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ANÁLISE HARMÔNICA DE SINAIS
Prof. M.A.Garms
UNIP - 2013
1
Índice Geral
1- Estudo de sinais............................................................................................ 2
2- Serie de Fourier........................................................................................... 11
3- Transformada de Fourier............................................................................. 23
4- Convolução...................................................................................................44
5- Sistemas e Classificação..............................................................................51
6- Espectro e densidade de Energia..................................................................61
7- Transformada Discreta de Fourier...............................................................68
8- Bibliografia...................................................................................................78
2
1- ESTUDO DE SINAIS Neste capítulo introdutório abordaremos alguns conceitos básicos para o estudo de sinais. Conceitos básicos Definição Um sinal é uma função que representando uma quantidade física ou variável, e tipicamente ela contém informações sobre o comportamento ou natureza do fenômeno. Assim, um sinal é qualquer função que carrega alguma informação. Inicialmente consideraremos apenas sinais nos quais a variável independente é o tempo. Classificação de Sinais Basicamente sinais podem ser divididos em: Contínuo no tempo e Discreto no tempo Analógico e Digital Periódico e Não periódico Energia e potência Determinístico e probabilístico Sinais Contínuos: Um sinal g (t) é contínuo no tempo se t é uma variável continua. A representação deste tipo de sinal é mostrada na figura a seguir: g(t)
t
3
Sinais Discretos: Se t é uma variável discreta, em que x(t) é definido em tempo discreto, então x(t) é um sinal discreto no tempo. Assim um sinal discreto no tempo é definido com tempos discretos, e um sinal discreto no tempo pode ser identificado como uma sequência de números, determinados por nx ou
x n , onde n = nº inteiro.
A representação deste tipo de sinal é mostrada na figura a seguir: x n
2 1 ● ● ● ● -5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Sinais periódicos e aperiódicos Um sinal v(t) é periódico com período T se v t v t mT( ) ( ) onde m é inteiro. Tal sinal se repete a cada intervalo de T segundos denominado período. Um sinal será aperiódico caso não haja esta repetição. Sinais de energia e sinais de potência Ver capítulo 6. Sinais Reais e Complexos Sinais Reais assumem valores no conjunto de números reais ou seja x t( ) R Sinais Complexos assumem valores no conjunto de números complexos ou seja x t( ) C. Sinais complexos são usualmente usados em comunicações para modelos de sinais que necessitam ser representados pela sua amplitude e fase.
4
Sinais Determinísticos e Probabilísticos (Aleatórios) Sinais Determinísticos São descritos por funções no sentido matemático usual tendo como variável independente o tempo t . Dessa forma conhecendo a função que descreve um sinal determinístico pode-se obter o valor assumido por ele em qualquer instante de tempo t desejado. Sinais Probabilísticos (Aleatórios) Tem sempre associado a ele um elemento de incerteza, não sendo possível em um determinado instante qualquer, determinar o seu valor exatamente. Entretanto é possível descrever este sinal em termos de suas propriedades na média, como por exemplo, a potência média, o seu valor médio, a probabilidade de sua amplitude exceder um determinado valor e assim por diante. Em outras palavras, é possível descreve-lo por meio de um modelo probabilístico que chamamos de processo aleatório.
5
Exemplo de um processo aleatório:
O exemplo nos leva a conclusão que o sinal ( forma de onda ) gerada em um dos terminais do sistema pode ser considerado tanto um sinal determinístico como um sinal aleatório. Para um operador que conhece a mensagem a ser transmitida, o sinal será perfeitamente determinístico, enquanto, para outro observador que não tem o conhecimento da mensagem, o sinal terá um caráter aleatório. Vale ressaltar que o conhecimento das regras probabilísticas que regem um certo fenômeno, ou seja o conhecimento de um modelo probabilístico completo, é bastante raro. Normalmente tem-se um conhecimento parcial ou até um total desconhecimento dessas regras. Entretanto, há a possibilidade de se realizar medidas, pelo menos durante um intervalo de tempo finito, dos sinais envolvidos. Uma vez que algumas medidas tenham sido coletadas, elas podem ser usadas para propor um modelo probabilístico que deve descrever os sinais envolvidos.
Revis Álgeb O núcoord
Os nimag
Pode
),( r
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úmero compdenadas cart
números a (inária do nú
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plexo.
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1
1
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plexo z = a tesianas são
(= abcissa) úmero comp
zz
g
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m expressar oordenadas po
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pressão obté
do Cálculodas funções
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!2
)(
2
j
jj
plexos
mplexos
+ jb pode o (a, b) em u
e b (= ordeplexo z:
os númerosolares de um
jrsenb
ra
cos
cos jrr
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o sabe-se quexponencia
!4!3
!3
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43
32
j
j
6
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enada) são
s complexosm ponto z =
(c rrsen
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ue os polinôl, cosseno e
..!5
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4
j
j
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s em termosa + jb, entã
cos jsen
r de r
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..
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j
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2y(t)/dt2 + y(
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(t)=0 pois:
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ação de
damos
8
Outra solução desta equação diferencial é a função e-jt, pois:
ou -)(2
22
2
2
yydt
deejje
dt
de
dt
d jtjtjtjt
Assim a combinação linear destas soluções será solução da mesma equação diferencial d2y(t)/dt2 + y(t)=0 (princípio da superposição válido para este tipo de equação diferencial linear a coeficientes constantes). Sendo assim considere as seguintes soluções:
ttjsenttjsentee
eetyjtjt
jtjt cos2
cos cos
25.05.0)(
e
tsenj
tjsenttjsent
j
eejejety
jtjtjtjt
2
cos cos
25.05.0)(
Isto mostra que as exponenciais complexas são “equivalentes” às funções seno e cosseno, pois fazem parte do conjunto de soluções da equação diferencial d2y(t)/dt2 + y(t)=0. Em suma pode-se considerar a exponencial complexa como solução de equações diferenciais lineares a coeficientes constantes e “projetá-la” no eixo real para obter a solução no domínio real.
Fasores e resolução de circuitos elétricos em regime senoidal ( x(t) = ~ ) Consegue-se uma simplificação na análise de equações diferenciais lineares, ou mais especificamente no caso de engenharia elétrica, por exemplo, na análise de circuitos RLC (que servem de base inclusive para modelos equivalentes de dispositivos eletrônicos), representando senóides como exponenciais complexas. Para mostrar as vantagens deste processo vamos discutir um gerador de corrente senoidal descrito por:
tjjtjtj
eAeee
AtAi
Real2
)cos()()(
Considere-se então o efeito da aplicação desta corrente ao circuito RLC (figura seguinte). Define-se a corrente I como um número complexo que tem módulo igual à amplitude da senóide e argumento igual à fase da senóide, isto é:
ou -)(2
22
2
2
yydt
deejje
dt
de
dt
d jtjtjtjt
9
tjj IeieII , com AI e I
Sabe-se que:
dtIeC
Iedt
dLRIe
idtCdt
diLRiv
tjtjtj 1
1
Então:
tjtj IeCj
LjRVe
1
onde
)(1
jjj eIZeIeZZII
CjLjRV
Onde a grandeza jeZZ , é um número complexo (fasor), denominada impedância:
jeZ
CLjRZ
1
sendo
RC
Ltg
CLRZ
1
;1 12
A aplicação de jeII ||* (conjugado de I) ao mesmo circuito conduziria ao resultado
)(||||||**)*.(* jjj eVeIeZVZIZV . Como vale o princípio de superposição pode-se garantir que:
tjjjtjtjtj eeIeZVeeVVev RealReal*2
1
ou
tAZv cos
Portanto, |Z| altera a amplitude de v por multiplicação e altera sua fase por adição.
R
i C
L
10
Pode-se observar que a solução se transformou em um problema algébrico devido ao fato de que, para os sinais exponenciais, a derivação se transformou numa operação de multiplicação por j, e a integração em uma divisão por j. A maneira geral de resolver os problemas pode agora ser metodizada pelos seguintes estágios:
(1) Passagem das excitações senoidais para números complexos correspondentes, que podem ser designados como seus transformados.
(2) Solução do problema no campo transformado dos números complexos – fasores, isto é, solução do problema algébrico.
(3) Passagem de volta dos transformados para as soluções explicitas. Depois de um pouco de prática, os estágios 1 e 3 podem ser mantidos implícitos, e as soluções e interpretações relizadas inteiramente no campo complexo, isto é, do modo como realmente ocorrem na analise de circuitos elétricos em corrente alternada (senoidal). Exercícios
1) Mostre que:
2) Mostre que tBsentAtr cos)cos( com 22 BAr e A
Btg 1 .
3) Mostre que:
a) 2
0
2
00 cos mxdxmxdxsen
b)
c) 2
00 os dxkxsenmxc
Observação: símbolo de delta de Kronecker é definido como sendo 1mk para m = k e
0mk para m k.
