistema de coordenadas. Qualquer conjunto de coordenadas chamado de conjunto de

coordenadas generalizadas (DA SILVA, 2009).

O nmero de graus de liberdade sempre igual ao nmero de coordenadas utilizado

menos o numero de equaes de restrio. Assim sendo, um movimento descrito em um

sistema de coordenadas generalizadas no apresenta equaes de restrio (PICCOLI, 2012).

3.3.7 Sistemas discretos e contnuos

a) Sistemas discretos: So sistemas governados por equaes diferenciais ordinrias, que

segundo PICCOLI (2012), podem ser separados em partes de forma que cada uma delas

possua um determinado nmero de graus de liberdade e o sistema global tenha um

nmero finito de graus de liberdade, sendo tambm chamados de sistemas com

31

parmetros concentrados. A Figura 3.9 representa um sistema discreto de um grau de

liberdade, solicitado por uma fora varivel no tempo. O nico movimento possvel

do oscilador o deslocamento horizontal, , da massa. O sistema encontra-se ligado

ao apoio por um elemento que desenvolve uma fora , funo do deslocamento e

da velocidade da massa M. A funo , caracteriza o comportamento do oscilador;

a fora P(t) caracteriza a solicitao.

Figura 3.9: Sistema discreto de um grau de liberdade.

CORREIA, 2007.

b) Sistemas contnuos: so governados por equaes diferenciais parciais, e segundo

PICCOLI (2012), podem ser divididos, possuindo um nmero infinito de graus de

liberdade sendo tambm conhecidos como sistemas com parmetros distribudos. Tm

solues exatas apenas em casos especiais, essencialmente quando os parmetros que

caracterizam o sistema so uniformemente distribudos. Exemplos de sistemas

contnuos so as aplicaes deste trabalho.

Dados os conceitos bsicos de vibrao mecnica, listados nesse capitulo, pode-se

dizer que neste trabalho se estar trabalhando com a viga de Euler em vibrao livre, no

amortecida, linear, determinstica, para um sistema contnuo.

32

4. ESTUDO GERAL BSICO DA VIGA

Neste captulo sero apresentados alguns conceitos gerais referentes classificao

das vigas, alm tipologia dos esforos atuantes nas vigas. O captulo tambm descreve trs

modelos de equaes para vigas que aparecem na literatura, quando se estuda vibraes de

vigas, dando nfase a equao de Euler-Bernoulli que ser estudada no decorrer do trabalho,

fazendo uma breve descrio das hipteses que devem ser consideradas em cada um desses

modelos. Demonstra-se ainda, a soluo analtica para vibraes flexionais (SAVF), sua

deduo e aplicao.

4.1 GENERALIDADE

Segundo BASTOS (2005), vigas so estruturas lineares que trabalham em posio

horizontal ou inclinada, apoiadas em um ou mais apoios e que tem a funo de suportar os

carregamentos transversais, em que a flexo preponderante.

As vigas, geralmente barras retas e prismticas, tm caractersticas geomtricas

semelhantes aos elementos que constituem as trelias (barras), pois uma das dimenses

muito superior s outras duas, porm, a viga submetida a foras transversais e tem seu eixo

deformado verticalmente, ou seja, a configurao geomtrica de seu eixo se modifica. A

forma de carregamento da viga faz com que ela seja solicitada, preponderantemente, pelo

momento fletor e pela fora cortante. Em alguns casos, as vigas tambm podem ser solicitadas

axialmente.

So um dos elementos estruturais mais utilizados em pontes, passarelas, edifcios

principalmente pela facilidade de construo. De acordo com (BRANDO, 2010), no h

dvida de que a viga um dos mais importantes elementos estruturais e sua teoria bsica deve

ser completamente entendida para o seu dimensionamento.

33

4.2 CLASSIFICAO

4.2.1 Quanto aos Apoios

Segundo (SUSSEKIND, 1994), vigas estaticamente determinadas, tambm chamadas

de Isostticas, e como visto no capitulo 2,so aquelas que podem ter seus esforos

determinados apenas pelas equaes de equilbrio (Equao 4.1), sendo exemplificadas, nas

vigas (a), (b) e (c), na figura 4.1.

; ; . (4.1)

Tambm existem as vigas estaticamente indeterminada ou hiperestticas. Em geral, as

equaes de equilbrio (Equao 4.1) fornecem condies necessrias, mas no suficientes,

para a determinao dos esforos no modelo estrutural. Para a determinao dos esforos em

estruturas hiperestticas, necessrio fazer uso das outras condies, como a compatibilidade

deslocamentos e deformaes. So exemplificadas nas vigas (d), (e) e (f), na figura 4.1.

