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ANÁLISE DOS DESLOCAMENTOS E REAÇÕES DE APOIO EM TRELIÇAS
PLANAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM COMPARATIVO AO
SOFTWARE FTOOL
Geovany Ferreira Barrozo1
Leonardo de Souza Dias2
André Albino de Sousa3
Alexandra Amador de Abreu4
Alex Iury Vidal Landim5
José Lucas Pessoa de Olivera6
RESUMO
O presente trabalho consiste no comparativo entre a análise numérica matricial de treliças
planas realizada a partir do Método dos Elementos Finitos (MEF), fazendo uso do software
Scilab, com a análise elaborada por meio do software Ftool. Para tanto implementou-se uma
adaptação do código de Ferreira (2008), no qual se utiliza o MEF, e em seguida fez-se a
comparação com os resultados obtidos no Ftool, para as variáveis referentes aos deslocamentos
e reações de apoio. Por fim verificou-se compatibilidade entre as metodologias e constatou-se
que a análise de treliças por métodos computacionais, propicia dinamismo ao processo,
agilizando o dimensionamento e auxiliando na interpretação de resultados.
Palavras chaves: Treliça, método dos elementos finitos, Scilab, Ftool, análise.
ABSTRACT
The present work consists of the comparison of the finite element method (FEM) numerical
analysis with the Scilab software and the analysis with the Ftool software. For this purpose, an
adaptation of the Ferreira Code (2008) was implemented, which uses the FEM and then
compares it with the results obtained in Ftool for the variables relating to shifts and support
reactions. Finally, there was a compatibility between the methods, and it was found that the
analysis of trusses with calculation methods adds dynamism to the process, streamlines the
design and supports the interpretation of the results.
Keywords: Truss, finite element method, Scilab, Ftool, analysis.
1 Graduando em Engenharia Civil, IFPB, Cajazeiras, Paraíba, [email protected] 2 Graduando em Engenharia Civil, IFPB, Cajazeiras, Paraíba, [email protected] 3 Graduando em Engenharia Civil, IFPB, Cajazeiras, Paraíba, [email protected] 4 Graduando em Engenharia Civil, IFPB, Cajazeiras, Paraíba, [email protected] 5 Graduando em Engenharia Civil, IFPB, Cajazeiras, Paraíba, [email protected] 6 Docente em Engenharia Civil, IFPB, Cajazeiras, Paraíba, [email protected]
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INTRODUÇÃO
A Engenharia Estrutural desenvolveu-se a partir do Século XIX, onde novos materiais
passaram a ser empregados na construção, como o concreto, aço e o ferro fundido. A análise
estrutural, fator importante na engenharia de estruturas, surge a partir da proposição de uma
ideia e culmina na apresentação de um projeto executivo. Nesse meio termo, diversas etapas de
análise estrutural são necessárias, buscando prever o comportamento das peças, sejam estas de
concreto ou aço, fazendo com que atendam de maneira satisfatória às condições de segurança
nas quais foram concebidas (MARTHA, 2017).
Apesar da existência de métodos analíticos de cálculo estrutural, a obtenção de algumas
variáveis, ou até mesmo a consideração de alguns fatores, nem sempre são viáveis de se associar
a tais modelos nos moldes convencionais. Dessa forma, diversos problemas encontrados em
situações de campo, não são passíveis de uma análise simplificada, fazendo-se necessário o
emprego de alguns procedimentos que facilitem esse estudo, e foi o aparecimento dos
microcomputadores que tornou possível a sofisticação dos procedimentos que envolvem o
dimensionamento de tais estruturas, considerando agora a interação dos diversos elementos
aproximando o que ocorre de forma mais real.
De acordo com Martha (2017), desde os anos 60, o computador passou a ser utilizado
como fator importante nos cálculos estruturais, tendo aumentado gradativamente sua
participação na engenharia, tornando-se de uso recorrente após o desenvolvimento de softwares
computacionais de fácil acesso aos escritórios de cálculo e de empresas de consultorias.
Segundo Souto Filho (2002), aliado aos computadores, surgiu o Método dos Elementos
Finitos – MEF, que é um processo numérico da era da informática, geralmente implementado
em softwares estruturais e utilizado para análise de problemas da mecânica e engenharia em
geral, determinando soluções de problemas de difícil resolução, como aqueles que apresentam
equações diferenciais em sua formulação.
Muitos programas de análise estrutural têm sido desenvolvidos, voltados principalmente
para a formação de estudantes da área. Esses programas são projetados de modo a possuírem a
habilidade de solucionar vários problemas, como a análise de temperatura, movimentação de
apoios, análises não lineares, entre outros. No entanto, uma grande parcela dos softwares
produzidos ainda possui a interface de entrada e saída de dados na forma de texto (BORGES,
SILVA e BEZERRA, 2016).
3
Além disso, uma boa parcela desses programas é de acesso restrito, em que necessita-
se à aquisição de licenças para sua utilização. Assim, recentemente vem crescendo bastante o
desenvolvimento de softwares de código aberto, superando o impasse dos altos valores para
acesso, como o Scilab, software esse disponível para computação de dados numéricos,
oferecendo um ambiente propício às diversas aplicações cientificas.
