UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ - Páginas Pessoais - …paginapessoal.utfpr.edu.br/paulabenevides/equacoes-diferenciais/... · 1.3 CLASSIFICAÇÃO ... 6.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA

EQUAES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA

Prof.a Paula Francis Benevides

Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Curitiba Gerncia de Ensino e Pesquisa Departamento Acadmico de Matemtica

Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides

2

Contedo

AULA 1 ............................................................................................................................ 6

AULA 2 ............................................................................................................................ 8

1.1 INTRODUO ............................................................................................................ 8 1.2 DEFINIO .................................................................................................................... 9 1.3 CLASSIFICAO ............................................................................................................... 9

1.3.1 Tipo: ....................................................................................................................... 9 1.3.2 Ordem: ................................................................................................................... 9 1.3.3 Grau: ...................................................................................................................... 9 1.3.4 Linearidade: ......................................................................................................... 10

1.4 ORIGEM DAS EQUAES DIFERENCIAIS: ............................................................................ 10

AULA 3 .......................................................................................................................... 12

2. RESOLUO ........................................................................................................... 13

2.1 CURVAS INTEGRAIS: ...................................................................................................... 13 2.2 SOLUO: ................................................................................................................... 13 2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) ................................................................................. 14 2.4 TEOREMA DA EXISTNCIA DE UMA NICA SOLUO ............................................................. 15 2.5 EQUAES DIFERENCIAIS AUTNOMAS............................................................................. 16

3. EQUAES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU ............................................. 18

3.1 EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS ............................................................................... 18 3.1.1 Resoluo: ............................................................................................................ 18

AULA 4 .......................................................................................................................... 22

3.2 EQUAES HOMOGNEAS .............................................................................................. 22 3.2.1 Funo Homognea ............................................................................................. 22 3.2.2 Equao Homognas ........................................................................................... 22

3.2.2.1 Resoluo: .................................................................................................................................................23

AULA 5 .......................................................................................................................... 26

3.3 EQUAES REDUTVEIS S HOMOGNEAS E EQUAES REDUTVEIS AS DE VARIVEIS SEPARADAS . 26

3.3.1 O determinante 22

11

ba

ba diferente de zero ...................................................... 26

3.3.2 O determinante 22

11

ba

ba igual a zero. .............................................................. 28

AULA 6 .......................................................................................................................... 31

3.4 EQUAES DIFERENCIAIS EXATAS .................................................................................... 31

AULA 7 .......................................................................................................................... 34

3.4.1 Fator Integrante ................................................................................................... 34

AULA 8 .......................................................................................................................... 37


3

3.5 EQUAES LINEARES: .................................................................................................... 37 3.5.1 Fator Integrante: .................................................................................................. 37 3.5.2 Substituio ou de Lagrange: .............................................................................. 39

AULA 9 .......................................................................................................................... 42

3.6 EQUAES NO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTVEIS A LINEARES: ................................. 42 3.6.1 Equaes de Bernoulli: ......................................................................................... 42

AULA 10 ........................................................................................................................ 45

3.6.2 Equao de Ricatti ............................................................................................... 45

AULA 11 ........................................................................................................................ 48

4. EQUAES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM ............................................. 48

4.1 ENVOLTRIAS E SOLUES SINGULARES ............................................................................ 48 4.1.1 Definies: ............................................................................................................ 48 4.1.2 Equao da Envoltria ......................................................................................... 49 4.1.3 Solues Singulares .............................................................................................. 50

AULA 12 ........................................................................................................................ 52

4.1.4 Equao de Clairaut ............................................................................................. 52

AULA 13 ........................................................................................................................ 54

4.1.5 Equao de Lagrange: ......................................................................................... 54 4.1.6 Outros tipos de equao de 1a Ordem e grau diferente de um: .......................... 56

AULA 14 ........................................................................................................................ 58

5. EXERCCIOS GERAIS ................................................................................................ 58

AULA 15 ........................................................................................................................ 60

6. EQUAES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMTICOS ..................................... 60

6.1 MODELO MATEMTICO ................................................................................................. 60 6.2 DINMICA POPULACIONAL .............................................................................................. 61 6.3 MEIA VIDA .................................................................................................................. 63 6.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO ............................................................................................. 65 6.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO .......................................................................................... 65 6.6 RESFRIAMENTO ............................................................................................................ 66 6.7 MISTURAS ................................................................................................................... 68 6.8 DRENANDO UM TANQUE ................................................................................................ 70 6.9 DISSEMINAO DE UMA DOENA ..................................................................................... 72 6.10 CORPOS EM QUEDA ....................................................................................................... 74

6.10.1 Corpos em queda e a resistncia do ar .............................................................. 76 6.11 CORRENTE DESLIZANTE .................................................................................................. 78 6.12 CIRCUITOS EM SRIE ...................................................................................................... 80

AULA 16 ........................................................................................................................ 87

7. EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR ................. 87

AULA 17 ........................................................................................................................ 89

7.1 EQUAES LINEARES E HOMOGNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES ..................................... 89


4

7.1.1 Caso 1: Razes Reais Distintas. ............................................................................. 90 7.1.2 Caso 2: Razes Mltiplas. ..................................................................................... 90 7.1.3 Caso 3: Razes complexas distintas. ..................................................................... 91

AULA 18 ........................................................................................................................ 94

7.2 EULER - CAUCHY........................................................................................................... 94

AULA 19 ........................................................................................................................ 97

7.3 EQUAES LINEARES NO HOMOGNEAS .......................................................................... 97 7.3.1 Soluo por coeficientes a determinar (Descartes): ............................................ 97

AULA 20 ...................................................................................................................... 100

7.3.2 Soluo por variao de parmetros ................................................................. 100

AULA 21 ...................................................................................................................... 103

7.3.3 Mtodo do Operador Derivada .......................................................................... 103 7.3.3.1 Definio .................................................................................................................................................103 7.3.3.2 Propriedades ...........................................................................................................................................103 7.3.3.3 Equaes Diferenciais .............................................................................................................................103 7.3.3.4 Operador Anulador .................................................................................................................................104 7.3.3.5 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores ...................................................................105 7.3.3.6 Resoluo de Equaes Lineares ............................................................................................................106

AULA 22 ...................................................................................................................... 109

8. EXERCCIOS GERAIS .............................................................................................. 109

AULA 23 ...................................................................................................................... 111

9. MODELAGEM COM EQUAES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR .................... 111

9.1 EQUAES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: ....................................... 111 9.1.1 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre no amortecido .................................. 111

9.1.1.1 ED do Movimento Livre no amortecido: ...............................................................................................112 9.1.1.2 Soluo e Equao do Movimento:.........................................................................................................112

9.1.2 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido ........................................ 113 9.1.2.1 ED do Movimento Livre Amortecido: ......................................................................................................113

9.1.3 Sistema Massa Mola: Movimento Forado ....................................................... 116 9.1.3.1 ED do Movimento Forado com Amortecimento: ..................................................................................116 9.1.3.2 ED de um Movimento Forado No Amortecido: ...................................................................................117

9.1.4 Circuito em Srie Anlogo - Circuitos eltricos RLC em srie ............................. 118 9.2 EQUAES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO............................................. 119

