[Apostila] Concreto Armado_projeto Estrutural de Edificios - Usp

8/13/2019 [Apostila] Concreto Armado_projeto Estrutural de Edificios - Usp

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-armadoprojeto-estrutural-de-edificios-usp 1/184

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

CONCRETO ARMADO:

PROJETO ESTRUTURAL DE EDIFíCIOS

JOSÉ SAMUEL GIONGO

São Carlos, Fevereiro de 2007





APRESENTAÇÃO

Este texto fornece algumas indicações a serem seguidas na elaboração de projetosde estruturas de edifícios usuais em concreto armado. O trabalho foi desenvolvidoprocurando atender as disciplinas relativas a Estruturas de Concreto, ministradas no Cursode Engenharia Civil da Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo.

O capítulo um analisa a concepção estrutural; no dois são estudadas as ações que

devem ser consideradas no projeto; o capítulo três discute a escolha da forma estruturalem função de projeto arquitetônico; no capítulo quatro são apresentados os tipos deanálise estrutural que devem ser realizadas; no capítulo cinco é apresentada, de modosistemático, os critérios para projeto, dimensionamento e detalhamento de lajes maciças e,finalmente, no capítulo seis é desenvolvido, de modo didático, um projeto de pavimento-tipo de edifício. O exemplo é simples e serve para um primeiro contato do leitor com oprojeto da estrutura, sendo analisadas apenas as lajes do pavimento-tipo.

Neste trabalho, textos elaborados por colegas e pesquisadores são aqui utilizados. Assim, são dignos de nota:

José Roberto Leme de Andrade - Estruturas correntes de concreto armado - Parte I,Notas de Aula editadas pela EESC – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas;

Márcio Roberto Silva Corrêa - Aperfeiçoamento de modelos usualmenteempregados no projeto de sistemas estruturais de edifícios, Tese de Doutorado, defendidana EESC - USP;

Libânio Miranda Pinheiro - Concreto armado: Tabelas e ábacos (EESC, 2003);Patrícia Menezes Rios - Lajes retangulares de edifícios: associação do cálculo

elástico com a teoria das charneiras plásticas, Dissertação de Mestrado, defendida naEESC - USP;

José Fernão Miranda de Almeida Prado - Estruturas de edifícios em concretoarmado submetidas a ações verticais e horizontais, Dissertação de Mestrado, defendida naEESC - USP;

Edgar Bacarji - Análise de estruturas de edifícios: projeto de pilares, Dissertação deMestrado, defendida na EESC - USP.

Para esta edição – Fevereiro de 2007, fez-se revisão da edição anterior – Agosto de2005.

A revisão do texto do capítulo 6 foi feita pelo Professor Doutor José Luiz PinheiroMelges, Professor na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira – UNESP, na época (1996)estagiário da disciplina SET 158 - Estruturas Correntes de Concreto Armado II, peloPrograma de Aperfeiçoamento de Ensino - PAE.

Para a versão, publicada em fevereiro de 2001, foi feita revisão e correção do texto.Essa revisão contou com a colaboração do Professor Doutor Romel Dias Vanderlei, daUniversidade Estadual de Maringá, na época estagiário da disciplina SET 404 - Estruturasde Concreto A, no primeiro semestre de 2001, pelo Programa de Aperfeiçoamento deEnsino - PAE.

O texto de Julho de 2005 contou com o trabalho do Professor Doutor RodrigoGustavo Delalibera, das Faculdades Logatti, na época aluno de doutorado noDepartamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos – USP,estagiário da disciplina SET 404 - Estruturas de Concreto A, no primeiro semestre de 2004,pelo Programa de Aperfeiçoamento de Ensino – PAE.

Esta edição contempla as indicações da NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas deconcreto, em vigor desde Março de 2003 e com edição revisada em Março de 2004.

Atualmente os projetos estão sendo feitos pelos escritórios com assistência deprogramas computacionais que, a partir do projeto arquitetônico, permitem o estudo daforma estrutural, determinação das ações a considerar, análise estrutural,dimensionamento, verificação dos estados limites de serviço e detalhamento.

Este texto tem portanto a finalidade de introduzir o estudante de engenharia civil àarte de projetar as estruturas de concreto armado.





José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Janeiro de 2007 i

Sumário

1. Concepção estrutural1.1 Introdução 11.1.1 Generalidades 11.1.2 Identificação dos elementos estruturais 21.1.2.1 Elementos lineares 4

1.1.2.2 Elementos bidimensionais 71.1.2.3 Elementos tridimensionais 131.1.2.4 Sistemas estruturais compostos de elementos 131.2 Descrição da estrutura de um edifício 171.2.1 Generalidades 171.2.2 Disposição dos elementos estruturais 181.3 Arranjo estrutural 181.4 Sistemas estruturais usuais 211.4.1 Subsistemas horizontais 211.4.2 Subsistemas verticais 231.5 Idealização das ações 251.6 O modelo mecânico 26

1.7 Custo da estrutura 28Referências bibliográficas 30

2. Ações a considerar nos projetos de edifícios2.1 Introdução 332.1.1 Generalidades 332.1.2 Ações permanentes 332.1.2.1 Ações permanentes diretas 332.1.2.2 Ações permanentes indiretas 332.1.3 Ações variáveis 342.1.3.1 Ações variáveis normais 342.1.3.2 Ações variáveis especiais 342.1.4 Ações excepcionais 34

2.2 Valores das ações permanentes 352.2.1 Ação permanente de componentes utilizados em edifícios 362.2.1.1 Peso próprio de alvenaria revestida de um tijolo furado 372.2.1.2 Peso próprio de vários materiais usualmente empregados 382.2.1.3 Exemplo de consideração de ações permanentes em lajes 392.2.1.4 Peso próprio de paredes não definidas no projeto 432.2.1.5 Cálculo dos esforços solicitantes de lajes com ação de

paredes definidas no projeto 442.3 Ações variáveis normais 442.3.1 Consideração das ações variáveis normais nos pilares 462.3.2 Exemplo de consideração de ações variáveis em lajes 462.4 Ação do vento 46

2.4.1 Cálculo das forças devidas ao vento em edifícios 472.4.2 Procedimento de cálculo 472.4.3 Cálculo dos esforços solicitantes 472.5 Efeitos dinâmicos 472.6 Exemplo de cálculo das forças por causa do vento 472.6.1 Velocidade característica do vento 482.6.2 Velocidade básica do vento 482.6.3 Fator topográfico 482.6.4 Fator s2 492.6.5 Fator estatístico s3 492.6.6 Velocidades característica do vento 492.6.7 Pressão dinâmica 492.6.8 Determinação dos coeficientes de arrasto (ca) 502.6.8.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área 502.6.8.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área 502.6.9 Determinação das forças relativas ao vento 512.6.9.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área 51



Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Sumário ii

2.6.9.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área 512.7 Outras ações 522.7.1 Variação da temperatura 522.7.2 Ações dinâmicas 532.7.3 Ações excepcionais 532.7.4 Retração 532.7.5 Fluência 53

Referências bibliográficas 53

3. Escolha da forma da estrutura3.1 Aspectos gerais 553.2 Anteprojeto da forma da estrutura de um edifício 553.2.1 Dimensões mínimas dos elementos estruturais 563.2.1.1 Lajes 563.2.1.2 Vigas e vigas-parede 563.2.1.3 Pilares e pilares-parede 573.2.1.4 Paredes estruturais 583.2.1.5 Fundações 583.2.2 Dimensões econômicas para pré-dimensionamento

de elementos estruturais 583.2.3 Escolha das posições dos elementos estruturais 593.2.4 Pré-dimensionamento da estrutura dos pavimentos 64


4. Análise estrutural4.1 Considerações iniciais 714.2 Estabilidade global de edifícios 72

4.2.1 Parâmetro de instabilidade α 73

4.2.2 Coeficiente γz 77 4.2.3 Análise de estruturas de nós móveis 784.2.4 Consideração da alvenaria 804.3 Esforços solicitantes por causa de imperfeições globais 81

4.4 Ações horizontais 824.4.1 Considerações iniciais 824.4.2 Modelos para determinação dos esforços solicitantes 834.4.2.1 Modelos de pórticos planos 834.4.2.2 Modelo tridimensional 844.4.3 Métodos simplificados 854.5 Valores das ações a serem considerados nos projetos 864.5.1 Valores representativos das ações 864.5.1.1 Valores de cálculo 864.5.1.2 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite último 874.6 Combinações das ações 884.6.1 Combinações a considerar 88

4.6.1.1 Combinações últimas 884.6.1.2 Combinações de serviço 89Referências bibliográficas 91

5. Lajes maciças 5.1 Introdução 935.2 Exemplos de esquemas estáticos para lajes maciças 945.2.1 Laje isolada, apoiada em vigas no seu contorno 945.2.2 Duas lajes contíguas 955.2.3 Lajes em balanço 965.3 Tipos de condições de vinculação para lajes isoladas 965.4 Condições de vinculação diferentes das indicadas nas tabelas 995.5 Vãos efetivos das lajes 100

5.6 Altura útil e espessura 1015.7 Cálculo dos esforços solicitantes 1025.7.1 Reações de apoio 1025.7.1.1 Exemplo 1 1045.7.1.2 Exemplo 2 105



José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Janeiro de 2007 iii

5.7.2 Cálculo mediante tabelas 1065.7.2.1 Exemplo 1 1085.7.2.2 Exemplo 2 1095.7.2.3 Exemplo 3 1105.8 Cálculo dos momentos fletores 1115.8.1 Equação diferencial da superfície elástica 1115.8.2 Momentos fletores e compatibilização 117

5.8.3 Cálculo mediante tabelas 1185.8.3.1 Exemplo 1 1185.8.3.2 Exemplo 2 1195.8.3.3 Exemplo 3 1205.8.4 Cálculo dos momentos fletores finais 1215.9 Esforços solicitantes em lajes com ação linearmente distribuída –

paredes sobre lajes 1235.9.1 Lajes armadas em duas direções 1235.9.2 Lajes armadas em uma direção 1235.9.2.1 Parede na direção perpendicular a armadura principal 1235.9.2.2 Parede paralela à armadura principal 1245.10 Dimensionamento das lajes maciças 1275.10.1 Verificação das tensões tangenciais 1275.10.1.1 Lajes sem armadura para força cortante 1275.10.2 Verificação das tensões normais - cálculo das armaduras 1285.10.2.1 Cálculo das armaduras longitudinais de tração 1285.11 Distribuição das armaduras de flexão 1335.11.1 Armaduras junto à face inferior da laje (positivas) 1345.11.2 Armadura junto à face superior da laje ( negativas ) 1345.11.3 Momentos volventes 1365.12 Verificação dos estados limites de serviço 1365.12.1 Estado limite de deformação excessiva 1365.12.1.1 Estado limite de formação de fissura 1365.12.1.2 Estado limite de deformação 1375.12.1.3 Estado limite de fissuração 139


6. Exemplo de projeto de pavimento de edifício6.1 Introdução 1436.2 Escolha da forma estrutural 1446.3 Verificação das dimensões indicadas na planta arquitetônica 1456.4 Cálculo das distâncias entre as faces das vigas 1466.5 Dimensionamento das lajes 1486.5.1 Vinculação, vãos teóricos, espessuras das lajes 1486.5.2 Desenho da forma estrutural 1506.6 Ações nas lajes 1516.6.1 Ações permanentes diretas 151

6.6.2 Ação relativa ao enchimento na laje L02 1526.6.3 Ação das paredes na laje L02 1536.6.4 Ações variáveis normais 1536.6.5 Ações atuantes na laje L03 1536.7 Cálculo dos esforços solicitantes 1546.8 Cálculo e detalhamento das armaduras 1576.9 Verificação das tensões tangenciais 1626.10 Verificação dos estados limites de serviço 1636.10.1 Momento de fissuração 1636.10.2 Verificação dos estados limites de deformação excessiva 1646.10.3 Verificação das aberturas das fissuras 171






José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 1

1. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL

1.1 INTRODUÇÃO

1.1.1. GENERALIDADES

O concreto armado é um material que pela sua própria composição se adapta aqualquer forma estrutural atendendo, portanto, a inúmeras concepções arquitetônicas,como atestam as edificações existentes pelo País.

Como exemplos marcantes podem ser citados os edifícios públicos construídosem concreto armado na cidade de Brasília, nos quais os arquitetos Oscar Niemeyer eLúcio Costa tiveram todas as suas concepções arquitetônicas atendidas com projetosestruturais compatíveis.

Nos casos dos edifícios residenciais ou comerciais, as estruturas em concretoarmado são projetadas em função da finalidade da edificação e da sua concepçãoarquitetônica.

A estrutura portante para edifícios residenciais ou comerciais pode serconstituída por elementos estruturais de concreto armado; de concreto protendido oupor uma associação dos dois materiais; alvenaria estrutural - armada ou não; porassociação de elementos metálicos para pórticos e grelhas com painéis de laje deconcreto armado, com fechamento em alvenaria; e, com elementos pré-fabricados deargamassa armada. Em algumas regiões do País se encontra a utilização de estruturasde madeira na construção de edifícios de pequena altura.

Em algumas edificações a estrutura portante em concreto armado é aparente, istoé, olhando-se para ela se percebem nitidamente as posições dos pórticos e das grelhasque devem sustentar as ações aplicadas. Em outras edificações, depois da obra

terminada, só se notam os detalhes arquitetônicos especificados no projeto, pois todosos elementos estruturais ficam incorporados nas paredes de fachadas e divisórias. A decisão para se projetar a estrutura portante de um edifício utilizando uma das

opções citadas, depende de fatores técnicos e econômicos. Entre eles pode-sedestacar a facilidade, no local, de se encontrar os materiais e equipamentosnecessários para a sua construção, além da capacidade do meio técnico paradesenvolver o projeto do edifício.

Neste trabalho se discutem as indicações para projetos de estruturas em concretoarmado, de edifícios residenciais ou comerciais, com estrutura constituída por pórticose grelhas moldadas no local. Apresentam-se, também, as indicações para projetos depainéis de lajes nervuradas moldadas no local e parcialmente pré-moldadas.

A escolha do tipo de estrutura portante para edifícios residenciais e comerciaisdepende de fatores essencialmente econômicos, pois as condições técnicas para sedesenvolver o projeto estrutural e as condições para a construção são deconhecimento da engenharia de estruturas e de construções.

São analisadas as estruturas de edifícios residenciais ou comerciais constituídospor pórticos verticais e grelhas horizontais, com as respectivas lajes, em concretoarmado moldado no local.

As fundações podem ser, de acordo com o tipo de terreno, em tubulões ouestacas (fundações profundas) ou sapatas (fundações rasas). As ligações entre ospilares e os tubulões ou estacas são feitas pelos blocos de coroamento.

Os cálculos dos esforços solicitantes atuantes em estruturas de edifícios de

concreto armado podem ser feitos por processo simplificado, que considera oselementos estruturais separadamente, ou por processo mais elaborado, que considerao conjunto de vigas e lajes como grelha e o conjunto de vigas e pilares como pórticoplano ou pórtico espacial.



Capítulo 1 - Concepção Estrutural 2

Os processos simplificados são aceitos pelas normas nacionais, que indicamcorreções que devem ser feitas para se considerar a segurança de cada elementoestrutural e do edifício como um todo. Assim, por exemplo, podem-se calcular osesforços solicitantes em vigas contínuas sem considerar a ligação com os pilaresinternos desde que as indicações da norma brasileira NBR 6118:2003 sejamrespeitadas. Com essa simplificação os momentos fletores podem ser determinados

por processo expedito, como por exemplo o Processo de Cross.Processo de cálculo dos esforços solicitantes mais elaborado, com uso deprograma computacional deve levar em conta a continuidade do painel. O mesmo deveocorrer com as vigas que são consideradas como grelhas carregadas com as reaçõesde apoio das lajes determinadas elasticamente e com a consideração das alvenarias.Os esforços solicitantes nas vigas e nos pilares, quando submetidos às ações verticaiscomo também as horizontais (vento), podem ser determinados considerando o efeitode pórtico. A NBR 6118:2003 indica que se analise a estrutura do edifício com as açõesoriundas do desaprumo global. Entre os esforços solicitantes por causa da ação dovento e do desaprumo, a norma indica que se considerem os esforços de maiorintensidade.

1.1.2 IDENTIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Nos edifícios usuais de concreto armado os elementos estruturais, que compõemo sistema estrutural global, são constituídos pelas lajes, vigas e pilares ou a uniãodestes elementos, como por exemplo, as escadas que são compostas por lajes e vigas.Os pilares, junto ao nível do terreno ou abaixo dele se houver subsolo, são apoiadosem sapatas diretas ou blocos sobre estacas para transferir as ações para o solo.

Cada elemento estrutural deve ter função compatível com os esforços solicitantese sua segurança tem que ser garantida com relação aos Estados Limites Últimos e deServiço. O arranjo dos elementos estruturais é muito importante para a segurança daestrutura e deve ser compatível com o projeto arquitetônico.

Para se realizar o arranjo estrutural é preciso conhecer os elementos e o seucomportamento estrutural, tornando-se necessário classificá-los.

Vlassov [1962] indica uma classificação dos elementos estruturais fundamentaisseguindo critério geométrico, ao qual pode ser associado o comportamento doelemento em função de sua posição na estrutura.

Além disso, é possível associar ao elemento estrutural os critérios da Mecânicadas Estruturas com os quais são determinados os esforços solicitantes.

No critério geométrico faz-se a comparação da ordem de grandeza das trêsdimensões características [l1], [l2] e [l3] dos elementos estruturais, surgindo a seguinte

classificação.

a. elementos lineares de seção delgada - são os elementos que têm a espessura(b) muito menor que a altura (h) da seção transversal e, esta muito menor que ocomprimento (l). Caracterizam-se como elementos de barras, como pode ser visto nafigura 1.1a.

Como exemplos podem ser citados os elementos estruturais lineares deargamassa armada. Argamassa Armada é um tipo particular de concreto armado cujaspeças têm espessuras menores do que 40mm, conforme indicado na NBR 1259:1989.

b. elementos lineares de seções não delgadas - são os elementos que têm a

espessura (b) da mesma ordem de grandeza da altura (h) da seção transversal e,estas bem menores que o comprimento (l

1). As barras são elementos que atendem

essa definição, conforme figura 1.1-b.




Os elementos lineares de seção não delgada, nas estruturas dos edifícios, são asvigas, os pilares e, se houverem, os tirantes. As vigas e os pilares são diferenciadospelo tipo de solicitação: as vigas são solicitadas essencialmente à flexão e os pilaressolicitados à flexão composta.

c. elementos bidimensionais - são os elementos estruturais que têm as suas

dimensões em planta (l1 e l2) da mesma ordem de grandeza e muito maiores que aterceira dimensão que é a espessura (h), como mostrado na figura 1.1-c. Sãoelementos estruturais de superfície.

Como exemplos podem ser citados as lajes dos pavimentos dos edifícios, asparedes dos reservatórios paralelepipédicos, as lajes das escadas e as paredes dearrimo necessárias quando o edifício tem subsolo destinado a garagens.

d. elementos tridimensionais - são aqueles que têm as três dimensões (l1, l2 e l3)da mesma ordem de grandeza conforme figura 1.1-d. Exemplos de elementostridimensionais nos edifícios são as sapatas responsáveis por transferir as açõesatuantes nos pilares para o terreno, quando este tem resistência suficiente emcamadas próximas (até 2,0m) do nível do piso de menor cota. Podem ser adotadasfundações profundas - estacas ou tubulões – exigindo, portanto, blocos paratransferirem as ações dos pilares para camadas profundas do terreno.

a) b)

c) d)

Figura 1.1 - Identificação dos elementos estruturais[Fusco, 1976]

Segundo Andrade [1982], para efeito de orientação prática pode-se considerar damesma ordem de grandeza valores das dimensões cuja relação se mantenha em 1/10.

Na classificação apresentada, embora completa do ponto de vista geométrico,

não se estabelece o comportamento dos elementos estruturais. Isso pode ser notadocom relação aos elementos lineares de seção não delgada, quando foram citadoscomo exemplos vigas e pilares, que fazendo parte dessa classificação geométricadiferem com relação às ações que a eles são aplicados.




Para facilitar o entendimento far-se-á uma descrição de tipos de elementosestruturais, usualmente encontrados em estruturas de edifícios, atendendo aclassificação geométrica associando ao comportamento estrutural.

1.1.2.1 Elementos lineares

Os elementos lineares, de seção delgada ou não, são caracterizados, segundo amecânica das estruturas como elementos de barras. Podem, portanto, ser submetidosa solicitações normais e tangenciais. As solicitações normais são específicas dasbarras submetidas à compressão uniforme, flexão composta - normal ou oblíqua, flexãosimples ou tração simples.

Nas estruturas de edifícios as barras submetidas essencialmente à flexão são asvigas, que também estão solicitadas a tensões tangenciais oriundas da ação da forçacortante e, se for o caso, momento torçor. Os pilares são submetidos à flexãocomposta. Os pilares são identificados, segundo as suas posições no desenho deforma do pavimento tipo como sendo de canto, submetidos à flexão composta oblíqua,de extremidade, submetidos, simplificadamente a flexão normal composta, e,

intermediário, submetidos à compressão centrada. As barras submetidas à traçãosimples ou flexo-tração são os tirantes que têm a sua segurança verificada levando-seem conta apenas à contribuição das barras de aço, pois no estado limite último àparticipação do concreto solicitado à tração é desprezada.

No modelo estrutural mecânico idealizado para o sistema estrutural real, as vigastêm a finalidade de servir de apoio para as lajes absorvendo, portanto as ações a elastransmitidas. As vigas por sua vez distribuem as ações para os pilares. Os esforçossolicitantes podem ser determinados considerando o efeito de grelha, embora elespossam ser calculados supondo-as isoladas, isto sem considerar o efeito de grelha.

Com relação às ações horizontais atuantes nos edifícios, o sistema resistente éconstituído pelos pórticos verticais, pilares e vigas que, além de absorverem a ação dovento, contribuem para a estabilidade global.

A figura 1.2 mostra o desenho da forma estrutural do pavimento-tipo de umedifício, onde pode ser visto que é constituído por quatro lajes maciças L01, L02, L03 eL04, todas com 10cm de espessura. As reações de apoio nas lajes são as açõesatuantes nas vigas que, por sua vez, aplicam suas ações nos pilares. Ocomportamento estrutural das lajes deve levar em conta o monolitismo existente nasligações entre elas. Assim, elas podem ser consideradas engastadas entre si desdeque haja rigidez para isto; em caso contrário considera-se a menos rígida engastada nalaje contígua e a mais rígida apoiada na viga.

A consideração de vinculação entre as lajes depende também das rigidezes das

vigas do pavimento. No caso de grande deformabilidade das vigas não ocorremomento fletor tracionando as fibras superiores das lajes (momento fletor negativo),sendo que nesta situação fica conveniente considerar as lajes apoiadas nas vigas.

Deste modo dispõem-se apenas de armaduras posicionadas junto às facessuperiores das lajes com a finalidade de limitar as aberturas das fissuras. Estasarmaduras não têm a responsabilidade de absorver momentos fletores oriundos dasligações entre as lajes.

A figura 1.2 representa a forma estrutural do pavimento-tipo do edifício exemplo.O desenho foi realizado posicionando-se o observador no andar i - 1 e olhando para oandar i. Isto se faz necessário pois, se o observador ficasse posicionado no andar eolhando para baixo, as arestas das vigas deveriam ser representadas por traços não

contínuos, com exceção das arestas externas das vigas de borda que estariam sendovistas pelo observador.




FORMA – TIPO

Figura 1.2 - Forma estrutural de um pavimento - tipo de edifício

A figura 1.3 apresenta o desenho do corte vertical dos pavimentos-tipo, corte esterealizado pelo plano AA, conforme indicado na figura 1.2, perpendicular ao plano dospavimentos. Pode-se, nesta figura, visualizar os elementos lineares (barras) vigas epilares necessários para transferir as ações atuantes nas lajes dos pavimentos.

As ações atuantes são as ações permanentes diretas, que são os pesos própriosdos elementos da construção, os pesos dos materiais de acabamento e de todos osequipamentos fixos, e as ações variáveis normais que são ações relativas a utilizaçãoda edificação tais como pessoas, móveis, veículos e etc. Nas estruturas dos edifíciosdevem ser sempre consideradas as forças atuantes pela ação de vento, absorvidaspelos pórticos verticais constituídos pelas vigas e pilares da edificação.

Deste modo percebe-se a importância dos elementos estruturais de barras - vigase pilares - na segurança das estruturas de concreto armado destinadas a edifícios. Asvigas normalmente estão submetidas a ações uniformemente distribuídas, emborapossam, em casos que o projeto exija, receber ação concentrada por causa danecessidade de se apoiar viga em viga, o que lhes dá uma situação de elementos

estruturais submetidos a esforços de flexão - momento fletor e força cortante.Os pilares, em virtude da consideração de pórtico plano ou espacial, ficamsubmetidos a esforços de flexo-compressão - momento fletor e força normal. Com aconsideração de ação horizontal têm também solicitação de força cortante.




CORTE AESC. 1:75

Figura 1.3 - Corte transversal dos pavimentos de um edifício

Como exemplo de elementos estruturais em argamassa armada podem sercitadas as telhas de coberturas dos edifícios da Fábrica de Lacticínios de São Carlos(figura 1.4) e do Departamento de Arquitetura e Planejamento - EESC-USP (figura 1.5),demolido para dar lugar ao edifício da administração do Instituto de Física de SãoCarlos.

Hanai [1992] descreve que em 1974 o Prof. Frederico Schiel, do Departamento deEngenharia de Estruturas - EESC-USP, projetou para a Fábrica de Laticínios vigas decobertura em argamassa armada para vão livre de 21.000mm, com balanços lateraisde 2.500mm e 5.500mm com altura da seção transversal típica de 620mm. Notar nafigura 1.4 que as espessuras das almas são iguais a 24mm, caracterizando elementoslineares de seção delgada. A altura da mesa superior da seção transversal é variável,




ocupando posições diferentes de acordo com a variação do diagrama de momentosfletores. Por outro lado, esta variação permite escoamento de águas pluviais.

b) SEÇÃO TRANSVERSAL

Figura 1.4 - Cobertura da Fábrica de Lacticínios São Carlos[Hanai, 1990]

A cobertura do Departamento de Arquitetura e Planejamento – EESC - USP

(Figura 1.5), projeto dos professores da EESC – USP, na época, Arq. AntônioDomingos Bataglia, Eng. João Carlos Barreiro e Arq. Carlos Augusto Welker, comparticipação do Prof. Schiel, atende a vão livre de 12.000mm, com elementos em formade V com projeções das almas no plano horizontal igual a 1.000mm e no vertical igual a600mm, conforme figura 1.5. De acordo com Bataglia, citado por Hanai [1992], ”oprojeto proposto foi o de fazer a montagem da placa dobrada pela junção ‘in loco’ dasbordas de peças prismáticas pré-moldadas em forma de V. Cada placa tem duas linhasde apoio e, conforme o bloco a ser coberto, balanços em uma das bordas”.

1.1.2.2 Elementos Bidimensionais

Os elementos bidimensionais são elementos de superfície, onde, como já visto,duas das dimensões, medidas ao longo da superfície média, são maiores que aespessura. Quando a curvatura na superfície média for nula os elementos estruturaisbidimensionais podem ser chamados de placas ou chapas, em caso contrário, ou seja,quando a curvatura for diferente de zero os elementos são chamados de cascas.

O elemento estrutural bidimensional é chamado de placa quando a açãouniformemente distribuída é aplicada perpendicularmente ao seu plano e, quando estaação for aplicada paralelamente ao plano é chamado de chapa. Nas estruturas deconcreto armado estes elementos são chamados de lajes e paredes respectivamente.

a. lajes

As lajes, que são placas de concreto armado, são normalmente horizontais e, nasestruturas dos edifícios, responsáveis por receber as ações verticais - permanentes ouacidentais - atuantes nas estruturas dos pavimentos e das coberturas.






Figura 1.6 - Perspectiva de parte de um edifício [Mac Gregor, 1988]

As lajes maciças pré-fabricadas (figura 1.7) são constituídas por painéis depequena espessura, da ordem de 30mm, com largura de 330mm e comprimento emfunção do menor vão da laje determinado de acordo com a da forma estrutural. Aarmadura na direção do vão é posicionada por ocasião da construção do elemento pré-fabricado e as barras têm comprimento maior do que o elemento, com a finalidade deancorá-las corretamente nas vigas de apoio. A armadura na outra direção éposicionada, na obra, junto à face superior do elemento pré-fabricado.

Os elementos pré-fabricados são providos de uma treliça, posicionada ao longodo plano médio que os tornam mais rígidos, possibilitando manuseio e transporte comsegurança e, além disso, permite melhor ligação do concreto lançado na obra com oconcreto do elemento, funcionando como conectores.

Figura 1.7 - Laje maciça pré – fabricada [Catálogo Lajotec]




As lajes nervuradas pré-fabricadas, conforme mostrada na figura 1.8, têm a parte

inferior da nervura pré-fabricada e é fornecida em forma de T - invertido ou em formade seção retangular com treliça espacial. A seção T - invertido e a treliça têm afinalidade de enrijecer o elemento com vistas ao transporte e posicionamento na obra.Entre os elementos pré-fabricados são posicionados blocos cerâmicos ou de isopor de

altura compatível com a altura indicada para a laje nervurada. Depois de posicionadase cimbradas corretamente, faz-se a concretagem das nervuras e da mesa da lajenervurada.

Como pode ser notado nas figuras 1.7 e 1.8 este processo construtivo elimina afôrma e diminui consideravelmente a quantidade de cimbramentos propiciandoeconomia global da obra.

A decisão de se adotar lajes pré-fabricadas nas estruturas dos edifícios deve levarem conta análises estruturais e de custos. Nos edifícios de muitos andares, porexemplo, mais do que cinco, deve ser analisada a conveniência de adotá-las, pois háque se pensar no transporte dos elementos pré-fabricados, que é feito por elevadoresde obra. Este fato pode trazer acréscimo de custo e principalmente de segurança na

obra.Todas estas variáveis devem ser analisadas de comum acordo entre o

engenheiro projetista da estrutura, o proprietário e o engenheiro da firma construtora;só depois desta análise é que se deve optar pela utilização de laje pré-fabricadalevando-se em conta a disponibilidade de fornecimento na região onde a obra seráconstruída.

Figura 1.8 - Laje nervurada com parte da nervura pré-fabricada[Catálogo Lajes Paoli]

As lajes pré-fabricadas podem ser também em elementos protendidos (figura 1.9)de largura de 1.000mm nas espessuras de 100mm, 150mm e 200mm para vãos entrevigas de 6.000mm, 8.500mm e 11.000mm respectivamente. Estes valores sãoindicados para lajes de pisos e obtidos em catálogo da Associação Brasileira de

Construção Industrializada (1986). As ligações entre os elementos são feitos porconectores metálicos soldados na obra. Nesse caso os elementos podem ser auto-portantes, não sendo necessários cimbramentos.




Figura 1.9 - Laje pré - fabricada protendida [ABCI, 1986]

Pode ser adotado em projetos de edifícios como solução para os pavimentos aslajes sem vigas, que são aquelas que se apóiam diretamente nos pilares, estando aeles diretamente ligadas. Na ligação entre a laje e os pilares pode haver os capitéis,

que são troncos de prismas ou de cones (se colunas) em concreto armado, projetadospara se diminuir as tensões de cisalhamento e evitar a punção da laje na região dopilar. Figueiredo Filho [1989] chama de laje sem viga aquelas sem capitel, conformemostrado na figura 10, e, laje cogumelo as lajes sem vigas porém com capitéis, figura1.11.

Figura 1.10 - Laje sem vigas[Figueiredo Filho, 1989]

Figura 1.11 - Laje cogumelo[Figueiredo Filho, 1989]

A solução estrutural em laje sem vigas apresenta como vantagem significativa ofato de haver economia de fôrma com relação às vigas, exigindo fôrmas para os pilarese lajes. Na verificação da segurança do edifício atenção especial deve ser dada à ação

do vento e estabilidade global, pelo fato de não haver vigas que participem dos pórticosque enrijecem a estrutura.




b. paredes

Em princípio todo elemento estrutural, bidimensional, isto é, que tenha duas dasdimensões maiores que a terceira (espessura), posicionado paralelamente ao planovertical é chamado de parede, sendo identificado nos desenhos e memórias de cálculopela sigla PAR seguida de um número de ordem e das suas dimensões - espessura e

altura. As paredes são chapas e, conforme já visto, são elementos estruturaisbidimensionais com ação agindo paralelamente ao plano médio. As paredes são,portanto, chapas de concreto armado e com apoio contínuo, isto é, o apoio da paredese dá ao longo de toda a base.

Definem-se como paredes estruturais as estruturas laminares planas verticaisapoiadas de modo contínuo em toda a sua base, sendo que o comprimento da seçãotransversal é maior do que cinco vezes a largura.

Exemplos de paredes são as paredes de reservatórios paralelepipédicos paraágua enterrados e apoiados diretamente sobre o solo, com a laje de fundo tambémtrabalhando como fundação. As reações de apoio das lajes de tampa e de fundo

transmitidas às paredes são ações uniformemente distribuídas e atuam paralelamenteao plano médio.

Na figura 1.6 pode-se notar que entre o nível superior da fundação direta e a facesuperior do nível do térreo há uma parede que tem dupla finalidade: deve conter oempuxo de terra, em função do desnível - efeito de placa e receber a ação das lajes dotérreo - efeito de chapa, neste caso uma parede.

c. vigas-parede

As vigas-parede são estruturas laminares planas verticais apoiadas isoladamente,isto é têm apoios discretos, ou sejam, blocos de fundações, sapatas ou pilares. A NBR6118:2003 define vigas-parede aquelas que a medida do vão é menor do que três (3)vezes a maior dimensão da seção transversal (altura).

Como exemplo de viga parede podem ser citadas as paredes de reservatórioparalelepipédico - figura 1.12 - pois além de trabalharem como placa (laje vertical) parareceber o empuxo de água, trabalham como chapa - viga parede, pois recebem asreações de apoio das lajes de tampa e de fundo.

No projeto de estruturas deste tipo, vale a superposição dos efeitos e, portanto, aparede do reservatório deve ter a segurança verificada como placa e como chapa. Asarmaduras determinadas para as paredes devem atender as situações de placa e dechapa.

d. cascas

São as estruturas bidimensionais não planas e são elementos resistentes pelaforma e, não pela massa, normalmente curva que têm sido utilizadas na construção decoberturas de grandes vãos, reservatórios com grande capacidade de armazenamentoe silos.

Na figura 1.13a está mostrada a forma de uma torre de refrigeração de água parausina termonuclear; a figura 1.13-b representa um reservatório de regularização paraabastecimento de água; a figura 1.13c é relativa a um silo para armazenamento degrãos ou reservatório para líquidos; a figura 1.13d se refere a uma edificação destinada

a ginásio de esportes ou reservatório cilíndrico.




1.1.2.3 Elementos Tridimensionais

a. elementos de fundação

Em função da resistência do solo onde se apóia a estrutura, escolhe-se o tipo defundação. Sapatas são adotadas quando nas proximidades do nível no qual deve ser

locado o pavimento de menor cota, em relação ao nível original do terreno, aresistência do solo é considerada satisfatória. As sapatas (Figura 1.14a) são elementostridimensionais e têm a finalidade de transferir para o terreno as ações que sãoaplicadas ao pilar. A área de contato entre a sapata e o terreno é calculada em funçãoda tensão admissível do solo, determinada por investigação geotécnica.

Quando o perfil do terreno indicar o uso de estacas, cuja transferência de ações éfeita para o terreno pela resistência lateral e resistência de ponta, há necessidade dese transmitir as ações atuantes no pilar para as estacas. Essa transmissão é feita pelobloco de concreto armado (Figura 1.14b) interposto entre o pilar e as estacas.

CORTE HORIZONTAL

CORTE LONGITUDINAL BBCORTE TRANSVERSAL AA

Figura 1.12 - Forma estrutural de reservatório paralelepipédico




Figura 1.13 - Sistemas estruturais em cascas [Proença, 1986]

a) b)Figura 1.14 - Elementos de fundação

b. blocos de transição

Alguns terrenos não mobilizam resistência lateral, inviabilizando a utilização deestacas como solução para a fundação. Adota-se, então, fundação em tubulões quetêm a finalidade de transferir as ações atuantes no pilar para níveis do terreno onde aresistência é compatível com este tipo de fundação. Essa decisão também é tomadaem função da magnitude da ação atuante no pilar e do fator econômico.

É feito um alargamento de base em forma de tronco de cone com a finalidade dediminuir a tensão que está atuando no fuste do tubulão para compatibilizá-la com aresistência do solo no nível considerado. A transferência da ação do pilar para otubulão é feita por bloco de concreto interposto entre o pilar e o tubulão.

Nos edifícios às vezes pode ocorrer a impossibilidade de se manter a posição detramos de pilar entre andares, isto é, não é possível manter o alinhamento do eixo

vertical do pilar. Isso ocorre pelo fato de, em função da distribuição arquitetônica deandares consecutivos, não ser possível manter o alinhamento. Há necessidade,portanto, de se projetar um bloco de transição para transferir a ação do tramo superiordo pilar para o tramo inferior. O projeto estrutural do bloco de transição é feito




considerando-se modelo que segue o caminho das tensões. Quando este caminho édesconhecido há necessidade de análise experimental.

c. consolos

Consolos podem ser definidos como vigas de pequeno vão em balanço comrelação entre vão e altura menor do que 1,0, segundo indicação de Leonhardt [1978].

Estes elementos estruturais se comportam como elementos tridimensionais e resistemàs ações aplicadas mobilizando resistência ao cisalhamento. A sua ocorrência nas estruturas se dá como adendos aos pilares nos quais não é

possível transferência direta das ações. Por exemplo, em edifícios industriais onde háexigência de se prever a existência de ponte rolante, ou em pilares pré-fabricadoscomo indicado na figura 1.15 para apoio das vigas.

1.1.2.4 Sistemas estruturais compostos de elementos

Existem sistemas estruturais correntes em estruturas de edifícios que sãocompostos por dois elementos de comportamentos estruturais diferentes. É o caso, porexemplo, conforme já comentado, dos reservatórios paralelepipédicos onde as paredes

têm função de lajes submetidas à ação da água representada por uma açãotriangularmente distribuída e, de viga parede em virtude das reações de apoio das lajesde tampa e de fundo.

Figura 1. 15 - Consolos em pilares pré-fabricados. [ABCI, 1986]

Outros sistemas estruturais são compostos por elementos estruturaisgeometricamente diferentes, que são os casos das escadas e muros de arrimo.

a. escadas

As escadas são compostas por lajes que se constituem nos lances das escadasque, por sua vez, se apóiam nas vigas que podem ser posicionadas nas suasextremidades. Vários são os tipos estruturais possíveis para as escadas, tipos estesdefinidos em função do projeto arquitetônico, tais como escadas constituídas dedegraus isolados com viga central. A figura 1.16 mostra uma escada em lancesadjacentes constituída por lajes que se apóiam nas vigas e estas, por sua vez,transferem as suas ações para os pilares.

Ao se moldarem as lajes da escada devem ser moldados também os degraus quea constituem. Em edificações mais simples é possível se construírem os degraus emalvenaria de tijolos, o que implica em menor ação nas lajes da escada, um pouco deeconomia com fôrmas, porém modificando o processo construtivo.

b. muros de arrimoOs muros de arrimo são estruturas destinadas a contenção de terrenos. Estão,

portanto submetidos a empuxo de terra. Analisando a parede em contato com o terrenona figura 1.6, percebe-se que ela pode sofrer deslocamento horizontal e tombamento.




Nestas condições há necessidade de uma sapata com a finalidade de equilibrar a açãodo momento de tombamento. A parede vertical tem o comportamento de placa, isto élaje submetida a uma ação linearmente variável e determinada em função do tipo deterreno. O comportamento da sapata também é de placa, porém apoiada sobre baseque pode ser considerada elástica.

PLANTA

VISTA AA

CORTE BB

Figura 1.16 - Forma estrutural de escada em lances adjacentes




1.2 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA DE UM EDIFÍCIO

1.2.1 GENERALIDADES

As posições ocupadas pelos elementos estruturais, vigas e pilares, devem estar

de acordo com o projeto arquitetônico. O projeto estrutural deve atender todas asexigências quanto a transferência de ações e segurança indicada para edificaçõesespecíficas e, também, estar em harmonia com o ambiente que o cerca. No caso deedifícios construídos com elementos pré-fabricados os elementos isolados devem serarranjados de tal modo a se obter um sistema estrutural único. Para edifícios moldadosno local, ao se escolher o arranjo estrutural, procura-se considerar o processoconstrutivo adotado, pois, ao construí-lo por partes, deve ser verificada a segurançadas ligações dos elementos estruturais e das partes da edificação prontas.

A estrutura do edifício tem que resistir globalmente na direção horizontal odeslocamento por causa das ações horizontais atuantes. Essa idéia está associada aoconceito de rigidez espacial, onde a edificação tem deslocamentos tão pequenos que

possam ser desprezados quando comparados com valores limites para osdeslocamentos. Isso significa que ao se aplicar uma ação a um dos elementosestruturais do edifício, todos os demais elementos contribuem na capacidade daestrutura de absorvê-la.

Os elementos estruturais isolados, lajes, vigas, pilares e paredes estruturais, dosedifícios devem ter resistência mecânica, estabilidade, rigidez e resistência à fissuraçãoe deslocamentos excessivos para poderem contribuir de modo efetivo na resistênciaglobal do edifício.

A consideração da contribuição espacial da estrutura do edifício permite construirestruturas mais seguras e econômicas. Por outro lado, a consideração de estruturaespacial para o modelo mecânico leva a um maior trabalho de determinação dosesforços solicitantes por ser uma estrutura altamente hiperestática. Esta situação exigeequipamento de computação e programas compatíveis com a consideração de pórticoespacial.

