Sumário

Capítulo 1 – Sistemas Lineares ................................................................................................................... 03 Sessão Leitura ................................................................................................................................................ 03 I. Equação linear ............................................................................................................................................. 03 II. Sistema linear ............................................................................................................................................. 03 III. Classificação de um sistema linear ........................................................................................................... 03 IV. Métodos de resolução de sistemas lineares ............................................................................................. 04 Fixação ........................................................................................................................................................... 06 Questões de Raciocínio Lógico ....................................................................................................................... 07 Exercícios Resolvidos ...................................................................................................................................... 08 Exercícios ....................................................................................................................................................... 10 Pintou no ENEM ............................................................................................................................................. 13 Exercício Comentado ..................................................................................................................................... 15 Capítulo 2 – Polinômios ............................................................................................................................... 17 Sessão Leitura ................................................................................................................................................. 17 I. Expansão polinomial de um número ........................................................................................................... 17 II. Identidade de polinômios ............................................................................................................................ 18 III. Operações com polinômios ....................................................................................................................... 18 IV. Divisão de um polinômio por um binômio do 1° grau ................................................................................ 19 V. Equação Polinomial .................................................................................................................................... 20 1)Teorema Fundamental da Álgebra .............................................................................................................. 21 2)Teorema da Decomposição ......................................................................................................................... 21 VI. Raízes: ...................................................................................................................................................... 21 1) Número de Raízes de uma equação Polinomial ........................................................................................ 21 2) Raízes Racionais ........................................................................................................................................ 21 VII. Relações de Girard em equações do 2º e 3º ........................................................................................... 21 Fixação ........................................................................................................................................................... 22 Questões de Raciocínio Lógico ...................................................................................................................... 23 Exercícios Comentados .................................................................................................................................. 24 Exercícios ....................................................................................................................................................... 25 Pintou no ENEM ............................................................................................................................................. 27 Capítulo 3 – Análise Combinatória ............................................................................................................. 28 Sessão Leitura ................................................................................................................................................ 28 I. Princípio fundamental da contagem ............................................................................................................ 28 II. Fatorial ........................................................................................................................................................ 29 III.Tipos de agrupamento ................................................................................................................................ 29 1) Arranjos simples ......................................................................................................................................... 30 2) Permutação simples ................................................................................................................................... 30 3) Permutação com elementos repetidos ....................................................................................................... 31 4) Combinação simples .................................................................................................................................. 31 IV. Binômio de Newton ................................................................................................................................... 32 Fixação ........................................................................................................................................................... 33 Questões de Raciocínio Lógico ...................................................................................................................... 34 Exercícios Comentados .................................................................................................................................. 35 Exercícios ....................................................................................................................................................... 37 Pintou no ENEM ............................................................................................................................................. 39

Capítulo 4 – Probabilidade .......................................................................................................................... 41 Sessão Leitura ................................................................................................................................................ 41 I. Conceito e definição de probabilidade ........................................................................................................ 41 II. Adição de probabilidades ........................................................................................................................... 41 III. Probabilidade condicional .......................................................................................................................... 42 IV. Multiplicação de probabilidades ................................................................................................................ 42 Fixação ........................................................................................................................................................... 43 Questões de Raciocínio Lógico ...................................................................................................................... 44 Exercícios Comentados .................................................................................................................................. 45 Exercícios ....................................................................................................................................................... 47 Pintou no ENEM ............................................................................................................................................. 50 Referências ..................................................................................................................................................... 54

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Capítulo 1 – Sistemas Lineares Sessão Leitura I. Equação Linear

Conceito: chamamos equação linear toda equação do 1º grau (os expoentes das incógnitas devem ser iguais a 1), com uma ou mais incógnitas. Definição: equação linear é toda equação que pode ser apresentada sob a forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3+ … + anxn = b

Na qual: • X1, X2, X3,...,Xn, são as incógnitas; • a1, a2, a3,… an, são constantes reais chamadas coeficientes; • b é uma constante real chamada termo independente; Exemplos: a) 8x + 5y = 11 • incógnitas: x e y • coeficientes: 8 e 5 • termo independente: 11

b) 5x + 3y - 0z + n – 2m = - 4 • incógnitas: x, y, z, n e m • coeficientes: 5, 3, - 0, 1 e -2 • termo independente: - 4

Solução de uma equação linear: é toda sequência de números ( α1, α2, α3, …, αn ) que faz ser

verdadeira a equação a1α1 + a2α2 + a3α3+ … + anαn = b. As equações lineares podem não apresentar solução, sendo chamadas de impossíveis, podem apresentar apenas uma solução ou infinitas soluções.

Exemplo: a solução para a equação linear 8x – y + 3z = -1 é o termo ordenado (0, 4, 1), pois a sentença 8·0 - 4 + 3·1 = -1 é verdadeira. Observações:

1) 3x² + y = 5, não é equação linear, pois é do 2º grau;

2) 1/x + y = 3 , não é equação linear, pois o expoente de x é -1 (não é do primeiro grau);

3) Quando b = 0, dizemos que a equação linear é homogênea. Exemplos: x + 2y + 3z = 0 e x + y = 0;

II. Sistema Linear Conceito: é um conjunto de equações lineares simultâneas. Solução: é qualquer solução comum a todas as equações do sistema. Exemplo:

2x + y + 3z = 11 y + 5z = 9 x – y + z = -1

2·2 + 4 + 3·1 = 11 0·2 + 4 + 5·1 = 9 2 – 4 + 1 = -1

O termo (2, 4, 1) é a solução deste sistema, pois esta solução é comum a todas as equações do sistema. III. Classificação de um Sistema Linear 1) Sistema possível e determinado (SPD): tem somente uma solução (a incógnita tem apenas um valor). 2) Sistema possível e indeterminado (SPI): tem mais de uma solução (a incógnita tem mais de um valor). 3) Sistema impossível (SI): não apresenta nenhuma solução (é impossível encontrar a solução).

x + y = 5 y = 2

SPD, pois y = 2 e x = 3

12x + 3y = 33

4x + y = 11 SPI, pois y = 11- 4x

x + y = 5 x + y = 8 SI, pois 5 não é igual a 8

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IV. Métodos de resolução de um sistema linear 1) Escalonamento Para um sistema linear ser considerado escalonado, é preciso que: • Todas as equações apresentem as incógnitas na mesma ordem; • As equações devem ter ao menos um coeficiente não nulo, caso contrário a mesma deixa de existir; • Deve existir uma ordem crescente de incógnitas com coeficiente nulo em cada equação, ou seja, a

1ª primeira equação deve ser completa (nenhuma incógnita com o coeficiente igual a 0), a 2ª segunda apresenta uma incógnita com coeficiente igual a 0, a 3ª apresenta duas incógnitas com coeficiente 0, etc;

Exemplos: 2x + 3y + 5z = 9 0x + 4y + z = 5 0x + 0y + 3z = 6

Escalonado

4x + 3y +z = 1 0x + 5y – z = 3 0x + 3y +2z = 5

Não escalonado

6x + y + 3z = 6 0x + 4y – 3z = 1 0x + 0y + 0z = 5

Não escalonado

a) Resolução de um sistema linear escalonado cujo número de equações é igual ao número de incógnitas, também conhecido como sistema linear do 1º tipo, usando o método da substituição:

3x + 2y – z = 9 equação I 0x + 5y – 2z = 1 equação II 0x + 0y + 3z = 6 equação III

• O primeiro passo é determinar o valor de z na equação III: 3z = 6 → z = 2; • Substituindo z por 2 na equação II, temos: 5y – 2.2 = 1 → 5y = 1 + 4 → y = 1; • Substituindo y por 1 e z por 2 na equação I, temos: 3x + 2.1 – 2 = 9 → 3x = 9 → x = 3; • Logo, o conjunto solução para este sistema é: S = {(3, 1, 2)}; Propriedade: todo sistema linear escalonado do primeiro tipo é possível e determinado (SPD). b) Resolução de um sistema linear escalonado cujo número de equações é menor do que o número de

incógnitas, também conhecido como sistema linear do segundo tipo:

x + 2y – 3z = 1 y + 5z = 3

• No caso de sistemas lineares do segundo tipo, admitimos a existência de pelo menos uma variável arbitrária, ou livre, que será aquela que não aparece no início de nenhuma equação do sistema escalonado (no exemplo acima, a variável arbitrária é z). A variável arbitrária poderá assumir qualquer valor real. • Para cada valor assumido pela variável arbitrária, obtém-se uma solução diferente para o sistema. • Grau de indeterminação de um sistema do 2º tipo é número de variáveis livres que ele apresenta.

Propriedade: todo sistema escalonado do segundo tipo é possível e indeterminado (SPI). 2) Sistemas Lineares Equivalentes

São sistemas lineares que apresentam o mesmo conjunto solução (são sistemas redundantes). São criados sistemas equivalentes àqueles propostos pelo enunciado para possibilitar a resolução através dos métodos da multiplicação, da divisão e da adição. Exemplo: - Resolução o sistema

x + 2y = 5 3x + 7y = 16

• Multiplica-se a equação (I) por – 3, em seguida, somamos a equação equivalente ( I') com a

equação (II). Por último, faz se a substituição do valor encontrado para y na equação (I) ou ( I'), assim encontramos o valor de x para formar o conjunto solução, S = {(x,y)}.

x + 2y = 5 (I) ×( - 3) → 3x + 7y = 16 (II)

-3x – 6y = -15 ( I') 3x + 7y = 16 ( II) → (I') +(II)→

- 3x – 6y = -15 ( I') y = 1 ( II”)

Se y = 1, substituindo em (I), temos: x + 2 . (1) = 5 → x = 5 - 2 = x = 3. Solução: y = 1 e x = 3.

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• Método da substituição Ideal para sistemas com duas incógnitas e duas equações (sistema 2x2). Consiste em escolher

uma das equações, isolar uma de suas incógnitas e substituí-la na segunda equação, obtendo assim o resultado da outra incógnita. Com o resultado da incógnita, substitui o valor dela na outra equação, encontrando o valor da incógnita que faltava. Observe o exemplo:

2x + 3y = 19 x – y = - 3

Nesse caso, vamos escolher a 2º equação e isolar a incógnita x.

x – y = –3 x = –3 + y

Agora, substituímos o valor de x por –3 + y na 1º equação.

2x + 3y = 19

2*(–3 + y) + 3y = 19 –6 + 2y + 3y = 19 2y + 3y = 19 + 6

5y = 25 y = 5

Para finalizar, calculamos o valor de x utilizando a seguinte equação:

x = –3 + y x = –3 + 5

x = 2

Portanto, a solução do sistema é x = 2 e y = 5, isto é, o par ordenado (2,5)

• Método da adição

O método da adição deve ser utilizado nos sistemas em que existe a oportunidade de zerar uma das incógnitas. Observe o exemplo:

x + y = 10 x – y = 12

1º passo: somamos as equações, eliminando uma das incógnitas e determinando o valor da outra incógnita.

x + y = 10 (+) x – y = 12 2x + 0 = 22

x = 11

Calculado o valor de x, basta escolher uma das equações e substituir o valor de x por 11.

x + y = 10 y = 10 – x

y = 10 – 11 y = –1

A solução do sistema é o par ordenado (11, –1)

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Fixação

Existem várias aplicações práticas que justificam a necessidade de conhecer os métodos para cálculo de sistemas lineares. Por exemplo, os proprietários de automóveis que usam a gasolina como combustível, precisam saber se a quantidade de álcool anidro misturada na gasolina está dentro do valor permitido (o álcool deve corresponder de 20% a 25% do combustível). Isso poderia ser feito da seguinte maneira: Se 1 litro de álcool anidro custa R$ 1,20, 1 litro de gasolina custa R$ 2,00 e 1 litro da mistura custa R$ 1,80, quanto de álcool anidro contém em 1 litro dessa mistura?

x + y = 1 (I) 1,20x + 2y = 1,80 (II)

• Isolando o y na equação (I): y = 1 – x • Substituindo na equação (II), o valor encontrado para y na equação (I), teremos:

1,20x + 2(1 - x) = 1,80 1,20x + 2 – 2x = 1,80

0,8x = 0,20 x = 0,25

• Assim, concluímos que a mistura está na proporção correta de álcool anidro e gasolina.