9.2.1 Deflexo de uma viga: ....................................................................................... 119 9.2.1.1 Solues No Triviais do Problema de Valores de Contorno: .................................................................120 9.2.1.2 Deformao de uma Coluna Fina: ...........................................................................................................121 9.2.1.3 Corda Girando: ........................................................................................................................................123

AULA 24 ...................................................................................................................... 128

10. SISTEMA DE EQUAES DIFERENCIAIS .............................................................. 128

10.1 SISTEMA CANNICO E SISTEMA NORMAL: ............................................................ 128

AULA 25 ...................................................................................................................... 131

10.2 SISTEMAS DE EQUAES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMTRICA ........................... 131

AULA 26 ...................................................................................................................... 134

10.3 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ..................................... 134


5

10.3.1 Vetor soluo ................................................................................................... 135 10.3.2 O Problema de Valores Iniciais ........................................................................ 136

10.3.2.1 Existncia de uma nica soluo ...........................................................................................................136 10.3.3 Sistemas homogneos ..................................................................................... 136

10.3.3.1 Princpio da Superposio .....................................................................................................................137

10.3.4 Independncia Linear ....................................................................................... 138 10.3.4.1 Critrio para Solues Linearmente Independentes .............................................................................138

10.3.5 Conjunto fundamental de soluo ................................................................... 139 10.3.5.1 Soluo Geral - Sistemas Homogneos .................................................................................................139

10.3.6 Sistemas no homogneos .............................................................................. 140 10.3.6.1 Soluo Geral - Sistemas No-Homogneos .........................................................................................140

10.3.7 Uma Matriz Fundamental ................................................................................ 142 10.3.7.1 Uma Matriz Fundamental No-Singular .............................................................................................143 10.3.7.2 Matriz Especial ......................................................................................................................................143

10.3.7.3 t uma Matriz Fundamental ........................................................................................................145

AULA 27 ...................................................................................................................... 150

10.4 SISTEMAS LINEARES HOMOGNEOS ................................................................................ 150 10.4.1 Autovalores reais e distintos ............................................................................ 150 10.4.2 Autovalores complexos .................................................................................... 152 10.4.3 Autovalores de Multiplicidade dois ................................................................. 153

AULA 28 ...................................................................................................................... 158

10.5 SISTEMAS NO HOMOGNEOS ....................................................................................... 158 10.5.1 Coeficientes Indeterminados ........................................................................... 158 10.5.2 Variao de Parmetros .................................................................................. 161

AULA 29 ...................................................................................................................... 165

11. RESOLUO POR SRIES DE POTNCIA: ............................................................. 165


6

AULA 1

REVISO DE INTEGRAIS

Resolva as seguintes integrais:

1) dxx )13( R: Cxx

2

3 2

2) dxx

x

4= R: Cxx 48

3

2

3)

dxx

x2

2 )1( R: C

xx

1

4)

21 x

dx R: Carcsenx

5)

dxx

x21

R: Cx 21ln2

1

6) )1( 2xx

dx R: C

x

x

1ln

2

12

2

7)

21 xdx

R: Cx arctan

8) 42x

dx R: C

x

x

2

2ln

4

1

9) x

dx

3 R: C

x

3

1ln

10)

dxx

x3

21 R: Cx

x ln

2

12

11)

dxx

x3

2 )1( R: Cx

x ln

2

12

12) dxx

x

tan

sec2 R: Cx tanln

13)

dx

ax

ax22

22

R: Cax

axax

ln


7

14)

dx

ax

ax22

22

R: Ca

xax arctan2

15) dxxex3

R: Cxe x 139

1 3

16)

dx

xx

x

12

12

R: Cxx 12ln2

1 2

17)

dx

xx

xx32

2

31

2 R: Cxx 13ln

3

1 23

18)

dx

x

x21

1 R: Cxx arctan1ln

2

1 2

19)

22 31231

3

xx

xdx R: Cx 231ln

2

20)

dx

x

x

35

13 R: Cxx 35ln

25

4

5

3

21)

dx

xx

x

145

152

R: Cxxx )25arctan(145ln2

1 2

22)

dx

x

x

10

12 R: Cxx 10ln212

23) dxxex )2.(1

ln

R: Cxx 2ln

24)

dxx

xe x

2

arctan

1

arctan. R: Cex x arctan.1arctan

25) xdxex sin.cosln R: C

x

2

sin 2

26) dxxe x )2( 3

2

R: Cex x 2

).1( 2

27)

dxxxe x

64

)123(4 22 R: C

xxe x

4

3

22

3

16

22

28) dxxex )4.( 22 R: Cexx x 22 ).122(


8

AULA 2

EQUAES DIFERENCIAIS

1.1 INTRODUO

Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Clculo!!! A derivada dxdy

de uma funo = () nada mais do que uma outra funo () encontrada por uma regra

apropriada. Como por exemplo, a funo = 3 diferencivel no intervalo (, ), e a sua

derivada 23.

3

xedx

dy x . Se fizermos3xey teremos:

23. xydx

dy

(1)

Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equao (1) e perguntasse qual a funo

representada por y? Apesar de voc no fazer ideia de como ela foi construda, voc est a frente de

um dos problemas bsicos desta disciplina: como resolver essa equao para a desconhecida funo

= ()? O problema semelhante ao familiar problema inverso do clculo diferencial, onde dada uma derivada, encontrar uma antiderivada.

No podemos deixar de lado a diferena entre a derivada e a diferencial, pois, embora a

derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores tm

significados bastante diferentes. As diferenas mais marcantes so:

a derivada tem significado fsico e pode gerar novas grandezas fsicas, como por exemplo a velocidade e a acelerao; a diferencial um operador com propriedades

puramente matemticas;

a derivada transforma uma funo em outra, mantendo uma correspondncia entre os pontos das duas funes (por exemplo, transforma uma funo do segundo grau em uma

funo do primeiro grau); a diferencial uma variao infinitesimal de uma grandeza;

a derivada uma operao entre duas grandezas; a diferencial uma operao que envolve uma grandeza;

o resultado de uma derivada no contm o infinitsimo em sua estrutura; consequentemente, no existe a integral de uma derivada; a integral s pode ser aplicada

a um termo que contenha um diferencial (infinitsimo);

se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:

dx

dy

em total semelhana com a definio de derivada. A consequncia direta desse fato que a

derivada no o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse

quociente. Isto significa que a partir da relao:

)(xfdx

dy

possvel escrever:

dxxfdy )(

que se denomina equao diferencial.

uma das aplicaes mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais a obteno da equao diferencial, etapa fundamental para a introduo do Clculo Integral.


9

1.2 Definio

Equao diferencial uma equao que relaciona uma funo e suas derivadas ou

diferenciais. Quando a equao possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial.

1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos')"(2'" 2

5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

22

2

2

2

8) y

zxz

x

z

1.3 CLASSIFICAO

1.3.1 TIPO:

Se uma equao contiver somente derivadas ordinrias de uma ou mais variveis

dependentes em relao a uma nica varivel independente, como em (1) a (6), as derivadas so

ordinrias e a equao denominada equao diferencial ordinria (EDO). Uma ED pode conter

mais de uma varivel dependente, como no caso da equao (6)

Uma equao que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variveis dependentes de

duas ou mais variveis independentes, como em (7) e (8), a equao denominada equao

diferencial parcial (EDP). As equaes diferenciais parciais no sero vistas neste curso.

