Descrição Euleriana e Lagrangeana de Um Escoamento - Cap 3 Cinematica Dos Fluidos e 4 Equacoes Fundamentais

8/17/2019 Descrição Euleriana e Lagrangeana de Um Escoamento - Cap 3 Cinematica Dos Fluidos e 4 Equacoes Fundamentais

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3Capítulo 3

Introdução ao Movimentodos Fluidos


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3.1– Descrição do Movimento dos Fluidos

• O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula,acompanhando-a em sua trajetória total.

• O observador desloca-se simultaneamente como a partícula.

• s partículas individuais s!o observadas como uma "un#!o do tempo.

• posi#!o, a velocidade e a acelera#!o de cada partícula s!oapresentadas como$

),,,(

),,,(

),,,(

t z y xa

t z y xV

t z y xr

ooo

ooo

ooo

3.1.1 – Descrição Lagrangeana e E uleriana do Movimento dosFluidos

posição,

velocidade

aceleração


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• O método de %uler consiste em adotar um intervalo de tempo,escolher uma se#!o ou um volume de controle no espa#o e considerartodas as partículas &ue passem por esse local.

• 'a descri#!o %uleriana do movimento, as propriedades doescoamento s!o "un#!o do espa#o (pontos de observa#!o) e dotempo$

),,,(

),,,(

),,,(

t z y xa

t z y xV

t z y xr

3.1.1 – Descrição Lagrangeana e E uleriana do Movimento dosFluidos


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• acelera#!o na descri#!o %uleriana é dada por$

3.1.2 – A aceleração na descrição Euleriana do movimento dos fluidos

dt

V d a =

• O vetor velocidade é dado por$ k w jviuV

⋅+⋅+⋅=

dt t

V dz

z

V dy

y

V dx

x

V V d

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

• derivada de V é dadapor$

• acelera#!o ser*,portanto$

t

V

z

V w

y

V v

x

V ua

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=


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• s e&ua#+es escalares dos componentes da e&ua#!o vetorial daacelera#!o na descri#!o %uleriana é dada por$

z

ww

y

wv

x

wu

t

wa

z

vw

y

vv

x

vu

t

va

z

u

w y

u

v x

u

ut

u

a

z

y

x

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

+∂

∂

+∂

∂

+∂

∂

=



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• O termo da derivada parcial no tempo é chamado de acelera#!o local$

t

V

z

V w

y

V v

x

V ua

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

t

V a L

∂

∂=

• soma dos termos da derivada parcial no espa#o é chamada deacelera#!o convectiva$

z

V w

y

V v

x

V uaC

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=


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• Linha de rajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupadospor uma partícula em instantes sucessivos. a linha tra#adapor dada partícula ao longo de seu deslocamento.

3.1.3 – Linhas de ra!et"ria e Linhas de #orrente


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• Linha de Corrente é a linha tangente aos vetores velocidadesde di"erentes partículas no mesmo instante. 'ote-se &ue, nae&ua#!o de uma linha de corrente, o tempo n!o é umavari*vel, j* &ue a no#!o se re"ere a um certo instante.


• esse conceito decorre &ue duas linhas de corrente n!opodem interceptar-se.


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• 'o interior de um "luido em escoamento e/istem in"initas linhasde corrente, de"inidas por suas partículas "luidas.

• 0e considerarmos uma curva "echada, &ue n!o seja linha decorrente, no interior desse "luido, a super"ície constituídaspelas linhas de corrente por ela interceptadas de"inir* odenominado tubo de corrente, ou veia líquida.



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3.2 – Classif icação de Escoamentos

• 1m escoamento se processa em regime permanente (ou estacionário)&uando, ao observarmos, ao longo do tempo, um volume de controlepreviamente escolhido, as propriedades médias das partículas "luidascontidas nesse volume permanecerem constantes.

• 'o regime permanente a acelera#!o local é nula.• 'esse caso, as linhas de corrente e as trajetórias coincidem.