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Questões de raciocínio lógico

As questões de lógica matemática podem fazer parte da sua prova, por isso é importante treinar bastante e lembrar que elas existem, assim não perdemos tempo tentando descobrir “qual

fórmula usar” e partimos logo para a resolução.

# FICA A DICA 1. (FCC – 2004) Esta sequência de palavras segue uma lógica:

• Pá • Xale • Japeri

Uma quarta palavra que daria continuidade a esta seqüência poderia ser: a) Casa b) Anseio c) Urubu d) Café e) Sua 2. (FCC - IPEA 2004) Encontram-se sentados em torno de uma mesa quadrada quatro juristas. Miranda, o mais antigo entre eles, é alagoano. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Ferraz está sentada à direita de Miranda. Mendes, à direita do paulista. Por sua vez, Barbosa, que não é carioca, encontra-se à frente de Ferraz. Assim: a) Ferraz é carioca e Barbosa é baiano. b) Mendes é baiano e Barbosa é paulista. c) Mendes é carioca e Barbosa é paulista. d) Ferraz é baiano e Barbosa é paulista. e) Ferraz é paulista e Barbosa é baiano. 3. (FCC - TRT - 2004) Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível transformá-la na figura II:

O menor número de palitos que deve ser movido para fazer tal transformação é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Gabarito: 1) b 2) e 3) c

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Exercícios Comentados

Agora que o conteúdo já foi discutido em sala, é hora de fazer exercícios para fixar a matéria. Nesta sessão veremos alguns exercícios resolvidos e comentados para relembrar o que fizemos em

sala. Se “te der um branco” e você não conseguir fazer algum exercício sozinho, não pule para o seguinte! Volte aqui, dê uma olhada e tente outra vez.

Lembre-se que um mesmo sistema linear pode ser resolvido de diversas maneiras, aqui será apresentada apenas uma delas.

# FICA A DICA

1) Resolva o sistema abaixo:

x + y + z = 7 2x + y – z = 9 x – 2y +2z = 2

• Multiplicamos a primeira equação por (- 2) e somamos à segunda:

x + y + z = 7 (-2) = - 2x - 2y - 2z = -14

- 2x - 2y - 2z = -14 (+) 2x + y – z = 9

- y - 3z = -5

• Agora multiplicamos a primeira equação por (-1) e somamos à terceira:

x + y + z = 7 (- 1) = - x - y - z = - 7

- x - y - z = - 7 (+) x - 2y +2z = 2 - 3y + z = -5

• Agora montamos um sistema equivalente com as duas novas equações encontradas, multiplicamos a

primeira por (-3) e somamos com a segunda: - y - 3z = -5 (I) - 3y + z = -5 (II)

- y - 3z = -5 (-3) = -3y + 9z = 15

-3y + 9z = 15 (+) -3y + z = -5 10 z = 10

z = 1

• Sabendo o valor de z, substituindo este na equação (I), temos: - y – 3z = -5

- y – 3.(1) = -5 - y = -5 + 3

- y = -2 y = 2

• Sabendo que z = 1 e y = 2, descobriremos o valor de x na primeira equação do sistema:

x + y + z = 7 x + 2 + 1 = 7 x = 7 – 2 – 1

x = 4 Solução do sistema: {4, 2, 1}

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2) Quatro amigos estavam em um bar e decidiram propor uma brincadeira para descobrirem a idade do filho mais novo de cada um deles. Para simplificar, chamaremos as crianças de x, y, z e t. As dicas elaboradas por eles foram as seguintes:

• Somando as idades das crianças obtemos o valor 11; • Subtraindo da idade de x as idades das demais crianças, obtemos o valor -9; • Subtraindo da idade de y as idades das demais crianças, obtemos o valor -7; • Subtraindo da idade de z as idades das demais crianças, obtemos o valor -5;

Sabendo destas informações, responda qual é a idade da criança mais velha. Resolução:

• O primeiro passo é montar um sistema a partir das dicas: x + y + z + t = 11 x – y – z – t = - 9 - x + y – z – t = - 7 - x – y + z – t = - 5 • Somando a primeira com a segunda equação, temos:

x + y + z + t = 11 (+) x – y – z – t = - 9 2x = 2

x = 1

• Somando a primeira equação com a terceira:

x + y + z + t = 11 (+) - x + y – z – t = - 7 2y = 4

y = 2

• Somando a terceira equação com a quarta: - x + y - z - t = - 7 (+) - x - y + z – t = - 5 -2x -2t = -12

Como x = 1, temos:

- 2.1 - 2t = -12 -2t = -12 +2

-2t = -10 t = 5

• Somando a segunda equação com a terceira:

x – y – z – t = - 9 (+) - x + y – z – t = - 7

-2z -2t = -16

Como t = 5, temos: -2z -2.5 = -16 -2z = -16 + 10

-2z = -6 z = 3

• As idades das crianças x, y, z e t são, respectivamente 1, 2, 3 e 5 anos. Resposta: a criança mais velha é a y, que tem 5 anos.

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Exercícios

1. (Vunesp) Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5, 10 e 50 reais, recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de notas de 50 reais. Nessas condições, qual é o número mínimo de cédulas que ela poderá receber?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

2. Qual das alternativas apresenta uma solução para o sistema:

x + y + 2z = 9 x + 2y + z = 8 2x + y + z = 7

a) (8,1,0) b) (10, -1,0) c) (1,2,3) d) (9,0,0) e) (1,1,1)

3. Os 152 participantes de um congresso são professores de Matemática, Física ou Química. Sabendo que cada um deles leciona apenas uma dessas matérias e que o número de professores de Física é o dobro do número de professores de Química, qual é o menor número possível de professores de Matemática que participam desse congresso?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Um litro de creme contém suco de fruta, leite e mel. A quantidade de leite é o dobro da quantidade de suco de fruta, e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. A quantidade de suco de fruta que contém neste um litro de creme é:

a) 300ml b) 250ml c) 350ml d) 400ml e) 420ml

5. Um ourives cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de ouro com 3g cada, de prata com 5g cada e de bronze com 7g cada. O preço unitário era de R$ 30,00, R$ 10,00 e R$ 05,00, respectivamente. Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas, com massa total de 87g, qual foi o número de medalhas de ouro confeccionadas?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. (FAAP 2009) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões? (A) 20 (B) 15 (C) 12 (D) 10 (E) 5 7. (PUC-CAMP 2006) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de: (A) 1000 (B) 2000 (C) 4000 (D) 5000 (E) 8000 8. (UNICAMP 2001 – Adaptada) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Qual é a quantidade de amendoim nesta mistura? (A) 25g (B) 250g (C) 100g (D) 150g (E) 300g 9. (FUVEST 2007 – Adaptada) Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria. Quantos reais Amélia possui? (A) R$ 24,00 (B) R$ 2,40 (C) R$ 18,00 (D) R$ 36,00 (E) R$ 15,00

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10. (UNESP 2003) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1.950 dólares e a quantidade de cédulas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100, foi:

(A)1.800 (B)1.500 (C) 1.400 (D)1.000 (E) 800

11. (UFC 2003) Se um comerciante misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, ele obtém um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do quilograma do café do tipo II são respectivamente:

(A) 5 e 3 reais (B) 6,40 e 4,30 reias (C) 5,50 e 4,00 reais (D) 5,30 e 4,50 reias (E) 6,00 e 4,00 reais 12. (UFPR 2006) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel. Três motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos, estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações: • 1º motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em Guarapuava. Ao todo, percorri 568 km. • 2º motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para Guarapuava. Ao todo, percorri 522 km. • 3º motorista: Semana passada eu saí de Maringá, descarreguei parte da carga em Guarapuava e o restante em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550 km. Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora, quantos quilômetros percorreria um motorista que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá, depois por Cascavel e retornasse a Guarapuava? (A) 820 km (B) 832 km (C) 798 km (D) 812 km (E) 824 km 13. (PUC - Pr 2010) Como está próximo o término do desconto do IPI para a linha branca dos eletrodomésticos, uma determinada loja de departamentos, para vender uma geladeira, uma máquina de lavar e uma secadora, propôs a seguinte oferta: a geladeira e a máquina de lavar custam juntas R$ 2.200,00; a máquina de lavar e a secadora, R$ 2.100,00; a geladeira e a secadora, R$ 2.500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados? (A) R$ 2.266,00 (B) R$ 6.800,00 (C) R$ 3.200,00 (D) R$ 3.400,00 (E) R$ 4.800,00 14. (UFU 2011) Por causa de maus hábitos alimentares, um cardiologista nota que os seus pacientes com hipertensão são cada vez mais jovens e fazem uso de medicamentos cada vez mais cedo. Suponha que Pedro, Márcia e João sejam pacientes, com faixas etárias bem distintas e que utilizam um mesmo anti-hipertensivo em comprimidos. Sabe-se que João utiliza comprimidos de 2 mg, Márcia de 4 mg e Pedro de 10 mg. Além disso, mensalmente, Pedro toma o triplo de comprimidos de Márcia e os três consomem 130 comprimidos, totalizando 780 mg da droga. Isto posto, podemos afirmar que Márcia, mensalmente, ingere: (A) 50 comprimidos (B) 20 comprimidos (C) 60 comprimidos (D) 30 comprimidos (E) 40 comprimidos 15. (UESP) Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do sistema abaixo, então 3x0 + 5y0 + 4z0 é igual a:

3x + z = -5

x + y + z = - 2

2y – z = -3

(A) -8 (B) -7 (C) -6 (D) -5 (E) -4 16) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu: "Minha idade quando somada à de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior omam 39 anos." Qual a idade de Júnior?

a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos

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17) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era:

a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128

18) (FUVEST-SP) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá, encontraram uma velha balança com defeito, que só indicavam corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: -Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; -Carlos e Andreia pesam juntos 123kg; -Andreia e Bidu pesam juntos 66 kg. Os pesos de Carlos, Andreia e do cachorro Bidu em quilos, respectivamente, são:

a) 72, 51 e 15 b) 82, 49 e 7 c) 61, 53 2 12 d) 70, 60 e 10 e) 72, 51 e 13 19) Por ocasião do natal, uma empresa gratificará seus funcionários com um certo numero de cédulas de 50 reais. Se cada funcionário receber 8 cédulas sobrarão 45 delas, se cada um receber 11 cédulas, faltarão 27. O montante a ser distribuído qual será?

a) R$ 10.850 b) R$ 11.850 c) R$ 11.050 d) R$ 9.050 e) R$ 15.050 20) Para se deslocar de casa até seu trabalho, um trabalhador percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um carro e, em outros, uma moto. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o carro e de 7 centavos para a moto, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar de carro e moto, respectivamente, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.

a) 150km e 125km b) 220km e 110km c) 250km e 350km d)225km e 325km 21) Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? 22) Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. 23) Encontre 2 números inteiros cuja soma vale 51 e a diferença é 27. O maior deles é? 24) Num quintal há galinhas e coelhos, somando 100 animais e 320 patas. Quantos animais são coelhos? 25) Um teste é composto de 40 questões. Cada questão certa vale +3 pontos e cada errada vale – 2 pontos. Respondendo a todas as questões, Mara obteve 75 pontos neste teste. Quantas questões ela acertou? 26) Uma herança de R$134.000,00 deve ser repartida entre três herdeiros, de maneira que o 1º receba mais R$40.000,00 do que o 2º, e este, mais R$ 20.000,00 do que o 3º. Qual a quota de cada herdeiro? 27) A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração dos alimentos? 28) Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média? Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B C B A B E C B A D E A D B B 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 C C A B D 5 11 e -2 39 60 31 134mil 18 75 ligações