1.3.2 ORDEM:

A ordem de uma equao diferencial a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As

equaes (1), (2) e (6) so de primeira ordem; (3), (5) e (7) so de segunda ordem e (4) de terceira

ordem.

1.3.3 GRAU:

O grau de uma equao diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como

um polinmio, o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equaes dos

exemplos acima so do primeiro grau, exceto (5) que do segundo grau.


10

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3a ordem e 2o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x.

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1o grau

Observe que nem sempre primeira vista, pode-se classificar a equao de imediato

quanto a ordem e grau.

1.3.4 LINEARIDADE:

Dizemos que uma equao diferencial ordinria

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

de ordem n linear quando so satisfeitas as seguintes condies:

1) A varivel dependente y e todas as suas derivadas nyyy ,,",' so do primeiro grau, ou

seja, a potncia de cada termo envolvendo y um.

2) Os coeficientes naaa ,,, 10 de nyyy ,,",' dependem quando muito da varivel

independente x .

Exemplos:

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3

So respectivamente equaes diferenciais ordinrias lineares de primeira, segunda e

terceira ordem.

1.4 ORIGEM DAS EQUAES DIFERENCIAIS:

Uma relao entre as variveis, encerrando n constantes arbitrrias essenciais, como

Cxxy 4 ou BxAxy 2 , chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre

aqui, por letras maisculas, sero denominadas essenciais se no puderem ser substitudas por um

nmero menos de constantes.

Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrrias essenciais, dar origem a uma

equao diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrrias. Esta equao aparece eliminando-se

as n constantes entre as )1( n equaes obtidas juntando-se primitiva as n equaes provenientes

de n derivadas sucessivas, em relao a varivel independente, da primitiva.


11

Obter a equao diferencial associada s primitivas abaixo:

a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy

e) )cos( bxay onde a e b so constantes

f) xx eCeCy 22

31


12

AULA 2 - EXERCCIOS

Nos exerccios de 1 a 12, obter a equao diferencial associada a primitiva:

1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx

4) xCxCy 2sin2cos 21

5) 321 )( CexCCyx

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln

13) Obter a equao diferencial da famlia de crculos de raio 10, cujos centros

estejam sobre o eixo y.

Respostas:

1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2" ' ( ') 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy


13

AULA 3

2. RESOLUO

Resolver uma ED determinar todas as funes que, sob a forma finita, verificam a

equao, ou seja, obter uma funo de variveis que, substituda na equao, transforme-a numa

identidade. A resoluo de uma equao diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira,

que a preparao da equao, que consiste em fazer com que cada termo da equao tenha, alm

de constantes, um nico tipo de varivel. A segunda etapa a resoluo da equao diferencial e

consiste na aplicao dos mtodos de integrao.

2.1 CURVAS INTEGRAIS:

Geometricamente, a primitiva a equao de uma famlia de curvas e uma soluo

particular a equao de uma dessas curvas. Estas curvas so denominadas curvas integrais da

equao diferencial.

xdx

dy2

2.2 SOLUO:

a funo que quando substituda na equaodiferencial a transforma numa identidade. As

solues podem ser:

Soluo geral: A famlia de curvas que verifica a equao diferencial, (a primitiva de uma equao diferencial) contem tantas constantes arbitrrias quantas forem as unidades

de ordem da equao.

Soluo particular: soluo da equao deduzida da soluo geral, impondo condies iniciais ou de contorno. Geralmente as condies iniciais sero dadas para o instante

inicial. J as condies de contorno aparecem quando nas equaes de ordem superior os

valores da funo e de suas derivadas so dadas em pontos distintos.

Soluo singular: Chama-se de soluo singular de uma equao diferencial envoltria da famlia de curvas, que a curva tangente a todas as curvas da famlia. A

soluo singular no pode ser deduzida da equao geral. Algumas equaes diferenciais

no apresentam essa soluo. Esse tipo de soluo ser visto mais adiante.

As solues ainda podem ser:

Soluo explcita: Uma soluo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy

chamada soluo explcita.

Soluo Implcita: Quando uma soluo pode apenas ser escrita na forma 0)y,x(G

trata-se de uma soluo implcita.


14

Exemplo:

Consideremos a resoluo da seguinte EDO: xdx

dy1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1

A soluo geral obtida obviamente uma soluo explicita.

Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO:

2

2

xxy

y

dx

dy

tem como soluo: x

y

Cey , ou seja, uma soluo implcita.

Exemplo:

Verifique que 16

xy

4

uma soluo para a equao 21

xydx

dy no intervalo ),( .

Resoluo:

Uma maneira de comprovar se uma dada funo uma soluo escrever a equao

diferencial como 0xydx

dy 21

e verificar, aps a substituio, se a diferena acima 21

xydx

dy

zero paratodo x no intervalo.

4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33

Substituindo na E.D., temos

044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x

Esta condio se verifica para todo Rx

2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

Seja a equao diferencial de primeira ordem ),( yxfdx

dy sujeita a condio inicial

00 y)x(y , em que 0x um nmero no intervalo I e 0y um nmero real arbitrrio, chamado de

problema de valor inicial. Em termos geomtricos, estamos procurando uma soluo para a equao

diferencial definida em algum intervalo I tal que o grfico da soluo passe por um ponto (xo, yo)

determinado a priori.


15

Seja xe.cy a famlia a um parmetro de solues para y'=y no intervalo ),( . Se

especificarmos que y(0) = 3, ento substituindo x = 0 e y = 3 na famlia, temos:

x0 e.3ye3ce.c3

Se especificarmos que y(1) = 3, ento temos:

1xx111 e3ye.e3yee.3ce.c3

Ser que a equao diferencial )y,x(fdx

dy possui uma soluo cujo grfico passa pelo

ponto (xo, yo)? Ainda, se esta soluo existir, nica?

As funes y = 0 e 16

xy

4

so solues para o problema de valor inicial

0)0(y

xydx

dy 21

Podemos observar que o grfico destas solues passam pelo ponto (0,0). Desta forma,

deseja-se saber se uma soluo existe e, quando existe, se a nica soluo para o problema.

2.4 TEOREMA DA EXISTNCIA DE UMA NICA SOLUO

Seja R uma regio retangular no plano xy definida por bxa , dyc , que contm o

ponto )y,x( 00 em seu interior. Se )y,x(f e dy

df so contnuas em r, ento existe um intervalo I,

centrado em x0 e uma nica funo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial

)y,x(fdx

dy , sujeito a 00 y)x(y .

Trs perguntas importantes sobre solues para uma EDO.

1. Dada uma equao diferencial, ser que ela tem soluo?

2. Se tiver soluo, ser que esta soluo nica?

3. Existe uma soluo que satisfaz a alguma condio especial?

Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existncia e Unicidade de soluo

que nos garante resposta para algumas das questes desde que a equao tenha algumas

caractersticas.


16

Teorema: Considere o problema de valor inicia

00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy

Se p(x) e q(x) so continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , ento o problema de

valor inicial tem uma nica soluo nesse intervalo.