4) Represente z* na forma polar. Observação: define-se a operação de conjugação de um
número complexo abjtg
ebabjaz1
22
como sendo:
jbazzz *Conjugado
2
0
2
0 cos os mkdxkxmxcdxkxsenmxsen
a) 2
cos
jj ee
;
b) j
eesen
jj
2
c) BsenAAsenBBA coscos)cos(
11
2- SÉRIE DE FOURIER ( xp(t) = ~ ) Resumindo, sinal é um dos elementos básicos em Eletrônica. Traz inerente a si, através de manipulações convenientes que a ele associamos, a informação. A análise matemática dos sinais pode ser feita no domínio de frequência ou do tempo. Em nosso estudo, esta análise será feita no domínio de frequência, onde as técnicas matemáticas são mais simples e significativas. Os sinais podem ser determinísticos ou aleatórios. Sinal determinístico é aquele em que o sinal é uma função bem determinada do tempo; é aleatório quando o sinal estiver na dependência de uma função probabilística. Quando o sinal for determinístico periódico, emprega-se Série de Fourier, como caracterização do sinal no domínio de frequência. Para sinais determinísticos aperiódicos emprega-se a teoria de probabilidade. Sinais determinísticos periódicos Um sinal f(t) é dito periódico, quando for válida a relação: )()( nTtftf onde n = 0, 1, 2, ... e T é o período. Uma função periódica que obedece às condições de Dirichlet pode ser desenvolvida em série de Fourier. Tais condições são:
a) f(t) é definida num intervalo (a, b) b) número finito de máximos e mínimos em (a, b) c) número finito de descontinuidades em (a, b) d) possuir derivada à direita e à esquerda do ponto de descontinuidade.
Série trigonométrica de Fourier (de senos e cossenos) Uma função f(t) periódica pode ser desenvolvida por uma combinação linear de senos e cossenos:
1
000 )sincos(
2)(
nnn tnbtna
atf (1)
onde é a frequência angular fundamental. Um modo equivalente de se escrever a relação (1) é o seguinte - série trigonométrica de Fourier (de cossenos):
1
00 )cos()(n
nn tnEEtf
sendo que
2
00
aE ,
22nnn baE e
n
n
a
btg 1 .
12
Dada uma função periódica, para expressá-la em série de Fourier só é necessário a determinação dos coeficientes de Fourier (an, bn) que são obtidos utilizando-se da ortogonalidade das funções seno e cosseno. Ortogonalidade do seno e do cosseno. As propriedades de ortogonalidade, do seno e cosseno são:
d) 2
0
2
00 cos mxdxmxdxsen (2)
e)
2
0
2
0 cos os mkdxkxmxcdxkxsenmxsen
(3)
f) 2
00 os dxkxsenmxc (4)
Lembrando que o símbolo delta de Kronecker é definido como sendo 1mk para m=k e
0mk para mk.
Determinação dos coeficientes de Fourier a) Cálculo de a0 Integrando-se ambos os lados da expressão (1), resulta:
)()(1
22
)(2
)()sincos(2
)()(
0
2
0000
0
2
0
0
0
2
01
000
0
2
0
tdtfaaa
tda
tdtnbtnaa
tdtfn
nn
Mas dttfT
atT
dtftdtfaT
)(212
)(1
)()(1
00
2
00
2
00
Finalmente obtém-se: dttfT
aT
)(2
00 (5)
Pela expressão (5) verifica-se que o termo a0/2 é o valor médio da função f(t). b) Cálculo de ak para k0 Multiplicando ambos os lados da expressão (1) por tk 0cos e integrando, resulta:
13
)( cos)(1
)( cos)sincos(2
)( cos)(
00
2
01
00
2
01
000
0
2
0 0
tdtktfaaa
tdtktnbtnaa
tdtktf
kkn
knn
nnn
Obtém-se assim o resultado final: dttktfT
aT
k cos)(2
00 (6)
b) Cálculo de bn: Utilizando procedimento análogo ao feito para o cálculo de an, obtém-se:
dttksentfT
bT
k )(2
00 (7)
Propriedades da série de Fourier trigonométrica 1. Para o cálculo dos coeficientes de Fourier de uma função periódica não é importante aonde se inicia a integração, mas sim que a mesma seja efetuada dentro de um intervalo correspondente a um período. Esta propriedade decorre do fato de que para sinais periódicos (nas expressões abaixo f(t) é periódico de período 2/0), vale:
e
2. Uma função par a qual caracteriza-se por:
tem os coeficientes dos termos em senos da série de Fourier nulos. 3. Uma função impar é caracterizada por:
e, neste caso, os coeficientes dos termos em cossenos são nulos. Exemplo 1 Desenvolver em série de Fourier Trigonométrica a onda quadrada.
14
Onda quadrada.
Como a função f(t) é impar, ela só terá os termos em senos no seu desenvolvimento da série de Fourier:
Portanto
15
Série Exponencial de Fourier A série exponencial pode ser escrita na forma exponencial:
o que pode às vezes resultar em cálculos matemáticos mais simples para a obtenção dos coeficientes de Fourier. A série exponencial em (8) pode ser obtida da série trigonométrica, substituindo-se na expressão (1) as seguintes identidades:
e
Pode-se verificar então que:
Cálculo de An Substituindo-se (5) a (7) nas expressões (9) a (11), resulta:
de onde
(12)
(9)
(10)
(11)
(8)
16
ou
(13) As expressões (12) e (13) permitem o cálculo de An e são bastante gerais, pois podem ser aplicadas para o cálculo de A0, fazendo-se n = 0, e de A-n substituindo-se por -n. Propriedades da Série Exponencial de Fourier 1. An é um número complexo, portanto pode ser caracterizado por um módulo e uma fase:
(14)
(15)
(16) 2. An é complexo conjugado de A-n, ver (11). 3. Se
então
o que vale dizer que os coeficientes da série de Fourier são reais, ver (10) e (11). 4. Se
então
o que significa que os coeficientes da série são imaginários, ver (10) e (11). Exemplo 2 Calcular a série de Fourier do pulso periódico.
17
Pulso periódico. Utilizando a equação (1.12b), resulta:
logo
(17)
18
Espectros Discretos O espectro serve para caracterizar um sinal periódico no domínio da frequência. Espectro de amplitudes É a representação gráfica das amplitudes das harmônicas em função da frequência. Espectro de fases É a representação gráfica das harmônicas em função da frequência. Espectro Unilateral Uma função periódica pode ser escrita na forma:
O gráfico de En em função da frequência (figura a) corresponde ao espectro unilateral de amplitudes. O gráfico de n em função da frequência (figura b) corresponde ao espectro unilateral de fases. Os espectros são ditos unilaterais porque são definidos no semi-eixo positivo da frequência.
a) Espectro unilateral de amplitudes b) Espectro unilateral de fases.
Exemplo 3 - Espectro Unilateral da onda Quadrada No Exemplo 1 vimos que a série de Fourier correspondente à onda quadrada é:
o que pode-se reescrever na forma:
19
(18) Utilizando a relação (18) podemos esquematizar o espectro de amplitudes e fases da onda quadrada, que são apresentados nas figuras seguintes.
a) Espectro de amplitude da onda quadrada b) Espectro de fases da onda quadrada Espectro Bilateral O espectro bilateral é a representação dos módulos e fases dos coeficientes An (série exponencial) em função da frequência. Dele diz-se bilateral porque n varia de (-, ) e desse modo utilizamos os semi-eixos positivo e negativo de frequência. Um sinal periódico se representa em série de Fourier exponencial na forma:
e as figuras a e b mostram os espectros de amplitude e de fases em configuração bilateral. Das propriedades já citadas dos coeficientes da série exponencial podemos concluir que o espectro bilateral de amplitudes é uma função par e o seu espectro de fases correspondente é uma função impar.
20
a) Espectro bilateral de amplitudes b) Espectro bilateral de fases; Exemplo 3 - Espectro bilateral do pulso periódico. Do exemplo 2, relativo ao pulso periódico de largura, deduz-se que:
(19) do qual pode-se reproduzir a representação espectral ilustrada na seguinte figura:
Espectro bilateral do pulso periódico. No caso particular do pulso periódico preferimos representar em gráfico An e não |An| em função da frequência, pelo fato de An ser real. Dessa maneira podemos condensar simultaneamente a informação de amplitudes e fases num único - gráfico. Observamos da
21
figura anterior que a envoltória do espectro do pulso periódico segue a função (sen x) / x, tendo pontos de nulos nas frequências múltiplas de 2 / . Define-se normalmente uma largura de faixa para a transmissão do pulso periódico em função da largura de pulso. A largura de faixa em frequência (angular) de um pulso retangular periódico de largura temporal pode ser aproximada à B = 2 / pois a maior parte da energia deste sinal está contida no intervalo [0, 2 /] – note que amplitude das componentes senoidais neste intervalo são “bem maiores” que as dos demais intervalos.