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Pintou no ENEM 1. O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a um outro município. Para isso foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentavam o mesmo padrão de qualidade, mas apenas uma delas poderá se contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher uma das propostas apresentadas?

a) 100n + 350 = 120n + 150 b) 100n + 150 = 120n + 350 c) 100 (n + 350) = 120 (n + 150) d) 100 (n + 350.000,00) = 120 (n + 150.000,00) e) 350 (n + 100.000,00) = 150 (n + 120.000,00)

2. Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez de 15 litros de água utilizados pelas bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Agência Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida pela substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros de água por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?

a) 24 litros b) 36 litros c) 40 litros d) 42 litros e) 50 litros

3. Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques. Suponha que o período de uso de um brinquedo em um certo shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta custa 9.200 tíquetes. Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é de:

a) 153 b) 460 c) 1.218 d) 1.380 e) 3.066

4) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca x é o dobro do número de carros roubados da marca y, e as marcas x e y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca y é:

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

5) Uma empresa realizou uma grande doação de brinquedos para um orfanato. Essa doação compreendeu 535 brinquedos, entre bolas e bonecas, 370 brinquedos entre bonecas e carrinhos, e o total da doação entre bolas e carrinhos foi de 455 brinquedos. É possível afirmar que, para realizar a doação, a empresa produziu:

a) 320 bolas b) 145 carrinhos c) 235 bonecas d) 780 brinquedos

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e) 1350 brinquedos

6) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km.

Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo,

a) 617 kg. b) 668 kg. c) 680 kg. d) 689 kg. e) 717 kg.

7) (ENEM/2010) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: (A) 920kg. (B) 800kg. (C) 720kg. (D) 600kg. (E) 570kg

8) (ENEM 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas.Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele e de: (A) 12 kg. (B) 16 kg. (C) 24 kg. (D) 36 kg. (E) 75 kg.

9) ( ENEM 2009) Escolha do presidente de uma associação de bairro foi feita por meio de uma eleição, na qual votaram 200 moradores. Após apuração de 180 dos 200 votos, o resultado da eleição era o seguinte: » Candidato I - 47 votos » Candidato II - 72 votos » Candidato III - 61 votos A partir dos dados apresentados, pode-se concluir que: (A) o vencedor da eleição certamente será o candidato II. (B) dependendo dos votos que ainda não foram apurados, o candidato I poderá ser o vencedor da eleição. (C) o vencedor da eleição poderá ser o candidato II ou o candidato III. (D) como existem votos ainda não apurados, qualquer um dos três candidatos poderá ganhar a eleição. (E) o vencedor da eleição certamente será o candidato I.

10) (ENEM 2011) Todo ano os brasileiros precisam acertar as contas com o Leão, ou seja, com o Imposto de Renda (IR). Suponha que, se a faixa salarial anual de um contribuinte está entre R$ 15.085,45 e R$ 30.144,96, então ele deve pagar 15% de IR. Nessa situação, se uma pessoa teve uma renda anual de R$ 20.000,00, o valor devido a título de IR é de: (A) R$ 120,00. (B) R$ 300,00. (C) R$ 1.200,00. (D) R$ 3.000,00. (E) R$ 4.500,00.

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Gabarito 1 A

2 B

3 D

4 E

5 B

6 B

7 A

8 A

9 C

10 D

Exercício Comentado

A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas em que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.

Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma: x1 = D1 D

x2 = D2 D

x3 = D3 ... xn = Dn D D

# FICA A DICA

Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer:

Exemplo: Dado o sistema linear , para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações. O primeiro passo é encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.

Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.

D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4 D = 15.

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma

segunda matriz que será representada por Ax.

Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.

16

Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6 Dx = 15

Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.

Agora calcularmos o seu determinante Dy.

Dy = -3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16 Dy = 30

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a

matriz Az.

Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.

Dz = – 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8 Dz = 45

Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer. A incógnita x = Dx = 15 = 1 D 15 A incógnita y = Dy = 30 = 2 D 15 A incógnita z = Dz = 45 = 3 D 15

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Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}. Ou seja, x = 1, y = 2 e z = 3.

Capítulo 2 – Polinômios Sessão Leitura

É muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões que permitam a resolução do problema por meio de uma equação das expressões obtidas. Veja por exemplo a seguinte figura:

• Trata-se de um cubo de lados S = x + 2. • Para calcularmos sua área total, temos: 6·S² = 6(x+2)² = 6(x² + 4x + 4) = 6x² +24x + 24. • Para calcularmos seu volume, temos: S³ = (x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8. • Todas essas expressões são chamadas polinomiais.

Neste capítulo vamos estudar métodos desenvolvidos para calcular os polinômios com muitos termos, pois estes são mais difíceis de serem calculados por outros métodos matemáticos.

I. Expansão Polinomial de um Número O número 4.532 pode ser representado por uma soma de milhares, centenas, dezenas e unidades, isto é:

4.532 = 4·10³ + 5·10² + 3·10¹ + 2·10º

De maneira análoga, qualquer número natural pode ser representado sub a forma: • Os coeficientes

são números naturais menores do que 10. • Cada uma das parcelas de um polinômio, como generalizado acima, é conhecida como termo ou

monômio do polinômio e ao é o termo independente da variável x. • Grau de um polinômio é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não nulos. • Raiz de um polinômio é todo número complexo α tal que P(α) = 0.

Exemplo: 8x5 + 3x4 + 5x – 4x + 2 • O polinômio é do 5º grau • Os coeficientes são 8, 3, 5, 4 e 7 • A variável é x

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• Os termos, ou monômios, são 8x5, 3x4, 5x², 4x e 2 • O termo independente é 2

II. Identidade de Polinômios Dizemos que dois polinômios são idênticos somente se seus valores numéricos são iguais para todo α, ou seja, P(x) = Q(x) se, e somente se, P(α) = Q(α). Polinômios de graus diferentes nunca são iguais. Exemplo: Determinar os valores de a e b para que os polinômios P(x)=(a² – 4) x³ + 2x + 6 e Q(x)= 5x³ + (a – b)x² + (a – b)x + 6, na variável x, sejam idênticos.

a² – 4 = 5 a – 3 = 0 a – b = 2

a = ± 3 a = 3 a – b = 2

a = 3 e b = 1

III. Operações com Polinômios 1) Adição: P(x) + Q(x), é obtida ao se adicionar os coeficientes do polinômio P(x) aos coeficientes do polinômio Q(x) que tem o mesmo expoente na variável. Caso exista algum termo sem um expoente correspondente ao do outro polinômio, considera- se o seu coeficiente como sendo zero. 2) Subtração: P(x) – Q(x), é considerada como o oposto da soma, ou seja, P(x) + [ - Q(x)]. Assim, a resolução será através do mesmo procedimento feito em uma adição. 3) Multiplicação: P(x) · Q(x), é dada pela soma dos produtos de cada monômio de P por todos os monômios de Q. 4) Divisão: E(x) / D(x), significa encontrar dois polinômios R(x) e Q(x) que satisfaçam as condições:

• E(x) = Q(x)·D(x) + R (x) • O grau de R(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de Q(x) ou então R(x) = 0 • Obs.: A expressão E(x) = Q(x)·D(x) + R (x), quer dizer que o dividendo é igual ao divisor multiplicado

pelo quociente depois somado ao resto. Exemplo: 1) Dados os polinômios P(x) = 3x4 + 2x³ + x – 1 e Q(x) = 5x4 + 3x + 7, calcule: a) P(x) + Q(x) = 3x4 + 5x4 + 2x³ + 3x + x – 1 +7 = 8x4 + 2x³ + 4x + 6 b) P(x) – Q(x) = 3x4 - 5x4 + 2x³ - 3x + x – 1 – 7 = - 2x4 + 2x³ – 2x – 8 c) 3P(x) = 3 ( 3x4 + 2x³ + x – 1) = 9x4 + 6x³ + 3x – 3 d) P(x)·Q(x) = (3x4 + 2x³ + x – 1)·(5x4 + 3x + 7) = 15x + 9x5 + 21x4 + 10x + 6x4 + 14x³ + 5x5 + 3x² + 7x – 5x4 – 3x – 7 = 15x + 10x + 14x5 + 22x4 + 14x³ + 3x² + 4x – 7 2) Dividindo-se E(x) = 2x5 – x4 + x2 por D(x) = 2x+3, qual será o quociente e resto?

• 1º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau de E(x) pelo monômio de mais alto grau de D(x). • 2º Passo: Subtraímos do dividendo o produto de D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo,

assim teremos o primeiro resto parcial. • 3º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio de mais

alto grau de D(x).

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• 4º Passo: Subtraímos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no terceiro passo, obtendo o segundo resto parcial.

• Segue sucessivamente com esse processo até obter o resto final R(x). Aplicando o Método

Resposta: Q(x) = x4 – 3x3 + 3x2 – 2x - 1 R(x) = 0 IV. Divisão de um Polinômio por um Binômio do 1º grau Todo polinômio pode ser decomposto em fatores do primeiro grau, portanto, a divisão de polinômios pode ser efetuada por meio de divisões sucessivas por fatores do primeiro grau. A partir desse pressuposto, outros métodos foram desenvolvidos para facilitar o cálculo da divisão entre polinômios. 1) Teorema do resto: Se a é constante qualquer, o resto da divisão de um polinômio P(x) por x – a é igual a P(a), com R(x) = R;

P(x) = (x – a)·Q(x) + R(x) P(a) = (a – a)·Q(x) + R

P(a) = 0 ·Q(x) + R P(a) = R

Exemplo: O resto da divisão de um polinômio 4x³ + x² – 3 pelo binômio x – 2 é igual a P(2), isto é:

R = P(2) = 4·2³ + 2² – 3 = 33

2) Teorema de D'Alembert: Se a é uma constante qualquer, um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, a for raiz de P(x). Se a é raiz de P(x), então P(a) = 0. Pelo teorema do resto, temos que P(a) = R, então a é raiz de P(x) se, e somente se, R = 0. Exemplo: Determinar o polinômio do segundo grau que , dividido por x – 1, x – 2 e x – 3, apresenta restos iguais a 4, 7 e 14, respectivamente: Sendo P(x) = ax² + bx + c, temos: P(1) = 4 → a + b + c = 4 P(2) = 7 → a·2² + b·2 + c = 7 P(3) = 14 → a·9 + b·3 + c = 14

a + b + c = 4 4a + 2b + c = 7 9a + 3b + c = 14

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a = 2, b = - 3 e c = 5

P(x) = 2x² – 3x + 53) Dispositivo prático de Briot-Ruffini: Este algoritmo permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x – a de uma maneira rápida e simples.

Exemplo: Dividindo p(x) = 3x³ - 5x² + x - 2 por h(x) = x - 2, temos:

• Repetimos o primeiro coeficiente do dividendo, no caso 3. • Multiplicamos o termo repetido pelo divisor e somamos esse produto com o próximo termo do

dividendo, que resulta em 1. • Repetimos o processo para obter o novo termo do quociente, e assim por diante, sempre repetindo

o processo, até chegar no último coeficiente. • A partir desse algoritmo temos q(x) = 3x² + x + 3 e r(x) = 4, então, 3x³ -5x² +x -2 = (x-2)(3x²+x+3) +4

e 2 é uma raiz do polinômio.