A estrutura resistente de um edifício de vários andares é constituída peloselementos de barras verticais - pilares, elementos de barras horizontais - vigas,elementos de placas horizontais - lajes e, se forem necessárias para melhorar aresistência á ação do vento, chapas verticais constituídas pelos pilares paredes.

Basicamente as ações verticais, que atuam nas lajes dos vários andares e, quesão constituídas pelas ações permanentes diretas e ações variáveis normais, sãotransferidas para as vigas, que por sua vez, após receberem as ações permanentes

das alvenarias, se houverem, as distribuem por flexão aos pilares. Os pilares têm afinalidade de receber as ações das vigas dos vários andares e distribuí-las àsfundações. Alem disso, contribui para a resistência das ações horizontes e estabilidadeglobal.

As ações horizontais, na grande maioria dos edifícios construídos em territórionacional até esta data, são por causa da ação do vento. Em localidades onde há aocorrência de abalos sísmicos é necessária a sua consideração, sendo que um dosmodelos mecânicos adotados é o de pórtico com forças horizontais aplicadas nos nós.Outros modelos mecânicos mais elaborados levam em conta considerações dinâmicas.

Todos os elementos estruturais citados são responsáveis por absorver as açõeshorizontais, pois embora a ação do vento ocorra nas fachadas dos edifícios, há uma

distribuição destas por ação das paredes de alvenaria ou elemento de fachada para asvigas e pilares de extremidade, e destes para os pilares internos. As lajes trabalhamcomo diafragmas horizontais, por possuir grande rigidez no seu plano e sendoconsiderada, portanto, como elemento de corpo rígido.




1.2.2 DISPOSIÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS

As disposições dos elementos estruturais devem atender as condições peculiaresdo arranjo arquitetônico e as condições de segurança estrutural do edifício.

As ações que solicitam uma estrutura de edifício são: peso próprio da estrutura,peso próprio das paredes divisórias, com os respectivos acabamentos, e as de

utilização, adotadas em função da finalidade do ambiente arquitetônico. As alvenariasde fechamento ou divisórias são ações que podem ser consideradas linearmentedistribuídas. As ações de peso próprio das lajes e seus revestimentos sãoconsideradas uniformemente distribuídas por unidade de área; o mesmo ocorre com asações de utilização.

As ações horizontais relativas ao vento devem ser consideradas nas estruturas deedifícios.

Com essas considerações em mente, o engenheiro projetista da estrutura deveprocurar arranjar os elementos estruturais de tal modo a gerar condições de resistênciaàs ações verticais e horizontais e, ainda, posicioná-los sem provocar interferências noarranjo arquitetônico. A disposição dos elementos deve garantir, também, a capacidade

da estrutura com relação à estabilidade global. As posições dos pilares são escolhidas de tal modo que a distância entre pilares

consecutivos e que recebam ações de uma mesma viga, não provoque a necessidadede altura excessiva para a viga, pois há necessidade de atender as dimensõesindicadas pelo projeto arquitetônico para caixilhos, janelas e portas. Do mesmo modose cuida para não ter lajes com vãos efetivos muito grandes, o que gera lajes comespessuras elevadas e, portanto, com grande consumo de concreto.

Corrêa (1991) indica que a idealização do arranjo estrutural está intimamenteassociada ás ações presentes no edifício já que o objetivo básico do sistema estruturalé coletá-las e controlar-lhes o fluxo.

De acordo com essa idéia é possível considerar o sistema estrutural dividido emsubsistemas horizontais e verticais. Os subsistemas horizontais são constituídos pelaslajes, que são elementos bidimensionais que funcionam como diafragmas e comoelementos de ligação entre os elementos estruturais verticais. Os subsistemas verticaisrecebem as ações verticais transmitidas pelos subsistemas horizontais e resistem àsações horizontais (vento).

1.3 ARRANJO ESTRUTURAL[Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa]

Um dos pontos mais delicados do projeto estrutural consiste em escolher oselementos a serem utilizados e arranjá-los de maneira eficiente.Quando o engenheiro estrutural começa a conceber a estrutura que garantira a

forma do edifício, ele precisa decidir se algumas partes da construção, que estarãopresentes independentemente da estrutura escolhida, participarão do sistemaestrutural. É o caso, por exemplo, das alvenarias, que podem ser utilizadas apenascom a função de fechar e delimitar espaços ou como elementos estruturais. Excluindo-se a hipótese da estrutura do edifício ser concebida em alvenaria estrutural, as paredesde alvenaria, em geral, são tratadas como mais um agente externo que carrega aestrutura. Neste caso, a capacidade resistente de tais elementos, mobilizada pelainteração com a estrutura sadia, como se ilustra na figura 1.17 contribui como uma

reserva de segurança, cuja importância é mais acentuada no enrijecimento dossubsistemas verticais para a transmissão de ações laterais á base da edificação.




Figura 1.17.- Alvenaria mobilizada como elemento resistente

Outro aspecto a ser observado é o da definição de hierarquia dos subsistemasestruturais. Por exemplo, uma treliça projetada para suportar um telhado na cobertura

de um edifício tem importância reduzida quando comparada a de um pórtico queparticipe do conjunto de painéis de contraventamento da estrutura e que funcione nacaptação das ações dos pisos. Como a treliça possui uma função específica elocalizada, ela pode ser destacada do conjunto ao se analisar a resposta global daestrutura do edifício quando submetido a ações laterais como a do vento. Como aparticipação da treliça é pequena, bem como a sua influência sobre a maneira como asações se distribuem entre os diversos painéis de contraventamento, a sua exclusãonão prejudica os resultados e simplifica o modelo. É evidente que o estudo docomportamento dessa treliça deve ser feito, incluindo-se a ação do vento sobre otelhado, se for o caso. Só que esse estudo se desenvolve, em geral, considerando-se atreliça isoladamente, como estrutura auxiliar que se apóia sobre outros elementos

estruturais, sem a necessidade de agregá-los ao modelo. Tais elementos aparecemapenas como condições de contorno.

A idealização do arranjo estrutural está intimamente associada às açõespresentes no edifício já que o objetivo básico do sistema estrutural é coletá-las econtrolar-lhes o fluxo. Em geral, as ações verticais de piso e cobertura são coletadasem subsistemas horizontais bidimensionais que funcionam também como diafragmas econectores dos elementos dispostos na vertical. Os subsistemas verticais, por sua vez,recolhem as ações verticais transmitidas pelos subsistemas horizontais e resistem àsforças horizontais. A definição dos subsistemas horizontais e verticais é feitasimultaneamente uma vez que os mesmos são interdependentes. Distâncias entre oselementos verticais estão condicionadas pelas dimensões e formas dos elementosdispostos na horizontal, que por sua vez têm limites definidos pela ocupação de espaçopelo subsistema horizontal em comparação com os pés-direitos definidos e a alturatotal do edifício. Essa altura condiciona as dimensões dos elementos verticais ehorizontais, pois em geral quanto maior a altura maiores são as solicitações verticais ehorizontais. Para se conferir maior resistência ao sistema estrutural, pode-se optar poraumentar dimensões de peças, reduzir vãos ou promover um maior numero deligações entre os vários elementos estruturais. A necessidade de reduzir vãos podeferir a concepção arquitetônica, assim como o aumento da dimensão de uma peçapode ser fisicamente impossível em função de disponibilidade de espaço, ou atémesmo de necessidades estéticas. Em resumo: o problema tem como característica

fundamental a complexidade, por causa do número de variáveis presentes e damultiplicidade de soluções possíveis. A concepção do arranjo estrutural envolve a idealização das ligações dos diversos

elementos estruturais entre si e com o meio externo que lhes serve de apoio. Alguns




requisitos importantes devem ser observados para que a idealização seja eficiente. Emprimeiro lugar devem-se garantir ligações suficientes para que não haja a formação demecanismos. Em segundo lugar deve-se atentar para um ponto de grande relevância:as ligações previstas devem ser exeqüíveis e devem representar da melhor maneirapossível aquelas que realmente ocorrerão. Este fato é de especial delicadeza, pois oafastamento entre o arranjo ideal e o arranjo real destrói a representatividade do

modelo assumido, e todo o controle sobre o fenômeno em análise.Um exemplo muito ilustrativo é apresentado em Fusco [1976]. Observe-se o pórticoplano, concebido em concreto armado, representado na figura 1.18. Admite-se quehaja engastamento perfeito nas seções E e F. Para que o engastamento seja realizado,o pórtico é ligado monoliticamente a blocos rígidos de fundação. Para que se tenha oengaste perfeito é necessário que as seções E e F não tenham nenhuma mobilidadeno plano. Se o terreno tiver capacidade de absorver as solicitações, com recalquesdesprezíveis, os engastes idealizados se realizam. Caso o terreno seja adensável oesquema inicialmente planejado se altera, e as ligações com o terreno de fundação seaproximam de articulações.

Figura 1.18 - Exemplo de pórtico apoiado em terreno adensável

Aproveitando-se o exemplo anterior imagine-se que as condições do terreno sob obloco fixado em E sejam tais que, diante das solicitações presentes, a imobilização daseção E esteja garantida. Admita-se, também, que o terreno sob o bloco em F permitarotação, porém oferecendo certa resistência apreciável. Neste caso um esquemapossível seria o que se apresenta na figura 1.19.

Figura 1.19 - Exemplo de vinculação




1.4 SISTEMAS ESTRUTURAIS USUAIS[Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa]

Como já se observou a escolha do sistema estrutural a se adotar para umdeterminado edifício e um problema de grande complexidade. Porém, como umainfinidade de soluções já foram experimentadas, em situações muito variadas, algumas

delas estão consagradas e se tornaram as mais usuais. Dentre elas algumas são aquiapresentadas a título de ilustração.

1.4.1 SUBSISTEMAS HORIZONTAIS

Têm como funções estruturais básicas:- Coletar forças gravitacionais e transmiti-las para os elementos verticais; o

comportamento é predominantemente de flexão.- Distribuir as ações laterais entre os diversos subsistemas verticais resistentes,

comportando-se como diafragmas. A concepção geometricamente mais simples consiste em uma placa que coleta as

ações gravitacionais distribuídas em sua superfície e as transmite diretamente aospilares. A placa usualmente é uma laje de concreto (armado ou protendido), que podenecessitar de concentração de material nas regiões de ligação aos pilares para oaumento de sua capacidade resistente. Este é o subsistema laje plana ou lajecogumelo, ilustrado na figura 1.20.

Figura 1. 20 - Lajes

Outras concepções são possíveis com a combinação de placas e barrashorizontais. Estas funcionam como enrijecedores do subsistema horizontal e auxiliaresna transmissão de ações aos pilares. A distribuição da rigidez adicional pode ser feitacom uma grande densidade de barras que possuem seções transversais reduzidas(nervuras) ou com uma pequena densidade de barras de seções transversais de maiorárea (vigas). Das inúmeras opções de composição placa-barra algumas são ilustradasnas figuras 1.21, 1.22 e 1.23.




Figura 1.21 - Pavimentos com lajes e vigas

Figura 1.22 - Pavimento em laje nervurada e vigas

Figura 1.23 - Pavimento em grelha




Uma opção alternativa e a utilização simultânea de materiais diferentes, como ossubsistemas placa sobre vigas mostrados na figura 1.24.

Figura 1.24 - Pavimento em laje moldada no local e vigas metálicas.

1.4.2 SUBSISTEMAS VERTICAIS

Têm como funções estruturais básicas:

-Suportar os subsistemas horizontais coletando as ações gravitacionais etransmitindo-as para as fundações.

-Compor com os subsistemas horizontais os painéis resistentes às ações laterais.

De forma resumida podem ser entendidos como arranjos de barras e folhascompondo os seguintes tipos básicos:

-pilares: barras verticais contínuas

-pórticos: arranjo de barras predominantemente horizontais (vigas) e verticais(pilares), conectadas de modo a permitir interação de forças e momentos fletores (nós

rígidos).

-paredes: folhas planas de comportamento preponderante de chapa, ou painéisbidimensionais treliçados de grande rigidez em seu plano.

-núcleos: arranjo tridimensional de folhas ou de painéis treliçados que,geralmente, envolvem as regiões de fluxo humano vertical no edifício (escadas eelevadores).

Muitas combinações dos tipos básicos são possíveis. Desde a concepçãogeometricamente mais simples, como a utilização exclusiva de pilares agrupados porligações a lajes planas, até as mais complexas, como as mega-estruturas tubularesreforçadas externamente com grandes painéis treliçados. Algumas dessascombinações são ilustradas na figura 1.25.

A ousadia de arquitetos e engenheiros tem permitido que a demanda por edifícioscada vez mais altos nos grandes centros populacionais seja atendida. Quanto maisaltos os edifícios, maiores as solicitações presentes, com ênfase nas oriundas deações laterais que podem ser dominantes na definição do sistema estrutural.Observando-se soluções de sucesso, utilizadas na prática da Engenharia deEstruturas, pode-se organizar um quadro que, sem a pretensão de encerrar o assunto,busca associar o número de pavimentos de um edifício com os sistemas estruturaisadotados por LIN [1981], TARANATH [1988], AÇOMINAS [1979], Margarido [1986]. É oque se apresenta na tabela 1.1, buscando contemplar as estruturas concebidas emaço, concreto armado ou protendido e a combinação destes materiais.




Pilares Treliça Inter Pavimento Pórticos Núcleos

Treliça Passante Pórticos e Paredes Tubos Modulares Tubo Treliçado Associados

Figura 1. 25 - Alguns subsistemas verticais

Analisando a tabela 1.1 pode-se perceber que para os edifícios usuais, até 15pavimentos, é possível adotar-se para sistema estrutural pavimento constituído porlajes maciças e vigas e como subsistema vertical pilares. Se a altura for um poucomaior, por exemplo, 20 pavimentos, ter-se-á a necessidade de contar com, além depórticos, paredes com a finalidade de absorver as ações horizontais (vento).

Tabela 1.1 - Sistemas estruturais para edifícios

NÚMERO DE PAVIMENTOSSISTEMA0 20 40 60 80 100 120

Laje plana e pilaresLaje plana, pilares e paredesTreliça interpavimentoPórticoNúcleo rígidoPórtico com reforço diagonalParedes e pórticos associadosTreliça passanteTubo externoTubo externo e núcleo internoTubos modularesMega estrutura em tubos treliçados




Para um número maior de pavimentos deve-se utilizar a região dos elevadorespara construir um núcleo rígido de concreto armado, sendo que as paredes quedefinem a área dos elevadores serão substituídas pelos elementos estruturais donúcleo. Evidentemente o núcleo será provido de aberturas para se poderem dispor asportas dos elevadores.

1.5 IDEALIZAÇÃO DAS AÇÕES[Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa]

Durante o projeto da estrutura de um edifício trabalha-se com uma previsão dasações que estarão presentes quando essa estrutura entrar em funcionamento. Essaprevisão, amparada em prescrições normalizadas, é feita com base na funcionalidadedo edifício, no arranjo em estudo (incluindo pré-dimensionamento das peças), nosmateriais a serem empregados, nas dimensões da construção e na interação doedifício com o meio ambiente.

As ações podem ser de natureza estática ou dinâmica. Sempre que possível,

ações que variam no tempo são aproximadas (idealizadas) por ações estáticasequivalentes como nos casos de ações acidentais, rajadas do vento, distúrbiossísmicos, etc.

Sejam diretas (forças) ou indiretas (deformações impostas) as ações utilizadas noprojeto são sempre aproximações que buscam simplificar o problema.

É importante observar que em muitos casos o projetista tem opções alternativaspara idealizar uma determinada ação.

Tome-se, a título de ilustração, o caso de uma viga biapoiada que serve desuporte para uma parede de alvenaria conforme se mostra na figura 1.26. O esquemausual consiste em considerar a ação da parede sobre a viga como uma força verticallinearmente distribuída com taxa uniforme.

Figura 1.26 - Parede sobre viga - ação usual

Alternativamente, levando-se em conta o efeito arco no comportamento doconjunto parede-viga, o esquema de carregamento da viga pode ser expresso porforças verticais e horizontais junto aos apoios, como se esboça na figura 1.27.




Figura 1.27 - Parede sobre viga - ação alternativa

Outro exemplo ilustrativo é o de paredes de alvenaria apoiadas em uma laje. Ocarregamento das paredes sobre a laje pode ser expresso por forças verticaisdistribuídas sobre a área de contato ou, no caso em que as paredes se espalham portoda a laje, é usual idealizar-se o carregamento como sendo uma força verticaluniformemente distribuída sobre a superfície total da laje.

A ação de paredes de alvenaria pode ser considerada linearmente distribuída nalaje quando esta for considerada armada em uma direção, isto é, quando o maior vão

teórico for maior que duas vezes o menor.

1.6 O MODELO MECÂNICO[Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa]

O projetista estrutural não analisa a estrutura real, mas uma versão idealizadaque constituí o modelo mecânico, conforme pode ser visto na Figura 1.28.

O modelo mecânico engloba todas as idealizações adotadas pelo engenheiro e seexpressa por um conjunto de relações matemáticas que interligam as variáveisimportantes do fenômeno físico em estudo.

O sistema estrutural idealizado é apenas um substituto do sistema real, e como talinclui aproximações. É imprescindível que o projetista tenha habilidade econhecimentos suficientes para que o modelo seja capaz de representar, de formasatisfatória, o sistema físico real e de produzir resultados cuja aproximação sejaconhecida.

Em geral, quanto maior a representatividade do modelo tanto mais elaborado elepoderá ser. Essa maior elaboração pode ser alcançada resumidamente por:

-aumento da complexidade das teorias que exprimem o comportamento doselementos estruturais e dos materiais componentes;

-integração de um maior número de elementos estruturais no modelo ao invés delegar a cada um uma função estrutural específica, em modelos isolados;

-adoção de domínios geométricos mais abrangentes tal como a inclusão do solo edas fundações em conjunto com a superestrutura do edifício no modelo.




E atraente a idéia de se conceber um modelo para a estrutura de um edifício comgrande requinte, combinando-se os seus diferentes elementos estruturais que, emconjunto, apresentam um comportamento integrado complexo.

A constante busca de realização dessa idéia é anotada em ENGEL [1981] comoum dos mais notáveis e importantes desenvolvimentos da Engenharia de Estruturasatual, incentivada pela nova dimensão aberta pelos computadores eletrônicos aos

métodos numéricos.

Figura 1. 28 - Modelo da estrutura

Essa busca justifica-se o tratamento do sistema estrutural integrado confere aomodelo a capacidade de representar propriedades resistentes que esse sistemapossui, inerentes ao trabalho conjunto dos vários elementos estruturais, muitas dasquais são usualmente desprezadas. Além de exprimir melhor o comportamento daestrutura é possível, com segurança, produzir soluções mais econômicas.

Muitas vezes surgem dificuldades na utilização dos modelos mais sofisticados,relacionadas á complexidade matemática do problema em si e também ao volume deoperações e dados envolvidos em sua solução. O projetista pode esbarrar, porexemplo, em limites de capacidade do equipamento eletrônico á sua disposição, ou nafalta de "software" adequado à análise da situação que se apresenta.

O que não se deve perder de vista é a necessidade constante de melhoria dosmodelos, o que muitas vezes pode ser alcançado com os recursos disponíveis aoprojetista.

Um simples problema de interseção de duas vigas em ponto não apoiado em pilar

é mais bem representado com a compatibilização de flechas do que com a hipótese deque uma das vigas serve de apoio rígido para a mais flexível, ou de menor inércia ououtro critério duvidoso aplicado regularmente em escritórios de projeto.

Em resumo: a implementação do modelo deve ser uma preocupação constantedo profissional responsável para que a interdependência das ações e respostas da




estrutura cada vez mais possa ser mais bem representada.

1.7 CUSTO DA ESTRUTURA

O custo da estrutura em concreto armado moldado no local para edifíciosconvencionais resulta da ordem de 20% a 25% do custo total considerando a obrapronta para utilização.

Nestes índices deve ser levados em conta o tipo de fundação adotado, que podeser em sapatas, estacas - de concreto moldado no local, concreto pré-fabricado,metálicas, ou tubulões moldados no local, que por sua vez podem ser moldados a céuaberto ou a ar comprimido.

A título de ilustração apresenta-se a tabela 1.2, elaborada por Mascaro (1985),onde são anotados os custos de cada etapa da construção de um edifício de dezandares, destinados a apartamentos residenciais, com pavimento térreo, semgaragens, construído entre as divisas laterais do terreno e com fundações em sapatasapoiadas em terreno de boa qualidade. Analisando-a pode-se perceber que para este

caso o custo para construir a estrutura de concreto armado é da ordem de 25%.Evidentemente cada edifício tem seu custo particular, pois condições específicasdo terreno exigem solução única para a fundação, o mesmo ocorre se o terreno possuidesníveis o que indica a necessidade de muros de arrimo em concreto armado.Dependendo do tipo de acabamento que o arquiteto indique para o projeto, o quemuitas vezes está ligado ao padrão financeiro dos moradores, ter-se-á custocompatível. Como acabamento pode-se pensar nos caixilhos, portas, azulejos, pisos,aparelhos sanitários, tipo de aquecimento de água, aquecimento de ambientes,refrigeração, quantidade de elevadores, piscinas, saunas, salão de jogos, salas deleitura e de festas e etc.

Elaborada pelo mesmo autor já citado, mostra-se a tabela 1.3 onde os custos

parciais são reorganizados em itens que se referem aos custos para construção dosplanos horizontais, do plano vertical e das instalações. Os serviços envolvidos nestessubitens estão citados na tabela na coluna composição. Na tabela consideram-se asporcentagens de custos relativos à estrutura de concreto armado, alvenarias devedação e instalações.

A análise da tabela 1.3 mostra que do custo para se construir os planoshorizontais 20% do custo total da obra é destinado à estrutura de concreto armado -lajes, vigas e fundações. Para os planos verticais 4% do custo total é consumido com aestrutura resistente - pilares e paredes de contraventamento

No custo do concreto armado estão envolvidos os custos dos materiais que ocompõem (pedra britada, areia, cimento, aditivos e adições), as barras e os fios de aço

que formam as armaduras, os materiais para montar as fôrmas para moldagem detodos os elementos estruturais, os custos dos andaimes, os custos com mão de obrapara preparação das fôrmas e dos materiais e custos de lançamento, adensamento,cura e desforma.

Cada um dos custos parciais incide no custo total por unidade de volume comporcentagens da ordem dos valores indicados:

concreto: (C15, preparado com betoneira) 24,08%aço: (CA-50, 100 kg/m3) 27,87%Fôrma: (12 m2 /m3 de concreto) 42,34% Andaimes: 0,56%lançamento e aplicação do concreto: 5,16%Total 100,00%

Observação: A NBR 6118:2003 indica que, para estruturas de concreto armado, aresistência característica mínima do concreto é de 20MPa (C20).




Tabela 1.2 - Custo de construção das diferentes etapas[Mascaró, 1985]

ITEMPORCENTAGEMSOBRE O CUSTO

TOTAL ( % )OBSERVAÇÕES

Canteirode

Obras

5,09 Amortização dos equipamentos 0,44%; trabalhospreliminares 0,48%; previdência 1,25%; seguros

e vigilância 2,26% e gastos diversos 0,66%.

Fundações 4,48Considera o caso de fundações diretas, ou seja,por sapatas independentes ou, em alguns casosvinculadas.

Estrutura resistente(sem fundações)

20,13 Compreende: lajes, vigas pilares e paredes decontraventamento.

Contrapisos 2,22Compreende os contrapisos sobre o terrenonatural, ou dos banheiros e outros contrapisosem geral.

Alvenariae

Impermeabilizações8,72

O gasto em impermeabilização é pequeno echega aproximadamente, a 0,3% (incluindo acobertura)

AcabamentosVerticais 14,49 Compreende: rebocos exteriores 3,49%; rebocosinteriores 5,2%; revestimentos 1,65%;pintura 3,18% e rodapés 0,93%.

AcabamentosHorizontais 6,99

Compreende: forros 2,06%terraços acessíveis 0,71%;soleiras 0,42% e pisos 3,8%

EsquadriasInternas eExternas

14,14Compreende: esquadriasinternas de madeira 8,2%;externas metálicas 5,32% e vidros 0,61%

Instalação Sanitária eContra Incêndio

8,22 Compreende os aparelhos das instalações

Instalaçãode Gás 4,69

Compreende os aparelhos das instalações

InstalaçãoElétrica 5,45 Compreende bombas deelevação de água.ElevadoresInstalações

Contra Incêndio4,79

Compreende elevadores para4 pessoas: 45m/min; Portas telescópicas;Comando simples, sem memória

Compactador de Lixo 0,59

Tabela 1.3 - Custo segundo pavimentos horizontais[Mascaró, 1985]

Classificaçãodo elemento

Composição Porcentagem Total Parcial

Elementos formados porplanos horizontais

.parte horizontal da

estrutura resistente,fundações.contrapisos.acabamentos horizontais

20,582,226,99 29,79%

Elementos formados porplanos verticais

.parte vertical daestrutura resistente,.alvenaria eisolamento.acabamentos verticais.esquadrias interna e externa

4,03

8,7214,4914,14 41,37%

Instalações(cujos custos sãosemi-independentesdas dimensões doedifícios)

.instalação sanitária econtra incêndio..instalação de gás.instalação elétrica.elevadores.compactador de lixo

8,224,695,454,790,59 23,74%

Canteiro de obra 5,09%




Os preços são atualizados semanalmente por Pini Sistemas, em São Paulo -Capital, e inclui os custos dos materiais, mão de obra, equipamentos e leis sociais queincidem em 126,80% (22 de março de 1993) e com BDI de 15%.

Os custos das fôrmas incidem em torno de 40% do preço final das estruturas deconcreto armado requerendo, portanto, um estudo apurado da forma estrutural daedificação com a finalidade de se obter o máximo de economia possível neste item.

As fôrmas, bem como o cimbramento, devem ser projetadas prevendo-se omáximo de reaproveitamento possível, sendo a padronização um dos aspectos maisimportantes. Nos casos de lajes nervuradas, por exemplo, pode-se utilizar como fôrmasdas nervuras e das mesas, materiais inertes como blocos de isopor, concreto celular,plásticos, etc., em substituição as fôrmas metálicas ou de madeira.

Os custos com mão-de-obra podem ser reduzidos, adotando-se no projetoestrutural detalhes simples e padronizados.

As armaduras para as lajes podem ser constituídas por telas soldadas, adquiridasno comércio nas dimensões dos painéis de lajes de tal modo a evitar perdas. As barrase os fios de aço utilizados nas vigas e pilares podem ser comprados de firmasespecializadas em fornecê-las dobradas e montadas.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. VLASSOV, B.Z. Pieces longues en voiles minces. Paris, Eyrolles, 1962.

2. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 1259:1989: Projeto eexecução de argamassa armada. Rio de Janeiro, 1989.

3. FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: fundamentos do projeto estrutural. São Paulo.MCGraw-Hill/Editora da Universidade de São Paulo, 1976.

4. ANDRADE, J.R.L. Estruturas correntes de concreto armado: 1a. parte. São Carlos,EESC-USP, 1982.

5. HANAI, J.B. Construções de argamassa armada: fundamentos tecnológicos paraprojeto e execução. São Paulo, Pini, 1992.

6. MacGREGOR, J.G. Reinforced concrete: mechanics and design. 2.ed. EnglewoodCliffs, Prentice-Hall, 1992.

7. LAJOTEC INDÚSTRIA E COMÉRCIO DE ARTEFATOS DE CIMENTO. Pré-lajes,São Carlos, SP, (Catálogo técnico)

8. LAJES PAOLI CONSTRUTORA INDUSTRIAL. Catálogo técnico. São Paulo, SP.

9. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DA CONSTRUÇÃO INDUSTRIALIZADA. Manualtécnico de pré-fabricados de concreto. São Paulo, ABCI/Projeto, 1987.

10.FIGUEIREDO FILHO, J.R. Sistemas estruturais de lajes sem vigas: subsídios parao projeto e execução. São Carlos, 1989. Tese (Doutorado) - Escola de Engenhariade São Carlos , Universidade de São Paulo.

11.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 2003:2003 Projeto deestruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003.




12.PROENÇA, S.P.B. Notas de aulas sobre cascas. São Carlos, EESC-USP, 1966.

13.LEONHARDT, F.; MONNIG, E. Construções de concreto: princípios básicos sobre aarmação de estruturas de concreto armado. Rio de janeiro, Interciência, 1978. v.3.

14.CORRÊA, M.R.S. Aperfeiçoamento de modelos usualmente empregados no projeto

de sistemas estruturais de edifícios. São Carlos, 1991. Tese (Doutorado) - Escola deEngenharia de São Carlos de São Carlos, Universidade de São Paulo.

15.LIN, T.Y.; STOTESBURY, S.D. Structural concepts and systems for architects andengineers. New York, John Wiley & Sons. 1981.

16.TARANATH, B.S. Structural analysis and design of tall buildings. New York,McGraw-Hill, 1988.

17.AÇOMINAS. Edifícios de andares múltiplos. Belo Horizonte, 1979. (ColetâneaTécnica do Uso do Aço, v.1).

18.MARGARIDO, A.F., Arranjos estruturais dos edifícios em aço. In: SEMINÁRIOSOBRE OS EDIFÍCIOS DE ESTRUTURAS METÁLICAS. São Paulo, 26-27 jun.1986. Anais. São Paulo, EPUSP, 1986. p.39-70.

19.ENGEL, H. Sistemas estruturais. São Paulo, Hemus, 1981.

20.MASCARÓ, J.L. O custo das decisões arquitetônicas. São Paulo, Nobel, 1985.

21.CONSTRUÇÃO SÃO PAULO, Pini, fevereiro, 1994.






2. AÇÕES A CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFÍCIOS

2.1 INTRODUÇÃO

2.1.1 GENERALIDADES

A NBR 8681:2002, define ações como sendo as causas que provocam oaparecimento de esforços solicitantes ou deformações nas estruturas. Diz ainda que,do ponto de vista prático, as forças e as deformações impostas pelas ações sãoconsideradas como se fossem as próprias ações. É corrente a designação de açõesindiretas para as deformações impostas e de ações diretas para as forças.

O EUROCODE 2[1989] define ações como sendo forças ou cargas aplicadasnas estruturas, podendo ser diretas, por exemplo, o peso próprio da estrutura ouindiretas, por exemplo, as deformações em virtude do efeito de variação detemperatura, recalques de apoios, retração.

A NBR 6118:2003 indica que na análise estrutural deve ser considerada a

influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativos para asegurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limitesúltimos e os de serviço.

De acordo com a NBR 8681:2003, as ações que atuam nas estruturas podemser subdivididas em: ações permanentes, ações variáveis, ações excepcionais ecargas acidentais.

2.1.2 AÇÕES PERMANENTES

As ações permanentes são aquelas que ocorrem nas estruturas com valoresconstantes ou de pequena variação em torno de sua média, durante praticamente todaa vida da construção. As ações permanentes podem ser diretas ou indiretas.

2.1.2.1 Ações permanentes diretas

As ações permanentes diretas são assim consideradas aquelas oriundas dospesos próprios dos elementos da construção, incluindo-se o peso próprio da estrutura ede todos os elementos construtivos permanentes, os pesos dos equipamentos fixos eos empuxos relativos ao peso próprio de terras não removíveis e de outras açõespermanentes sobre a estrutura aplicadas.

Em casos particulares, por exemplo, reservatórios e piscinas, os empuxos

hidrostáticos também podem ser considerados permanentes.Entre as ações permanentes diretas, no caso de estruturas de edifícios, podemser incluídos os pesos próprios dos elementos de concreto armado, os pesos própriosdos pisos e revestimentos e das paredes divisórias que podem ser em alvenaria detijolos.

2.1.2.2 Ações permanentes indiretas

Nos casos de estruturas de concreto as ações permanentes indiretas podem serconsideradas como as forças de protensão em peças de concreto protendido, osrecalques de apoio por causa de deslocamentos dos elementos estruturais que servem

de apoio ou por recalques do solo e retração dos materiais. A retração é uma açãoimportante no caso de elementos estruturais protendidos ou de pequena espessura.



Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios 34

2.1.3 AÇÕES VARIÁVEIS

São as que ocorrem nas estruturas com valores que apresentam variaçõessignificativas em torno de sua média, durante a vida da construção. São as ações deuso das construções (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos), bem como seusefeitos (forças de frenação, de impacto e centrífugas), efeitos do vento, das variações

de temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e das pressões hidrostáticas ehidrodinâmicas.Em função de sua probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, as

ações variáveis são classificadas em normais ou especiais.

2.1.3.1 Ações variáveis normais

São aquelas com probabilidade de ocorrência suficientemente grande para quesejam obrigatoriamente consideradas no projeto estrutural.

Neste caso se incluem as ações variáveis normais, também chamadas cargasacidentais, que atuam nas estruturas dos edifícios, mais precisamente sobre as lajes

dos pavimentos que são relativas ao uso por pessoas que a utilizam, mobiliário,veículos, bibliotecas, etc.

2.1.3.2 Ações variáveis especiais

São consideradas ações variáveis especiais as ações sísmicas ou cargasacidentais de intensidade especiais.

Como cargas acidentais especiais podem ser citadas como exemplos aquelasconstituídas por caminhões preparados para transporte de componentes de turbinaspara usinas hidrelétricas. As pontes e viadutos das estradas de tráfego normal sãoprojetadas para os veículos - tipos especificados nas normas brasileiras. Nos casosdaquele tipo de transporte os projetos das pontes devem ser revistos, antes de seautorizar a viagem e, se for o caso, as estruturas precisam ser reforçadas. O conjuntodas ações em um elemento estrutural de ponte é chamado de trem-tipo.

2.1.4 AÇÕES EXCEPCIONAIS

São aquelas que têm duração extremamente curta e muito baixa probabilidadede ocorrência durante a vida da construção, mas que precisam ser consideradas nosprojetos de determinadas estruturas.

São as ações decorrentes de causas como: explosões, choques de veículos,

incêndios, enchentes ou sismos excepcionais.Nas estruturas de edifícios os choques de veículos podem ocorrer nas áreas demanobras das garagens e os incêndios devem ser considerados com probabilidadecompatível com o tipo de utilização da obra, tais como indústrias de produtos químicos.

A NBR 8681:2002 considera que os incêndios, ao invés de serem tratados comocausa de ações excepcionais, também podem ser levados em conta por meio deredução da resistência dos materiais constitutivos da estrutura.

Para estruturas de concreto existe norma específica para projeto de estruturaresistente ao fogo. Cuidados especiais devem ser tomados com relação ao cobrimentodas barras da armadura.

Com relação à segurança contra incêndio em edifícios os projetos arquitetônicos

prevêem que as escadas devem ser enclausuradas, cujo acesso é feito por duas portascorta-fogo, sendo que entre as duas portas fica uma antecâmara com duto de fumaça,para proteger a escada em caso de incêndio.




2.2 VALORES DAS AÇÕES PERMANENTES

A NBR 6120:1980 prescreve que este tipo de ação é constituída pelo pesopróprio da estrutura e todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes.

No caso de edifícios as ações permanentes são constituídas pelos pesospróprios dos elementos estruturais - lajes, vigas, pilares, blocos ou sapatas de

fundações, dos elementos de vedação, das paredes de alvenaria - com os vários tiposde tijolos que podem ser usados na edificação, caixilhos com vidros ou divisórias devidros. Os elementos de revestimento de paredes, argamassas, azulejos, pedrasdecorativas, madeiras e etc., também devem ter seu peso próprio considerado naavaliação das ações dos revestimentos verticais.

Para os revestimentos horizontais devem ser considerados os revestimentos naface inferior das lajes e os contrapisos e os pisos que podem ser de madeira, cerâmico,pedras, carpetes, etc.

Os contrapisos são feitos em argamassa de cimento e areia e têm a finalidadede corrigir as imperfeições, com relação ao nível superior das lajes, oriundas daconcretagem. A execução do contrapiso demanda custos adicionais na obra, tais como:

material argamassa, custo de transporte e de mão de obra para fazer a argamassa eaplicá-la.

Algumas empresas têm se preocupado em melhorar o processo de moldagemdas lajes com a finalidade de evitar a execução do contrapiso, portanto, com economiasignificativa na obra, otimizando tempo e recursos financeiros.

Existem edifícios destinados à moradia ou comercial, com melhor cuidadoarquitetônico, onde existem ambientes destinados a jardins internos. O projetoarquitetônico deve especificar os detalhes para que se possa, no projeto estrutural,definir claramente as ações relativas às jardineiras e lagos artificiais, etc. Lembra-seque um metro cúbico de terra tem massa de 1800kg. Dependendo do porte das plantasque compõem o projeto de jardinagem a sua massa assume significado especial naconsideração das ações.

A NBR 6120:1980 especifica que na falta de determinação experimental, oprojetista de estruturas pode adotar os pesos específicos aparentes dos materiais deconstrução indicados na Tabela 2.1.

Na tabela são listados os valores relativos aos materiais mais comuns.É interessante notar que se for especificado, para um determinado ambiente

arquitetônico, piso de madeira de ipê róseo de 2cm de espessura, o seu peso porunidade de área será de 0,20 kN/m2, se, por outro lado, for especificado mármore, namesma espessura, o peso passa a ser de 0,56 kN/m2, ou seja, uma diferença de180%. Com isso, se pretende justificar o pleno conhecimento que o engenheiro

projetista deve ter de todos os materiais de acabamento, para não cometer erro deavaliação nas ações de peso próprio.Para situações específicas, como por exemplo, a utilização de blocos de

concreto celular como vedação de alvenarias, deve ser consultado catálogo dofabricante, ou seu departamento técnico, pois para a composição do carregamento totalda alvenaria há necessidade de se conhecer o peso específico do material.

Muitos dos componentes das edificações são constituídos pela composição deoutros, por exemplo, os caixilhos metálicos e de madeira. Para determinar as suasações permanentes nas estruturas é necessário compor os pesos dos materiais, isto é,acrescentar ao peso de aço ou madeira o peso dos vidros que compõem o caixilho.

Na falta de dados normalizados ou de catálogos de fabricantes de componentes

de construção há necessidade de se determinar experimentalmente os seus pesospróprios.




TABELA 2.1 - Peso específico dos materiais de construção

MateriaisPeso específicoaparente kN/m3

Rochas

ArenitoBasalto

GneissGranitoMármore e Calcário

2630

302828

Blocos Artificiais

Blocos de argamassaCimento amiantoLajotas cerâmicasTijolos furadosTijolos maciçosTijolos sílico-calcários

222018131820

Revestimentose concretos

Argamassa de cal, cimento/areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gessoConcreto simplesConcreto armado

1921

12,524,25

Madeiras

Pinho, cedroLouro, imbuia, pau óleoGuajuvirá, guatambu, grápia Angico, cabriuva, Ipê róseo

56,5810

Metais

Aço Alumínio e ligasBronze

ChumboCobreFerro FundidoEstanhoLatãoZinco

78,52885

1148972,5748572

MateriaisDiversos

Alcatrão AsfaltoBorrachaPapelPlástico em folhas

Vidro plano

1213171521

28

2.2.1 AÇÃO PERMANENTE DE COMPONENTES UTILIZADOS EM EDIFÍCIOS

Nos edifícios usualmente são utilizadas alvenarias de tijolos furados ou maciçosassentes com argamassa de cimento, cal e areia, que posteriormente são revestidoscom argamassa, que recebem como acabamento massa corrida e posteriormente sãopintadas. Os revestimentos de cozinhas e banheiros podem ser em peças de pedra -granito ou mármore - ou azulejos. Os pisos podem ser em pedras, madeira ou carpetede tecido.

Os blocos artificiais para alvenarias são especificados por norma própria ou peloManual Técnico da ABCI [1987], e são adotados no projeto arquitetônico de acordocom a sua concepção e em função do conforto térmico e acústico que se pretende.Condições técnicas e econômicas devem ser analisadas nestas decisões.




Para as coberturas podem ser usadas estruturas metálicas ou de madeiras, comtelhas que podem ser cerâmicas, de fibrocimento ou de chapas metálicas.

Da exposição feita pode-se perceber que para os projetos estruturais as açõespermanentes variam de acordo com os tipos de materiais utilizados. É possível, então,organizar-se uma tabela com os pesos próprios dos vários materiais de construção quenormalmente estão envolvidos no projeto.

É conveniente que os valores dos pesos próprios dos materiais estejamreferidos por unidade de área, pois, deste modo, ao se determinar o valor da ação deuma alvenaria atuante sobre uma viga do edifício, basta multiplicar a altura da alvenariapor este peso por unidade de área para se obter o carregamento na viga por unidadede comprimento.

Estas ações de peso próprio são determinadas considerando os pesosespecíficos aparentes indicados na tabela 2.1.

2.2.1.1 Peso próprio de parede de alvenaria revestida de um tijolo furado

Neste item, e a título de exemplo, será determinado o peso próprio de uma

alvenaria de tijolos furados, assentes de tal modo a se constituir em parede de umavez, isto é, um tijolo, revestida com argamassa mista - cimento, cal e areia com 20mmde espessura. O assentamento dos tijolos será com a mesma argamassa, comcamadas de 10mm de espessura entre as fiadas horizontais e, com mesma medidaentre as faces verticais dos tijolos.

Os blocos cerâmicos para paredes têm as seguintes dimensões: largura 90mm,altura 190mm e comprimento de 190mm.

Como pode ser visto na Tabela 2.1 os pesos específicos dos tijolos furados(blocos artificiais) é de 13kN/m3 e da argamassa de cal, cimento e areia é de 19kN/m3.

A figura 2.1 representa uma parede, nas condições citadas, de 1m de largurapor 1m de altura, constituindo, portanto, 1m2 de área. Como a largura do blococerâmico é de 19cm e tem 2cm de argamassa de revestimento em cada face, aespessura final da alvenaria é de 23cm.