Neste contexto, o presente trabalho tem por objetivo a implementação de código na
linguagem de programação Scilab para a resolução de treliças 2D, através do Método dos
Elementos Finitos, realizando um comparativo das variáveis referentes aos deslocamentos e
reações de apoio, com os valores obtidos pelo software Ftool.
1. REVISÃO DA LITERATURA
1.1. Breve histórico da engenharia de estruturas
A revolução agrícola é definida historicamente como um processo marcante da evolução
humana na qual o homo sapiens abandonou um modo de vida nômade, sobrevivendo da caça e
coleta, e passou a organizar agrupamentos e domesticar animais e vegetais (HARARI, 2018).
Essa sedentarização da espécie gerou a necessidade da construção de habitações e estruturas
para os grupos que se formavam e a partir desse momento o homem deu início a um processo
de edificação da superfície terrestre que não mais parou, concebendo a Engenharia Civil
(LINDENBERG NETO, 2002).
Partindo das rochas brutas para as construções das primeiras moradias, tumbas e templos
na Europa em 8.000 a 4.000 a.C, até as obras mesopotâmias em tijolos de barro cozido em 3.500
a.C, as pirâmides egípcias introduzindo a argamassa de cal em 3.000 a.C e o concreto dos arcos
romanos em 300 a.C, o ser humano foi capaz de desenvolver, através de milhares de anos,
construções dos mais diversos tipos e materiais (KAEFER, 1998). Sejam as construções mais
antigas, como as supracitadas, ou até os imponentes arranha-céus que ganharam as cidades nos
últimos séculos, cada técnica, material, conhecimento empírico ou científico estabelecidos para
erguer um mundo edificado forneceram base ao que hoje se denomina Engenharia de Estruturas.
Ao longo do segundo milênio, inúmeras foram as contribuições a ciência que embasa
atualmente a Engenharia de Estruturas, sendo alguns dos mais importantes citados por Martha
(2017), como: Leonardo da Vinci (1452-1519), Bernoulli (1654-1705), Euler (1707-1783),
Lagrange (1736-1813), Coulomb (1736-1806), Navier (1785-1836), Thomas Young (1773-
4
1829), Saint-Venant (1797-1886), Kirchhoff (1824-1887), Kelvin (1824-1907), Maxwell
(1831-1879) e Mohr (1835-1918).
Desde as contribuições de Galileu Galei em seu livro Duas Ciências, em 1638, até o
desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral por Isaac Newton (1642-1726) e Gottfried
Leibnz (1646-1716), a matemática e a engenharia não mais se dissociaram, criando um processo
denominado atualmente por Martha (2017) como modelagens matemática e discreta, com a
função de elaborar modelos capazes de representar matematicamente a estrutura em análise
com todas as devidas hipóteses, leis e parâmetros considerados, além da sua simplificação em
elementos isolados buscando viabilizar os dimensionamentos das estruturas mais simples ou
complexas.
Entretanto, apesar das evoluções abrangentes nos conhecimentos matemáticos e físicos,
ainda haviam grandes limitações devido à ausência de materiais capazes de suprir o que se era
idealizado. Logo, no final do século XIX com a Revolução Industrial, a engenharia ganhou
materiais como o concreto armado, o aço e o ferro fundido, que possibilitaram a realização dos
projetos idealizados e findaram elevando a construção civil a um patamar nunca antes atingido
(MARTHA, 2017). A partir de então o desenvolvimento de materiais para a engenharia não
cessou e rapidamente deu oportunidade aos projetistas estruturais do século XX e XXI
conceberem estruturas cada vez mais audaciosas, como as grandes contribuições de Eugene
Freyssinet ao estudo do concreto protendido (CARVALHO, 2010).
O grande entrave nos dimensionamentos estruturais no século XX passou a ser as
complexas modelagens e cálculos matemáticos que se elevavam exponencialmente em
dificuldade e tempo, de acordo com o porte da estrutura a ser calculada. Porém, a partir da
segunda metade do século começaram a surgir mecanismos que impactaram significativamente
os cálculos projetuais, como as calculadoras HP-41 e os primeiros computadores e softwares
de cálculo: o STRESS, para estruturas prismáticas, e o STRUDAL utilizando conceitos de
Elementos Finitos (CARVALHO et al., 2000).
1.2. Aplicações das treliças
As treliças são amplamente utilizadas nos mais diversos campos da construção civil,
observa-se a utilização destas principalmente em obras de estruturas metálicas como galpões,
postos de combustíveis, cobertura de estacionamentos, cobertura de depósitos e até mesmo em
5
residências, porém nesta última é bem mais comum o emprego de treliças de madeira nas
estruturas de telhados para moradias de médio e pequeno porte.
Das treliças mais convencionais, utilizadas em telhados, podemos citar: a treliça
triangular (Fink) que é simplesmente apoiada e calculada para atuar em pequenos vãos; treliça
banzo paralelo (Warren) para vãos de maior comprimento entre 20 e 100 m; ainda temos a
treliça trapezoidal que é utilizada quando se deseja colocar a estrutura da coberta diretamente
sobre esta, uma vez que o banzo superior possui declividade equivalente a queda d’água do
telhado e por fim a treliça do tipo Pratt utilizada em galpões abertos, este tipo de estrutura atende
vãos de até 100 m. Segundo Tisot (2010) é comum se utilizar treliças metálicas em obras de
grande porte onde se deseja obter uma estrutura resistente e leve ao mesmo tempo. O uso de
treliças é corriqueiro em obras de pontes, viadutos e nos equipamentos utilizados em diversos
setores da engenharia como gruas, guindastes, andaimes, etc.