Figura 4.1: Principais tipos de vigas. Biapoiada (a). Em balano (b). Apoiada em balano (c). Continua (d).

Apoiada engastada (e). Biengastada (f).

Fonte: MILFONT , 2010

4.2.2 Quanto ao Carregamento

Basicamente, existem dois tipos de carregamento externo que uma viga, cargas

concentradas e cargas distribudas. Carregamento concentrado corresponde a aplicao de

uma carga em um nico ponto sobre a estrutura (Figura 4.2) (PINTO, 2000).

34

Figura 4.2: Cargas ( Concentradas ao longo da viga.

Fonte: Elaborado pelo autor.

J o carregamento distribudo expresso como uma fora ao longo de uma unidade de

comprimento (Figura 4.3), sendo que a intensidade da fora pode ser constante ou varivel

(PINTO, 2000).

Figura 4.3: Cargas ( Distribudas ao longo da viga.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargas distribudas ou

combinao de ambas. Quando se trabalha com cargas distribudas, pode-se substitu-la por

uma carga concentrada, e assim facilitar bastante os demais clculos.

4.3 EQUAO DE VIBRAO EM FLEXO DA VIGA DE EULER-BERNOULLI

Para obter a equao da viga segundo a teoria de Euler-Bernoulli, algumas hipteses

devem ser consideradas.

A viga tratada como modelo unidimensional, fazendo-se a hiptese que o

comprimento bem maior que as dimenses da seo transversal. Segundo SILVA &

PEDROSO, (2005), para uma relao muito pequena, entre a altura ( ) da seo transversal

35

de uma viga e seu comprimento ( ), a viga e tratada como esbeltas ( , Teoria de

Euler).

Segundo SILVA & PEDROSO (2005), esta se caracteriza por considerar apenas os

efeitos de flexo (Caso elementar de flexo) devido tenso normal. Segundo MIGOTTO

(2011), para a viga anteriormente descrita ser classificada como viga de Euler, ela deve ter

dimenso da seo transversal pequena comparada com o seu comprimento; existncia de

uma linha neutra onde a viga no sofre nem trao nem compresso; ser de material elstico e

homogneo; ter as sees planas, considerando que permanecem planas aps a deformao e

a curvatura da viga ser assumida pequena; serem consideradas muito pequenas ou

desconsideradas as deformaes por cisalhamento, a resistncia inercial e a acelerao em

rotao (acelerao angular) das sees retas da viga.

Figura 4.4: Viga em vibrao transversal livre e um diagrama de corpo livre de um pequeno elemento da viga,

uma vez que deformado por uma fora distribuda por unidade de comprimento, representada por

Fonte: INMAN (2001).

A Figura 4.4 ilustra uma viga em balano com a direco transversal da vibrao

indicada (isto , a deformao, , na direo ). A viga de seco transversal

rectangular largura , espessura e comprimento L. Tambm associada com a

flexo da viga, est a rigidez, , onde o mdulo de elasticidade (mdulo de Young) e

36

o momento de inrcia na seco transversal em torno do "eixo ." Segundo INMAN

(2001), para a resistencia dos materiais, a viga sofre momento fletor , o qual est

relacionado com a deformao da viga, ou a deformao de flexo, , e dada pela

equao (4.2) neste caso:

(4.2)

Segundo INMAN (2001) e MEIROVITCH (1986), o modelo de vibrao de flexo

podem ser obtidos a partir do exame do diagrama de um elemento infinitesimal da viga, tal

como indicado na Figura 4.4. Assumindo que a deformao suficientemente pequena de

modo que a deformao de corte ser muito menor do que (ou seja, de modo que os

lados do elemento no sejam fletidos). A soma das foras na direo , resulta na equao

(4.3):

(4.3)

Onde a fora de cisalhamento na extremidade esquerda do elemento ,

+ dx fora de cisalhamento na extremidade direita do elemento ,

o carregamento total externo aplicado ao elemento por unidade de comprimento, e o termo do

lado direito da igualdade a fora inercial do e1emento. Lembrando que a suposio de

deformao de corte muito pequena usada no equilbrio de foras da equao (4.3)

verda

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Análise Do Comportamento Dinâmico Em Vibração Livre de Vigas Pelo Método Das Diferenças Finitas