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ANÁLISE DO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO SURFACTANTE
VISCOELÁSTICO EM UM CANAL DE PLACAS PARALELAS
Philippe Rollemberg d’Egmont
Projeto de Graduação apresentado ao
Curso de Engenharia Mecânica da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio
de Janeiro como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de
Engenheiro.
Orientador: Fernando Pereira Duda
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2016
i
ii
Rollemberg d’Egmont, Philippe
Análise do escoamento de um fluido surfactante
viscoelástico em um canal de placas paralelas/ Philippe
Rollemberg d’Egmont. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola
Politécnica, 2016.
VIII, 55 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Fernando Pereira Duda
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Mecânica, 2016.
Referencias Bibliográficas: p. 56-57.
1. Fluidos complexos 2. Viscoelasticidade 3. Simulação
numérica. I. Duda, Fernando Pereira. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de
Engenharia Mecânica. III. Análise do comportamento do
escoamento unidirecional de um fluido surfactante não
Newtoniano entre placas.
iii
Para Deus, minha família e amigos.
iv
AGRADECIMENTOS
A Deus, por dar significado a vida uma vez que o amor não cabe em si.
Ao meu pai, pelo apoio em todos os momentos e por me levar ao Aeroporto
Santos Dumont e nas oficinas mecânicas e me mostrar o valor da engenharia
mecânica desde pequeno.
A minha mãe, por sua atenção, conselhos e carinho.
A minha tia, por seu carinho desde pequeno e por sempre me incentivar e
motivar a nunca desistir.
Agradeço a todos os professores que contribuíram com minha formação, desde
o ensino fundamental até a universidade.
Ao Professor Duda e ao Guilherme pela orientação, ensino e por me
apresentar o método dos elementos finitos.
A empresa ESSS, por me dar a oportunidade de aplicar na prática os
conhecimentos adquiridos na universidade e por valorizar a pesquisa e
desenvolvimento.
A todos os amigos que fiz durante esta jornada, a saber: amigos do curso de
Engenharia Mecânica, amigos do Minerva AeroDesign e amigos do time de
futsal da engenharia UFRJ.
v
“A felicidade é muito mais um jeito de ir do que um lugar aonde se
chega”.
Ed Rene Kivitz
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
ANÁLISE DO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO SURFACTANTE
VISCOELÁSTICO EM UM CANAL DE PLACAS PARALELAS
Philippe Rollemberg d’Egmont
Fevereiro/2016
Orientador: Fernando Pereira Duda
Curso: Engenharia Mecânica
Soluções micelares viscoelásticas vêm sendo usadas cada vez mais em
diversas aplicações indústrias, como na redução de arrasto, na área de biotecnologia
e na recuperação avançada de petróleo, devido às suas propriedades reológicas.
Estas soluções são usadas na recuperação avançada como fluido de injeção para
melhorar a eficiência da extração de petróleo. Este trabalho avalia o comportamento
reológico de uma solução micelar escoando em um canal entre placas paralelas, a fim
de obter maior compreensão da dinâmica de uma solução micelar do tipo wormlike.
Foi utilizado o modelo viscoelástico não linear VCM (Vasquez-Cook-McKinley),
formulado para descrever o acoplamento entre a reologia do fluido viscoelástico e a
cinética das cadeias micelares do tipo wormlike, representada por sua montagem e
ruptura induzida por deformação. O modelo também captura os efeitos de difusão das
cadeias de micelas na rede micelar induzida por tensão. Os resultados apresentados
neste presente trabalho foram obtidos com o uso do método dos elementos finitos. O
perfil de velocidade obtido pelo modelo vcm difere do perfil parabólico de um fluido
newtoniano e apresenta um perfil espacial complexo, exibindo bandas de
cisalhamento no escoamento.
Palavras-chave: Fluidos complexos, Viscoelasticidade, Simulação numérica.
vii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Mechanical Engineer.
ANALYSIS OF A VISCOELASTIC SURFACTANT FLUID FLOW IN A
PARALLEL PLATES CHANNEL
Philippe Rollemberg d’Egmont
February/2016
Advisor: Fernando Pereira Duda
Course: Mechanical Engineering
Viscoelastic micellar solutions have been used increasingly in a wide range of
industrial applications such as drag reduction, biotechnology area and enhanced oil
recovery, due to its rheological properties. These solutions are used in the enhanced
recovery as injection fluid in order to improve the efficiency of oil extraction. This study
evaluates the rheological behavior of a micellar solution for a flow in a parallel plates
channel in order to achieve a greater understanding of the dynamics of wormlike
micellar solution. The nonlinear viscoelastic model VCM (Vasquez-Cook-McKinley)
was used in this work, this model was formulated to describe the coupling between the
viscoelastic fluid rheology and the kinetics of wormlike micellar solution chains as
assembly and deformation-induced rupture. The model also captures the effects of
stress-induced diffusion of micelle chains through the micelle network. The results
presented in this study were obtained by using the finite element method. The velocity
profile predicted by the VCM model deviates from the regular parabolic profile expected
for a Newtonian fluid and shows a complex spatial structure exhibiting shear banding.
Keywords: Complex fluids, viscoelasticity, numerical simulations.
viii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 1
1.1 Contexto ...................................................................................................................... 1
1.2 Recuperação de Petróleo ......................................................................................... 2
1.3 Características da Solução Micelar ......................................................................... 5
2 MODELO REOLÓGICO ......................................................................................... 6
2.1 Fundamentos Teóricos ............................................................................................. 6
2.2 Revisão Bibliográfica ................................................................................................. 7
2.3 Modelo VCM ............................................................................................................... 9
2.4 Escoamento Unidirecional ..................................................................................... 16
3 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA.......................................................................... 19
3.1 Método Computacional ........................................................................................... 19
4 RESULTADOS..................................................................................................... 23
4.1 Escoamento Permanente com as Placas fixas ................................................... 23
4.2 Escoamento Permanente com uma Placa fixa e a outra com velocidade
constante .............................................................................................................................. 36
4.3 Escoamento Transiente com as duas Placas fixas ............................................ 40
4.4 Escoamento Transiente com uma Placa Fixa e a Outra Oscilando ................. 47
5 CONCLUSÕES .................................................................................................... 55
6 REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS .................................................................... 56
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 Contexto
Moléculas surfactantes são constituídas por uma cabeça hidrofílica e uma
longa calda hidrofóbica, quando misturados com solvente e em determinadas
condições de concentração e temperatura, eles podem se conectar e formar diferentes
tipos de micelas, como micelas esféricas, micelas rodlike, micelas wormlike, entre
outras.
Figura 1.1 – Agregados Surfactantes.
A figura 1.1 mostra a formação de micelas esféricas para uma concentração micelar
crítica 1 (CMC1) e a formação de micelas rodlike para uma concentração micelar
crítica 2 (CMC2). As micelas rodlike possuem uma estrutura cilíndrica curta e rígida.
Figura 1.2 – Micela Wormlike e Rede Micelar.
2
Ao continuar aumentando a concentração micelar, as micelas rodlike são
transformadas em micelas denominadas wormlike ou polímeros vivos, que possuem
uma estrutura cilíndrica longa e flexível. As micelas wormlike podem se entrelaçar e
formar um emaranhado, ao aumentar a concentração micelar, e formar uma rede
micelar wormlike com propriedades viscoelásticas, resultando no fluido surfactante ou
solução micelar.
