Anhanguera Educacional Atps Calculo

7/28/2019 Anhanguera Educacional Atps Calculo

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ANHANGUERA EDUCACIONAL S. A.

FACULDADE ANHANGUERA DE ANPOLIS

CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA

ATIVIDADE PRTICAS SUPERVISONADAS DE CLCULO II

ALUNOs:

Anpolis

2012

ETAPA 1

Passo 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantnea a partir do limite, com t 0.

Velocidade instantnea

Como sabemos existem muitas maneiras de descrever quo rapidamente algo se move:

velocidade mdia e velocidade escalar mdia, ambas medidas sobre um intervalo de tempo t.

Entretanto, a expresso quo rapidamente mais comumente se refere a quo rapidamente

um partcula est se movendo em um dada instante sua velocidade instantnea ou

simplesmente velocidade v.

A velocidade em qualquer instante de tempo obtida a partir da velocidade mdia reduzindo-

se o intervalo de tempo t, fazendo-o tender a zero. medida que t reduzido, a velocidade

mdia se aproxima de um valor limite, que a velocidade naquele instante:

v=limt0xt= dxdt

Esta equao mostra duas caractersticas da velocidade instantnea v. Primeiro v a taxa na

qual a posio da partcula x est em relao t. Segundo, v em qualquer instante a

inclinao da curva (ou coeficiente angular da reta tangente curva) posio-tempo da


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partcula no ponto representando esse instante. A velocidade outra grandeza vetorial, e

assim possui direo e sentido associados.

Comparar a frmula aplicada na fsica com a frmula usada em clculo e explicar o significado

da funo v (velocidade instantnea), a partir da funo s (espao), utilizando o conceito da

derivada que voc aprendeu em clculo, mostrando que a funo velocidade a derivada dafuno espao.

Em clculo a velocidade instantnea o nmero a que tendem as velocidades mdias quando

o intervalo diminui de tamanho, isto , quando h torna-se cada vez menor. Definimos ento,

velocidade instantnea = Limite, quando h tende a zero, de sa+h-s(a)h.

Isso escrito de forma mais compacta usando a notao de limite, da seguinte maneira:

Seja s(t) a posio no instante t. Ento, a velocidade instantnea em t = a definida como:

velocidade instantneaem t=a= limh0sa+h-s(a)h

Em palavras, a velocidade instantnea de um objeto em um instante t = a dada pelo limite da

velocidade mdia em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a.

As equaes utilizadas tanto em fsica como em calculo seguem a mesmo logica, sendo que em

fsica utilizamos a derivada para descrever a posio da partcula dado sua posio em relao

ao seu tempo expressada por dx (t)dt t=t0 em que dx e a denotao da funo posio ou

espao e t a denotao da funo tempo.

Dar um exemplo, mostrando a funo velocidade como derivada da funo do espao,

utilizando no seu exemplo a acelerao como sendo a somatria do ltimo algarismo que

compe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Exemplo: x = 8t - 2t no tempo em 1 segundo.

v= dxdt 8t2-2t

Derivando posio em relao ao tempo: v=8.2t2-1-2.1t1-1 v= 16t-2

Aplicando no tempo igual a 1 segundo: v= 16.1-2 v=14 m/s

Derivando velocidade em relao ao tempo: a= dvdt 16t-2 a= 16.1t1-1 a=16

A acelerao no varia em nenhum instante.

Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os clculos e plote num grfico as

funes S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de funo voc

tem e calcular a variao do espao percorrido e a variao de velocidade para o intervalo

dado. Calcular a rea formada pela funo da velocidade, para o intervalo dado acima.

| S(m) | S(m) x t(s) | V(m/s) x t(s) |


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TEMPO | X=8t-2t | dxdt=16t-2 | dvdt=16 |

0 | 0 m | -2 m/s | 16 m/s |

1 | 6 m | 14 m/s | 16 m/s |

2 | 28 m | 30 m/s | 16 m/s |

3 | 66 m | 46 m/s | 16 m/s |

4 | 120 m | 62 m/s | 16 m/s |

5 | 190 m | 78 m/s | 16 m/s |

Passo 3

Pesquisar sobre a acelerao instantnea de um corpo mvel, que define a acelerao como

sendo a derivada da funo velocidade.

Explicar o significado da acelerao instantnea a partir da funo s (espao), mostrando que

a acelerao a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem a sua acelerao a partir do conceito de

derivao aplicada a sua funo espao e funo velocidade.

Quando a velocidade de uma partcula varia diz-se que a partcula sofre acelerao, para

sabemos como ela esta variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relao aotempo sendo: a= dvdt, pois a acelerao da partcula em qualquer instante a taxa na qual sua

velocidade est mudando naquele instante. Graficamente, a acelerao em qualquer ponto a

inclinao da curva de v(t) naquele ponto. Em palavras, a acelerao de uma partcula em

qualquer instante dada pela derivada segunda de sua posio x(t) em relao ao tempo a=

dxdt= ddt dxdt= dxdt.

Derivando velocidade em relao ao tempo: a= dvdt 16t-2 a= 16.1t1-1 a=16

Passo 4

Plotar num grfico sua funo a (m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer quetipo de funo voc tem.

ETAPA 2

Passo1

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo

menos uma pgina, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades.

Constante de Euler


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O nmero de Euler uma constante matemtica que engloba clculos de nvel superior,

empregado, a ttulo de exemplo, em: Clculo de diferenciais e integradas.

O nmero de Euler assim chamado em homenagem ao matemtico Suo Leonhard Euler,

base dos logaritmos naturais.

Leonhard Euler comeou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro

uso de e foi na publicao Eulers Mechanica (1736). As verdadeiras razes para escolha da

letra e so desconhecidas, mas talvez seja porque e seja a primeira letra da palavra

exponencial.