V. Equação Polinomial Chamamos de equação polinomial, ou algébrica, toda equação que pode ser descrita sob a forma:

• O conjunto solução de uma equação polinomial é o conjunto das raízes da equação, S={k,w} Exemplo: 1) A equação x³ – 2x² = 2 – x pode ser representada sob a forma x³ – 2x² + x – 2 = 0, portanto é uma equação polinomial do terceiro grau na variável x. Para determinarmos suas raízes complexas, podemos fatorar o primeiro membro, ou seja: x²(x – 2) + (x – 2) = 0 (x – 2)(x² + 1) = 0, é o mesmo dizer que: (x – 2) = 0 ou (x² + 1) = 0, dado pela propriedade do produto nulo. Assim, temos que x = 2. 2) Uma das raízes da equação polinomial x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 é o número 1. Obter as outras raízes:

• Se 1 é uma raiz deste polinômio, então P(1) = 0 e P(x) é divisível por x – 1. • Assim, podemos escrever P(x) = (x – 1)·Q(x). • Por Briot-Ruffini, temos:

• Logo, Q(x) = x² – 5x + 6, portanto P(x) = (x – 1)(x² – 5x +6) é equivalente a x³ – 2x² + x – 2 = 0.

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• Pela propriedade do produto nulo, temos: • x – 1 = 0 ou (x² – 5x +6) = 0, então: x = 1 ou x = 3 ou x = 2. • Logo, além da raiz 1, temos as raízes 2 e 3.

1) Teorema Fundamental da Álgebra: toda equação polinomial admite pelo menos uma raiz complexa. 2) Teorema da Decomposição: todo polinômio de grau n pode ser fatorado sob a forma abaixo, sabendo que r1, r2, r3,...,rn são todas as raízes de P(x).

P(x) = an( x - r1 )( x – r2 )( x – r3 )·...·(x – rn )

Exemplo: Uma das raízes de P(x) = 3x³ – 20x² + 23x + 10 é o número 5. Fatorar P(x) como produto de uma constante por polinômios do 1º grau.

• Pelo Teorema de D'Alamber, temos que P(x) é divisível por x – 5, ou seja, P(x) = (x – 5)·Q(x). • Obtém-se o polinômio Q(x), dividindo-se P(x) por x – 5. • Por Briot-Ruffini, temos:

• Q(x) = 3x² – 5x – 2, portanto, P(x) = (x – 5)( 3x² – 5x – 2). • As raízes de P(x) são dadas por: (x – 5)( 3x² – 5x – 2) = 0. • (x – 5) = 0 ou ( 3x² – 5x – 2) = 0. • Resolvendo as equações, encontramos as raízes 5, 2 e – 1/3. • Pelo Teorema da Decomposição, temos: P(x) = 3(x – 5)(x – 2)(x + 1/3).

VI. Raízes: 1) Número de raízes de uma equação polinomial: uma equação polinomial de grau n admite exatamente n raízes complexas, não necessariamente distintas entre si. 2) Raízes racionais: para descobrir se uma equação polinomial de coeficientes inteiros admite, ou não, raízes racionais usamos o teorema:

• Seja p ÷ q, com p e q inteiros e primos entre si e q ≠ 0; • Se p ÷ q é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros, então p é divisor de ao e q é

divisor de an. • Consequência: se a equação polinomial de coeficientes inteiros, P(x) = 0 tiver o polinômio P(x) com

an = 1 e admitir raízes racionais, então essas raízes são inteiras. Exemplo: se p÷ q for raiz da equação x² – 5x + 6 = 0, então p é divisor de 6 e q é divisor de 1, logo, p ÷ q pertence a {±1, ±2, ±3, ±6}. VII. Relações de Girard 1) Relações de Girard para equações do 2º grau:

• As raízes r1 e r 2 da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, são tais que:

r1 + r 2 = - b / a r1 · r 2 = c / a

2) Relações de Girard para equações do 3º grau:

• As raízes r1, r2 e r3 da equação do 3º grau ax³ + bx² + cx + d = 0, são tais que:

r1 + r2 + r3 = - b / a r1 · r 2 + r2 · r3 + r1 · r3 = c / a

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r1 · r 2· r3 = - d / a Fixação

Para que servem os polinômios?

Não sei se vocês repararam, mas em todos os capítulos das apostilas aqui do cursinho existe uma “sessão leitura” na qual colocamos textos de apoio, curiosidades, aplicações práticas, etc. Na parte de polinômios fiquei pensando no que de interessante posso colocar aqui e imediatamente me lembrei de uma pergunta freqüente na sala de aula: “ Para que servem os polinômios?”. Então decidi colocar aqui as respostas mais interessantes que encontrei.

"Se não houvesse polinômios, muito provavelmente não poderíamos utilizar CDs, nem de música nem

de computador. Os polinômios (e aritmética módulo n, corpos finitos, enfim, tópicos de álgebra abstrata) são a base do código que faz com que os dados sejam escritos em CDs, os chamados códigos corretores de erro. Todo meio de comunicação tem o que chamamos de ruído, que faz com que os dados não sejam transmitidos corretamente (não é incompetência do transcritor de dados, é a própria natureza - um bom exemplo é a recepção de celular com ruído atmosférico). Assim, são necessários códigos que eliminem ou corrijam esses erros, que são esse códigos corretores de erros. É claro que, para compreender isso, é necessário algum estudo de álgebra abstrata e, dependendo do código, até de geometria projetiva finita!”

“Você pode me perguntar: "por acaso eu sou obrigado a saber tudo isso?" Certamente não. É claro que não posso proibir a minha sobrinha de 9 anos de escutar CDs só porque ela não sabe o que são polinômios. Mas no momento em que o homem se priva de ter esse conhecimento, ele se priva de poder alcançar patamares ainda maiores em tecnologia. Ora essa, alguém tem que inventar novidades para a nossa evolução, não? Você pode perguntar a si mesmo: "por que eu faria isso?". Por que não perguntar "por que não eu?"?”

http://supmat.blogspot.com.br/2012/02/texto-para-refletir-para-que-servem.html

“Como os polinômios são usados?

Desde que os polinômios são usados para descrever curvas de diversos tipos, as pessoas costumam utilizá-los para visualizar curvas. Por exemplo, construtores de montanhas-russas podem usar polinômios para descrever as curvas de seus trilhos, e também combinações de funções polinomiais às vezes são usadas em estudos de economia para fazer análises de custo.

Polinômios também podem ser usados para modelar diferentes situações, como no mercado de ações, a

fim de prever como os preços podem variar ao longo do tempo, ou como o aumento e queda dos preços de determinado bem irá afetar sua venda. Os polinômios, ainda, podem ser usados na física para descrever a trajetória de um projétil, e os polinômios integrais (soma de diversos polinômios) podem ser usados para expressar conceitos como energia, inércia e diferença voltaica, por exemplo.

Para pessoas que trabalham em indústrias que lidam com fenômenos físicos ou modelando situações

futuras, os polinômios são muito úteis, e incluem a todos, desde engenheiros a executivos. Para o resto de

23

nós, eles estão menos aparentes, mas provavelmente ainda o usamos para predizer como a mudança de um ponto em nossas vidas pode influenciar outro, mesmo sem percebermos.”

http://www.ehow.com.br/polinomios-diaadia-sobre_7902/

Questões de Raciocínio Lógico 1. (FCC - TRT - 2004) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em correspondência com os números de 1 a 6, de tal maneira que somados os pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as três planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com dobras, um dado com as características descritas é (são):

a) I b) I e lI. c) I e III. d) II e III. e) I, II, III

2. (FCC - TRT - 2004) Em um trecho da letra da música Sampa, Caetano Veloso se refere à cidade de São Paulo dizendo que ela é o avesso, do avesso, do avesso, do avesso. Admitindo que uma cidade represente algo bom. e que o seu avesso represente algo ruim, do ponto de vista lógico, o trecho da música de Caetano Veloso afirma que São Paulo é uma cidade a) equivalente a seu avesso. b) similar a seu avesso. c) ruim e boa. d) ruim. e) boa.

3. (FCC - TRT - 2004) A alternativa que apresenta uma figura semelhante à outra que pode ser encontrada no interior do desenho é:

24

Gabarito: 1) d 2) e 3) c Exercícios Comentados 1. (FGV-SP) Dividindo-se P(x) = 2x5 – x4 + x2 por D(x) (2x+3), encontramos como quociente e resto, respectivamente:

• 1º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau de P(x), 2x5 , pelo monômio de mais alto grau de D(x), 2x, e encontramos x4

• 2º Passo: Multiplicamos o resultado obtido por D(x): x4 . (2x +3) = 2x5 + 3x4 • 3º Passo: Subtraímos do dividendo o produto encontrado no 2º passo, assim teremos o primeiro

resto parcial que é - 4x4 + x2 • 4º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio de mais

alto grau de D(x). • Segue sucessivamente com esse processo até obter o resto final R(x).

2x5 – x4 + x2 | 2x+3

-2x5 – 3x4 x4 – 2x3 + 3x2 – 4x + 6 -4x4 + x2 4x4 + 6x3 6x3 + x2

-6x3 – 9x2 -8x2

8x2 – 12x -12x

12x -18 -18

Mas como é que eu vou saber se já cheguei ao resto final R(x)? Lembre-se que o grau de R(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de Q(x).

Ainda não entendeu? Calma, vamos relembrar.

Discutimos em sala que em polinômios não há divisão de uma incógnita por outra de grau igual ou maior. Não podemos fazer, por exemplo, a divisão: x² ÷ x³. Em álgebra essa divisão é possível e

encontraríamos ,.x² ÷ x³.= x-1, mas não se esqueça que em polinômios não trabalhamos com expoentes negativos. Voltando a pergunta, sabemos que já chegamos ao resto final quando:

• Quando o expoente da incógnita do resto parcial é menor ou igual ao expoente da incógnita do

divisor ( veja o exercício resolvido 2, não podemos dividir 4x por x², por isso R(x) = 4x -4) • Ou quando não há mais incógnitas no resto (como é o caso do exemplo acima, no qual R(x) = -18)

# FICA A DICA

2. (Puccamp-SP) O resto da divisão do polinômio P(x) = x3 – 2x2 + 4 pelo binômio Q(x) = x2 – 4 é: x3 – 2x2 + 4 | x2 - 4 -x3 + 4x + 4 x - 2 -2x2+4x+4

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2x2 - 8 4x - 4 R(x) = 4x -4 Exercícios 1) Determine o valor de k, de modo que o polinômio P(x) = (k² – 25)x³ – x² – 2x² – 2x + 3 tenha grau 2. 2) Dado o polinômio P(x) = 4x² – 8x – 3k, determine o valor de k de forma que P(2) = 4. 3) Calcule os valores de m e n para que os polinômios P(x) = (3 – m)x² – 6x + 4 e Q(x) = 8x² + ( 5n – 4)x + 4 sejam idênticos. 4) Determine p e q sabendo que os polinômios P(x) = px² – 12x + q e Q(x) = (2x – 3)² são idênticos. 5) A equação 3x³ + 2x² - x – 3 = 0 admite raízes x1, x2, x3. Escreva as relações de Girard para essa equação. 6) Os números -2 e 3 são duas raízes da equação 2x³ - x² + mx + n = 0, em que m e n pertencem aos reais. Determine a terceira raiz da equação e os valores de m e n. 7) Determine as raízes da equação x³ - 3x – 2 = 0 sabendo que uma delas é dupla. 8) As raízes da equação polinomial x³ - 15x² + 71x – 105 = 0 estão em PA. Calcule essas raízes. 9) Resolva a equação algébrica x³ - 3x² - 6x + 8 = 0 sabendo que a soma de duas de suas raízes é igual a 5. 10) Qual é o valor de k na equação algébrica x³ - 3x² - 6x + k = 0 para que as raízes da equação formem uma PA? 11) (FAAP–SP) Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14. 12) Calcule os valores de m, n e l para os quais o polinômio p(x) = (2m – 1)x³ – (5n – 2)x² + (3 – 2l) é nulo. 13) (FEI – SP) Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2 14) Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4?