Pode ser visto na figura 2.1 que para se construir uma parede de alvenaria emtijolos furados, de uma vez (ou de um tijolo), são necessários 50 tijolos. A massa dos50 tijolos é dada por:

50 . ( 0,19 . 0,19 . 0,09 ) . 13 = 2,11kN/m2

Para computar o peso próprio da argamassa de assentamento basta determinaro volume de argamassa - na direção horizontal e vertical - e multiplicar pelo peso

específico da argamassa, resultando:10 . ( 0,19 . 0,01 . 1,00 ) . 19 +

5 . ( 0,19 . 0,01 . 1,00 ) . 19 = 0,54kN/m2

O valor do peso de reboco, em ambas as faces da parede, é determinado por:

2 . ( 0,02 . 1,00 . 1,00 ) . 19 = 0,76kN/m2




Figura 2.1 - Parede de um tijolo furado com revestimento

Portanto, o peso de 1m2 de alvenaria de um tijolo furado, revestida com 2cm deargamassa em cada face, é igual a:

3,41kN/m2

Na determinação deste valor já se imaginou que a resultante de cada açãoparcial estava dividida por 1m.

Nos casos de se utilizar outros tipos de blocos para constituir as paredes ououtras dimensões de revestimento este procedimento deve ser repetido, o mesmoocorrendo quando há revestimento constituído por pedras ou azulejos.

Nestes casos os materiais que os compõem devem estar especificados no

projeto arquitetônico e a partir deste dado o peso próprio pode ser calculado oufornecido por catálogo do fabricante do produto.

2.2.1.2 Peso próprio de vários materiais usualmente empregados

Pode ser organizada uma tabela (2.2) com os pesos por unidade de área (1m2)para os principais materiais utilizados nos edifícios usuais para alvenarias, enchimentosde lajes rebaixadas, forros, coberturas, fôrmas, esquadrias e caixilhos.

Os valores indicados na tabela 2.2 foram obtidos consultando catálogos ereferências bibliográficas pertinentes. Na falta de dados a respeito do peso próprio demateriais de construção o engenheiro projetista deve determiná-los de maneira

criteriosa, se necessário até realizando ensaios.




Tabela 2.2 - Ações permanentes por unidade de área

ITEM MATERIAL AÇÃOkN/m2

PAREDES

Tijolos maciços, com 25cm deespessura

Tijolos maciços, com 15cm deespessuraTijolos furados, com 23cm deespessuraTijolos furados, com 13cm deespessuraTijolos de concreto, com 23cm deEspessuraTijolos de concreto, com 13cm deEspessuraTijolos de concreto celular, com 23cm

Tijolos de concreto celular, com 13cm

4,0

2,5

3,2

2,2

3,5

2,20,8

0,5

COBERTURAS

Com telhas cerâmicas,c/madeiramentoCom telhas de fibrocimento,c/madeira.Com telhas de alumínio eEstrutura de açoCom telhas de alumínio eEstrutura de alumínio

1,2

0,4

0,3

0,2

FORROS

Com painéis de gesso, com estrutura

de madeira e açoCom blocos sólidos de gesso 0,50,7

CAIXILHOSCom estrutura de alumínio, comvidrosCom estrutura de aço, com vidros

0,20,3

TELHASDe fibrocimento tipo Canalete 43De fibrocimento tipo Canalete 90

0,280,25

Na tabela 2.2 nas ações das paredes estão incluídas as relativas aos pesos dasargamassas de assentamento (1cm) e de revestimento (1,5cm em cada face). Nascoberturas foram considerados as massas das telhas úmidas por causa da ação da

chuva.

2.2.1.3 Exemplo de consideração de ações permanentes em lajes

No exemplo que será desenvolvido pretende-se determinar as ações atuantesnas lajes do projeto.

A figura 2.2 apresenta parte do pavimento - tipo de um edifício destinado a salaspara escritórios, onde se pode notar que o projeto prevê para cada conjunto aexistência de salas, copa, dois banheiros e um terraço.

Na figura 2.3 mostra-se o desenho da forma estrutural prevista para atender asexigências de segurança e de transferência das ações atuantes neste pavimento-tipo.O sistema estrutural adotado é constituído por pilares, que recebem as ações das vigas- tipo que, por sua vez, servem de apoio para as lajes maciças. As lajes L01, L03 e L05têm apenas ações uniformemente distribuídas, a laje L02, além da ação uniformementedistribuída recebe a ação linearmente distribuída representada pelas paredes que




dividem os dois banheiros e estes da copa. A L03 é responsável por receber as açõesatuantes no terraço, é uma laje em balanço, portanto suas bordas são livres, isto é, nãotêm o apoio de vigas. Para servir de parapeito, há uma parede de 1,0 m de altura emtodo o contorno do terraço (ver figura 2.2).

Na figura 2.3, para uma perfeita identificação, os elementos estruturais foramindicados por letras seguidas do número de ordem do elemento.

De acordo com a NBR 7191:1982 a designação dos elementos estruturais é feitacom os seguintes símbolos:

LAJES L DIAGONAIS DVIGAS V SAPATAS S

PILARES P BLOCOS BTIRANTES T PAREDES PAR

Figura 2.2 - Desenho da planta arquitetônica

A numeração das lajes é feita iniciando pela laje mais afastada do observador eà sua esquerda, prosseguindo para a direita, e, posteriormente, a partir da esquerda,numerando aquelas perpendiculares a plano vertical mais próximo do observador. Onúmero posicionado abaixo, separado por um traço, representa a espessura (h) da lajemedida em centímetros.

A numeração das vigas é feita inicialmente para as dispostas paralelamente aoeixo x e mais afastadas do observador, e prosseguindo-se por alinhamentossucessivos, até atingir a mais próxima do observador. Para as vigas dispostasparalelamente ao eixo y, tomando-se como referência um sistema cartesiano de eixosno desenho da forma estrutural, parte-se do lado esquerdo, por fileiras sucessivas, atéatingir o lado direito da forma estrutural. Junto de cada viga devem ser indicadas assuas dimensões: o primeiro número representa a largura (b) e o segundo a altura (h),ambos em centímetros.

Para os pilares a numeração é feita partindo-se do canto superior esquerdo dodesenho de forma para a direita, em linhas sucessivas. Junto a identificação colocam-




se as dimensões da seção transversal. É usual usar-se um traço posicionado logoabaixo da identificação com as medidas em centímetros. A primeira representa amenor dimensão e a segunda o comprimento da seção transversal. Alguns projetista esistemas computacionais escrevem primeiro a medida hx paralela ao eixo x e depois dabarra inclinada (/) a dimensão hy, independentemente de qual das duas for a menordimensão.

Figura 2.3 -Desenho da forma estrutural

a. Determinação das ações permanentes diretas para as lajes L01, L03 e L05

As ações permanentes diretas são constituídas pelos pesos próprios dosseguintes materiais: concreto armado da laje; camada de regularização, em argamassade cimento e areia; piso, que neste exemplo foi adotado tacos de ipê róseo erevestimento do forro, em argamassa de cal, cimento e areia

As dimensões da laje, da camada de regularização, do piso e do revestimentodo forro estão anotadas na figura 2.4.

Figura 2.4 - Dimensões para cálculo dos pesos próprios




As forças relativas aos pesos próprios são calculadas por unidade de área. Comos pesos específicos dos materiais definidos na tabela 2.1 determinam-se, para aslajes L01, L04 e L05:

Peso próprio da laje: 0,100.25 = 2,500 kN/m2 Peso próprio da regularização: 0,025.21 = 0,525 kN/m2

Peso próprio do piso: 0,020.10 = 0,200 kN/m2 Peso próprio do forro: 0,015.19 = 0,285 kN/m2

TOTAL: = 3,510 kN/m2

b. Determinação das ações permanentes diretas para a laje 02

A laje L02 está, neste projeto, sendo considerada rebaixada, como pode servisto na figura 2.3 que representa a forma estrutural do pavimento tipo. É necessárioassim proceder para permitir a instalação do sistema hidráulico de esgotos. Se a opçãofor por laje não rebaixada, isto é, no mesmo nível das demais, há necessidade de seprever forro falso, em gesso normalmente, para que as instalações não apareçam parao observador posicionado sobre a laje L02 do andar inferior.

Normalmente os rebaixos (figura 2.5) são cheios com entulhos obtidos naprópria construção. Neste projeto optou-se por preencher o rebaixo com tijolos furados,os mesmos que são usados nas alvenarias, com dimensões de 90mm x 190mm x190mm.

Como a altura do rebaixo é de 20cm, o centímetro que falta pode ser preenchidocom a argamassa de regularização. Lembrando que o peso específico do tijolo furado éde 13kN/m, como pode ser visto na tabela 2.1, a ação por unidade de área, relativa aoenchimento resulta:

0,19 . 13 + 0,01 . 19 = 2,66 kN/m2

Para a laje L02 há que se considerar, além das ações indicadas para as lajesL01, L04 e L05, a ação das paredes de alvenaria mostradas na figura 2.1.

A ação das paredes pode ser suposta uniformemente distribuída na área da laje,considerando para cálculo da área da laje os comprimentos medidos de centro a centrode vigas, isto é, e considerando a figura 2.3, as distâncias entre as vigas V01 e V02(medida lx) e entre as vigas V05 e V06 (medida ly).

As medidas lx e ly são iguais a 337,5cm e 371,5cm, respectivamente.Para se determinar a resultante da ação da parede deve-se calcular a área total

das paredes que solicitam a laje L02, resultando:

(3,15 + 2,47) (2,80 - 0,10) . 2,2 = 33,38kN

sendo, no primeiro termo as expressões entre parênteses representam o somatório doscomprimentos das paredes (ver figura 2.2) e a medida do pé direito do andar,respectivamente e, o valor 2,2 é o peso próprio de uma parede de alvenaria de 1/2tijolo furado, já se computando a argamassa de assentamento e de revestimento nasduas faces.

Dividindo a resultante pela área calculada com os vãos teóricos, determina-se aação na laje L02 relativa às paredes de alvenaria (ação permanente direta), ou seja:

2kN/m2,6553,375.3,72

33,38=




Para cálculo da resultante da parede não foram descontados os vãos dasportas, o que é um procedimento usual deste que não modifique em muito o valor daresultante.

A ação total na laje L02 fica igual a:

3,51 + 2,66 + 2,65 = 8,82 kN/m2

c. Determinação das ações permanentes diretas para a laje L03

Para a laje L03 segue-se o mesmo raciocínio utilizado na outras lajes para sedeterminar as ações oriundas do peso próprio, ou seja:

Peso próprio da laje: 0,100.25 = 2,500 kN/m2 Peso próprio da regularização: 0,025.21 = 0,525 kN/m2 Peso próprio do piso: 0,005.18 = 0,090 kN/m2 Peso próprio do forro: 0,015.19 = 0,285 kN/m2

TOTAL: = 3,400 kN/m2

Para o piso da laje L03 foi considerado um revestimento em peças cerâmicascom 5mm de espessura, por ser um ambiente (terraço) sujeito as intempéries.

Como a L03 é uma laje em balanço a ação de peso próprio da mureta paralela amaior dimensão da edificação será considerada como uma ação linearmentedistribuída na borda (figura 2.6).

Figura 2.5 – Ação no rebaixo Figura 2.6 - Laje L03

A mureta será construída em alvenaria de meio tijolo maciço com 1m de altura,resultando:

gpp,mur = 1,00 . 2,5 = 2,5 kN/m

As ações por causa das muretas perpendiculares à viga V04 (figura 2.3) serãoconsideradas uniformemente distribuídas em uma área definida pelo vão teórico dobalanço, neste caso lx = 108,5cm, e por um comprimento chamado largura colaborante(b) a ser definido por ocasião do estudo das lajes maciças, no capítulo 5.

2.2.1.4 Peso próprio de paredes não definidas no projeto

A NBR 6120:1980 diz que para a determinação da ação de paredes divisórias,em que sua posição não esteja definida no projeto arquitetônico, o cálculo de pisos




com suficiente capacidade de distribuição transversal da carga, quando não for feitopor processo exato, pode ser admitido, além dos demais carregamentos, como umaação uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terçodo peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1kN/m2.

Este caso se aplica quando o projeto arquitetônico deixa a decisão de locar asparedes na obra em função da utilização do ambiente arquitetônico. Normalmente isto

ocorre em edifícios destinados a escritórios onde, dependendo dos tipos deprofissionais que irão ocupá-los, há distribuições de ambientes diferenciados.

2.2.1.5 Cálculo dos esforços solicitantes de lajes com ação de paredes definidas noprojeto

No exemplo consideraram-se as ações das paredes como sendo uma açãouniformemente distribuída. Este procedimento é usual quando não se dispõem deprocesso mais elaborado para a determinação dos esforços solicitantes, por exemplo,aqueles baseados em procedimentos numéricos.

2.3 AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS

As ações variáveis normais são aquelas que atuam na estrutura em função desua utilização, tais como pessoas que habitam a edificação, mobiliário, materiaisdiversos, equipamentos, veículos, etc.

Estas ações são verticais e consideradas atuando no piso das edificações, istoé, nas lajes, que são estruturas planas, e, são supostas uniformemente distribuídas eos seus valores mínimos são os indicados na NBR 6120:1980.

A tabela 2.3 apresenta os valores mínimos para as ações que devem serconsideradas nos projetos de edifícios residenciais e comerciais destinados aescritórios.

Para projetos de edifícios com outras finalidades deve ser consultada a referidanorma ou outras específicas.

A NBR 6120:1980 prescreve ainda que, nos compartimentos destinados a açõesespeciais, como arquivos, depósitos de materiais, máquinas leves, caixas-fortes, etc.,não é necessária uma verificação mais exata destes carregamentos, desde que seconsidere um acréscimo de 3kN/m2 no valor da ação acidental. A análise das massasdos equipamentos deve ser feita pelo projetista.

No caso de armazenagem em depósitos e na falta de valores experimentais, opeso dos materiais armazenados pode ser obtido considerando os pesos específicosaparentes indicados na NBR 6120:1980. Essas ações são importantes para os projetos

de silos para armazenamento de produtos.No caso de balcões e sacadas com acesso público deve ser prevista a mesmaação uniformemente distribuída atuante no ambiente com a qual se comunicam e,ainda, uma ação horizontal de 0,8kN/m na altura do corrimão e uma ação verticalmínima de 2kN/m. Estas duas últimas ações também devem ser consideradas nosparapeitos de balcões e sacadas.

Para as escadas constituídas de degraus isolados, considera-se uma açãoconcentrada de 2,5kN, aplicada na posição mais desfavorável. Essa ação não deve serconsiderada na composição de ações para as vigas que suportem os degraus. Para asvigas que suportam os degraus, nas composições de suas ações, consideram-se asações de peso próprio, peso próprio do piso e revestimento, corrimão e ação variável

normal. Normalmente estas vigas que suportam escadas de degraus isolados ficamsubmetidas à ação de momento torçor. Lembra-se que as tensões tangenciais oriundasda força cortante e do momento torçor se somam.




Tabela 2.3 - Valores mínimos das ações variáveis normais

AMBIENTE ARQUITETÔNICO AçãokN/m2

Casas de Máquinas(incluindo a massa das máquinas) a serdeterminada em cada caso,

porém com o valor mínimo de 7,5Corredores

Com acesso ao públicoSem acesso ao público

32,5

EdifíciosResidenciais

Dormitórios, sala, copa, cozinha ebanheiro.Dispensa, área de serviço eLavanderia

1,5

2

EscadasCom acesso ao públicoSem acesso ao público

32,5

Escolas Anfiteatro com assentos fixosCorredor e sala de aulaOutras salas

32

Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2Forros Sem acesso a pessoas 0,5

Galerias de Arte A ser determinada em cada caso,porém com o mínimo 3

Galerias deLojas A ser determinada em cada caso,porém com o mínimo 3

Garagens eestacionamentos

Para veículos de passageiros ousemelhantes com carga máxima de25kN por veículo

3

Ginásio deEsportes

5

TerraçosSem acesso ao públicoCom acesso ao públicoInacessível a pessoas

23

0,5

Nos casos de edifícios com garagens em pavimentos térreos ou outrospavimentos, há necessidade de se considerar a ação de veículos conforme indicado natabela 2.3. Estas ações devem ser majoradas de um coeficiente ϕ determinado doseguinte modo:

sendol

o vão de uma viga ou o vão menor de uma laje; sendol

o = 3m para ocaso das lajes e l0 = 5m para o caso das vigas, têm-se:

ϕ = 1,00 quando l ≥ lo

1,43o ≤=ϕl

l quando l ≤ lo

Quando estiverem sendo analisados os pavimentos sujeitos às ações deveículos, o valor da ação indicada na tabela 2.3 que é de 3kN/m2 deve ser multiplicadapelo coeficiente de majoração ϕ determinado como exposto.

Esse coeficiente não deve ser considerado na determinação das ações emparedes e pilares, e sim para as lajes e vigas do pavimento considerado.




2.3.1 CONSIDERAÇÃO DAS AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS NOS PILARES

A NBR 6120:1980 sugere que na avaliação das ações nos pilares e nasfundações de edifícios destinados a escritórios, residências e casas comerciais asações acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela2.4. De nenhum modo estas reduções podem ser feitas quando a edificação for

destinada a depósitos.Para efeito de aplicação dos valores de redução indicados o pavimento doedifício destinado a forro deve ser considerado como piso para efeito de contabilidadedo número de pisos que atuam sobre o tramo de pilar analisado.

Tabela 2.4 - Redução das ações acidentais

Número de Pisos que atuamsobre o elemento

Redução percentual dascargas acidentais (%)

1,2 e 34

56 ou mais

020

4060

2.3.3 EXEMPLO DE CONSIDERAÇÃO DE AÇÕES VARIÁVEIS EM LAJES

Retomando o exemplo do item 2.2.1.3 lembra-se que o edifício em estudo édestinado a escritórios e, portanto, de acordo coma tabela 2.3 a ação variável normal -ação acidental - a considerar é igual a 2,0kN/m2 em todas as lajes.

A laje L03, por ser destinada a receber as ações relativas a um terraço comacesso público deve ser considerada, além da ação uniformemente distribuída, a

mureta na extremidade carregada com as ações linearmente distribuídas indicadas noitem 2.3 e, mostradas na figura 2.6.Com a finalidade de organizar os cálculos é conveniente montar a tabela 2.5 que

resume todas as ações consideradas no projeto, quais sejam: peso próprio das lajes,revestimentos e pisos, ações de alvenarias, enchimentos e as ações variáveis normais.

Tabela 2.5 - Ações finais nas lajes do exemplo

Laje hPeso

PróprioPiso +Revestimento

Alve-naria

Outras AçõesPerma-nentesDiretas

(g)

AçõesVariá-veis

Normais

(q)

Total Obs.:

cm kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 L01 10 2,5 1,0 --- --- 3,5 2,0 5,50L02 10 2,5 1,0 2,65 2,60 8,75 2,0 10,75L03 10 2,5 1,0 --- --- 3,5 2,0 5,50L04 10 2,5 1,0 --- --- 3,5 2,0 5,50L05 10 2,5 1,0 --- --- 3,5 2,0 5,50 fig.2.5

2.4 AÇÃO DO VENTO

A NBR 6118:2003 indica que a consideração da ação de vento nas estruturas éobrigatória e recomenda que devem ser determinadas com as prescrições da NBR6123:1988.




2.4.1 CÁLCULO DAS FORÇAS RELATIVAS AO VENTO EM EDIFÍCIOS

A NBR 6123:1988 prescreve que as forças relativas ao vento atuantes em umaedificação devem ser calculadas separadamente para:

a. elementos de vedação e suas fixações (telhas, vidros, esquadrias, painéis de

vedação, etc.);

b. partes da estrutura (telhados, paredes, etc.);

c. estrutura como um todo.

2.4.2 PROCEDIMENTO DE CÁLCULO

A NBR 6123:1988 estabelece que para estruturas de edifícios paralelepipédicoso projeto deve levar em conta:

a. as forças de vento agindo perpendicularmente a cada uma das fachadas;

b. as excentricidades causadas por vento agindo obliquamente ou por efeitos devizinhança. Os momentos de torção são calculados considerando estas forças agindocom as excentricidades, em relação ao eixo geométrico, dadas na norma.

2.4.3 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

Para a determinação dos esforços solicitantes por causa da ação do vento emestruturas reticulares, as ações podem ser consideradas como concentradas no nívelde cada laje. Para este caso é necessário que se determine o quinhão de carga emcada pórtico, que varia de acordo com a sua rigidez. O processo de cálculo éapresentado no capítulo 4. Podem ser determinados considerando modelo de pórticoespacial, para o qual se precisa de programa computacional adequado.

2.5 EFEITOS DINÂMICOS

Não são comuns casos de edifícios de concreto armado usuais sensíveis aosefeitos dinâmicos do vento, destacando-se aqueles cujas formas se assemelham acírculos, elipses, triângulos e retângulos com uma dimensão em planta predominantesobre a outra e, que sejam esbeltos e flexíveis. Sendo necessário análise específica

deve ser feita.2.6 EXEMPLO DE CÁLCULO DAS FORÇAS POR CAUSA DO VENTO

No exemplo determinam-se as forças estáticas relativas à ação do vento em umedifício paralelepipédico, com dimensões em planta de 15m por 30m e com 60m dealtura, isto é, com 20 andares, conforme pode ser visto na figura 2.7.

A destinação é de edifício residencial e deve ocupar um terreno plano, emlocalização afastada da região central da cidade e tem casas de baixa altura ao seuredor. Para se determinar a velocidade básica do vento, informa-se que o edifício ficana cidade de São Carlos, SP.




Figura 2.7 - Planta e vista do edifício do exemplo

Os coeficientes para a determinação das forças relativas ao vento são obtidasna NBR 6123:1988 - Forças devidas ao vento em edificações.

As forças estáticas por causa do vento são determinadas considerando a

velocidade básica do vento, dadas pelas isopletas de velocidade básica (Vo) fornecidasna norma citada e, desenhadas sobre o mapa do Brasil. O coeficiente S1 leva em contao fator topográfico, o coeficiente S2 representa a rugosidade do terreno, leva em contaas dimensões em planta da edificação e sua altura sobre o terreno e, o S 3 é o fatorestatístico que considera o grau de segurança requerido e a vida útil da edificação.

Estes coeficientes multiplicados pela velocidade básica do vento fornecem avelocidade característica do vento. Como o coeficiente S2 depende da altura daedificação considerada a velocidade característica do vento é determinada em funçãodesta altura.

Assim, a pressão dinâmica é determinada para as alturas da edificaçãoconsiderada, já que ela é linearmente variável da base da edificação até seu nível

superior.Os coeficientes de arrasto (Ca) são determinados para corpos de seçãoconstante ou fracamente variável e, são calculados em função das relações entre asmedidas em planta dos lados da edificação e entre a altura e estas.

2.6.1 VELOCIDADE CARACTERÍSTICA DO VENTO

A velocidade característica do vento é determinada pela expressão, de acordocom a NBR 6123:1988:

Vk = V0 . S1 . S2 . S3 ( m/s )

2.6.2 VELOCIDADE BÁSICA DO VENTO A velocidade básica do vento, para o caso deste exemplo e, determinada para a

região da cidade de São Carlos, SP de acordo com as isopletas de velocidade é:

V0 = 45 m/s

2.6.3 FATOR TOPOGRÁFICO

Como a edificação fica localizada em terreno plano ou fracamente acidentado ofator topográfico é:

S1 = 1,0




2.6.4 FATOR S2

Este fator considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, as dimensõesda edificação e altura sobre o terreno. Para este caso do exemplo esta sendoconsiderado que em função da rugosidade do terreno - terreno plano - Categoria III.Com relação à classe da edificação está sendo considerada Classe C, pois representa

todas as edificações, ou parte delas, para a qual a maior dimensão horizontal ouvertical da superfície frontal exceda 50 metros.Em função destas considerações determinam-se os fatores S para três alturas

do edifício, conforme figura 2.7.

Para h = 10m -----> S2 = 0,88

Para h = 30m -----> S2 = 1,00

Para h = 50m -----> S2 = 1,06

Figura 2. 8

2.6.5 FATOR ESTATÍSTICO S3

O fator estatístico considera o grau de segurança requerido e a vida útil previstapara a edificação. Neste caso do exemplo foi considerado edificação do Grupo 2, isto é,edificação para residências, resultando:

S3 = 1,0

2.6.6 VELOCIDADE CARACTERÍSTICA DO VENTO

Com a expressão do item 2.6.1 determinam-se as velocidades características dovento para as alturas consideradas, ou seja, para 10m, 30m e 50m, resultando:

Vk,10 = 45 . 1,0 . 0,88 . 1,0 = 39,6 m/s

Vk,20 = 45 . 1,0 . 1,00 . 1,0 = 4,50 m/s

Vk,30 = 45 . 1,0 . 1,06 . 1,0 = 47,7 m/s

2.6.7 PRESSÃO DINÂMICA

A pressão dinâmica é dada pela expressão:

]N/m[V.0,613q 22kw =

sendo que, para as três alturas consideradas, multiplicando-se pelas

velocidades características calculadas e, modificando a unidade da força paraquilonewton, resultam:

qw,10 = 0,96 kN/m2




qw,30 = 1,24 kN/m2

qw,50 = 1,39 kN/m2

2.6.8 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE ARRASTO ( Ca )

Considerando que l1 é a largura da edificação, isto é, a dimensão horizontalperpendicular à direção do vento e l2 é a profundidade, ou seja, a dimensão na direçãodo vento e, h é a sua altura, pode-se determinar o coeficiente de arrasto em funçãodestas grandezas geométricas.

Os coeficientes de arrasto são determinados na NBR 6123:1988 para asrelações l1/l2 e h/l1, por meio de ábaco próprio.

As considerações geométricas para este exemplo são dadas pela figura .2.9.

Figura 2.9 - Direções do vento para cálculo de Ca

2.6.8.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área

No caso da figura 2.9-a as dimensões a considerar são:

l1 = 15 m e l2 = 30 m

Ou seja, com h = 30 m, resulta:

4,015

60h

0,530

15

2

1

==

==

l

l

l

Com estes valores e consultando a NBR 6123:1988 resulta para coeficiente dearrasto, para vento agindo perpendicularmente à fachada de menor área o valor:

Ca = 1,03

2.6.8.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área

No caso da figura 2.9-b as dimensões a considerar são:

l1 = 30 m e l2 = 15 m

Ou seja, com h = 30 m, resulta:




2,0

30

60h

2,015

30

2

1

==

==

l

l

l

Com estes valores e consultando a NBR 6123:1988 resulta para coeficiente dearrasto, para vento agindo perpendicularmente à fachada de maior área o valor:

Ca = 1,38

2.6.9 DETERMINAÇÃO DAS FORCAS RELATIVAS AO VENTO

As forças em virtude do vento são consideradas uniformemente distribuídas para

cada segmento de altura da edificação de 20m, neste exemplo. O módulo da força écalculado pela expressão:

w = Ca . qw . l1

Lembrando que l1 é a dimensão da área da fachada da edificação medidasegundo o plano horizontal, o valor a força relativa ao vento já fica determinada porunidade de comprimento.

2.6.9.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área

Sendo q igual aos valores calculados no item 2.6.6 e com os coeficientes dearrasto recém determinados, vem:

w0,20 = 1,03 . 0,96 . 15 = 14,8 kN/m

w20,40 = 1,03 . 1,24 . 15 = 19,2 kN/m

w40,60 = 1,03 . 1,39 . 15 = 21,5 kN/m

a) b)Figura 2.10 - Distribuição das forças de vento - Fachada de menor área

2.6.9.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área

Analogamente ao calculado no item anterior, vem:w0,20 = 1,38 . 0,96 . 30 = 39,7 kN/m

w20,40 = 1,38 . 1,24 . 30 = 51,3 kN/m




w40,60 = 1,38 . 1,39 . 30 = 57,6 kN/m

Figura 2.11 - Distribuição das forcas por caus do vento - Fachada de menor área

2.7 OUTRAS AÇÕES

Entre as ações a serem consideradas, se for o caso, em estruturas de edifícios

encontram-se: variação de temperatura, retração e fluência do concreto, choques,vibrações, ações repetidas e, ainda, aquelas provenientes de deslocamentos de apoioe processos construtivos, se as condições de projeto assim determinarem.

2.7.1 VARIAÇÃO DA TEMPERATURA

Para as variações uniformes de temperatura da estrutura, causada globalmentepela variação da temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é consideradauniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões doselementos estruturais que a compõem.

De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores:

a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm,deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a15ºC;

b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vaziosinteiramente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se queessa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC;

c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cmadmite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados.

A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50%da diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra.

Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigênciasconstrutivas prescritas por esta Norma para que sejam minimizados os efeitos dasvariações de temperatura sobre a estrutura da construção.

As variações não uniformes de temperatura nos elementos estruturais em que atemperatura possa ter distribuição significativamente diferente da uniforme, precisamser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, podeser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde quea variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não sejainferior a 5ºC.




2.7.2 AÇÕES DINÂMICAS

Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ouvibrações, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação dassolicitações e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento doselementos estruturais de acordo com o indicado na NBR 6118:2003.

2.7.3 AÇÕES EXCEPCIONAIS

No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento,cujos efeitos não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradasações excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por normasbrasileiras específicas.

2.7.4 RETRAÇÃO

O valor da retração do concreto depende de fatores como: umidade relativa do

ambiente, consistência do concreto quando do lançamento e espessura fictícia doelemento. A NBR 6118:2003 estabelece que para as peças de concreto armado noscasos correntes a deformação específica pode ser suposta igual a -15 x 10-5.

2.7.5 FLUÊNCIA

A fluência ou deformação lenta ocorre quando há ações de longa duraçãoatuando na estrutura.

No caso de pilares esbeltos (λ > 90), sua consideração é obrigatória, podendoser feita pelo método da excentricidade equivalente, admitindo-se que todos oscarregamentos são de curta duração e introduzindo-se uma excentricidadesuplementar de primeira ordem.

2.8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6118:2003 Projeto deestruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6120:1980: Cargas parao cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 1980.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6123:1988: Forçasdevidas ao vento em edificações, Rio de Janeiro, 1988.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 7191:1982 Execução dedesenhos para obras de concreto simples ou armado. Rio de Janeiro, 1982.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 8681:1984: Ações esegurança nas estruturas. Rio de Janeiro, 1984.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DA CONSTRUÇÃO INDUSTRIALIZADA, Manual técnico

de pré-fabricados de concreto. São Paulo, ABCI/Projeto, 1987.

COMMISSION OF THE EUROPEAN COMMUNITIES. Eurocode n.2: Design ofconcrete structures. (EC2-1989).






3. ESCOLHA DA FORMA DA ESTRUTURA

3.1 ASPECTOS GERAIS

A escolha da forma da estrutura de um edifício depende do projeto arquitetônico

proposto. Usualmente os edifícios, exclusivamente residências, são constituídos pelosseguintes pavimentos: subsolo - destinado à área de garagem; pavimento térreo -destinado à recepção, salas de estar, de jogos, de festas, piscinas e área pararecreação; pavimento-tipo - destinado aos apartamentos, com os vários cômodosprevistos no projeto. Em alguns projetos os ambientes sociais se localizam nacobertura do edifício, requerendo um projeto estrutural compatível para o pavimento decobertura.

Nos casos de edifícios comerciais constituídos por pavimentos-tipo, o projetoarquitetônico feito para esta finalidade é pouco alterado, ou seja, deve ser destinado osubsolo para área de garagem, térreo para recepção e acesso a elevadores e escada,pavimentos-tipo com distribuição arquitetônica compatível com a finalidade do edifício.

Existem casos de edifícios com utilização mista, isto é, parte dele é de utilizaçãocomercial, por exemplo, do primeiro ao quarto andar e, os andares seguintes são deutilização residencial. Usualmente, nesse caso, as distribuições arquitetônicas dosandares-tipo não são compatíveis, exigindo posições diferentes para os pilares emcada andar-tipo.

As áreas destinadas a garagens, que normalmente são localizadas no subsolo,e em alguns projetos no subsolo e no pavimento térreo, determinam posições depilares compatíveis com áreas de manobras e de estacionamentos o que, em algunscasos, não são compatíveis com a distribuição de pilares estudada para o pavimento-tipo. Nessa situação é usual projetar-se uma estrutura de transição, responsável por

transferir as ações dos pilares posicionados de acordo com o projeto arquitetônico doandar tipo para pilares posicionados segundo a compatibilidade com os projetosarquitetônicos do andar térreo e do subsolo.

3.2 ANTEPROJETO DA FORMA DA ESTRUTURA DE UM EDIFÍCIO

Para realizar o anteprojeto da forma da estrutura de um edifício é necessário,como já enfatizado, posicionar os pilares de tal modo que não ocorra interferência como projeto arquitetônico e de instalações. As dimensões dos elementos estruturais nãodevem, também, interferir com as paredes de alvenarias ou outros materiais.

Assim, neste capítulo discutem-se subsídios para iniciar o projeto de estruturas. As dimensões mínimas dos elementos estruturais são indicadas por normas nacionaise internacionais e devem ser adotadas na fase de anteprojeto. É claro que outrosfatores estão envolvidos como ações que irão atuar na estrutura, vão de vigas e lajes,que como se sabe intervém nas intensidades dos esforços solicitantes, que para seremequilibrados pelos esforços resistentes exigirão seções transversais avantajadas.

No caso de estruturas complementares de edifícios tais como reservatóriosparalelepipédicos, escadas, muros de arrimo, paredes estruturais, blocos de fundação,critérios outros devem ser analisados como cobrimentos das armaduras a seremadotados por causa da possibilidade de percolação de água que pode afetar adurabilidade do elemento.

Assim, são apresentadas as dimensões mínimas de alguns elementosestruturais indicadas na NBR 6118:2003 e também se analisam critérios econômicospara projeto estrutural de edifício construído em concreto armado.



Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural 56

3.2.1 Dimensões mínimas dos elementos estruturais

3.2.1.1 Lajes

A NBR 6118:2003 prescreve para espessuras mínimas de lajes maciças de

edifícios, em função da utilização, os seguintes valores:

a.- 5 cm para lajes de cobertura não em balanço;

b.- 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;

c.- 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN;

d.- 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;

e.- 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas,

l/42 para lajes de piso biapoiadas,

l/50 para lajes de piso contínuas;

f.- 16cm para lajes lisas e 14cm para lajes-cogumelo.

Para as lajes nervuradas a NBR 6118:2003 indica que a espessura da mesa,quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15da distância entre nervuras e não menor que 3 cm.

O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulações embutidasde diâmetro máximo 12,5 mm.

A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm.Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de

compressão.

Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintescondições:

a.- para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60 cm,pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação docisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje;

b.- para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 60 cm e 110 cm,exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas aocisalhamento como vigas; permitem-se essa verificação como lajes se o espaçamentoentre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura média das nervuras foremmaior que 12 cm;

c.- para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maioresque 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha devigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura.

3.2.1.2 Vigas e vigas-parede

A NBR 6118:2003 indica que a seção transversal das vigas não deve apresentarlargura menor que 12 cm, e das vigas-parede menor que 15 cm. Estes limites podemser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais

sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições:




a.- alojamento das armaduras, e suas interferências com as armaduras deoutros elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidosnesta Norma;

b.- lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931:2003 –Execução de estruturas de concreto.

3.2.1.3 Pilares e pilares-parede

A seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19cm.Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19cm e

12cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamentopor um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela 3.1. Em qualquercaso não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360cm2.

Tabela 3.1 – Valores do coeficiente adicional γn

b ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35

sendo:γn = 1,95 – 0,05bb é a menor dimensão da seção transversal do pilar.O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seudimensionamento.

Pilares-parede são elementos de superfície plana, usualmente dispostos navertical e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos poruma ou mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma

dessas superfícies, a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambasconsideradas na seção transversal do elemento estrutural.

Na maioria dos casos dos pilares de edifícios as ações nos pilares são aplicadasexcentricamente, de tal modo que para o dimensionamento do pilar há necessidade dese considerar uma excentricidade inicial (ei). Pode-se dizer que, na maioria dos casos,os pilares de edifícios estão submetidos à flexão oblíqua composta, em função daconsideração da vinculação das vigas com os pilares e, das posições destas emrelação aos eixos principais da seção transversal dos pilares.

A NBR 6118:2003 indica que para verificação da resistência dos pilares, emfunção das solicitações, deve ser considerada uma excentricidade acidental (ea), paralevar em conta o possível desvio do eixo da peça durante a construção, por causa dodesaprumo ou falta de retilinidade do eixo do pilar, em relação à posição prevista noprojeto.

Nos casos dos pilares em que o índice de esbeltez (λ = le / i) for menor do queλ1 = 35 não há necessidade de se considerar o efeito das deformações, oriundas dosefeitos de segunda ordem.

Quando o índice de esbeltez for maior do que λ1 = 35, obrigatoriamente deve-selevar em conta o efeito das deformações, sendo que o cálculo abrange tanto o caso deruptura a compressão do concreto ou deformação plástica da armadura como a ruínapor instabilidade, pelos processos indicados a seguir.

Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas

no caso de postes com força normal menor que 0,10f cd Ac, o índice de esbeltez podeser maior que 200.




3.2.1.4 Paredes estruturais

As espessuras das paredes estruturais devem ter as dimensões adotadas àsemelhança dos pilares-parede. Nos casos em que o comprimento da seção horizontalfor menor do que cinco (5) vezes a espessura, a peça será considerada como pilar, emcaso contrário, isto é, comprimento maior que cinco (5) vezes a espessura a parede

deve ser calculada como elemento comprimido ou flexo-comprimido por faixas decomprimento unitário.

3.2.1.5 Fundações

Para as fundações rasas constituídas por sapatas diretas, as dimensões emplanta das sapatas são determinadas em função de critérios de resistência do terrenosobre o qual se apóia o edifício. A altura da sapata deve ser determinada em função dotipo de consideração que se faça de sapata rígida ou flexível.

Nos casos de ser necessário adotar fundação profunda (estacas ou tubulões), asdimensões dos blocos de coroamento dependem das quantidades e dos diâmetros das

estacas que se adotar para cada pilar. As alturas dos blocos também dependem daconsideração de flexibilidade.

3.2.2 DIMENSÕES ECONÔMICAS PARA PRÉ-DIMENSIONAMENTO DEELEMENTOS ESTRUTURAIS

Para efeito de análise econômica dos elementos estruturais, é convenienteanalisar lajes, vigas e pilares separadamente.

As lajes quanto mais esbeltas, isto é, quanto menor for a espessura, maiseconômica será. Existe um limite indicado pela verificação dos estados limites último ede serviço. Embora seja possível se construir lajes com pequena espessura, queatenda essas condições, o desconforto para o usuário é sensível ao se caminhar sobreelas. A vibração pode definir um estado limite de serviço. Além disso, há que seatenderem as espessuras mínimas indicadas pela NBR 6118:2003.

Alguns critérios práticos podem ser enumerados com a finalidade de orientar opré-dimensionamento das lajes de edifícios. Esses critérios que relacionam asresistências dos elementos estruturais e a economia de material foram analisados, porCEOTTO [1985].

Se a laje for armada em duas direções, isto é, se a relação entre os vãosefetivos maior e menor for menor do que 2, a espessura da laje pode ser adotada entreos limites de um cinqüenta ávos (1/50) e um quarenta ávos (1/40) do vão teórico

menor. Se a relação entre os vãos for maior que 2, esses limites se modificam para umquarenta e cinco ávos (1/45) e um trinta ávos (1/30) do menor vão.Os vãos considerados econômicos podem ser adotados em torno de 4m,

resultando aproximadamente áreas de 15 m2 a 20 m2. As taxas de armaduras devem resultar entre 2,4 quilos a 3,2 quilos de aço por

unidade de área e 28 quilos a 53 quilos de aço por unidade de volume de laje. Essesvalores alteram muito pouco quando se aumenta o valor da resistência característicado concreto.

As lajes ficam geometricamente definidas pelas posições ocupadas pelas vigasno pavimento, decorrendo daí que os valores indicados serão atendidos por estudocompatível para as posições das vigas.

As vigas, segundo critérios econômicos, não devem ultrapassar valores entreum treze ávos (1/13) a um onze ávos (1/11) do vão livre nos casos de vãos internos;para os vãos externos podem-se adotar valores entre um onze ávos (1/11) a um noveávos (1/9) do vão livre. Só nos casos em que o projeto arquitetônico indique, se




projetam vigas contínuas com alturas dos tramos diferentes, podendo-se, portanto,tomar como indicativo para as alturas das vigas o valor de um décimo (1/10) do vãolivre.

Para cada viga deve-se prever área de influência de lajes com valorescompreendidos entre 3,5m a 4,2m de laje por unidade de comprimento de viga.

As taxas de armaduras das vigas consideradas econômicas devem resultar

entre 80kg a 105kg por unidade de volume. A utilização de concretos com maiorresistência característica não afeta de modo significativo à economia na estrutura dasvigas.

Ao se posicionarem os pilares na planta do andar-tipo deve-se localizá-los auma distância entre 4,5m e 5,5m sempre que possível.

Os pilares devem resistir às ações verticais transmitidas pelas vigas, comotambém as horizontais oriundas das ações de vento. As posições dos pilares naestrutura devem ser compatíveis com a arquitetura do edifício. Normalmente, parahaver essa compatibilização, os pilares são adotados com seção retangular, embora ospilares robustos sejam mais econômicos.

No caso de pilares, em contraposição ao indicado para lajes e vigas, o aumento

da resistência característica do concreto é significativo com relação ao melhoraproveitamento da seção transversal.

A área de influência econômica deve resultar entre 15m2 a 20m2 de área depavimento por pilar.

As taxas geométricas de armaduras consideradas econômicas devem resultarentre 2% a 3%, com consumo de aço compreendido entre 130kg a 220kg por unidadede volume de concreto, no primeiro pavimento. As seções transversais adotadas notramo de pilar entre primeiro e segundo pavimentos podem ser mantidas até acobertura. Com isso se pode prever para os pavimentos-tipo conjuntos de fôrmas quenão sofrerão acréscimos nos comprimentos das vigas por ocasião das moldagens.

Esses critérios econômicos aqui enumerados são oriundos de observaçõesgerais de projetos estruturais já realizados e de observações práticas de construçõesde obras de edifícios residenciais e comerciais. Cada projeto deve ser analisadocuidadosamente com relação ao comportamento estrutural e com relação aos custosde construção.