A Engenharia civil busca frequentemente novas tecnologias dentro do mercado que
venham a otimizar a relação custo benefício, dentro desse aspecto pode-se citar, por exemplo,
as lajes do tipo pré-moldadas, sistema relativamente novo desenvolvido na Europa que
atualmente vem substituindo modelos de lajes mais antigos como as lajes maciças. Dentre as
diversas aplicações das treliças, pode-se citar o seu emprego na construção de lajes pré-
moldadas em que se utilizam vigotas treliçadas, esse sistema construtivo possui emprego
frequente, sendo amplamente difundido no Brasil.
De acordo com Oliveira (2010), um dos motivos pela preferência da utilização de lajes
treliçadas é o ganho de monoliticidade na estrutura, uma vez que o material de enchimento entra
em contato diretamente com a treliça da vigota, garantindo uma boa aderência e reduzindo o
risco de trincas e fissuras, propiciando assim sua utilização para vãos maiores, em comparação
aos convencionais em que se faz uso de vigotas do tipo trilho, por exemplo. Há também grande
praticidade no transporte e colocação dos trilhos devido a presença da treliça nestes.
Em conformidade com o disposto no trabalho de Bastos (2015) pode-se afirmar que a
função estrutural desenvolvida pela treliça neste tipo de laje é fornecer a resistência necessária
aos esforços de tração provocados pelos momentos fletores positivos atuantes nas placas de
lajes, este tipo de vigota é formada por uma treliça com duas barras no banzo inferior e uma
barra no banzo superior, sendo ligadas por uma armadura diagonal soldada, de geralmente 4.2
ou 5 mm de diâmetro, ao longo do comprimento da peça, a principal utilidade desta última é
promover a ligação entre os banzos, porém estudos apontam que a armadura diagonal confere
6
certa resistência ao cisalhamento atuante nas lajes. Observa-se deste modo a importância da
treliça para este modelo de construtivo de placa de laje.
A escolha pelo tipo de treliça deve ser feita analisando as diversas condições do meio
em que elas serão inseridas, parâmetros como classe de agressividade, tipos de carregamentos,
vãos necessários a serem atendidos, vento, etc. devem ser cuidadosamente considerados na
etapa anterior a escolha do modelo de treliça, para que sejam definidas as características
necessárias que o elemento estrutural deverá atender, tais requisitos referem-se ao tipo de
material, forma da treliça, dimensões das barras e ainda o tipo de ligação entre as estas que
comporão o quadro treliçado.
Com o atual nível de competitividade do mercado é necessário que os engenheiros
adequem seus projetos de forma que garantam o cumprimento das exigências de segurança e
qualidade atreladas ao custo-benefício das construções, desta forma a utilização de elementos
de rápido manuseio e execução, que consumam uma menor quantidade de materiais torna-se
amplamente vantajosa do ponto de vista econômico (TISOTI, 2010).
1.3. Análise estrutural
A análise estrutural corresponde à fase do projeto onde se determinam os esforços
internos (tensões e/ou esforços solicitantes) e reações de apoio (no caso de estruturas ligadas a
outro elemento), além dos deslocamentos da estrutura e constitui uma das etapas mais
importantes do projeto (KIMURA, 2007).
Existem dois modos de análise estrutural, analítico e numérico. Para estruturas simples,
como estruturas aporticadas prismáticas isoladas sob carregamento estático, o método analítico
é representativo, acarretando em soluções aproximadas, porém para estruturas mais complexas,
em que, por exemplo, o pórtico interaja com demais elementos da edificação é preciso empregar
os métodos numéricos (QUEIROZ, 2010). Estes últimos podem ser subdivididos em dois tipos:
o primeiro se baseia em equações diferenciais que dão soluções numéricas para deslocamentos
ou tensões e o segundo utiliza-se de procedimentos matriciais que se baseiam na idealização
discreta em elementos estruturais (MOREIRA, 1977).
Devido a análise estrutural se tratar de um processo complexo, que requer tempo e
precisão, vêm sido desenvolvidos ferramentas computacionais de auxílio ao cálculo estrutural,
de forma a aprimorar o processo e o tornar mais econômico e seguro (QUEIROZ, 2010).
7
O método numérico matricial mais conhecido que pode ser desenvolvido através de
técnicas computacionais é o Método dos Elementos Finitos. Contudo são inúmeras as
possibilidades para a composição de arranjos estruturais, sendo necessário cada vez mais,
melhor precisão nos cálculos da estrutura. Dessa forma torna-se indispensável o entendimento
de métodos que conduzam a soluções mais próximas da realidade, a fim de garantir um projeto
estrutural elaborado com clareza e exatidão.
1.4. Considerações sobre Estruturas Reticuladas
As estruturas são compostas por elementos que tem a função de receber os
carregamentos e distribui-los. De acordo com Souza e Rodrigues (2008) essas são "constituídas
através da disposição racional e adequada de diversos elementos estruturais. Os elementos
estruturais são os responsáveis por receber e transmitir as solicitações na estrutura, sofrendo
como consequência deformações.”