Análise Harmônica - Série de Fourier em circuitos RLC Em virtude do principio de superposição, a mesma técnica de fasores pode ser aplicada a sinais que sejam a soma de senóides ou de exponenciais complexas. A série de Fourier permite então estender o procedimento visto para sinais senoidais a uma classe maior de sinais que são os sinais periódicos, desde que satisfaçam condições de Dirichlet, pouco restritivas na prática. O tratamento das componentes senoidais de um sinal periódico qualquer é denominado análise harmônica de sinais periódicos. Deste modo, uma função periódica pode ser escrita como:
n
tjnneFtf 0)(
onde 0 = 2n/T é a frequência fundamental e os coeficientes Fn são dados por:
2
2
0)(1
T
Tn
tjnn dtetf
TF
Cada componente pode então ser multiplicada por uma impedância, admitância ou função de transferência para dar as componentes correspondentes da solução particular. Assim, uma corrente de forma periódica pode ser escrita como:
n
tjnneIti 0)(
Esta corrente, atravessando uma impedância, causará a seguinte tensão:
n
tjnneVtv 0)(
com )( 0nZIV nn
Novamente, caso se deseje, é possível obter o sinal de tensão que realmente ocorre no circuito tomando-se a parte real do resultado anterior.
22
Exercícios 1) Deduza a expressão (7) para o cálculo dos coeficientes bk da serie trigonométrica (de senos e cossenos), ou seja:
dttksentfT
bT
k )(2
00
2) Obtenha os coeficientes da serie trigonométrica (senos e cossenos) de Fourier do sinal de onda quadrada definida a seguir:
3) A partir das seguintes expressões da serie exponencial de Fourier e da serie trigonométrica (de senos e cossenos) de Fourier:
n
tjnneAtf 0)( e
1
000 )sincos(
2)(
nnn tnbtna
atf
relacione os coeficientes nn AAA e ,0 com os coeficientes nn baa e ,0 - ver expressões de
(9) a (11).
Prove também as expressões (12) e (13):
2
0
0 )()(2
10 tdetfA tjn
n e T
tjnn dtetf
TA
0
0)(1
4) Demonstre as expressões (15) e (16). Dica: use a expressão (10).
5) A partir das seguintes expressões da serie exponencial de Fourier e da serie trigonométrica (de cossenos) de Fourier:
n
tjnneAtf 0)( e
1
00 cos)(n
nn tnEEtf
relacione os coeficientes nn AAA e ,0 com os coeficientes nnE e E ,0 . Compare com o
resultado do exercício (3).
‐3/2 ‐/2 /2 3/2 5/2 0t
A
‐A
23
3- TRANSFORMADA DE FOURIER – TF ( x(t) = ~) Vimos que a série de Fourier permite a análise de sinais periódicos pela sua decomposição em sinais senoidais. A seguir a mesma técnica é generalizada para sinais aperiódicos, chegando-se a Transformada de Fourier. Quando os sinais ou excitações f(t) não são periódicos, não podem ser decompostos em série de Fourier, e, portanto não podem ser caracterizados pelo espectro de frequência. Mas seria útil se o mesmo procedimento pudesse ser estendido a sinais aperiódicos, pois assim seria possível resolver uma família maior de problemas. A extensão do procedimento com sinais periódicos para sinais aperiódicos pode ser feita deixando o período T crescer indefinidamente. Condições suficientes para que isto possa ser feito são as seguintes:
(1) Há um número finito de descontinuidades de f(t) em cada intervalo de tempo finito. (2) Existe derivada a direita e a esquerda em cada ponto.
(3) As funções f(t) são de módulo integrável:
dttf |)(| finita.
A condição (3) exige que a função f(t) tenda para zero quando t = + com suficiente rapidez. Agora, escreve-se:
To
2
Quando o período T cresce indefinidamente, tenderá para zero. Substituindo-se, na expressão (8), 0 por , tem-se:
tjn
nneFtf
)( (19)
Usando a expressão (13) e notando que a região de integração é realizada em todo intervalo de um período da função, que agora é de - a +, resulta para o coeficiente Fn o seguinte:
dtetfF tjnn
)(2
(20)
Vê-se que, a medida que o período T cresce, as frequências das componentes do espectro de frequência ficam cada vez mais próximas e suas amplitudes diminuem. Para período infinito, define-se a densidade de componentes harmônicas por unidade de frequência (angular) como sendo:
24
dtetfFF
nF tjnn
)(
2
1)()( )20( (21)
e tjn
n
enFtf
)()()19(
(22)
Obtém-se assim o espectro contínuo, que caracteriza os sinais aperiódicos. Pode-se dizer que a função f(t) está sendo considerada como a superposição de uma infinidade de componentes exponenciais (ou senoidais) com densidade F(). Estabelecendo-se = n e ( d) 0 nas expressões (22) e (21), obter-se-ia:
deFtf tj)()(
dtetfF tj
)(
2
1)(
Entretanto, em engenharia o fator 1/2 normalmente é utilizado na definição da antitransformada de Fourier (por que esta liberdade na definição é possível?). Assim resultam as seguintes definições:
f(t) = F -1
deFF tj)(2
1)( F() = F
dtetftf tj)()(
ou
deFtf tj)(2
1)(
dtetfF tj )()( (23)
Que são denominadas respectivamente de Antitransformada de Fourier da função F() e Transformada de Fourier da função f(t). Espectro contínuo em frequência do sinal f(t)
Pode-se escrever:
)()()( jeFF
onde )(F é a amplitude e )( F é a fase de F().
Desta forma necessita-se de um diagrama para a amplitude e outro para a fase para representar F(), figura a seguir. Tais representações correspondem ao espectro continuo em frequência do sinal f(t).
25
Magnitude e fase de um F() típico em função da frequência. Como já discutido, uma função y(x) é par se y(-x) = y(x) e é impar se y(-x) = -y(x). Logo esta figura indica que a magnitude de F() é uma função par e que a sua fase é impar. Isto pode ser provado considerando-se que a função f(t) é real. Então, de (23):
n
tj dtetfF )()( )()()(*
FdtetfFn
tj
Ou ainda: )()(*)( FFF e )()(*)( FFF .
Portanto, pode-se afirmar que o espectro da amplitude é uma função par, pois
)()( FF e que o espectro de fase é uma função impar, pois )()( FF .
Análise Harmônica de sinais aperiódicos Costuma-se adotar o ponto de vista de considerar F() como uma função da frequência angular associada a f(t), e chamá-la de representação de f(t) no domínio frequência. Do mesmo modo que na serie de Fourier cada “componente senoidal de uma TF” (área sob a curva da TF com largura d) deve ser multiplicada por uma impedância, admitância ou função de transferência para se obter as componentes correspondentes da solução particular. Por exemplo, a transformada de Fourier de uma dada corrente i(t) pode ser escrita como:
n
tj dtetiI
)(
2
1)(
26
Esta corrente atravessando uma impedância Z irá causar uma queda de tensão que resulta das seguintes operações:
n
tj deIZtvIZV ).().()()().()(
Este cálculo denominado análise harmônica de sinais aperiódicos é constituído dos seguintes estágios:
(1) Passagem da função de entrada f(t), no domínio tempo, para a sua representação no domínio frequência F() por meio de uma transformação de Fourier.
(2) Solução do problema algébrico, usando funções complexas, no domínio frequência. (3) Volta para o domínio tempo pelo cálculo da Antitranformada da saída, caso se
considerar necessário.
Impo FunçA funsistem Defin
A funseja, Porta
onde pela e A fun
limite
A rep
ortantes sin
ção impulsonção Impulsmas. Ela foi
nição:
( )
( )
t d
t
nção impulsna origem,
anto
( )t dt
0 0 e sãesquerda.
nção impuls
e de largura
presentação
nais e suas t
o unitário (so Unitário i inicialment
dt t
t
1
0
so só tem set= 0.
( )t dt
0
0
ão valores ar
so unitário p
a 0 e am
gráfica da F
transforma
de Dirac) )(t é uma
te definida p
0
0
entido de de
1
rbitrários pe
pode ser con
mplitude 1
Função Imp
27
adas
a das mais ipor P.A.M.D
efinição na
equenos que
nsiderada um
con
pulso de Dir
importantes Dirac.
área em qu
e se aproxim
m pulso estr
forme figur
ac é apresen
funções no
ue a mesma
mam da orig
reito de área
ra a seguir:
ntada na figu
o estudo de s
se concentr
(24)
gem pela dir
a unitária co
ura abaixo.
sinais e
ra, ou
)
reita e
om o
28
Propriedade da amostragem da “função” de Dirac
A propriedade da amostragem ( ) ( ) ( )t t dt
0 , onde ( )0 é uma função continua na
origem, é verificada através da multiplicação ( )t por um pulso estreito como mostrado na figura abaixo, que representa ( )t quando se faz o limite de 0 .