Na fase de projeto precisa ser verificado com as empresas construtoras eempreendedoras as facilidades de se conseguir os materiais na região da obra e,assim, avaliar os custos com transportes. O mesmo deve ser feito com relação mão deobra disponível na região.

3.2.3 ESCOLHA DAS POSIÇÕES DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS Analisa-se neste texto o projeto da estrutura em concreto armado moldado no

local de um edifício residencial. O projeto arquitetônico é convencional, isto é não exigea utilização de sofisticados procedimentos de cálculo estrutural.

Com as indicações citadas nos itens anteriores e com as que se seguem,procura-se definir a forma da estrutura de concreto armado localizando as posições dospilares, definindo as vigas e, por conseguinte, demarcando as lajes.

O projeto da forma da estrutura deve ser desenvolvido procurando-secompatibilizar o projeto estrutural com o projeto arquitetônico. Neste aspecto torna-seimportante analisar todos os detalhes e indicações do projeto arquitetônico para

perfeita compreensão.É preciso lembrar que o projeto completo de um edifício envolve outros projetosque não só o de estruturas. Assim, é preciso analisar os anteprojetos de instalaçõeshidráulicas e elétricas, de som, de ar condicionado, de paisagismo e jardinagem, etc.




Desse modo é preciso cuidado ao se determinar as posições dos pilares econseqüente definição das vigas e lajes para que não ocorra interferência com osdemais projetos.

As várias áreas técnicas envolvidas no projeto costumam fazer anteprojetos que,posteriormente são analisados em conjunto para que se estudem as compatibilizaçõesnecessárias. A título de exemplo, pode-se citar o cuidado que se deve ter ao verificar a

localização de vigas nas regiões de banheiros e área de serviço, sendo que oengenheiro que cuida do projeto hidráulico, muito provavelmente, procurou localizarpontos para passagem de dutos de esgoto e instalações de água fria e quente.

É conveniente, antes de se iniciar o anteprojeto da forma da estrutura, analisar oprojeto arquitetônico, verificando medidas dos compartimentos, espessuras dasparedes e tipos de pisos que serão empregados. A análise das possíveis interferênciasentre as posições dos pilares nos vários andares, isto é, subsolo, térreo, pavimentos-tipo, cobertura, casa-de-máquinas dos elevadores e reservatórios para água elevadose enterrados (no subsolo), deve ser feita por comparação entre as várias plantasarquitetônicas.

A forma da estrutura começa a ser delineada a partir do posicionamento dos

pilares, compatibilizando-os com a planta arquitetônica do pavimento-tipo.Normalmente a área destinada à escada e aos elevadores são comuns em

todos os andares e nesta área, em níveis diferentes, ficam a casa de máquinas para oselevadores e os reservatórios elevados, não havendo, nessas regiões, interferências noposicionamento dos pilares. Pode-se também adotar pilares-parede na região doselevadores, com a finalidade de se melhorar a resistência do edifício com relação àsações horizontais (ação do vento).

Procuram-se localizar os demais pilares, mantendo um alinhamento entre elescom a finalidade de gerar pórticos que possam ser solicitados por ações horizontais.

Além de se procurar manter, em uma mesma direção, as distâncias econômicas já indicadas, é conveniente posicioná-los coincidindo com as paredes divisóriasapresentadas na planta arquitetônica. Deve-se ter em conta que afastamentosexagerados entre os pilares exigirão vigas com altura significativa, o que deve serevitado por motivos já discutidos no item anterior.

Praticamente, quando se posicionam os pilares, as localizações das vigas ficamtambém definidas. Não é necessário projetar uma viga coincidindo com cada parede,pois é possível carregar lajes com ações linearmente distribuídas representadas porparedes. As ações oriundas das paredes podem também ser suportadas por lajes e,nesses casos, a ação de parede pode ser considerada linearmente distribuída sobre alaje. Nos casos de lajes armadas em uma direção, os esforços solicitantes sãodeterminados em função da direção da parede em relação a direção da armadura

principal. Nos casos de lajes armadas em duas direções pode-se fazer, ainda, umaconsideração simplificada, sendo as ações das paredes admitidas uniformementedistribuídas sobre as lajes.

As vigas podem ser localizadas em posições tais que se faça necessário apoiá-las em outras vigas. Esse procedimento é perfeitamente aceitável, desde que, aodetalhar as armaduras das vigas não se esqueça de prever a colocação de armadurasde suspensão (na região da ligação entre as vigas).

O desenho da forma da estrutura, na fase de anteprojeto, pode ir sendo feito demodo mais definitivo à medida que essas considerações forem sendo atendidas. Emum primeiro estudo do anteprojeto pode-se colocar papel transparente (vegetal ouarroz) sobre o desenho da planta arquitetônica do pavimento-tipo, o que facilita a

compatibilização entre os projetos estrutural e arquitetônico. Em comparação comprojetos de edifícios de mesmo porte, realizados anteriormente, pode-se, para efeito dedesenho, dar uma ordem de grandeza para as dimensões dos pilares compatíveis comas ações aplicadas.




Os desenhos podem ser feitos com auxílio de computador, a partir do projetoarquitetônico dos pavimentos, em arquivo eletrônico, sendo que, ao se locarem ospilares, definirem-se as posições das vigas e, por conseguinte, das lajes, os desenhosarquitetônicos podem ser apagados, salvando apenas o desenho da forma estruturaldo pavimento estudado.

As vigas podem, depois de localizados os pilares, ser desenhadas cuidando-se

para posicioná-las de tal modo a ficarem embutidas nas paredes. Para isso é precisoverificar quais são as suas dimensões e se há essa possibilidade. Ao posicioná-laslembra-se que elas têm a finalidade de delimitar as lajes, e que devem ter asdimensões econômicas já citadas.

As vigas têm, ainda, as funções de suportarem as ações geradas pelas paredes,as transferidas pelas lajes e, se for o caso, fazerem parte dos pórticos que devemresistir às ações horizontais oriundas do efeito do vento.

Quanto as vigas, as larguras são adotadas em função da necessidade de, namaioria dos projetos, compatibilizá-las com as espessuras acabadas das paredes dealvenaria, conforme pode ser visto nas figuras 3.1. Normalmente as paredes externassão construídas em alvenaria de um tijolo, e as internas em alvenaria de meio tijolo.

Como os tijolos de oito furos têm dimensões de 9cm x 19cm x 19cm, pode-se definirpara espessura total das paredes de um tijolo 23cm e 13cm para as de meio tijolo. Istosignifica considerar 2,0cm de revestimento de argamassa de cada lado da parede.

Adota-se, se possível, para as vigas internas, que fazem parte de um andar-tipode um edifício, larguras medindo 10cm, quando se deseja que a viga fique embutidaem uma parede de 13cm, ou seja, de meio-tijolo - figura 3.1.b. Quando houvernecessidade de espessuras maiores, como alternativa, parte da viga fica aparente ouse indica ao projetista da arquitetura, uma parede interna de um tijolo - figura 3.1a e3.1c. Às vezes se faz necessário adotar viga com largura de 10cm para parede de umtijolo com a finalidade de se permitir a colocação de tubulação para instalaçãohidráulica posicionadas na face da viga e embutida na parede de um tijolo - figura 3.1be 3.1c.

Para as paredes externas também se adotam vigas com espessuras da ordemde 10cm de espessura, embora as alvenarias tenham 23cm de espessura.

Os elementos estruturais fletidos conforme mostrado na figura 3.1 podem terinterferência com os dutos hidráulicos, devendo-se prever furos nas vigas, na direçãotransversal e na direção da espessura no caso de lajes. Os elementos estruturaisdevem ter as suas seguranças verificadas por causa das aberturas. A NBR 6118:2003indica critérios para as aberturas em lajes e vigas que devem ser considerados.Lembra-se que nas vigas as forças cortantes com maior intensidade ocorrem juntosaos apoios nos casos de forças uniformemente distribuídas e os momentos fletores

negativos também ocorrem junto ao apoios e os positivos em regiões da vigaspróximas da região central. Assim sendo o projetista deve verificar as seguranças dasseções transversais com muito cuidado.

As alturas das vigas dos pavimentos-tipo não devem ultrapassar a distância depiso-a-piso menos a altura das portas e caixilhos, que usualmente é de 2,10m.

O desenho do anteprojeto da forma da estrutura para o pavimento - tipo,realizado em papel transparente e em escala compatível com a adotada para asplantas arquitetônicas dos demais pavimentos, deve ser comparado com estes para severificar se há interferência das posições dos pilares no pavimento-tipo com os demaispavimentos.




Figura 3.1 - Posições das vigas em relação às paredes[Andrade, 1985]

Ao se definirem as dimensões dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares,blocos de fundação e demais elementos estruturais) os cobrimentos das barras da

armadura, que é a distância do plano tangente a barra, paralelo a face do elemento,deve ser adotado em função das condições de exposição do elemento ao meioambiente. A NBR 6118:2003 prescreve os valores mínimos indicados na tabela 3.2 emfunção da classe de agressividade ambiental indicada na tabela 3.3.

As espessuras dos elementos estruturais, por exemplo, de uma viga, deve terdimensão tal que leve em conta os cobrimentos das armaduras, as espessuras dasbarras dos estribos e o conveniente alojamento das barras longitudinais necessáriapara absorver a força resultante de tração.

As dimensões das vigas devem ser definidas, ainda, em função de previsão dosvalores dos esforços solicitantes de cálculo que devem ser sempre menores que osresistentes de cálculo. As verificações dos estados limites de serviço devem sempre

ser atendidas. Fazem parte dos estados limites de serviço os estados limite deformação de fissuras (ELS-F), limite de aberturas das fissuras (ELS-W) e dedeformação excessiva.

Se as posições dos pilares no pavimento-tipo interferirem em áreas destinadas agaragens no subsolo, ou com algum outro ambiente social no térreo, há necessidadede se prever um pavimento de transição. Esse pavimento pode ser o do andar térreoou o primeiro andar-tipo.

Essa estrutura de transição normalmente requer vigas, chamadas de vigas detransição, de grandes dimensões, já que as ações a transferir têm ordem de grandezasuperior quando comparadas com as ações atuantes nas vigas-tipo, isto é, as quepertencem aos andares-tipo.

Quando não há interferência entre as posições dos pilares nos vários andares,não é necessário projetar-se estrutura de transição, o que gera economia, pois o seucusto é significativo em função do volume de concreto utilizado.




Tabela 3.2 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimentonominal para ∆c=10mm

Classe de agressividade ambiental (tabela 3.3)

I II III IV3)

Tipo de estruturaComponenteou elemento Cobrimento nominal

mmLaje2) 20 25 35 45Concreto armado Viga/Pilar 25 30 40 50

Concretoprotendido1)

Todos 30 35 45 551) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas,sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, por causa dos riscos decorrosão fragilizante sob tensão.

2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, comrevestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento taiscomo pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências

desta tabela podem ser substituídas por valores nominais dados por: cnom ≥ φ

barra, cnom ≥ φ

feixe = φn= φ √n e cnom ≥ 0,5 φ bainha, respeitado um cobrimento nominal 15 mm.

3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto,condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamenteagressivos a armadura deve ter cobrimento nominal 45mm.

Tabela 3.3 - Classes de agressividade ambiental

Classe deagressividade

ambiental

(CAA)

AgressividadeClassificação geral dotipo de ambiente para

efeito de projeto

Risco de deterioração

da estrutura

I FracaRural

Submersainsignificante

II Moderada Urbana 1) 2) Pequeno

III ForteMarinha 1)

Industrial 1) 2) Grande

IV Muito forteIndustrial 1) 2)

Respingo de maréElevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (classeanterior) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas deserviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto

revestido com argamassa e pintura).2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (classe anterior) em: obras emregiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estruturaprotegidas de chuva em ambientes predominantes secos, ou regiões onde chove raramente.3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamentoem indústrias de celulose e papes, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

A figura 3.1 mostra as posições das vigas em relação as paredes de alvenarias.Nos casos da figuras a, b e c podem ser vistas vigas de mesma espessura dos tijolos,menor que a espessura dos tijolos e maior, respectivamente. Nas figuras d, e e f sãoanalisados os casos de tubulações que podem ser destinadas a águas pluviais ou

esgoto, notando-se nas figuras e e f posições adequadas para forro falso ou lajerebaixada.




Lembra-se que, para os elementos estruturais vigas ou lajes que tenhaminterferência de dutos, as seguranças das seções devem ser cuidadosamenteverificadas com relação aos esforços solicitantes nesta seções.

3.2.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA DOS PAVIMENTOS

A partir das análises iniciais realizadas no projeto em estudo é possível seprever qual a alternativa mais viável da forma da estrutura entre as opções analisadas. Faz-se necessário elaborar desenhos que retratem a forma da estrutura paracada pavimento, inclusive com a finalidade de tornar cada vez mais claro o raciocíniodo projetista acerca da estrutura, como já descrito anteriormente.

As dimensões dos elementos estruturais (vigas e pilares) precisam seravaliadas, nesta fase de anteprojeto, pois para a determinação dos esforçossolicitantes finais as inércias dos elementos são dados necessários para qualquerprocesso de cálculo estático.

As dimensões finais dos elementos estruturais só serão consideradas definitivasna fase de projeto, quando as dimensões adotadas serão verificadas na fase de

dimensionamento.Para projetistas com larga experiência em projetos estruturais de edifícios o pré-

dimensionamento de elementos estruturais pode ser feito, como já se informouanteriormente, por comparação com outro projeto já realizado, desde que asdimensões sejam compatíveis.

Em primeira instância, para projetistas iniciantes, as sugestões citadas no itemanterior para lajes e vigas podem ser seguidas.

Para o pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares pode serutilizado o processo das áreas de influência, que é um processo prático, consagradopelo meio técnico e que fornece bons resultados, quando há certa uniformidade nasmedidas dos vãos.

A rotina seguida para pré-dimensionamento dos pilares, segundo suas áreas deinfluência, consiste em dividir o desenho da forma da estrutura do pavimento emestudo, por exemplo, o pavimento-tipo, em áreas da superfície do pavimento,entendendo-se que todas as ações que estão agindo nesta área devem ser absorvidaspelo pilar.

Em função de sua posição na estrutura os pilares podem ser identificados comosendo de canto, de extremidade e interno. Se considerar estrutura constituída porgrelhas e pórticos, os pilares de canto ficam, na maioria dos casos, submetidos à flexãooblíqua composta, os de extremidade ficam submetidos à flexão normal composta e osinternos podem ser considerados submetidos à compressão centrada.

Para efeito de pré-dimensionamento os pilares podem ser consideradossubmetidos à compressão centrada, sendo que as excentricidades oriundas dessasconsiderações são levadas em conta pela majoração da ação obtida pelo processo dasáreas, por um coeficiente adotado praticamente, e que considera também asexcentricidades acidentais e de segunda ordem.

A rotina para o pré-dimensionamento de pilares, que a seguir se expõe, foielaborada seguindo trabalho de Pinheiro [1985].

a. Áreas de influência

Para a determinação das áreas de influência para cada pilar, o pavimento é

dividido em figuras geométricas, constituídas por retângulos (ou polígonos), sendo quecada uma delas compreende as ações que, presumivelmente, se deslocam para ele.Por ser um processo prático de previsão de ações nos pilares, exige do

projetista uma visão apurada do caminho das ações, de conhecimento dos processos




estáticos de determinação dos esforços solicitantes e conhecimento de soluçõesestudadas anteriormente para outros edifícios.

Para a determinação das figuras geométricas dividem-se as distâncias (l = vãoefetivo) entre os centros dos pilares pela reta que passa por um ponto contido nointervalo (0,45l a 0,55l) sendo que estes limites são adotados em função da posiçãodo pilar na estrutura, a saber:

a1. 0,45 l - adotado no caso de pilar de extremidade ou de canto na direção damenor dimensão do pilar;

0,45 l - adotado no caso de pilar interno quando na direção considerada, ovão consecutivo ou suas ações superarem em 20% o valor correspondente ao do vãoem questão.

a2. 0,55 l - complemento do vão dos casos anteriores;

a3. 0,50 l - adotado no caso de pilar de extremidade ou de canto na direção da

maior dimensão do pilar e para pilar interno quando, na direção considerada, o vãoconsecutivo e suas ações não diferem muito do valor correspondente ao vão emquestão.

Em função das posições dos pilares e da forma do pavimento em estudo ointervalo citado deve ser ampliado para (0,40 l ; 0,60 l) ou até valores maiores.

Nos casos de edifícios com balanços, deve-se considerar, para determinação daárea de influência, a área do balanço acrescida das respectivas áreas das lajesadjacentes, com o vão nesta direção dividido ao meio.

Nas situações de pavimentos com pilares muito desalinhados ou comdistribuição irregular de vãos e ações, os resultados obtidos, segundo esse processo,podem não ser compatíveis com os finais esperados.

A título de exemplo, apresenta-se o pavimento da figura 3.2 que ao sedeterminam as áreas de influência para os pilares, usaram-se os procedimentosindicados anteriormente.

b. Ação total por andar

No computo final para a determinação das ações nos pilares, na fase de pré-dimensionamento, devem ser levadas em conta as ações permanentes diretasrepresentadas pelos pesos próprios da estrutura de concreto, ou sejam, das lajes,vigas e dos pilares, dos pesos próprios dos revestimentos de forro, das camadas deargamassa de regularização, dos pisos e pesos próprios das paredes divisórias,

geralmente em alvenaria de tijolos furados e, por fim, das ações variáveis normais.Para edifícios residenciais usuais, essa ação uniformemente distribuída pode ser

adotada entre 10 kN/m2 a 12 kN/m2.. Esses limites foram considerados pelaobservação de projetos de edifícios realizados pelo meio técnico.

Para cada projeto em particular, o valor da ação uniformemente distribuída, queé usada no pré-dimensionamento é facilmente levantada, procedendo-se como a seguirse expõem.




Figura 3.2 - Áreas de influencia

[Pinheiro, 1985]

Analisam-se as ações que atuam em uma área de influência genérica,verificando-se os tipos de paredes (um tijolo ou meio tijolo e tipo de tijolo) queinfluenciam a ação final nesta área. Os pesos próprios dos elementos de concretoarmado são levados em conta imaginando-se uma laje maciça, fictícia, com 17cm deespessura, de área idêntica à área de influência. Supõe-se que esse volume deconcreto armado seja relativo ao volume das vigas, lajes e de um tramo do pilar em

questão, quando estiverem com suas dimensões definidas pelo projetista.O valor adotado de 17cm para a espessura da laje fictícia resulta da observaçãodos projetos de edifícios já elaborados e com suas viabilidades técnico - econômicasverificadas. Este valor está relacionado com os edifícios usuais, em caso contrárioavaliação detalhada da espessura fictícia deve ser feita.

A figura 3.3 representa as ações que atuam em uma área de influência de umalaje fictícia onde se adotou a espessura de 17cm. As espessuras indicadas para orevestimento do forro, contrapiso e piso foram adotadas em função do observado emobras quando se utilizam argamassa mista e argamassa de cimento e areiarespectivamente. Em caso do projeto prever outro tipo de material, por exemplo, gessocomo revestimento do forro e não se utilizar contrapiso, estas ações não devem ser

consideradas.

Figura 3.3 - Ações na laje fictícia




As ações podem ser compostas separadamente, para cada área de influência,seguindo a tabela indicada e, com as ações da figura 3.3. A ação variável normal deveser determinada em função da utilização da região da área de influência.

Tipo de ação Resultante(kN/m2)

peso próprio do concreto armado: 0,17 x 25 = 4,25

revestimento do forro: 0,015 x 19 = 0,29

argamassa de regularização: 0,03 x 21 = 0,63

piso, tacos de ipê: 0,02 x 10 = 0,20

paredes: (depende do projeto arquitetônico) =

ação variável normal (dormitório): = 1,50

Os pesos específicos dos materiais usados nas tabelas são os indicados naNBR 6120:1980. Para o revestimento do forro está se supondo que será feito comargamassa de cimento, cal e areia (19kN/m3) e a argamassa de regularização, sehouver, será composta de cimento e areia (21kN/m3) já servindo para assentamento dopiso. Para o piso está se imaginando que será de tacos de ipê. A título de comparaçãoo peso específico do granito é indicado na norma citada como sendo de 28kN/m3.

O peso específico do concreto armado é considerado igual a 25kN/m3 e doconcreto simples é de 24kN/m3.

Os pesos próprios das paredes podem ser calculados determinando-se as áreasdas paredes, contidas na área de influência e, fazendo-se o produto do somatório doscomprimentos pela altura e, multiplicando-se o resultado pelo peso da parede por

unidade de área, peso esse a considerando revestida. O revestimento pode ser dereboco ou, no caso de alvenarias externas, outro tipo previsto no projeto arquitetônico,por exemplo, pedras mármore, granito ou pastilhas.

Para se obter a contribuição da ação das paredes na área de influência bastadividir o produto citado por esse valor.

Realizar esse trabalho para cada área de influência pode demandar tempo doprojetista em detrimento de análises mais importantes. Aconselha-se que se façamapenas três avaliações, se determine a média e, com ela, se carreguem as demaisáreas de influência.

Nos casos de edifícios com distribuição irregular de pilares e com açõesdiferentes das usuais, aconselha-se proceder como indicado para todas as áreas de

influência.c. Ação total nos pilares

Determinada a ação por unidade de área prevista para os diversos tipos depavimento do edifício, pode-se obter as ações em cada pilar, no andar em que fornecessário fazer o pré-dimensionamento, multiplicando-se o seu valor pela área deinfluência e pelo número de pavimentos acima do andar em questão.

As ações relativas a cobertura podem ser levadas em conta considerando-separa avaliação da ação uniformemente distribuída 70% da ação considerada para oandar-tipo.

A ação total avaliada para cada pilar pode ser feita pela seguinte expressão:

N*ki = (n + 0,7) . (g + q) . Ai [3.1]




sendo, n é o número de andares acima do tramo de pilar para o qual se querfazer o pré-dimensionamento, g + q é a ação avaliada por unidade de área e Ai é aárea de influência para o pilar.

Nos casos de edifícios com andares de áreas de influência diferentes, porexemplo, andar térreo, deve-se computar as suas contribuições acrescentando-as naexpressão anterior, isto se o tramo de pilar considerado ficar abaixo deste andar.

Os pilares que fizerem parte da estrutura resistente da casa de máquinas doselevadores e dos reservatórios elevados, normalmente os pilares junto aos elevadorese escada, devem ter as ações oriundas destas estruturas computadas. Essas açõespodem ser avaliadas pelo processo das áreas com as ações variáveis normais (q)adotadas a partir das indicações da NBR 6120:1980.

Em alguns edifícios o último pavimento pode ser a céu aberto, com ocupaçãosocial, incluindo sauna, piscina, salão de jogos, jardins, bar, etc. Nesse caso as açõesvariáveis normais devem ser avaliadas para cada caso e para cada área de influência.Faz-se necessário, portanto, compor outra expressão que substitua a ação decobertura, que naquele caso foi considerada 70% da ação de um pavimento-tipo.

e. Pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares

Para efeito de pré-dimensionamento as seções transversais dos pilares, nostramos considerados, são avaliadas os imaginado submetidos à compressão axial,suposta centrada, embora se saiba que nas condições de projeto, os pilares sãosubmetidos, também, a esforços de flexão.

Essas solicitações de flexão são levadas em conta, multiplicando-se a ação depré-dimensionamento dos pilares, por coeficientes adotados em função da posição dospilares e, que já levam em conta o coeficiente de segurança (γf ).

Bacarji [1993] indica os seguintes valores para o coeficiente α:

Posição do pilar Coeficiente (α)

Interno 1,8

extremidade 2,2

canto 2,5

A ação final para pré-dimensionamento dos pilares pode ser indicada pelaexpressão:

N*d = α . N*k [3.2]

Ambas as ações estão anotadas com asteriscos (*) para lembrar que são açõesde pré-dimensionamento, e não representam as forças normais características e decálculo que serão determinadas por ocasião do dimensionamento final dos pilares doprojeto.

f. Cálculo das seções transversais dos pilares

A NBR 6118:2003, no item que trata do dimensionamento e esforços resistentes

no estado limite último das peças isoladas submetidas à compressão por força normal,estabelece que o dimensionamento ou verificação das seções transversais deve serfeito com a consideração de uma excentricidade (ea) por conta do desaprumo e falta deretilinidade, ocorrida durante a moldagem do pilar.




Prescreve também que, quando o índice de esbeltez (λ) da barra for maior doque um valor particular λ1, deve-se considerar a ação de um momento fletorcomplementar (M2d), de segunda ordem, que deve ser acrescentado ao momento fletorde primeira ordem calculado com a excentricidade acidental indicada.

Pode o pilar, ainda, em função da posição (pilar de canto ou de extremidade)que ocupa na estrutura, estar submetido à ação de um momento fletor inicial.

Fica difícil de avaliar todas essas excentricidades que devem ser consideradasna fase de pré-dimensionamento. Essas excentricidades são levadas em conta pormeio do coeficiente já indicado no item anterior.

O pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares é feito, portanto,supondo-os submetidos à compressão simples, com força suposta centrada.

Para os pilares a menor taxa de armadura que pode ser adotada é 0,8% e amaior são 4%. Para o limite superior está sendo computado a região de emenda dasbarras por traspasse. É usual, nesta fase de ante-projeto, adotar-se para essa taxavalores entre 3% e 3,5% .

O cálculo da seção transversal do pilar considerando a fase de pré-dimensionamento é feito, no estado limite último, igualando-se a solicitação de cálculo

com a resistência de cálculo. Assim, pode-se escrever:

N*d = Rcc + Rsc [3.3]

sendo, Rcc é a resultante das tensões de compressão no concreto e Rsc é aresultante das tensões de compressão na armadura longitudinal.

A expressão anterior pode ser escrita do seguinte modo:

N*d = 0,85 . f cd (Ac - As ) + As . σs2 [3.4]

sendo, f cd é a resistência de cálculo do concreto à compressão, Ac é a área daseção transversal do pilar, As é a área da seção transversal da armadura longitudinalcomprimida e σs2 é a tensão nas barras da armadura do pilar relativa a deformaçãoespecifica do aço de 0,2%.

Essa tensão é obtida nos diagramas tensão - deformação indicados naNBR6118:2003, em função do tipo de aço adotado no projeto, normalmente CA-50.

Dividindo os dois membros da expressão anterior por Ac, e lembrado que arelação As / Ac é igual taxa geométrica de armadura longitudinal (ρs) e fazendoN*d/Ac = σid (tensão ideal de cálculo), resulta:

σid = 0,85 . f cd + ρs (σs2 - 0,85 f cd) [3.5]

Pode-se, por ser pequena a área de armadura em relação à área da seção deconcreto, considerar a área da seção transversal igual a área de concreto comprimida,isto é, a área da seção transversal subtraída a área de aço, resultando:

σid = 0,85 . f cd + ρs . σs2 [3.6]

É conveniente organizar tabelas de σid em função de ρs para as resistências decálculo do concreto à compressão e aço CA-50. Essas tabelas facilitam o trabalho dedeterminação da tensão ideal de cálculo em função da taxa de armadura adotada nopré-dimensionamento.

As tabelas foram originalmente desenvolvidas para cálculo das áreas dasseções transversais das armaduras de pilares na fase de dimensionamento. Nessafase deve-se levar em conta as excentricidades já citadas.




g. Organização dos cálculos

Com a finalidade de facilitar os cálculos de pré-dimensionamento dos pilares deedifícios esses podem ser organizados por meio de tabelas.

A título de sugestão pode-se montar a tabela 3.4 a seguir indicada, reservando-

se uma página de memorial de cálculo para cada nível considerado.Nessa tabela são listados os cálculos parciais, como foram expostos neste iteme, na mesma seqüência, as dimensões da seção transversal dos pilares no nívelconsiderado.

Os cálculos de previsão das seções transversais dos pilares podem, também,ser organizados por planilha eletrônica facilitando e ordenando a memória de cálculo.

Tabela 3.4 - Tabela para pré-dimensionamento dos pilaresPROJETO: ______________________________________________________________________

PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS SEÇÕES DOS PILARES: ________________________________

NÍVEL: _________________

PILAR

Área deInfluência

Ai (m2)

Carga por Andar

N*k (kN)

Carga Total

n.(p.Ai)(kN)

Carga Total deCálculo

N*d=α.N*k

(kN)

Taxa de Armadura

ρs

TensãoIdeal

σid (MPa)

Área da SeçãoTransversal

do Pilar Ac

(cm2)

Dimensõesdo Pilar

a . b(cm.cm)


ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 - Projeto deestruturas concreto. Rio de Janeiro. 2003.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6120:1980 - Cargas paracálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro. 1980.

CEOTTO, L.H. - Superestruturas de Edifícios Comerciais e Residências: Análisesucinta de duas alternativas, EESC USP - Notas aula para Exame de Qualificação.(1985)

ANDRADE, J.R.L. Estruturas de concreto armado - 2.a parte, EESC-USP - Curso de

Especialização em Estruturas, 1985.

PINHEIRO, L.M. Noções sobre pré-dimensionamento de Estruturas de Edifícios -EESC-USP - Curso de Especialização em Estruturas, 1985.

BACARJI, E. Análise de estruturas de edifícios: projeto de pilares, EESC-USP,Dissertação de mestrado (Orientador: Libânio Miranda Pinheiro), 1993




4. ANÁLISE ESTRUTURAL

4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A determinação dos esforços solicitantes atuantes nos elementos de uma

estrutura de concreto armado é feita considerando-os submetidos às ações atuantes,nas situações de serviço na fase de construção.

No caso de edifícios, como já visto, nas lajes agem as ações permanentes e asações variáveis normais. Determinadas as reações de apoio das lajes, que são asações atuantes nas vigas do edifício (lei da ação e reação), pode-se, depois dedeterminadas todas as outras ações atuantes nas vigas, por meio de processo deanálise de estruturas de barras, determinarem os esforços solicitantes. Processosimplificado indicado na NBR 6118:2003 também pode ser usado para determinar osesforços solicitantes nas vigas e nos pilares.

Conhecidos todos os esforços solicitantes atuantes nos elementos estruturais,realizam-se as verificações de segurança – dimensionamento considerando os estadoslimites últimos e de serviço (estados limites de formação de fissuras, de abertura defissuras e deformação excessiva).

Para as estruturas de barras - vigas e pilares - em um edifício, os esforçossolicitantes podem ser calculados considerando-se vários modelos. O modelo maissimples é o da viga contínua, no qual se considera a viga sem ligação rígida com ospilares, desde que se façam as correções indicadas na NBR 6118:2003.

Modelo melhor elaborado é aquele em que se associam à estrutura váriospórticos planos, formados pelos pilares e vigas dos vários pavimentos do edifício.

O modelo que se aproxima com maior fidelidade da estrutura real é o queconsidera as estruturas de barras fazendo parte de um pórtico tridimensional.

Existem programas desenvolvidos para microcomputador que fornecem osesforços solicitantes nas vigas e pilares de edifícios, quer quando atuam as açõesverticais quer quando se consideram as ações horizontais. O modelo de pórticotridimensional que pode ser utilizado, desde que o usuário tenha autorização, é oSAP2000. No caso de se adotar como modelo pórticos planos têm-se utilizado,principalmente na Escola de Engenharia de São Carlos - USP, os programasdesenvolvidos pelos Professores Márcio Roberto Silva Corrêa e Márcio AntonioRamalho, PPLAN - Pórtico Plano e GPLAN - Grelha Plana.

Quando o modelo adotado for o de viga contínua pode, por exemplo, ser usadoo Processo de Cross. Lembra-se que existe programa para máquinas calculadoras epara computador que permitem calcular os esforços solicitantes em vigas contínuas.

Os momentos fletores nas barras verticais (pilares) determinados quando atuamas ações verticais são chamados de primeira ordem. Quando o edifício for de grandealtura ele apresenta deslocamentos, quando submetidos às ações horizontais - vento,que geram momentos fletores de segunda ordem, podendo levá-la a uma situação deinstabilidade da edificação.

Quando forem estudadas as verificações de segurança de barras comprimidasde concreto armado (pilares), serão analisados critérios de segurança com relação àinstabilidade das barras (instabilidade local), que se chama de flambagem se ainstabilidade for provocada por força centrada.

Os Códigos Modelos dos Comitês Eurointernacional do Concreto (1990) eFederation Internacional du Beton (1999) indicam parâmetros que, se observados, o

efeito de segunda ordem não precisa ser considerado. A NBR 6118:2003 também apresenta verificações semelhantes, como será

estudado a seguir.






α = HFvEI

[4.1]

sendo:

H : altura total do pilar;

Fv : ação vertical total no pilar;

EI : módulo de rigidez da seção transversal do pilar.

De acordo com teoria desenvolvida, para valores de α inferiores a 0,6 osmomentos fletores adicionais que solicitam esse pilar, por causa da posição deslocada(2.a ordem), seriam menores do que 10% dos já existentes em 1.a ordem. Sendo assim,esses momentos fletores adicionais poderiam ser desprezados no dimensionamento dopilar, por terem pouca influência.

Em resumo, para BECK (1966), o parâmetro α servia como uma referência para

julgamento da deformabilidade do pilar.Mais tarde, essa teoria pode ser estendida a estruturas de edifícios usuais,considerando-os como "colunas de pavimentos-tipo", o que acaba por conferir às açõesverticais um caráter uniformemente distribuído ao longo da altura, como no pilarinicialmente idealizado.

Assim, as estruturas nas quais, em virtude da rigidez às ações horizontais, osdeslocamentos laterais são pequenos e por decorrência os esforços de 2.a ordemglobais também (menores que 10% dos esforços de 1.a ordem), são chamadas deestruturas de nós fixos ou, com algum exagero de linguagem, estruturas indeslocáveis.Nesse caso não há a necessidade de se considerar os esforços solicitantes relativos àposição deformada.

Já as estruturas para as quais esses deslocamentos conduzem a esforços de2.a ordem globais importantes (maiores que 10% dos esforços de 1.a ordem) sãochamadas de estruturas de nós móveis, ou estruturas deslocáveis.

Uma análise da deformabilidade da estrutura do edifício pode então ser feitasegundo as considerações acima.

Usualmente, dois índices aproximados são utilizados para verificar apossibilidade de dispensa da consideração dos esforços de 2.a ordem globais, ou seja,para classificar as estruturas de edifícios como sendo de nós fixos ou de nós móveis.Um deles é o parâmetro de instabilidade α, cuja idealização já se comentou, sendo ooutro o coeficiente γz.

4.2.1 PARÂMETRO DE INSTABILIDADE α

Considerando a teoria de BECK (1966), o valor do parâmetro de instabilidade α para as estruturas de edifícios é dado pela expressão 4.2.

( )α = H

NkEI eq

[4.2]

sendo:

H : altura total do edifício, medida a partir do topo da fundação ou de um nível

muito pouco deslocável do subsolo;Nk : somatório de todas as ações verticais atuantes no edifício (a partir do nível

considerado para o cálculo de H), com valor característico;



Capítulo 4 - Análise estrutural 74

(EI)eq : módulo de rigidez da estrutura do edifício equivalente a um pilar de seçãoconstante engastado na base e livre no topo.

Na determinação do módulo de rigidez equivalente deve-se contar com toda aestrutura de contraventamento do edifício, ou seja, com o conjunto de elementosestruturais (geralmente pórticos e pilares-parede) que, por causa da sua elevada

rigidez, absorvem a maior parte das ações horizontais.Para determinar o valor representativo do módulo de rigidez equivalente amelhor opção é verificar o deslocamento do topo do edifício quando submetido a umaação lateral uniformemente distribuída, segundo um modelo tridimensional. Associa-se,então, à estrutura um elemento linear (pilar) de seção constante, engastado na base elivre no topo, com altura igual a do edifício que, sujeito à mesma ação, apresentedeslocamento idêntico. Isso é feito considerando a linha elástica do elemento linear deseção constante, mostrado na figura 4.2.

E, I, A : constantes

Figura 4.2 - Linha elástica de pilar com rigidez equivalente

Assim, a equação da linha elástica, conhecida da mecânica das estruturas,fornece o valor do módulo de rigidez EI do pilar equivalente, segundo a expressão 4.3.

EIq H

a=

4

8 [4.3]

sendo:

q : ação lateral uniformemente distribuída (geralmente é adotado um valorunitário);

H : altura total do edifício;

a : deslocamento do topo do edifício quando submetido à ação lateral de valorigual a q.

Esse valor de EI encontrado é o chamado módulo de rigidez equivalente (EI)eq do edifício, a ser utilizado para o cálculo do parâmetro de instabilidade α.

Outra opção para a estimativa do módulo de rigidez equivalente (EI)eq é aconsideração de um modelo bidimensional, sem dúvida bem menos trabalhoso.




Esse modelo vem tendo grande aceitação no meio técnico, exatamente porconduzir a resultados muito próximos aos do modelo tridimensional. Entretanto, precisaser idealizado com critério, cuidado e os resultados analisados corretamente.

O processo consiste na associação plana de painéis, do mesmo modo como seprocede para a determinação dos esforços solicitantes no edifício quando submetido aações horizontais. Todos os pórticos e pilares-parede que contribuem para o

contraventamento na direção analisada são posicionados seqüencialmente num planoe interligados em cada pavimento por barras rotuladas em suas extremidades, as quaissimulam a presença das lajes atuando como um diafragma rígido. Essas barrasrotuladas, como também todas as vigas, devem ser consideradas no modelo comelevada área de seção transversal, para que não ocorra deformação axial nas mesmas,o que ocasionaria deslocamentos diferentes ao longo de uma mesma linha horizontalda associação, ou seja em pontos de um mesmo pavimento, o que pela hipótese dodiafragma rígido não aconteceria. Para as vigas, os momentos de inércia utilizadosdevem ser os reais.

A figura 4.3 ilustra uma associação plana de painéis.

Figura 4.3 - Associação plana de painéis

Neste modelo fica bem claro o quanto é importante a consideração, na fase deprojeto, de sistemas aporticados que conferem maior rigidez à estrutura do edifício.

O módulo de rigidez equivalente calculado para a associação plana de painéisterá valor menor do que se utilizado o modelo tridimensional, com contraventamentoem direções ortogonais. O modelo plano fica, portanto, a favor da segurança.

Determinado o módulo de rigidez equivalente, seja por qualquer dos modelosdescritos, o parâmetro de instabilidade α tem seu valor calculado segundo a expressão4.2.

A estrutura em questão poderá ser considerada de nós fixos (dispensa daconsideração dos esforços de 2.a ordem globais) se o valor de α não exceder umlimite, chamado de αlim , definido em função dos valores dos esforços de 2.a ordemserem inferiores a aproximadamente 10% dos de 1.a ordem.

Considerando a formulação para instabilidade das estruturas chega-se àconclusão de que um valor fixo igual a 0,6 como limite para α (proposto por BECK, em1966, para o caso de um pilar engastado na base e livre no topo) não é satisfatóriopara edifícios usuais com qualquer número de pavimentos.

Em trabalho apresentado no Colóquio sobre Estruturas de Concreto realizado naUniversidade Federal do Rio Grande do Sul, VASCONCELOS (1987) propõe que o

valor limite para α seja dado pela expressão 4.4.

( )n144,0lim 10.44,088,0

2,1

1 −−=α [4.4]




sendo:

n : número de pavimentos do edifício.

O valor da expressão acima converge para 0,8 quando n ≥13. Desta maneira

pode-se tomar αlim = 0,8 para n ≥ 13, utilizando a expressão indicada porVASCONCELOS (1987) somente quando n < 13.

A NBR 6118:2003 indica que uma estrutura reticulada simétrica pode serconsiderada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade α (expressão4.5) for menor que o valor α1, indicado a seguir. O Código Modelo do CEB-FIP (1990)indica os mesmos limites.

)I/(ENH cciktot=α [4.5]

sendo:

α1=0,2+ 0,1n se: n ≤ 3

α1=0,6 se: n ≥ 4

sendo:

n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação oude um nível pouco deslocável do subsolo;

Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um

nível pouco deslocável do subsolo;

Nk é o somatório de todas as ações verticais atuantes na estrutura (a partir donível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico;

EciIc representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares nadireção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas,ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado ovalor da expressão EciIc de um pilar equivalente de seção constante.

Na análise de estabilidade global pode ser adotado o valor do módulo de

elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial dado por:

Eci = 5.600 (f ck)0,5 [4.6]

O valor de Ic deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada do modo indicado, ou

sejam, calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob aação do carregamento horizontal; calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seçãoconstante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura H tot , tal que, sob a açãodo mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo.

A NBR 6118:2003 sugere que o valorαlim

=α1

= 0,6 prescrito para n≥ 4 é, em

geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios com pórticos associados a pilares-parede. Ele pode ser aumentado para α1 = 0,7 no caso de contraventamentoconstituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para α1 = 0,5




quando só houver pórticos. Isso ocorre em virtude das diferenças entre as formasdeformadas do edifício, relacionadas com a presença desses elementos.

Como define esse mesmo texto, pilares-parede são elementos de eixo verticalsubmetidos preponderantemente à compressão, nos quais a maior dimensão da seçãotransversal supera em pelos menos quatro vezes a menor dimensão.

Freqüentemente, há edifícios em que elevadores e escadas são envolvidos por

pilares-parede com grande rigidez. Nessas situações pode ocorrer que, considerandosomente o somatório das rigidezes das seções brutas desses elementos como sendo ovalor de (EI)eq para cálculo do parâmetro de instabilidade α, se obtenha α ≤ αlim,satisfazendo a condição para não levar em conta no dimensionamento os efeitos de 2.a ordem. No caso de existirem esses elementos (comumente chamados de núcleosestruturais) isso deve ser sempre verificado, pois se pode evitar a consideração domodelo global da estrutura, reduzindo o trabalho e o tempo gasto no projeto.

Havendo a necessidade de se considerar os esforços de 2.a ordem, deve-seavaliar ainda se esses não apresentam valores muito elevados o que implicaria naconveniência de se alterar a estrutura. Isso pode ser feito analisando-se a magnitudedo parâmetro α.