Soluções micelares viscoelásticas estão sendo usadas extensivamente como
modificadores reológicos em produtos de consumo, tais como tintas, detergentes,
produtos farmacêuticos, lubrificantes e agentes emulsionantes no qual é exigido um
alto controle das propriedades do fluido. Além disso, as soluções micelares também se
tornaram importantes em uma ampla gama de aplicações, na área da
bionanotecnologia, na pulverização de agroquímicos, na impressão a jato de tinta, na
redução de arrasto turbulento e na recuperação avançada de petróleo, onde eles são
frequentemente usados como um fluido de fratura para estimular a produção de
petróleo [1].
1.2 Recuperação de Petróleo
Os métodos convencionais de recuperação de petróleo são conhecidos como
recuperação primária e secundária. O método de recuperação primária se inicia ao
perfurar o poço produtor, onde o petróleo é expulso dos poros e jogado para fora da
rocha reservatório, por conta da diferença de pressão, sendo iniciada a produção do
petróleo. Essa produção vai diminuindo ao longo do tempo e mudanças vão ocorrendo
no poço, a saber: queda da pressão, aumento da viscosidade, diminuição da
densidade e redução do volume de óleo no reservatório. Essas mudanças acarretam a
necessidade de outros métodos para extrair o óleo.
3
O método de recuperação secundária consiste na injeção de fluidos no poço
para que esses fluidos empurrem o óleo para fora dos poros, por meio de um processo
mecânico. Nesse processo não ocorre nenhuma interação química ou termodinâmica
entre os fluidos ou entre os fluidos e a rocha, pois se trata de um processo não
miscível de injeção de água ou gás. Ou seja, não se espera que os fluidos se
misturem ou interfiram na rocha-reservatório.
O fluido injetado ou fluido deslocador deve empurrar o óleo, chamado de fluido
deslocado, para fora dos poros da rocha e ao mesmo tempo ir ocupando o espaço
deixado à medida que este vai sendo expulso. Nem todo óleo é removido com esse
método de recuperação. Estima-se que, ao se utilizar métodos convencionais, 60% a
70% do óleo ainda fique retido. O óleo retido nos poros da zona invadida pela água ou
gás imiscível é consequência do efeito da capilaridade e é denominado óleo residual.
O método de recuperação avançada ou terciária é empregado para atuar nos
pontos onde o processo convencional não obtém êxito. As baixas recuperações
resultantes de um método convencional de injeção de fluidos podem ser creditadas
basicamente a dois aspectos principais: a alta viscosidade do óleo do reservatório e as
elevadas tensões interfaciais existentes entre o fluido injetado e o óleo [2].
Quando a viscosidade do fluido injetado é muito menor que a do fluido a ser
deslocado, o primeiro se move muito mais facilmente no meio poroso, encontrando
caminhos preferenciais, dirigindo rapidamente para os poços de produção, e grandes
volumes não são varridos pelo fluido, consequentemente o óleo fica retido em grandes
volumes de rocha nos quais o deslocamento não se processou.
Quando há altas tensões interfaciais, a capacidade do fluido injetado de
desalojar o óleo do reservatório para fora dos poros é bastante reduzida, deixando
saturações residuais de óleo elevadas nas regiões já varridas pelo fluido injetado.
4
Quando o óleo do reservatório tem viscosidade um pouco elevada, polímeros
podem ser adicionados à água de injeção para transformá-la em um fluido que se
desloca no meio poroso com a mesma mobilidade que o óleo, aumentando a eficiência
de varrido, evitando que a água escolha um caminho preferencial por conta da
diferença de viscosidade. Contudo, uma vez injetado o material polimérico na rocha-
reservatório, os poros da mesma ficam definitivamente obstruídos pelo polímero [3].
Ao se adicionar um surfactante à água de injeção, na verdade está se fazendo
um deslocamento miscível com água. O surfactante tem a finalidade de reduzir as
tensões interfaciais entre a água e o óleo, que devido a sua natureza anfifílica,
possuem uma parte hidrofílica (solúvel em água) e outra parte lipofílica (solúvel em
lipídios e não em água), portanto se adsorvem em interfaces água-óleo, diminuindo a
tensão entre esses dois líquidos, ampliando a eficiência de deslocamento e facilitando
a recuperação do petróleo.
De um modo geral, os métodos miscíveis são pouco eficientes em relação às
eficiências de varrido. Isto acontece porque essas soluções normalmente têm
viscosidades bem menores que a do óleo, deixando a maior parte do reservatório sem
ser varrida. No entanto, existem surfactantes que propiciam altas recuperações com
boas eficiências de varrido, como exemplo, a injeção de microemulsão, também
chamada de solução micelar, que é uma tentativa de se obter um deslocamento
miscível com boas eficiências de varrido, uma vez que se tem a preocupação com a
miscibilidade e com o controle da viscosidade a fim de evitar caminhos preferenciais e
altas tensões superficiais [4].
5
1.3 Características da Solução Micelar
A compreensão fundamental do comportamento desses fluidos complexos em
diferentes regimes de escoamento é, portanto, extremamente importante para uma
série de indústrias. As técnicas para a análise e de controle do fluxo de fluidos
complexos requerem determinação precisa das propriedades dos materiais, bem como
a capacidade de compreender e prever as mudanças que ocorrem dentro dos
materiais quando eles são submetidos às condições de escoamento igual às
encontradas nas aplicações comerciais e industriais.
As propriedades reológicas das soluções resultantes são semelhantes às
soluções poliméricas, no entanto, com algumas diferenças, a saber: wormlike têm um
mecanismo de relaxação adicional; isto é, eles podem quebrar e reconectar
continuamente, apresentando comportamentos distintos sob diferentes condições de
deformação [5, 6]. Como resultado do acoplamento entre a tensão e a microestrutura
de fluido, este processo de relaxação adicional pode se tornar altamente localizado,
levando a formação de estruturas espacialmente não homogêneas, tais como bandas
de cisalhamento. A dinâmica do fenômeno bandas de cisalhamento vem sendo
consideravelmente estudado tanto no âmbito teórico [5-10] quanto no experimental
[11-14].
Desta forma, o objetivo deste trabalho é avaliar o comportamento reológico de
uma solução micelar escoando em um canal entre placas paralelas, por meio de
simulação computacional utilizando a teoria de elementos finitos. Os resultados
obtidos podem ser usados para auxiliar laboratórios que sintetizam esses tipos de
fluido.
6
2 MODELO REOLÓGICO
2.1 Fundamentos Teóricos
A cadeia micelar é representada por um conjunto de esferas unidas por molas,
nesta configuração, as esferas representam o centro de massa do sistema e estão
relacionadas com a interação hidrodinâmica entre o solvente e as macromoléculas da
solução micelar (a força de arrasto viscoso do solvente sobre as macromoléculas). As
molas representam o efeito de elasticidade das macromoléculas ou efeito restaurador
da rede micelar. Esta configuração esfera/mola denominada dumbbell [15] é
simplificada assumindo-se um comportamento de mola linear ou mola de Hooke.