O produto )()( tt é então aproximado pelo valor
1)0( que é constante no intervalo
2 2, . Resulta daí que:
)0()0()0()0(
)()(0
00
2
2
2
2
dtdtdttt cqd.
Esta propriedade significa que a área sob o produto da função com um impulso ( )t é igual ao valor da função no instante onde o impulso unitário é localizado. Nesta derivação assumimos que a função é continua no instante em que o impulso é localizado. O resultado acima pode ser generalizado para:
( ) ( ) ( )t t t dt t
0 0 (25)
f(t) ( )t 0 t
1
( )t
2 2
29
A transformada de Fourier da função impulsiva unitária na origem é dada por:
1)()( 0 jtj edtett (26)
Cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
Representação integral da função de Dirac
De 1)( t conclui-se que:
dededett tjtjtj 2
1)(
2
1 1
2
11)()( 11
det tj
2
1)( (27)
Função degrau unitário Outra função também muito utilizada no estudo de sinais é a função degrau unitário, normalmente escrita como )(tu e definida por:
00
01)(
t
ttu
Sua representação gráfica é dada por:
F( ) 1 0
30
)(tu 1
0 t Um sinal )(tg é causal quando possuí a seguinte propriedade: 00)( ttg Um sinal g(t) em que isto não ocorra pode ser transformado em causal f(t) multiplicando o sinal original por u(t): f(t)= g(t).u(t) Vamos observar um exemplo a seguir: O sinal ate , figura “a” seguinte, representa uma exponencial que começa em 0t . Se quisermos que este sinal comece em t = 0 (forma causal), deve-se descrevê-lo como
)(tue at sendo sua representação gráfica a apresentada na figura “b” abaixo. g(t) f(t) ate )(. tue at 0 0 t figura a figura b
A transformada de Fourier da função degrau unitário na origem é dada por:
je
jdtedtetutu tjtjtj 11
)()(00
(28)
31
Exemplos de Transformada de Fourier (e de Antitransformada de Fourier) Calculemos transformadas e antitransformadas de Fourier para alguns casos. 1) Função exponencial:
Ela é dada por:
2) Pulso retangular:
Isto pode ser simplificado para:
Desde que X() é uma função real de w, sua fase é zero para todo w. O gráfico de X() é apresentado na figura seguinte.
Transformada de Fourier de um pulso retangular.
32
3) Função ttg ocos)(
tjtjo eet 00
2
1cos Relação de Euler
)(2 0
0 tje
)(2 00 tje
cos ( ) ( ) ot 1
22 20 0
cos ( ) ( ) ot 21
2 0 0 da qual resulta:
cos ( ) ( ) ot 0 0
Espectro da Função cos0t 0 5) Função ttg osin)(
tjtjo ee
jtsen 00
2
1 Relação de EULER
)(2 0
0 tje
)(2 0
0 tje
sen ( ) ( ) otj
1
22 20 0
33
sen ( ) ( ) otj
21
2 0 0 da qual resulta:
sen ( ) ( )
otj
0 0
Espectro da Função sen0t
j
0 0 4) )( 0
1
Usando a propriedade de amostragem da função impulso temos:
tjtj ede 0
2
1)(
2
1)( 00
1
Portanto;
)(2
10
0
tje ou )(2 00 tje
Temos ainda que: )(2 0
0 tje
34
7) )(1
)(G)t(g
de)(G2
1)t(g tj onde )(ωδ)G(ω
2
1de)(
2
1)( tj1
)t( )( 1 0 t 0
)(21ou)(2
1
35
Propriedades da Transformada de Fourier 1) Propriedade da Simetria
)(2)(
)()(
ftFentão
FtfSe
Demonstração:
Tomando - se a equação
deFtf tj
)(2
1)(
temos:
deFtf tj)()( 2
Nesta integral, é uma variável simbólica e, portanto pode ser substituída por outra variável qualquer. Por exemplo, uma variável x. Assim:
dxexFtf jxt
)()(2
Trocando agora a variável t por resulta:
dxexFf jx
)()(2
Da mesma forma substituindo a variável simbólica x por outra variável t, teremos:
)()()(2 tFdtetFf tj
ou )(2)( ftF
Isto demonstra claramente a propriedade de simetria quando f(t) é uma função par. No caso em que f f( ) ( ) a equação F t f( ) ( ) 2 se reduz a:
F t f( ) ( ) 2 Como foi demonstrado, pode se notar que a transformada de Fourier de uma função pulso retangular, é a função amostragem e que a transformada de Fourier de uma função amostragem é um pulso retangular.
36
Assim fica demonstrado que a propriedade de simetria se aplica a todas as funções pares. 2) Propriedade da Linearidade
)()()()(
)()(
)()(
2121
22
1111
GGtgtg
Gtg
Gtg
então se considerarmos quaisquer constantes arbitrárias a e a1 2
)(.....)()()(.....)()(
)()()()(
22112211
22112211
nnnn GaGaGatgatgatga
GaGatgatga
3) Propriedade da Escala Uma expansão do domínio do tempo equivale a uma compressão no domínio da frequência e vice - versa. Se )()( Gtg
Então para uma constante real a, temos: aGa
atg 1)(
37
Demonstração:
Se a > 0 (Real) dteatgatg tj
)()(
fazendo x at
temos:
aG
adxexg
aatg
xaj 1)(
1)(
)(
portanto )(1
)( aGa
atg
se a < 0 então
aG
aatg
1)(
aG
aatg
1 )(
4) Translação em frequência Se )()( Gtg então )()( 0
0 Getg tj
Este teorema estabelece que numa defasagem de 0 no domínio da frequência equivale a
multiplicar a função f(t) por e j t 0 no domínio do tempo. A multiplicação da função pelo fator e j t 0 translada todo o espectro da frequência em 0 .
Demonstração:
0)(
0
0000
0
)()()(
)()(
Gdtetgdteetgetg
Getg
tjtjtjtj
tj
Portanto:
0)( Getg tj o
38
5) Defasagem no tempo
Teorema Se g t G w( ) ( )
Então g t t G w e j t( ) ( ). 0
0 Demonstração:
g t t g t tx
x
( ) ( )0 0 .e dtj t 0
Substituindo t t x 0 e dxdt obtém-se:
dxettgttg txj
x
x
)(00
0.)()(
= dxexgedxeexg xj
x
x
tjtjxjx
x
..)(..)( 00
onde
)(.)( Gdxexg xj
x
x
Portanto: 0).()( 0
tjeGttg
39
Transmissão de sinais através de Sistemas Lineares Colocando-se na entrada de um sistema uma função f(t) teremos na saída desse mesmo sistema outra função r(t). Quando o sistema não introduzir em r(t) frequências diferentes daquelas existentes no conteúdo harmônico de f(t), o sistema em questão será dito linear. É de nosso interesse conhecer a resposta r(t) de um sistema quando excitado por um sinal f(t) na entrada. A figura abaixo ilustra em diagrama de bloco a representação generalizada de um sistema.
Sinal através de sistema
Resolve-se este problema utilizando o domínio da frequência a depois retornando ao domínio do tempo. As transições entre esses dois domínios serão feitas através da transformação de Fourier.
A transformada G () é conhecida como função de transferência. Ela a uma característica do sistema a possibilita fazer a 1igacao no domínio de frequência de F() com R(). A transferência G() depende apenas dos parâmetros do sistema a nos indica que em uma dada frequência o sinal - de entrada sofrerá alterações em fase e em amplitude, sendo que:
Transmissão sem distorção Um sistema ideal é aquele que transmite qualquer sinal sem causar-lhe deformação. Um sistema é dito sem distorção quando:
onde f(t) é o sinal de entrada, r(t) é o sinal de saída e ta é o atraso imposto pelo sistema.
40
As figuras seguintes ilustram esquematicamente o sinal de entrada e de saída quando um sistema não apresenta distorção.
Transmissão sem distorção (a) sinal de entrada; (b) sinal de saída.
Deseja-se determinar qual a característica que deve ter a função de transferência para que o sistema seja considerado sem distorção. Caso f(t) tenha Transformada de Fourier F() então a transformada de Fourier de r(t) = k f(t-ta) será dada por:
(veja o item “time shift”, da Tabela de propriedades da transformada de Fourier – página 41)
Como F() e R() estão relacionadas pela transferência do sistema G(), sendo que:
chega-se a conclusão de que para um sistema no introduzir distorção a sua transferência deverá ser igual à:
Desta relação concluí-se que para um sistema não introduzir distorção é necessário que a sua curva de resposta em amplitude seja constante em toda a faixa de frequência e que sua
41
curva de fase seja linear com a frequência. Na prática esta condição é ideal, pois todos os sistemas apresentam limitação de faixa. Na figura a seguir apresentam-se as características de amplitude e fase de um sistema para que não ocorra distorção do sinal processado.
(a)
(b) (a) curva do ganho em amplitude de um sistema sem distorção;
(b) curva de fase de um sistema sem distorção.