Em estruturas convencionais pode-se identificar uma variedade de elementos
estruturais, dentre eles os elementos de barra, que possuem dimensões de seção transversal
inferiores ao seu comprimento; elementos de superfície, que possuem uma de suas dimensões
muito inferior as demais e elementos de bloco, que possuem todas as suas dimensões com
ordem de grandeza considerável.
Estruturas reticuladas são aquelas montadas por elementos estruturais segmentados
denominados barras, conectadas entre si por nós de ligações contínuas ou discretas. As barras
são elementos de eixo reto com dimensões axiais superiores às dimensões transversais. Os nós
são regiões de encontro das barras, podendo ser articulados ou rígidos, sendo determinados em
função da restrição dos graus de liberdade, respectivamente (LAGE; PELLEGRINO NETO,
2018).
Na análise estrutural, esse modelo é usualmente utilizado em estruturas metálicas. A
enumeração das barras e nós se faz necessária para a análise computacional da estrutura. Dessa
forma, os elementos de barras e seus nós devem ser enumerados de maneira lógica e racional,
estabelecendo-se a conectividade da estrutura (MAIOLA, 1999).
Atentando-se para as treliças, essas são estruturas formadas por elementos estruturais
do tipo barra, dispostas de maneira a formar painéis triangulares. São dimensionadas para
resistir a basicamente esforços de tração e compressão. As barras de uma treliça recebem nomes
específicos de acordo com a sua posição, segundo Souza e Rodrigues (2008) os principais
8
elementos que constituem as treliças são: Corda ou banzo, conjunto das barras que delimitam
em seus limites superior ou inferior; montante, barra vertical das treliças; diagonal, elementos
que apresentam seu eixo de forma coincidente com a diagonal de um painel; painel, região que
engloba dois alinhamentos consecutivos de montante; nó, ponto de interseção das extremidades
das barras.
As treliças possuem larga aplicação na construção civil, uma vez que apresentam leveza
e resistência. São compostas por elementos conectados entre si por meio de ligações flexíveis,
caracterizadas por articulações sem atrito, assemblada a partir de arranjos triangulares que
agregam rigidez a estrutura, tornando-a mais resistente de modo a não perder a forma quando
submetida ao estresse. Nelas são predominantes os esforços axiais na existência de
carregamentos nos nós (SAMPAIO; GONÇALVES, 2007).
Em geral, estruturas de alta complexidade de cálculo podem ser dimensionadas de forma
aproximada. O Método dos Elementos Finitos é um dos mais utilizados para essa finalidade,
baseado no princípio da discretização, que consiste na resolução de um problema complexo a
partir da combinação de diversos problemas mais simples. Nos nós, as forças e os
deslocamentos são discretizados afim de resultarem em um sistema de equações algébricas que
será tratado matricialmente (BORGES, SILVA e BEZERRA, 2016).
Uma análise matricial de estruturas se baseia no Método dos Deslocamentos, ou Método
da Rigidez, esse consiste em determinar a matriz de rigidez da estrutura, para a partir dessa
obter os demais parâmetros como deslocamentos, reações e forças internas por meio de cargas
externas aplicadas à estrutura. (LAGE; PELLEGRINO NETO, 2018).
Este método parte da conjectura de que os deslocamentos são as incógnitas
fundamentais. Dessa forma, inicialmente são calculados os deslocamentos nodais da estrutura
e, em seguida, os esforços, formando um sistema de equações relacionando forças, rigidez e
deslocamentos sob um enfoque matricial, considerando a deformação elástico-linear das
estruturas, baseando-se na Lei de Hooke (RAMALHO, 1990). A equação fundamental do
método está representada a seguir:
𝐹 = 𝐾.𝑈 ou {𝐹} = [𝐾] ∙ {𝑈}
Onde {𝐹} é o vetor de forças; [𝐾] é a matriz de rigidez da estrutura; {𝑈} é o vetor de
deslocamentos.
9
Grau de liberdade é a incógnita que corresponde à movimentação de um nó numa dada
direção, existindo a viabilidade de ser um deslocamento - no caso de uma translação - ou uma
rotação em relação a um eixo. O número de graus de liberdade de uma estrutura será equivalente
a soma dos graus de liberdade de todos os seus nós (GONÇALVES, 2009). Para análise
realizada neste trabalho, em que se considera apenas treliças planas, os graus de liberdade
consistiram em translações nas direções horizontal ou vertical.
1.5. A Utilização de Ferramentas Computacionais em Estruturas
A partir da segunda metade do século XX, o desenvolvimento de ferramentas
computacionais e métodos numéricos tornou possível obter resultados para a análise estrutural
que antes eram inviáveis através de processos manuais. Ao longo das décadas, por meio de uma
verdadeira revolução na área da informática, a engenharia estrutural teve maior acesso a
computadores possuindo processadores cada vez mais rápidos e com capacidade de
armazenamento de dados cada vez maior (KIMURA, 2018).
Geralmente, problemas complexos como análise de grandes estruturas, requisitam um
alto poder de processamento computacional. Dessa forma, em computação científica há uma
grande ênfase no desenvolvimento de softwares com linguagens de bom desempenho em
velocidade de execução como o MATLAB e o Scilab.