Alertamos que descobrir uma soluo para uma Equao Diferencial algo similar ao

clculo de uma integral e ns sabemos que existem integrais que no possuem primitivas, como o

caso das integrais elpticas. Dessa forma, no de se esperar que todas as equaes diferenciais

possuam solues.

2.5 EQUAES DIFERENCIAIS AUTNOMAS

As equaes diferenciais da forma

yfdx

dy (2)

so chamadas de autnomas.

Utilizando a manipulao formal introduzida por Liebnitz (1646-1716), podemos escrever a

equao (2) na forma:

)(

1

yfdx

dy (3)

Cuja resoluo :

y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)

Para justificar a equao (4) necessitamos que )(

1

yf seja bem definida no intervalo de

interesse A, onde 0)( yf e que seja contnua neste intervalo A. Pois, como 0)(

1

yfdy

dx em

A , o Teorema da Funo Inversa garante que existe uma funo inversa da funo )(yx , isto ,

)(xFy tal que )(yfdx

dF em A , o que justifica o procedimento formal.

Portanto, a soluo do problema de condio inicial

00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)

obtida pela soluo do problema

00)(

)(

1

xyxyfdy

dx

(6)

e com a inverso da funo )(yx .


17

As equaes autnomas aparcem na formulao de uma grande quantidade de modelos.

Sempre que uma lei de formao afrma que: a taxa de variao de uma quantidade y(t)

proporcional a esta mesma quantidade, temos uma equao autnoma da forma

kydx

dy (7)

Como, kyyf )( , ento 0*)( yf se 0*y . Devemos procurar solues separadamente

nos dois intervalos 0 y e y0 .

Considerando inicialmente o problema de Cauchy

0)(00

yxy

kydx

dy

(8)

E seu problema inverso

00)(

1

xyxkydy

dx

(9)

Cuja soluo inversa dada por

y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja,

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R.

Considere a equao autnoma

akydx

dy

sua soluo geral, para k

ay , obtida considerando-se sua forma diferencial


18

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1

Portanto,

k

ayea

kyeaky CxkCxk ,

1 )()(

Neste caso, k

ay e a soluo de equilbrio.

3. EQUAES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU

So equaes de 1a ordem e 1o grau:

),( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx

em que M = M(x,y) e N = N(x,y).

Estas funes tm que ser contnuas no intervalo considerado (- , )

3.1 EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS

A equao diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM ser de variveis separveis se:

M e N forem funes de apenas uma varivel ou constantes.

M e N forem produtos de fatores de uma s varivel.

Isto , se a equao diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP , a equao chamada equao diferencial de variveis separveis.

3.1.1 RESOLUO:

Para resolvermos tal tipo de equao diferencial, como o prprio nome j diz, deveremos

separar as variveis, isto , deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma

funo exclusivamente da varivel y, e ento integramos cada diferencial, da seguinte forma:

CdyyQdxxP ).().(

Exemplos:

Resolver as seguintes equaes:


19

1) 13 xdx

dy

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx

4) 0secsec. xdytgyydxtgx


20

5) 01)1(222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy


21

8) Resolva o problema de valor inicial

AULA 03 EXERCCIOS

1) Verifique quexxey uma soluo para

a equao 0y'y2"y no intervalo

),( .

Resolver as seguintes equaes diferenciais.

2) 0.1

dx

dytgy

x

3) 0)1(4 22 dyxdxxy

4) 0)3()2( dyxdxy

5) 0)1( 2 dyxxydx

6) 42

2

x

e

dx

dy y

7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

8) dx

dyxyy

dx

dyxa

2

9) 0tansectansec 22 xdyyydxx

10) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 a2)(y2 b2)dy = 0

11) 0)1( ydxdyx

12) 0)1( 2 xydxdyx

13) 0cos xydx

dy

14) xydx

dycos3

15) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas:

1) Esta condio se verifica para todo

nmero real.

2) x cos y = C

3) Cy

1)1xln(2 2

4) (2 + y)(3 x) = C

5) C y2 = 1 + x2

6) C2

xarctge y2

7) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

8) y

y

k

a aex

ln

2

9) tg x . tg y = C

10) Cb

yarctg.b2y

ax

axlnax

11) y = c(x 1)

12) C.x1y 2

13) senxe

Ky

14) senxCey 3

15) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3

1)0(,42 yydx

dy


22

AULA 4

3.2 EQUAES HOMOGNEAS

3.2.1 FUNO HOMOGNEA

Uma funo f = f(x, y) denominada homognea de grau k se, para todo t R, vale a relao f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma funo f = f(x, y) homognea de grau 0 se, para todo t R, vale a relao f(tx, ty) = f(x, y)

Exemplos:

1) A funo f(x, y) = x2 + y2 homognea de grau 2,

pois )y,x(ft)yx(tytxt)ty()tx()ty,tx(f 2222222222

2) 4y

x)y,x(g

2

2

homognea de grau zero pois,

)y,x(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()ty,tx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(x,y) = 2x3 + 5xy2 homognea de grau trs pois,

)y,x(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)y,x(f 3233233323

Se f(x, y) for uma funo homognea de grau n, note que podemos escrever

x

y,1fx)y,x(f n e

1,

y

xfy)y,x(f n so ambas homogneas de grau n.

Exemplo:

Seja 22 yxy3x)y,x(f homognea de grau 2. Logo,

x

y,1fx

x

y

x

y.31x

x

y

x

y31x)y,x(f 2

22

2

22

1,

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)y,x(f 2

22

2

22

3.2.2 EQUAO HOMOGNAS

A equao 0dy)y,x(Ndx)y,x(M ser chamada de equao diferencial homognea se

M e N forem funes homogneas de mesmo grau.

Exemplos:

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

'y

xy

3)

x

yarctgy'


23

3.2.2.1 Resoluo:

Seja a equao homognea Mdx + Ndy = 0

Tem-se:

N

M

dx

dy

Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia

igual ao grau de homogeneidade da equao, resultar uma funo de y/x.

x

yF

dx

dy (1)

necessrio, no entanto, substituir a funo y/x por uma outra que permita separar as

variveis.

Dessa forma, substitui-se x

y por u.

xuy . (2)

Derivando y=x.u em relao ax tem-se

dx

duxu

dx

dy

(3)

Substituindo (2) e (3) em (1), temos:

x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(

Que uma equao de variveis separveis.

Em resumo:

Pode-se resolver uma Equao Diferencial Homognea, transformando-a em uma equao

de variveis separveis com a substituio y = x.u, onde u = u(x) uma nova funo incgnita.

Assim, dy = xdu + udx uma equao da forma y = f(x, y) pode ser transformada em uma equao

separvel.


24

Exemplo:

02)( 22 xydydxyx


25

AULA 04 EXERCCIOS

Resolva as seguintes equaes:

1) (x y) dx (x + y) dy = 0

2) (2x y) dx (x + 4y) dy = 0

3) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y x) dy = 0

5) (x2 + y2) dx xy dy = 0

6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy

7) Determine a soluo de (x2 3y2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condio inicial 1)2(y .