Largura de faixa de um Sistema A constância da magnitude )(G em um sistema é especificada normalmente pela sua
largura de faixa. A largura de faixa de um sistema é definida arbitrariamente como o intervalo de
frequências no qual a magnitude )(G permanece dentro de 12
vezes (dentro de 3 dB )
o seu valor na metade da faixa. A largura de faixa de um sistema, cujo gráfico )(G é mostrado na figura abaixo, é
2 1 .
42
Para uma transmissão sem distorção, precisamos, evidentemente, de um sistema com largura de faixa infinita. Devido às limitações físicas, é impossível construir esse sistema. Na prática pode-se conseguir uma transmissão sem distorção satisfatória, mediante sistemas com larguras de faixa finitas, mas suficientemente grandes. Para qualquer sinal físico, o conteúdo de energia diminue com a frequência. Por isso, só é necessário a construção de um sistema que transmita as frequências que contenha a maior parte da energia do sinal. A atenuação dos componentes de frequência extremamente alta tenderia a causar uma distorção muito pequena, uma vez que essas componentes carregam muito pouca energia.
Exercícios 1. Encontre a TF de f t e a t( ) . Desenhe seu espectro
2. Encontre a TF de f t e a t t( ) 0 . Desenhe seu espectro. 3. Determine a TF da função g t t( ) sen 0 . 4. Determine a TF do pulso retangular mostrado na figura a seguir e desenhe seu espectro
de frequência. g t( ) 1 T
2 T2 t
5. Encontre a TF para a função representada abaixo:
43
g(t) e at t T 6. Mostre que TGTtgTtg cos)(2)()( 7. Mostre que:
( ) ( ) ( )t t t dt t
0 0
8. Mostre que )(2e 0
tj 0
9. Prove as propriedades das TFs apresentadas na Tabela seguinte:
10. “Relacione” a TF com a Transformada de Laplace.
44
4- CONVOLUÇÃO Considere conhecida a saída h(t) de um sistema (bloco de processamento – figura abaixo) quando sua entrada é um impulso unitário de Dirac.
Então, para um sistema do tipo linear e invariante no tempo (LIT) e conhecida uma entrada x(t) genérica é possível a partir de h(t) determinar a saída y(t), isto é:
Para tal a função de entrada x(t) será aproximada por uma soma de impulsos como apresentado na figura abaixo.
Aproximação da entrada por meio de impulsos.
H (t) h(t)
H x(t) y(t)
H x(t-) y(t-)
H
então é possível obter y(t) de x(t) e de h(t) se:
o sistema for invariante no tempo e ... linear.
Ax(t)+Bx’(t) Ay(t)+By’(t)
Dado
x(k) x
t k
Ak = x(k)
x(t) Ak (t-
k) ; - < k <
45
Desta figura pode-se escrever:
k
kk tAtx )()( com )( kk xA
Cada componente impulsiva )( kk tA na entrada irá gerar uma resposta na saída do
sistema LIT igual à )( kk thA . A saída total será então a soma destas respostas
individuais, ou seja, igual à:
kkk
kkk thxthAty )()()()(
Quando se aproxima de zero, pode-se escrever:
dthxty
)()()(
A expressão acima por definição é a convolução entre a resposta impulsiva e o sinal de excitação y(t) = x(t) * h(t). Genericamente a convolução entre duas funções )()( 21 tfetf é igual a uma função f t( )obtida pela integral:
dtfftftftf )()()(*)()( 2121
Os seguintes teoremas da convolução são provavelmente os instrumentos mais eficazes na análise de sinais e de seus harmônicos dos quais se obtém com facilidade muitos resultados importantes. Teorema da convolução no tempo
Se
)()(
)()(
22
11
Ftf
Ftf
Então f f t d F F1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
ou f t f t F F1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )
46
Demonstração:
f t f t e f f t d dtj t1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )
f t f t f t e f t dt dj t1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )
F e j t2 ( )
Pela propriedade da defasagem no tempo f t t F e j t( ) ( )
00
Portanto
f t f t f e F d F Fj1 2 1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cqd.
F1 ( )
Teorema da convolução em frequência
Se )()(
)()(
22
11
Ftf
Ftf
Então f t f t F u F u du1 2 1 2
1
2( ) ( ) ( ) ( )
ou
f t f t F F1 2 1 2
1
2( ) ( ) ( )* ( )
cqd.
Observe que usando o teorema da convolução no tempo o sinal de saída pode ser calculado do seguinte modo:
)( )()(*)()( 1 ees FGtftgtf
47
Algumas relações da convolução 1. Lei Comutativa f t f t f t f t1 2 2 1( ) * ( ) ( ) * ( )
2. Lei Distributiva
f t f t f t f t f t f t f t1 2 3 1 2 1 3( ) * ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( )
3. Lei Associativa
f t f t f t f t f t f t1 2 3 1 2 3( ) * ( ) * ( ) ( ) * ( ) * ( )
F F F F F F1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Processo de Convolução Gráfica O processo matemático para cálculo da convolução, muitas vezes apresenta dificuldades e gera complicadores que exigem do aluno um conhecimento bastante profundo e detalhado de ferramentas específicas de cálculo. Há vários casos em que dois sinais r(t) e s(t) são representados por funções matemáticas complexas, ou ainda representados por formas de onda não muito conhecidas e que portanto dificultam a escrita da função matemática que os define. Como simplificação para o cálculo da convolução destes sinais, podemos utilizar um método onde não há necessidade de detalhar estas funções através do processo matemático de integração. Este método é relativamente simples e pode ser utilizado para muitas aplicações em sistemas de comunicação. O método consiste na observação do comportamento de r(t) e s(t) através da convolução gráfica destas funções. Exemplo: Calcule a convolução gráfica de r(t) com s(t), quando r(t) e s(t) são pulsos como mostrado abaixo: r(t) s(t) 1 1 t t -1 1 -2 2 Solução procedimento para o calculo da convolução entre r(t) e s(t) é mostrado a seguir:
48
49
Exercício: Use a técnica da convolução gráfica para calcular a convolução das funções mostradas abaixo:
50
O resultado desta convolução é apresentado a seguir: Exercícios 1. Encontre v*v*v(t) (convolução tripla) de v(t), onde v(t) é um pulso retangular de
largura e amplitude iguais a 1. Utilize convolução gráfica para obter a solução. 2. Determine as seguintes integrais da convolução:
(a) )(*)( tutu ; (b) )(.*)( tuetu t ; (c) )(*)( tuttu Verifique os resultados aplicando as Transformadas de Fourier 3. (a) Obter a corrente i(t) no circuito apresentado na figura seguinte sendo sua entrada,
v(t), um impulso unitário no instante t= 0s. (b) Idem para v(t) = cos t. (c) Idem para v(t) igual a um impulso unitário no instante t= 1 s.
4. Use
det tj )(
2
1)( em
dttftf )()()( para definir a transformação
dtetfFtf tj )()()( e sua inversa
deFFtf tj
)(2
1)()( 1 .
5. Considere a seguinte definição: um trem de impulsos unitários (neste caso de período T=1) é um sinal periódico formado por deltas de Dirac com a seguinte expressão:
)()( kttx .
(a) Obtenha a convolução z(t) = x(t) * y(t) sendo x(t) um trem de impulsos unitários (com T=1) e y(t) um sinal que seja nulo nos intervalos t < 0 e t > 1. (b) Encontre a TF de um sinal de um trem de impulsos unitários (com T=1). Resposta:
)2(2 )( )( kktX
(c) Encontre a TF do sinal obtido em (a). (d) A partir do resultado em (c) obtenha a TF de um sinal periódico de período T
qualquer.