É preciso escolher corretamente a ferramenta que conduza a representação mais próxima
da realidade, ou seja, de como a estrutura se comporta de forma integrada, considerando, por
exemplo, as deformabilidades. Quando se fazem essas análises de modo manual os resultados
são apenas qualitativos, como nas considerações do comportamento de uma laje ser equiparado
ao de uma viga indeslocável na direção vertical, ou pórticos similares sofrendo a mesma ação
do vento. Isso tende a cálculos com pouca exatidão, principalmente em estruturas mais
complexas, que resultem em sistemas com grande número de equações (FARIA, 2009).
Faria (2009) afirma que devem ser inseridas no meio acadêmico ferramentas
computacionais que sejam de fácil acesso e manuseio, com precisão adequada, que permita
introdução de dados com demanda de tempo pequena e geração de modelos com esforços e
deslocamentos detalhados.
Segundo Borges, Silva e Bezerra (2016), o Ftool é um dos programas que vem em escala
crescente de uso nas universidades, para o cálculo de estruturas por apresentar uma interface de
10
fácil compreensão. Outras linguagens conhecidas são a Python, C e Fortran, as duas últimas
apresentando desenvolvimento mais rápido que a primeira.
O software MATLAB também é muito utilizado, oferecendo uma ampla biblioteca de
funções predefinidas que tornam a programação mais eficiente e prática. Desse modo a
implementação utilizando-se da linguagem MATLAB, em que os programas podem ser escritos
e modificados com grande facilidade, apresenta-se como uma alternativa viável (CHAPMAN,
2003).
Um software semelhante ao MATLAB é o Scilab, utilizado no presente trabalho e que
apresenta a vantagem de ser totalmente gratuito. Este possui uma alta performance e é utilizado
em situações de cálculos de certa complexidade (LEITE; ROCHA, 2017).
1.6. Formulação do elemento de barra
Analisando uma barra treliçada é possível notar que seu comportamento assemelha-se
ao de uma mola de constante elástica 𝑘 =𝐴∙𝐸
𝐿. Nessa prerrogativa Alves Filho (2000) apresenta
o cálculo da matriz de rigidez de um elemento de barra de forma análoga ao elemento de mola,
apenas substituindo os valores de 𝑘 por coeficientes que definem a rigidez axial da barra.
Deste modo, enquanto que para os elementos de mola a relação entre as forças e os
deslocamentos dos elementos do sistema local é dada por:
(1)
{𝑓1𝑓2} = [
𝑘 −𝑘−𝑘 𝑘
] ∙ {𝑢1𝑢2}
Para os elementos de barra, onde 𝑘 =𝐴∙𝐸
𝐿, temos:
(2)
{𝑓1𝑓2} = [
𝐴 ∙ 𝐸
𝐿−𝐴 ∙ 𝐸
𝐿
−𝐴 ∙ 𝐸
𝐿
𝐴 ∙ 𝐸
𝐿
] ∙ {𝑢1𝑢2}
Ou matricialmente conforme apresentada a seguir, enquanto elemento isolado:
(3)
𝑓 = 𝑘𝑒 ∙ 𝑢
(4)
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[𝑘]𝑒 = [
𝐴 ∙ 𝐸
𝐿−𝐴 ∙ 𝐸
𝐿
−𝐴 ∙ 𝐸
𝐿
𝐴 ∙ 𝐸
𝐿
]
Alves Filho (2000) destaca ainda que para se modificar essa matriz de rigidez local para
o sistema global se faz necessário o uso de um procedimento de modo a transformar a
representação do equilíbrio do elemento, para isso se introduz a matriz de transformação 𝑇.
Porém essa transformação carrega consigo um problema no que trata do número de
componentes de força e deslocamento, uma vez que sobre a representação do equilíbrio no
Sistema Global, essas passam de duas para quatro, fazendo com que a matriz rigidez tenha
dimensão 4x4.
Deste modo Alves Filho (2000) representa o equilíbrio da barra no sistema local,
também por quatro forças, tornando a matriz de Rigidez no Sistema Local e Global
hierarquicamente iguais de modo que correspondam entre si conforme apresenta-se:
(5)
{
𝑓𝑥1𝑓𝑦1𝑓𝑥2𝑓𝑦2}
=𝐴 ∙ 𝐸
𝐿[
1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0
] ∙ {
𝑢1𝑣1𝑢2𝑣2
}
Assim tem-se:
(6)
{𝑓} = [𝑘]𝑒 ∙ {𝛿}
Sendo {𝑓} as forças nodais, [𝑘]𝑒 a matriz de rigidez e {𝛿} os deslocamentos nodais,
todos no Sistema Local.
Para que se possa obter a Matriz Transformação é necessário fazer o equilíbrio dos
esforços globais sobre os nós, conforme demonstra Alves Filho (2000) a partir da Figura 01:
12
Figura 01: Equilíbrio sobre os nós do elemento para a determinação da matriz que transforma forças
do sistema local para o sistema global.
Fonte: Alves Filho, 2000.