Tem ainda a remarcvel propriedade que a taxa de variao de ex no ponto x = t vale et da sua

importncia no clculo diferencial e integral, e seu papel nico como base do logaritmo

natural.

Ou ainda, se se escolherem nmeros entre zero e 1 at que o seu total ultrapasse 1, o nmero

mais provvel de selees ser igual a e.

O Nmero de Euler com as primeiras 200 casas decimais:

Vida e obra

Nasceu em Basilia, filho do pastor calvinista Paul Euler (l-se "il") e de Marguerite Brucker,

filha de um pastor. Teve duas irms mais novas: Anna Maria e Maria Magdalena.

Pouco depois do seu nascimento, sua famlia mudou-se para a cidade de Riehen, onde passoua maior parte da sua infncia. Desprezando seu prodigioso talento matemtico, determinou

que ele estudasse Teologia e seguiria a carreira religiosa. Paul Euler era um amigo da famlia

Bernoulli, e Johann Bernoulli - que foi um dos matemticos mais importantes da Europa - seria

eventualmente uma influncia no pequeno Euler.

A sua instruo formal adiantada comeou na terra natal para onde foi mandado viver com a

sua av materna. Aos 14 anos matricula-se na Universidade da Basilia, e em 1723, recebe o

grau de Mestre em Filosofia com uma dissertao onde comparava Descartes com Newton.

Nesta altura, j recebia, aos sbados tarde, lies de Johann Bernoulli que rapidamente

descobriu o seu talento para a matemtica.

Euler nesta altura estudava teologia, grego e hebreu, pela vontade de seu pai para mais tarde

se tornar pastor. Porm Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o seu

filho estava destinado a ser um grande matemtico.

Em 1726, Euler completou a sua dissertao na propagao do som, e a 1727 incorporou a

competio premiada do problema da Academia de Paris, onde o problema do ano era

encontrar a melhor maneira de colocar os mastros num navio. Ganhou o segundo lugar,

perdendo para Pierre Bouguer, mais tarde conhecido como o pai da arquitetura naval. Euler,

entretanto, ganharia o prmio anual 12 vezes.

FORMULA | N | RESULTADOS |


5/7

e=limn1+1nn | 1 | 2 |

| 5 | 2.48832 |

| 10 | 2.5937446 |

| 50 | 2.691588029 |

| 100 | 2.704813829 |

| 500 | 2.715568521 |

| 1000 | 2.716923932 |

| 5000 | 2.71801005 |

| 10000 | 2.718145927 |

| 100000 | 2.718268237 |

| 1000000 | 2.718280469 |

medida que o valor de n aumenta o valor resultante constante e se aproxima do valor do

numero de Euler.

Passo 2

Pesquisar sobre sries harmnicas na msica, na matemtica e na fsica e sobre somatria

infinita de uma PG. Fazer um relatrio resumo com as principais informaes sobre o assunto

de pelo menos uma pgina e explicar como a Constante de Euler se relaciona com srie

harmnica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenas.

A srie harmnica alternada definida conforme: Esta srie convergente como consequncia

do teste da srie alternada, e seu valor pode ser calculado pela srie de Taylor do logaritmo

natural. Se se definir o n-simo nmero harmnico tal que ento Hn cresce to rapidamente

quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma aproximada ao integral cujo valor

ln(n).

Mais precisamente, se considerarmos o limite: onde a constante Euler-Mascheroni, pode

ser provado que:

1. O nico Hn inteiro H1.

2. A diferena Hm - Hn onde m>n nunca um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hiptese de Riemann equivalente a dizer:

em que (n) a soma dos divisores positivos de n. (Ver An Elementary Problem Equivalent to

the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), pginas 534-

543.).

A srie harmnica generalizada, ou srie-p, (qualquer uma) das sries


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para p um nmero real positivo. A srie convergente se p > 1 e divergente caso contrrio.

Quando p = 1, a srie harmnica. Se p > 1 ento a soma das srie (p), i.e., a funo zeta de

Riemann em ordem a p.

Este raciocnio pode-se estender ao teste de convergncia das sries.

Passo 3

Com base nas informaes acima, considerar uma colnia de vrus em um determinado

ambiente. Um analista de um laboratrio ao pesquisar essa populao, percebe que ela triplica

a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos

vrus haver na colnia aps 48 horas em relao ltima contagem?

Valores: t = 8, n = 50, n(8) = 150

Nt=N . ert N8=50. er8 150=50. er8 er8= 15050 er8=3

lner8=ln3. Como ln e exp so funes inversas uma da outra segue que: r8=ln3 r= ln38 r=

0,137326.

Aplicando no tempo de 48 horas: N48=50. e48 x 0,137326 N48=50. e6,591673

N48=36.449,59

Passo 4

Construir uma tabela e plote um grfico do crescimento populacional em funo do tempo,

observando o que ocorre a cada 4 horas.

REFERNCIAS BIBLIOGRAFICAS

PLT 2010 Clculo de uma varivel / Deborah Hughes-Hallett 3.ed. Rio de Janeiro: LTC

2008.

PLT 2009 Halliday, David, 1961 fundamentos de fsica v.1 : mecnica Rio de Janeiro : LTC,2006.

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https://docs.google.com/document/d/1Roj1Nw6US3sYZ7HKfSAKvbrBK4cIkh7AAZvZ_UC1rOU/

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https://docs.google.com/document/d/1Iffm3MwYq7kJl3NDM5K1jrqb7IYkeP8ETdagh2FKVHc/e

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mJlM2RmNmItOGRiMy00ZWU1LTg4YTctODEzMWJmMDg4MzAy&hl=pt_

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