15) (FEI–SP) Determine A, B e C :

16) (PUC-SP) Os valores de A e B são, respectivamente:

x1B

xA

xxx1

2 −+≡

−+

a) 2 e 1 b) 3 e 2 c) 1 e 2 d) 2 e 3 e) 1 e 3

17) (UEL-PR) Sendo f, g e h polinômios de grau 4, 6 e 3, respectivamente, o grau de (f + g) . h será: a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30 18) Efetue as seguintes adições de polinômios:

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a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) 19) Efetue as seguintes subtrações: a) (5x²-4x+7) - (3x²+7x-1) b) (6x²-6x+9) - (3x²+8x-2) c) (7x-4y+2) - (2x-2y+5) d) (4x-y-1) - (9x+y+3) e) (-2a²-3ª+6) - (-4a²-5ª+6) 20) Calcule os produtos: a) (3x+2).(2x+1) b) (x-4y).(x-y) c) (5x-2).(2x-1) d) (3x²-4x-3).(x+1) e) (x²-x-1).(x-3) f) (x-1).(x-2).(x-3) g) (x+2).(x-1).(x+3) Gabarito:

1 k = 5 ou k = - 5 2 k = - 4/3 3 m = - 5 e n = -2 / 5 4 p = 4 e q = 9 5 x1 + x2 + x3 = -2/3

x1x2 + x1x3 + x2x3 = -1/3 x1x2x3 = 1

6 x3 = -1/2 m = -13 n = -6

7 -1 e 2 8 3, 5 e 7 9 {1, -2, 4} 10 8 11 a = 1

b = 3 c = 2

12 l = 3/2 n = 2/5 m = ½

13 a = 1, b = – 1 e c = 0 14 k = 3 15 A = 1/3, B = –1/3 e C = –2/3 16 A = 1 e B = 2 17 A 18 a) 5x² -2x + 1

b) 3x² + 8x - 10 c) 7x -4y +2 d) 7x²+ 1

19 a) 2x² - 11x + 8 b) 3x² - 14x + 11 c) 5x - 2y – 3 d) -5x – 2y – 4 e) -2a² +2a)

20 a) 6x² +7x + 2 b) x² -5xy + 4y² c) 10x² -9x + 2 d) 3x³ - 1x² - 7x -3

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e) x³ - 4x² + 2x + 3 f) x³ - 6x² - 3x - 9 g) x³ + 4x² + 3x + 1

Pintou no Enem 1) João gosta de brincar com números e fazer operações com eles. Em determinado momento, ele pensou em três números naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte: • a soma desses números é 7; • o produto deles é 8; • a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses números tomados dois a dois é 14. Assim, os três números pensados por João são raízes da equação a) x³ - 7x² +14x – 8 = 0 b) x³ - 7x² – 14x + 8 = 0 c) x³ - 7x² – 14x – 8 = 0 d) x³ - 7x² – 14x - 8 = 0 e) Nenhuma das alternativas anteriores 2) De cada vértice de um cubo de mármore de x cm de aresta, sendo x maior que 2, retirou-se um cubinho de 1cm de aresta, obtendo a figura abaixo. Qual das alternativas a seguir apresenta o volume remanescente do bloco, em cm³, após a retirada dos pequenos cubos? a) (2 + x)( 4 – 2x + x²) b) (2 – x)( 4 + 2x + x²) c) (x – 2)( 4 + 2x + x²) d) (x – 2)( 4 – 2x + x²) e) (x + 2)( 4 – 2x + x²) 3) O perímetro e a área da figura abaixo são expressos, respectivamente por:

28

Gabarito: 1) a 2) c 3) d Capítulo 3 – Análise Combinatória

Sessão Leitura I. Princípio Fundamental da Contagem Contar não é uma tarefa tão fácil como parece. Contar unidades uma a uma não é um processo viável em

muitas situações, como, por exemplo, determinar o número de pessoas presentes em grandes eventos, o número de grãos de areia de uma praia e o número de moléculas de determinada substância. Por isso, foram desenvolvidos métodos de cálculo para serem aplicados em situações semelhantes às exemplificadas anteriormente. O princípio fundamental da contagem é um desses métodos.

Observe a seguinte situação: Júlia não gosta de repetir exatamente a mesma roupa para ir nas aulas de seu curso pré-vestibular, mas

não se importa em usar as mesmas peças em diferentes combinações. Sabendo que ela possui 2 sapatos, 2 calças e 4 blusas, quantos dias Júlia poderá ir nas aulas sem repetir a mesma combinação de peças, se ela não comprar roupas novas neste período?

• Primeiro, vamos listar todas as possibilidades através da chamada matriz de possibilidades:

chamaremos os dois sapatos de S1 e S2, as duas calças de C1 e C2 e as quatro blusas de B1, B2, B3 e B4. Assim, temos:

(S1, C1, B1); (S1, C1, B2); (S1, C1, B3); (S1, C1, B4) (S1, C2, B1); (S1, C2, B2); (S1, C2, B3); (S1, C2, B4) (S2, C1, B1); (S2, C1, B2); (S2, C1, B3); (S2, C1, B4) (S2, C2, B1); (S2, C2, B2); (S2, C2, B3); (S2, C2, B4)

Total = 16 possibilidades = 16 dias com roupas diferentes

• Como percebemos, usando a matriz de possibilidades, se o número de cada peça de vestuário

fosse maior, demoraria e daria muito trabalho para descobrir o quantas diferentes possibilidades Júlia teria para se vestir. O princípio fundamental da contagem nos ajuda a chegar ao resultado com uma operação matemática simples e rápida, mesmo para eventos com grande quantidade de possibilidades.

Princípio Fundamental da Contagem Se os experimentos E1, E2, E3, …, Ek, apresentam n1, n2, n3, …, nk resultados distintos, então o experimento composto por E1, E2, E3, …, Ek, apresenta um total de resultados distintos, dado por:

n1·n2·n3·...·nk • No exemplo da vestimenta de Júlia, teríamos: 2·2·4 = 16 possibilidades distintas.

Exemplos:

1) Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8, e 9?

5·5·5 = 125

2) Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8, e 9?

5·4·3 = 60

3) Qual é a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 3.000 que podemos representar utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 8, de modo que não figurem algarismos repetidos?

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(4·5·4) + (2·5·4·3) = 80 + 120 = 200 números

II. Fatorial

Durante o estudo de análise combinatória, nos deparamos com multiplicações de números naturais

consecutivos, como, por exemplo, 11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1. Esta é uma multiplicação possível de ser feita mesmo sem o auxilio de calculadoras, porém demanda bastante tempo.

Para facilitar operações desse tipo, podemos lançar mão da notação n! (lê-se: “fatorial de n”) para indicar o produto dos números naturais consecutivos n, (n-1), (n-2),...,1.

Exemplos: a) 5! = 5·4·3·2·1 = 120 b) 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 c) 10! = 10 . 9 . 8 . 7! = 10 . 9 . 8 = 720 7! 7! Propriedade fundamental dos fatoriais: n! = n·(n-1) Exemplo: 9! = 9·8·7·6! Observações: 1! = 1 e 0! = 1

III. Tipos de Agrupamentos • Arranjos: são agrupamentos em que alterações na ordem dos elementos fornecem um resultado

diferente, ou seja, a ordem dos elementos tem importância. Por exemplo, com as letras da palavra LATA, podemos formar, também, a palavra TALA, para isso basta

alterar a ordem dos elementos. • Combinações: são agrupamentos em que alterações na ordem dos elementos não mudam o

resultado, ou seja, a ordem dos elementos não tem importância. Por exemplo, se um treinador de um time de futebol tem 22 jogadores e deseja dividi-los em dois times para um treino, ele pode fazer duas combinações, na qual cada time teria 11 jogares. Se trataria de uma combinação porque a ordem da escolha dos jogadores não faz diferença dentro de seu time.

• Além da divisão dos agrupamentos em arranjos e combinações, podemos ainda classificá-los como

simples ou compostos. Os agrupamentos simples são aqueles que não possuem nenhum elemento repetido e os compostos apresentam pelo menos um elemento repetido.

Diferenciando arranjo e combinação

Quando nos deparamos com um problema de análise combinatória, é muito comum ficarmos na dúvida se é um caso de arranjo ou combinação.

Para identificar em qual das duas situações o problema se enquadra, devemos construir um dos agrupamentos sugeridos pelo problema e, em seguida, mudamos a ordem de seus elementos. Se

obtivermos um agrupamento diferente do original, será um arranjo, mas se obtivermos um agrupamento igual ao original, será uma combinação.

Arranjo: a ordem dos elementos faz diferença (mudando a ordem formamos resultados diferentes). Exemplo: sorteio de um carro e de um celular, o 1º sorteado ganha o carro e o 2º, o celular. Neste caso, mudar a ordem do sorteio altera o resultado. Se antes João ganhava o carro e André o celular, agora André ganha o carro e João, o celular (mudando a ordem formamos resultados diferentes). Combinação: a ordem não faz diferença (mudando a ordem formamos resultados iguais). Exemplo: misturando mamão e laranja para fazer um suco, podemos colocar primeiro o mamão e depois a laranja ou primeiro a laranja e depois o mamão, no final teremos o mesmo suco nos dois casos (mudando

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a ordem formamos resultados iguais).

# FICA A DICA 1) Arranjo Simples:

Usamos a notação “An,p”, lê-se arranjo simples de n elementos tomados p a p, quando temos um arranjo

de n possibilidades para cada elemento p do arranjo, sendo que p ≤ n.

1º elemento 2º elemento 3º elemento ... pº elemento n n-1 n-2 n– (p – 1)

An,p = n·(n – 1)·(n – 2)·(n – 3)·...·(n – p + 1)

Exemplo: Quantas sequências de três letras distintas podem ser formadas usando as letras a, b, c, d, e, f, g e h? • Temos 8 possibilidades, a, b, c, d, e, f, g e h, então n = 8. • Para sequência de três letras, temos 3 elementos no arranjo, então p = 3. • Cálculo: A8,3 = 8·7·6 = 336

2) Permutação Simples: Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a

permutação à noção de misturar. Permutação simples de um conjunto de n elementos (Pn) é qualquer sequência de elementos distintos formada por todos os elementos disponíveis. Seu cálculo é dado por:

Pn = n!

Não decore a fórmula. Veja como é simples:

Sejam n elementos distintos e Pn o número de permutações possíveis desses n elementos. Vamos contar o número de sequências formadas por n elementos:

• Para escolher o primeiro elemento da sequência temos n possibilidades. • Para escolher o segundo, temos n – 1 possibilidades. • Definidos os dois primeiros elementos, podemos escolher o terceiro de n – 2 maneiras. • Assim segue sucessivamente até completar todos os elementos da sequência. • Escolhidos os n – 1 primeiros elementos, aquele que ocupará a última posição fica determinado,

pelo PFC, por:

Pn = n.(n – 1).(n – 2). (...). 1 , ou seja, Pn = n!

# FICA A DICA Exemplo:

Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ANEL?

• Há quatro possibilidades para a primeira posição, três para a segunda, duas para a terceira e uma

para a quarta posição.