A partir da formulação retratada na imagem acima, tem-se que:
{
𝑓𝑥1 = 𝐹𝑋1 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐹𝑌1 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑓𝑦1 = −𝐹𝑋1 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝐹𝑌1 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑓𝑥2 = 𝐹𝑋2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐹𝑌2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑓𝑦2 = −𝐹𝑋2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝐹𝑌2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
Sendo,
13
{𝜆 = 𝑐𝑜𝑠𝛼𝜇 = 𝑠𝑒𝑛𝛼
{
𝑓𝑥1𝑓𝑦1𝑓𝑥2𝑓𝑦2}
= [
𝜆 𝜇 0 0−𝜇 𝜆 0 00 0 𝜆 𝜇0 0 −𝜇 𝜆
] ∙ {
𝐹𝑋1𝐹𝑋2𝐹𝑌1𝐹𝑌2
}
Logo:
(7)
{𝑓} = [𝑇] ∙ {𝐹}
Onde [𝑇] é a matriz Transformação e {𝐹} contém as forças nodais no Sistema Global.
Uma vez que se verifica a semelhança entre a relação das componentes de deslocamentos com
as de força:
(8)
{𝛿} = [𝑇] ∙ {∆}
Substituindo (7) e (8) em (6):
(9)
[𝑇] ∙ {𝐹} = [𝑘]𝑒 ∙ [𝑇] ∙ {∆}
A fim de utilizar-se dos artifícios matemáticos em que [𝑇]−1 ∙ [𝑇] = [𝐼], onde [𝐼] é uma
matriz identidade e [𝑇]−1 = [𝑇]𝑇, multiplica-se em (9) ambos os membros por [𝑇]−1, deste
modo:
[𝑇]−1 ∙ [𝑇] ∙ {𝐹} = [𝑘]𝑒 ∙ [𝑇] ∙ {∆} ∙ [𝑇]−1
[𝐼] ∙ {𝐹} = [𝑘]𝑒 ∙ [𝑇] ∙ {∆} ∙ [𝑇]−1
Como [𝐼] ∙ {𝐹} = {𝐹}:
{𝐹} = [𝑘]𝑒 ∙ [𝑇] ∙ {∆} ∙ [𝑇]−1
Logo a matriz de rigidez no Sistema Global será dada por:
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(10)
[𝐾]𝑒 = [𝑇]𝑇 ∙ [𝑘]𝑒 ∙ [𝑇]
2. METODOLOGIA
No presente trabalho fez-se uso da linguagem de programação Scilab, para
implementação do Método dos Elementos Finitos aplicado à analise numérica e matricial de
treliças planas de modo a determinar seus deslocamentos, tensões normais nos elementos de
barra e reações de apoio. Para tanto procedeu-se a utilização de uma adaptação do código de
Ferreira (2008), apresentada abaixo, motivada pela sua fácil aplicação devida a eficiente
ordenação dos componentes da sua estrutura organizacional, que expõe de modo intuitivo as
fases de cada procedimento analítico.
// PROBLEMA CÁLCULO DE TRELIÇA 2D
// 1) PROPRIEDADES MATERIAIS E GEOMÉTRICAS--------------------------------
// # PROPRIEDADES MATERIAIS
// E: módulo de elasticidades
// A: área da seção transversal
// L: comprimento da barra
E=30e6;
A=2;
EA=E*A;
// GERAÇÃO DE COORDENADAS E CONECTIVIDADES
NumeroDeBarras=5;
NumeroDeNos=4;
Barras=[1 2;1 4;2 3;2 4;3 4];
CoordenadasDosNos=[0 2;2 2;4 2;2 0];
xx=CoordenadasDosNos(:,1);
yy=CoordenadasDosNos(:,2);
// 2) SISTEMA GLOBAL (PARA TODA A ESTRUTURA)------------------------------
15
// # VETOR DE FORÇA
GL=2*NumeroDeNos;
// GL: número de graus de liberdade total
Deslocamentos=zeros(GL,1);
Força=zeros(GL,1);
// Carga apliacada no nó (X) onde Força (X*2)
Força(8)=-10000.0;
// # MATRIZ DE RIGIDEZ
Rigidez=zeros(GL,GL);
for e=1:NumeroDeBarras;
// elementGL: graus de liberdade do elemento (GL)
indice = Barras(e,:);
elementGL=[ indice(1)*2-1 indice(1)*2 indice(2)*2-1 indice(2)*2];
xa=xx(indice(2))-xx(indice(1));
ya=yy(indice(2))-yy(indice(1));
comprimento_element=sqrt(xa*xa+ya*ya);
C=xa/comprimento_element;
S=ya/comprimento_element;
k1=EA/comprimento_element*[C*C C*S -C*C -C*S; C*S S*S -C*S -S*S;
-C*C -C*S C*C C*S;-C*S -S*S C*S S*S];
Rigidez(elementGL,elementGL)=Rigidez(elementGL,elementGL)+k1;
end
// # APLICAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO
// Condições de contorno
prescritaGL=[1;2;5;6]';
// # SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES
// Deslocamentos
ativosGL=setdiff([1:GL]',[prescritaGL]);
U=Rigidez(ativosGL,ativosGL)\Força(ativosGL);
deslocamentos=zeros(GL,1);
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deslocamentos(ativosGL)=U;
// Reações de apoio
F=Rigidez*deslocamentos;
reações=F(prescritaGL);
// # CÁLCULO DAS TENSÕES NOS ELEMENTOS
// Tensões nos elementos (barras)
for e=1:NumeroDeBarras
indice=Barras(e,:);
elementGL=[ indice(1)*2-1 indice(1)*2 indice(2)*2-1 indice(2)*2];
xa=xx(indice(2))-xx(indice(1));
ya=yy(indice(2))-yy(indice(1));
comprimento_element=sqrt(xa*xa+ya*ya);
C=xa/comprimento_element;
S=ya/comprimento_element;
tensão(e)=E/comprimento_element*[-C -S C S]*deslocamentos(elementGL);
end
// 3)APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS ------------------------------------------
disp(deslocamentos)
disp(reações)
disp(tensão)
Para implementação do código, primeiramente introduziu-se as propriedades materiais
e geométricas da estrutura, inicializando as variáveis concernentes ao módulo de elasticidade
(E) e área da seção transversal do elemento de barra (A). Em sequência acrescentou-se os
parâmetros de entrada responsáveis pela identificação da posição de cada elemento no interior
da estrutura, possibilitando a determinação da dinâmica de suas ligações. Desse modo emprega-
se as variáveis correspondentes: Ao número de elementos da treliça (NumeroDeBarras);
número de nós (NumeroDeNos); a matriz de conectividades (Barras); e a matriz de coordenadas
dos nós (CoordenadasDosNos).