Os modelos desenvolvidos para descrever o comportamento reológico destes
fluidos complexos, baseiam-se nas seguintes hipóteses: o fluido é incompressível, isto
é,
(2.1)
onde, u é a velocidade do solvente; o tensor de tensões total é dado por;
(2.2)
em que a pressão é uma reação à restrição de incompressibilidade e é a parte
ativa da tensão; esta parte ativa é dividida em uma contribuição proveniente da
solução micelar dada por e por uma tensão referente ao solvente newtoniano, :
(2.3)
a tensão de cisalhamento no solvente newtoniano é dada por:
(2.4)
7
onde ) ) é a parte simétrica do gradiente de velocidade, grad
u, é o tensor de alongamento e o coeficiente constante é a viscosidade do solvente.
A tensão está relacionada com a quebra e reconexão das cadeias da rede micelar
[16].
2.2 Revisão Bibliográfica
Os modelos para fluido viscoelástico não linear descrevem efeitos elásticos e
características não lineares como viscosidade não newtoniana. Existe uma grande
variedade destes modelos, sendo que cada um é capaz de predizer um conjunto de
fenômenos, podendo apresentar deficiências em outros. Os modelos diferenciais não
lineares podem ser obtidos a partir do modelo para fluido viscoelástico linear, na sua
forma diferencial, alterando a derivada em relação ao tempo pela derivada convectiva
no tempo, e podendo adicionar termos não lineares e parâmetros nas equações [17].
Os modelos de fluido viscoelástico linear estão limitados a pequenas
deformações, no entanto, esta limitação não ocorre para os modelos de fluido
viscoelástico não linear. A escolha de uma equação constitutiva com um apropriado
nível de complexidade, para um determinado escoamento, depende de diversos fatore
e requer uma ponderação entre a complexidade matemática, o número de parâmetros
físicos a se estimar e a necessidade de se descrever as propriedades das
macromoléculas do polímero [18,19].
O modelo Oldroyd-B [20], deriva da teoria cinética para soluções poliméricas
concentradas e polímeros fundidos [17] onde a cadeia polimérica é representada por
um conjunto de duas esferas unidas por mola como mostrado na figura 2.1. As esferas
representam o centro de massa do sistema e estão relacionadas com a interação
hidrodinâmica, força de arrasto viscoso, entre o solvente e as macromoléculas da
solução polimérica. As molas representam o efeito de elasticidade das
macromoléculas ou o efeito restaurador do polímero. Esta configuração esfera/mola
8
denominada “dumbbell” é simplificada assumindo um comportamento de mola de
Hooke.
Figura 2.1 – Representação de uma macromolécula como um “dumbbell”
As constantes desta equação tem o mesmo do modelo linear descrito
anteriormente. O modelo Oldroyd-B consegue representar com precisão certos tipos
de fluido que apresentam elasticidade ideal, conhecidos como fluidos de “Borger”.
Este modelo possui a deficiência no cálculo de uma viscosidade extensional
infinita para uma faixa de valores de taxa de deformação em escoamentos
extensionais. Se a viscosidade do solvente for desconsiderada, o modelo de Oldroyd-
B recai em um modelo conhecido como UCM (Upper Convected Maxwell). Este
modelo é usado frequentemente para testar metodologias numéricas, uma vez que a
ausência da parte correspondente a viscosidade do solvente torna mais crítica a
estabilidade numérica do problema.
Outro modelo bem conhecido é o modelo reológico desenvolvido por Giesekus
[21]. Este modelo também se baseia em considerações moleculares com sistemas do
tipo esfera/mola, onde a mola assume o comportamento linear. A diferença do modelo
de Giesekus para o modelo de Oldroyd-B, está na adição de um efeito de não isotropia
na definição da força de arrasto sobre as esferas.
9
O modelo de Jonhson-Segalman vem sendo extensivamente estudado em
escoamento de cisalhamento não homogêneo estacionário [9]. Na equação
constitutiva, gerada a partir da teoria molecular de rede de Gaussian, foi adicionado
um parâmetro escalar que se tornou importante para análise de grandes deformações.
Este modelo obteve boa concordância com os resultados experimentais em um
escoamento de cisalhamento simples.
Embora motivado por processos físicos como deformações complexas das
cadeias, o modelo de Jonhson-Segalman não é capaz de estabelecer uma relação
direta entre os aspectos microestruturais e o escoamento, como exemplo, o processo
de quebra e reconexão das cadeias que influenciam no fenômeno de bandas de
cisalhamento (Shear banding) em soluções micelares.
Os modelos Giesekus e Jonhson-Segalman são capazes de predizer o
comportamento shear-banding, no entanto, esses modelos não conseguem predizer
com precisão o comportamento de soluções micelares em determinados testes
viscométricos, como escoamento extensional uniaxial, escoamento cisalhamente com
grande amplitude de oscilação e escoamento em degrau. O modelo VCM, por outro
lado, apresentou concordância com resultados experimentais não somente em
escoamento cisalhante estacionário, mas também em escoamento cisalhante
oscilatório com grande amplitude de oscilação e nos escoamento extensional uniaxial.
2.3 Modelo VCM
Neste trabalho, foi adotado o modelo viscoelástico constitutivo VCM [5], este
modelo assume um solvente newtoniano e considera que todo o comportamento não-
Newtoniano da solução é devido às moléculas surfactantes. Este modelo adota a
hipótese de que na rede micelar existem apenas dois tipos de cadeias micelares, a
10
saber: cadeia A e cadeia B. Além disso, este modelo leva em consideração a quebra e
reconexão dessas cadeias, A e B, e é baseado na teoria de “polímeros vivos” para
wormlike micelles [18]. A contribuição micelar para o tensor de tensões é dado por:
(2.5)
onde, A e B são tensores de conformação referentes às cadeias A e B, enquanto
e representam as molas de Hooke ou elasticidade referentes a cada cadeia.
O modelo VCM descreve um fluido enredado em que cadeias A, que
representam cadeias longas de comprimento L no equilíbrio, podem quebrar-se ao
meio para formar as cadeias B, que representam cadeias curtas de tamanho L / 2 no
equilíbrio, e duas cadeias curtas quaisquer podem combinar-se para formar uma
cadeia longa. O desenho esquemático das cadeias está ilustrado na figura 2.2 e o
sistema massa/mola que representa as cadeias longas e curtas é mostrado na figura
2.3.
Figura 2.2 – Desenho esquemático das cadeias micelares longas e curtas.
11
Figura 2.3 – Sistema massa/mola representando as cadeias micelares.
Este modelo difere ao modelo proposto por teoria Cates, em que as cadeias
podem quebrar com igual probabilidade em qualquer ponto ao longo do seu
comprimento e em que as cadeias de qualquer comprimento podem juntar-se para
formar uma cadeia mais longa. Esta simplificação da dinâmica de ruptura da teoria de
Cates permitiu o desenvolvimento de uma teoria que capta as variações espaciais na
densidade numérica de cada cadeia micelar, sendo crucial para a compreensão do
comportamento experimental de soluções micelares wormlike e da seleção dos
valores de tensão em que estas soluções apresentem o comportamento de bandas
cisalhantes [22].