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• Pelo princípio fundamental da contagem, temos 4·3·2·1 = 4! = 24 • Podemos formar 24 anagramas com a palavra ANEL

3) Permutação com elementos repetidos:

Quantos anagramas podemos formar com a palavra INFINITO? Se as oito letras que compõem essa palavra fossem distintas entre si, bastaria fazer 8! que teríamos a

resposta. Porém, ao permutar letras iguais, a palavra não se altera; por isso, concluímos que o número de anagramas é menor que 8!. Para fazer o cálculo correto do número de anagramas, devemos desconsiderar as palavras repetidas que se formarão devido à presença de letras repetidas. Para tanto, usamos a expressão:

Exemplo: I N F I N I T O • Temos oito letras no total; • A letra i aparece três vezes e a letra N aparece duas vezes; • A repetição das letras i e N não produzirão novos anagramas, então devemos excluí-las; • Para excluir os anagramas repetidos, devemos dividir n! pelo produto do fatorial do número de

repetições das letras que aparecem mais de uma vez, ou seja:

4) Combinação Simples: Nos problemas de contagem, o conceito de combinação está associado à noção de escolher subconjuntos. Dado o conjunto A = {a,b,c,d}, vamos formar todos os subconjuntos de A com três elementos:

{a,b,c} {a,b,d} {a,c,b} {b,c,d}

Observe, baseado na definição de conjuntos, que: • {a,b,c} ≠ {a,b,d}, os conjuntos se diferenciam pela natureza dos elementos; • {a,c,b} = {a,b,c}, já que apenas a ordem dos elementos mudou e isso não altera o conjunto; • Obs.: se fossem arranjos, teríamos quatro agrupamentos diferentes, pois a mudança na ordem dos

elementos formaria arranjos diferentes. • Isto posto, percebemos que para determinar o número de combinações possíveis, devemos eliminar

os agrupamentos que não são considerados conjuntos, já que seus elementos diferem apenas pela ordem. Se não for feita a exclusão desses agrupamentos, eles serão contados duas ou mais vezes, gerando um número falso de combinações possíveis para aquele conjunto. Cada combinação de n elementos tomados p a p correspondem a p! arranjos, que são obtidos permutando os elementos da combinação, ou seja:

O número de combinações possíveis para um conjunto de n elementos tomados p a p é dado por:

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Exemplo: De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo à sua disposição 12 atletas que jogam em qualquer posição e sabendo que um time de basquete tem 5 jogadores?

IV. Binômio de Newton

Para desenvolver certos problemas de matemática, necessitamos de potências do tipo ( x + y)³, que para

serem resolvidas sem o auxílio da análise combinatória seriam calculadas da seguinte maneira:

(x+y)³ = (x+y)(x+y)(x+y) = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ • Usando conceitos de análise combinatória, podemos deduzir uma expressão binomial,

relativamente mais simples, para desenvolver essas potências. • A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x + y)ᶰ e ela é

encontrada fazendo o produto (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) … (x + y), n vezes. • O termo genérico do produto é obtido tomando em p dos fatores (p = 1, 2, 3,..., n) a segunda

parcela e tomando nos restantes n – p fatores a primeira parcela. Com isso, pode ser feito: Cn,p =

Exemplo: Considere a potência

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Fixação

Palíndromos

Alguns exercícios de análise combinatória envolvem palíndromos, que são palavras, frases ou qualquer outra sequência de unidades que tenha a propriedade de poder ser lida tanto da direita para a esquerda como da esquerda para a direita. Num palíndromo, normalmente são desconsiderados os sinais ortográficos, assim como o espaços entre palavras. As frases formando um palíndromo também são chamadas de anacíclicas, do grego anakúklein, significando que volta em sentido inverso, que refaz inversamente o ciclo.

A princípio uma lista de palíndromos pode parecer cultura inútil, mas a verdade é que os palíndromos são expressões muito utilizadas na literatura e na publicidade porque são mais fáceis de memorizar, mesmo que o leitor/consumidor não perceba que é um palíndromo É impressionante a quantidade de palíndromos que podem ser formados usando somente o nosso idioma, existe até um programa de computador para ajudar a criá-los. Veja alguns exemplos:

• Ame o poema • Anotaram a data da maratona • O romano acata amores a damas amadas e Roma ataca o namoro • Socorram-me subi num ônibus em Marrocos

Placas de Veículos

Outro assunto recorrente nas aulas e nas provas de análise combinatória são as placas de carros. A placa

do carro nasce e morre com ele, ela é a sua identidade. Quando o motorista muda ou o carro é vendido para alguém de outro estado, a combinação de letras continua com o veículo, o que muda é a tarjeta com o nome do estado. Sabendo de onde o carro vem, será mais fácil verificar sua procedência e descobrir possíveis impedimentos que o automóvel possa ter. Outra curiosidade e, relação às placas é o fato delas não serem todas iguais. Veja abaixo algumas diferenças:

- ALUGUEL: táxis, ônibus e caminhões recebem placas vermelhas, com alfanuméricos em branco. - EXPERIÊNCIA: carros que estão em oficinas e que precisam ser testados na rua levam a placa verde. - PARTICULAR: carros de passeio recém placas com fundo cinza e os caracteres alfanuméricos pretos.

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- PLACAS ESPECIAIS: usadas pelos consulados, nas cores azul e branca com as letras CC. - BRONZE: carros oficiais de prefeitos, presidentes de câmaras, presidente da assembléia, ... o fundo é preto e os caracteres alfanuméricos dourados. A placa contém o brasão da república. - OFICIAL: carros de propriedade do estado, união ou município, o fundo é branco e alfanuméricos pretos.

- APRENDIZAGEM; carros de auto-escola, o fundo é branco e letras e números vermelhos. - COLEÇÃO: carros com mais de 30 anos de fabricação e um percentual de originalidade, o fundo é preto e as letras utilizam a cor cinza. - FABRICANTE: carros das montadoras que ainda estão em fase de testes, rodam com a placa azul.

http://professorresplandes.blogspot.com.br/2009/02/curiosidade-sobre-placas-de-carros.html

Questões de Raciocínio Lógico

1. (FCC - TRT - 2004) Para responder a próxima questão considere os dados abaixo. Em certo teatro hà uma fila com seis poltronas que estão uma ao lado da outra e são numeradas de 1 a 6, da esquerda para a direita. Cinco pessoas - AIan, Brito, Camila, Décio e Efraim - devem ocupar cinco dessas poltronas, de modo que: - Camila não ocupe as poltronas assinaladas com números impares; - Efraim seja a terceira pessoa sentada, contando-se da esquerda para a direita; - Alan acomode-se na poltrona imediatamente à esquerda de Brito. Para que essas condições sejam satisfeitas, a poltrona que NUNCA poderá ficar desocupada é a de número

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2.( FCC – TRT – 2004) Observe a figura abaixo.

- Responda qual das alternativas contém uma figura igual a ela:

3. (FCC - TRT - 2004) Um funcionário executa urna tarefa a cada 4 dias de trabalho. A primeira vez que fez essa tarefa foi em uma

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quinta-feira, a segunda vez foi em uma quarta-feira, a terceira em uma terça-feira, a quarta em um sábado, e assim por diante. Sabendo-se que não houve feriados no período indicado e que o funcionário folga sempre no(s} mesmo(s) dia(s) da semana, é correto afirmar que sua(s) folga(s) ocorre(m) apenas:

a) segunda-feira. b) sexta-feira. c) domingo. d) domingo e sexta-feira. e) domingo e segunda-feira

Gabarito: 1) a 2) d 3) e Exercícios Comentados 1) Uma prova é composta de 8 questões de V ou F, de quantas maneiras distintas ela pode ser respondida?

• Como cada questão pode ser respondida de duas maneiras distintas, temos, pelo princípio fundamental da contagem:

2.2.2.2.2.2.2.2 = 256

2) A seleção brasileira de futebol irá disputar um torneiro internacional com outras cinco seleções, no sistema "todos jogam contra todos uma única vez". Quais as possíveis sequências de resultados - vitória (V), empate (E) e derrota (D) - da equipe brasileira nesse torneio?

• Como cada jogo pode ter 3 resultados distintos, vitória (V), empate (E) e derrota (D), e como são 5 jogos, pelo PFC temos:

3.3.3.3.3 = 243

3) Giba e Gina tem três filhos, Carla, Luiz e Daniel. A família quer tirar uma foto de recordação de uma viagem na qual todos apareçam lado a lado.

a) De quantas formas distintas os membros da família podem se distribuir? b) E caso o casal de pais deseja tirar a foto juntos, quantas formas distintas poderia tirar esta fotografia?

a) Cada forma de dispor as cinco pessoas lado a lado corresponde a uma permutação entre elas, então, temos:

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

b) Para o casal aparecer junto, um ao lado do outro, primeiro podemos considera-los como sendo uma única pessoa, então teríamos uma pessoa a menos, ou seja P4:

P4 = 4.3.2.1 = 24

Só que além dessas permutações, Giba e Gina também podem trocar de posição um com o outro, ou seja, trata-se uma permutação P2 = 2.1 = 2. Então, a resposta da letra b fica sendo: P4 . P2 = 24 . 2 = 48

4) A senha de um cartão magnético bancário, usado para transações financeiras é uma sequência de duas

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letras distintas (entre as 26 do alfabeto),seguida por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas podem ser criadas?

• A primeira observação importante que deve ser feita é que a mudança da ordem dos elementos forma senhas diferentes, então se trata de um arranjo.

• Fazendo primeiro a sequência de letras: Temos 26 letras agrupadas de duas em duas, ou seja, A26,2 (arranjo de 26 letras, tomados 2 a 2):

A26,2 = n! = 26! = 26 . 25 . 24! = 26 . 25 = 650

(n – p)! 24! 24! • Agora, a sequência de algarismos:

De 0 a 9 temos 10 algarismos e queremos uma sequência com 3 deles, ou seja, A10,3 (arranjo de 10 números, tomados três a três):

A10,3 = n! = 10! = 10. 9 . 8 . 7! = 10 . 9 . 8 = 720 (n – p)! 7! 7!

• Assim, pelo PFC, o total de senhas é dado por: 720 . 650 = 468000 senhas possíveis. 5) Em uma academia trabalham sete professores de musculação e dez de ginástica aeróbica. Quantas equipes de dois professores de musculação e dois de ginástica aeróbica podem ser formados?

• Primeiro devemos notar que a ordem dos professores selecionados não importa, pois a equipe final será a mesma, então se trata de uma combinação.

• Agora vamos escolher os professores de musculação:

C7,2 = n! = 7! = 7 . 6 . 5! = 7 . 6 = 21 possibilidades p!(n – p)! 2!. 5! 2 . 5! 2

• Para cada uma dessas 21 possibilidades, o número de maneiras para escolher os professores de

aeróbica é: C10,2 = n! = 10! = 10 . 9 . 8! = 10 . 9 = 45 possibilidades

p!(n – p)! 2!. 8! 2 . 8! 2

• Assim, pelo PFC, o resultado procurado é 21 . 45 = 945 resultados possíveis. 6) Sobre uma circunferência marcam-se 8 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices em três desses pontos?

• Como os triângulos possíveis são todos congruentes, então a ordem dos vértices não faz diferença,

então se trata de uma combinação. • Sabendo disto, basta aplicar:

C8,3 = n! = 8! = 8 . 7 . 6 . 5! = 8 . 7 . 6 = 56 triângulos p!(n – p)! 3!. 5! 3 . 2 . 5! 6 7) “A Bacia do Araguaia compreende municípios dos estados do Pará, Tocantins, Goiás e Mato Grosso, abrangendo (...) 168 municípios. Desses, 24 estão localizados na área de estudo.” Dos 24 municípios situados na área de estudo da Bacia do Araguaia, 2 localizam-se no Mato Grosso, 8, no Tocantins e os restantes, no Pará. Uma equipe técnica deverá escolher três munícipios no Pará para visitar no próximo mês. De quantos modos distintos essa escolha poderá ser feita, sem que seja considerada a ordem na qual os municípios serão visitados?