Os últimos parâmetros a serem inseridos são referentes ao carregamento externo
imposto à estrutura e a aplicação das condições de contorno, caracterizada pela restrição de
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parte dos seus graus de liberdade. O primeiro é representado pelo vetor força composto de
cargas concentradas atuantes sobres os nós (Força), e o segundo limita-se a um vetor constituído
pelos graus de liberdade prescritos (prescritaGL).
Após inicialização dos parâmetros de entrada, o código irá proceder ao cálculo da matriz
de rigidez do elemento, através de suas propriedades pré-definidas, em seguida realizará a
assemblagem da matriz de rigidez geral da estrutura por meio da associação das rigidezes de
cada elemento, já dispostas em formato matricial. O processo termina com a obtenção dos
resultados, deslocamentos, reações e tensões, calculados a partir da matriz de rigidez geral.
Com o intuito de realizar a aplicação do Método dos Elementos Finitos, por meio do
código implementado afim de constatar sua eficiência para resolução de estruturas simples,
como treliças planas, utilizou-se de exemplos construídos e também resolvidos no software
Ftool, para posterior comparação dos resultados obtidos com os encontrados no Scilab,
propiciando dessa maneira uma análise do desempenho e aplicabilidade do método para
resolução de problemas do tipo.
3. RESULTADOS
Para obtenção dos resultados, definiu-se como exemplos de aplicação, duas treliças
planas representadas no Ftool. A escolha das treliças fundamentou-se em uma gradação de
complexidade de modo que a princípio facilitasse o entendimento do processo corrente, e
posteriormente que se tivesse o emprego de exemplos capazes de proporcionar uma situação
mais próxima da realidade.
Para acompanhamento e verificação dos resultados também se fez uso do Ftool, a partir
de que se obteve as reações de apoio das treliças lançadas e os deslocamentos dos seus nós.
Abaixo serão apresentadas duas situações de treliças planas que tiveram suas soluções
implementadas no Scilab e comparadas no software Ftool.
Em todos os exemplos aplicou-se um critério para numeração dos nós, obedecendo a
seguinte ordem: esquerda para direita e de cima para baixo. Na Figura 02, temos a representação
da primeira situação com a ilustração da treliça 01, essa contém 11 barras e 7 nós, dispostas
sobre dois apoios simples, a estrutura encontra-se carregada por uma força concentrada na
direção vertical, apontando para baixo, atuando em seu segundo nó.
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Figura 02: Treliça 01.
Fonte: Autores, 2019.
O Quadro 01 abaixo mostra um comparativo entre os valores dos deslocamentos obtidos
no Scilab e no Ftool, pode-se observar que os desvios apresentados entre ambos são da ordem
de décimos de porcentagem, fato que se repete para a próxima situação.
Quadro 01: Deslocamentos da treliça 01.
ANÁLISE DOS DESLOCAMENTOS NA TRELIÇA 01
DESLOCAMENTOS
NO SCILAB
DESLOCAMENTOS
NO FTOOL DESVIOS
NÓ EM X
(mm)
EM Y
(mm)
EM X
(mm)
EM Y
(mm) EM X EM Y
1 0 0 0 0 0% 0%
2 0,1852 -0,4995 0,1841 -0,4996 0,598% -0,020%
3 0,0555 -0,4439 0,05524 -0,4413 0% 0,589%
4 0,07407 -0,3053 0,07358 -0,3035 0,666% 0,593%
5 0,0555 -0,2497 0,05524 -0,2484 0% 0,523%
6 0,01852 0,0555 0,01833 0,05524 1,037% 0,471%
7 0 0 0 0 0% 0,000%
Fonte: Autores, 2019.
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A Figura 03 abaixo ilustra a representação gráfica das reações e deformações da treliça
01 fornecidas pelo Ftool.
Figura 03: Deformações da treliça 01 no Ftool.