Quando fluidos Newtonianos são submetidos à tensão, estes se deformam (e
escoam), e quando esta tensão aplicada é retirada, a deformação cessa
imediatamente. Fluidos viscoelásticos submetidos à tensão também se deformam,
entretanto, quando a tensão é removida a tensão interna deste fluido não é cessada
imediatamente, uma vez que ocorrem mudanças conformacionais na configuração
molecular interna do fluido e esta pode manter armazenada a tensão por um
determinado tempo, este tempo é denominado tempo de relaxação, assim, mesmo
quando a tensão externa é retirada, o fluido continua se deformando durante o tempo
de relaxação. O número adimensional de Deborah, De, relaciona o tempo de
relaxação com o tempo característico do processo de deformação do fluido, assim,
12
este é importante para determinar se os efeitos de relaxação do material influenciam
em uma determinada aplicação [23].
No modelo VCM, as cadeias A representam a extensão média das cadeias
longas envolvidas nos enredos, com uma relaxação via reptação, que é uma
movimentação ou difusão das cadeias. A teoria de reptação prevê que em sistemas de
emaranhados, o tempo de relaxação é proporcional ao cubo da massa molar da
cadeia, este movimento é comparado com a locomoção de alguns répteis, como as
cobras pela semelhança na movimentação [24]. Do mesmo modo, as cadeias B
representam a extensão média das cadeias micelares curtas e sua relaxação é por
meio de um mecanismo chamado Rouse-like, que corresponde a movimentos rápidos
de cadeias livres, uma vez que o entrelaçamento de cadeias é negligenciado para esta
cadeia [18].
A taxa de ruptura das cadeias longas A é composta por uma taxa de quebra no
equilíbrio, uma taxa de quebra na ausência de fluxo, e um termo adicional que
depende da tensão local e a taxa de deformação que representa a quebra das cadeias
induzida pela tensão. A cinética destes processos microestruturais são descritos por
um conjunto de equações (2.10)-(2.13) que regem a evolução do número de
densidades do nA e nB e os tensores de conformação A e B das cadeias A e B.
No intento de tornar as equações do modelo adimensionais, foram utilizados os
seguintes parâmetros adimensionais:
,
,
, )
) , )
) ,
,
,
,
,
,
,
,
onde x’ é a coordenada espacial, h’ é um comprimento característico na escala
macroscópica, é referente a velocidade na escala macroscópica, é velocidade
13
dimensional característica do escoamento, é a viscosidade micelar característica
referente a taxa de deformação zero, é a viscosidade do solvente, P é o valor da
pressão no escoamento, é a constante da mola referente a cadeia A, é a
constante de Boltzmann, T’ é a temperatura, é o valor dimensional do número de
densidade das cadeias longas A no equilíbrio e é o tempo de relaxação efetivo da
rede micelar. é o módulo de plateau da rede micelar.
e representam o
coeficiente de arrasto das cadeias A e B respectivamente. Além disso, existem dois
parâmetros adimensionais relacionados a razões de constantes de tempo:
(2.6)
(2.7)
e dois parâmetros de difusividade:
(2.8)
(2.9)
onde é o tempo de relaxação das cadeias A,
é o tempo de relaxação da cadeias
B, e
são a difusividade dimensional das cadeias A e B, respectivamente,
,
.
Considerando a solução micelar para um tempo , governada pelas
seguintes equações de evolução adimensionais do modelo VCM [24]:
2 212 :
2 AA
A A A B B A A
Dnn c n c n
Dt (2.10)
2 22 2 : 2B
B B B B B A A
Dnn c n c n
Dt B (2.11)
14
( )
2
A A B B An c n cA A I A B A (2.12)
2 [ 2 2 ]2
BB B B A
nc n c B B I B B A (2.13)
Os parâmetros e representam a difusividade, e e são dados por
, = λB/λA, ) , onde é o tempo de
relaxação. A taxa de recombinação das cadeias curtas é tomada como
constante, enquanto a taxa de quebras das cadeias de emaranhados longos,
) ) , depende do estado de tensão local, sendo a taxa
de quebra das cadeias longas no equilíbrio que é constante, é parâmetro que
governa a intensidade da taxa de ruptura não-linear das cadeias A, representando o
grau com que um segmento de cadeia pode se contrair repentinamente de volta para
dentro de uma região tubular que representa sua extensão de equilíbrio. Este
parâmetro varia de 0 a 1 para capturar a retração parcial de um polímero dentro de um
tubo de restrição. Quando ξ = 0 corresponde à ausência de retração ou
comportamento ideal neo-Hookean, um comportamento esperado para Rigid-rod [5].
Quando ξ = 1 representa contração completa para a extensão de equilíbrio e para
0<ξ<1 corresponde a uma retração parcial [25]. O valor deste parâmetro para uma
dada solução é obtido e ajustado experimentalmente [26].
) é a taxa de deformação. O índice indica a derivada
convectiva superior, que é dada por:
)
) ) ) ) (2.14)
Estas equações de evolução são acopladas às equações adimensionalizadas
de balanço de quantidade de movimento e conservação de massa, obtidas a partir das
hipóteses de fluido incompressível, fluido suficientemente viscoso de tal forma que os
15
efeitos inerciais do escoamento são considerados desprezíveis, 𝛁 , e tensor de
tensões total dado por (2.2):
) , (2.15)
(2.16)
Onde E é o número de elasticidade dado por:
, (2.17)
onde De é o número de Deborah,
, (2.18)
e Re é o número de Reynolds é dado por
.
Neste trabalho, as quantidades dimensionais são denotadas com apóstrofo “ ‘ ”
e os termos adimensionais sem o apóstrofo. Os valores para estes parâmetros,
obtidos para uma solução de cloreto de cetilpiridínio e salicilato de sódio em salmoura
(CPCl-Sal/NaCl), são: a partir de [27],
, , , , , .
Considerando um domínio P onde contém solução micelar, as equações (2.10)-
(2.13) satisfazem o interior deste domínio. Sendo ∂P fronteira do domínio P, esse é
satisfeito com as seguintes equações de condição de contorno (2.19)-(2.22):
) em , (2.19)
) em . (2.20)
Assumindo que não há nenhum fluxo de tensão de conformação através da
fronteira ∂P, temos que;
em , (2.21)
em . (2.22)
16
2.4 Escoamento Unidirecional
Considerando um micro canal bidimensional de comprimento d e altura h, como
mostrado na figura 2.4;
Figura 2.4 – Desenho representativo de um micro canal de placas paralelas
Foi considerado d’ >> h’ para todas as análises presentes neste trabalho, a fim
de desprezar os efeitos de entrada e de saída, assim é assumido que a pressão
imposta na entrada do canal decai linearmente ao longo do comprimento d do canal.