3.2.1 – E scoamentos em $egime %ermanente e &ão'%ermanente

0=∂

∂=

t

V a L


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• %/emplo pr*tico de escoamento em regime permanente$



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• %/emplo pr*tico de escoamento em regime n!o-permanente$



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%scoamentos ridimensionais$

• odos os escoamentos &ue ocorrem na nature2a s!o tridimensionais. s grande2as &ue nele inter"erem, em cada se#!o transversal de um"ilamento ou tubo de corrente, variam em trs dimens+es.

3.2.2 – E scoamentos (ni) *i e ridimensionais


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%scoamentos 4idimensionais$

• 0e as grande2as do escoamento variarem em 5 dimens+es, isto é, seo escoamento puder de"inir-se, completamente, por linhas de correntecontidas em um plano, o escoamento ser* bidimensional .

• o caso de um vertedor de uma barragem.


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%scoamentos 1nidimensionais$

• O escoamento é dito unidimensional &uando uma 6nica coordenada ésu"iciente para descrever as propriedades do "luido.

• 7ara &ue isso aconte#a é necess*rio &ue as propriedades sejamconstantes em cada se#!o.



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• 1m escoamento não-viscoso é a&uele no &ual os e"eitos daviscosidade n!o in"luenciam signi"icativamente o escoamento e s!o,portanto, despre2ados.

• 7ode ser também chamado de escoamento de fluido ideal ou perfeito.

3.2.3 – E scoamentos +iscosos e &ão'viscosos

• 1m escoamento viscoso é a&uele no &ual os e"eitos da viscosidades!o importantes e n!o podem ser despre2ados.

• 7ode ser chamado também de escoamento de fluido real .


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%87%9:;'C:0 % 9%


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%87%9:;'C:0 % 9%


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• 1m escoamento incompressível e/iste se a massa especí"icade cada partícula de "luido permanece relativamente constanteen&uanto a partícula se move através do campo deescoamento$

0=

Dt

D ρ

• :sso n!o e/ige &ue a massa especí"ica seja constante em todo lugar.0e a massa especí"ica é constante em todo lugar, ent!o, obviamente,o escoamento é incompressível, mas isso seria uma condi#!o maisrestrita.

• O escoamento atmos"érico, no &ual ρ = ρ(2), em &ue 2 é vertical,assim como os escoamentos &ue envolvem camadas adjacentes de*gua doce e salgada, s!o e/emplos de escoamentos incompressíveisnos &uais a massa especí"ica varia.

3.2. – E scoamentos de Fluidos #om/ress 0veis e

ncom/ress0veis


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• O n6mero de >ach é 6til para decidir se determinado escoamento deg*s pode ou n!o ser estudado como um escoamento incompressível.0e > ? @,3, as varia#+es de massa especí"ica s!o no m*/imo de 3A eo escoamento é assumido como incompressível. 7ara o ar padr!o, issocorresponde a uma velocidade abai/o de B@@ ms.

• %scoamentos incompressíveis de gases incluem$ escoamentosatmos"éricos, a aerodinDmica de aterrissagem e decolagem de avi+escomerciais, os escoamentos de ar em sistemas de ar condicionado ede a&uecimento, os escoamentos em torno de automóveis e atravésde radiadores e ventiladores, e o escoamento de ar em volta deedi"ícios, por e/emplo.

• %scoamentos compressíveis incluem$ a aerodinDmica de aeronaves dealta velocidade, o escoamento de ar através de turbinas de jatos, oescoamento de vapor através de turbina em usinas termoelétricas, oescoamento de ar em um compressor, e o escoamento de mistura dear-gasolina no motor de combust!o interna.

3.2. – E scoamentos de Fluidos #om/ress 0veis e

ncom/ress0veis


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• 1m escoamento de um "luido é 1':EO9>%, do ponto de vista cinem*tico, &uandoo campo de vetores velocidade, no instante considerado, é constante ao longodo escoamento.

• 'o escoamento uni"orme as trajetórias s!o retas paralelas e, ao longo de cadatrajetória, no mesmo instante, todas as partículas tm igual velocidade.