Fonte: Autores, 2019.
O Quadro 02 a abaixo, aborda os valores obtidos pelo Scilab para as reações, em que
verifica-se o mesmo resultado para todos os apoios, quando se avalia a resolução dos dois
softwares.
Quadro 02: Reações na treliça 01.
ANÁLISE DAS REAÇÕES
TRELIÇA APOIO
(NÓ) EM X (N) EM Y (N)
1 1 3333,33 6666,67
7 -3333,33 3333,33
Fonte: Autores, 2019.
Na Figura 04, apresenta-se a segunda situação por meio da ilustração da treliça 02, essa
estrutura consiste em um arranjo de 13 barras e 8 nós, simplesmente apoiada, e carregada por
meio de três forças concentradas, todas com linha de ação pertencente a direção vertical, com
sentido para baixo, atuando nos segundo, quarto e sexto nós.
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Figura 04: Treliça 02.
Fonte: Autores, 2019.
O Quadro 03 abaixo, apresenta a comparação entre os valores obtidos para os
deslocamentos no Scilab e no Ftool, mediante cuidadosa observação pode-se verificar que de
maneira semelhante a primeira situação, a ordem de grandeza dos desvios é de décimos de
porcentagem.
Quadro 03: Deslocamentos da treliça 02.
ANÁLISE DOS DESLOCAMENTOS NA TRELIÇA 02
DESLOCAMENTOS
NO SCILAB
DESLOCAMENTOS
NO FTOOL DESVIOS
NÓ EM X
(mm)
EM Y
(mm)
EM X
(mm)
EM Y
(mm) EM X EM Y
1 0 0 0 0 0% 0%
2 0,5 -1,678 0,4972 -1,669 1% 0,539%
3 0 -1,678 0 -1,669 0% 0,539%
4 0 -2,581 -3,14E-16 -2,566 -100% 0,585%
5 0 -2,414 -2,168E-16 -2,401 -100% 0,541%
6 -0,5 -1,678 -0,4972 -1,669 1% 0,539%
7 0 -1,678 1,022E-16 -1,669 -100% 0,539%
8 0 0 0 0 0% 0,000%
Fonte: Autores, 2019.
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A representação gráfica das reações e deformações da treliça 02, fornecidas pelo Ftool,
está ilustrada abaixo na Figura 05.
Figura 5: Deformações da treliça 02 no ftool.
Fonte: Autores, 2019.
As reações de apoio, obtidas a partir do Scilab, estão expostas no Quadro 04 abaixo, em
que de maneira similar ao ocorrido na primeira situação, verifica-se o mesmo resultado para
todos os apoios, quando se avalia a resolução dos dois softwares.
Quadro 4: Reações na treliça 02.
ANÁLISE DAS REAÇÕES
TRELIÇA APOIO
(NÓ) EM X (N) EM Y (N)
2 1 25000 25000
8 -25000 25000
Fonte: Autores, 2019.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
A utilização do método dos elementos finitos atrelado ao uso do software educacional
de código livre Scilab, possibilitou a análise de treliças bidimensionais. Após o lançamento dos
parâmetros de entrada no programa, obteve-se a discretização das treliças em elementos de
barra. A partir desse processo, calculou-se por meio da interação entre os nós de cada elemento
de barra, os valores relacionados aos deslocamentos, reações de apoio e tensões em cada uma
das treliças analisadas.
As mesmas treliças estudadas foram verificadas também através do software Ftool, a
fim de comparar os resultados, observando-se uma equiparação dos valores obtidos em ambos
os meios, possibilitando a percepção da garantia de resultados confiáveis pelo método iterativo
apresentado no presente trabalho.
Ainda traçando-se um comparativo entre os resultados obtidos por meio dos dois
softwares, percebe-se a eficiência do MEF quanto a precisão dos resultados, deste modo torna-
se evidente a adoção deste método em diversos trabalhos como parâmetro de comparação entre
as mais variadas metodologias para análise de estruturas. Dito isso, faz-se necessário a maior
difusão dos conceitos e técnicas de aplicação do MEF, com intuito de promover um melhor
desempenho para as metodologias de análise de estruturas, atribuindo maior qualidade ao
processo.
Durante a realização desse trabalho a maior dificuldade encontrada consistiu na
implementação do código, porém após essa etapa torna-se simples a substituição dos dados de
entrada e consequentemente a análise dos valores gerados pelo software Scilab. Estes valores
puderam ser comparados aos obtidos pelo Ftool, constatando-se assim a eficiência do método.
Para problemas de maior complexidade que envolvem um grande número de variáveis, o
cálculo manual se torna inviável, desta forma, o MEF apresenta-se como uma ferramenta
fundamental para a resolução destes.
A análise de peças estruturais atrelada a métodos computacionais, portanto, propicia
dinamicidade à engenharia, agilizando os processos de dimensionamento, auxiliando o
projetista na obtenção e interpretação de resultados, além de reduzir consideravelmente a
possibilidade de erros provenientes de um dimensionamento manual de peças estruturais. Deste
modo a utilização de métodos numéricos, ainda apresenta maior precisão do que as
metodologias convencionais e permite uma melhor utilização em face a impossibilidade da
obtenção dos resultados exatos por meio das análises puramente matemáticas.
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