Assumindo um fluido suficientemente viscoso de tal forma que os efeitos inerciais do
escoamento são considerados desprezíveis, e escoamento unidirecional,
) , sendo que a velocidade só varia na direção y, assim, o sistema de
equações do modelo assume a seguinte forma:
1
12 12( (A 2B )) du d du
E Pdt dy dy
(2.23)
222 1( (2 ))
2
A AA B B Aeq A
n dn dAdc n c n H
t dy dy dy
(2.24)
222( 2 ( )) 2 2B BB B B Aeq A
n dn dBdc n c n H
t dy dy dy
(2.25)
17
11 11 1111 11 11 12( ) 2A B B Aeq A
A
A dA Ad duc n B c A n A A H
t dy dy dy n
(2.26)
12 12 1212 12 12 22( )A B B Aeq
A
A dA Ad duc n B c A A A H
t dy dy dy n
(2.27)
22 22 2222 22 22 22( )A B B Aeq A
A
A dA Ad duc n B c A n A A H
t dy dy dy n
(2.28)
11 11 1111 11 12 11( ) 2 ( )
2
BB B B Aeq
A
B dB n Ad duc n B c A B H B
t dy dy dy n (2.29)
12 12 1212 12 12 22( ) 2 2 2
B B B Aeq
A
B dB Ad duc n B c A B B H
t dy dy dy n (2.30)
22 22 2222 22 22( ) 2 2 2
2
BB B B Aeq
A
B dB n Adc n B c A B H
t dy dy n (2.31)
onde, 1223
uH A
y.
O sistema não linear de equações diferenciais parciais representado por (2.23)-
(2.31) está sujeito as seguintes condições de contorno; para o campo de velocidade foi
considerado condição de não deslizamento nas paredes do micro canal;
em , (2.32)
onde, é definido como superfície das paredes do micro canal, localizada em
+h/2 e –h/2 na coordenada y. Assumindo que não há nenhum fluxo de tensão de
conformação através da parede, temos que;
e
em . (2.33)
Foi considerado fluxo do número de densidade das cadeias A e B igual à zero
na região das paredes,
18
e
em . (2.34)
Finalmente, as condições iniciais do sistema para o tensor de conformação e
densidade de cada cadeia são dadas por [6]:
1 0
A An n , 2 / 0
B B Aeq Beqn n c c , 0
AnA , 1
2 0
BnB .
19
3 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
3.1 Método Computacional
O modelo VCM apresentado na seção anterior foi implementado e resolvido
numericamente pelo método dos elementos finitos no software COMSOL Multiphysics.
As equações de evolução e condições de contorno foram escritas em forma
geral, ou forma forte, que é uma formulação adequada para equações diferenciais
parciais não lineares.
Primeiramente escolhemos uma geometria, reduzimos nosso problema
bidimensional para unidimensional devido à simetria do problema, assim, foi
desenhada uma reta de tamanho unitário, onde os pontos das extremidades
representam as placas paralelas.
Selecionamos uma interface de equação diferencial parcial em forma geral
para todo o domínio, definimos nove variáveis adimensionais dependentes,
e . Nessa interface contém a seguinte equação na
forma geral,
, (3.1)
onde é o coeficiente de massa, um coeficiente de amortecimento ou um
coeficiente de massa, é o vetor fluxo conservador, é o termo de fonte,
20
(3.2)
e o operador gradiente unidimensional,
[
] (3.3)
A partir das equações (2.23)-(2.31), podemos escrever os vetores da seguinte
forma:
O vetor fluxo conservador:
22
22
11
12
22
11
12
22
12 12
(2 )
2 ( )
A 2 B
AA
BB
A
A
A
B
B
B
dn dA
dy dy
dn dB
dy dy
dA
dy
dA
dy
dA
dy
dB
dy
dB
dy
dB
dy
du
dy
21
O vetor termo fonte:
2
2
1111 11 11 12
1212 12 12 22
2222 22 22 22
1111 11 12 11
12
1
2
2 2
2
2 ( )2
2
B B Aeq A
B B Aeq A
B B Aeq A
A
B B Aeq
A
B B Aeq A
A
BB B Aeq
A
B B
c n c n H
c n c n H
Aduc n B c A n A A H
dy n
Aduc n B c A A A H
dy n
Aduf c n B c A n A A H
dy n
n Aduc n B c A B H B
dy n
c n B
1212 12 22
2222 22 22
2 2
2 2 22
Aeq
A
BB B Aeq
A
Aduc A B B H
dy n
n Ac n B c A B H
n
P
Coeficiente de amortecimento:
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 00
ad
22
Coeficiente de massa:
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
ae
Em seguida devemos impor os valores iniciais para as variáveis dependentes
[6]. Valor inicial para:
0
A An n,
0
B Bn n,
0
11 AA n, 12 0A
, 0
22 AA n,
0
11 0.5 BB n, 12 0B
, 0
22 0.5 BB n, 0u ,
0,An
t
0,Bn
t
11 0,
A
t
12 0,
A
t
22 0,A
t
11 0,
B
t
12 0,
B
t
22 0,
B
t
0.
u
t
Devemos agora usar as condições de contorno de dirichlet, pré-escrevendo a
velocidade das placas, ⁄ ) e ⁄ ) .
Por fim definimos nossos parâmetros extraídos de [6]: 310A , 310B
,
57 10 , 1.9 , 46.27 10x , , , 0.3 , 0 1An ,
√ .
23
4 RESULTADOS
Os resultados presentes neste trabalho foram alcançados para um número de
Reynolds da ordem de e são referentes a uma solução micelar com 100 miliMol/L
(3,2 %m/m) de cloreto de cetilpiridino e 50 miliMol/L (0,76 %m/m) de salicilato em uma
salmora de cloreto de sódio com 100 miliMol/L (0,56 %m/m) - (CPCl-Sal/NaCl), a uma
temperatura de 22 °C, resultando em um regime semidiluído [5].
4.1 Escoamento Permanente com as Placas fixas
Neste cenário, as condições de contorno (2.19) – (2.22) são utilizadas, no
entanto a equação (2.15) referente à quantidade de movimento é alterada para a
equação (4.1), uma vez que o escoamento é permanente, a derivada em relação ao
tempo é nula e o escoamento é unidirecional, ) , assim a velocidade varia
somente na direção y:
(
)) (4.1)
onde,
, é o valor da variação de pressão ao longo do canal, é a altura
do canal, é o comprimento do canal e é o módulo de plateau da rede micelar. A
equação (4.1) é resolvida acoplada com as equações de evolução (2.23)-(2.31).
24
Figura 4.1 – Perfil de velocidade para diferentes valores de pressão e difusividade .
Figura 4.2 – Perfil de velocidade para diferentes valores de pressão e difusividade .
25
Figura 4.3 – Contribuição das cadeias longas para tensão de cisalhamento para diferentes valores de
difusividade e
Figura 4.4 – Zoom da Figura 4.3.
26
O comportamento viscoelástico linear é obtido para baixos valores de gradiente
de pressão ( 1), consistente com o modelo constitutivo quase-linear do modelo de
Maxwell/Oldroyd. A solução analítica do modelo Oldroyd-B, com condição de contorno
para velocidade de não deslizamento nas paredes do canal, , pode ser
encontrada e é dada pela seguinte equação de uma parábola [6], ))
). No entanto, se alterarmos o valor da difusão observará uma formação de uma
camada de deslizamento aparente fina próxima à parede, como pode ser visto na
figura 4.2, o tamanho desta camada é dependente dos parâmetros [6]. Nas
figuras 4.3 e 4.4 é mostrada a contribuição das cadeias longas para a tensão de
cisalhamento que varia linearmente ao longo da seção transversal do canal, exceto
para região próxima à parede, onde ocorre uma pequena variação na densidade das
cadeias A, como pode ser visualizado nas figuras 4.10 e 4.11, devido ao cisalhamento
nas paredes as cadeias longas são quebradas em maior quantidade quanto mais
próximo desta região. Neste caso, os valores escolhidos para gradiente de pressão
estão abaixo do valor crítico em que o comportamento shear-banding é apresentado.