4.2.2 COEFICIENTE γz

O coeficiente γz também é usado para avaliar a sensibilidade da estrutura de umedifício aos efeitos da não-linearidade geométrica, estimando a magnitude dos esforçosde 2.a ordem em relação aos esforços de 1.a ordem.

Essa estimativa pode ser feita a partir dos resultados de uma análise em 1.a ordem, sem a consideração da não-linearidade física dos materiais (comportamentoelástico-linear).

A NBR 6118:2003 indica que o valor do coeficiente γz é calculado pela expressão

4.7.

d,tot,1

dtotz

M

,M1

1∆

−=γ [4.7]

sendo:

M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas asforças horizontais, da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em

relação à base da estrutura;∆Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura,

na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentoshorizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise em 1.a ordem.

Os valores de cálculo das ações são obtidos a partir dos valores característicos,multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação (γf ). Esses coeficientesestão relacionados a três parcelas:

γf = γf1 . γf2 . γf3 [4.8]

sendo:

γf1 : considera a variabilidade das ações;




γf2 : considera a simultaneidade das ações;

γf3 : considera as aproximações feitas em projeto do ponto de vista dassolicitações.

Conforme análise feita por FRANCO (1991), para o cálculo do coeficiente γz resulta uma combinação das três parcelas acima tal que γf = 1,0 para as açõesverticais.

Os deslocamentos horizontais do edifício são obtidos supondo comportamentoelástico-linear, e utilizando modelo tridimensional ou plano (associação plana depainéis).

Supondo válida a hipótese do deslocamento dos pavimentos como umdiafragma rígido e admitindo-se que não haja torção global no edifício pode-se,simplificadamente, obter o valor de ∆Mtot,d procedendo-se à soma dos produtos dasações verticais totais de cálculo atuantes em cada pavimento pelo seu respectivodeslocamento calculado com as ações horizontais de cálculo.

Outra opção, que também conduz a bons resultados, é admitir ∆Mtot,d comosendo o produto de toda a ação vertical de cálculo do edifício pelo deslocamento dopavimento situado em sua altura média.

Também é interessante comentar que, para o cálculo do valor de γz, a açãohorizontal aplicada à estrutura pode ter qualquer valor (por exemplo, unitário) uma vezque este afeta na mesma proporção os valores de M1,tot,d e ∆Mtot,d (modelo linear), osquais ocupam posição de denominador e numerador, respectivamente, na expressãodo coeficiente em questão. Entretanto, o cálculo do valor real da ação horizontal devento, obtido segundo a NBR 6123:1988 - Forças Devidas ao Vento em Edificações, jáantecipa uma tarefa que deverá ser solicitada em etapas seguintes do projeto.

Considera-se a estrutura como sendo de nós fixos se γz ≤ 1,1 (que correspondeaproximadamente à avaliação dos esforços de 2.a ordem serem inferiores a 10% dosde 1.a ordem), e de nós móveis em caso contrário.

Como já foi dito, nas estruturas de nós fixos o efeito de 2.a ordem global podeser desprezado, devendo-se somente analisar os esforços de 2.a ordem ao longo dasbarras comprimidas (2.a ordem local).

Caso uma estrutura seja considerada de nós móveis, pode-se tentar alterá-la,revendo a posição de pilares, aumentando as seções de alguns elementos estruturaisou mesmo incluindo pilares-parede junto a elevadores e escadas, visando obter γz ≤ 1,1 ou α ≤ αlim.

A simples inclusão de pilares-parede com grande rigidez como a solução

imediata não deve ser feita antes do estudo das demais alternativas, pois istofreqüentemente leva a um maior consumo de concreto e aço, bem como a dificuldadesadicionais de execução.

Aliás, torna-se conveniente alterar a estrutura se o valor do coeficiente γz indicarque os esforços de 2.a ordem apresentam valores elevados.

Justamente por essa possível necessidade de alteração da estrutura é que umaavaliação da estabilidade global deve ser feita ainda na fase de definição da formaestrutural (fase de anteprojeto).

4.2.3 ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS

Nas estruturas de nós móveis a análise dos esforços deve obrigatoriamenteconsiderar os efeitos de 2.a ordem global e da não linearidade física. Deve ficarassegurado que para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo não




ocorra perda de estabilidade nem tão pouco esgotamento da capacidade resistente decálculo das seções mais solicitadas.

Os efeitos de 2.a ordem devem ser considerados por modificações apropriadasna matriz de rigidez da estrutura, pensando-se em utilizar uma análise matricial, porexemplo o Processo dos Deslocamentos.

Entretanto, para estruturas de edifícios usuais pode-se utilizar o Processo P-∆,

que conduz a resultados muito bons. A idéia deste processo é aplicar na estrutura indeformada as ações horizontais everticais , verificando a posição deformada. Num segundo passo, aplica-se sobre aestrutura deformada obtida essas mesmas ações, tendo-se então uma nova posição.E, assim por diante, até se observar uma convergência dos valores de deformação doedifício, o que indicaria que a estrutura é estável. Os esforços obtidos na posiçãodeformada convergente serão os esforços finais, incluindo os de 2.a ordem.Obviamente que essa posição final deformada deve obedecer a valores que nãocomprometam os estados limites de utilização (deformação excessiva e abertura defissuras).

A NBR 6118:2003 indica que análise não-linear de 2.a ordem, pode ser feita por

uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, queconsiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoraçãoadicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por0,95γz. Esse processo só é válido para γz ≤ 1,3.

VASCONCELOS (1987) propõe outro fator de majoração, variável com o númerode pavimentos, e válido quando α ≤ 1,0. Esse fator k é dado pela expressão 4.6.

η

−

α

β+=

.0,1.2,1

0,10,1k

2 [4.9]

sendo:

α : parâmetro de instabilidade;

β : 2,8 - 1,1 . e -0,22.n , sendo n = número de pavimentos;

η:coeficiente dado em função do número de pavimentos, segundo a tabela 4.1.

Tabela 4.1 - Coeficiente η em função do número de pavimentos n

n 1 2 3 4 5 10 20 >20η 0,60 0,92 1,07 1,20 1,27 1,39 1,46 1,52

Obs.: Para valores intermediários entre n = 5 e n = 20 deve-se fazer interpolaçõeslineares.

Já a não-linearidade física do material deve ser levada em conta porconsiderações adequadas sobre ductilidade, fissuração e deformabilidade. Adeformabilidade dos elementos pode ser calculada com base nos diagramas tensão-deformação dos materiais.

Entretanto, há uma maneira aproximada de se considerar a não linearidadefísica, como indicado na NBR 6118:2003 para análise dos deslocamentos horizontaisda estrutura, tomando-se como rigidez das vigas e pilares os seguintes valoresreduzidos:




Lajes: (EI)sec = 0,3 . Eci . Ic

Vigas; (EI)sec = 0,4 . Eci . Ic nos casos de A’s ≠ As

(EI)sec = 0,5 . Eci . Ic nos casos de A’s = As

Pilares: (EI) sec = 0,8 . EcI . Ic

Ic : momento de inércia da seção bruta.

Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigase pilares e γz for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por:

(EI)sec = 0,7 EciIc [4 10]

Os valores de rigidez assim adotados são aproximados e não podem ser usadospara avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da

modelagem.Lembra-se que esses valores reduzidos são aproximados e devem variar com ataxa de armadura.

4.2.4 CONSIDERAÇÃO DA ALVENARIA

Os esforços de 2.a ordem globais ocorrem por causa da posição deformada daestrutura, que surge principalmente perante as ações horizontais de vento. Entretanto,essas ações só conseguem solicitar a estrutura de um edifício, deformando-a; existindoelementos de fechamento entre vigas e pilares, ou sejam, as paredes de alvenariaobstruindo o vento, a deformabilidade do pórtico poderá ser alterada.

Levando em conta essas considerações, lembra-se que se a alvenaria énecessária a existência da sua ação estará presente na capacidade de absorçãoenrijecendo, portanto, o sistema de pórticos do edifício. A figura 4.4 ilustra o que ocorreem um painel de pórtico solicitado por ação horizontal.

Figura 4.4 - Contribuição da alvenaria para o enrijecimento dos painéis de pórtico

A consideração da contribuição da alvenaria em cada painel de pórtico poderiaser feita, por exemplo, modelando-a como uma barra de rigidez tal que simule seuefeito de travamento, como mostrado na figura 4.4.

Sem dúvida, novos modelos de pórtico tridimensional e associação plana depainéis que contemplassem essa idéia apresentariam deslocamentos horizontaismenores, indicando o aparecimento de esforços de 2.a ordem reduzidos (parâmetro deinstabilidade α e coeficiente γz com valores mais baixos).




Dentre as várias propriedades de uma alvenaria que influenciariam seudesempenho nessa função de enrijecimento dos pórticos estão o tipo e a qualidade domaterial, com relevante importância.

Assim sendo, em obras com pouco controle de qualidade torna-se perigosocontar com a colaboração da alvenaria.

Como engenheiros, os projetistas estruturais devem ter conhecimento dessa

colaboração e, ao mesmo tempo, saber avaliar a conveniência de usufruí-la em cadaum de seus projetos.

4.3. ESFORÇOS SOLICITANTES POR CAUSA DE IMPERFEIÇÕES GLOBAIS

Nas estruturas de edifícios formadas por pórticos e pilares-parede devem serconsideradas as imperfeições geométricas dos eixos das peças verticais na estruturasem ação, ou seja por causa do desaprumo.

A NBR 6118:2003 indica que na análise global das estruturas, contraventadasou não, deve ser considerado, um desaprumo dos elementos verticais conforme

indicado na figura 4.5, com valor o angula de inclinação θa calculado pela expressão4.11.

Figura 4.5 - Desaprumo em pórtico plano

θ θan=

+1

11

2 [4.11]

sendo:

n : número de pilares contínuos do pórtico;

θ11

1000005= ⟩

., (rad)

l;

sendo:

θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos;

θ1min = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais;

θ1max ≤ 1/200.

l : altura da estrutura, em metros.




A NBR 6118:2003 indica que o efeito do desaprumo mínimo não deve

necessariamente ser superposto ao efeito do vento. Entre os dois, vento e desaprumo,pode ser considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido por aqueleque provoca o maior momento total na base da construção.

Como já citado anteriormente, quando a estrutura for considerada de nós móveis

permite-se, em alguns casos, considerar os esforços de 2.a ordem globais a partir damajoração (por γz) dos esforços de vento e dos oriundos do desaprumo.Os esforços de vento são as ações horizontais reais, enquanto os do desaprumo

podem ser encarados como provenientes de ações horizontais fictíciascorrespondentes à inclinação acidental.

As ações horizontais fictícias ∆Hi para cada nível de um pórtico são mostradasna figura 4.6, sendo determinadas pela expressão 4.8.

Figura 4. 6 - Ações horizontais fictícias em pórtico por causa do desaprumo

∆Hi Vij j

ntg a=

=∑

1. θ [4.12]

sendo:

n : número de pilares contínuos do pórtico;

Vij : ação vertical aplicada ao pilar j somente pelo andar i;

θa : ângulo de desaprumo do pórtico, em radianos.

Obs.: Em se tratando de ângulos muito pequenos, como é o caso do ângulo dedesaprumo, é perfeitamente razoável considerar tgθa ≅ θa, em radianos.

Fazendo isso para todos os pórticos de uma direção tem-se a ação totalhorizontal fictícia para essa direção, que somada a real (do vento) pode ser majorada afim de se levar em conta, de maneira aproximada, os efeitos de 2.a ordem.

4.4 AÇÕES HORIZONTAIS

4.4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A análise da estrutura para determinar os esforços solicitantes provenientes deações horizontais por causa do vento requer estudo cuidadoso.




Por exemplo, em relação ao tipo de análise das ações de vento em umaestrutura é muito comum a seguinte frase: "uma análise estática pode ser feita paraedifícios baixos, que são aqueles tais que uma análise dinâmica não se faznecessária".

Sem dúvida, apesar de comum, esta não é uma definição muito clara. Masafinal, quando uma análise dinâmica se faz necessária em edifícios altos? Ora, o que

são edifícios altos? Pode ser dito que são aqueles para os quais uma análise estáticanão reproduz de modo satisfatório os efeitos das ações de vento.De maneira resumida e definitiva, dever-se-ia sempre proceder a uma análise

dinâmica, uma vez que somente a observação de seus resultados permite avaliar seela se faz necessária ou não.

A própria NBR 6118:2003 não contem um texto ao tratar das ações de vento,indicando somente que os esforços solicitantes por causa do vento devem serconsiderados e determinados de acordo com o prescrito pela NBR 6123:1988,permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileirasespecíficas.

A análise da ação de vento sobre estruturas de edifícios é de difícil abordagem

por envolver aspectos determinísticos e probabilísticos. A NBR 6123:1988 - Forças Devidas ao Vento em Edificações indica como

quantificar a ação de vento em estruturas de edifícios, normalmente aplicadaestaticamente. Na verdade, uma parcela correspondente a aproximadamente 50% daação indicada por essa norma deveria ser considerada como uma ação flutuanteatuando dinamicamente.

Sendo assim, o problema está em modelar de maneira correta a introduçãodessas ações flutuantes (dinâmicas) sobre a estrutura do edifício.

Nos casos usuais de projetos de edifícios é feita análise estática por conta daação do vento, realizando-se análise dinâmica nos casos de edifícios muito altos oucom geometria específica por exemplo aqueles cujas dimensões apresentam um ladomuito menor que o outro.

4.4.2 MODELOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

Estimada a ação horizontal de vento atuante na estrutura criam-se condiçõespara determinar os esforços solicitantes em vigas e pilares.

Se para as ações verticais existem modelos chamados de simplificados, comopor exemplo o de viga contínua indicado na NBR 6118:2003, que com análises rápidasconduzem a resultados até certo ponto bons, isso não acontece quando se trata deações horizontais.

Nesse caso, os modelos ditos simplificados só conduzem a resultados razoáveispara estruturas com pórticos regulares e sem quaisquer "perturbações", como porexemplo pilares-parede com grande rigidez localizados junto a elevadores ou escadas(comumente chamados de núcleos estruturais), ou mesmo vigas de transição.

Além disso não são análises rápidas, envolvendo cálculos com grande númerode equações.

Sendo assim, o mais indicado é considerar análises feitas por modelos depórticos planos ou tridimensional com auxílio de computador e programas difundidos nomeio técnico.

4.4.2.1 Modelo de pórticos planos

Este tipo de análise pode ser feita por uma associação plana de painéis,posicionando-se os pórticos e pilares-parede da direção analisada seqüencialmentenum plano e interligando-os em cada pavimento por barras rotuladas em suas




extremidades. Essas rótulas são essenciais para que não haja a introdução demomentos fletores adicionais nos pórticos.

A presença das lajes atuando, por hipótese, como um diafragma rígido (rigidezinfinita em seu plano) provoca uma compatibilidade de deslocamentos em qualquerponto do pavimento quando presentes as ações horizontais.

Assim, as barras rotuladas de interligação dos pórticos, como também as vigas,

devem ser introduzidas no modelo com elevada área da seção transversal para quenão ocorra deformação axial nas mesmas, o que ocasionaria deslocamentosdiferenciados ao longo de uma mesma linha horizontal da associação, contrariando ahipótese do diafragma rígido.

É necessário salientar que para as vigas somente deve-se alterar a área daseção transversal mantendo-se as características geométricas reais, como por exemploo momento de inércia.

A associação plana de painéis assim idealizada é então submetida às açõeshorizontais de vento integrais atuantes na face do edifício perpendicular à direção aque pertencem os pórticos, sendo obtidos os esforços solicitantes em vigas e pilarescom o uso de programas computacionais que se utilizem, por exemplo, do Processo

dos Deslocamentos. A figura 4.76 ilustra um modelo de associação plana de painéis.

Figura 4. 7 - Modelo de associação plana de painéis

Em virtude da fissuração, inevitáveis em estruturas de concreto armado, érazoável ainda considerar uma inércia reduzida para vigas e pilares, a fim de simular aperda real desta.

O valor dessa redução deve estar em torno de 20% para os pilares e 60% paraas vigas, onde a fissuração é maior, e estas são as reduções adotadas pelaNBR6118:2003, conforme indicado no item 4.2.3.

Outro aspecto a destacar é referente ao efeito geométrico de torção global doedifício quando o vento atua em uma direção que não apresenta simetria estrutural.Naturalmente, os resultados de esforços solicitantes gerados pelo modelo deassociação plana de painéis não contemplam esse efeito.

Os momentos torçores em vigas também não aparecem nos resultados destemodelo.

4.4.2.2 Modelo tridimensional

Um modelo tridimensional utilizado na determinação dos esforços solicitantesrelativos às ações horizontais de vento, e, também, a ação vertical, em edifícios

constitui-se em um poderoso instrumento de análise.Levando em conta a tridimensionalidade aparecem os efeitos geométricos de

torção global, com possibilidade inclusive de introdução do vento em quaisquerdireções.




As diferenças entre os resultados de uma análise tridimensional e os de outraque considere apenas pórticos planos devem estar relacionadas aos momentostorçores em vigas e ao acoplamento de painéis perpendiculares, presentes somente naprimeira.

Os momentos de torção nas vigas podem ser diminuídos pela redução dosmomentos de inércia à torção (It) das barras do modelo. Lembra-se aqui que as vigas

de concreto armado, por serem de pequena espessura no caso de edifícios resistempoucos às tensões tangenciais, considerando que às de torção devem ser somadas asrelativas à força cortante.

Também a idéia da redução dos momentos de inércia em vigas e pilares parasimular o efeito da fissuração continua válida.

Quanto aos deslocamentos do edifício submetido às ações de vento essemodelo apresenta valores menores e mais representativos, já que considera ocontraventamento em direções ortogonais.

4.4.3 MÉTODOS SIMPLIFICADOS

Em edifícios usuais de concreto armado a resistência às ações horizontais devento fica a cargo do conjunto de painéis verticais (pórticos), e eventualmente, depilares-parede isolados com grande rigidez, comumente chamados de núcleosestruturais. Quando necessários, os núcleos estruturais normalmente envolvemelevadores ou escadas.

A estrutura é então suposta formada por um conjunto de pórticos verticais enúcleos interconectados por lajes horizontais. Admite-se que as ações de vento sejamaplicadas pelas paredes externas a essas lajes, as quais se deslocariam como chapasrígidas em seus planos distribuindo para pórticos e núcleos em cada nível uma parcelada ação aplicada.

Simplificadamente, para se proceder a uma estimativa dos esforços solicitantesnesses elementos há a necessidade de se avaliar primeiro as parcelas da ação devento absorvidas por cada um deles.

Uma maneira de se proceder a essa avaliação da distribuição da ação de ventoentre os painéis de contraventamento é definida por STAMATO (1978). Pela teoriadescrita por ele, pórticos e núcleos estruturais receberiam quinhões de açõesproporcionais às suas rigidezes em cada nível, afetados de uma possível torção globalpor causa da excentricidade da resultante da ação transversal de vento em relação ao"centro de gravidade" das rigidezes dos elementos resistentes (centro elástico).

Na verdade STAMATO (1978) utiliza um tratamento discreto, considerando queos esforços transmitidos aos painéis são ações concentradas no nível dos pavimentos.

Naturalmente que nesse caso um tratamento contínuo, como o feito por MANCINI(1973), traz resultados mais precisos. O número discreto de lajes seria substituído porum meio contínuo, ficando os esforços transmitidos a um painel continuamentedistribuídos.

Os pórticos com elementos de seção aproximadamente uniforme ao longo daaltura têm rigidez praticamente constante. Nos locais onde houver viga de transição,naturalmente a rigidez será maior. Os pórticos são considerados rígidos ao momentofletor e deformáveis por força cortantes.

Já os núcleos estruturais têm uma rigidez maior nas imediações da base,apresentando neste local uma maior participação na absorção de ações horizontais.São considerados rígidos à força cortante e deformáveis por momento fletor.

Um fato incontestável diz respeito ainda à presença dos núcleos estruturais.Esse tipo de elemento, pela sua elevada rigidez, absorve uma parcela muito grandedas ações horizontais, via de regra muito maior do que as recebidas por pórticos.




Por isso os núcleos estruturais necessitam de elementos de fundação com altoconsumo de concreto, encarecendo a obra. Assim, núcleos estruturais são adotadosem último caso, quando a estrutura adotada só com pórticos apresenta índices queindicam falta de estabilidade global do edifício.

Quando há somente a presença de pórticos é relativamente comum utilizar-se ocritério simplista das faixas de carga (ou áreas de influência) para determinar as

parcelas de ações absorvidas por cada um deles. Esse critério não leva em conta asrigidezes dos pórticos, nem tão pouco a excentricidade da resultante da ação de vento,e por isso não deve ser utilizado.

Determinada a distribuição de ações horizontais entre os painéis decontraventamento, no caso de pórticos pode-se partir para uma estimativa dos esforçossolicitantes em suas vigas e pilares.

4.5 VALORES DAS AÇÕES A SEREM CONSIDERADAS NOS PROJETOS

Nos projetos as ações representadas pelos esforços solicitantes devem ser

considerados com os coeficientes de ponderação para cada estado limite considerado:último ou de serviço.

Recordando o estado limite último deve garantir à estrutura segurança aocolapso, com todas as suas possibilidades de ocorrência. Estado limite de serviço deveter as seguintes situações verificadas: limite de fissuração, com as hipóteses sedetermina o valor do momento de fissuração; de deformação, que verifica asdeformações que geram deslocamentos nos elementos fletidos e limite de abertura defissuras, com as hipótese verificam-se limites para as aberturas de fissuras.

Para a verificação dos estados limites a NBR 6118:2003 indica o que segue.

4.5.1 VALORES REPRESENTATIVOS DAS AÇÕES

As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser:

a) os valores característicos;

b) valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para asações excepcionais;

c) valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como:

- nas verificações de Estados Limites Últimos, quando a ação considerada se

combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a partir dosvalores característicos pela expressão ψ0Fk, que considera muito baixa a probabilidadede ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveisde naturezas diferentes;

- nas verificações de Estados Limites de Serviço. Estes valores reduzidos sãodeterminados a partir dos valores característicos pelas expressões ψ1Fk e ψ2Fk, queestimam valores freqüentes e quase permanentes, respectivamente, de uma ação queacompanha a ação principal.

4.5.1.1 Valores de cálculo

Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valoresrepresentativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf dadopela expressão 4. 13.




γf = γf1 γf2 γf3 [4.13]

sendo:

γf1 considera a variabilidade das ações;

γf2 considera a simultaneidade de atuação das ações;γf3 considera os desvios gerados nas construções, não explicitamente

considerados, e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações.

4.5.1 2 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite último (ELU)

Os valores base para verificação são os apresentados nas tabelas 4. 2 e 4. 3,para γf1. γf3 e γf2, respectivamente.

Para as paredes estruturais com espessura inferior a 19cm e não inferior a12cm, e para os pilares com menor dimensão inferior a 19cm, o coeficiente γf deve ser

majorado pelo coeficiente de ajustamento γn . Esta correção se deve ao aumento daprobabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção.

Tabela 4. 2 - Coeficiente γf = γf1. γf3

[NBR 6118:2003]Ações

Permanentes(g)

Variáveis(q)

Protensão(p)

Recalques deapoio e retração

Combinaçõesde ações

D1) F G T D F D F

Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,20

Especiais ou deconstrução 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0

Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0D = desfavorável, F = favorável, G = geral, T = temporária.1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas,especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.

Tabela 4. 3 - Valores do coeficiente γf2

[NBR 6118:2003]γf2

Açõesψo ψ1

1) ψ2

Locais em que não há predominância depesos de equipamentos que permanecemfixos por longos períodos de tempo, nem deelevadas concentrações de pessoas 2)

0,5 0,4 0,3

Locais em que há predominância de pesosde equipamentos que permanecem fixos porlongos períodos de tempo, ou de elevadaconcentração de pessoas 3)

0,7 0,6 0,4

Cargasacidentais de

edifícios

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,6 0,6

VentoPressão dinâmica do vento nas estruturas emgeral

0,6 0,3 0

TemperaturaVariações uniformes de temperatura emrelação à média anual local

0,6 0,5 0,3

1) Para os valores de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23.2) Edifícios residenciais. 3) Edifícios comerciais e de escritórios.




Os valores das tabelas 4. 3 e 4. 4 podem ser modificados em casos especiais,de acordo com a NBR 8681:2002.

O valor do coeficiente de ponderação, de cargas permanentes de mesmaorigem, num dado carregamento, deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura. Aúnica exceção é o caso da verificação da estabilidade como corpo rígido.

4.5.1 3 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite de serviço (ELS)

Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites deserviço é dado pela expressão 4.14:

γf = γf2 [4.14]

sendo γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tabela 4.4):

γf2 = 1 para combinações raras;γf2 = ψ1 para combinações freqüentes;γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes.

4.6 COMBINAÇÕES DAS AÇÕES

A NBR 6118:2003 indica que, as ações que podem atuar simultaneamente emuma estrutura devem ser combinadas de tal modo a permitir determinar os efeitos maisdesfavoráveis atuantes nas seções transversais críticas. As combinações devem serfeitas com os valores de cálculo das solicitações, obtidas pelos valores característicosmultiplicados pelos respectivos coeficientes de ponderação γf .

Os índices do coeficiente de ponderação são alterados de forma que resultemγg, γq,, γp, γε, relativos, respectivamente, às ações permanentes, ações variáveis,protensão e para os efeitos de deformações impostas. Os seus valores sãoempregados de acordo com o tipo de combinação feita.

A NBR 8681:2002 classifica as combinações das ações em: combinaçõesúltimas normais, combinações últimas especiais ou de construção e combinaçõesúltimas excepcionais. As combinações normais são aquelas relativas às açõesprovenientes do uso da construção (para edifícios, ações permanentes e variáveis); ascombinações especiais incluem as ações variáveis especiais, cujos efeitos superam emintensidade os efeitos produzidos pelas ações variáveis comuns da edificação (no casode edifícios, o vento); as combinações excepcionais decorrem da necessidade de seconsiderarem ações excepcionais que provoquem efeitos catastróficos (abalossísmicos, por exemplo).

Apresentam-se a seguir as expressões das combinações das ações para adeterminação da situação crítica.

4.6.1 COMBINAÇÕES A CONSIDERAR

Um carregamento é definido pela combinação das ações que têmprobabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura,durante um período pré estabelecido.

A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinadosos efeitos mais desfavoráveis para a estrutura e a verificação da segurança em relaçãoaos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada emfunção de combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente.

4.6.1.1 Combinações últimas

Uma combinação última pode ser classificada em normal, especial ou deconstrução e excepcional.




a.- Combinações últimas normais

Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variávelprincipal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradascomo secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conformeNBR 8681:2002.

a.1- Combinações últimas especiais ou de construção

Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variávelespecial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveiscom probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valoresreduzidos de combinação, conforme NBR 8681:2002.

a.2.- Combinações últimas excepcionais

Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variávelexcepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais açõesvariáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seusvalores reduzidos de combinação, conforme NBR 8681:2002.

a.3- Combinações últimas usuais

Para facilitar a visualização, essas combinações estão dispostas na tabela 4. 5.

4.6.1.2 Combinações de serviço

São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura e devem serverificadas como estabelecido a seguir.

a.- quase-permanentes

Podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e suaconsideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformaçõesexcessivas.

b.- freqüentes

Se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e suaconsideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação defissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também serconsideradas para verificações de estados limites de deformações excessivasdecorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedações.

c.- raras

Ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e suaconsideração pode ser necessária na verificação do Estado Limite de Formação deFissuras.

A NBR 6118:2003 para facilitar a visualização indica na tabela 4.6 ascombinações de serviço usuais.




Tabela 4.5 – Combinações últimas [NBR 6118:2003] Combinaçõesúltimas (ELU)

Descrição Cálculo das solicitações

Esgotamento dacapacidade resistente paraelementos estruturais deconcreto armado 1)

Fd = γgFgk + γεgFεgk + γq (Fq1k + Σ ψojFqjk) + γεq ψoε Fqk

Esgotamento dacapacidade resistente paraelementos estruturais deconcreto protendido

Deve ser considerada, quando necessário, a força de protensãocomo carregamento externo com os valores Pkmáx e Pkmin para aforça desfavorável e favorável respectivamente, conformedefinido na seção 9.

Normais

Perda do equilíbrio comocorpo rígido

S (Fsd) ≥ S (Fnd)Fsd = γgs Gsk + Rd

Fnd = γgn Gnk + γq Qnk - γqs Qs,min, sendo: Qnk = Q1k + Σ ψoj Q jk

Especiais ou deconstrução Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + γq (Fq1k + Σ ψoj Fqjk) + γεq ψoε Fεqk

Excepcionais Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + Fq1exc + γq Σ ψoj Fqjk + γεq ψoε Fεqk

Fd é o valor de cálculo das ações para combinação últimaFgk representa as ações permanentes diretas

Fεk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a temperatura Fεqk Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principalγg, γεg, γq, γεq – ver tabela 4.3ψoj, ψoε - ver tabela 4.4Fsd representa as ações estabilizantesFnd representa as ações não estabilizantesGsk é o valor característico da ação permanente estabilizanteRd é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houverGnk é o valor característico da ação permanente instabilizante

m

Qnk=Q1k + Σ ψojQ jk j=2

Qnk é o valor característico das ações variáveis instabilizantesQ1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal

ψoj Q jq são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido.Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma açãovariável instabilizante1) No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentesseja reduzido pela consideração de γg = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações queconsideram γg reduzido (1,0) não precisam ser consideradas.




Tabela 4. 6 – Combinações de serviço [NBR 6118:2003]Combinações

de serviço(ELS)

Descrição Cálculo das solicitações

Combinaçõesquase-

permanentesde serviço(CQP)

Nas combinações quase-permanentes de serviço, todas as

ações variáveis são consideradascom seus valores quase-permanentes ψ2 Fqk

Fd, ser = Σ Fgi,k + Σ ψ2j Fqj,k

Combinaçõesfreqüentes deserviço (CF)

Nas combinações freqüentes deserviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor freqüente ψ1 Fq1k e todas as demais açõesvariáveis são tomadas com seusvalores quase-permanentes ψ2 Fqk

Fd,ser = Σ Fgik + ψ1 Fq1k ++ Σ ψ2j Fqjk

Combinaçõesraras de

serviço (CR)

Nas combinações raras de serviço,

a ação variável principal Fq1 étomada com seu valor característicoFq1k e todas as demais ações sãotomadas com seus valoresfreqüentes Ψ1 Fqk

Fd,ser = Σ Fgik + Fq1k + Σ ψ1j Fqjk

Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviçoFq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretasψ1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELSψ2 é o fator de redução de combinação quase-permanente para ELS

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

ALMEIDA PRADO, J. F. M. de (1995) Estruturas de edifícios em concreto armadosubmetidas a ações verticais e horizontais. São Carlos. USP – EESC. (Dissertação deMestrado).

BECK, H. & KONIG, G.(1967). Restraining forces in the analysis of tall buildings.Symposium on Tall Buildings, Proceedings, Pergamon Press, Oxford.

COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON Code model CEB-FIP pour lesstructures en béton. Paris, 1990.

FÉDÉRACION INTERNATIONALE DU BÉTON (fib/CEB-FIP). Structural Concrete. FibBulletin, números 1 a 3 (3 volumes). Lausane, Suissa, 1999

FUSCO, P. B. (1981). Estruturas de concreto armado - solicitações normais. EditoraGuanabara Dois, Rio de Janeiro.

MAC GREGOR, J. E. & HAGE, S. E. (1977). Stability analysis and design of concreteframes. J. Structural Division, ASCE.

RAMALHO, M.A.; CORRÊA, M.R.S. Sistema LASER de análise estrutural. In:SIMPÓSIO NACIONAL DE TECNOLOGIA DA CONSTRUÇÃO, 5., "Software para oProjeto do Edifício", São Paulo, EPUSP, 15-16 out.1987. Anais.




STAMATO, M.C. (1981). Distribuição das Cargas do Vento entre Painéis deContraventamento. Publicação EESC -USP, São Carlos.

VASCONCELOS, A. C. (1987). Como especificar a segurança quando há efeitos desegunda ordem a considerar. Colóquio sobre estabilidade global de estruturas deconcreto armado. Porto Alegre(RS), UFRGS.

Contraventamento. Publicação EESC -USP, São Carlos.




5. LAJES MACIÇAS

5.1 INTRODUÇÃO

As placas são elementos estruturais bidimensionais, pois duas das dimensões

são bem maiores que a terceira (espessura) e as ações agem perpendicularmente aoplano médio. Quando as placas forem moldadas em concreto armado elas sãochamadas de lajes.

Nas estruturas dos edifícios as lajes têm importância preponderante no consumode concreto, que é da ordem de 50% do volume total consumido para construir oedifício.

As lajes são submetidas essencialmente a esforços solicitantes de flexão,momentos fletores e forças cortantes. As ações são as permanentes - peso próprio,pesos próprios do contrapiso, piso e revestimento da face inferior da laje (forro doandar inferior) e de paredes divisórias, se for indicado no projeto arquitetônico, e, açãovariável normal, isto é, ação de utilização. No caso de edifícios a ação variável normalé especificada pela NBR 6120:1980 - Cargas para o cálculo de estruturas deedificações, em função da utilização do ambiente arquitetônico que ocupa a região dalaje em análise, e já estudada no capítulo 2.

Montoya et al. [2001], considera que as lajes são delgadas se a relação entre aespessura (h) e a menor dimensão (lx), for menor que 1/5, podendo aparecerimportantes tensões de membrana que se superpõe com as tensões normais oriundasda flexão.

A NBR 6118:2003 indica que quando a relação h/lx for maior que 1/3, as placassão consideradas espessas, aparecendo um estado triaxial de tensões.

As lajes podem ser classificadas quanto a:

a. formaO contorno pode ser poligonal ou circular.

b. disposição dos apoios As lajes podem ser isoladas apoiadas no contorno ou contínuas e armadas em

uma ou duas direções.

c. tipos de apoiosOs apoios podem ser realizados em pilares (lajes sem vigas ou lajes cogumelo)

ou ao longo de vigas.

d. vinculação junto aos apoios As lajes podem ser consideradas apoiadas no contorno ou podem serconsideradas engastadas em laje contígua, quando for o caso.

e. tipos de ações As ações podem ser pontuais, uniformemente distribuídas ou linearmente

variáveis.

Para a determinação dos esforços solicitantes a NBR 6118:2003 permite ocálculo pelos métodos clássico e da ruptura.

O método clássico considera a teoria da elasticidade, supõem que o material

que compõem as lajes é homogêneo, isótropo e de comportamento linear. O métododa ruptura é fundamentado na teoria da plasticidade e considera o material como umcorpo rígido-plástico perfeito. A aplicação do método da ruptura às lajes resultou naTeoria das Charneiras Plásticas.



Capítulo 5 - Lajes maciças 94

Os resultados obtidos com a teoria das charneiras plásticas permitem analisaras lajes nas proximidades da ruptura estando, inclusive, mais de acordo com oprocesso de verificação da segurança com relação aos estados limites últimos.

O método clássico, que resultou no cálculo elástico das lajes não deve serabandonado, pois analisa as lajes em serviço, prestando-se para verificar os estadoslimites de utilização.

Neste trabalho se utilizam as hipóteses do método plástico para determinaçãodas reações de apoio e do método elástico para determinação dos momentos fletores.

5.2 EXEMPLOS DE ESQUEMAS ESTÁTICOS PARA LAJES MACIÇAS

A NBR 6118:2003 indica que as lajes maciças podem ser consideradas comoisoladas, fazendo-se a compatibilização dos momentos fletores atuantes nas bordas delajes contíguas, nos casos de estruturas que há predominância da força permanente eface das forças variáveis normais (g > q). Processo para determinar os momentosfletores finais atuantes nas lajes será estudado no item 5.8.4.

O cálculo dos esforços solicitantes, por tabelas práticas, é feito considerando as

lajes isoladas, com as vinculações das bordas supostas apoiadas ou engastadasperfeitamente. Entretanto, o monolitismo oriundo do processo construtivo garante umacontinuidade às lajes de um determinado pavimento. É preciso determinar critérios quepermitem fixar, para cada laje do painel, as condições de vinculação de modo a podertratá-las dentro das restrições impostas pelos processos em questão.

A abordagem completa de todos os fatores que podem intervir noestabelecimento de tais critérios, bem como a identificação de todas as situaçõesparticulares que possam ocorrer, seria complicada, além de cansativa. Por issopreferiu-se a apresentação de alguns exemplos, de modo a ilustrar a maneira comosão tratadas as situações correntes. [Andrade, 1990]

5.2.1 LAJE ISOLADA APOIADA EM VIGAS NO CONTORNO

A figura 5.1 mostra um pavimento de edifício constituído por uma única lajemaciça apoiada em vigas no contorno.

Figura 5.1 - Laje isolada [Andrade, 1990]

Admitindo-se a laje engastada nas vigas, resultam momentos de engastamentoque nas vigas geram momentos (reação) uniformemente distribuídos. As vigas giram,




porque têm pequena rigidez à torção. Solidariamente, as lajes também giram,desaparecendo a condição inicialmente admitida de engastamento perfeito (giro nulo).

Conclui-se que nesse caso a laje deve ser admitida como simplesmente apoiadanas vigas, com a possibilidade, portanto de giro na sua borda.

As vigas acompanham esse giro sem que seja desfeita a ligação monolítica"laje-viga", isto é sem aparecimento de fissuras exageradas e ainda sem solicitação

importante da viga à torção. Com momento fletor de pequena intensidade e, portanto,pequenas tensões, a viga gira o suficiente para acompanhar o giro da laje.

5.2.2 DUAS LAJES CONTÍGUAS

A figura 5.2 apresenta a forma de um pavimento de edifício constituído por duaslajes maciças de espessuras sensivelmente diferentes e assim consideradas paraefeito deste exemplo.

Figura 5.2 - Lajes contínuas, em uma direção

[Andrade, 1990]

Tratando-se de lajes contíguas, o estudo das condições de vinculação develevar em conta tanto a existência das vigas como a continuidade do painel de lajes.

Mesmo admitindo vãos aproximadamente iguais para as duas lajes desteexemplo, as mesmas têm rigidezes diferentes entre si, por serem as espessurasdiferentes.

A laje menos rígida e as vigas podem, igualmente, ceder e girar, concluindo-seque a laje mais rígida deve ser considerada apoiada, inclusive no lado comum a ambasas lajes. Inversamente, a laje menos rígida deve ser considerada engastada.

A existência das vigas não altera a conclusão, do ponto de vista dos giros, de

modo que as duas lajes são consideradas "contínuas" entre si e simplesmenteapoiadas nas vigas.

Com este exemplo foi mostrado de modo sucinto um critério para análise davinculação das lajes. Casos de lajes com diferenças de nível, lajes apoiadas em vigas




de grande rigidez ou lajes contínuas de tipo diferente, podem ser analisadas demaneira análoga.

Se as lajes tiverem a mesma espessura, ambas devem ser consideradasengastadas na direção do lado comum.

Deve-se, entretanto, prestar atenção à outra possibilidade completamentediferente, que é a situação dos momentos de engastamento das lajes serem

necessários ao equilíbrio. É o caso do exemplo seguinte.

5.2.3 LAJE EM BALANÇO

A laje da figura 5.3 tem três bordas livres, isto é, lados da laje onde não existemvigas de borda. A única viga é a V01 que deve garantir a condição estática para a laje.

Figura 5.3 - Laje em balanço[Andrade, 1990]

Neste caso qualquer que seja a rigidez da laje, ou da viga, a laje é consideradasempre engastada, e a viga fica solicitada à ação de um momento uniformementedistribuído, gerando tensões tangenciais oriundas da torção necessárias ao equilíbrioestrutural. Deslocamentos excessivos são evitados adotando-se espessuras edimensões convenientes para os elementos envolvidos.

Note-se também a existência de uma nervura de pequena altura nas bordas dalaje, a qual pode ocorrer em função de detalhes impostos pelo projeto arquitetônico.Sendo de pequena altura a nervura tem pequena rigidez e não deve ser admitida comoapoio para a laje. O esquema estático é o de uma laje com um lado engastado na viga

e os demais lados livres, isto é sem apoio.Concluindo: em um painel de lajes contínuas, após uma análise desse tipo pode-se delinear a configuração das condições de apoio.

5.3 TIPOS DE CONDIÇÕES DE VINCULAÇÃO PARA LAJES ISOLADAS

Para cada tipo de condição de vinculação das lajes se atribuí um número que aidentifique, inclusive com relação ao tipo de ação a que está submetida.

Observando as tabelas 2.5.a a 2.5.e, elaborados pelo Professor Líbânio MirandaPinheiro, no trabalho "Concreto Armado: Tabelas e Ábacos - EESC-USP", versão de

1993, percebe-se que elas foram feitas para tipos de lajes com condições devinculação diferentes, para ações uniformemente distribuídas.




Do tipo 1 até tipo 6, convencionou-se que lx é o menor vão efetivo, qualquer queseja a condição de vinculação. Daí a necessidade de alguns tipos de vinculação sersubdivididos em A ou B. Por exemplo, lajes tipo 4A e 4B.

Na laje 4A, lx é paralelo aos dois lados engastados e, na laje 4B lx é paraleloaos dois lados apoiados.

Para cada laje se define um sistema local de eixos coordenados. O eixo das

abscissas (x) é paralelo ao lado lx e o das ordenadas (y) é paralelo ao lado ly (o maiorlado), conforme pode ser observado na figura 5.4. Quando, no projeto das lajes, seutilizam tabelas diferentes das consultadas neste trabalho, especial atenção deve serdada à convenção adotada pelo autor da tabela.

Figura 5.4 - Lajes tipo 4A e 4B

Para os 6 tipos de lajes, PINHEIRO [1993] adaptou coeficientes calculados porBARES [1970] para a relação (λ = ly / lx) entre os lados variando:

1,0 ≤ λ = ly / lx ≤ 2,0

Considera-se que se a relação de lados for menor do que 2,0 a laje é armadaem duas direções, isto é, as armaduras posicionadas nas duas direções têm a mesmaordem de grandeza.