8) Determine a soluo de 0xydy6dx)y3x2( 22 sujeita a condio inicial

3

1)1(y

Respostas:

1) y2 + 2xy x2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy2 + x3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

22

1

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


26

AULA 5

3.3 EQUAES REDUTVEIS S HOMOGNEAS E EQUAES REDUTVEIS AS DE VARIVEIS SEPARADAS

So as equaes que mediante determinada troca de variveis se transformam em equaes

homogneas ou em equaes de variveis separveis.

So equaes da forma:

222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy

onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 so constantes.

Observemos que a equao acima no de variveis separveis porque temos uma soma das

variveis x e y e tambm no homognea pela existncia de termos independentes, portanto

deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que equivale a efetuar uma translao de

eixos.

Para esse tipo de equao tem dois casos a considerar:

3.3.1 O DETERMINANTE 22

11

ba

ba DIFERENTE DE ZERO

Resoluo:

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa

cybxa cuja soluo dada pelas razes x e y .

A substituio a ser feita ser:

dvdyvy

dudxux


27

Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translao dos eixos coordenados para

o ponto ( , ) que a interseo das retas componentes do sistema (1), o que verdadeiro, uma

vez eu o determinante considerado diferente de zero.

Assim sendo, a equao transformada ser:

22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv

Como e so as razes do sistema:

vbua

vbuaF

du

dv

22

11

que uma equao homognea do tipo visto anteriormente.

Exemplo:

Resolver a equao23

132

yx

yx

dx

dy


28

3.3.2 O DETERMINANTE 22

11

ba

ba IGUAL A ZERO.

Assim, observe-se que o mtodo aplicado no 1o caso no far sentido, de vez que as retas

no sistema seriam paralelas e sua interseo seria verificada no infinito (ponto imprprio). A

equao se reduzir a uma de variveis separveis.

Como 22

11

ba

ba = 0, os coeficientes de x e y so proporcionais, de modo que se pode

escrever:

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)

Chamando a relao constante (1) de m, pode-se escrever:

1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim:

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy

Fazendo tybxa 11 , e sendo )(xft , tem-se:

)(1

1

1

xatb

y

Derivando em relao a x:

1

1

1a

dx

dt

bdx

dy

Equao transformada:

2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt

que uma equao de variveis separveis.


29

Exemplo: Resolver a equao 136

12

yx

yx

dx

dy


30

AULA 5 - EXERCCIOS

1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(

2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(

3) 0dy)8y5x(dx)xy3(

4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

5) yx1

y3x31

dx

dy

6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

7) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas:

1) 2x2 6xy + y2 + 2y = K

2) (y x + 1)3 = K(x + y 3)

3) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y 7) + C

5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

7) x2 - 4y2 - 6xy - 2x + 4y = K


31

AULA 6

3.4 EQUAES DIFERENCIAIS EXATAS

Uma equao do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) denominada diferencial exata, se

existe uma funo U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condio necessria e

suficiente para que a equao (1) seja uma diferencial exata que:

x

N

y

M

Dada a equao diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua soluo, cuja

diferencial dada por:

dyy

udx

x

udu

(2)

Ento, comparando (1) e (2) teremos:

),( yxMx

u

(3)

e

),( yxNy

u

(4)

Para obtermos a sua soluo ),( yxfu deveremos integrar, por exemplo,a expresso

(3), em relao varivel x, da qual teremos

)(),(),( ygdxyxMyxf

(5)

Derivando parcialmente (5) em relao y teremos:

)('),(

ygy

dxyxM

y

f

(6)

Igualando (6) e (4) resulta:

),()('),(

yxNygy

dxyxM

.

Isolando g(y) e integrando em relao a y acharemos:

1

),(),()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)

Substituindo (7) em (5) teremos a soluo geral da equao exata, que :

Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

),(

),(),(),(

Logo, a soluo da forma

Cdy

y

PNMdxyxU ),(

onde costuma-se denotar MdxP


32

Exemplos:

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


33

AULA 06 EXERCCIOS

1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xey 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0

4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy

5) 0)( 22 drrdre

Respostas:

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22


34

AULA 7

3.4.1 FATOR INTEGRANTE

Nem sempre a ED exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 no satisfaz, isso : x

N

y

M

.

Quando isso ocorre vamos supor a existncia de uma funo F(x, y) que ao multiplicar toda

a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta uma ED exata.

Se ela exata, existe cteyxu ),( e MFdx

u.

e NF

dy

u.

Tomando a condio de exatido FNdx

FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F

e achar F por aqui loucura!!!!!!!

Vamos supor ento que F(x,y) = F(x)

x

NFN

x

F

y

MF

dividindo tudo por FN 0 e organizando, temos:

x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo: dxx

N

y

M

NdF

F

11

integrando: CdxxRF )(ln

dxxRexF

)(.)(

onde:

x

N

y

M

NxR

1)(

analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos:

dyyReyF

)(.)(

onde:

x

N

y

M

MxR

1)(


35

Em resumo:

Quando a expresso Mdx + Ndyno diferencial exata, isto , x

N

y

M

, mostra-se que h

uma infinidade de funes ),( yxF , tais que )( NdyMdxF uma diferencial exata.

A esta funo ),( yxF , d-se o nome de fator integrante.

F(x): F(y):

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos:

Resolver as seguintes equaes diferenciais transformando em exatas atravs do fator

integrante.

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


36

2) (x2 y2) dx + 2xy dy = 0

AULA 07 EXERCCIOS

1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy

2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0

3) seny dx + cos y dy = 0

4) Encontre a soluo particular

de dx)yx(xydy2 22 para

2)1(y

5) 0xdy2dx)xy( 2

6) 0xdylnxdx)yx(

7) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

Respostas:

1) x2 cos y + x4 = C

2) Ctgyex

2

3) Ceseny x .

4) xxy 32

5) k5

x2xy2

25

6) kxlnyx

7) Kyxx 22


37

AULA 8

3.5 EQUAES LINEARES:

Uma equao diferencial linear de 1a ordem e 1o grau tem a forma:

)()( xQyxPdx

dy

(1)

Se Q(x) = 0, a equao dita homognea ou incompleta; enquanto, se Q(x) 0, a equao

dita no-homognea ou completa. Analisaremos dois mtodos de soluo de equaes diferenciais

desse tipo a saber:

3.5.1 FATOR INTEGRANTE:

Este mtodo consiste na transformao de uma equao linear em outro do tipo diferencial

exata, cuja soluo j estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando equao original de

nosso problema:

QPydx

dy

Vamos reescrever esta ltima sob a forma

0)( dydxQPy

Multiplicando ambos os membrospor Pdxe (fator integrante) obtemos a expresso

0 dyedxQPyePdxPdx

. Aqui, identificamos as funes M e N:

QPyeMPdx

e

PdxeN

Derivando M com relao a y e N com relao a x, obtemos:

PdxPe

y

Me

PdxPe

x

N

confirmando assim, que a equao transformada uma equao diferencial exata.


38

Exemplo1:

Resolver a equao 2 xx

y

dx

dy por fator integrante:


39

3.5.2 SUBSTITUIO OU DE LAGRANGE:

Esse mtodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemtico francs: 1736-1813)

criador da Mecnica Analtica e dos processos de Integrao das Equaes de Derivadas Parciais. O

mtodo consiste na substituio de y por Z.t na equao (1), onde t = (x) e Z= )(x , sendo Z

a nova funo incgnita e t a funo a determinar, assim y = Z.t.