27
Figura 4.5 – Perfil de velocidade para diferentes valores de pressão acima do e difusividade
.
Figura 4.6 – Perfil de velocidade para diferentes valores de pressão acima do e difusividade
.
28
Figura 4.7 – Contribuição das cadeias longas para tensão de cisalhamento para diferentes valores de
difusividade e
Figura 4.8 – Contribuição das cadeias curtas para tensão de cisalhamento para diferentes valores de
difusividade e
29
Figura 4.9 – Contribuição das cadeias curtas e longas para tensão de cisalhamento para difusividade de
0.1 e
Acima de um valor crítico adimensional para o gradiente de pressão,
para , para , para [6] o modelo
VCM apresenta resultados de um comportamento não homogêneo do escoamento,
aparecendo o comportamento shear-banding e não respondendo mais com um
comportamento quase-linear, fluidos Oldroyds, como ilustrado nas figuras 4.5 e 4.6.
Quando altos valores de gradientes de pressão são aplicados, as cadeias A,
são totalmente destruídas, assim o escoamento é governado pelas cadeias B e pelo
solvente, consequentemente, o modelo VCM se comporta como um modelo
viscoelástico quase-linear. Mesmo com valores de gradiente de pressão acima do
, a tensão de cisalhamento total continua variando linearmente ao longo da seção
transversal do canal e a contribuição individual da tensão de cisalhamento das cadeias
longas, , e curtas, , para esta tensão cisalhamento total varia de forma não
linear, figuras 4.7 a 4.9. A camada aparente de deslizamento próxima à parede ainda é
30
observada para valores acima de , isso se deve a condição de contorno de não
deslizamento imposta na parede.
Impondo valores de gradiente de pressão acima do , o comportamento de
shear-banding é originado perto das paredes e progride para o interior do canal à
medida que o valor de gradiente de pressão é aumentado, assim um plug flow, platô
da tensão cislahante, é desenvolvido no centro do canal e se conecta a região de alta
taxa de tensão de cisalhamento e esta se conecta a parede.
Na região de alta taxa de tensão de cisalhamento, a contribuição da tensão de
cisalhamento das cadeias longas para a tensão total de cisalhamento diminui
drasticamente, com isso a contribuição da tensão de cisalhamento das cadeias curtas
predomina nesta região. Isto ocorre devido às cadeias longas passarem a se
concentrar no interior do canal, figura 4.10 e 4.11, enquanto as cadeias curtas se
concentram mais próximas às paredes, uma vez que o valor da tensão de
cisalhamento total é maior próximo às paredes e menor no interior do canal
conduzindo a maior quebra de cadeias na região próxima às paredes do que no
interior do canal.
31
Figura 4.10 – Densidade local da cadeia ‘A’ para diferentes valores de gradiente de pressão com
difusividade 0.001.
Figura 4.11 – Densidade local da cadeia ‘A’ para diferentes valores de gradiente de pressão com
difusividade 0.1.
32
As figuras 4.10 e 4.11 correspondem à variação espacial do número de
densidade das cadeias longas A, para vários valores de e . Quando ,
por exemplo, P=1, a grande parte das cadeias micelares presentes no escoamento
são cadeias longas e assim é praticamente constante em todo o canal.
A figura 4.10 mostra que para pequenos valores de , como , o número de
densidade das cadeias longas A no centro do canal é praticamente inalterado, valores
próximos de 1, valor da condição inicial, e assim os efeitos da difusão molecular sobre
o número de densidade se tornam localizados. No entanto, para maiores valores de ,
como , figura 4.11, mostra que à medida que o gradiente de pressão aumenta,
maior o número de cadeias longas quebradas. Assim, a presença do shear-banding é
afetada pela distribuição de densidade ao longo de todo o canal e
consequentemente o efeito da distribuição de densidade não é mais localizado.
Figura 4.12 – Variação da tensão de cisalhamento ) e taxa de deformação no canal para valores de
pressão acima da pressão crítica e um valor fixo de 0.1 para a difusividade.
33
Figura 4.13 – Variação da tensão de cisalhamento ) e taxa de deformação no canal para valores de
pressão acima da pressão crítica e um valor fixo de 0.001 para a difusividade.
Nas figuras 4.12 e 4.13 é mostrada que a pressão influencia mais na relação
entre tensão de cisalhamento, )
) , e taxa de deformação,
, quando a difusividade apresenta valores maiores, como , no entanto, para
valores menores como , ocorrem pequenas variações das curvas no gráfico para
diferentes valores de pressão.
34
Figura 4.14 – Variação da tensão de cisalhamento ) e taxa de deformação no canal para diferentes
valores de difusividade e um valor fixo de 4 para a pressão.
Na figura 4.14, são ilustradas as curvas que relacionam a tensão de
cisalhamento com a taxa de deformação para diferentes valores de difusividade.
Quanto menor o valor da difusividade, a tensão de cisalhamento se mantem constante
para uma maior faixa de valores de taxa de deformação, caracterizando uma maior
região do plateau no perfil de velocidade.
35
Figura 4.15 – Variação da razão de viscosidade e taxa de deformação no canal para valores de
pressão acima da pressão crítica e um valor fixo de 0.1 para a difusividade.
Figura 4.16 – Variação da razão de viscosidade e taxa de deformação no canal para valores de
pressão acima da pressão crítica e um valor fixo de 0.001 para a difusividade.
36
Como mostrado nas figuras 4.15 e 4.16, a razão de viscosidade varia
dependendo da taxa de deformação, permanecendo constante para uma faixa de
valores da taxa de deformação e decaindo para maiores valores da taxa de
deformação. Nas figuras 4.15 e 4.16 também é mostrado que a pressão influencia
mais na relação entre a razão de viscosidade e a taxa de deformação quando a
difusividade apresenta valores maiores, como , no entanto, para valores menores
como , ocorrem pequenas variações das curvas no gráfico para diferentes valores
de pressão.
4.2 Escoamento Permanente com uma Placa fixa e a outra com
velocidade constante
Neste cenário foram consideradas as mesmas equações e hipóteses do caso
do escoamento permanente com placas fixas e a equação de conservação de
quantidade de movimento continua sendo a equação (4.1). A alteração é feita no valor
da condição de contorno (2.32) referente à velocidade na parede, tomando a seguinte
forma:
em +h/2, (4.2)
em -h/2. (4.3)
Onde é a velocidade adimensional do escoamento. Foi considerado
neste caso.
37
Figura 4.17 – Perfil de velocidade para U = 1.
Figura 4.18 – Densidade de cadeias A ao longo da coordenada y para U=1.
38
Figura 4.19 – Perfil de velocidade para U = 100.
Figura 4.20 – Densidade de cadeias A ao longo da coordenada y para U=100.
39
Figura 4.21 – Densidade de cadeias A ao longo da coordenada y para U=700.
Figura 4.22 – Densidade de cadeias A ao longo da coordenada y para U=700.