Se λ > 2,0 considera-se que a laje é armada em uma direção, isto é, armada nadireção do vão menor (lx). Neste caso a armadura de maior área é posicionada

paralelamente ao menor vão. Na direção do vão maior posiciona-se armadurachamada de distribuição, com área mínima indicada na NBR 6118:2003.Os esforços solicitantes - momentos fletores e forças cortantes - são calculados

para uma viga com largura unitária (bw = 1m) com a mesma condição de vinculaçãodos lados paralelos a ly.

O exemplo da figura 5.5 indica uma laje com três bordas apoiadas e umaconsiderada engastada em laje contígua, que garante esta situação. O lado engastadoé paralelo ao maior vão efetivo da laje. Como a relação entre os vãos teóricos é maiordo que 2, não há necessidade de se recorrer a tabelas para cálculo dos esforçossolicitantes, embora este caso, de λ ≥ 2,0, seja contemplado nas Tabelas de Pinheiro.

Os esforços solicitantes para uma viga engastada e apoiada no lado oposto, de

vão lx,, quando associada a uma laje maciça de mesma condição de vinculação, sãodados pelas expressões que seguem:




xxx

x

x'x

x'x

)qg(,v,

)qg(m

)qg(,v)qg(

m

ll

ll

+=+

=

+=+

=

402214

608

2

2

A largura da viga deve ser considerada igual a um (1) metro, conforme mostradona figura 5.5. Os momentos fletores de índice “x” têm planos de ação paralelos ao ladolx e as reações de apoio de mesmo índice atuam em bordas da laje paralelas ao ladoly. As reações de apoio atuantes nos lados paralelos a lx podem ser determinadasusando a Tabela de PINHEIRO [1993], para o tipo de laje compatível, para λ = 2. Omomento fletor na direção do eixo y não precisa ser calculado, pois a NBR 6118:2003indica que para lajes armadas em uma direção deve-se dispor de armadura dedistribuição como será mostrado no item relativo a critérios de armação de lajes.

Figura 5.5 - Esforços solicitantes em laje armada em uma direção

Os esforços solicitantes na direção do eixo y são avaliados para lajeconsiderando-se uma laje fictícia com mesma condição de vinculação da laje emquestão, porém, com relação entre os vãos teóricos igual a 2,0. Os coeficientes paracálculo dos esforços solicitantes na direção do maior vão efetivo são os encontradosnas respectivas tabelas, força cortante e momento fletor, para λ = 2,0.

Observa-se que na tabela 2.5a, laje tipo 2B, os coeficientes com índice ypara λ > 2,0 são iguais aos de λ = 2,0. Os de índice x foram adaptados em função dosfatores de multiplicação e dos denominadores das expressões com as quais secalculam os esforços solicitantes.

As tabelas para as lajes tipos 7, 8, 9 e 10 foram elaboradas considerando umaborda livre e submetidas à ação uniformemente distribuída na área da laje.

Nestes casos o eixo x é paralelo ao lado la e o eixo y é paralelo ao lado de vãoefetivo lb. Notar que nos quatro tipos lb é paralelo ao lado da laje com borda livre.

Os esforços solicitantes são indicados pelas letras m para momento fletor porunidade de largura (1m) e v para força cortante ou reação de apoio na mesma unidade.Os índices x ou y indicam os planos de ação dos momentos fletores ou o lado

que ocorrem as reações de apoio - x para os lados paralelos a ly e y para os ladosparalelos a lx.

Quando os momentos fletores ocorrem em lados engastados eles são indicados,com plica ('), por exemplo, m'x para designar o momento fletor, com plano de ação




paralelo ao lado lx e provocando tração na face superior da laje, na ligação desta coma contígua.

Para os coeficientes, apresentados nas Tabelas de Pinheiro, adotam-se asmesmas convenções. Os coeficientes com os quais se calculam as reações de apoiosão anotados com a letra grega ν (ni) e os coeficientes para momento fletor µ (mi).

5.4 CONDIÇÕES DE VINCULAÇÃO DIFERENTES DAS INDICADAS NAS TABELAS

Como pode ser visto nas tabelas para determinação dos momentos fletores, oslados das lajes foram considerados totalmente apoiados, engastados ou com bordalivre, procurando abranger casos usuais de projetos. Ao se analisar as condições devinculação das lajes de um pavimento é comum deparar-se com lajes com um ladoparcialmente engastado e parcialmente apoiado, como pode ser observado na figura5.6. Essa situação não é contemplada pelas tabelas, exigindo do projetista um critérioespecífico para a determinação dos esforços solicitantes neste caso. Lembra-se quenos casos de critérios que levam a valores aproximados, estes devem ser justificadospensando-se na segurança estrutural.

A laje mostrada na figura 5.6 apresenta um dos lados com condições devinculação diferentes. Um processo aproximado para cálculo dos esforços solicitantesé o que a seguir se expõe.

Se a laje for armada em duas direções, e se ly1 ficar entre ly/3 e (2/3). ly, osesforços solicitantes podem ser calculados considerando-se ora o lado em questãotodo engastado ora todo apoiado. Os esforços solicitantes considerados para odimensionamento serão os de maior módulo.

Esse procedimento significa adotar no primeiro caso laje tipo 3 e no segundo lajetipo 2A, no exemplo.

Se ly1 for menor do que ly/3 considera-se esse lado todo apoiado; se ly1 formaior do que 2. ly/3 considera-se o lado em questão todo engastado.No caso da laje do exemplo ser armada em uma direção, podem ser

consideradas duas faixas unitárias, posicionadas nas duas regiões com condições devinculação diferentes. As armaduras nessas regiões também serão diferentes. Estecritério, quando a laje for considerada armada em uma direção, prevê a divisão fictíciada laje em duas, conforme indicado na figura 5.6. Para avaliar os esforços solicitantesna direção do maior vão efetivo, podem-se determinar os coeficientes nas tabelas pararelação entre os vãos igual a 2,0, procurando associar à laje real com aquelas típicaspara as quais foram montadas tabelas auxiliares.

É importante lembrar que os critérios de aproximação para casos não usuais,

devem ser cuidadosamente analisados pelo projetista da estrutura, com a finalidade deresolver o problema proposto, porém, atendendo sempre os requisitos de segurançaestrutural.

O exemplo mostrado na figura 5.6 pode ser encontrado, nos casos práticos,quando a laje em análise pode ser considerada engastada em laje contígua apenas naregião de comprimento ly1 e, no complemento ly2 só é possível considerar apoio.




Figura 5.6 - Laje com condições de vinculações diferentes

5.5 VÃOS EFETIVOS DAS LAJES

A NBR 6118:2003 indica que, quando os apoios puderem ser consideradossuficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculadopela seguinte expressão:

lef = l0 + a1 + a2 [5.1]

Os valores de a1 e a2, em cada extremidade do vão, podem ser determinadospelos valores apropriados de ai, indicado na figura 5.7, sendo:

a1 igual ao menor valor entre (t1 e h) e

a2 igual ao menor valor entre (t2 e h).

Na maioria dos casos usuais de lajes de edifícios, pode-se considerar como vãoefetivo a distância entre os centros dos apoios (vigas) que têm, nos projetos usuais deedifícios, larguras medindo entre 10cm a 20cm.

Nos casos de lajes apoiadas em vigas de transição, que são vigas de grandelargura, faz-se necessário aplicar a regra citada.

lll

a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediárioFigura 5.7 – Vão efetivo [NBR 6118:2003]




A figura 5.8 mostra os casos de lajes isoladas, contínuas e em balanço com asindicações da NBR 6118:2003 para cálculo de vãos efetivos.

Figura 5.8 – Vãos efetivos das lajes

5.6 ALTURA ÚTIL E ESPESSURA

A NBR 6118:2003 prescreve as espessuras mínimas de lajes maciças deedifícios, em função da utilização, conforme indicado no capítulo 3 deste texto.

Claudinei Pinheiro Machado, sugere a seguinte expressão para pré-dimensionamento da altura útil (d):

d0 = (2,5 – 0,1 . n) l*

sendo l* o menor valor entre o vão efetivo lx e 0,7 ly;

lx é a medida do menor vão efetivo;

n = número de bordas engastadas;

os vãos efetivos são medidos em metros;

d0 em centímetros.

Ishitani et al. (2001) indica que as espessuras das lajes maciças podem ser pré-dimensionadas, considerando:




h = 2,5% lx

sendo lx a medida do menor vão efetivo.

A espessura adotada no projeto deve ser verificada, do ponto de vista dos

estados limites último e de serviço. A altura útil (d) é a indicada na figura 5.9 onde podem ser vistas as barras das

armaduras nas duas direções. O cobrimento (c) é medido a partir da barra maispróxima da face do elemento estrutural.

Figura 5.9 - Altura útil e altura total

Os valores dos cobrimentos a serem adotados em função das condições deagressividade do meio ambiente estão indicados na NBR 6118:2003 e no capítulo 3.

As espessuras das lajes devem atender os valores mínimos indicados na NBR

6118:2003 e neste texto mostradas no item 3.2.1.1.

5.7 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

Havendo disponibilidade de equipamento computacional e programas paraanálise de placas contínuas, os esforços solicitantes podem ser determinadosconsiderando a continuidade entre lajes e, mais precisamente, as ligações com asvigas e suas deformabilidades e deslocabilidades. Esses programas são escritosconsiderando os processos dos elementos finitos, dos elementos de contorno eanalogias de grelhas.

A NBR 6118:2003 permite que, quando houver predominância de forçaspermanentes, as lajes vizinhas em um pavimento de lajes maciças podem serconsideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos fletoresatuantes nas bordas, em função das condições de vinculação adotadas. Acompatibilização de modo aproximado será estudada no item 5.8.4.

5.7.1 REAÇÕES DE APOIO

Considere-se uma placa retangular simplesmente apoiada no seu perímetro(Figura 5.10a). Admita-se que os apoios forneçam vínculos unilaterais, isto é, que osapoios somente mobilizem reações dirigidas de baixo para cima.




Figura 5.10 - Laje retangular simplesmente apoiada

Sob a ação de força uniformemente distribuída no sentido de cima para baixo,por exemplo, verifica-se que os cantos das placas deslocam-se dos apoios (Figura5.10b).

Nas lajes de concreto, por causa do monolitismo existente entre lajes e vigas,verifica-se que as bordas permanecem retilíneas. Isto significa que os apoios fornecemvínculos bilaterais, ou seja, ao longo das bordas mobilizam reações nos dois sentidos.

Convencionando-se as reações dirigidas de baixo para cima como positivas, junto aos cantos da placa haverá reações negativas. O diagrama das reações de apoioao longo de uma borda de uma placa retangular, sob a ação de uma açãouniformemente distribuída, é ilustrado na figura 5.11a.

No entanto, aplicando-se a Teoria das Placas Delgadas, com a sua formulação

usual, em lugar das reações negativas, distribuídas junto aos cantos (Figura 5.11a),obtém-se a distribuição aproximada, indicada na Figura 5.11b.

Figura 5.11 - Distribuição das reações de apoio

Para o cálculo das vigas de apoio, seria extremamente trabalhoso adotar-se odiagrama indicado na Figura 5.11b. Usualmente, partindo-se de uma simplificação,admite-se distribuição uniforme, ou seja, consideram-se reações médias, sem asreações de canto (Figura 5.11c). Esta simplificação conduz a resultados contra asegurança para o apoio em questão. Uma alternativa que se aproxima bastante dadistribuição correta é ilustrada na Figura 5.11d, sendo levadas em conta as reações decanto e, em relação ao procedimento usual, o trabalho de cálculo não e aumentadopraticamente.




Para a determinação exata da distribuição das reações de apoio da placa, deve-se levar em conta a flexibilidade das vigas, o que pode ser feito empregando-se oprocesso dos elementos finitos ou dos elementos de contorno, ambos com auxílio deprograma computacional.

O cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com açãouniformemente distribuída pode ser feito, considerando as indicações da

NBR6118:2003, cujo texto é exposto a seguir, a partir da determinação aproximada daslinhas de plastificação da laje obtidas com as condições de vinculação dos lados. As reações em cada apoio são correspondentes às ações atuantes nos

triângulos trapézios determinados pela formação das charneiras plásticascorrespondentes à análise feita com os critérios de análise plástica indicados na NBR6118:2003.

Permite-se, quando a análise plástica não for realizada, as charneiras podem seraproximadas por retas inclinadas, na planta da laje, a partir dos vértices com osseguintes ângulos:

45o entre dois apoios de mesmo tipo, isto é quando para o vértice concorremapoios considerados ambos engastados ou ambos apoiados;

60o a partir do apoio engastado quando o outro for considerado simplesmenteapoiado;

90o a partir do apoio quando a borda vizinha for livre.

Este procedimento, sugerido pela NBR 6118:2003, foi inspirado nocomportamento da laje em regime plástico. Para um refinamento de cálculo, adeterminação das reações de apoio deve ser feita em regime elástico, uma vez que asações, geralmente, se transferem das lajes para as vigas com a estrutura trabalhandoelasticamente.

5.7.1.1 Exemplo 1Calcular as reações de apoio da laje L1, sabendo que a ação total é

g+q=6kN/m2. A laje do exemplo tem lados paralelos ao menor vão efetivo engastado e o outro

com borda livre; os lados paralelos ao maior vão efetivo, um é apoiado e ouroengastado. Uma das bordas é considerada livre, isto é sem viga apoiando essa bordada laje por uma decisão arquitetônica.

Figura 5.12 - Exemplo laje tipo 12




Determinam-se as áreas A1, A2 e A3:

2,60my

1,10mx

1,90mx

4,5yy 3,0xx

1,73xx

x

y60tg

y

x45tg

2

2

1

21

21

21

2

1o

1

1o

=

=

=

=+ =+

=

=

=

m/kN7,5v

m/kN0,9v

m/kN2,5v

m85,2 A;m75,6 A;m91,3 A

'y

'x

x

23

22

21

=

=

=∴

===

5.7.1.2 Exemplo 2

Para a laje da figura, determinar as reações de apoio.Dados: g + q = 6,0 kN/m2.Esta laje do exemplo é considerada engastada em três lados consecutivos e

uma borda é considerada apoiada. Nota-se que um lado engastado e outro apoiadosão paralelos ao maior vão efetivo, definindo uma laje tipo 5A, de acordo com oadotado por PINHEIRO (1993).

Figura 5.13 - Exemplo, laje tipo 5A

Usando o critério da NBR 6118:2003, obtém-se 4 superfícies conforme indicadona figura. Calculando as alturas dos triângulos e trapézios, podem-se determinar asáreas das superfícies e a partir daí as reações de apoio.

50,4

1x10,1x)70,050,4(

2

1x0,6

A)qg(v

y

1

x

+=+=

l

vx = 3,81 kN/m




4,50

1x0,70)x1,90(4,5

2

16,0x

Aq)(gv

y

2'x

+=+=

l

v’x = 6,59 kN/m

3,001xx3,0x1,9216,0x A

q)(gvx

3'y =+= l

v’y = 5,70 kN/m

5.7.2 CÁLCULO MEDIANTE TABELAS

Como se pode notar no desenvolvimento dos exemplos, o trabalho de cálculodas reações de apoio em lajes maciças é repetitivo, sendo viável a montagem detabelas auxiliares para tornar o cálculo expedito. É possível também a montagem de

programa para microcomputador com a mesma finalidade.Foram desenvolvidas tabelas para o cálculo das reações de apoio para as lajes

com condições de vinculações tipos de 1 a 6, perfazendo 9 casos, lembrando quealguns precisaram ser desdobrados em dois, em função de se adotar lx o menor vãoefetivo da laje.

A tabela 2.3a, apresentada em PINHEIRO [1993] - Concreto Armado: Tabelas e Ábacos mostram as expressões com as quais se determinam os coeficientes, paracada tipo de vinculação, com os quais se calculam as reações de apoio.

As reações de apoio são determinadas pela expressão típica:

10)qg(v l

+υ=

sendo:

ν : dado pelas expressões da tabela 2.3a;

(g+q), l /10 : fator de multiplicação;

l = menor vão da laje.

As tabelas 2.3b e 2.3c foram montadas para os casos das lajes com relaçãoentre vãos teóricos (λ = ly / lx) entre 1,0 e 2,0. Para os casos de lajes armadas em umadireção usam-se as linhas onde se encontra indicado λ > 2,0, ou se associam à lajefaixas de vigas de largura unitária com as mesmas condições de vinculação da laje nadireção perpendicular ao menor vão teórico.

A seguir indica-se como a tabela para a laje tipo 1 foi elaborada.Usando o critério da NBR 6118:2003, traçam-se as retas formando, com os

vértices, os ângulos de 45º pois os quatro lados são considerados apoiados. Conformepode ser visto na figura 5.13 resultam dois trapézios e dois triângulos de áreas iguais,respectivamente.

Considerando 1,0 ≤ λ = ly / lx ≤ 2,0, podem-se calcular as reações de apoio paraa laje tipo 1, procurando determinar expressões válidas para qualquer λ no intervaloindicado.




Na montagem das expressões matemáticas para a determinação das reações deapoio vx e vy procurou-se escrevê-las em função do menor vão teórico da laje (lx) e,logicamente, em função da ação total uniformemente distribuída (g + q).

Figura 5.14 - Reações de apoio, laje simplesmente apoiada

Assim sendo a expressão com a qual se calcula a reação de apoio, atuante noslados paralelos ao lado ly, em uma laje apoiada nas quatro bordas, resulta:

[ ]y

xxyyx

1

2)(

2

1)qg(v

l

llll

⋅−+

⋅+=

y

xxyx

1

2)2(

2

1)qg(v

l

lll −+=

A expressão final para cálculo de vx deve ter fator de multiplicação (g+q) (lx/10)o que sugere multiplicar e dividir o segundo membro da expressão por 10.

Portanto:

2

10)

21(

10)qg(v

y

xxx

l

ll−+=

A expressão com a qual se calcula a reação de apoio vx, atuante ao longo dos

apoios paralelos al

y pode ser escrita por:

λ

−+=5,2

510

)qg(v xx

l

e para vy tem-se:

x

xxy

1)

22

1)(qg(v

l

ll+=

10)

4

1(

10

)qg(v xy

l+=

2,510

q)(gv xy

l+=




Resultando para νy o valor 2,5, constante para qualquer relação entre os lados ly e lx.

5.7.2.1 Exemplo 1

Para a laje com condição de vinculação tipo 1 calcular os coeficientes νx e νx

para os valores de λ indicados, conforme mostrados na tabela a seguir.

λ νx νy

1,001,301,752,002,00

2,503,083,573,755,00

2,502,502,502,502,50

Sugere-se ao leitor conferir estes valores calculados com os indicados na tabela

2.3b elaborada por Pinheiro [1993].Se a laje for armada em uma direção λ = ly / lx > 2,0, na direção do menor vão(lx) calculam-se os esforços solicitantes, considerando faixas de vigas com bw = 1m ecom a mesma condição de vinculação. Assim as reações de apoio ficam iguais a:

v= (g+q) . lx / 2.

Figura 5.15 - Laje armada em uma direção

Sendo:

( )10

10.

2.qgv x

x

l+=

( )2

10.

10.qgv x

x

l+=

e, portanto, νx = 5,0, conforme indicado na coluna 1, λ > 2,0, para laje tipo 1, dasTabelas de Pinheiro.




As reações de apoio atuantes nas bordas de menor comprimento, as que levamíndice y, podem ser avaliadas usando as tabelas considerando λ = 2,0.

5.7.2.2 Exemplo 2

Calcular as reações de apoio da laje do exemplo 2, item 5.7.1.2, usando as

tabelas de Pinheiro [1993].

Solução:

1) Identificação do tipo de laje

Tipo 5A, pois ly é paralelo ao lado apoiado, tabela 2.3c.

2) Determinação dos coeficientes / reações

50,100,3

50,4

x

y

===λ l

l

m/kN50,450,210

0,30,6v50,2 xx ===υ

kN/m6,593,6610

3,06,0v3,66υ

'x

'x ===

kN/m5,713,1710

3,06,0v3,17υ

'y

'y ===

Comparação entre os resultados:

vx v’x v’yNBR 6118:2003 3,8 6,6 5,7

Tabela 4,5 6,6 5,7

Como se pode notar há diferença entre os resultados obtidos pelo processo daNBR 6118:2003 e com os coeficientes obtidos na Tabela elaborada por Pinheiro [1993].

O processo com o qual se montaram as tabelas segue o mesmo roteiro prescritopela NBR 6118:2003 porém, nas tabelas para os casos em que há engastamento sefizeram correções para os valores obtidos pelo processo da Norma.

Essa correção leva em conta a possível situação de não ocorrer o engastamentopor falha de construção, ou seja, deficiência no posicionamento das barras daarmadura junto à face superior da laje ou falha de concretagem.

Analisando a situação de vinculação dos lados ly, e isolando uma faixa de lajede largura unitária, percebe-se que se a condição de engastamento não ocorrer demodo integral, a reação de apoio do lado apoiado irá aumentar. Este fato acarretadeficiência de ação na viga onde se encontra o lado apoiado da laje. Esta situaçãopreserva a viga de acréscimo de ação se o engastamento da laje não funcionarconvenientemente, conforme figura 5.16.

Os coeficientes indicados nas tabelas 2.3b e 2.3c, anotados com asterisco (*)foram obtidos considerando-se os alívios pela metade.




As expressões com as quais se obtém os coeficientes para o cálculo dasreações de apoios indicadas na tabela 2.3a, Pinheiro [2003], não estão afetados dessealívio.

Figura 5.16 - Cálculo das reações por tabelasNa figura 5.16 mostram-se as reações de apoio calculadas usando o processo

da NBR 6118:2003.Se não houvesse engastamento as reações de apoio seriam:

2

vvv

'xNBR

'xNBR

AP

+=

O alívio gerado pelo engastamento no lado apoiado é dado por:

2 vvv'

xNBR

'

xNBR'xNBR +=

Resultando para o cálculo da reação de apoio usando a tabela, com o alívioconsiderado pela metade a seguinte expressão:

+−+=

2

vvv

2

1vv xNBR

'xNBR'

NBRxNBRxTABx

A equação anterior pode ser transformada em equação dos coeficientes demultiplicação, resultando:

+−υ+υ=υ

2

vv

2

1 xNBR'xNBR'

NBRxNBRxTABx

5.7.2.3 Exemplo 3

Para a laje do exemplo 2 calcular os coeficientes ν para λ = 1,0.

Solução:

Usando a tabela 2.3a, laje tipo 5.a. (PINHEIRO, 1993):

λ=υλ=υ 5,2;365 '

NBRxNBRx




Para: λ = 1,0

νx NBR = 1,44

ν‘ x NBR = 2,50

Usando a expressão anterior vem:

71,1

2

44,150,250,2

2

144,1

TABx

TABx

=υ

+−+=υ

Esse valor confere com o valor indicado na tabela 2.3c, laje tipo 5.A - λ=1,0.

5.8 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES

5.8.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA SUPERFÍCIE ELÁSTICA

A teoria clássica de placas delgadas, baseada na teoria de Kirchchoff, interpretasuficientemente bem o comportamento das lajes que apresentam relaçãoespessura/menor vão entre 1/5 e 1/100. As lajes usuais de edifícios possuem essarelação entre 1/40 e 1/60, atingindo até 1/80. Uma descrição concisa dos fundamentosdo método é apresentada neste item. Para uma análise mais detalhada deste assunto,existe ampla bibliografia, encontrando em TIMOSHENKO (1970) sua obra clássica.

Supõe-se que a placa é constituída de material homogêneo e isótropo ecomporta-se linearmente (segue a lei de Hooke). A ação p = [g + q](x,y), normal aoplano da placa, pode ser distribuída com qualquer lei, sobre toda ou parte da placa. A

deformada da placa pode ser definida pela função w(x,y), que determina osdeslocamentos verticais dos pontos (x,y) do plano médio da mesma. Dessa forma,admite-se que os pontos do referido plano médio têm apenas deslocamentos verticais,pequenos em relação à espessura da placa, e que as retas normais ao plano médiopermanecem perpendiculares à superfície deformada do mesmo (os deslocamentoshorizontais são desprezíveis).

A convenção adotada supõe tensões normais positivas, quando provocamtração na face inferior do elemento, e tensões tangenciais positivas (sempre tomando aface inferior como referência), se coincidem com o sentido positivo dos eixos. Osesforços são considerados positivos quando os momentos fletores provocam traçãonas fibras inferiores, os momentos volventes têm seu vetor emergente da faceconsiderada e as forças cortantes tendem a girar o elemento no sentido horário,olhando o eixo da esquerda para direita.

Os esforços solicitantes atuantes num elemento genérico da placa estãoindicados na figura 5.17.

As expressões relativas aos esforços solicitantes estão indicados a seguir.




Figura 5.17 - Esforços solicitantes em um elemento de placa

∫= 2/h

2/hx dzv = força cortante por unidade de comprimento da

seção da placa perpendicular ao eixo x.

∫= 2/h

2/hy dzv = força cortante por unidade de comprimento da

seção da placa perpendicular ao eixo y.

∫ σ=

2/h

2/h xx zdzm = momento fletor por unidade de comprimento daseção da placa perpendicular ao eixo x (em torno de y).

∫ σ= 2/h

2/h yy zdzm = momento fletor por unidade de comprimento da

seção da placa perpendicular ao eixo y (em torno de x).

∫ τ−= 2/h

2/h xyyxyx zdzmm = momento torçor por unidade de comprimento.

Fazendo-se o equilíbrio das forças verticais, obtém-se:

0dxdyv

vdxvdydxv

vdyvdy.dx. py

yyy

x

xxx =

∂

∂++−

∂∂

++−

pvv

y

y

x

x −=

∂

∂+

∂∂

[5.2]

Da condição de equilíbrio de momentos fletores em torno do eixo x, resulta




0dydxmmdym

dxdym

mdxmdxdydyv

v

2

dydydx

vv

2

dydyv

2

dydy.dx. p

x

xyxyxy

y

yyy

y

yy

x

xxx

=

∂∂++−

+

∂

∂+−+

∂

∂++

+

∂∂

++−

∂

∂+

∂

∂=

x

xy

y

yy

mmv [5.3]

Analogamente, para o equilíbrio de momentos fletores em torno de y.

∂

∂

−

∂

∂

= y

xy

x

xx

mm

v [5.4]

Agrupando-se as três equações acima numa só, encontra-se uma equação querelaciona momentos fletores e ação:

py

m

yx

m2

x

m2

y2

xy2

2x

2

−=∂

∂+

∂∂

∂−

∂

∂ [5.5]

É interessante relacionar os deslocamentos com a ação. Para tal, é necessário

encontrar as expressões que ligam os momentos fletores com as curvaturas2

2

2

2

y

w,

x

w

∂∂

∂∂

e com a torçãoyx

w2

∂∂∂

. Pode-se iniciar analisando as deformações, a partir de um

elemento genérico de placa, que sofre uma deformação elástica. Indicam-se por u e vas componentes do deslocamento de um ponto genérico, segundo as direções x e y,respectivamente. A partir da figura 5.17, sendo u e v as componentes do deslocamento

do ponto 0 e∂∂u

xdx o acréscimo infinitesimal (de ordem superior), da função u, em

virtude do incremento dx da variável x, a deformação relativa εx, resulta,

x

u

dx

dxx

u

dx

dxx ∂

∂=∂

∂

=∆

=ε [5.6]

Analogamente, chega-se a

y

vy ∂

∂=ε [5.7]




Figura 5.18 - Componentes do deslocamento segundo x e y

A variação do ângulo reto, formado pelos segmentos OP e OR, vale

x

v

y

uxy ∂

∂+

∂∂

=γ [5.8]

Nota-se que os deslocamentos de um ponto genérico da placa são funções dacota z considerada (figura 6.19) e, em conseqüência da flexão, valem

x

uzu

∂∂

−= [5.9]

y

wzv

∂∂

−=

Figura 5. 19 - Descolamento de um ponto genérico da placa




Voltando às expressões das deformações, obtém-se

2

2

xx

uz

∂

∂−=ε

2

2

yywz

∂∂−=ε [5.10]

yx

uz2

2

xy ∂∂∂

−=γ

Sabendo-se que o material é isótropo, com módulo de deformação longitudinal Ee coeficiente de Poisson ν, têm-se as seguintes relações entre tensões e deformações:

)(E

1

yxx νσ−σ=ε

)(E

1xyy νσ−σ=ε [5.11]

G

xyxy

τ=γ

)(

1

Eyx2x υε+ε

υ−

=σ

)(1

Exy2y υε+ε

υ−=σ [5.12]

xyxyxy)1(2

E.G γ

υ+=γ=τ

Substituindo-se os valores das deformações dadas pelas equações (5.10),resultam

zyw

xw

1E

2

2

2

2

2x

∂∂ν+

∂∂

υ−=σ

zx

w

y

w

1

E2

2

2

2

2y

∂

∂ν+

∂

∂

υ−=σ

zyx

w

1

E 2

xy ∂∂∂

ν+=τ

Bastam introduzir os valores das tensões, dados pelas equações (5.12), nasexpressões que definem os esforços, para relacionar os momentos fletores e volventescom as curvaturas da placa.




dzzw

w

x

w

1

Ezdzm 2

2

2

2

2

2

2/h

2/h

2/h

2/hxx

∂

∂ν+

∂

∂

µ−−=σ∫ ∫

[5.13]

∂

∂ν+

∂

∂−=

2

2

2

2

xy

w

x

wDm

dzzx

w

y

w

1

Ezdzm 2

2

2

2

2

2

2/h

2/h

2/h

2/hyy

∂

∂ν+

∂

∂

ν−−=σ∫ ∫

[5.14]

∂

∂ν+

∂

∂−=

2

2

2

2

yx

w

y

wDm

dzzty

w

1

Ezdzm 2

22/h

2/h

2/h

2/hxyxy

∂∂

∂ν−

−−=τ∫ ∫

[5.15]

∂∂∂

ν−−=yx

w)1(Dm

2

xy

com,

=

ν−

=)1(12

EhD

2

3

rigidez a flexão da placa, equivalente à rigidez EI das vigas,

E = módulo de deformação longitudinal,

h = espessura,

ν = coeficiente de Poisson. As forças cortantes podem ser relacionadas com as curvaturas, utilizando-se as

expressões (5.2) e (5.3), sendo substituídos os valores dos momentos.

2

3

2

3

3

3

x

yx

w)1((D

yx

w

x

wDv

∂∂

∂ν−−

∂∂

∂ν+

∂

∂−=

∂∂

∂ν+

∂

∂−=

2

3

3

3

xyx

w

x

wDv [5.16]

yx

w)1(D

yx

w

y

wDv

2

3

2

3

3

3

y∂∂

∂ν−−

∂∂

∂ν+

∂

∂−=

[5.17]

∂∂

∂ν+

∂

∂−=

yx

w

y

wDv

2

3

3

3

y




Substituindo-se as expressões dos momentos fletores (5.13), (5.14) e (5.15) naequação (5.4), resulta a conhecida equação de Lagrange ou equação das placas:

D

P

y

w

y x

w

x

w=++

4

4

22

4

4

4

2∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂ [5.18]

As condições de contorno da equação diferencial (5.18) dependem dosdiferentes tipos de apoio. Assim, por exemplo, quando se trata de uma borda retaparalela ao eixo y, ter-se-á, em função das condições dessa borda, as seguintescondições de contorno:

a. borda engastada - o deslocamento vertical e a rotação são nulos:

0x

w,0w =∂∂

=

b. borda simplesmente apoiada - o deslocamento vertical e o momento fletor sãonulos:

0y

w

x

wDm,0w

2

2

2

2

x =

∂

∂ν+

∂

∂−==

c. borda livre - o momento fletor e a reação na borda são nulos:

0,0 =∂

∂−=

y

mvm xy

xx

Obtida a função w, os esforços solicitantes são calculados pelas equações

(5.13) a (5.17).Normalmente, não é fácil encontrar uma função w( x,y ) que satisfaça a equação

diferencial das placas e atenda às condições de contorno. Para tal, recorre-se asoluções aproximadas, obtendo-se w como uma soma de funções elementares quesatisfaçam as condições de contorno.

O processo de integração da Equação de Lagrange só pode ser aplicado aalguns poucos casos de formas de placas e condições de contorno. Uma alternativamais geral e o uso de diferenças finitas para a integração numérica, conduzindo aresolução de um sistema de equações lineares.

Tais métodos foram bastante utilizados para a montagem de tabelas (ver, porexemplo, BARES (1970). Para o caso de placas com formas mais complexas, com

regiões de diferentes espessuras, com aberturas, com carregamentos de distribuiçãonão usual, ou com condições de apoio variadas, os métodos anteriores não possuem,em geral, aplicação prática. Podem-se recorrer, então, ao método dos elementosfinitos, elementos de contorno ou analogia de grelha.

5.8.2 MOMENTOS FLETORES E COMPATIBILIZAÇÃO

A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade,é bastante trabalhosa. No entanto, há várias tabelas já elaboradas, destacando-se asde Czerny, Bares e Kalmanock.

Quando se analisa um pavimento composto por várias lajes, as dificuldades quese apresentam no estudo de funcionamento das lajes contínuas residem, basicamente,na consideração do engastamento nos apoios internos, onde há continuidade. Nessesapoios, o engaste não e rigorosamente perfeito; na verdade, ocorrem engastamentosparciais.




Nos casos usuais, podem-se supor as lajes contínuas perfeitamente engastadasnas lajes adjacentes. Em geral, porém, as lajes de um pavimento diferem nascondições de apoio, nos vãos ou nos carregamentos, resultando em momentos fletoresnegativos diferentes, em um mesmo vínculo. Deve-se proceder à compatibilização dosmomentos fletores. Alguns autores recomendam adotar, para esse momento negativo,o maior valor entre a média dos dois momentos fletores e 80% do maior. Esse critério é

razoável quando os momentos fletores negativos, entre as lajes vizinhas, são demesma ordem de grandeza. Após a compatibilização dos momentos negativos, devem-se corrigir os

momentos fletores positivos relativos à mesma direção. Para que em serviço, ocomportamento da laje seja o mais próximo possível do relativo ao regime elástico, acorreção dos momentos fletores positivos é feita integralmente, ou seja os momentosno centro da laje devem ser aumentados ou diminuídos adequadamente, de acordocom a variação do respectivo momento negativo, após a compatibilização.

5.8.3 CÁLCULO MEDIANTE TABELAS

Para cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares utilizam-se as tabelaselaboradas por Pinheiro (1993), que são:

-2.5a a 2.5e nos casos de ações uniformemente distribuídas;

-2.6a a 2.6e nos casos de ações linearmente variáveis.

As tabelas foram adaptadas por Pinheiro e Wolfensberger de trabalho deBARES (1970) - Tablas para el calculo de placas y vigas pared.

Os momentos fletores são calculados pela expressão:

100)qg(m

2l

+µ=

sendo, l é o menor vão teórico da laje.

As convenções adotadas para os coeficientes, e portanto para os momentosfletores, são os seguintes:

mx - momento fletor por unidade de largura (1m) com plano de ação paralelo aoeixo x, ou seja, vetor momento com direção paralela ao eixo y, que provoca tração nas

fibras inferiores da laje, e com valor máximo na região central.

m'x - idem, que provoca tração nas fibras superiores da laje, e com valormáximo na região central dos apoios.

Se a laje tiver borda livre os coeficientes e os momentos recebem o índice b,indicando que eles ai ocorrem, e que atuam paralelamente ao lado com borda livre(mxb) e / ou (m'xb).

5.8.3.1 Exemplo 1

Calcular e indicar os planos de ação dos momentos fletores para a laje da figura5.20, submetida a uma a ação uniformemente distribuída de 6 kN/m2.

Trata-se de uma laje tipo 9, sendo que os coeficientes são apresentados naTabela 2.5e, elaborada por PINHEIRO [1993].




Figura 5.20 - Momentos fletores na laje tipo 9

Para a laje do exemplo o lado de vão efetivo la é perpendicular à borda livre eao lado engastado, lb é, portanto, paralelo à borda livre e ao lado engastado.

Para se determinarem os coeficientes na tabela há que se determinar a relação

entre os vão efetivos, obtendo-se:

1,503,0

4,5γ

b

a ===l

l

Portanto, os momentos fletores atuantes na laje resultam:

1,37kNm/m100

3,02,54x6,0m

2

x ==

6,66kNm/m12,33x0,54m 'x ==

4,59kNm/m8,50x0,54my ==

6,64kNm/m12,29x0,54myb ==

Na figura 5.20 se mostram as posições das armaduras, também por unidade delargura (cm2/m), para absorver os respectivos momentos fletores.

5.8.3.2 Exemplo 2

Calcular e indicar os planos de ação dos momentos fletores para a laje da figura5.21, submetida a uma a ação uniformemente distribuída de 6 kN/m2.

Trata-se de uma laje tipo 5A sendo que os coeficientes são apresentados naTabela 2.5c, elaborada por PINHEIRO [1993].




FIGURA 5.21 - Momentos fletores na laje tipo 5A

Para a laje do exemplo o lado de vão efetivo lx é o menor entre os dois vãos

teóricos e, portanto, ly é o maior.Para se determinarem os coeficientes na tabela há que se determinar a relação

entre o lado maior e o menor:

λ = ly / lx = 4,50 / 3,00 = 1,50

Portanto, os momentos fletores atuantes na laje resultam:

2,28kNm/m100

3,04,23x6,0m

2

x ==

5,10kNm/m9,44x0,54m 'x ==

1,31kNm/m2,43x0,54my ==

4,27kNm/m7,91x0,54m 'y ==

5.8.3.3 Exemplo 3

Calcular os momentos fletores para a laje da figura 5.22 submetida a um

carregamento linearmente variável, em uma parede de reservatório paralepipédico. Aação de maior intensidade, atuante na face inferior da parede é igual a 27,6kN/m2. Atabela com a qual se determinam os coeficientes é a 2.6b, laje tipo 16 [PINHEIRO(1993)].

O vão perpendicular à base da parede é la e, portanto, paralelo à ação atuante. A altura de água é de 2,875m e o peso específico da água é 10kN/m3.

A relação entre os vão efetivos é dada por:

γ = la / lb = 3,00 / 4,50 = 0,67

Os momentos fletores resultam:




5,22kNm/m100

3,02,10x27,6m

2

x ==

12,27kNm/m5,35x2,48m 'x ==

2,55kNm/m1,03x2,48my ==

8,75kNm/m3,53x2,48m 'y ==

Na figura 5.22 mostram-se os planos de ação dos momentos fletores, asrespectivas armaduras têm as mesmas direções.

Figura 5. 22 - Momentos fletores na laje tipo 16

A parede do reservatório paralelepipédico deste exemplo, submetida à ação daágua armazenada, deve ser considerada engastada na laje de fundo e paredes,perpendiculares a esta e apoiando na laje de tampa. Estas considerações são feitasem função do tipo de estrutura.

5.8.4 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES FINAIS

A NBR 6118:2003 permite, simplificadamente, adotar para dimensionamento daarmadura junto a face superior de lajes contíguas o maior valor de momento fletornegativo ao invés de equilibrar os momentos diferentes atuantes em borda comum.

Querendo compatibilizar os momentos fletores negativos calculados ao longo deapoios comuns de lajes consideradas engastadas, o procedimento pode ser o quesegue.

Os momentos fletores negativos podem ser compatibilizados considerando omaior entre os seguintes valores:

'E

'D

'D

'D

'E

'E

'D

'E

mm se m0,8

ou

mm se m0,8

ou2

mm

>⋅

>⋅

+




Os momentos fletores positivos devem ser corrigidos em função da correção dosmomentos fletores negativos.

Dois casos típicos devem ser considerados conforme figura 5.23:

a. vão extremo - soma-se ao momento fletor positivo my da laje L01 a metadeda variação ocorrida no momento fletor negativo (∆m’E / 2).

b. vão intermediário: soma-se ao momento fletor positivo my, laje L02, a médiadas variações ocorridas nos momentos fletores negativos, isto é, (∆m'e+∆m’d)/2.

Quando há diminuição do valor do momento fletor positivo, não é usual se fazercorreção; a favor da segurança, o momento fletor positivo é mantido com este valorpara o dimensionamento.

Para se efetuar essa compatibilização é necessário que algumas restriçõessejam feitas:

- que as ações variáveis normais (q) não sejam maiores do que as açõespermanentes diretas (g);

- que todas as lajes sejam solicitadas simultaneamente;

- que as lajes tenham vãos teóricos e rigidezes próximas entre si.

As indicações anteriores podem ser seguidas, pois as restrições não ocorrem namaioria dos edifícios residenciais e comerciais usuais.

Figura 5.23 - Compatibilização dos momentos fletores [Andrade, 1993]




5.9 ESFORÇ0S SOLICITANTES EM LAJES COM AÇÃO LINEARMENTEDISTRIBUÍDA - PAREDES SOBRE LAJES.

5.9.1 LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES

No caso de lajes armadas em duas direções é usual se considerar a ação por

causa da parede como uma ação permanente uniformemente distribuída na laje.Calcula-se a resultante do carregamento, multiplicando-se a área de parede pelopeso de parede por unidade de área e, dividindo-se este valor por lx e ly e obtém-se ovalor da ação uniformemente distribuída em virtude da ação de parede que deve serconsiderada para o cálculo dos esforços solicitantes.

Assim, têm-se:

Gpar = Apar x gpar /m2

Ação total na laje:

yx

par Gqgll

++

Figura 5.24 - Parede sobre laje em duas direções

5.9.2 LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO

O cálculo dos esforços solicitantes depende da posição da parede em relação àarmadura principal. A armadura principal em lajes armadas em uma direção é paralelaao menor vão.

5.9.2.1 Parede na direção perpendicular a armadura principalPara facilitar o cálculo dos esforços solicitantes separa-se a laje em duas partes:

uma em que se deve levar em conta o efeito da parede e outra sendo este efeito nãoocorre, agindo apenas a ação uniformemente distribuída (ver figura 5.25).