Derivando em relao a x, tem-se:

dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)

Substituindo (2) em (1) vamos obter:

QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)

Para integral a equao (3), examina-se dois casos particulares da equao (1) a saber:

i) P = 0, ento dy = Qx, logo, CQdxy (4)

ii) Q = 0, ento 0 Pydx

dy (equao homognea) que resulta em dy + Pydx = 0 que de

variveis separveis. Da, 0 Pdxy

dy. Integrando essa ltima, resulta em PdxCyln .

Aplicando a definio de logaritmo, passamos a escrever a soluo PdxCPdxC eeey . Fazendo

Cek , temos Pdx

key (5) que representa a soluo da equao homognea ou incompleta.

Agora, vamos pesquisar na equao (3) valores para t e Z, uma vez que y=Z.t, teremos a

soluo da equao (1) que uma equao linear completa (no-homognea). Se igualarmos os

coeficientes de Z a um certo fator, o valor da obtido poder ser levado ao resto da equao,

possibilitando a determinao de Z uma vez que t pode ser determinado a partir desta condio.

Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 0 Ptdx

dt (6), que da

mesma forma j estudada no caso ii. Assim, Pdx

ket . Substituindo este resultado em Qdx

dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

. Da, Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx

1. Integrando este ltimo

1

(Turim, 25 de janeiro de 1736 Paris, 10 de abril de 1813)foi um matemtico francs de origem italiana criador da Mecnica Analtica e

dos processos de Integrao das Equaes de Derivadas Parciais

http://pt.wikipedia.org/wiki/Turimhttp://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_janeirohttp://pt.wikipedia.org/wiki/1736http://pt.wikipedia.org/wiki/Parishttp://pt.wikipedia.org/wiki/10_de_abrilhttp://pt.wikipedia.org/wiki/1813


40

resultado, temos CQdxek

ZPdx

1

(7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo t e

Z:

CQdxe

kkey

PdxPdx 1, onde resulta, finalmente em:

Cdx.Q.eeyPdxPdx

(8)

que a soluo geral da equao (1)

Exempo 2:

Resolver a equao 2 xx

y

dx

dy por Lagrange


41

AULA 8 EXERCCIOS

1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycos.tan

4) xx

y

dx

dy

5) 32 x

x

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan

7) Achar a soluo particular para 0)0(y em x

xydx

dy

cos

1tan.

8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(,2 yxxydx

dy

Respostas:

1) Cxx

y )ln(sin1

2) xeCxy arctan.1arctan

3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


42

AULA 9

3.6 EQUAES NO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTVEIS A LINEARES:

Resolver equaes diferenciais no lineares muito difcil, mas existemalgumas delas que

mesmo sendo no lineares, podem ser transformadasem equaes lineares. Os principais tipos de

tais equaes so:

3.6.1 EQUAES DE BERNOULLI:

Equao da forma:

nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)

para 1n e 0n , onde P(x) e Q(x) so funes continuas conhecidas como equao de Bernoulli2. Nesse caso, a idia realizar uma substituio na equao acima, demodo a transform-la em uma

EDO linear.

Pois, se:

n = 0 y + P(x)y = g(x) caso anterior n = 1 y + [P(x) g(x)] y = 0 caso anterior e homognea

Soluo:

Transformao de varivel:

Substitui por tyn 1

Deriva-se em relao a x:

dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)

Substituindo (1), que :

nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos:

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

2

Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1652 - Basileia, 16 de agosto de 1705), foi o

primeiro matemtico a desenvolver o clculo infinitesimal para alm do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.


43

Como ty n 1 , temos:

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(

Tornando-se assim uma equao linear a ser resolvida pelo mtodo anterior.

Exemplo:

232

xyx

y

dx

dy


44

AULA 09 EXERCCIOS

1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 022 xy

dx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas:

1) 2

.1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

).ln(

1

3) 1.22223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln.2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


45

AULA 10

3.6.2 EQUAO DE RICATTI

A equao de Jacopo Francesco Riccati3 da forma:

)()()(2 xRyxQyxP

dx

dy

(1)

onde P, Q e R designam funes de x. Observamos que, quando P(x)=0 temos a equao linear e,

quando R(x) = 0 temos a equao de Bernoulli. Joseph Liouville4 mostrou que a soluo da

equao de Riccati s possvel quando se conhece uma soluo particular y0. Caso contrrio, ela

s integrvel atravs de uma funo transcendente5.

Resoluo:

Conhecendo-se uma soluo particular 0y da equao (1), pode-se resolver facilmente a

equao fazendo a seguinte mudana de varivel:

zyy 0 (2)

onde 0y e z dependem de x .

Como 0y soluo, temos:

RQyPydx

dy 0

2

00

(3)

Por outro lado, derivando (2) tem-se:

dx

dz

dx

dy

dx

dy 0 (4)

Substituindo (2) e (4) na equao (1) :

RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

00

Desenvolvendo e agrupando os termos:

RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)

3(Veneza, 28 de Maio de 1676 - Treviso, 15 de Abril de 1754) foi um matemtico e fsico italiano que efetuou trabalhos sobre hidrulica

que foram muito importantes para a cidade de Veneza. Ele prprio ajudou a projetar os diques ao longo de vrios canais. Considerou diversas classes

de equaes diferenciais mas conhecido principalmente pela Equao de Riccati, da qual ele faz um elaborado estudo e deu solues em alguns casos especiais.

4(Saint-Omer, Pas-de-Calais, 24 de Maro de 1809 - Paris, 8 de setembro de 1882) foi um matemtico francs. 5

Uma funo chamada de transcendente quando no algbrica (pode ser expressa em termos de somas, diferenas, produtos, quocientes

ou razes de funes polinomiais). As funes trigonomtricas, exponenciais e logartmicas so exemplos de funes transcedentes.


46

Substituindo (3) em (5) e reagrupando, resulta em:

2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)

que uma equao de Bernoulli na varivel z, cuja soluo j foi desenvolvida.

Em resumo:

Para sua resoluo algbrica deveremos conhecer uma soluo particular y = y0 qualquer de

(1), na qual a mudana de variveis y = z + y0, ir eliminar o termo independente R(x)

transformando a equao de Riccatti numa equao de Bernoulli.

Exemplo:

Mostrar que xy soluo particular da equao 0121 223 yxxydx

dyx

e

procurar a soluo geral.


47

AULA 10 EXERCCIOS

1) Verificar se y = x soluo particular da equao 32

2

x

y

x

y

dx

dy. Em caso afirmativo,

calcular a soluo geral.

2) Mostrar que x

y1

soluo particular da equao 2

2 2

xy

dx

dy e calcular a sua soluo

geral.

3) Sabendo que y = 1 soluo particular da equao 1)12( 2 xxyyxdx

dy calcular a

sua soluo geral.

4) Calcular a soluo da equao 11

121 2

xy

xy

xdx

dy sabendo que y = x soluo

particular.

5) Dar a soluo geral da equao 0232 yydx

dy sabendo que y = - 1 soluo

particular.

Respostas:

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


48

AULA 11

4. EQUAES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM

4.1 ENVOLTRIAS E SOLUES SINGULARES

4.1.1 DEFINIES:

Curvas integrais: Famlia de curvas que representa a soluo geral de uma equao

diferencial.