• de"ini#!o de escoamento uni"orme obriga a constDncia da velocidade ao longo

do escoamento, e n!o transversalmente, isto é, as velocidades em trajetóriasdistintas, no mesmo instante, podem di"erir.

• 'os escoamentos uni"ormes, em virtudes das trajetórias serem retilíneas,coincidem as trajetórias e as linhas de corrente.

• velocidade média torna o escoamento uni"orme na se#!o$

3.2. – E scoamentos em $egime (niforme e +ariado


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• %scoamentos variados$

3.2. – E scoamentos em $egime (niforme e +ariado


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• 1m escoamento de um "luido é CO'0%9F:FO, &uando a massapermanece constante ao longo do escoamento do "luido.

• %ste caso, de ocorrncia "re&Gente, veri"ica-se nos encanamentosonde n!o h* adi#!o nem subtra#!o de matéria ao longo da paredesólida &ue contorna o "luido em movimento.

• Huando houver acréscimo ("ontes) ou subtra#!o de massa (po#os) Icorrente de matéria, o escoamento é dito 'JO-CO'0%9F:FO.

3.2. – E scoamentos #onservativos e &ão'#onservativos


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3Capítulo K

EQUAÇÕESFUNDAMENAIS


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4.1– As Leis !sicas

• %H1 O CO'0%9F O >00$ a massa de um sistemadeve ser conservada, isto é, permanecer constante.

• %H1JO H1':% % >OF:>%'O$ a "or#a resultanteagindo sobre um sistema é igual I ta/a com a &ual a &uantidade demovimento do sistema est* mudando. a segunda lei de 'eMton.

• 79:>%:9 L%: %9>O:'N>:C$ ta/a de transmiss!o de calorpara um sistema menos a ta/a com a &ual o sistema reali2a trabalho éigual I ta/a pela &ual a energia do sistema est* variando. a lei &uerelaciona ta/a de transmiss!o de calor, a ta/a de reali2a#!o detrabalho e a ta/a de varia#!o da energia de um sistema.


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4.2 – E"uação da Conservação de Massa#ou E"uação da Continuidade$ %ara &e'ime

(ermanente

• 0eja o escoamento de um "luido por um tubo de corrente$

• 0eja a va2!o em massa na se#!o de entrada do sistema HmB e nasaída Hm5.


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(ermanente

• 7ara &ue o regime seja permanente é necess*rio &ue n!o haja varia#!ode propriedades, em nenhum ponto do "luido, com o tempo.

• 0e, por absurdo, HmB ≠ Hm5 , ent!o em algum ponto interno ao tubo decorrente haveria ou ac6mulo ou redu#!o de massa. essa "orma, amassa especí"ica nesse ponto variaria com o tempo, o &ue iria contrariara hipótese de regime permanente.


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(ermanente

ssim$

HmB = Hm5 ou ρBHB = ρ5H5 ou ρB BFB = ρ5 5F5

• %nt!o a %H1 O CO':'1:% 79 1> EL1:O H1LH1%9%> 9%:>% 7%9>'%'% pode ser resumida como$

Hm = ρH = ρ . . F = constante


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(ermanente

• 0e o "luido "or incompressível, ent!o a massa especí"ica na entrada e nasaída do volume de controle dever* ser a mesma. %nt!o$

ρHB = ρH5 ou HB = H5 ou BFB = 5F5

• Logo, a va2!o de "luido incompressível é a mesma em &ual&uer se#!odo escoamento.

• %H1JO CO':'1:% 79 1> EL1:O:'CO>79%00PF%L %> 9%:>% 7%9>'%'% é$

H = . F = constante


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(ermanente

• 7ara o caso de diversas entradas (e) e saídas (s) de "luido dosistema, a e&ua#!o da continuidade pode ser generali2ada poruma somatória de va2+es na entrada e outra na saída, isto é$

para "luidos &uais&uer.∑∑ = s

m

e

m QQ

∑∑ = se

QQ para "luidos incompressíveis.

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