A condição de vinculação das faixas unitárias é a mesma da laje em estudo. Osesforços solicitantes são calculados considerando uma viga de um único tramo comações concentradas e uniformemente distribuídas (g+q).




FPAR = hPAR x gPAR / m2

Figura 5.25 - Parede perpendicular à armadura principal

5.9.2.2 Parede paralela à armadura principalPara as lajes armadas em uma direção a NBR 6118:1978 indica o seguinte

processo simplificado para cálculo dos esforços solicitantes:

-Sob ação de força aplicada na área com largura b será solicitada apenas umafaixa de largura b*w , chamada largura útil, sendo b e b*w determinados segundo adireção perpendicular à armadura principal.

Figura 5.26 - Distribuição da ação [NBR 6118:1978]-b*w depende da posição da ação e da seção estudada bem como do esforço

solicitante que estiver sendo considerado.

-b é a projeção, no plano médio da laje, da largura da parede, conformemostrado na figura 5.25.

-quando b for maior ou igual ao vão efetivo l da laje faz-se sempre b*w = b.

-caso contrário, isto é, quando b for menor do que o vão efetivo l faz-se b*w igual aos valores indicados a seguir:

a. para momentos fletores positivos






Figura 5. 28 - Adaptação para o caso de paredes

Evidentemente os valores de b*w são limitados pelas dimensões da laje na outradireção, isto é: para cada lado do centro da ação, na direção perpendicular a direçãoprincipal, a metade da largura útil (0,5 b*w) não pode exceder os limites da lajeexistente (Figura 5.29).

Além disso é necessário que a armadura de distribuição, por metro, seja nomínimo a fração (1 - 0,8 b/b*w) da armadura principal. Esta armadura deve se estendersobre toda a largura útil, acrescida dos comprimentos de ancoragem.

Observe-se que quando b < l a referida fração aproxima-se da unidade, e aarmadura de distribuição recomendada é praticamente igual a armadura principal, oque parece exagerado. Pode-se, nesse caso, reduzir a área da armadura dedistribuição multiplicando-se o resultado anterior pela relação entre a ação aplicada naárea reduzida e a ação total, respeitando-se o mínimo estabelecido na NBR 6118:2003,

ou seja, um quinto da armadura principal ou 0,9 cm2

/m. Com relação ao espaçamentomáximo entre barras da armadura adota-se 33 cm, quando se tratar de armadura nadireção secundária no caso de laje armada em uma direção.

Figura 5.29 - Parede próxima da borda da laje

Para o cálculo dos esforços solicitantes também, neste caso, se faz a distinçãoda região com consideração da parede (região de área b*w . lx) e região semconsideração da parede.

Na região onde não se considera a ação da parede, o comportamento é de faixaunitária - viga de bw unitário - com mesma vinculação da laje e com açãouniformemente distribuída oriunda das ações permanentes e acidental.

Na região da largura colaborante (b*w) a ação uniformemente distribuída aconsiderar é dada por:




]/[/ 2

2

mkNb

mg Aqg

xw

PARPAR

l×

×++

∗

As armaduras principais devem ser calculadas para os respectivos momentosfletores que agem nas várias regiões. O mesmo deve ocorrer com as verificações dastensões tangenciais oriundas da força cortante.

5.10 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES MACIÇAS

5.10.1 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS

As lajes maciças, com relação à capacidade de absorver forças cortantes, seconstituem exceções ao princípio geral de que a segurança dos elementos estruturaisem concreto armado no estado limite último, qualquer que seja a espécie desolicitação, não poderá depender da resistência à tração do concreto.

Essas exceções têm fundamento em resultados experimentais observando-seque as lajes conseguem mobilizar um esquema de resistência à força cortante que,

para pequenas intensidades de solicitação, permite dispensar armadura transversal.De fato, nas lajes, as fissuras não atravessam toda a largura da seção transversal, esendo em geral mais espaçadas e menos abertas que nas vigas, resultam diagonaiscomprimidas rígidas e engastadas no banzo comprimido. Além disso, pelo fato de seter em geral lajes maciças com pequena espessura, os braços de alavanca (distânciaentre as resultantes de tração nas barras da amadura e a de compressão) sãopequenos, o que inibe o prolongamento das fissuras e, conseqüentemente enrigece asdiagonais comprimidas.

A NBR 6118:2003 indica os seguintes critérios para verificação da segurança delajes maciças e elementos lineares com bw ≥ 5d submetidos à ação de força cortante.

5.10.1.1 Lajes sem armadura para força cortante

As lajes maciças podem prescindir de armadura transversal para resistir asforças de tração oriundas da força cortante, quando a força cortante de cálculoobedecer à expressão:

VSd ≤ VRd1

A força resistente de projeto ao cisalhamento é dada pela expressão:

VRd1 = [ τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp ] bw d

sendo:τRd = 0,25 f ctd

f ctd = f ctk, inf / γc

ρ1 = As1 / bw d, não maior que 0,02

σcp = NSd / Ac

k é um coeficiente que tem os seguintes valores:

k = 1 para elementos nos quais 50% da área da armadura inferior não chegaaté o apoio;

k = 1,6 - d não menor que k = 1, com d em metros, para os demais casos;




τrd é a resistência de cálculo à tração do concreto; As1 é a área da armadura de tração que se estende até o apoio não menos que

um comprimento d + lb,nec além da seção considerada, com lb,nec definido com oscritérios da NBR 6118:2003 e figura 5.30;

bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d.

b,necl

4 5 ° 4 5 °

d

b,necl

SdV

A A

stst

4 5 °

lb,nec SdV

Seção Considerada

d

A sl

Figura 5.30 – Comprimento de ancoragem necessário

A distribuição longitudinal dessa armadura ao longo da laje deve respeitar ascondições de deslocamento do diagrama de md com a

l = 1,5.d.

bw é a largura mínima da seção transversal ao longo da altura útil d;

NSd é a força longitudinal na seção em virtude da protensão ou força axial,considerando a força de compressão como positiva.

5.10.1.2 Lajes com armadura para força cortante

Aplicam-se os critérios estabelecidos para vigas de concreto armado. A resistência das barras dos estribos pode ser considerada com os seguintes

valores máximos, sendo permitida interpolação linear:

- f ywd = 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm;

- f ywd = 435 MPa , para lajes com espessura maior que 35 cm.

5.10.2 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS - CÁLCULO DAS ARMADURAS

5.10.2.1 Cálculo das armaduras longitudinais de tração

As armaduras para as lajes maciças com a finalidade de absorver os momentosfletores são calculadas com o mesmo roteiro desenvolvido para vigas.

Adota-se, agora, bw igual à unidade, isto é, bw = 100cm para havercompatibilidade com as unidades usadas nas tabelas de kc e ks.Conhecendo-se md , determina-se:

d

2

c m

d100k =

Escolhendo-se a resistência característica para o concreto e o tipo do aço com oqual se vai armar a laje, determina-se ks, na Tabela 5.1. A área necessária dearmadura é dada por:

]m/cm[d

mk A d

ss2=

A Tabela 5.2 é usada quando há necessidade de armadura dupla na laje, isto équando md . mdlim, ou seja quando a posição relativa da linha neutra βx > βxlim.




Tabela 5.1 - Valores de kc e ks Dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples

Armadura simples

d

2w

c M

db=k (cm2/kN)

d

ss M

d Ak = (cm2/kN)

Domíniox=x/d

C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-25 CA-50 CA-600,02 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,0190,04 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,0190,06 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,047 0,024 0,0200,08 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,0200,10 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,0200,12 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,024 0,0200,14 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,0200,16 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,0200,18 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,050 0,025 0,0210,20 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,050 0,025 0,021

0,22 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,051 0,025 0,0210,24 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,051 0,025 0,0210,259 4,4 3,6 3,0 2,5 2,2 2,0 1,8 0,051 0,026 0,021

2

0,28 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,026 0,0220,30 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,026 0,0220,32 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,026 0,0220,34 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,053 0,027 0,0220,36 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,027 0,0220,38 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,027 0,0230,40 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,027 0,0230,42 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,055 0,028 0,0230,44 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,023

0,46 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,0230,48 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,057 0,028 0,0240,50 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,058 0,029 0,0240,52 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,058 0,029 0,0240,54 2,4 2,0 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,029 0,0240,56 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,030 0,0250,585 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,060 0,030 0,025

3

0,60 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,0300,628 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,062 0,0310,64 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,0620,66 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,0630,68 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063

0,70 2,0 1,6 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,0640,72 2,0 1,6 1,3 1,2 1,0 0,9 0,8 0,0650,74 2,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,0650,76 2,0 1,6 1,3 1,1 1,1 0,9 0,8 0,0660,772 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,067

4

Elaborada por José Samuel Giongo. Observações: As resistências do concreto estão de acordo com a NBR 6118:2003 e NBR 8953:1992. As categorias das barras de aço seguem as indicadas na NBR 7480:1996.Foi adotado diagrama retangular de tensões no concreto, com altura da parte da seção transversal

comprimida y = 0,8 . x. Os coeficientes de ponderação para os materiais foram adotados: concreto γc = 1,4e barras de aço γs = 1,15. Se no dimensionamento da seção transversal for adotado γc ≠ 1,4, deve-semultiplicar o numerador da expressão de kc por 1,4/γc.

O valor do momento fletor de cálculo é Md = γf . Mk.Condições de dutilidade da NBR 6118:2003 para seções transversais de apoio ou de ligações:βx = x/d ≤ 0,50 para concretos com f ck ≤ 35MPa;βx = x/d ≤ 0,40 para concretos com f ck > 35MPa.




Tabela 5. 2 - Valores de ks2 e ksc Dimensionamento de seções retangulares submetidas a flexão simples

Armadura dupla

Expressões para cálculo dos momentos fletores atuantes nas seções:

clim

2

1d k

b.d=M

ddd

MMM12

−= 21 ssst

A A A +=

Expressões para cálculo das áreas das armaduras:

d

Mk A d

ss1

1 = '

dss

dd

Mk A

−= 2

22 '

dscsc

dd

Mk A

−= 2

kclim e ks são correspondentes aos valores de βxlim, indicados na Tabela 1.

Os coeficientes de ponderação (γs) para as barras de aço foram adotados iguais a 1,15.

As categorias das barras de aço seguem as indicadas na NBR 7480:1996.ks2 = 1/f yd (cm2 / kN)

Categoria do aço CA-25 CA-50 CA-60

ks2 0,046 0,023 0,019

ksc = 1/σsc , em cm2/kN,

coeficiente referente às posições relativas limites da linha neutra (βxlim)

Categoria do aço

CA-25 CA-50 CA-60

h

'd

βx,lim.dut

f ck > 35MPa

0,40

βx,lim.dut

f ck ≤ 35MPa

0,50

βx,34

0,772

βx,lim.dut

f ck > 35MPa

0,40

βx,lim.dut

f ck ≤ 35MPa

0,50

βx,34

0,628

βx,lim.dut

f ck > 35MPa

0,40

βx,lim.dut

f ck ≤ 35MPa

0,50

βx,34

0,585

0,05 0,046 0,046 0,046 0,023 0,023 0,023 0,019 0,019 0,0190,10 0,046 0,046 0,046 0,023 0,023 0,023 0,019 0,019 0,0190,15 0,046 0,046 0,046 0,024 0,023 0,023 0,024 0,021 0,019

0,20 0,046 0,046 0,046 0,036 0,027 0,023 0,036 0,027 0,0240,25 0,082 0,046 0,046 0,082 0,041 0,029 0,082 0,041 0,032Elaborada por José Samuel Giongo.




5.10.2.2 Verificação das áreas de armaduras longitudinais mínimas e máximas

Considerando que as lajes maciças armadas nas duas direções têmmecanismos resistentes diferentes dos apresentados pelos elementos lineares fletidos,os valores mínimos das áreas das barras das armaduras positivas podem serreduzidos.

Para melhorar o desempenho e a ductilidade à flexão, assim como controlar afissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva aderente dados naTabela 5.3. A NBR 6118:2003 aconselha que a armadura deva ser constituídapreferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas.

Tabela 5.3 - Valores mínimos para armaduras passivas aderentes

ArmaduraElementos estruturais sem

armaduras ativas Armaduras negativas ρs ≥ ρmin Armaduras positivas de lajes armadas nas

duas direções ρs ≥ 0,67 ρmin Armadura positiva (principal) de lajesarmadas em uma direção

ρs ≥ ρmin

Armadura positiva (secundária) de lajesarmadas em uma direção

As/s ≥ 20 % da armadura principal As /s ≥ 0,9 cm2/m

ρs ≥ 0,5 ρmin Sendo: ρs = As / bw . h. = As/bw h.

Os valores de ρmin são os mesmos considerados para as armaduraslongitudinais das vigas, conforme Tabela 5.4, sendo que ωmín é a taxa geométrica

mínima calculada pelo quociente da área geométrica da armadura multiplicada pelaresistência de escoamento de cálculo da armadura e a área de concreto multiplicadapela resistência de cálculo do concreto.

Tabela 5.4 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas

Valores de min*(%)Forma daseção f ck

ωmín20 25 30 35 40 45 50

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

* Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15.Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ρmín dado.

O valor máximo da área de armadura de flexão para lajes deve respeitar o limiteconsiderado para vigas, sendo que a NBR 6118:2003 indica que a soma das áreas dasarmaduras de tração e de compressão (As + As’) não deve ter valor maior que 4% Ac calculada na região fora da zona de emendas.

A área de armadura mínima para a taxa geométrica mínima (ρs), com ρs dado naTabela 5.2 é dada por:

]m/cm[ h15,0hb100 A2

ws

mins =ρ

=

pois, a largura da laje é igual a 1m = 100cm.






5.11 DISTRIBUIÇÃO DAS ARMADURAS DE FLEXÃO

5.11.1 ARMADURAS JUNTO A FACE INFERIOR DA LAJE (POSITIVAS)

Quando o projeto é realizado com assistência de programa computacional, quefornece os diagramas de isomomentos das lajes do pavimento, para fazer o arranjo das

barras das armaduras basta cobrir os diagramas e promover a correta ancoragem dasbarras.Quando for adotado procedimento que considera as lajes isoladas podem ser

seguidos os procedimentos a seguir estudados.Os arranjos das barras das armaduras devem ser feitos de modo a cobrir a

superfície onde atuam os momentos fletores. Como em geral as tabelas para adeterminação de tais momentos fletores só fornecem valores correspondentes àsfaixas centrais, uma distribuição rigorosa torna-se impraticável. Em vista disso, existemprocessos simplificados para efetuar essa distribuição, e que para os casos correntes,resultam bastante eficiente. É o caso do exemplo indicado esquematicamente naFigura 5.30, onde se vê uma distribuição que se pode qualificar aceitável, aplicável a

lajes de grandes vãos (nas faixas laterais ambas as armaduras são reduzidas àmetade).

Figura 5.32 - Lajes simplesmente apoiada - momentos e armaduras[Andrade, 1993]

Nos casos de lajes de dimensões comuns, não há necessidade de tal variaçãona armadura. A distribuição, para os vários casos de vinculação, pode seresquematizada como mostra a figura 5.31, sendo que em cada faixa lateral apenasuma armadura é reduzida à metade, exceto nos cantos da laje.

Deve-se notar que a distribuição das armaduras procura seguir a distribuiçãodos momentos fletores em função da condição de vinculação das lajes.




Figura 5. 32 - Distribuição otimizada de armadura

[Andrade, 1993]

As regiões centrais das lajes ficam armadas com As , enquanto as zonas lateraisficam armadas com As/2, apenas em uma direção.

Em todos os esquemas de armadura já estão incluídos os comprimentos deancoragem das barras da armadura.

5.11.2 ARMADURA JUNTO A FACE SUPERIOR DA LAJE (NEGATIVAS)

Aqui vale o mesmo comentário feito pelo primeiro parágrafo do item 5.11.1 arespeito dos diagramas de isomomentos. Não sendo disponíveis esses diagramas, aseguir se estudam procedimentos quando se consideram as lajes isoladas para adeterminação dos esforços solicitantes.

A NBR 6118:2003 não indica condições para se definirem os comprimentos dasbarras ou fios posicionados nas faces superiores das lajes nas regiões entre lajes

contíguas. Por analogia poder-se-ia adotar os comprimentos indicados para as barrasposicionadas sobre os apoios (pilares) de lajes sem vigas, que é igual a 0,25 l, sendo l o vão efetivo.

Análise mais completa é apresentada na NBR 6118:1978 que indica o seguintecritério:

"quando não se determinar o diagrama exato dos momentos fletores negativos,em lajes retangulares de edifícios com ação distribuída e q < g as barras da armaduraprincipal sobre os apoios deverão estender-se de acordo com o diagrama triangular demomentos fletores (considerado já deslocado) de base igual ao valor adiante indicado:

a. em lajes atuando em duas direções ortogonais:

- em uma borda engastada, sendo cada uma das outras três bordas livrementeapoiadas ou engastadas: 0,25 do menor vão efetivo;

- nos dois lados de um apoio de laje contínua: 0,25 do maior dos vãos teóricosmenores das lajes contíguas.

b. em lajes atuando numa só direção

- em uma só borda engastada: 0,25 do vão efetivo."

A Figura 5.32 mostra o procedimento a ser seguido no caso de lajes continuas.




O diagrama de momento fletores deve ser coberto da mesma forma que paravigas, inclusive do ponto de vista de ancoragem. Observa-se, porém, que bastam doistipos de barras.

Mesmo nas bordas admitidas simplesmente apoiadas, é conveniente disporalguma armadura negativa com o intuito de limitar as aberturas das fissuras.

Quando se tratar de lajes contínuas que no lado comum foram consideradas

com diferentes condições de apoio (por exemplo, lajes de rigidezes muito diferentes), aarmadura negativa que vem da laje considerada engastada deve prolongar-se na lajevizinha, pelo menos até o ponto onde se possa prever que o momento fletor negativo,na direção considerada, mude de sinal.

Analisando a figura 5.32 pode-se perceber que a barra número 1, distribuída acada s de espaçamento, perfazendo a área as (cm2/m), deve ser prolongada de 10.φ além do ponto de momento nulo, resultando para comprimento total da barra o valor:

2 .0,25 l2 + 2 . 10.φ

É possível absorver o mesmo momento fletor com duas barras de comprimentos

iguais porém defasadas em relação ao eixo da viga. As posições destas barras serepetem a cada 2 . s de espaçamento e os comprimentos das barras resultam

0,25 l2 + 0,125 l

2 + 2 . 10 . φ

Figura 5. 33 - Distribuição das armaduras negativas




5.11.3 MOMENTOS VOLVENTES

Outro ponto a ser observado é o da armadura especial a ser disposta nos cantossimplesmente apoiados, cujo objetivo é resistir diretamente aos chamados momentosvolventes. Quando for o caso, isto é, em situações nas quais o projetista considereimportante a presença de tal armadura, esta pode ser distribuída como mostra a figura

5.34. Esclarecendo: os cantos consideram-se suficientemente armados ao sedetalharem, abrangendo um quadrado de lado igual a 1/5 do lado menor da laje, duasarmaduras - uma, superior, paralela a diagonal e outra, inferior, a ela perpendicular -ambas iguais, por unidade de largura, a armadura do centro da laje na direção maisarmada. A armadura inferior pode ser substituída por uma armadura em duas direçõesiguais, em cada direção, a armadura do centro da laje na direção mais armada. Estarecomendação de armadura de canto não consta da NBR 6118:2003.

Figura 5. 34 - Armadura para os cantos das lajes apoiadas

5.12 VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO

5.12.1 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA

A NBR 6118:2003 indica que as verificações dos estados limites de serviço paralajes devem ser feitas atendendo as hipóteses do Estádio II, ou seja as seçõestransversais das lajes devem ser consideradas fissuradas.

Indica, ainda, que os critérios para as verificações dos estados limites de serviçodevem ser adotados os mesmos indicados para vigas.

5.12.1.1. Estado limite de formação de fissura

O valor do momento fletor de fissuração pode ser calculado pela expressãoaproximada 5.19. Ao ser atingido esse momento no elemento estrutural fletido entende-se que há grande probabilidade de iniciar a abertura de fissura, nos caos em que M r ≤ Md.

t

0ct

r y

If α

M

⋅⋅

= (5.19)

sendo:




α = 1,5 para seções retangulares, no caso de lajes maciças bw = 1m;

yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada;

Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;

f ct é a resistência à tração direta do concreto, adotada igual a f ctk,inf para oestado limite de formação de fissuras;

ou seja, de acordo com a NBR 6118:2003:

f ct = f ctk,inf = 0,7 f ctm = 0,7 . 0,3 . f ck2/3 , em megapascals

5.12.1.2. Estado limite de deformação

Para avaliação do momento de inércia a se considerar no cálculo da flecha

imediata deve-se verificar o valor do momento fletor de fissuração (M r ). Se ele formenor ou igual que o valor do momento fletor de cálculo em serviço Md,ser a hipótese aadotar é a do Estádio I, em caso contrário, ou seja, Md,ser > Mr adotam-se as hipótesespara o Estádio II, pois há a possibilidade de se formarem fissuras no elementoestrutural fletido.

O valor do módulo de elasticidade secante Ecs, dado pela expressão 5.20sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência.

Ecs = 0,85 . 5.600 f ck1/2 (5.20)

a.- Flecha imediata em vigas (lajes) de concreto armado

Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas pode-se utilizar aexpressão de rigidez equivalente dada a seguir :

ccsII

3

a

r c

3

a

r cseq I.EI.

M

M1I

MM

E)EI( ≤

−+=

sendo:


III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II,calculado com:

cs

se E

E=α

sendo Es = 210GPa e Ecs (módulo de elasticidade secante do concreto)

calculado com a expressão 5.20 (NBR 6118:2003);




Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximono vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços,para a combinação de ações considerada nessa avaliação;

Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, calculado com aexpressão 5.19 (NBR 6118:2003) cujo valor deve ser reduzido à metade no

caso de utilização de barras lisas;

No cálculo de Mr , f ct é a resistência à tração direta do concreto, adotada igual af ctm para verificação do estado limite de deformação excessiva, dado por:

3/2ckctm f 3,0f ⋅= (em MPa)

b.- Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado

A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função

da fluência, podem ser calculadas de maneira aproximada pela multiplicação da flechaimediata pelo fator αf dado pela expressão:

sendo:

sendo:

ξ é um coeficiente função do tempo, que deve ser calculado pela expressãoseguinte, se t ≤ 70 meses, ou obtido diretamente na tabela 5.5:

0,32t)t0,996(.0,68(t) =ξ para t ≤ 70 meses

ξ(t) = 2 para t > 70 meses

Tabela 5.5 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo

Tempo (t)meses

0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70

Coeficiente

(t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

sendo:

t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

ρ′+

ξ∆=α

501f

′=ρ′

bd

As

)t()t( 0ξ−ξ=ξ∆




t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.No caso de parcelas da carga de longa duração ser aplicadas em idadesdiferentes pode-se tomar para to o valor ponderado a seguir :

sendo:

Pi são as parcelas de carga;

t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses.

O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por(1 + ξf ).

5.12.1.3. Estado limite de fissuração

Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e ativaaderente (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro de bainhas), quecontrolam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área A cr doconcreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de7Φ do contorno do elemento da armadura (ver figura 5.35). A armadura de pele Φi daviga, na sua zona tracionada, necessária para vigas com altura maior do que 60cm,limite a abertura de fissuras na região Acri correspondente.

Figura 5.35 - Concreto de envolvimento da armadura

O valor da abertura de fissuras, w, determinada para cada parte da região deenvolvimento, é a menor dentre as obtidas pelas expressões que seguem :

sendo: σsi, φi, Esi, ρri definidos para cada área de envolvimento em exame.

sendo:

Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;

i

i0i0

P

tPt

Σ

Σ=

ctm

si

si

si

i

i

f

3

E5,12w

σσ

η

φ=

+

ρ

σ

η

φ= 45

4

E5,12w

risi

si

i

i




Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra φi considerada;

φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro debainha) em relação a área da região de envolvimento (Acri);

σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada,calculada no Estádio II.

Nos elementos estruturais com protensão, σsi é o acréscimo de tensão, nocentro de gravidade da armadura, entre o estado limite de descompressão e ocarregamento considerado. Deve ser calculada no Estádio II considerando todaarmadura ativa, inclusive aquela dentro de bainhas.

O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais edespreza a resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando a relação αe entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto igual a 15.

η1 é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada,

devendo ser adotados os valores de η1 para passiva e ηp1 para ativa (ver 9.3.2).Nas vigas usuais, com altura menor que 1,2 m, pode-se considerar atendida a

condição de abertura de fissuras em toda a pele tracionada, se a abertura de fissurascalculada na região das barras mais tracionadas for verificada e exista uma armaduralateral que atenda a área mínima de armadura longitudinal de tração.

O controle da fissuração, sem a verificação da abertura de fissuras, pode serfeito sem a avaliação do valor da abertura de fissuras, atendendo a verificação doestado limite de fissuração (aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3 mm para oconcreto armado e 0,2 mm para o concreto com armaduras ativas). Um elementoestrutural (no caso deste item, lajes maciças) deve ser dimensionado respeitando as

restrições da tabela 5.6 quanto ao diâmetro máximo (φmax) e ao espaçamento máximo(smáx) das armaduras, bem como as exigências de cobrimento (item 7) e de armaduramínima. A tensão σs deve ser determinada no Estádio II.

Tabela 5.6 - Valores máximos de diâmetro e espaçamento,com barras de alta aderência

Valores máximos

Tensão na barra Concreto sem armaduras ativasσs (MPa) φmáx (mm) smáx (cm)

160 32 30200 25 25240 16 20280 12,5 15320 10 10360 8 6

Os limites para as aberturas das fissuras e das flechas são os indicados na NBR6118:2003.

5.12.1.1.Exercício 1

Pretende-se construir a laje da figura com espessura de 9cm. Sabendo-se queas ações uniformemente distribuídas são q = 4,0kN/m e g = 2,0kN/m , pede-se verificaressa possibilidade atendendo as condições dos estados limites de serviço.




Figura 5.36 – Figura do exercício 1

5.12.1.2 Exercício 2

A laje maciça cujas condições de contorno e vãos teóricos estão indicados nafigura e foi pré-dimensionada com espessura de 8cm. Sabendo-se que as açõesuniformemente distribuídas são q = 4,0kN/m e g = 2,0kN/m , pede-se verificar oscritérios da NBR 6118:2003 com relação aos estados limites últimos.

Figura 5. 37 – Figura do exercício 2


1.. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:1978 Projeto eexecução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978.

2. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 Projeto de

estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003.

3.. ANDRADE, J.R.L. Estruturas correntes de concreto armado: 1. parte. São Carlos,EESC-USP, 1982.

4. ISHITANI, H., MARTINS, A. R., PELLEGRINO NETO, J., BITTENCOURT, T. N.Estruturas de Concreto I (Notas de Aula). Escola Politécnica - USP ,2000.

5. JIMÉNEZ MONTOYA, P., GARCIA MESEGUER, A., MORÁN CABRÉ, F. Hormigon Armado. 14. ed. Barcelona: Gustavo Gili, 2000. 2v.

6. PINHEIRO, L.M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos:EESC-USP, 1986.

7. RIOS, P.M. Lajes retangulares de edifícios: associação do cálculo elástico com ateoria das charneiras plásticas. São Carlos, 1991. Dissertação (Mestrado) - Escolade Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.




8. BAREŠ. Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona, Gustavo Gili.538p.



José Samuel Giongo – USP – EESC – SET – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 143

6. EXEMPLO DE PROJETO DE PAVIMENTO DE EDIFÍCIO

6.1 INTRODUÇÃO

Este exemplo foi elaborado pelo Engenheiro Carlos Roberto Gutiérrez Reiner,

durante o desenvolvimento de pesquisa com bolsa de monitoria na EESC - USP, anode 1990, com orientação do autor. Para esta edição o trabalho foi revisto ecomplementado com as indicações da NBR 6118:2003.

Com este exemplo pretende-se sedimentar os conceitos expostos nos textos doscapítulos anteriores. Aqui será tratado o projeto de um pavimento - tipo de edifício.Procurou-se desenvolvê-lo de modo mais didático possível, com a finalidade deapresentar a rotina para os projetos da forma estrutural do pavimento - tipo e das lajesmaciças.

A forma estrutural é projetada em função das dimensões indicadas na planta dearquitetura do pavimento - tipo proposto.

O edifício destina-se a salas para escritórios, sendo que cada conjunto possui trêssalas, dois banheiros e uma copa. Tem também um terraço no qual o acesso depessoas é possível. A figura 6.1 apresenta a distribuição arquitetônica dos ambientes,bem como as medidas indicadas para cada compartimento.

Figura 6. 1 - Planta arquitetônica do pavimento - tipo

C



Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício 144

Os demais equipamentos necessários ao funcionamento do edifício não estãomostrados no desenho da planta arquitetônica do pavimento - tipo, sem prejuízo doaprendizado. Lembra-se que os edifícios possuem áreas de circulação, elevadores,escada com respectivo acesso e proteção em caso de incêndio, garagens e etc.

6.2 ESCOLHA DA FORMA ESTRUTURAL

A figura 6.2 mostra a localização dos pilares e das vigas com conseqüentedefinição geométrica das lajes. Nota-se que os pilares ficam embutidos nas paredes dealvenaria externas, pois elas têm espessuras de 23cm e os pilares têm as menoresdimensões iguais a 20cm. As espessuras das vigas (bw) são de 11cm, com isto elasficam embutidas nas paredes de meio tijolo que são as paredes internas.

Pode-se notar, comparando as figuras 6.1 e 6.2, que as paredes que separam osbanheiros e estes da copa ficam apoiadas diretamente sobre a laje L02. As demaisparedes se apóiam sobre as vigas. A laje L03 que recebe as ações do terraço tem aborda esquerda livre, isto é, não há viga de apoio junto a esta borda. E, faceando comesta borda, há uma mureta de 1,0m de altura destinada a servir como parapeito.

Todas as vigas são normais, pois, as suas faces superiores coincidem com asfaces superiores das lajes.

Figura 6. 2 - Posição dos pilares, vigas e lajes




A laje L02 foi considerada rebaixada para permitir a distribuição de dutoshidráulicos, sendo que posteriormente receberá enchimento de tijolos furados justapostos para permitir a igualdade dos níveis dos pisos acabados dos ambientes. Atualmente é preferível prever forro falso no banheiro do andar inferior.

Para se elaborar o desenho da localização dos pilares, vigas e lajes, o observadorfoi colocado no andar inferior olhando para cima, isto é, olhando para o andar para o

qual se quer mostrar a forma estrutural. Lembra-se que no caso do desenho da plantaarquitetônica do andar - tipo o observador está posicionado no próprio andar e olhandopara baixo.

6.3 VERIFICAÇÃO DAS DIMENSÕES INDICADAS NA PLANTA ARQUITETÔNICA

Antes de se definirem as medidas da forma estrutural, isto é, as distâncias entreas faces das vigas, é conveniente verificar se as dimensões fornecidas na plantaarquitetônica estão corretas.

As alvenarias são constituídas de tijolos furados de 10cm de espessura, 20cm decomprimento e 20cm de altura. Os revestimentos de argamassa das paredes são de

1,5cm em cada face. Desse modo as paredes de um tijolo têm espessuras de 23cm eas de meio tijolo têm 13cm.

Analisando as dimensões dos ambientes arquitetônicos vistos no corte AA' (figura6.3) nota-se que a dimensão externa do edifício é de 792cm. Fazendo-se o somatóriodas dimensões das paredes e dos compartimentos deve-se chegar ao mesmo valor.

Figura 6.3 - Conferência das medidas segundo o corte AA'

Têm-se as seguintes dimensões, seguindo-se da esquerda para a direita, no corte AA':

13 + 90 + 23 + 280 + 13 + 100 + 13 + 247 + 13 = 792cm

Nota-se, portanto, que as medidas indicadas estão corretas. O mesmoprocedimento deve ser feito para os demais cortes. Caso não se verificasse aigualdade, procurar-se-ia determinar qual medida está incorreta. Não sendo possíveldetectar o erro, deve-se entrar em contato com o arquiteto projetista e consultá-lo

sobre as medidas corretas.




6.4 CÁLCULO DAS DISTÂNCIAS ENTRE AS FACES DAS VIGAS

Como foi visto as espessuras das vigas são de 11cm e elas ficam embutidasdentro das paredes. As vigas internas têm seu plano médio coincidindo com o planomédio das paredes e, as externas têm as suas faces externas posicionadas junto àface externa das paredes, como pode ser observado na figura 6.4.

Figura 6.4 - Corte BB' - posições de vigas, lajes e paredes

Para se determinar as distâncias entre as faces das vigas, quando estas têm seusplanos médios coincidindo com os planos médios das paredes, basta somar àsdistâncias entre as paredes, fornecidas na planta arquitetônica, as respectivasespessuras dos revestimentos de argamassa. No caso de não haver esta coincidênciahá que se analisar cada caso como se pode notar na figura 6.4.

Na figura 6.4 estão mostradas as posições das vigas, vistas no corte BB' e asrespectivas posições das paredes. Pode-se notar que é um simples problemageométrico.

As distâncias calculadas no corte BB' são transferidas para o desenho da formaestrutural do pavimento - tipo mostrado na figura 6.6.

Na figura 6.4 nota-se que os revestimentos das vigas internas têm 1,0cm deespessura e das paredes respaldadas junto a elas têm 1,5cm. No caso da laje L03,

para se determinar a largura livre da laje deve-se considerar a distância da face externada laje até a face externa da viga V04.O mesmo procedimento é feito para as demais distâncias entre faces de vigas,

como por exemplo, as vistas pelo corte CC', como está mostrado na figura 6.5. A parede de meio tijolo que separa os dois banheiros está mostrada na figura 6.5,

inclusive com as medidas internas dos ambientes para se perceber que a distânciaentre as faces das vigas V01 e V02 são determinadas considerando-se as medidasindicadas no projeto arquitetônico.




Figura 6.5 - Corte CC' - posições de vigas, lajes e paredes

Como mostra o desenho da forma estrutural do pavimento - tipo na figura 6.6,pode-se notar que as posições das vigas estão compatíveis com as posições dasparedes de alvenaria, ficando nelas embutidas, portanto não ficarão visíveis quando aobra estiver pronta. Deve ser lembrado que na região dos banheiros há necessidade dese prever o posicionamento de dutos de 100mm de diâmetro para atender ao projetohidráulico. Por isto optou-se por adotar vigas, junto às paredes externas, com 11cm deespessura, podendo posicionar os dutos faceando com as vigas. Os pilares foram pré-dimensionados com a menor dimensão de 20cm e a maior com 50cm em função donúmero de andares e, para pré-dimensionamento, foi usado o processo das áreas de

influência. As vigas foram todas adotadas com 11cm de espessura e pré-dimensionadas

com 50cm de altura, conforme indicado na figura 6.9. É conveniente, sempre quepossível, adotar o menor número de variações de altura de vigas e de lajes para umpavimento - tipo. Com isto padronizam-se as fôrmas e os cimbramentos.

Com as dimensões da forma estrutural do pavimento - tipo já definidas, pode seriniciado o dimensionamento das lajes maciças.

A laje L02 está submetida à ação das paredes de alvenaria que separam os doisbanheiros e estes da circulação e da copa.

Neste exemplo, contrariando o que é feito nos projetos usuais, optou-se por fazera laje L02 rebaixada, para permitir a instalação dos dutos de esgoto, por motivoexclusivamente didático.

Assim, para a laje L02 deve-se considerar uma ação permanente uniformementedistribuída determinada em função do peso próprio do enchimento. Para este exemplofoi adotado enchimento de tijolos maciços.

A laje L03, como será visto, foi considerada armada em uma direção, em funçãoda relação entre os vãos e foi considerada em balanço.

O dimensionamento das lajes maciças segue a rotina vista no capítulo 5. Sãofeitos os cálculos dos vãos efetivos, das espessuras das lajes, das ações atuantes, dosesforços solicitantes, da verificação da resistência à força cortante, cálculo das áreasdas armaduras e o detalhamento final.






A laje L02 foi considerada rebaixada, portanto a condição de vinculação é de lajeisolada e, assim, simplesmente apoiada nas vigas do contorno. As lajes L01 e L04, nolado comum podem ser consideradas engastadas entre si, pois há a possibilidade devirem a ter espessuras próximas, por tratar-se de lajes com vão efetivos de dimensõese de ações semelhantes. O mesmo ocorre entre as lajes L04 e L05.

Na figura 6.7 estão indicados os valores dos vãos efetivos que foram

considerados como sendo as distâncias entre os centros dos vãos das vigas nasdireções consideradas.Os vão efetivos das lajes podem ser calculados com os critérios da NBR

6118:2003 e apresentados no item 5.5 deste trabalho.Prática corrente tem sido adotar laje engastada em outra laje quando as alturas

forem iguais ou próximas; considerando-se como espessuras próximas quando adiferença entre elas for de até 3cm. Quando a diferença for maior, considera-se a lajede menor espessura engastada na de maior espessura e, a de maior espessura éconsiderada apoiada na viga, isto no lado comum.

Figura 6.7 - Vãos efetivos e condições de vinculação das lajes

A tabela 6.1 foi organizada para otimizar os cálculos das espessuras das lajes doprojeto.




Tabela 6.1 - Cálculo das espessuras das lajes

Laje Tipoℓy

(cm)

ℓx(cm) λ x100

5,2l

h(cm)adotada

d(cm)

L01 2A 337,5 302,5 1,12 7,56 8 6,5L02 1 372,5 337,5 1,10 8,44 10 8,5L03 9 710,0 108,5 0,15 2,71 8 6,5L04 3 372,5 302,5 1,23 7,56 8 6,5L05 2A 372,5 372,5 1,00 9,31 8 6,5

A NBR 6118:2003 indica espessura mínima de 7cm para lajes de piso. A alturaútil (d) igual a 6,5cm foi calculada a partir dos valores da tabela 3.2, deste texto, com acondição de que quando houver adequado controle de qualidade e rígidos limites detolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotada umaredução de 5mm no valor do cobrimento. A exigência de controle rigoroso deve serescrita claramente nos desenhos do projeto.

Na avaliação da altura útil (d) deve ser consideradas a espessura do cobrimento(1,5cm) e metade do diâmetro das barras da armadura que, por ser esperado valorpequeno, não foi considerado neste projeto. Assim, a altura útil foi avaliada por:

d = h - 1,5cm

As faces superiores das lajes L03 e L01 e L04 não são coincidentes; a laje L03deve ser rebaixada, em relação às outras de no mínimo 2cm, para impedir a entrada deágua nos ambientes internos. A figura 6.8 mostra este detalhe.

Figura 6.8 - Diferença de nível entre as lajes L03 e L01 e L04

6.5.2 DESENHO DA FORMA ESTRUTURAL

A forma estrutural do pavimento - tipo já pode ser desenhada, nesta fase deanteprojeto, pois já se dispõem dos pré-dimensionamentos dos elementos estruturais.Terá caráter de projeto quando todas as dimensões dos elementos estruturais - lajes,vigas e pilares tiverem as suas seguranças com relação aos estados limites últimos ede serviço verificados.

Na figura 6.9 os elementos estruturais estão convenientemente identificados,segundo as indicações da NBR 7191:1982 e, apresentam cortes verticais que mostramos níveis das lajes. Os cortes foram rebatidos no plano horizontal do pavimento-tipo,respeitando-se a convenção que o observador vê o desenho de frente ou pela direita.Os cortes verticais podem ser mostrados fora do desenho da forma em planta, paraisto se faz necessário transportá-los e rebatê-los no plano horizontal (da folha de

desenho).No desenho da forma estrutural do pavimento - tipo precisa constar todas asinformações que possibilitem a execução da estrutura na obra. Assim, os elementos




estruturais devem ter as suas dimensões indicadas claramente. Desenhos adicionaisde detalhes particulares devem ser feitos se necessários.

Figura 6. 9 - Forma estrutural do pavimento - tipo

6.6 AÇÕES NAS LAJES

6.6.1 AÇÕES PERMANENTES DIRETAS

As ações permanentes diretas são as constituídas pelos pesos próprios da laje edos materiais de revestimentos. Sobre a laje deve haver uma camada de regularizaçãoem argamassa de cimento e areia que serve também para assentamentos dos tacos demadeira de ipê róseo, adotado neste projeto. Na face inferior da laje deve-se ter umrevestimento em argamassa de cal, cimento e areia que receberá massa corrida e

pintura. A figura 6.10 apresenta um corte da laje com estas indicações desenhadascom as espessuras adotadas.Os pesos próprios dos materiais que compõem a laje quando acabada podem ser

determinados multiplicando-se as suas espessuras pelos respectivos pesos específicos




aparentes, indicados na NBR 6120:1980 ou convenientemente calculados eapresentados no capítulo 2.

Figura 6. 10 - Corte da laje - materiais de acabamento

No caso do exemplo, em kN / m2 , têm-se:

peso próprio da laje: 0,080 . 25 = 2,000 2,000

revestimentos:

argamassa de regularização: 0,025 . 21 = 0,525

piso - ipê róseo : 0,020 . 10 = 0,200

revestimento do forro: 0,015 . 19 = 0,285 1,010

6.6.2 AÇÃO RELATIVA AO ENCHIMENTO NA LAJE L02

A figura 6.11 mostra o detalhe do enchimento em tijolos furados justapostos quereceberão uma camada de argamassa de regularização de 5cm, pois os tijolos têm20cm de altura.

O peso próprio do enchimento, por unidade de área, resulta:

gpp,tij = 0,20 . 13 = 2,60

gpp,arg = 0,05 . 19 = 0,95

genchimento = 3,55 kN/m2

Figura 6. 11 - Ação relativa ao enchimento da laje L02




6.6.3 AÇÃO DAS PAREDES NA LAJE L02

Atuando na laje L02 há a ação das paredes de alvenaria de meio tijolo furado quecompõem os ambientes arquitetônicos indicados na figura 6.1. Como a laje L02 éconsiderada armada em duas direções é possível considerar as ações das alvenariascomo uma ação suposta uniformemente distribuída, por unidade de área, na laje L02.