Envolvida: cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma soluo

particular da equao.

Envoltria: Tomando-se como exemplo a famlia de curvas dependentes de um parmetro

0),y,x(f , define-se como envoltriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a

famlia de curvas integrais.

Assim sendo, pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltrias para uma mesma famlia,

como tambm poder no haver nenhuma. Por exemplo, uma famlia de circunferncias

concntricas no apresenta envoltria.


49

4.1.2 EQUAO DA ENVOLTRIA

Seja 0),y,x(f uma famlia de curvas dependentes do parmetro . Define-se como

envoltria a curva que tangente a toda a linha que constituem a famlia de curvas. Pode-se existir

uma ou mais envoltrias para uma mesma famlia de curvas, como tambm poder no haver

nenhuma. As curvas que forma a famlia so chamadas envolvidas. Geralmente, a envoltria

definida pelo sistema:

0),,(

0),,(

yxfyxf

(1)

cuja equao pode ser obtida pela eliminao do parmetro em (1). Tambm podemos obter a equao da envoltria sob a forma paramtrica, resolvendo o sistema para x e y.

Exemplo:

Obter a envoltria de uma famlia de circunferncia com centro sobre o eixo x e raio igual

a 5.


50

4.1.3 SOLUES SINGULARES

Uma equao diferencial no linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa

0,,

dx

dyyxF

Foi visto que uma equao diferencial pode apresentar trs tipos de soluo:

geral particular singular (eventualmente)

A soluo geral do tipo 0)C,y,x(f , que representa uma famlia de curvas (curvas

integrais), a cada uma das quais est associada uma soluo particular da equao dada.

A envoltria dessa famlia de curvas (caso exista) representa a soluo singular da equao

original.

De fato, o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 y,x da

envoltria e da curva integral corresponde a0

0

dx

dy. Alm disso, tem-se que os elementos 00 y,x e

0

0

dx

dyde cada ponto da envoltria satisfazem equao acima, pois so elementos de uma curva

integral. Portanto, a envoltria uma soluo da equao que no resulta da fixao da constante C

, e por esta razo, uma soluo singular.

Exemplo:

Determinar a soluo geral e a soluo singular da equao 2

22 x

dx

dyx

dx

dyy


51

AULA 11 EXERCCIOS

1) Dar a envoltria das seguintes famlias de curvas:

a)

1

4 2 xy

b) 0)2(2 222 yyx

2) Obter a soluo singular da equao 122

2

y

dx

dyy

3) Achar a soluo geral e a soluo singular da equao:

2

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

1) a ) xy 273

b) 042 yx

2) 1y

3) 2CCxy (soluo geral)

4

2xy (soluo singular)


52

AULA 12

4.1.4 EQUAO DE CLAIRAUT

A Equao de Clairaut6 tem a forma

dx

dy

dx

dyxy .

Resoluo:

Chamando pdx

dy

a equao de Clairaut fica pxpy (1)

Derivando a equao anterior em relao a x, teremos:

dx

dppp

dx

dpx

dx

dy)('1.

0)(' pxdx

dp (2)

0dx

dp Cp

A soluo geral dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C

Assim, )(CCxy a soluo geral da equao de Clairaut (famlia de retas)

De (2), tem-se:

0)(' px (3)

xp )('

Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relao F(x,y)=0 que representa a soluo

singular.

Exemplos:

6(Paris, 13 de Maio de 1713 Paris, 17 de Maio de 1765) foi um matemticofrancs.Precursor da geometria diferencial, realizou estudos fundamentais sobre curvas no espao.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Parishttp://pt.wikipedia.org/wiki/13_de_Maiohttp://pt.wikipedia.org/wiki/1713http://pt.wikipedia.org/wiki/17_de_Maiohttp://pt.wikipedia.org/wiki/1765http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_diferencialhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_diferencialhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o


53

Determinar a soluo geral e a soluo singular da seguinte equao de Clairaut:

0

2

y

dx

dyx

dx

dy

AULA 12 EXERCCIOS

Determinar a soluo geral e a soluo

singular das seguintes equaes de

Clairaut:

a. dx

dy

dx

dyxy ln

b. 2

3

dx

dy

dx

dyxy

c. 01

23

dx

dyy

dx

dyx

d. 045

y

dx

dyx

dx

dy

e. 2

4

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

a. ClnCxy (geral)

xln1y (singular)

b. 2C3Cxy (geral)

y12x2 (singular)

c. 2C

1Cx (geral)

23 x27y4 (singular)

d. 04)xCy5(C (geral)

x16)5y( 2 (singular)

e. 2C4Cxy (geral)

2

222

x1

)x1(4y

(singular)


54

AULA 13

4.1.5 EQUAO DE LAGRANGE:

A equao da Lagrange tem a forma

dx

dy

dx

dyFxy

(1)

Observamos que a equao de Clairaut um caso particular da equao de Lagrange, se

dx

dy

dx

dyF

.

Resoluo:

A soluo da equao de Lagrange, geralmente dada sob a forma paramtrica.

Chamando pdx

dy a equao de Lagrange fica ppFxy )( .

Derivando a equao anterior em relao a x, teremos:

dx

dpp

dx

dppxFpFp )(')(')(

dx

dpp

dx

dppxFpFp )(')(')(

Multiplicando por dp

dx e dividindo por [p F(p)], tem-se:

)(

)('

)(

)('

pFp

px

pFp

pF

dp

dx

De onde se pode escrever

QPxdp

dx

Como em geral no ser possvel isolar p na soluo da equao linear anterior, a soluo

geral da equao de Lagrange ser dada na forma paramtrica:

)(

)(

pyy

pxx


55

Exemplo:

Resolver a equao

2

1

dx

dyx

dx

dyy


56

4.1.6 OUTROS TIPOS DE EQUAO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM:

Resolver as seguintes equaes:

a)

2

24

dx

dyxy

b)dx

dy

dx

dyx lnsin


57

AULA 13 - EXERCCIOS

1) dx

dy

dy

dxxy

2)

dx

dydx

dyxy

12

3)

2

dx

dyx

dx

dyx2y

4)

2

dx

dy1

dx

dyy

5) dxdy

edx

dyy .

2

6) dx

dy

dx

dyy ln2

2

7)

dx

dy2

dx

dyy

e

22

x

Respostas

1)

pCppp

y

Cppp

px

1ln1

1

)1ln(1

2

2

2

2

2)

2

ln

ln2

p

Cpx

p

Kpy

3)

Cp

Cy

p

Cx

2

2

4)

cppx

ppy

arcsinln

1 2

5)

p2

pp

epy

cpeex

6)

cp

2p2x

pln2py 2

7)

cy

pyp

p

pyx

arctanln

2ln

22

22


58

AULA 14

5. EXERCCIOS GERAIS

Calcule as Equaes Diferenciais abaixo:

1) 0)2(3 dyyxydx

2) 02

dyyexdx x

3) 0)1( 2 dxydyx

4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy

5) )yxcos(dx

dy

6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx

7) dxyxydxxdy 22

8) 0)( 22 xydydxyxyx

9) 0)2( dyxxyydx

10) 0)52()42( dxyxdyyx

11)342

12

yx

yx

dx

dy

12) 0)139()23( dyyxdxyx

13)

01

2)cos()cos(

dy

yxxyxdx

x

yxyy

14) 0324

22

3

dy

y

xydx

y

x

15) 0)46()63(3222 dyyyxdxxyx

16)yxy

xyx

dx

dy2

2

17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy 18)

0)2tan.(sec)tan.(sec dyxyydxyxx

19) 0sin)cos2(2 ydyxdxeyx x ,

determinar a soluo particular para x = 0.