51
5- SISTEMAS E CLASSIFICAÇÃO
Representação de um Sistema Um sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona um sinal de entrada ( excitação ) com um sinal de saída ( resposta ). Tomemos x e y como sendo os sinais de entrada e saída , respectivamente, de um sistema. Esse sistema pode ser interpretado como sendo a transformação ( ou mapeamento ) de x para y. Esta transformação é representada matematicamente pela seguinte notação:
y Hx onde H é o operador que representa uma regra bem definida para a qual x é transformado em y. A relação acima é representada como mostra a figura (a) abaixo. Múltiplas entradas e/ou saídas também são possíveis como visto na figura (b). x y 1x 1y
nx ny
(a) (b) Sistema com simples ou múltiplas entradas e saídas Sistemas contínuos ou discretos no tempo Se o sinal de entrada e saída x e y são sinais contínuos no tempo, então o sistema é chamado de sistema continuo no tempo. Se o sinal de entrada e saída x e y são sinais discretos no tempo ou seqüências discretas no tempo então o sistema denomina-se de sistema discreto no tempo. x y x n y n
(a) Sistema continuo no tempo (b) Sistema discreto no tempo
Sistema
H
Sistema
Sistema
H
Sistema
52
Sistema com memória e sem memória Um sistema pode ser chamado de sem memória se sua saída em qualquer tempo depende tão somente do mesmo tempo da entrada. Caso contrário o sistema é chamado com memória. Um exemplo de um sistema sem memória é um resistor R com entrada x(t) sendo uma corrente e que tem como saída y(t) uma tensão. A relação entrada-saída (Lei de Ohm) para um resistor é: ( ) ( )y t Rx t Um exemplo de sistema com memória é um capacitor C com a corrente sendo a entrada x(t) e a Tensão como a saída y(t), assim:
1
( ) ( )t
y t x dC
Um segundo exemplo de um sistema com memória é um sistema discreto no tempo para o qual a entrada e saída são relacionadas por:
n
k
y n x k
Sistemas Causal e Não-Causal Um sistema é chamado de causal se sua saída y(t) com um tempo arbitrário 0t t depende
tão somente da entrada x(t) para 0t t . Isto é, a saída de um sistema causal no tempo
presente depende somente do presente e/ou dos valores passados da entrada, e não dos valores futuros. Assim, em um sistema causal, não é possível se obter uma resposta na saída antes de se aplicar uma entrada para o sistema. Um sistema é chamado de não-causal se ele é não satisfaz as condições acima, e pode ser exemplificado como segue: ( ) ( 1)y t x t
y n x n
Observe que todos os sistemas sem memória são causal, mas não vice versa.
53
Sistema Linear e Não Linear Se o operador H na equação y Hx satisfaz as duas condições que se seguem, então H é chamado de um operador linear e o sistema é representado por um operador linear T chamado de um sistema linear. Condições: 1. Adição: Dado que 1 1 2 2Hx y e Hx y ,
então: 1 2 1 2H x x y y para qualquer sinal 1 2x e x
2. Escala: H x y para qualquer sinal x e qualquer escalar
Qualquer sistema que não satisfaça as condições acima é classificado como um sistema não linear. As equações acima podem ainda serem combinadas entre si resultando em: 1 1 2 2 1 1 2 2H x x y y
este novo resultado (equação ) é também conhecido como superposição. Exemplos: Sistemas lineares resistor da equação y = Rx Sistemas Não Lineares 2 cosy x e y x Uma interessante e intuitiva conseqüência da propriedade da escala é que em um sistema linear, para uma entrada de sinal x(t) = 0 a saída é também igual à zero. Sistema Invariante no tempo e Variante no tempo Um sistema é chamado de invariante no tempo se o sinal de entrada causa o mesmo deslocamento ( atraso ou avanço ) no sinal de saída. Assim , para um sistema continuo no tempo, o sistema é invariante no tempo se: 0 0( ) ( )H x t t y t t
Para um sistema discreto no tempo temos:
54
Sistema
H x n k y n k
onde k é qualquer número inteiro. Quando o sistema não satisfaz a equação 0 0( ) ( )H x t t y t t , o sistema é dito variante
com o tempo. Se o sistema é linear e também invariante no tempo, então ele é denominado de Sistema Linear Invariante com o Tempo abreviado por ( LTI ). Sistemas Estáveis Um sistema é do tipo entrada limitada/saída limitada (BIBO – bounded input / bounded output) estável se e somente se toda a entrada limitada resultar em uma saída limitada. A saída desse sistema não diverge da entrada se a entrada não divergir. Para colocar a condição de estabilidade BIBO em uma base formal, considere um sistema de tempo contínuo cuja relação de entrada e saída está de acordo com a descrição da equação abaixo. O operador H é BIBO estável se o sinal de saída y(t) e de entrada x(t) satisfizerem esta condição. ( ) ( )n ny t k e x t k
(saída) (entrada) onde nk é um número real, positivo e finito.
Sistema com Realimentação Uma classe especial de sistemas com grande importância no estudo e aplicação de sistemas consiste na de sistemas com realimentação (feedback). Em um sistema com realimentação, o sinal de saída é realimentado e adicionado à entrada do sistema como mostrado abaixo: ( )x t y(t) Σ Sistema com Realimentação
55
Exemplo Considere o capacitor mostrado na figura abaixo. Faça a entrada x(t) = i(t) e a saída y(t) = ( )cv t
Para estas considerações determine a relação entrada /saída do sistema Determine ainda se o sistema é: a) Sem-memória
b) Causal c) Linear d) Invariante no tempo e) Estável
Solução Assumindo que a capacitância C é constante, a tensão de saída ( )cv t sobre o capacitor e a
corrente de entrada x(t) pode ser relacionada por:
1( ) ( ) ( )
t
y t H x t x dC
a) Observando a equação acima é fácil de ver que a saída y(t) depende dos valores de entrada iniciais e presente do sistema. Assim o sistema é com memória. b) Desde que a resposta do sistema não depende de valores futuros da entrada, o sistema é causal. c) A condição de linearidade é 1 1 2 2( )x t x x 1 1 2 2( )y t y y então
1 1 2 2
1( ) ( ) ( ) ( )
t
y t H x t x x dc
56
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1( ) ( )
( ) ( )
t t
x d x dC C
y t y t
Portanto como a propriedade da superposição é satisfeita pode-se afirmar que o sistema é linear d) Fazendo 1( )y t ser a saída produzida por uma corrente na entrada deslocada representada
por 1 0( ) ( )x t x t t teremos:
0
0 0
0
1( ) ( ) ( )
1( ) ( )
t
t t
y t H x t t x t dc
x d y t tc
Neste caso o sistema é invariante no tempo e) 1 1( ) ( ) 0x t k u t com k
1 11
1( ) ( ) ( ) ( )
t k ky t k u d tu t r t
c C C
onde ( ) ( )r t tu t que é a função rampa unitária mostrada na figura abaixo. ( ) ( )r t tu t 0 t Analisando as condições matemáticas e gráficas apresentadas, desde que y(t) cresce linearmente no tempo sem limite, o sistema é não estável (não BIBO).
57
Conexões em Cascata, Paralelo e com Realimentação Modelo básico
)(X
)t(x
)t(h
)(R
)t(r
)(H Normalmente um sistema possui muitas unidades ou subsistemas interligados. Quando os subsistemas em questão são descritos por função de transferência individual, é possível e desejável juntá-las e considerar uma função de transferência do sistema global. As relações correspondentes para dois subsistemas ligados em paralelo, cascata e com realimentação são fornecidos abaixo. As configurações mais complexas podem ser analisadas pela aplicação sucessiva dessas regras básicas. Uma consideração essencial deve entretanto ser feita; quaisquer interações ou efeitos de cargas devem ser consideradas nas funções de transferência individuais de modo que representem a resposta real dos subsistemas no contexto do sistema global. A figura abaixo fornece o diagrama de dois subsistemas em paralelo; as duas unidades tem a mesma entrada e suas saídas são somadas para fornecer a saída do sistema. Da superposição segue-se que:
)(H).(X)(H).(X)(Y 21 ou )(X.)](H)(H[)(Y 21 , de modo que a função de transferência global é: )(H)(H)(H 21 Sistema em Paralelo )(H).(X 1
)(H1
)(X
)t(x
+ )(H).(X)(H).(X)(Y 21
)(H2
)(H).(X 2
58
)(H2
Na ligação em cascata, conforme figura a seguir tem-se: Cascata )(X )(H1 )(H2 )(Y )(H).(H).(X)(Y 21 E, portanto a função de transferência é: )(H).(H.)(H 21 A ligação em realimentação difere das outras duas, considerando-se que a saída é dirigida para trás através de )(H2 e subtraída da entrada. Portanto:
)(H).(Y)(X)(H)(Y 21
Assim: )(X)(H).(H1
)(H)(Y
21
1
Este caso é mais apropriadamente chamado de realimentação negativa, distintamente da realimentação positiva, onde o sinal realimentado é somado com a entrada em vez de ser subtraído. Com Realimentação )(X + )(H).(X 1
- + )(H1 )(Y )(Y).(H2 )(X
)(X)(H).(H1
)(H)(Y
21
1
59
Sistemas vistos como Interconexões de Operações Em termos matemáticos, um sistema pode ser isto como uma interconexão de operações que transforma um sinal de entrada num sinal de saída com propriedades diferentes das do sinal de entrada. Os sinais podem ser da variedade do tempo contínuo ou discreto, ou uma combinação de ambos. Digamos que o operador H (função de transferência) global denote a ação de um sistema. Então, a aplicação de um sinal de tempo contínuo x(t) à entrada do sistema produz o sinal de saída descrito por:
)t(xH)t(y A figura (1) abaixo mostra uma representação em diagrama de blocos da equação acima. x(t) H y(t) De maneira correspondente, para o caso de tempo discreto podemos escrever a equação da seguinte forma:
)n(xH)n(y em que os sinais de tempo discreto nyenx denotam os sinais de entrada e saída, respectivamente como descreve a figura (2 ) x[n] H y[n] Sistema Invariante no Tempo Diz-se que um sistema é invariante no tempo se um retardo de tempo ou avanço de tempo do sinal de entrada levar a deslocamento de tempo idêntico no sinal de saída. Isto significa que um sistema invariante no tempo reage de maneira idêntica, não importa quando o sinal de entrada seja aplicado. Em outras palavras, as características de um sistema invariante no tempo não se modificam com o tempo. Caso contrário, diz-se que o sistema é variante no tempo.