40
Nas figuras 4.17 a 4.22 é mostrado o perfil de velocidade e o valor de
densidade das cadeias longas para diferentes valores adimensionais de velocidade de
uma das placas, U=1, U=100 e U=700. Quando U assume o valor de 1, o perfil de
velocidade é linear, como mostrado na figura 4.17, e a densidade das cadeias longas
se mantem praticamente constante e próximo do valor da condição inicial, figura 4.18.
Assim, este valor de 1 para U não é suficientemente grande para gerar altas taxas de
deformação e quebrar uma grande quantidade de cadeias longas.
Na figura 4.19 e 4.20 é mostrada a formação de um platô e uma maior
concentração das cadeias longas na região central.
Na figura 4.21 e 4.22 é mostrado o perfil de velocidade linear e a densidade
das cadeias longas se mantem praticamente constante e próximo ao valor de zero,
uma vez que este valor de 700 para U gerou altas taxas de deformação suficientes
para quebrar praticamente todas as cadeias longas.
4.3 Escoamento Transiente com as duas Placas fixas
Neste caso as considerações adotadas são, a saber: regime transiente,
, (4.4)
fluido suficientemente viscoso de tal forma que os efeitos inerciais do escoamento são
considerados desprezíveis, e escoamento unidirecional, ) ,
velocidade só varia na direção y, assim, o sistema de equações, condições de
contorno e condições iniciais permanecem igual ao caso do modelo permanente entre
placas fixas, alterando apenas a equação de balanço de quantidade de movimento
adimensional para:
41
(
)), (4.5)
onde número de elasticidade E compara o tempo de relaxação efetivo do fluido
com o tempo de difusão inercial
.
, onde é a
viscosidade do polímero. Foram comparados dois modelos com , diferindo
apenas nos valores do módulo de elasticidade, sendo o Modelo 1 com E = 100 e o
Modelo 2 com E = 1000.
Modelo 1: E = 100
Figura 4.22 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 100 no tempo de 0.025 a 0.100.
42
Figura 4.23 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 100 no tempo de 0.125 a 0.200.
Figura 4.24 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 100 no tempo de 0.225 a 0.300.
43
Figura 4.25 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 100 no tempo de 0.325 a 0.400.
Figura 4.26 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 100 no tempo de 0.425 a 0.500.
44
Figura 4.27 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 100 no tempo de 1 a 5.
Modelo 2: E = 1000
Figura 4.28 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 1000 no tempo de 0.025 a 0.100.
45
Figura 4.29 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 1000 no tempo de 0.125 a 0.200.
Figura 4.30 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 1000 no tempo de 0.0225 a 0.300.
46
Figura 4.31 – Perfil de velocidade para P = 4 e E = 1000 no tempo de 1 a 5.
Nos dois modelos observou-se no início do escoamento a presença de uma
onda inercial-elástica progressiva, sendo que no modelo 1, onde o número de
elasticidade vale 100, a inercia do escoamento é maior e consequentemente o tempo
necessário para que parem as grandes oscilações é grande quando comparado ao
modelo 2 onde o número de elasticidade vale 1000 e a inércia de escoamento e o
tempo necessário para cessarem as oscilações são menores.
Esta interação entre a onda inercial-elástica e o relaxamento natural do sistema
pode alterar os contornos transientes de velocidade e o perfil de velocidade do estado
estacionário final, dependendo da escala de tempo de interesse [28].
Oscilações similares também foram encontradas experimentalmente em um
escoamento de Couette, onde a velocidade de propagação da onda é dado por √ ,
segundo [29].
47
4.4 Escoamento Transiente com uma Placa Fixa e a Outra
Oscilando
Neste caso as hipóteses e equação de balanço de quantidade de movimento
são as mesmas do caso do escoamento transiente entre placas fixas, alterando
apenas a condição de contorno referente à velocidade das placas, sendo alterada
para:
) em +h/2, (4.6)
em -h/2. (4.7)
Onde t é o tempo adimensional. Foi considerado E=1000 e .
Figura 4.32 – Perfil de velocidade ao longo do tempo para U = 10 cos(t).
48
Figura 4.33 – Densidade de cadeias A ao longo da coordenada y no último passo de tempo para U = 10
cos(t).
Figura 4.34 – Perfil de velocidade ao longo do tempo para U = 50 cos(t).
49
Figura 4.35 – Densidade de cadeias A ao longo da coordenada y no último passo de tempo para U = 50
cos(t).
Figura 4.36 – Perfil de velocidade ao longo do tempo para U = 100 cos(t).
50
Figura 4.37 – Densidade de cadeias A ao longo da coordenada y no último passo de tempo para U = 100
cos(t).
Figura 4.38 – Perfil de velocidade ao longo do tempo para U = 250 cos(t).
51
Figura 4.39 – Densidade de cadeias A ao longo da coordenada y no último passo de tempo para U = 250
cos(t).
Figura 4.40 – Perfil de velocidade ao longo do tempo para U = 500 cos(t).
52
Figura 4.41 – Densidade de cadeias A ao longo da coordenada y no último passo de tempo para U = 500
cos(t).
Fluido Newtoniano - Água
Figura 4.42 – Perfil de velocidade ao longo do tempo para U = 500 cos(t) – Fluido Newtoniano.
53
É possível notar que quando a placa móvel está com uma velocidade de baixa
amplitude, como U = 10 cos(t), a densidade das cadeias A permanece praticamente
constante, figura 4.33, visto que esta velocidade não foi suficientemente alta para
induzir a quebra de muitas cadeias, assim o perfil de velocidade, figura 4.32.
Na figura 4.34, onde a velocidade da placa móvel é U = 50 cos(t), é visto o
surgimento de uma divisão em duas regiões características no perfil de velocidade,
próximo à placa fixa. Na figura 4.35 é observado que na região próxima a parede fixa,
a densidade de cadeias A é menor em relação à região mais afastada, indicando que
o aparecimento das duas regiões no perfil de velocidade está relacionado com a
quantidade de cadeias A nestas regiões.
Na figura 4.36, onde a velocidade da placa móvel é U = 100 cos(t), neste caso
ocorrem duas divisões originando três regiões características no perfil de velocidade,
uma região pequena próxima a placa fixa, outra região pequena próxima a placa
móvel e uma região maior no centro do canal. Na figura 4.37 pode-se notar que as três
regiões onde ocorre a maior variação de densidade das cadeias A estão localizadas
nas mesmas regiões características do perfil de velocidade.
Quando a velocidade da placa móvel é U = 250 cos(t), as três regiões
características continuam presentes no perfil de velocidade, Na figura 4.38, entretanto
o tamanho da região mais central, onde se verifica o maior número de densidade das
cadeias A, diminui em relação ao caso em que a velocidade da placa móvel é U = 100
cos(t), figura 4.39, devido ao aumento na quebra das cadeias em consequência do
aumento da amplitude da velocidade.
Quando a velocidade da placa móvel é U = 500 cos(t), ocorre à ausência de
divisões no perfil de velocidade, figura 4.40, uma vez que a amplitude da velocidade é
suficientemente elevada para quebrar grande quantidade de cadeias A e deixar o
54
número de densidade das cadeias A em valores baixos e com pequenas variações ao
longo do canal.