20) dxexydxxdyx2

21) 02 xdyydxdyy

22) 0)ln(3 dyxydx

x

y

23)Achar a soluo particular para y = b e x = a em

0 xeydx

dyx

24) 0)32(2 dyxydxy

25)22

2y

x

y

dx

dy

26) dxyyxdy )1( 2

27)22 )1( xyxy

dx

dyx

28)Conhecendo-se a soluo particular y = ex da

equao xx eyye

dx

dy 22)21( calcular sua

soluo geral.

Calcular a soluo geral e a singular das seguintes

equaes:

29)

2

dy

dx

dx

dyxy

30)

2

1

dx

dy

dx

dyxy

31)dx

dy

dx

dyxy

32)dx

dy

dx

dyxy sin

Resolver as seguintes equaes de Lagrange:

33)

dx

dyx

dx

dyy 2

2

1

34)

2

2

dx

dy

dx

dyxy


59

Respostas:

1) )ln(126 2 Cyxy

2) 22 2 Cey x

3) 1)1(ln xCy

4) Cyx secsecln

5) Cxyxyx )cot()sec(cos

6) Cyyxx 323 32

7) 222 yxCxy

8) CX

yxy )ln(

9) Cyy

x ln

10) )3()1( 3 yxCyx

11) Cxyyx 48)584ln(

12) )126ln(62 yxCyx

13) Cyxyxy ln2)sin(

14) Cyy

x

13

2

15) Cyyxx 4223 3

16) Cyyx 222 )1(

17) Cxyyx cos

18) Cx)-y(2secysecx

19) 1cos2 xeyx

20)xxeCxy

21) Cyxy 2

22) Cyyx 3ln2

23)x

eabey

ax

24)y

Cyx12

25) 0122 xyyCx

26)2

22

xC

xy

27)

11

12

xC

y

28)1

2

x

xxx

Ce

eCeCey

29)

23

2

4

27

1

xy

CCxy

30)

2

2

2

1

)1(

1

x

xy

CCxy

31) CCxy

No h soluo singular

32)21arccos

sin

xxxy

CCxy

33)

221

21

2(6

1

)(3

1

pCpy

pCpx

34)

p

pCy

pp

Cx

3

2

3

2

3

3

2


60

AULA 15

6. EQUAES DIFERENCIAIS COM MODELOS

MATEMTICOS

6.1 MODELO MATEMTICO

frequentemente desejvel descrever o comportamento de algum sistema ou fenmeno da

vida real em termos matemticos, quer sejam eles fsicos, sociolgicos ou mesmo econmicos. A

descrio matemtica de um sistema ou fenmeno, chamada de modelos matemticos construda

levando-se em considerao determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos compreender os

mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaes

animais nesse sistema ou datar fsseis por meio da anlise do decaimento radioativo de uma

substncia que esteja no fssil ou no extrato no qual foi descoberta.

A construo de um modelo matemtico de um sistema comea com:

i. a identificao das variveis responsveis pela variao do sistema. Podemos a principio optar por no incorporar todas essas variveis no modelo. Nesta etapa,

estamos especificando o nvel de resoluo do modelo.

A seguir,

ii. elaboramos um conjunto de hipteses razoveis ou pressuposies sobre o sistema que estamos tentando descrever. Essas hipteses devero incluir tambm quaisquer

leis empricas aplicveis ao sistema.

Para alguns propsitos, pode ser perfeitamente razovel nos contentarmos com um modelo

de baixa resoluo. Por exemplo, voc provavelmente j sabe que, nos cursos bsicos de Fsica, a

fora retardadora do atrito com o ar s vezes ignorada, na modelagem do movimento de um corpo

em queda nas proximidades da superfcie da Terra, mas e voc for um cientista cujo trabalho

predizer precisamente o percurso de um projtil de longo alcance, ter de levar em conta a

resistncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra.

Como as hipteses sobre um sistema envolvem freqentemente uma taxa de variao de

uma ou mais variveis, a descrio matemtica de todas essas hipteses pode ser uma ou mais

equaes envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemtico pode ser uma equao

diferencial ou um sistema de equaes diferenciais.

Depois de formular um modelo matemtico, que uma equao diferencial ou um sistema

de equaes diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolv-

lo. Se pudermos resolv-lo, julgaremos o modelo razovel se suas solues forem consistentes com

dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. Porm, se as

predies obtidas pela soluo forem pobres, poderemos elevar o nvel de resoluo do modelo ou

levantar hipteses alternativas sobre o mecanismo de mudana no sistema. As etapas do processo de

modelagem so ento repetidas, conforme disposto no seguinte diagrama.


61

Naturalmente, aumentando a resoluo aumentaremos a complexidade do modelo

matemtico e, assim, a probabilidade de no conseguirmos obter uma soluo explcita.

Um modelo matemtico de um sistema fsico frequentemente envolve a varivel tempo t.

Uma soluo do modelo oferece ento o estado do sistema; em outras palavras, os valores da

varivel (ou variveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e

futuro.

6.2 DINMICA POPULACIONAL

Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio

de matemtica foi feito pelo economista ingls Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a idia por

trs do modelo malthusiano a hiptese de que a taxa segundo a qual a populao de um pais

cresce em um determinado instante proporcional a populao total do pais naquele instante. Em

outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existiro no futuro. Em

termos matemticos, se P(t) for a populao total no instante t, ento essa hiptese pode ser

expressa por:

kxdt

dx , 00 )( xtx

ktexx .0

(1)

onde k uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenmenos

envolvendo crescimento ou decaimento.

Conhecendo a populao em algum instante inicial arbitrrio t0, podemos usar a soluo de

(1) para predizer a populao no futuro, isto , em instantes t > t0.

O modelo (1) para o crescimento tambm pode ser visto como a equao rSdt

dS , a qual

descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r composta continuamente.

Exemplo:

Em uma cultura, h inicialmente x0 bactrias. Uma hora depois, t = 1, o nmero de bactrias

passa a ser 3/2 x0. Se a taxa de crescimento proporcional ao nmero de bactrias presentes,

determine o tempo necessrio para que o nmero de bactrias triplique.


62

Resoluo:

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx

Integrando com relao a x a equao acima,temos:

kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx ln c = kt

lnc

x= kt

ekt = c

x

x = c.ekt

Para 0x)0(x equao anterior fica da seguinte forma:

0x

cex

0

00

Voltando para a equao e substituindo o valor de c

kt0exx

Para descobrirmos o valor de k, utilizamos x(1) = 2

3x0

4055,0k

k2

3ln

e2

3

e.xx2

3

k

1.k00

voltando novamente a equao, temos

t4055,0

0

kt0

exx

exx

para que o nmero de bactrias triplique,

Equaes Diferencias

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