60
Exercícios 1) Considere o indutor apresentado na figura abaixo. Faça a entrada x(t) = v(t) e a saída y(t) = i(t).
Para estas considerações determine a relação entrada /saída do sistema. Determine ainda se o sistema é: a) Sem-memória
b) Causal c) Linear d) Invariante no tempo e) Estável
2) (a) Dos sistemas estudados neste capítulo quais se pode aplicar o teorema da convolução no tempo ou seja para os quais o sinal de saída pode ser calculado pela seguinte expressão:
)( )()(*)()( 1 XHthtxty . Por que?
(b) Identifique cada elemento da expressão acima apresentada. 3) Demonstre que y(t) = x(t) * h(t), sendo h(t) = H{(t)}, x(t) entrada de um sistema H do tipo LTI e y(t) a sua saída, através da seguinte sequência:
(a) Escreva x(t) usando a integral (de - a ) em d da função impulsiva (t-) vezes x().
(b) Aplique H{x(t)} na expressão obtida em (a).
(c) Finalmente use H{ x(t) dt} = H{x(t)}dt em (b). Note que H atua apenas em
funções que contenham explicitamente a variável t.
Obs.: por linearidade H{ xk(t) t}= H{ xk(t)} t H{ x(t) dt}= H{x(t)}dt.
61
6- ESPECTRO DE DENSIDADE DE ENERGIA Um parâmetro útil de um sinal f(t) é a sua energia normalizada. Define-se a energia normalizada (E) de um sinal f(t), como a energia dissipada por um resistor de 1 quando se aplica ao mesmo uma tensão ou corrente f(t). Assim,
E f t dt
2 ( )
Este conceito de energia só tem sentido se a integral acima é finita. Os sinais de energia finita são chamados de sinais de energia. Para alguns sinais, como os sinais periódicos a integral acima é infinita e o conceito de energia definido não tem sentido. Nesses casos considera-se a média no tempo da energia que na verdade é a média da potência do sinal. A esses sinais daremos o nome de Sinais de Potência. Se F ( ) é a transformada de f t( )
f t F e dj t( ) ( )
1
2
A energia de f t( ) será:
E f t dt f t F e d dtj t
f t
2 1
2( ) ( ) ( )
( )
Mudando a ordem de integração do segundo membro teremos:
E f t dt F f t e dt dj t
2 1
2
1
2( ) ( ) ( )
A integral nos parênteses é F ( ) , portanto:
62
E f t dt F F d F d
2
21
2
1
2( ) ( ). ( ) ( )
E 1
2
2
F d( )
Demonstração:
F F eAmplitude
Fasej( ) ( )
Se f t( ) é uma função real então FF e par
fase e impar( )
( )
( )
F F F f t e dt
e f t e dt
j t
j t
* ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
portanto F
Devido a Simetria Hermitiana temos: F F e
F F e
j
j
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Resultando
F F F( ). ( ) ( ) 2
63
Interpretação da densidade de energia
E F d
1
22
( )
Exemplo Consideremos um sinal f t( ) aplicado a um filtro passa-banda como mostrado a seguir: H( ) 1 Este filtro corta todas as frequências, com exceção das que estão compreendidas dentro de cuja frequência central é 0 . Se R( ) é a TFde r(t) desse filtro, então: R H F( ) ( ). ( ) e a energia E0 de saída do sinal r(t) será:
E F H d0
21
2
( ) ( )
Como H( ) é zero em qualquer ponto exceto em uma banda onde ela vale 1, teremos para 0:
E F0 0
22
1
2 . ( ) .
22
f f
A energia de saída será então:
E F f0 0
22 ( ) .
64
Portanto só se transmitem (sem alteração) as componentes de f(t) que se encontram na banda definida por . As demais componentes são todas suprimidas.
A energia E F f0 0
22 ( ) . representa a energia de f t( ) mais precisamente a energia
das componentes de f t( ) que estão em com centro em 0 . Exemplo:
a) Pulso b) Densidade espectral c) Espectro de energia
Sinais periódicos de potência A média num intervalo de duração T0 de uma função arbitrária v t( ) vale:
65
2
20
0
0
)(1
lim)(
T
TT
dttvT
tv
Considere o sinal v t( ) periódico, de período T0. Então esta média não varia alterando-se o instante inicial da integral:
01
1
)(1
)(0
Tt
t
dttvT
tv = 0
)(1
0 T
dttvT
A potência média é a média no tempo da potência instantânea. Se v(t) é um sinal de tensão, v t2 ( ) será proporcional a sua potência instantânea.
P v tT
v t dto T
221
0
( ) ( )
Exemplo: Dado v t A t( ) cos( ) 0
00
2 2
TT
P v tT
A t dtT
( ) cos( )2
00
0
21
PA
Tt dt
T
2
00
0
20
cos( ) A
Tt dt
T2
0
20
0
0
cos ( )
cos cos2 2 12A A
66
0
PA
T
tdt
T
2
0
0
0
1 2 2
2
0 cos( )
A
T
dtt dt
T T2
0 00
022 2
0 0
cos( )
A
T
t A
TT
AT2
0 0
2
00
2
2 20
2
0
PA
2
2
Teorema de Parseval Relaciona a potência média de um sinal periódico e os coeficientes de sua série de Fourier.
PT
v t dtT
v t v t dtT T
1 1
0
2
00 0
( ) ( ) ( )* 1
0
2
0
0
Tv t V e dt
TK
j f t( ) *
1
0
2 0
0T
v t e dt V V Vj f t
TK K K( ) . .* *
VK
2
PT
v t dt VT
K
1
0
2 2
0
( )
67
Exercícios
1) Suponha que todas as componentes de frequência em f > 1 são removidas do
espectro do trem de pulsos retangulares de largura . Use o teorema de Parserval para calcular a porcentagem de potência que resta quando
f01
2 (onda quadrada ).
2) Repita o problema anterior para f 01
5
68
7- TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (TDF) Com a revolução da Microeletrônica e a disseminação dos computadores, todas as áreas de aplicação da Engenharia Elétrica foram invadidas por equipamentos baseados em processadores digitais. Deste modo se evidenciou a criação de uma técnica com características próprias relacionada ao emprego específico de computadores que são incorporados de um modo quase “invisível” a produtos para os mais variados usos - a denominada Eletrônica Embutida (EE). Como exemplos de produtos caracterizados pela utilização da técnica de EE em sua concepção pode-se citar: em Telecomunicações - celulares, pagers, roteadores, modens; em Instrumentação – osciloscópio digital, instrumentos virtuais; em Medicina - medidores de pressão arterial, monitores de glicemia; aparelhos de ecocardiograma; em Controle Industrial - sensores inteligentes, controle de fornos e de maquinas; em Processamento de Dados e Escritório - calculadoras, fax, copiadoras, scanners, impressoras; em Consumo e Eletrodomésticos - forno de microondas, maquinas de lavar, secretária eletrônica, TV digital, videogames; na Industria automobilística - controle de transmissão, injeção eletrônica, freio ABS, suspensão ativa. Nestes produtos é comum representar-se sistemas ou subsistemas por conjuntos de blocos de processamento de sinais (que realizam operações como, por exemplo, filtragem, integração, diferenciação, soma, subtração, produto, retardo e outros) os quais atualmente em geral são implementados pela programação de processadores digitais. Nos primórdios da Eletrônica, blocos semelhantes a estes eram realizados exclusivamente por circuitos analógicos. Esta tendência na digitalização de produtos deu origem a teorias que estenderam as ferramentas matemáticas usadas na analise de sinais contínuos para englobar o caso de sinais discretos. Veremos a seguir um exemplo importante de como isto ocorreu no campo das Telecomunicações. Um processamento muito difundido em Telecomunicações é o da obtenção da composição harmônica senoidal de um sinal também denominada de espectro em frequência deste sinal. A Transformada de Fourier é uma ferramenta matemática utilizada na analise espectral de sinais. Entretanto, sua definição original é estabelecida para sinais contínuos e de tempo contínuo Rt o que leva a espectros de frequência contínua Rf . A representação contínua em absoluto é o modo mais natural de se tratar um sinal em computadores: as amostras de um sinal correspondem a valores lidos em intervalos discretos no tempo Zt . Além disto observa-se que é finito o tamanho de uma amostra o qual é limitado pelo próprio espaço de memória disponível no processador digital. A seguir será feita uma introdução à passagem da Transformada de Fourier de tempo continuo para a Transformada Discreta de Fourier visando sua aplicação em processadores digitais ou mais amplamente na EE.