A figura 4.42, ilustra um fluido Newtoniano (água) entre duas placas paralelas,
sendo uma placa fixa e a outra móvel, com velocidade de U=500 cos(t), a fim de
observar a diferença, no perfil de velocidade, entre fluido micelar e Newtoniano. Neste
cenário nota-se que o afinamento do perfil de velocidade que ocorre da placa móvel
para a placa fixa é mais acentuado no fluido Newtoniano.
55
5 CONCLUSÕES
Neste trabalho, a partir do modelo VCM, pode-se verificar a influência das
deformações das microestruturas micelares sobre o escoamento macroscópico.
Observamos que, em um escoamento entre placas paralelas fixas, para valores
acima de um gradiente de pressão adimensional crítico, P=2.455, para uma
difusividade de 0.001, ocorre um achatamento no perfil de velocidade (shear-banding),
diferindo do clássico perfil parabólico esperado para um fluido Newtoniano,
apresentando um forma espacial complexa.
Em um escoamento transiente entre placas fixas, observamos a presença de
uma onda inercial-elástica e que seu amortecimento é influenciado pelo numero de
elasticidade.
No escoamento transiente com uma placa fixa e outra oscilando, verificamos a
existência de uma relação entre a amplitude de oscilação da placa e o número de
bandas cisalhantes.
Os resultados apresentados permitem maior compreensão da dinâmica de
uma solução micelar. A ferramenta desenvolvida pode auxiliar laboratórios na síntese
das soluções micelares, uma vez que o modelo computacional desenvolvido permite
prever comportamentos reológicos de diferentes tipos de soluções micelares.
56
6 REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS
[1] ROTHSTEIN, J. P. "Strong Flows of Viscoelastic Wormlike Micelle Solutions". In:
Binding, D. M. Walters, K. (Ed.), Rheology Reviews, 2008, The British Society of
Rheology, Aberystwyth, Wales, UK.
[2] THOMAS, J. E. Fundamentos de Engenharia de Petróleo, Rio de Janeiro:
Interciência: Petrobrás, 2001.
[3] CURBELO, F. D. S., Recuperação Avançada de Petróleo utilizando Tensoativos,
Tese, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal: DEQ/PPGEQ, 2006;
[4] FREITAS, F. A., Estudo De Surfactantes Obtidos a Partir se Borras Ácidas
Provenientes do Refino de Óleos Vegetais, Dissertação de Mestrado, Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Programa de Pós-graduação em Química.
[5] P. VASQUEZ, G. MCKINLEY, L. COOK, “A network scission model for wormlike
micellar solutions. I. Model formulation and homogeneous flow predictions”, J. Non-
Newtonian Fluid Mech. 144 (2007) 122–139.
[6] CROMER, M. J., COOK, L.P. AND MCKINLEY, “G.H., Pressure-Driven Flow of
Wormlike Micellar Solutions in Rectilinear Microchannels”, J. Non-Newt Fluid Mech 166
(2011) 180-193.
[7] M. CATES, “Reptation of living polymers: dynamics of entangled polymers in the
presence of reversible chain-scission reactions”, Macromolecules 20 (1987)2289–
2296.
[8] P. OLMSTED, O. RADULESCU, C. LU, “Johnson-Segalman model with a diffusion
term in cylindrical Couette flow”, J. Rheol. 44 (2000) 257–275.
[9] L. ZHOU, P. VASQUEZ, L. COOK, G. MCKINLEY, “Modeling the inhomogeneous
response and formation of shear bands in steady and transient flows of entangled
liquids”, J. Rheol. 52 (2008) 591–623.
[10] M. CATES, “Flow behavior of entangled surfactant micelles”, J. Phys. Condens.
Matter 8 (1996) 9167–9176.
[11] E. MILLER, J. ROTHSTEIN, “Transient evolution of shear banding in wormlike
micelle solutions”, J. Non-Newtonian Fluid Mech. 143 (2007) 22–37.
[12] BOUKANY, P.E., WANG, S.-Q., “Use of Particle-Tracking Velocimetry and Flow
Birefringence to Study Nonlinear Flow Behavior of Entangled Wormlike Micellar
Solution: From Wall Slip, Bulk Disentanglement to Chain Scission”, Macromolecules,
Vol.41, No.4 (2008), pp.1455-1464.
[13] P. CALLAGHAN, “Rheo NMR and shear banding”, Rheol. Acta 47 (2008) 243–
255.
57
[14] Y. HU, A. LIPS, “Kinetics and mechanism of shear banding in entangled micellar
solutions”, J. Rheol. 49 (2005) 1027–1101.
[15] J. F. PALIERNE, “Sticky dumbbells: From Hookean dumbbells to transient
network”, Rheologica Acta, 36(5), 1997, pp. 534-543.
[16] A. G. B. da Cruz · D. O. A. Cruz · F. P. Duda, “Non‑Newtonian solvent effects on
the rheological response of wormlike micelles solutions”, Journal Of The Brazilian
Society Of Mechanical Sciences · January 2014.
[17] BIRD, R. B.; ARMSTRONG, R. C.; HASSAGER, O. Dynamics of Polymeric
Liquids. 2nd. ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1987.
[18] R. G. LARSON, Constitutive Equations for Polymer Melts and Solutions.
Butterworths, Boston, 1988.
[19] MACOSKO, C. Rheology: Principles, Measurements and Applications. [S.1.]:
VHC, 1994.
[20] OLDROYD, J. Proc. Roy. Soc, A200, p. 523-54, 1950.
[21] GIESEKUS, H. A simple constitutive equation for polymer fluids based on the
concept of deformation-dependent tensorial mobility. Journal of Non-Newtonian Fluid
Mechanics, v. 11, n. 1-2, p. 69 – 109, 1982. ISSN 0377-0257.
[22] P. D. OLMSTEAD, C. Y. D. LU. “Coexistence and phase separation in sheared
complex fluids”, Physical. Review E 56 (1997) R56-59.
[23] M. REINER, “The Deborah Number”. Physics Today, 17, 62 (1964).
[24] BERRY, G. C.; FOX, T. G., 1968. "The viscosity of polymers and their
concentrated solutions", Fortschritte der Hochpolymeren-Forschung. Advances in
Polymer Science 5/3. Springer Berlin Heidelberg. p. 261.
[25] R. G. LARSON, “A Constitutive Equation for Polymer Melts Based on Partially
Extending Strand Convection”, Journal of Rheology, vol. 28, issue 5, p. 545.
[26] DOI, M. AND EDWARDS, S. F., 1986, The Theory of Polymer Dynamics.
Clarendon Press, Oxford.
[27] PIPE, C. J., KIM, N., VASQUEZ, P.A., COOK, L. P., MCKINLEY, G.H., “Wormlike
Micellar Solutions II: Comparison between Experimental Data and Scission Model
Predictions”, J. Rheol., (2010), 54(4), 881-913.
[28] L. ZHOU, L. P. COOK, G. H. MCKINLEY, “Wormlike micellar solutions: III. VCM
model predictions in steady and transient shearing flows” J. Non-Newtonian Fluid
Mech. 211 (2014) 70–83.
[29] L. ZHOU, L. P. COOK, G. H. MCKINLEY, “Multiple shear-banding transitions for
a model of wormlike micellar solutions”, SIAM J. Appl. Math.,72:1192–1212, 2012.