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• São 24 municípios no total. Como 2 localizam-se no Mato Grosso e 8 o Tocantins, então há 24 – 8 – 2 = 14 municípios no Pará.

• Queremos escolher 3 desses 14 municípios sem levar em consideração sua ordem, então devemos calcular a combinação de 14 municípios tomados 3 a 3: C14, 3 = n! = 14! = 14 . 13 . 12 . 11! = 14 . 13 . 12 = 364

p!(n – p)! 3!. 11! 3 . 2 . 1 . 11! 6

• Resposta: 364 possibilidades

8) Com 6 tipos de doce e 5 tipos de fruta, quantas sobremesas podem ser formadas, tendo, cada uma, dois tipos de doce e dois tipos de frutas?

• Como a ordem dos doces e frutas não fazem diferença, temos uma multiplicação de duas

combinações: C6,2 . C5,2 = 6! . 5! = 6 . 5 . 4! . 5 . 4 . 3! = 15 . 10 = 150 sobremesas. 2! . 4! 2!. 3! 2 . 4! 2 . 3!

Exercícios 1) Quantos números de quatro algarismos distintos maiores que 2000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6 ?

2) As placas dos automóveis são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas podemos criar com as letras A e B e os algarismos pares, podendo repetir a letra, mas não podendo repetir o algarismo?

3) A diretoria de um clube é composta por 10 membros, que podem ocupar a função de presidente, secretário ou tesoureiro. De quantas maneiras podemos formar chapas que contenham presidente, secretário e tesoureiro?

4) Sobre uma reta, marcam-se 4 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos podemos formar unindo 3 quaisquer desses 9 pontos?

5) Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo é um número natural de cinco algarismos distintos e não-nulos. Com o objetivo de acessar esse arquivo, ele programou o computador para testar, como senha, todos os números naturais nessas condições. O computador vai testar esses números um a um, demorando 5 segundos em cada tentativa. Qual será tempo máximo para que o arquivo seja aberto?

6) Um jornal terá 12 páginas. O diagramador deve distribuir 6 fotos diferentes em 6 páginas do jornal, de modo que não apareçam duas dessas fotos em páginas consecutivas. De quantas maneiras diferentes o diagramador pode distribuir essas fotos?

7) (UFPE) Uma prova de Matemática é constituída de 16 questões de múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas, das quais deve ser assinalada como resposta apenas uma. Respondendo ao acaso todas as questões, o número de maneiras diferentes que se pode preencher o cartão de respostas é:

a) 80 b) 16⁵ c) 5³² d) 16 ¹¹ e) 5¹ ⁶

8) Quantos números naturais pares ou múltiplos de 5 , com 4 algarismos distintos, podem ser formados com os algarismos 0, 2, 3, 5 e 9?

9) Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos. Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às 11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados em seu programa.

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b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especificados em seu programa. c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa. d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min. e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso.

10) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer? 11) Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces, dos 8 tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos fabricados. Quantas são as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente? 12) Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em cada barraca dormirão duas pessoas. Quantas são as opções de distribuição das pessoas nas barracas? 13) Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas são as disposições possíveis desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado na sapateira?

14) Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam um campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade da federação de cada um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato?

15) Um certo número de pessoas pode ser agrupado de duas em duas pessoas, não importando a ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes possibilidades de agrupamento. Quantas pessoas fazem parte deste grupo?

16) Se enfileirarmos 3 dados iguais, obteremos um agrupamento dentre quantos possíveis?

17) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?

18) Perpendiculares a duas retas paralelas não sobrepostas, foram traçadas outras três retas paralelas não sobrepostas. Formaram-se então seis pontos distintos nestes cruzamentos de retas. Quantos triângulos distintos podemos formar interligando três pontos quaisquer?

19) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CALOUROS, tal que sempre haja a presença da sequência OURO, nesta ordem, e as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem? 20) Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno? 21) Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8. O número 2 deve ser fixado na 1ª posição e o 8 na última. 22) Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família. Gabarito: 1 300 números 2 960 placas 3 720 chapas 4 70 triângulos 5 21 horas

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6 1440 maneiras diferentes 7 E 8 60 números 9 B 10 185 pratos 11 1176 possibilidades 12 2520 opções 13 8640 14 12 15 5 16 216 17 239500800 18 18 triângulos 19 72 anagramas 20 90 jogos 21 20.160 números 22 665.280

Pintou no Enem

1) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a: a) 135 b) 126 c) 118 d) 114 e) 110

2) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos. 3) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto é: a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.

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c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial. 4) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. b) 4 doses. c) 6 doses. d) 8 doses. e) 10 doses. 5) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses. Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais? a) 1667 b) 2036 c) 3846 d) 4300 e) 5882 6) Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e se calcificando desde a infância até a idade adulta. No fim da puberdade, os hormônios sexuais (testosterona e estrógeno) fazem com que essas extremidades ósseas (epífises) se fechem e o crescimento seja interrompido. Assim, quanto maior a área calcificada entre os ossos, mais a criança poderá crescer ainda. A expectativa é que durante os quatro ou cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centímetros. De acordo com essas informações, um garoto que inicia a puberdade com 1,45 m de altura poderá chegar ao final dessa fase com uma altura a) mínima de 1,458 m. b) mínima de 1,477 m. c) máxima de 1,480 m. d) máxima de 1,720 m. e) máxima de 1,750 m. 7) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na

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delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente, a) 0 e 9. b) 1 e 4. c) 1 e 7. d) 9 e 1. e) 0 e 1

Gabarito: 1) 118 2) a 3) e 4) b 5) b 6) e 7) a Capítulo 4 – Probabilidade

Sessão Leitura

I. Conceito e Definição de Probabilidade

Conceito: Probabilidade é um número que mede a possibilidade de ocorrer ou não em evento. Definição: Se E é um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio, e A é um evento de E, então a probabilidade de ocorrer algum elemento de A é definida por:

P(A) = n(A) n(E)

1) Experimento aleatório: é todo experimento cujo resultado depende exclusivamente do acaso. Ex.: lançamento de moedas e dados, sorteio de cupons, etc. 2) Espaço amostral de um experimento aleatório: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Ex.: o espaço amostral do lançamento de uma moeda é E= {cara, coroa}. 3) Evento de um espaço amostral: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ex.: No lançamento de um dado, temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, o subconjunto B = {1, 2} é um evento de E. - Quando o evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado de EVENTO CERTO. - Quando um evento é o conjunto vazio, ele é chamado EVENTO IMPOSSÍVEL. 4) Evento amostral equiprovável: é o espaço amostral cujas frequências de seus elementos tendem a um mesmo valor quando o número de experimentos aumenta indefinidamente. - Propriedades das Probabilidades

• P.1: a probabilidade de ocorrência de um evento impossível é dada por P(Ø) = 0 • P.2: a probabilidade de ocorrer um evento certo é dada por P(E) = 1 • P.3: a probabilidade de ocorrência de um dos eventos de A deve ser dada por 0 ≤ P(A) ≤ 1 • P.4: a probabilidade de ocorrência do evento A somada a probabilidade de ocorrência dos

elementos de E que não pertencem a A, é igual a 1. P(A) + P(Ᾱ) = 1 Exemplos: 1) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter na face voltada para cima, um número de pontos menor que três? E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2} n(A) = 2

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P(A) = 2 / 6 = 1 / 3 = 33,33...% 2) Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se uma bola dessa urna, a probabilidade de se obter uma bola vermelha é de 0,64. Qual é a probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha? P(A) + P(Ᾱ) = 1 0,64 + P(Ᾱ) = 1 P(Ᾱ) = 1 – 0,64 = 0,36 II. Adição de Probabilidades A probabilidade de ocorrência de um elemento A ou de um elemento B é dada por:

P(A U B) = n(A U B) n(E)

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

• Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles nos quais P(A∩B) = 0; então P(A U B) = P(A) + P(B).

Exemplo: Um número será sorteado dentre os números naturais de 1 a 1.000. Qual é a probabilidade de que saia um número par ou um número de dois algarismos? E = {1, 2, 3, … ,1000} e n(E) = 1000 A = {2, 4, 6, …, 1000} e n(A) = 500 B = {10, 11, 12, …, 99} e n(B) = 90 P(A U B) = {10, 12, 14, … ,98} = n(A U B) = 45 P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 500 + 90 – 45 = 545 = 54,5% 1000 1000 III. Probabilidade Condicional A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que ocorreu o evento A, é indicada por P (B/A) e seu cálculo se dá pela expressão:

• Dois eventos são independentes se, e somente se, P(A/B) = P(A) ou P(A/B) = P(B). Exemplo: Uma moeda é lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de obtermos cara no segundo lançamento sabendo que obtivemos cara no primeiro lançamento? Cara no 1º evento: B = {(C,C),(C,K)} Cara no 2º evento: A = {(C,C),(K,C)} P(A/B) = 1 / 2 Como P(A/B) = P(A) = 1 , dizemos que os eventos A e B são independentes. 2 IV. Multiplicação de Probabilidades Como visto, P(B/A) = n(A U B) , daí concluímos que: n(A)

• Se A e B forem eventos independentes, então: P(A U B) = P(A) x P(B).

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• A probabilidade de retirar simultaneamente elementos de um dado conjunto A é igual á probabilidade de retirá-los sucessivamente e sem reposição. Neste caso, a ordem de retirada dos elementos de A deve ser levada em consideração.

Exemplo: Uma urna contém exatamente onze bolas, das quais 6 são azuis e 5 são vermelhas. Retirando-se simultaneamente 4 bolas, qual é a probabilidade de saírem 3 bolas azuis e uma vermelha?

P = P1 + P2 + P3 + P4 = 22/66 = 10/33; P = 0,3030 ou 30,30%

Fixação

Como probabilidades podem ser usadas em um campeonato de futebol? O campeonato brasileiro, com sua atual fórmula de dois turnos disputados por 20 equipes, torna-se um excelente problema para se discutir probabilidades. Vale lembrar que são dois turnos, cada um com 19 rodadas de 10 jogos. Assim, o campeonato completo tem 380 jogos. Se não nos preocuparmos com saldo de gols, mas apenas em separar os resultados em vitória, empate ou derrota, teremos 380 “sorteios” com três alternativas cada. Isso dá um total de 3380 "campeonatos" diferentes. A maioria das pessoas têm dificuldade em imaginar este número. Por exemplo, normalmente as pessoas consideram “muito grande” o número de grãos de areia em uma praia. O número de combinações de resultado possíveis no campeonato brasileiro é bem maior que isso. Para se ter ideia, o número de resultados possíveis em apenas uma rodada é 310 = 59.049, ou seja, se pedirmos para cada pessoa guardar uma combinação possível, precisaremos de toda o público de um clássico para dar conta de uma rodada. Nesse mesmo sistema (uma pessoa por combinação possível), usaremos toda a audiência de um final de Copa do Mundo (metade da população da Terra) para guardar todas as combinações possíveis de duas rodadas: 320combinações possíveis. Tentemos uma abordagem diferente. Por exemplo, cada átomo do seu corpo poderia guardar uma das combinações de resultados (não pergunte como). Seu corpo tem da ordem de 1026 átomos, que com um pouco mais de boa vontade pode ser o suficiente para guardar os resultados de cinco rodadas! E já que começamos a usar os átomos para guardar os resultados possíveis, que tal usarmos todos os átomos do sistema solar? Podemos estimar que estes seriam suficientes para 12 rodadas do campeonato. Só por curiosidade, o número 3380 de combinações possíveis de resultados é maior que 10180, ou seja, o número formado pelo algarismo 1 seguido por 180 zeros! Se por um lado essa quantidade de resultados torna impossível considerá-las individualmente, causa conforto saber que a relação entre probabilidades e “o mundo real” depende de um resultado matemático conhecido como Lei dos Grandes Números. A grosso modo, não adianta muito você saber que um dado de seis faces é honesto se ele for lançado uma única vez. Ou ainda, você não terá como saber se ele é ou não honesto apenas com esse lançamento. Já se esse dado for lançado um milhão de vezes, você sabe de antemão que, se ele for honesto, a chance é imensa que a quantidade de vezes que a face quatro vai aparecer estará entre 160 mil e 170 mil. Se, por outro lado, isso não acontecer, é muito grande a chance que o dado não seja honesto. Todos que gostam de futebol devem concordar que há uma diferença conceitual entre a loteria esportiva e outras loterias numéricas (ou jogos com dados). Nas loterias numéricas acreditamos que todos os números envolvidos no sorteio são equiprováveis (têm a mesma chance de ser sorteado). Já na loteria esportiva, os jogos comumente têm favoritos e “zebras”, ou seja, há uma distribuição desigual da