Para isto basta determinar a área das paredes, multiplicá-la pelo peso próprio de ummetro quadrado de alvenaria pronta (ver tabela 2.2) para se obter a resultante docarregamento, que é dividido pelos vãos efetivos da laje.

Assim tem-se:

( ) ( )3,3753,725

2,20,082,772,473,15g alv.pp ⋅

⋅−⋅+=

2alv.pp 2,65kN/mg =

Para determinação desta ação não foram descontados os vãos das portas queseparam os ambientes.

6.6.4 AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS

A NBR 6120:1980, conforme pode ser visto no capítulo 2, indica que paraescritórios deve ser considerada uma ação variável normal de 2 kN/m2 .

A tabela 6.2 apresenta as ações calculadas para cada laje.

Tabela 6.2 - Ações atuantes nas lajes

hPeso

PróprioPiso+

Revesti-mento

Alvena-ria

Outras

Ações

Perma-nentesDiretas

(g)

Ações

Variá-veis

Normais(q)

TotalLAJE

cm KN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2

Obs.

L01 8 2,0 1,0 --- --- 3,00 2,0 5,0L02 10 2,5 1,0 2,65 3,55 9,70 2,0 11,7L03 8 2,0 1,0 --- --- 3,00 2,0 5,0L04 8 2,0 1,0 --- --- 3,00 2,0 5,0L05 8 2,0 1,0 --- --- 3,00 2,0 5,0

6.6.5 AÇÕES ATUANTES NA LAJE L03

Há que se considerar na laje L03, além das ações uniformemente distribuídas,ação linearmente distribuída em virtude do peso próprio da mureta de 1,0 m de alturaconstruída em alvenaria de meio tijolo, dado pelo produto da altura da mureta pelopeso de parede por unidade de área, resultando:

gpp,mur = 1,0 . 2,2 = 2,2 kN/m

Devem ser consideradas duas ações variáveis normais; uma horizontal de0,8kN/m e uma vertical de 2,0kN/m, com a finalidade de levarem em conta apossibilidade de pessoas apoiadas no parapeito, conforme indica a NBR 6120:1980.

A figura 6.12 mostra as ações consideradas na laje L03.




Figura 6. 12 - Ações na laje L03

6.7 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

Os esforços solicitantes podem ser calculados com as planilhas de cálculomostradas nas figuras 6.14 - reações de apoio e 6.15 - momentos fletores.

As verificações de segurança estrutural das lajes são feitas considerando os

Estados Limites Últimos e de Serviço. Os coeficientes de ponderação majoração dasações permanentes e variáveis podem não ser iguais, pois dependem dascombinações a serem consideradas. Os esforços solicitantes devem, então, seremcalculados separadamente para as ações permanentes e variáveis. Neste projetoassim se procedeu no cálculo dos momentos fletores, pois os coeficientes deponderação das ações para as verificações dos Estados Limites de Serviço sãodiferentes.

Portanto, na figura 6.15 – momentos fletores, indicam-se os valores dosmomentos fletores relativos às ações permanentes e variáveis somadas e osmomentos fletores calculados para estas ações consideradas separadamente.

Para ambos as determinações dos valores das forças cortantes e momentosfletores nas lajes consideradas isolada utilizaram-se as tabelas para cálculo dosesforços solicitantes em lajes retangulares, submetidas à ação uniformementedistribuídas, elaboradas por Pinheiro [1993]. Exceção ao uso das tabelas fica para alaje L03 que é uma laje armada em uma direção e está, além disto, submetida a umaação linearmente distribuída no contorno que atua juntamente com a açãouniformemente distribuída por unidade de área.

Como a laje L03, embora tenha duas vigas paralelas ao menor lado e, seja umalaje tipo 9 (ver Pinheiro, 1993) a relação entre o vão perpendicular ao lado engastado eo vão paralelo a este é menor do que 0,3, indicando que ela é uma laje armada nadireção do menor vão e, mobiliza momento fletor que traciona a face superior.

Considerando as ações uniformemente distribuídas na laje L03 - g = 3,0 kN/m2

eg = 2,0 kN/m2 (ver tabela 6.2) e as linearmente distribuídas indicadas na figura 6.12,podem ser calculados os esforços solicitantes atuantes na direção do menor vão,resultando:

momento fletor :

m'x = m'x,gk + m'x,qk

m'x = [3,0 . 1,0852/ 2 + 2,2 . 1,035] + [2,0 . 1,0852/ 2 + 2,0 . 1,035 + 0,8 . 1,00]

m'x = 4,04 + 4,04

m'x = 8,08 kN.m / m




força cortante:

v'x = 5,0 . 1,085 + 2,2 + 2,0 = 9,63 kN / m

As reações de apoio da laje L03 junto das vigas V01 e V03 podem ser calculadaspelo processo das áreas, resultando um triângulo conforme indicado na figura 6.13. A

reação vy na laje resulta:

vy = [ ( 1,085 . 0,625 ) / 2 ] . 5,0 / 1,085 = 1,56 kN/m

Figura 6. 13 - Reação vy na laje L03

Os momentos fletores negativos m'x = m'x,gk + m'x,qk atuantes nas lajes L01 e L04;L04 e L05 foram compatibilizados com as indicações do item 5.8.4, deste trabalho,lembrando que é adotado o maior valor entre a média dos momentos fletores ou 0,8vez o maior deles. Os momentos fletores negativos compatibilizados substituem osmomentos fletores calculados para as lajes supostas isoladas e, com eles sedeterminam as áreas das armaduras posicionadas nas faces superiores das lajes. Os

momentos fletores positivos também foram compatibilizados toda vez que elessofreram acréscimos em função da diminuição do momento fletor negativo. As reações de apoio indicadas na figura 6.14 atuantes nas lajes provocam

tensões tangenciais de máxima intensidade nas bordas das lajes. A NBR 6118:2003indica que para não haver armadura transversal (estribos) na laje a força cortante decálculo (VSd) deve ser menor do que a força cortante resistente do concreto (VRd1),conforme estudado no capítulo 5.

As reações de apoio serão, em uma fase posterior do projeto, as ações atuantesnas vigas, além das ações de peso próprio e de paredes se assim o projetoarquitetônico indicar.

Os cálculos dos esforços solicitantes - reações de apoio e momentos fletores nas

lajes isoladas, podem ser feitos por meio de tabelas como alternativa às planilhas decálculo, mostradas nas figuras 6.14 e 6.15.Optou-se por apresentar aqui apenas os cálculos usando os esquemas

geométricos, que são cópias em traço unifilar da forma estrutural do pavimento - tipo,por serem de fácil entendimento e por ficarem mais visíveis os planos de ação dosmomentos fletores e as bordas onde atuam as reações de apoio das lajes.

Na figura 6.14 são calculadas as reações de apoio das lajes e na figura 6.15 osmomentos fletores iniciais e os finais já compatibilizados.

Nessas figuras, nas intersecções dos eixos coordenados anotam-se as açõesuniformemente distribuídas nas lajes, escrevem-se os coeficientes com os quais secalculam as forças cortantes e os momentos fletores, determinados nas tabelas de

PINHEIRO [1993] e BARES [1970], e de acordo com os fatores de multiplicaçãoindicados efetuam-se os cálculos dos esforços solicitantes. De acordo com asconvenções já estudadas no capítulo 5, os esforços solicitantes são anotados como




indicado nas figuras 6.14 e 6.15. Ambas apresentam, nas partes inferiores das páginas,as indicações do modo como os esforços são calculados e convenientemente anotadosno desenho da própria laje.

Figura 6. 14 - Reações de apoio atuantes nas lajes [Andrade, 1982]




Figura 6. 15 - Momentos fletores atuantes nas lajes[Andrade, 1982]

6.8 CÁLCULO E DETALHAMENTO DAS ÁREAS DAS ARMADURAS

As determinações das áreas das seções transversais das barras das armadurasforam feitas com as indicações do item 5.10.2, deste trabalho. Foram usadas as tabela5.1, capítulo 5, e, para facilitar o cálculo, organizaram-se as tabelas 6.3 e 6.4 para




determinação das armaduras positivas - posicionadas junto à face inferior e dasarmaduras negativas - posicionadas junto à face superior das lajes, respectivamente.

Neste exemplo considerou-se concreto C20 e aço categoria CA-50. As áreas de armaduras mínimas foram respeitadas, lembrando-se que elas foram

adotadas iguais a 0,15% . bw . h, ou seja, 0,15 . h, por considerar-se bw igual a 100cm,conforme indicado na NBR 6118:2003 e tabela 5.3 deste texto.

Valores limites para os espaçamentos entre as barras (2h ou 20cm, o menorvalor) também foram considerados. A NBR 6118:2003 indica, conforme indicado na tabela 5.3 que a área das barras

da armadura secundária ou de distribuição deve ter taxa geométrica ρs ≥ 20 % da áreadas barras da armadura principal e, também, ρs ≥ 0,5 ρmin e, ainda a área das barras daarmadura secundária deve atender as /s ≥ 0,9 cm2/m. Entre as três indicações se adotaa que fornecer maior área de armadura secundária.

Os detalhamentos das armaduras são apresentados na figura 6.16, onde podeser visto, para cada tipo de barra a sua quantidade, comprimento parcial ecomprimento final. Os comprimentos das barras da armadura negativa foramdeterminados com os critérios indicados no item 5.11.2, deste trabalho.

As verificações das ancoragens nos apoios internos e de extremidade seguiramas indicações da NBR 6118:2003 e já analisadas em tópico já lecionado na disciplina.

Quando se determina o comprimento da armadura negativa do balanço deve-selembrar que ele é calculado dando-se ao diagrama de momento fletor umdeslocamento al, que no caso de lajes é de 1,5 d, segundo indica a NBR 6118:2003, ecalcula-se o comprimento de ancoragem que deve ser considerado para as barras. Ocomprimento parcial das barras, medido a partir do centro da viga V04 é da ordem de1,5 vez o vão efetivo do balanço.

Tabela 6. 3 - Armaduras junto à face inferior da laje

ADOTADOLAJE

h

cm

d

Cm

mk

kN.cm/m

md

kN.cm/m

kc

cm2/kN

ks

cm2/kN

as,cal

cm2/m φ

mms

cmas

cm2/mOBS.

L01 8 6,5 174 244 17,3 0,024 0,90 5 15 1,33 as min

191 268 15,8 0,024 0,99 5 15 1,33 as min

L02 10 8,5 666 893 7,8 0,024 2,63 6,3 12 2,62569 797 9,1 0,024 2,25 6,3 14 2,25

L04 8 6,5 172 241 24,6 0,024 0,89 5 15 1,33 aS min

119 167 35,5 0,023 0,59 5 15 1,33 as min

L05 8 6,5 291 407 14,5 0,024 1,50 5 14 1,43 -5%

202 283 20,9 0,024 1,04 5 14 1,43 as min

Tabela 6.4 - Armaduras junto à face superior da lajeADOTADO

LAJEh

cm

d

cm

mk

kN.cm/m

md

kN.cm/m

kc

cm2/kN

ks

cm2/kN

as,cal

cm2/m φ

mms

cmas

cm2/mOBS

.

L03 8 6,5 808 1.131 3,7 0,026 4,52 8 11 4,55L01/L04 8 6,5 390 546 7,7 0,024 2,02 6,3 15 2,10L04/L05 8 6,5 494 692 6,7 0,025 2,66 8 18 2,78

A figura 6.16 apresenta o detalhamento das armaduras posicionadas junto àface inferior da laje (armaduras positivas). São mostradas, para cada direção da laje,apenas uma barra representativa do conjunto. Essa figura representa a vista vertical da




barra, rebatida no plano horizontal e em verdadeira grandeza. As setas indicam que asbarras em questão devem ser posicionadas entre as faces das vigas indicadas porelas. Por exemplo, a barra N1 deve ser distribuída na laje LO2, na direção y,posicionadas uma a cada 14cm, entre as faces das vigas V01 e V02. A quantidade debarras, que o armador deve cortar e desenhar de acordo com o indicado na figura, écalculada tomando-se a distância entre as faces das vigas V01 e V02, que é de

326,5cm, dividir por 10, que é o espaçamento entre as barras, e subtrair a unidade,pois as barras próximas das vigas V01 e V02 ficam afastadas destas 10cm.Esse procedimento deve ser repetido para todas as barras do pavimento. Os

ganchos nas extremidades das barras, quando se tratar de apoios de extremidade,precisam ter a medida da projeção no plano vertical igual à altura da laje (h) subtraídade duas vezes a espessura do cobrimento (superior e inferior).

Além das indicações do número da barra, devem ser indicadas: a quantidade debarras, o diâmetro, o espaçamento entre as barras e comprimento total. Oscomprimentos parciais servem para o armador dobrar as barras na bancada de serviço.O respectivo desenho indica o correto posicionamento da barra na fôrma, como podeser visto para a barra N4, onde as distâncias de 15cm das faces internas das vigas V04

e V05 devem ser respeitados, pois envolvem critérios de ancoragem nos apoiosextremos e verificados de acordo com as indicações da NBR 6118:2003.

Figura 6. 16 - Detalhamento das armaduras junto à face inferior




A figura 6.17 apresenta o detalhamento das barras das armaduras posicionadas junto à face superior da laje (armaduras negativas). As armaduras principais sãoaquelas posicionadas perpendicularmente as vigas. Nas direções paralelas às vigasmostram-se as barras de distribuição (armaduras secundárias), cujas áreas são iguaisa 1/5 da área da armadura principal, e, neste exemplo de projeto, porém não menorque 0,9 cm2/m, conforme indicado na NBR 6118:2003. As barras das armaduras de

distribuição têm também a finalidade de posicionar corretamente as barras dasarmaduras negativas. As barras devem ser adequadamente desenhadas para o bom entendimento

dos detalhes e correta execução na obra. Assim, seguiram-se as mesmas indicaçõesvistas nos desenhos das armaduras positivas. Lembra-se que aquelas barras daarmadura ficam posicionadas junto à face superior da laje.

As armaduras inferiores devem ficar afastadas da face da fôrma da laje porespaçadores moldados em argamassa, aos quais são incorporados segmentos dearame recozido para poder amarrar os espaçadores às barras. As suas espessuras sãoiguais aos cobrimentos requeridos para as armaduras. É possível utilizaremespaçadores plásticos industrializados.

As armaduras negativas são posicionadas por espaçadores feitos com sobrasde barras, usualmente chamados de caranguejos.

Durante o lançamento do concreto, cuidados devem ser tomados para evitar queas armaduras negativas mudem de posição, em virtude do lançamento do concreto edo movimento de operários no local.

Figura 6. 17 - Detalhamento das armaduras junto à face superior.




A tabela 6.5 - Tabela de armaduras, ou Tabela de "ferros" como conhecida poralguns, tem a finalidade de ordenar, pelos números indicados nos desenhos, as barrasdas armaduras, mostrando os diâmetros, as quantidades e os comprimentos - unitáriose total. Os comprimentos unitários são os comprimentos retificados das barras e ostotais são os produtos da quantidade de barras pelos comprimentos unitários. Essatabela tem a finalidade de orientar o armador sobre os cortes das barras, que são feitos

independentemente dos detalhes de dobramento e posicionamento das barras nasfôrmas. As barras são cortadas como indicado na tabela e, em outra operação,dobradas de acordo com os desenhos indicados nas figuras 6.16 e 6.17. São,posteriormente, levadas para as fôrmas das lajes do pavimento-tipo e ai posicionadasconforme desenhos para posterior concretagem.

A tabela 6.6 - Resumo de armaduras, neste caso para o aço categoria CA-50,deve indicar os comprimentos totais para um determinado diâmetro, isto é, o somatóriodos comprimentos totais indicados na tabela de armaduras, e a massa total, para umdeterminado diâmetro. O resumo serve para indicar ao engenheiro da obra osdiâmetros e as quantidades das várias barras que devem ser adquiridas na execuçãodo pavimento-tipo, motivo deste exemplo.

Tabela 6.5 - Tabela de armaduras Comprimentos

No Diâmetro

(mm)Quantidade Unitário

(cm)Total(m)

01 6,3 25 396 99,0002 5 21 322 67,6203 5 25 392 98,0004 5 23 320 73,6005 5 20 392 78,40

06 5 18 357 64,2607 6,3 39 362 141,1808 5 25 396 99,0009 8 63 256 161,2810 8 19 168 31,9211 6,3 18 138 24,8412 5 7 292 20,4413 5 12 700 84,0014 5 8 362 28,96

Tabela 6.6 - Resumo de armaduras (Aço: CA-50) φ (mm)

Comprimento(m)

Massa / m(kg / m)

Massa Total + 10%(kg)

5 614 0,16 1086,3 265 0,25 738 193 0,40 85

Total ( kg ) 266

Os detalhamentos das armaduras costumam ser feitos depois das verificaçõesindicadas nos itens 6.9 e 6.10, pois se houverem modificações os detalhamentos não

precisam ser refeitos.




6.9 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS

Faz-se a seguir a verificação da capacidade resistente à força cortante da seçãotransversal (bw = 100cm e h = 10cm) para a força cortante de maior valor, que é vx paraa laje L02, cujo módulo é 10,78 kN.

Segue-se aqui a rotina vista no item 5.10.1.

a. cálculo da força cortante solicitante de cálculo:

VSd = 1,4 . 10,78 = 15,1kN/m

Para não haver necessidade de se dispor armadura transversal o valor da forçacortante solicitante de cálculo não pode ser maior do que a força cortante resistente decálculo sem armadura transversal (VRd1) calculada pela expressão seguinte:

VRd1 = [ τRd . k . (1,2 + 40 . ρ1) + 0,15 . σcp ] . bw . d

b. cálculo de τRd

3/2ck

cctm

cc

inf ,ctkctdRd f 3,07,0

125,0f 7,0

125,0

f 25,0f 25,0 ⋅⋅⋅

γ⋅=⋅⋅

γ⋅=

γ⋅=⋅=τ

assim, para C20, resulta:

23/2ckRd cm/kN76,2MPa276,0200375,0 ==⋅=τ

c. cálculo de k

k = 1,6 - dpara elementos em que a totalidade da armadura longitudinal chegaaté os apoios e não menor do que 1

sendo d = h – 1 = 10 – 1,5 = 8,5cm = 0,085m

k = 1,6 – 0,085 = 1,52

d. cálculo de ρ1

na laje L02, sendo 2,62 cm2/m (φ 6,3 c/12) a área de armadura na direção xcalculada para absorver o momento fletor mx = 6,66kN/m, vem:

ρ1 = 2,62 / (100 . 8,5) = 0,0031

e. cálculo de σcp

σcp = NSd / Ac = zero

NSd = zero, pois não há força de protensão na laje (ela tem armadura passiva), e,também, não há força força normal atuando na laje.

f. bw = 100cm e d = 8,5cm




g. Substituindo na expressão de VRd1, vem:

VRd1 = [2,76 . 1,52 . (1,2 + 40 . 0,0031) + 0,15 . zero ] 100 . 8,5

VRd1 = 5,55 . 850 = 4717,5kN = 47,2kN/m

h. conclusão

como VSd = 14,5kN/m < VRd1 = 47,2kN/m não há necessidade de dimensionararmadura transversal para absorver as tensões de tração oriundas da forçacortante.

Sugere-se ao leitor fazer a verificação da força cortante para as lajes do projetocom 8cm de espessura.

6.10 VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO

6.10.1 Momento de fissuração

Os estados limites de serviço que precisam ser verificados para as lajes são: oestado limite de deformação excessiva (ELS-DEF), para o qual são adotados oscritérios indicados para vigas, considerando a possibilidade de fissuração (hipóteses doEstádio II), e os estados limites de formação de fissuras (ELS-F) e de abertura dasfissuras (ELS-W), também considerando as hipóteses indicadas para a verificação deelementos lineares (vigas).

Com as hipóteses do estado limite de formação de fissuras pode-se calcular omomento de fissuração (Mr ) pela seguinte expressão aproximada, escrita considerandoo Estádio Ib.

sendo:

α = 1,2 para seções T ou duplo T;

α = 1,5 para seções retangulares;

yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada;

I0 é o momento de inércia da seção bruta de concreto igual a Ic;

f ct = f ctk,inf = 0,7.f ctm = 0,7.0,3.f ck2/3

Para as lajes do projeto com espessuras de 8cm, resistência característica doconcreto de 20MPa e considerando:

α = 1,5, pois a seção transversal é retangular com bw = 100cm e h = 8cm;yt = h / 2 = 4cm;

t

0ctr y

If αM

⋅⋅=




Ic = ( bw h3 ) / 12 = ( 100 . 83 ) / 12 = 4.266,7cm4;

f ct = 0,7 . 0,3 . 202/3 = 1,55MPa = 0,155kNcm2;

e, substituindo na expressão de mr vem:

mr = 248kNcm = 2,48kNm

Analogamente para a laje L02 com 10cm de espessura o momento defissuração resulta:

mr = 387,5kNcm = 3,88kNm

6.10.2 VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA (ELS-DEF)

Nos casos de lajes maciças a NBR 6118:2003 indica que para a verificação dosestado limite de deformação excessiva são usados os mesmos critérios adotados para

a verificação de vigas, considerando a possibilidade de fissuração (Estádio II). A verificação dos valores limites estabelecidos na NBR 6118:2003 para a

deformação da estrutura, mais propriamente rotações e deslocamentos em elementosestruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de açõesindicadas na norma, pode ser realizada por modelos que considerem a rigidez efetivadas seções do elemento estrutural, ou seja, levem em consideração a presença daarmadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e asdeformações diferidas no tempo.

A NBR 6118:2003 lembra que a deformação real da estrutura depende tambémdo processo construtivo, assim como das propriedades dos materiais (principalmentedo módulo de elasticidade e da resistência à tração) no instante de sua efetiva

solicitação. Em face da variabilidade dos parâmetros citados, existe variabilidade dasdeformações reais. Não se pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões dedeslocamentos dadas pelos processos analíticos que se adota neste exemploconforme indicado na norma citada.

Para a avaliação aproximada da flecha em lajes, seguindo os critérios de vigas, aNBR 6118:2003 indica que o modelo da estrutura pode admitir o concreto e o aço comomateriais de comportamento elástico e linear. As deformações específicas nas seçõesao longo do elemento estrutural podem ser determinadas no Estádio I desde que osesforços solicitantes não superem aqueles que dão início à fissuração, e no Estádio II,em caso contrário.

Para o cálculo utiliza-se o valor do módulo de elasticidade secante Ecs

definido naNBR 6118:2003, sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência.

Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas pode-se utilizar aexpressão de rigidez equivalente (Fórmula de Branson) dada a seguir:

ccsII

3

a

r c

3

a

r cseq I.E.I

M

M1I

MME(EI) ≤

−+=

sendo:


III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II;




Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo novão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, paraa combinação de ações considerada nessa avaliação;

Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser

reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas, calculado, de acordocom a NBR 6118:2003, com a resistência à tração do concreto dada por:

3/2ckctmct f 3,0f f ⋅== (em MPa);

Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto.

A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função dafluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flechaimediata pelo fator αf dado pela expressão:

sendo:

sendo:

ξ é um coeficiente função do tempo, que deve ser calculado pela expressão

seguinte, se t ≤ 70 meses, ou obtido diretamente na tabela 5.7:

0,32t)t0,996(.0,68(t) =ξ para t ≤ 70 meses

ξ(t) = 2 para t > 70 meses

Tabela 6.7. - Valores do coeficiente ξ em função do tempo

Tempo (t)Meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70Coeficiente

ξ (t)0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

sendo:

t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.

No caso de parcelas da carga de longa duração ser aplicadas em idadesdiferentes pode-se tomar para to o valor ponderado a seguir :

ρ′+ξ∆=α

501f

bd

Aρ

's=′

)t()t( 0ξ−ξ=ξ∆

i

i0i0

P

tPt

Σ

Σ=




sendo:

Pi são as parcelas de carga;

t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses.

O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf ).

Para os casos usuais de projetos estruturais de edifícios pode-se considerar,para cálculo do deslocamento adicional diferido, o tempo t0 igual a um mês com valordo coeficiente ξ(t0) igual a 0,68 e, o tempo t maior ou igual a 70 meses,aproximadamente 6 anos, com coeficiente ξ(t) igual a 2. O tempo inicial de 1 mês,aproximadamente 28 dias, considera que o cimbramento foi retirado e, portanto, aestrutura está em serviço. Assim o valor de ∆ξ resulta:

∆ξ = 2 - 0,68 = 1,32

Para levar em conta o efeito da fissuração nas lajes maciças Correa (1991)indica que o valor do deslocamento inicial precisa ser multiplicado por 1/0,54, o queequivale a considerar que o momento de inércia da seção fissurada é 54% do valor domomento de inércia da seção plena.

Lembrando que a flecha final é a flecha inicial multiplicada por ∆ξ e reduzindo-seno valor do momento de inércia da seção integra multiplicando o valor da flecha inicialpor 1/0,54, pode-se calcular, para cada laje, o valor da flecha final por:

af = ai . (1/0,54) . ∆ξ

ou seja, substituindo, pode-se escrever:

af = ai . (1/0,54) . 1,32

e, portanto:

af = ai . 2,5

Para verificação deste estado de serviço Ma é o momento fletor na seção críticado vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas emomento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa

avaliação. No projeto em questão precisam ser verificadas as flechas em lajes de umpavimento-tipo de edifício, sendo que os valores dos momentos fletores relativos asações permanentes e acidentais estão mostrados na Figura 6.18.

A combinação para a verificação das deformações está indicada no capítulo 4deste trabalho ou na NBR 6118:2003, que prescreve para combinações de serviço,particularmente para verificação do estado limite de deformação excessiva acombinação quase permanente. Nessa combinação o momento fletor de cálculo é asoma do momento fletor característico relativo as ações permanentes acrescido domomento fletor relativo às ações variáveis multiplicado pelo coeficiente γf2 = ψ2,descrita pela seguinte expressão:

Md,ser = ∑ mgik + ∑ ψ2j mqik




sendo ψ2 igual a 0,3 nos casos de locais em que não há grande predominânciade equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem deelevada concentração de pessoas, condição típica de edifícios residenciais.

Figura 6. 18 – Momentos fletores relativos às ações permanentes e acidentais.

Os deslocamentos iniciais das lajes podem ser calculados com as expressões

deduzidas pela Mecânica das Estruturas em função das ações uniformementedistribuídas que permanentes (g) e variáveis (q).

Assim, a expressão anterior pode ser escrita como:

(g + q)ser = gk + ψ2 qk

A expressão típica com a qual se determina o valor do deslocamento inicial podeser escrita como:

3hcsE

4x

ser q)(g100

α

a

⋅⋅+⋅=

l

O módulo de deformação secante do concreto adotado na verificação écalculado, de acordo com a NBR 6118:2003, pela expressão:

5,0ckcics f 600.585,0E85,0E ⋅⋅=⋅= (em MPa)

No caso do projeto foi adotado concreto C20 resultado para valor do módulo:

Ecs = 21.287MPa = 2.128,7kN/cm2

Nas lajes em que o momento de cálculo de serviço for menor que o momento defissuração, já calculado no item 6.10.1, o momento de inércia a considerar é o da seção




plena, em caso contrário, ou seja, quando o momento de cálculo de serviço for maiorque o momento de fissuração há que se fazer a redução de 54% no momento deinércia, conforme já explicado.

Para facilitar os cálculos das flechas nas lajes do pavimento-tipo do projetoorganizou-se a tabela 6.7a, na qual são listados: os valores dos momentos fletoresrelativos às ações permanentes e variáveis (Tabela 6.18), combinações de momentos

fletores e das ações, coeficiente (α) da teoria elástica das lajes e determinado emfunção das condições de apoio e da relação entre os vãos efetivos, deslocamentoinicial, deslocamento inicial em função da rigidez da seção transversal, não fissurada efissurada, flecha e deslocamento limite (lx / 250). Os valores de α podem serencontrados nas tabelas de Bares (1970) e de Pinheiro (1993).

Tabela 6.7a - Estados limites de deformações excessivas das lajes do projeto

Lajemgk

(kNm/m)

mqk

(kNm/m)

md,ser

(kNm/m)

Momentode

Inércia

(g+q)ser

[kN/m2] α ℓx(m)

ai (cm)

ai,Eieq

(cm)

afinal

(cm)

alim

(cm)

1,04 0,70 1,25L011,03 0,69 1,24

Ix 3,60 4,33 3,025 0,12 - 0,16 1,21

5,59 1,14 5,86L02

4,72 0,97 5,01Ieq 9,80 5,74 3,375 0,36 0,66 0,87 1,35

1,03 0,69 1,24L04

0,71 0,47 0,85Ix 3,60 3,51 3,025 0,10 - 0,13 1,21

1,47 0,98 1,76L05

1,21 0,81 1,45Ix 3,60 3,26 3,725 0,21 - 0,28 1,49

A laje L03, considerada em balanço, com a condição de vinculação e açõesindicados no item 6.6.5 e figura 6.12, está submetida ao momento fletor de cálculo deserviço, calculado por, :

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 1,00,81,0352,0

21,085

2,0ψ1,0352,22

1,0853,0m

2

2

2

ser d,

resultando:

5,25kNm4,050,34,04m ser d, =⋅+=

O momento de fissuração é calculado pela expressão:

t

cctr y

If m

⋅⋅α=

sendo:

α = 1,5 para seções retangulares;

yt = 4cm, é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada;

o momento de inércia da seção bruta de concreto é igual a,




43

c cm267.412

8100I =

⋅=

a resistência à tração do concreto, para verificação do estrado limite dedeformação excessiva, é a resistência média, calculada de acordo com a NBR6118:2003;

kNm22,0MPa2,2203,0f 3,0f 3/23/2ckm,ct ==⋅=⋅=

Portanto, o valor do momento de fissuração para o estado limite de deformaçãoexcessiva resulta:

kNm52,3kNcm3524

267.422,05,1Mr ==

⋅⋅=

Como md,ser = 5,25kNm é maior do que mr = 3,52kNm o momento de inércia a

ser adotado nos cálculos é o momento de inércia equivalente (Ieq), calculadas com aexpressão de Branson, conforme indicado na NBR 6118:2003.

O momento de inércia no Estádio II é calculado pelas expressões:

[ ]2IIse

3

IIwII xd Aα

3

xbI −⋅+

⋅=

sendo a posição da linha neutra no Estádio II calculada por:

[ ] zeroxd Aαxb21 IIse2

IIw =−⋅⋅−⋅

O valor de αe é calculado pelo quociente entre os módulos de deformação dasbarras de aço e o módulo de deformação secante do concreto, que para esse caso doprojeto vale:

9,8721.287

210.000

E

Eα

cs

se ===

Para os dados da laje L03 obtém-se, com bw = 100cm, as = 4,55cm2

(Tabela 6.4)e d = 6,5cm:

xII = 1,92cm

III = 1.178cm4

O valor da rigidez equivalente calculada com a expressão indicada na NBR6118:2003:

ccsII

3

a

r c

3

a

r cseq I.E.I

MM1IMME(EI) ≤

−+=




e, substituindo convenientemente os valores já calculados resulta:

ccs2

33

eq IEcm/kN512.489.4.1.1785,25

3,521267.4

25,5

52,37,1282.(EI) ⋅≤=

−+⋅

⋅=

Considerando as ações indicadas no item 6.6.5 e figura 6.12 e adotando asexpressões deduzidas pela Mecânica das Estruturas para a flecha na extremidade deuma viga em balanço (bw = 100cm), e para as ações permanentes, variáveis normais eacidentais (pessoas apoiadas na mureta) pode-se escrever:

eq

3ser

eq

4ser i (EI)

1Q)(G

3

1

(EI)

1q)(g

8

1a ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅= ll

A combinação quase permanente das ações de serviço uniformemente

distribuídas na laje por unidade de área considerando as intensidades das açõesatuantes na laje L03 vem:

22ser cm0,00036kN/3,6kN/m2,00,33,0q)(g ==⋅+=+

que, calculando a ação por unidade de comprimento por se tratar o elementoestrutural de laje como viga de largura unitária (1m), resulta:

2ser 0,036kN/cm1000,00036q)(g =⋅=+

Para as ações linearmente distribuídas na borda da laje L03 resulta:

0,028kN/cm2,8kN/m2,00,32,2Q)(G ser ==⋅+=+

Por unidade de largura resulta:

2,8kN/cm1000,028Q)(G ser =⋅=+

Substituindo os valores das ações na expressão com a qual se calcula odeslocamento inicial vem:

)(3.200.667

1(108,5)(2,8)

3

1

)(3.200.667

1(108,5)(0,036)

8

1a 34

i ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

resultando portanto, para valor do deslocamento inicial:

0,41cm0,270,14ai =+=

Lembrando que o deslocamento final precisa ser multiplicado por 2,5 para levarem conta as ações de longa duração, resulta:

1,0cm2,50,41ai =⋅=




Considerando que para vigas em balanço a flecha limite precisa obedecer a:

0,9cm250

108,52

250

2a efe

lim =⋅

=⋅

= l

l

Como a flecha final considerando as ações ao longo do tempo é maior do que o

deslocamento limite indicado na NBR 6118:2003 e, portanto, o estado limite dedeformação excessiva da laje L03 não é verificado. Há que se tomar a decisão deprojeto de aumentar a espessura da laje para, por exemplo, 10cm e refazer os cálculospara essa laje. Alternativa é prever contraflecha convenientemente calculada, na faseconstrutiva.

Alguns pesquisadores e projetistas de estruturas de concreto como coeficientemajorador dos deslocamentos iniciais consideram o valor 2 e não 2,5 como justificadoneste texto, o que significa considerar um valor maior para o módulo de deformação doconcreto, assim o valor da flecha avaliada ao longo do tempo resulta menor (0,57 x 2 =1,14cm).

6.10.3 VERIFICAÇÃO DAS ABERTURAS DAS FISSURAS (ELS-W)

Esta verificação é feita para as lajes em que os momentos calculados com ascombinações de serviço para esta verificação forem maiores que os momentos defissuração, pois há possibilidade da tensão na fibra mais tracionada ultrapassar aresistência à tração do concreto.

O estado limite de abertura de fissuras (ELS-W) é verificado com a combinaçãofreqüente de ações conforme indicado na NBR 6118:2003 e considerando a expressãoseguinte.

∑ ∑++= qjk2jq1k1gikservd, Fψ.FψFF

No caso das lajes do projeto nas quais as ações uniformemente distribuídas sãoas permanentes e as variáveis diretas os momentos fletores de serviço são calculadospor:

kq,1kg,servd, .MψMM +=

com ψ1 = 0,4, conforme dito na NBR 6118:2003, para a combinação indicada.

Lembra-se que o momento de fissuração resultou igual a mr = 2,48kNm para aslajes L01, L03 L04 e L05, com 8cm de espessura, e para a laje L02, com 10cm deespessura, o momento de fissuração resultou mr = 3,88kNm.

Considerando os valores dos momentos fletores calculados para as açõespermanentes e variáveis normais indicadas na figura 6.18 pode-se montar a tabela 5.8em que se anotam os valores dos momentos de serviço com os quais de fazem asverificações das aberturas das fissuras, os momentos de fissuração e o valor daabertura das fissuras e o valor limite das aberturas.




Tabela 6.8 – Estados limites de aberturas de fissuras das lajes do projeto

Lajemgk

(kNm/m)mqk

(kNm/m)md,ser

(kNm/m)mr

(kNm/m)wk

(mm)wlim

(mm)1,04 0,70 1,32L011,03 0,69 1,31

2,48 ----- wk < wlim

5,59 1,14 6,05L02 4,72 0,97 5,11 3,88 0,126 0,4

1,03 0,69 1,31L04

0,71 0,47 0,902,48 ----- wk < wlim

1,47 0,98 1,86L05

1,21 0,81 1,532,48 ----- wk < wlim

No caso da laje L03 que é em balanço e, portanto, armada em uma direção, omomento de serviço para verificação das aberturas das fissuras resulta:

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 1,00,81,0352,02

1,085

2,0ψ1.0352,22

1,085

3,0m

2

1

2

ser d,

Que substituindo com ψ1 = 0,4, resulta:

5,66kNm4.050,44,04m ser d, =⋅+=

Esse valor é maior que o momento de fissuração m r = 2,48kNm e, então, hánecessidade de verificar se o valor característico da abertura das fissuras (wk) é menordo que o valor limite da abertura (w lim).

Para as lajes indicadas na tabela 5.8 é preciso verificar a abertura das fissuraspara a laje L02, pois os momentos fletores md,ser ,x e md,ser ,y são maiores que omomento de fissuração mr .

Como visto o capítulo 5 pode-se usar apenas uma das expressões indicadas naNBR 6118:2003, pois se o valor da abertura das fissuras ficarem menor do que o valorda abertura limite, não há necessidade de se verificar o valor da abertura característicade fissura com a segunda expressão.

As expressões com as quais se calculam as aberturas características de fissurassão:

ctm

si

si

si

1

i1

f

3σ

E

σ

η12,5

w ⋅⋅

⋅

φ=

45]ρ

4[

E

σ

η12,5w

risi

si

1

i2 +⋅⋅

⋅φ

=

com, σsi, Φi, Esi, ρri definidos para cada área de envolvimento em exame, sendo:

Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra Φi;

Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra de diâmetro Φi considerada;

iφ é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;




ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro debainha) em relação a área da região de envolvimento (Acri);

σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada,calculada no Estádio II.

O cálculo no Estádio II, que admite comportamento linear dos materiais edespreza a resistência à tração do concreto, pode ser feito considerando a relação αe entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto igual a 15.

Nas expressões transcritas da NBR 6118:2003, ηi é o coeficiente de conformaçãosuperficial da armadura considerada, devendo ser adotados os valores de η1 parapassiva e ηp1 para ativa, conforme indicados na NBR 6118:2003.

No projeto, para determinar a tensão nas barras das armaduras das lajes, énecessário calcular o valor do momento de inércia considerando a seção transversalcom deformações compatíveis (III) com as do Estádio II, que para isto é precisodeterminar a posição da linha neutra no mesmo estádio (x II), cujas expressões,deduzidas a partir das hipóteses da Mecânica das Estruturas, são escritas a seguir.

a.- Posição da linha neutra considerando o Estádio II

[ ] 0xd.Aα2

x..xb IIse

IIIIw =−−

b.- Momento de Inércia considerando o Estádio II

2IIse

3w

II ]x[d Aα3

xbI −⋅⋅+

⋅=

c.- Tensão nas barras das armaduras das lajes considerando a hipóteses doEstádio II

II

IIservd,esi I

)x.(d.Mασ

−=

6.10.3.1 Verificação das aberturas das fissuras (ELS-W) para a laje L02

Para a laje L02 (h = 10cm) tem-se que o momento de fissuração é igual a:

3,88kNmMr =

A combinação de momentos fletores calculados pra as ações permanentes eacidentais, de acordo com a tabela 6.8 resulta:

6,05kNmmM servdx,a == O momento de inércia considerando a seção plena é igual a:

4

3

c 8333,33cm12

10100I =⋅=




O módulo de deformação secante do concreto resulta:

21287MPa56000,85E 0,5cs =⋅=

O momento de inércia no Estádio II é calculado com a seqüência indicadaanteriormente e depende da área de armadura calculada com as hipóteses do estado

Limite Último de acordo com a Tabela 6.2, para o momento de cálculo na direção doeixo x, igual a:

asx = 2,62cm2/m

Substituindo os valores na expressão seguinte, determina-se a posição da linhaneutra no Estádio II, assim:

[ ] 0x5,8.2,62512

x.100.x II

IIII =−−

que resulta:

xII = 2,2cm

Portanto, o momento de inércia no Estádio II resulta:

23

II ]2,2[8,562,2513

2,2001I −⋅⋅+

⋅=

ou seja:

III = 1.915cm4

A tensão nas barras da armadura na laje L02 na direção do eixo x resulta:

99MPa29,9kN/cm21915

2,2)(8,560515σ 2

s ==−⋅⋅

=

Para a verificação das aberturas de fissuras usa-se a expressão a seguir, com osvalores necessários indicados.

ctm

si

si

si

i

i

f

3σ

E

σ

125.ηw ⋅⋅

φ=

O valor de 2,25η1 = é de acordo com a NBR 6118:2003 considerando aço CA-50com conformação superficial compatível com este valor; o módulo de deformação doaço é igual a 210000MPaEs = e a resistência média à tração do concreto C20 é

calculada por:

22/3ckctm 0,221kN/cm2,21MPa0,3.f f ===

Assim, substituindo os valores calculados anteriormente na primeira expressãocom a qual se calcula o valor da abertura característica da fissura, resulta:




0,126cm0,221

29,53

21000

29,5

2,2512,5

6,3w k =

⋅⋅⋅

⋅=

Que é menor do que a abertura limite de fissuras indicada na NBR 6118:2003 de0,4mm, portanto, as fissuras que ocorrerão na laje L02 não serão consideradasprejudiciais à estrutura. Portanto, a laje L02 atende as condições da Norma comrelação ao ELS-W.

6.10.3.2 Verificação das aberturas das fissuras (ELS-W) para a laje L03

Para a laje L03 (h = 8cm) tem-se que o momento de fissuração é igual a:

2,48kNmMr =

A combinação de momentos fletores calculados pra as ações permanentes e

acidentais, de acordo com valor calculado anteriormente é:

5,66kNmmM servdx,a == O momento de inércia considerando a seção plena é igual a:

43

c cm67,266412

8100I =

⋅=

O momento de inércia no Estádio II é calculado com a seqüência indicada

anteriormente e depende da área de armadura calculada com as hipóteses do estadoLimite Último de acordo com a Tabela 6.2, para o momento de cálculo na direção doeixo x, igual a:

asx = 4,55cm2/m

Substituindo os valores na expressão seguinte, determina-se a posição da linhaneutra no Estádio II, assim:

[ ] 0x5,6.4,55512

x.100.x II

IIII =−−

que resulta:

xII = 2,4cm

Portanto, o momento de inércia no Estádio II resulta:

23

II ]4,2[6,555,4513

4,2001I −⋅⋅+

⋅=

ou seja:

III = 1.608cm4



Documents

[Apostila] Concreto Armado_projeto Estrutural de Edificios - Usp