69
Na Figura 1 apresentam-se um sinal f(t) e sua correspondente Transformada de Fourier F(). Já foram estudadas as expressões para o cálculo de uma destas funções conhecida a outra:
dtetfF tj )()( (7.1)
e
deFtf tj)(
2
1)( (7.2)
Figura 1 – Par f(t) F()
Para processamento digital deste sinal serão consideradas amostras de ambas as representações. Os instantes de amostragem são apresentados pelas linhas pontilhadas da Figura 1 e na qual também estão definidos os seguintes valores:
(i) Ta – intervalo de tempo entre duas amostragens sucessivas de f(t) (ii) TA – duração da Amostragem de f(t) (iii) A – intervalo de frequência angular entre duas amostras sucessivas de F() (iv) a – duração da amostragem de F()
TA
F()
t
f(t)
Ta = t
A = = 2/TA
a= 2/Ta
70
A Transformada F() de Fourier do sinal f(t) da Figura 1 é dada por:
AT tjtj dtetfdtetfF
0)()()( (7.4)
Aproxima-se F() substituindo a integral em (7.4) pela seguinte somatória:
1
0
)()()(N
na
nTja TenTfF a (7.5)
onde
a
A
T
TN (7.6)
é o número de elementos na amostra f(nTa): na expressão (7.5), f(nTa) é obtido do sinal f(t) para os instantes de tempo discretos iguais a t = nTa e portanto corresponde a uma amostra deste sinal. A amostragem do sinal F() é obtida da expressão (7.5) sendo dada por:
1
0
))(()()(:N
n
nTmjnmAm
aA
AefFmFF
(7.7)
onde )()(:
nTataaan tfTnTfTf
(7.8)
Portanto, o número de elementos na amostra Fm resulta em:
1'0/2
/2' Nm
T
T
T
TN
a
A
A
a
A
a
(7.9)
As relações aa T/2 e AA T/2 , previamente assumidas na Figura l, levam à
igualdade no número de elementos das amostras Fm e fn, isto é, N’ = N, como pode ser verificado pelas expressões (7.6) e (7.9). Assim os intervalos Ta e TA podem ser usados para definir as resoluções desejadas para cada amostra: Ta define a resolução da amostra fn de f(t) e A (ou AAT /2 ) a resolução
da amostra Fm de F(). Contudo a relação N=TA/Ta determina o número de elementos para estas duas amostras.
71
Definição da TDF Uma vez que Ta e TA são preestabelecidos então se pode dizer que o produto
NTTT AaaA /2/2 , na expressão (7.7), é fixo ao longo dos demais cálculos. Nestas
condições, define-se a frequência angular fundamental (relativa ao período N) como sendo igual a: aATN /2 (7.10)
Substituindo-se (7.10) em (7.7), obtém-se:
1
0
N
n
njmnm efF (7.11)
A função Fm na expressão (7.11) é então denominada Transformada Discreta de Fourier (DFT) da função fn. Em resumo as grandezas / expressões envolvidas na DFT são as seguintes: )( aan nTfTf ;
)( Am mFF ;
AA T/2 ; aa T/2 ;
aA TTN / ; N/2
TDF inversa (TDFI)
A comparação da Transformada Continua de Fourier
dtetfF tj )()( e de sua
inversa
deFtf tj)()2/1()( com a expressão (7.11) induz a seguinte tentativa
para a transformação inversa de (7.11) (de Fm para fn):
1
0
N
m
mjnmn eFCf (7.12)
sendo C uma constante a determinar. A função fn na expressão (12) é então denominada Transformada Discreta Inversa de Fourier (IDFT) da função Fm. Pode-se verificar se a IDFT proposta é consistente substituindo-se (7.12) em (7.11):
1
0
1
0
1
0
1
0
N
n
njmN
k
kjnk
N
n
njmN
k
kjnkm eeFCeeFCF (7.13)
72
Trocando-se a ordem das somatórias e colocando-se Fk em evidencia resulta:
1
0
1
0
)(1
0
1
0
)(N
k
N
n
nnkjk
N
k
N
n
nnkjkm eFCeFCF (7.14)
A segunda somatória corresponde a uma PG de razão r dada por:
1
0
1
0
)(N
k
N
n
nkm
mkj rFCFer (7.15)
Existem duas condições para realizar o cálculo da somatória desta PG:
01
1
1
1
1
11 (ii)
1 (i)
2)()10(
)(1
0
1
0
r
e
r
e
r
rrrmk
Nrrmk
mkjNmkjNN
n
n
N
n
n
Isto é, se k = m a somatória vale N e se k m ela vale 0. Usando o símbolo de Kronecker
km , definido como sendo 1 se k = m e 0 se k m, é possível condensar os dois resultados
anteriores numa única expressão:
km
N
n
n Nr 0
(7.16)
Finalmente de (7.15) e (7.16) obtém-se:
1
0
1N
kmkmkm N
CNCFNFCF (7.17)
De (7.17) conclui-se que se aplicando a antitransformada discreta de Fourier numa função Fm e a seguir aplicando-se a transformada discreta de Fourier no resultado obtém-se novamente a função original Fm como deveria ser. Periodicidade das TDF’s
As expressões que definem estas transformações,
1
0
N
n
njmnm efF
1
0
1 N
m
mjnmn eF
Nf ,
são periódicas de período N. Prova: njmnjnjmnNnjmnNmjnjm eeeeeeNmm 210)( e
njmjmnjmNmnjmNnjmnjm eeeeeeNnn 210)(
73
Portanto, os períodos de repetição de Fm e de fn serão respectivamente iguais à:
aaAa
AAFm TTT
TNT
22 e Aa
a
Aafn TT
T
TNTT
Este resultado é apresentado na Figura 2.
Figura 2 – Funções amostradas de f(t) e de F().
Um efeito “não desejado” ocorre na função Fm devido a esta periodicidade. Pode-se mostrar que para um sinal f(t) limitado em t a sua TF não é limitada em e que, portanto os valores dos diversos períodos de Fm apresentados na Figura 2 irão se misturar (principalmente em torno de a/2). No entanto, como F() tende assintóticamente para zero com , é possível escolher Ta de modo a aumentar o período de Fm (Figura 2) e minimizar a interferência entre os períodos sucessivos desta transformada. Comentário Final Embora esta introdução histórica faça uma ponte do caso continuo para o caso discreto da transformada de Fourier atualmente a DFT é definida e tratada de modo independente na analise de sinais discretos e sob este ponto de vista o problema discutido anteriormente deixa de existir (ele só tem sentido quando se considera a DFT como aproximação da TF).
TA 2TA‐TA
t
fn
a
Fm
‐a
Valores de F() apresentados por um Analisador de Espectro
Região onde ocorre uma mistura significativa de
valores entre períodos sucessivos de Fm
74
Private Sub spec_Click() ' Algoritmo para calculo da DFT por MAG em 02/2010 Dim i, k, n, f As Integer Dim x As Variant Dim a(1200), h(1200) As Double Dim real_, imag_ As Double i = 0 For Each x In Sheets(3).Range("B2:B1025") a(i) = x.Value i = i + 1 Next 'converte dominio frequencia - algoritmo direto: dft (nao fft) ' janela triangular For i = 1 To 1023 w = (i - 512) / 512 If w < 0 Then w = -w ' w = 0 janela retangular a(i) = 2 * a(i) * (1 - w) Next f = Sheets(3).Range("N1").Value / 4 For k = 0 To 512 ‘ DFT real_ = 0 imag_ = 0 For n = 0 To 1024 x = 2 * 3.1415926535 * k * n / 1024 real_ = real_ + a(n) * Cos(x) imag_ = imag_ - a(n) * Sin(x) h(k) = ((real_ * real_ + imag_ * imag_) ^ 0.5) / f Next Next h(0) = h(0) / 2 i = 0 For Each x In Sheets(3).Range("M2:M1025") x.Value = h(i) i = i + 1 Next End Sub
75
76
77
78
9. BIBLIOGRAFIA
1. Modern Digital and Analog Communications Systems – B.P.Lathi – Oxford
Press, 3ª Edition - 2003
2. Introdução aos sistemas de Comunicação – Simon Haykin,Michael Moher-
Bookman, 2ª Edição – 2008
3. Sinais e Sistemas - Simon Haykin, Bookman -2005
4. Linear Systems and Signals B.P.Lahti – Oxford Press, 2ª Edition 2005
5. Sinais e sistemas lineares – B.P.Lathi, Bookman, 2006
6. Signal and Systems, Husey. P. Su, Schaum collection, 2003
7. Principios de Comunicação I- Oswaldo Egydio Gonçalves Junior, Apostila
Unip, 2008.
8. Elementos de Análise de Sistemas Lineares- Boffi L.V. & Coutinho J.A.M.,
ETEGIL.