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probabilidade entre os possíveis resultados. É com este tipo de problema que nos deparamos ao tentar tratar o Campeonato Brasileiro de Futebol probabilisticamente. Nosso problema é ainda um pouco mais complicado do que o que já foi exposto. As probabilidades de cada resultado em cada jogo dependem de muitos fatores, impossíveis de se levar em conta nos mínimos detalhes. Como exemplos, temos o estádio onde é disputada a partida, a temperatura no horário do jogo, se chove ou não, os desfalques de cada equipe, os resultados recentes dos times, a situação de cada um no campeonato, o árbitro escalado para o confronto... Finalizando, temos um número muito grande de possibilidades, cada uma delas tem uma probabilidade de ocorrer. Para saber a chance de um time ser campeão, devemos somar as probabilidades de cada alternativa que dá o título a este time. Parece simples, mas levando em consideração o número de alternativas discutido acima, esta estratégia se torna inviável, exceto se fizermos muitas simplificações.

http://www.mat.ufmg.br/futebol/pergunta1.html Questões de raciocínio lógico 1) (FCC/Polícia Militar/BA) Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. Lacração - cal Amostra - soma Lavrar - ? Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: a) alar b) rala c) ralar d) larva e) arval 2) (FCC/BACEN/Analista) Em cada linha do quadro abaixo, as figuras foram desenhadas obedecendo a um mesmo padrão de construção.

Segundo esse padrão, a figura que deverá substituir corretamente o ponto de interrogação é:

3) As pedras do jogo “dominó”, mostradas abaixo, foram escolhidas e dispostas sucessivamente no sentido horário, obedecendo a determinado critério. Com base nesse critério, a pedra de dominó que completa corretamente a sucessão é:

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Gabarito: 1) e 2) b 3) a Exercícios Comentados 1) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? Resolução:

• Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2.

• A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8. • Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não

engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais.

• Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

• Se 0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. Então: • A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.

E o Binômio de Newton, como é que se usa? Veja o exemplo: Senhor Barriga está a procura de Senhor Madruga para cobrar o aluguel. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa?

• Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra. Como em cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:

• n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5. • k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1. • p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4. • q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6.

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Substituindo tais valores na fórmula temos:

O número binomial é assim resolvido:

Então temos:

• Assim, a probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592

# FICA A DICA

2) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face? Resolução:

• Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3: A = {(0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} • Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4: B = {(4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}

Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo .

• Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção, temos:

• Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:

Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que se repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).

• A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é 13/28. 3) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?

• Chamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que representa o curso de inglês.

• Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula:

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• Segundo o enunciado e , então:

Note que no caso da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade em função do número de elementos do espaço amostral, a calculamos em função do número de elementos do evento que já ocorreu.

• A probabilidade do aluno também estar cursando o curso de espanhol é 2/5.

Exercícios

1- Numa urna existem bolas numeradas de 1 a 17. Qualquer uma delas tem a mesma chance de ser retirada. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola cujo número seja: a) Par? b) Primo? c) Par ou primo? d) Par e primo? e) Nem par nem primo? f) Par mas não primo? g) Primo mas não par? 2- No lançamento de dois dados perfeitos, qual é a probabilidade de se obter soma 8 ou números iguais nas faces superiores? 3- Numa classe há 16 homens e 20 mulheres, dos quais metade dos homens e metade das mulheres têm cabelos castanhos. Ao escolher um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que seja homem ou tenha cabelos castanhos? 4- Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter “cara” ou um 6? 5- Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas e, ao mesmo tempo, uma moeda é lançada. Qual é a probabilidade de se obter: a) Carta vermelha e cara? b) Carta vermelha ou cara? c) Carta de figura (dama, valete, rei) e coroa? d) Carta de figura ou coroa? 6- Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de a carta retirada ser: a) Copas? b) Dama? c) Copas ou dama? d) Copas e dama (dama de copas)? e) Não copas? f) Não dama? g) Nem copas nem dama? 7) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja: a) Um número par?

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b) Um número primo? c) O número 3? d) Um número menor do que 3? 8) Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de, ao acaso, retirar: a) Uma bola vermelha? b) Uma bola branca? 9) Escreva em pedaços iguais de papel os números de 1 a 13. Dobre-os igualmente de modo que qualquer um deles tenha a mesma chance de ser retirado de uma caixa. Qual a probabilidade de que o número retirado seja: a) Par? b) Divisível por 3? c) Um número primo? d) Maior do que 8? e) Menor do que 10? f) Um número entre 5 e 10? g) Múltiplo de 4? 10) Qual a probabilidade de, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas, obter: a) Uma carta de copas? b) Um ás? c) Um ás de copas? d) Uma carta com naipe vermelho? e) Um “três” vermelho? 11) No lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de que: a) Em ambas ocorra cara? b) Em uma ocorra cara e na outra coroa? c) Não ocorra nenhuma cara? d) Ocorra exatamente uma coroa? 12) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos e distinguíveis, um branco e outro vermelho, qual é a probabilidade de que: a) A soma seja 7? b) A soma seja par? c) A soma seja um número primo? d) A soma seja maior do que 1 e menor do que 8? e) Ambos os números sejam pares? f) Ambos os números sejam iguais? g) O primeiro número seja múltiplo do segundo? 13) Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Faça um diagrama de arvore para mostrar todos os possíveis arranjos de meninos e meninas. Qual é a probabilidade de que: a) Duas crianças sejam meninos e a outra, menina? b) Todas as crianças sejam meninas? c) Pelo menos uma criança seja menino? d) Todas as crianças sejam do mesmo sexo? e) Nenhuma criança seja menina? 14) No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 6? 15) Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo. 16) Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número nas seguintes condições: a) par b) primo c) par ou primo

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d) par e primo 17) Um teste de múltipla escolha é composto de 12 questões, com 5 alternativas de resposta, sendo que somente uma, é correta. Calcule a probabilidade de uma pessoa, marcando aleatoriamente as 12 questões, acertar pelo menos metade das respostas. 18) Uma moeda é lançada 10 vezes. Determine a probabilidade de sair “coroa” 7 vezes. 19) Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condições, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado em pelo menos uma dessas Universidades é de: 20) No jogo de Lipa sorteia-se um número entre 1 e 600 (cada número possui a mesma probabilidade). A regra do jogo é: se o número sorteado for múltiplo de 6 então o jogador ganha uma bola branca e se o número sorteado for múltiplo de 10 então o jogador ganha uma bola preta. Qual a probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma bola? 21) A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do sexo feminino é: 22) A probabilidade de um dos cem números 1, 2, 3, 4, ..., 100 ser múltiplo de 6 e de 10 ao mesmo tempo é: 23) Dois jovens partiram, do acampamento em que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste esquema:

Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é: 24) Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é: 25) O quadro funcional de uma empresa é composto de 35 pessoas efetivas e 15 pessoas prestadoras de serviços. Do pessoal efetivo 20 são homens e do pessoal prestador de serviço 5 são mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa empresa, a probabilidade dessa pessoa ser homem ou prestar serviço é: Gabarito: 1) a) 8/17 b) 7/17 c) 14/17 d) 1/17 e) 3/17 f) 7/17 g) 6/17

10) a) 25% b) 7,7% c) 1,9% d) 50% e) 3,8%

2) 27,78% 11) a) 25% c) 25%

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b) 50% d) 50% 3) 72,2% 12) a) 16,7% c) 41,7% e) 25% g) 38,9%

b) 50% d) 58,3% f) 16,7% 4) 58,3% 14) 5/36 ou 13,88% 5) a) 25% b) 75% c) 11,5% d) 61,5% 15) 25% de chance 6) a) 25% b) 7,7% c) 30,8% d) 1/52 e) 75% f) 92,3% g) 69,2%

16) a) 46,6% b) 40% c) 80% d) 6,6%

7) a) 50% b) 50% c) 16,7% d) 33,3% 17) 1,55% de chance 8) a) 40% b) 60% 18) 11,7% 9) a) 46,2% b) 30,8% c) 46,2% d) 38,5% e) 69,2% f) 30,8% g) 23,1%

19) 58% 20) 23/30 21) 37,5% 22) 3% 23) ¾ 24) 27/64 25) 7/10

Pintou no Enem 1) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é

a) 1/5 b) 1/4

c) 2/5

d) 3/5 e) 3/4

Texto para as questões 2 e 3 A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização

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das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

2) Suponha que o modelo exponencial y = 363 eº˒º³˟, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e º˒³ = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões 3) Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de: a) 1/2 b) 7/20 c) 8/25 d) 1/5 e) 3/25 4) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 · (0,2%)⁴ b) 4 · (0,2%)² c) 6 · (0,2%)² · (99,8%)² d) 4 · (0,2%) e) 6 · (0,2%) · (99,8%) 5) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega-sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no

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segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente: a) 1 1/2 vez menor. b) 2 1/2 vezes menor. c) 4 vezes menor. d) 9 vezes menor. e) 14 vezes menor. 6) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? a) Azul. b) Amarela. c) Branca. d) Verde. e) Vermelha 7) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados ”Contos de Halloween“. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas relações em: ”Divertido“, ”Assustador“ ou ”Chato“. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.

O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem ”Contos de Halloween“. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa

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escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto ”Contos de Halloween“ é ”Chato“ é mais aproximada por: A) 0,09. B) 0,12. C) 0,14. D) 0,15. E) 0,18. 8) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é: A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas. B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. 9) Uma clinica especializada trata apenas de três tipos de doentes: dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que tem calculo renal e dos hipertensos. Temos que 50% dos pacientes que procuram a clinica são cardíacos, 40% são portadores de calculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacos são curados em 80% das vezes, os problemas de calculo renal em 90% das vezes e os hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curado da clinica. Qual a probabilidade de ele sofresse de calculo renal? a) 43,1% b) 42,1% c) 45,1% d) 44,1% e) 46,1% 10) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus é igual a: a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,15 e) 0,65 11) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: a) 1/7 b) 1/3 c) 2/3 d) 5/7 e) 4/7 12) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a:

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a) 0,624 b) 0,064 c) 0,216 d) 0,568 e) 0,784

Gabarito:

1) E 7) D 2) E 8) D 3) C 9) B 4) C 10) E 5) C 11) B 6) E 12) E

Referências BARRETO FILHO, Benigno. Matemática aula por aula. Volume único. São Paulo: FTD, 2000. DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Ática, 2005. PAIVA, Manoel. Matemática. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2005. ENEM. Disponível em: <http://portal.inep.gov.br/web/enem/enem>. Acesso em: 03 abr. 2015. Matemática. Disponível em: <www.matematiques.com.br>. Acesso em: 17 de abr. 2015.